线性方程组在线性代数学习中的基础地位探究二稿
线性方程组在线性代数学习中的基础地位探究
摘要：线性方程组是线性代数这门学科中的重要组成部分，在线性代数这门学中起到一条主线的作用，它把行列式、知阵和向量组以合理的方式联系起来，它在线性代数中起到贯穿始终的作用,在实际应用中经常遇到将问题归结为解线性方程组,因此要想学好线性代数这门学科，对线性方程组这一点必须要了解透彻，我们必须要充分认识到线性方程组在线性代数这门学科中的基础地位.
关键词：线性方程组，线性代数，基础地位
The fundamental position of system of linear equations in linear algebra
Abstract:with the popularity of computer applications, linear algebra is widely applied to the field of science and technology and economic management. Linear algebra the subject is a combination of several independent development of mathematics achievement. Often encountered in practice will be problem for the solution of linear equations, linear equations is linear algebra, an important part of the subject, the system of linear equations in linear algebra plays a main role in this study, it put know determinant, matrix and vector group in a reasonable way, and it plays a role of throughout in linear algebra, linear algebra so if you want to learn the subject, the system of linear equations has at ten o 'clock must understand thoroughly, we must fully realize the system of linear equations in linear algebra basic status of the subject.
Keywords:linear equations, linear algebra, basic status
引 言
线性代数课程的内容包含五块：行列式、矩阵、线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型（线性空间和线性变换在大部分教材中作为选修内容）线性代数有三个基本计算单元：矩阵，行列式，向量(组)，线性代数课程有一个主要特点：内容呈块状结构，各部分没有必然的先后关系。不同教材可从行列式开始，也可从矩阵或线性方程组开始，主要原因是线性代数学科的形成过程本身就没有一条明确的主线，它是综合了若干项独立发展的数学成果而形成的。分散的块状结构给学习这门课带来了困难，学生普遍反映线性代数知识点多，前后内容不连贯。事实上，如果我们仔细分析线性代数课程各部分的内容，可发现存在一条主线能把这些块串起来。线性方程组就是这条主线，它把行列式、矩阵和向量组以合理的方式联系起来。线性方程组在线性代数这门学科中起着举足轻重的作用，当前大家对线性方程组的解法以及应用都作了大量的研究，但对线性方程组在线性代数这门学科中起着什么作用，它处于什么地位，我们应该怎样重视它并没有过多的探究。本文从线性方程组与线性代数这门学科中的各个知识点之间的紧密联系来探讨一下线性方程组在线性代数课程中的基础地位和所发挥的重要作用。
1.备用知识：
1.线性方程组的三种表达形式线性方程组形式如下：一般形式的表示
11112211211222221122............n n n n n n nn n n
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=? 向量形式的表示
1122...n n x x x αααβ+++=，其中()12,,...,T i i i ni a a a α=(1,2,i n =，
()12,,...,T n b b b β=.
矩阵形式的表示
AX β=，其中()12,,...,n A ααα=，()12,,...,T n X x x x = .
特别地，当0β=时，AX β=称为齐次线性方程组，而当0β≠时，AX β=称为非齐次线性方程组.
2. 设α是数域P 上线性空间v 的一个线性变换，如果对于数域P 中的一数0λ存在一个非零向量ξ，使得αξ=0λξ，那么0λ称为α的一个特征值，而ξ称为α
的属于特征值的0λ一个特征向量。
结论1 若ξ1和ξ2是线性变换α的属于特征值0λ的两个不同特征向量，则ξ1+
ξ2也是α的属于0λ的特征向量（αξ1=0λξ1，αξ2=0λξ2→α（ξ1+ξ 2 ）
=αξ1+αξ2=0λξ1+0λξ2=0λ（ξ1+ξ 2 ））
结论2 若ξ是线性变换α的属于特征值0λ的特征向量，则ξ的任意非零倍 K ξ（K ≠0)也是α的属于0λ的特征向量。
结论3 若ξ1，ξ2，……ξs 都是线性变换α的属于特征值0λ 的特征向量，则他们的任 意非零线性组合 Σ Ki ξi(≠0)也是α的属于0λ 的特征向量。
3. 若λ为A 的特征值，且A 可逆，则0≠λ，则1-λ为1-A 的特征值。
4. 若12,,,n x x x 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示。
证明 )?若这n 个向量线性相关，那么
11220n n x x x λλλ+++= ，
其中i λ不全为0，不妨设0i λ≠，那么可解得
11n i n i i
x x x λλλλ=--- . 所以该结论是成立的。
)?如果其中一个向量可由其余向量线性表示，那么这n 个向量是线性相关的.这是因为如果设
11221111i i i i i n n x k x k x k x k x k x --++=+++++ ，
那么移项得
11221111()0i i i i n n i k x k x k x k x k x x --+++++++++-= 。
显然，i x 的系数为-1，那么由线性相关的定义知，这n 个向量是线性相关的.
5. 若向量组12,,,n ααα 线性无关，12,,,,n αααβ 线性相关，那么β可由12,,,n ααα 线性表示。
6. 如果向量组12,,,m βββ 的部分组
12,,,({1,2,,})m
k k k j k n βββ∈ 线性相关，那么12,,,n βββ 也一定是线性相关的.即部分组线性相关，则整体线性相关。
1.1线性方程组在矩阵中的应用
矩阵行秩等于列秩的证明
求证：设A 为m*n 阶矩阵，则A 的行秩=A 的列秩。
证明：考虑线性方程组AX=0。首先证明如果未知数的个数超过A 的行秩，那么它有非零解。
设m*n 阶矩阵A 的行秩为 r ，考虑方程组
AX=0
它由m 个方程n 个未知数组成。从A 的行向量中选取r 个线性无关的行向量 重新组合成矩阵B ，那么方程组
AX=0
BX=0
同解。
这时，如果B 的列数大于行数，那么方程组
BX=0
必有非零解，从而
AX=0
也有非零解。
接着证明行秩等于列秩。
设m*n 阶矩阵A 的行秩为r ，列秩为s 。考虑A 的任意r+1个列向量组成的矩阵C ，因为C 的行秩不大于r ，因为C 的行向量都是A 的行向量的一部分分量组成的，所以
CX=0
有非零解。这说明这r+1个列向量线性相关。所以A 的列秩最大为r ，即s ≤r 。
1.2线性方程组在向量（组）中的应用
利用齐次线性方程组的解进行判定向量组的线性相关性
在应用定义法解一个齐次线性方程组时，需由该方程组的解去判定这个向量组的相关性.即用定义法的同时也应用了齐次线性方程组的解进行了判定.
一般地，要判断一个向量组
12(,,,)i i i in a a a α=
是否线性相关就是看方程
11220n n x x x ααα+++= （1）
有无非零解.从这里可以看出，如果向量组线性无关，那么在每一个向量上添加一个分量得到的1n +维的向量组121(,,,,)i i i in in a a a a β+= 也是线性无关的. 把（1）写出来就是
1112121121222211220,0,0.
n n n n n n n nn x a x a x a x a x a x a x a x a x a +++=??+++=????+++=?
（2）, 因之，（1）线性相关的充要条件是（2）有非零解[2].
因此具体判断一个向量组是线性还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题.
例1 设123(1,1,1),(2,1,2),(1,2,1)x x x =-=-=--,试判断它们是否线性相关. 解 令
1122330k x k x k x ++=.
即
1231231
2320,20,20.k k k k k k k k k ---=??++=??+-=?
解得
123
0,0,0.k k k =??=??=?
故123,,x x x 是线性无关的.
1.3线性方程组在求特征值与特征向量中的应用
定义：设α是数域P 上线性空间v 的一个线性变换，如果对于数域P 中的一
数0λ存在一个非零向量ξ，使得αξ=0λξ，那么0λ称为α的一个特征值，而
ξ称为α的属于特征值的0λ一个特征向量。
现在我们给出线性变换的特征值与特征向量的方法.设V 是数域P 上n 维线性空间，n εεε，，， 21是它的一组基，线性变换α在这组基下的矩阵为A .设0λ是特征值，它的一个特征向量ξ在n εεε，，， 21下的坐标是n 00201χχχ，，， .则αξ得坐标是
????
?
???????n A 00201χχχ 0λξ的坐标是
????
?
???????n 002010χχχλ 由特征值和特征向量定义有
????????????n A 00201χχχ =?????
???????n 002010χχχλ 或
()0002010=?????
???????-n A E χχχλ 这说明特征向量ξ的坐标()n 00201χχχ，，， 满足齐次方程组
11112210,21222220211220,++a x =,n n n n n n n nn n n a x a x x a x a x a x x a x a x a x x λλλ+????+++=????????+++=?
? 即
01111221212022221122
0()a x =0,()0,()0,n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x λλλ----????-+---=????????---+-=?? 由于0≠ξ，所以它的坐标n 00201χχχ，，， 不全为零，即齐次方程组有非零解。
1.4齐次线性方程组解空间理论在解题上的应用
例1设A 为m n ?矩阵, B 为n s ?矩阵, 且0AB =, 则()()R A R B n +≤. 证明:把矩阵B 分块为: 12(,,,)s B ααα= , 则
0i A α=, 1,2,,i s = .
从而i V α∈,其中V 是
0AX =
的解空间. 得()dim ()R B V n R A ≤=-. 于是()()R A R B n +≤.
例2 若A 是n 阶方阵，且2A A =, 则()()R A R I A n +-=.
证明 ：因为
()(())()()n R I R A I A R A R I A ==+-≤+-， 又因2A A =即()0A A I -=, 由上题知
()()R A R I A n +-≤.
则得()()R A R I A n +-=.
分析以上二个例题, 很容易想到利用齐次线性程组解的理论来解决, 特别是例，由0AB =, 容易联想到把B 的列向量作为齐次线性方程组0AX =的解向
量, 从而获得解决. 下面讨论几个例子, 看起来似乎与齐次线性方程组无关系, 但经过仔细分析，我们将会发现, 仍然可以通过齐次线性程组的理论加以解决. 例3 设A 为m n ?矩阵, B 为n s ?矩阵, 则()min{(),()}R AB R A R B ≤. 证明：设12(,,,)s V L ηηη= 为齐次线性方程组
0BX =
的解空间, 其中我们令12(,,,C ηη= )t η.
则有()()t R c s R B ==-. 又因
0ABC =
由例6于是我们知
()()R AB R C s +≤.即()(())()R AB s s R A R A ≤--=.同理可得()()R A B R B ≤, 于是结论成立.
例4 设A 为n 阶方阵, 则1()()n n R A R A +== .
证明 ：若A 为满秩矩阵, 则结论显然成立.
现设()R A n <, 则存在自然数k 使得
1()()k k R A R A += 1k n ≤≤.
设i V 为齐次线性方程组
0i A x =
的解空间, 则对任意ξ∈i V , 有10i i A AA ξξ+==, 于是有1k k V V +?, 1,2,i = ，因1()()k k R A R A +=, 则有
1dim()dim()k k V V +=.
又因1k k V V +?, 从而1k k V V +=.
现设2k V ξ+∈, 则2k A ξ+10k A ξ+==. 由此得1k k A V V ξ+∈=, 故
1()0k k A A A ξξ+==. 于是1k V ξ+∈. 从而21k k V V ++=, 由得12()()0k k R A R A ++==. 同理可得
231()()()()k k n n R A R A R A R A +++===== .
在一般教材或习题指导书中, 上面几个例题均不是以这种方法证明的, 例如, 例3常用的方法是利用向量的相互线性表出, 例4一般用到线性变换的方法.
这些方法彼此都不同, 学生难以在短时间内掌握, 而我们这里介绍的方法最重要的优点是方法统一. 涉及知识较少, 便于掌握, 且解题范围比较全面. 因此, 对齐次线性方程组解空间的理论加以灵活运用, 对提高学生解题信心, 积累解题技巧, 是十分有帮助的.
结束语
线性代数是理工科院校量大面广的三门数学基础课之一，而且在现实中很多问题都需要用到这门学科的相关知识，其重要性不言而喻，我们一定要充分认识到线性方程组在线性代数这门学科中的基础地位，牢牢掌握线性方程组这一知识点，以线性方程组为主线来学习行列式、矩阵、线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型这五大块知识，进而学好线性代数这门学科。
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《线性代数》教学中若干难点的探讨.doc
《线性代数》教学中若干难点的探讨- 摘要：在《线性代数》的教学过程中，有很多抽象的概念学生很难理解，比如线性相关、线性无关，极大线性无关组、向量组的秩等等。本文从笔者个人的教学实际出发，浅谈教学过程中的若干个教学难点，化抽象为具体，帮助学生理解并掌握这些难点，以提高学生对《线性代数》的学习兴趣。 关键词：线性相关；线性无关；极大线性无关组；向量组的秩 《线性代数》是高等学校理、工、经、管类各专业的一门重要基础课程。通过对本课程的学习，学生可以获得线性代数的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后继课程的学习和进一步知识的获得奠定必要的数学基础。通过各个教学环节的学习，可以逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及自学能力，并具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析和解决问题的能力。另外，通过《线性代数》的学习，还可以培养学生的综合素质和提高学生的创新意识。因此，只有熟练掌握这门课程，才能较好地运用到各个专业中。由于该课程内容抽象，教学课时短，这无疑对教师的教学和学生的学习造成了极大的困扰。本文从笔者个人的教学实际出发，浅谈教学过程中的若干个教学难点，帮助学生理解并掌握这些难点，以提高学生对《线性代数》的学习兴趣。 一、线性相关性与线性无关性 线性方程组理论是线性代数的基本内容之一，而向量组的线性相关性和线性无关性又是解线性方程组的基础。教材第三章线性方程组开门见山，直接给出了线性相关及线性无关的定义。
线性相关是指一个向量组α1，α2，…，αs，如果存在一组不全为零的数λ1，λ2，…，λs，使得λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，则称该向量组α1，α2，…，αs线性相关。如果不存在这样一组不全为零的数，则称该向量组α1，α2，…，αs线性无关。单纯地称某向量组线性相关或线性无关，对于学生来说是比较抽象的，他们对这一定义总是感觉很模糊，很难理解，如何才能更好地更形象地理解这一定义呢？如果在教学中，把这块知识与解析几何联系起来，用几何知来解释什么是线性相关或线性无关，那么学生肯定更容易接受。例如，对于定义中λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，可以理解为b=（λ1，λ2，…，λs）这样的一个行向量。如果向量组有两个列向量构成，即α1，α2，则b=（λ1，λ2），λ1α1+λ2α2=0。若λ1≠0，则经过变换可以得到α1=■，这说明α1和α2共线。对于有三个向量构成的向量组，λ1α1+λ2α2+λ3α3=0，b=（λ1，λ2，λ3），若λ1≠0，经变换得到α1=■+■，这说明α1，α2，α3三个向量共面。 对于两个向量，线性相关指两向量平行（或者说是共线），此时只是在线上的关系，仅仅是一维，线性无关指两向量相交，确定了一个二维平面。线性无关提供了另一种维度，使得向量所在空间增加了一维。对于三个向量，线性相关指三向量共面，研究的是二维平面，而线性无关指三向量不共面，使得向量所在空间增加了一维，即三个向量若线性无关，那么它们不共面，存在于三维立体空间中。四个向量，五个向量，…，研究方法类似。结合几何知识，通过几何图像可以更直观地呈现出新的概念，学生更易于接受，而且还有助于提高学生对《线性代数》的学习兴趣。 二、极大线性无关组及向量组的秩
线性代数 基础和常考知识点
线性代数基础知识点 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ??????? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○ 注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○ 注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+
√ 行列式的计算： ①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 = =()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O * = =* *=-1（拉普拉斯展开式） ③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 （即：所有 取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和） ⑤范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 由m n ?个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L M M M L 称为m n ?矩阵.记作：() ij m n A a ?=或m n A ? () 1121112 222* 12n T n ij n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ? == ? ??? L L M M M L ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法: ① 1 A A A * -= ○注： 1 a b d b c d c a ad bc --????= ? ?--???? 1 L L 主换位副变号 ②1()()A E E A -????→M M 初等行变换
线性代数重点难点
自考《线性代数》重难点解析 2011-02-17 11:09:49 | 作者: min | 来源: 考试大 | 查看: 第一章行列式 一、重点 1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。 2、掌握：行列式的基本性质及推论。 3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。 二、难点 行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。 三、重要公式 1、若A为n阶方阵，则│kA│= kn│A│ 2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│。│B│ 3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1 若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-1 4、若A为n阶方阵，λi（i=1，2，…，n）是A的特征值，│A│＝∏λi 四、题型及解题思路 1、有关行列式概念与性质的命题 2、行列式的计算（方法）
1）利用定义 2）按某行（列）展开使行列式降阶 3）利用行列式的性质 ①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。 ②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。 ③逐次行（列）相加减，化简行列式。 ④把行列式拆成几个行列式的和差。 4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式 5）数学归纳法，多用于证明 3、运用克莱姆法则求解线性方程组 若D =│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即 x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D 其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。 注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。 4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题 1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解） 2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法
大一线性代数的知识点
2009年线性代数必考的知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系： (1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则 (1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则 (1)2 2(1) n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则 4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积 (1) 2 (1) n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B = =、 (1)m n C A O A A B B O B C = =-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶 主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、 A A =-； ②、反证法；
线性代数易错点及重点知识点
线性代数易错及重点知识点 翔翔总结，不晓得大家看得懂不 3 24712432的余子式是327134722412，而不是23271 上三角和下三角行列式都是a1a2a3.....an=A 反三角行列式为A*（-1）^n(n-1)/2 行列式的一行的代数余子式分别乘以另一行元素，值为零。 正反三角行列式如果不记得公式了，可以通过上下换行的形式变成正三角行列式。 克莱姆法则D=222112 11a a a a ,D1=22 2121a b a b D2=22211211a a a a x1=D1/D 同理x2=D2/D 范德蒙法则：行列式的值=(x n -x n-1)(x n -x n-2)……(x n -x 1)(x n-1-x n-2……)(x 2-x 1) 若一个线性方程组有非零解，则它的行列式式值等于零。 行列式中行叫c ，列叫r 写行列式变换过程中要在等号上写变换方法，如c2-c3.不然老师看不懂步骤，无法给分 化三角行列式先化第一列，在化第二列，按顺序来化，这样才不会出现问题。 n 维向量分横向量和列向量。 写向量时一定要记得在上面加箭头 任意一个n 维向量都能由n 个n 维单位向量线性表示 如果b1=k1a1+k2a2+k3a3,线性表示不一定要求k1,k2,k3不全为零。 如果一个向量a 线性相关，则a=0 由一个非零向量构成的向量组一定线性无关。即a ≠0则a 这个向量组线性无关。 含有零向量的向量组一定线性相关 例a1=（1，1）a2=（2，3）求这两个向量组是否线性相关 解：k1a1+k2a2=0 k1(1,1)+k2(2,3)=0 K1+2k2=0 k1+3k2=0 3 121≠0所以k 全是零解，所以线性无关 a3=a1+a2,则a1,a2,a3线性相关 一个向量组中的一个向量可由其他向量线性表示，那么这个向量组线性相关，能线性表示不一定要k 不全为零，但是线性相关一定要不全为零 两个向量线性相关除非他们对应分量成比例。 如果一个向量组一部分向量线性相关，则，整个向量组线性相关。 一个向量组线性无关，那么它的一部分也线性无关 向量组线性相关，减少其中几维一样线性相关，向量组线性无关，增加几维向量一样无关。 应用：要证线性相关，则增加维，如果增加后相关，则原向量组相关。 要证线性无关，则减少维，如果减少后无关，则原向量组无关。 要证线性相关，则增加向量个数，如果增加后相关，则原向量组相关。 要证线性无关，则减少向量个数，如果减少后无关，则原向量组无关。 向量个数大于维数一定线性相关 一个向量组的每个最大线性无关组中的向量个数一定相等 向量空间：线性无关组ab ……n 若a+b ……n 属于v Ramada a 属于v 则v 为向量空间v 的维数就是向量组的秩，a b ……n 称为空间的基
数值分析学习心得体会.doc
数值分析学习感想 一个学期的数值分析，在老师的带领下，让我对这门课程有了深刻的理解和感悟。这门 课程是一个十分重视算法和原理的学科，同时它能够将人的思维引入数学思考的模式，在处 理问题的时候，可以合理适当的提出方案和假设。他的内容贴近实际，像数值分析，数值微 分，求解线性方程组的解等，使数学理论更加有实际意义。 数值分析在给我们的知识上，有很大一部分都对我有很大的帮助，让我的生活和学习有 了更加方便以及科学的方法。像第一章就讲的误差，在现实生活中，也许没有太过于注意误 差，所以对误差的看法有些轻视，但在学习了这一章之后，在老师的讲解下，了解到这些误 差看似小，实则影响很大，更如后面所讲的余项，那些差别总是让人很容易就出错，也许在 别的地方没有什么，但是在数学领域，一个小的误差，就很容易有不好的后果，而学习了数 值分析的内容，很容易就可以将误差锁定在一个很小的范围内，在这一范围内再逼近，得出 的近似值要准确的多，而在最开始的计算中，误差越小，对后面的影响越小，这无疑是好的。 数值分析不只在知识上传授了我很多，在思想上也对我有很大的影响，他给了我很多数 学思想，很多思考的角度，在看待问题的方面上，多方位的去思考，并从别的例子上举一反三。像其中所讲的插值法，在先学习了拉格朗日插值法后，对其理解透彻，了解了其中 的原理和思想，再学习之后的牛顿插值以及三次样条插值等等，都很容易的融会贯通，很容 易的就理解了其中所想，他们的中心思想并没有多大的变化，但是使用的方式却是不同的， 这不仅可以学习到其中心内容，还可以去学习他们的思考方式，每个不同的思考方式带来的 都是不同的算法。而在看待问题上，不同的思考方式总是可以快速的全方位的去看透彻问题， 从而知道如何去解决。 在不断的学习中，知识在不断的获取，能力在不断的提升，同时在老师的不懈讲解下， 我逐渐的发现数值分析所涵盖的知识面特别的广泛，而我所需要学习的地方也更加的多，自 己的不足也在不断的体现，我知道这只是我刚刚接触到了数学的那一角，在以后我还会接触 到更多，而这求知的欲望也在不停的驱赶我，学习的越多，对今后的生活才会有更大的帮助。 计算132 2013014923 张霖篇二：数值分析学习报告 数值分析学习心得报告 班级：11级软工一班 姓名： * * * 学号: 20117610*** 指导老师：* * * 学习数值分析的心得体会 无意中的一次选择，让我接触了数值分析。 作为这学期的选修课，我从内心深处来讲，数值分析真的有点难。感觉它是在高等数学 和线性代数的基础上，又加深了探讨。虽然这节课很难，我学的不是很好，但我依然对它比 较感兴趣。下面就具体说说我的学习体会，让那些感兴趣的同学有个参考。 学习数值分析，我们首先得知道一个软件——matlab。matrix laboratory，即矩阵实验 室，是math work公司推出的一套高效率的数值计算和可视化软件。它是当今科学界最具影 响力、也是最具活力的软件，它起源于矩阵运算，并高速发展成计算机语言。它的优点是强 大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面、便捷的与其他程序和语 言接口。 根据上网搜集到的资料，你就会发现matlab有许多优点： 首先，编程简单使用方便。到目前为止，我已经学过c语言，机器语言，java语言，这
自考《线性代数》重难点解析与全真练习
自考《线性代数》重难点解析与全真练习 第一章行列式 一、重点 1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。 2、掌握：行列式的基本性质及推论。 3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。 二、难点行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。 三、重要公式 1若A为n阶方阵，则|kA| = kn | A I 2、若A、B均为n阶方阵,AB丨=| A |。丨B丨 3、若A为n阶方阵，则|A* | = | A | n-1 若A为n阶可逆阵，则|A-1 | = | A | -1 4、若A为n阶方阵，入i （i=1 , 2,…，n）是A的特征值，| A | =口入i 四、题型及解题思路 1 、有关行列式概念与性质的命题 2、行列式的计算（方法） 1 ）利用定义 2）按某行（列）展开使行列式降阶 3）利用行列式的性质 ①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。 ②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。 ③逐次行（列）相加减，化简行列式。 ④把行列式拆成几个行列式的和差。 4）递推法,适用于规律性强且零元素较多的行列式 5）数学归纳法,多用于证明 3、运用克莱姆法则求解线性方程组 若D = | A |丰0,则Ax=b有解，即 x1=D1/D, x2= D2/D ,…, xn= Dn/D 其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。 注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。 4、运用系数行列式A 判别方程组解的问题 1）当| A | = 0时，齐次方程组Ax= 0有非零解；非齐次方程组解,也可 能有无穷多解） 2）当| A |丰0时，齐次方程组Ax= 0仅有零解；非齐次方程组克莱姆法则求出。 、重点 1 、理解：矩阵的定义、性质, 几种特殊的矩阵（零矩阵,上（下）对角矩阵,逆矩阵,正交矩阵,伴随矩阵,分块矩阵） 2、掌握： 1）矩阵的各种运算及运算规律 2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法Ax= b 不是解（可能无Ax= b 有解,此解可由三角矩阵,对称矩阵,
线性代数心得体会
线性代数 关键词：高等数学自学理解 线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。 线性代数是继微积分之后又一门高等数学，与微积分想比，线性代数的基础行列式和矩阵是在高中有所学习的，入门还是相对比较简单的。线性代数从内容上看前后联系紧密，环环相扣，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。所以多做题也是积累经验来方便自己在解题时能更快更准确得运用适当的性质来简化题目。 认真上好每一堂课对于学习好线性代数是格外重要的.教材上的知识和技巧主要由老师在课堂上以授课的形式传授给你。你在上课时应集中精力听讲，积极思考老师提出的问题，迅速而恰当地做笔记。看书的准确程序是：课前预习内容，课上跟着老师的思路走，尽量不看书来回答上课提出的问题，课后进行复习巩固。而有的人恰恰相反，他们在课上埋头看自己的书，丝毫不理会老师在讲什么，这样做只会降低效率 线性代数的许多公式定理难理解，但一定要理解这些东西才能记得牢，理解不需要知道它的证明过程的每一步，只要能朦朦胧胧地想到它的所以然就行了。学习线代及其它任何学科时都要静下心来，如果学习前很亢奋就拿出一两分钟时间平静下来再开始学习。遇到不会做的题时不要去想“这道题我怎么又不会做”等与这道题无关的东西，一心想题，这样解出来的可能性会大很多。做完题后要想想答案上的方法和自己的方法是怎么想出来的，尤其对于自己不会做的题或某个题答案给出的解法非常好且较难想到，然后将这种思路记住，即做完题目后要总结自己做题的思路，活用在之后的做题中。 很多人都说，审计是文科的，学像微积分和线代这样的理科课程没有什么意义，虽然表面看起来是这样的，但实际上却不然。理科注重的逻辑，在学习的理科的过程中，我们的思路会变得清晰，会计是很复杂的一个专业，很多时候不同的条件会需要进行不同的处理，而理科会让这些复杂的东西在我们脑海中变得仅仅有条，所以学习线代也是有必要的。
线性代数知识点归纳
线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关 于 副 对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1
⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分 矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆
线性代数知识点归纳,超详细
线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式： 证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；
3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系： 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则， 其中 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.
线性代数学习有感
线性代数学习有感 从素未谋面到一知半解，或许将来会有相见恨晚。总之到现在为止，经过将近一个学期的学习，我对线性代数有了一些小小的感想。 线性代数是高等院校一门重要的基础数学课程，具有较强的了逻辑性，抽象性和广泛的实用性。这是我在上网查阅资料时看到的大家对于线性代数的定义。不同于高等数学的是，线性代数几乎从一开始就是一个全新的概念，至少给我的感觉是这样。虽说线性代数主要就是为了解齐次或非齐次的线性方程组，这个目的之于我并不算太陌生，可是它所运用到的东西却是我几乎从未见到过的。我们都知道，线性代数研究的范围通常都不是我们能想象到的二维空间，而是上升到n维空间，这一点相当不可爱。并且在线性代数的学习过程中，我们几乎每天都是跟一些新的概念，新的定理打交道，因此理解和记忆起来有相当大的困难，常常是花很久的时间还是理解不了。 我跟一些就读于其他高校的高中同学交流了一下各自学校线性代数的教学情况，很多同学都谈到了同一个问题。不少老师在教学的时候，经常会舍弃一些重要概念、性质和定理的引入，以及相关的几何意义的解释，以至于学生接受的通常是一个个被硬生生灌输的概念，法则或定理。平心而论，我觉得北邮线性代数的老师在这一点上做得还是不错的，至少给我授课的张鹏老师对这一点抓得比较好。张老师对细节的要求比较高，她会时不时询问学生对知识的理解情况，经常会多次讲解，这真的是一个好现象。不过说实话，由于课时的限制，老师不可能把所有东西都讲解得很透彻，尽管老师尽力讲解了，可每次上完课我仍会有些许疑惑。不过乐观地看，这也未必不是件好事。这就要求我们自己在课下去总结去思考，才能有深刻的理解，并且这样能更好地培养我们的逻辑思维能力。 俗话说得好：“学而不思则罔”。如果我们不去进行深入的思考，那么我们所学到的线性代数的知识就只是一些零散的孤立的概念和方法，无法理解这些概念和方法的意义以及它们之间的联系，到头来只会做一些简单的计算，我们的眼光会被限制，无法上升到一个高度去看待线性代数问题，无法将所学的知识点融会贯通。记得张老师说过，当给你一个信息的时候，尤其是一些不太明显的信息，你要能立刻理解它的内涵，也就是说能够马上联想到与它等价的一些信息。比如说，告诉你一个矩阵是非奇异矩阵，它包含的信息有：首先明确它是一个n阶方阵，它的秩是n，它便是满秩矩阵，它所对应的n阶行列式不等于零，那么n个n维向量便线性无关，还有这个方阵是可逆方阵，并且可以想到它的转置矩阵也是可逆的······还有一点，在线性代数的学习过程中，大片大片的定理确实令人头痛，不过我觉得，其实有些定理或推论是没有必要去背的，因为它们就是另外某个定理的特殊情况，而这些特殊情况，只要我们稍微思考一下，思维稍微开放一点，完全可以自己概括，没有必要多记几个来增加自己的记忆负担。比如说向 “当m>n时，m个n维向量一定线性无关”，量组的线性相关性的定理6的推论2： 看过定理6后你会觉得这完全就是废话嘛，如果你把这当作另一个定理来记忆的话，说句不脸红的话，我们自己都可以联想出很多这种“推论”，会让你记到疯掉。再有就是在记忆一些定理概念的时候，不一定非得按原文记忆，我们可以按照自己的理解来记忆，适合自己的方法才是最好的方法。在学习线性代数的过程中，联想和思考是非常重要的，不要畏惧线性代数的抽象性，理解后的喜悦是难以言表的。通过联想和思考，把学过的知识点串起来，深化理解，我们才能把线性代数学得更好。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '
3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩
学习线性代数的意义
线性代数有什么用？ 线性代数有什么用？这是每一个圈养在象牙塔里，在灌输式教学模式下的“被学习”的学生刚刚开始思考时的第一个问题。我稍微仔细的整理了一下学习线代的理由，竟然也罗列了不少，不知道能不能说服你： 1、如果你想顺利地拿到学位，线性代数的学分对你有帮助； 2、如果你想继续深造，考研，必须学好线代。因为它是必考的数学科目，也是研究生科目《矩阵论》、《泛函分析》的基础。例如，泛函分析的起点就是无穷多个未知量的无穷多线性方程组理论。 3、如果你想提高自己的科研能力，不被现代科技发展潮流所抛弃，也必须学好，因为瑞典的L.戈丁说过，没有掌握线代的人简直就是文盲。他在自己的数学名著《数学概观》中说： 要是没有线性代数，任何数学和初等教程都讲不下去。按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的。它是第二代数学模型，其根源来自于欧几里得几何、解析几何以及线性方程组理论。…，如果不熟悉线性代数的概念，像线性性质、向量、线性空间、矩阵等等，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多，甚至可能学习社会科学也是如此。 4、如果毕业后想找个好工作，也必须学好线代： 想搞数学，当个数学家（我靠，这个还需要列出来，谁不知道线代是数学）。恭喜你，你的职业未来将是最光明的。如果到美国打工的话你可以找到最好的职业（参考本节后附的一份小资料）。 想搞电子工程，好，电路分析、线性信号系统分析、数字滤波器分析设计等需要线代，因为线代就是研究线性网络的主要工具；进行IC集成电路设计时，对付数百万个集体管的仿真软件就需要依赖线性方程组的方法；想搞光电及射频工程，好，电磁场、光波导分析都是向量场的分析，比如光调制器分析研制需要张量矩阵，手机信号处理等等也离不开矩阵运算。 想搞软件工程，好，3D游戏的数学基础就是以图形的矩阵运算为基础；当然，如果你只想玩3D游戏可以不必掌握线代；想搞图像处理，大量的图像数据处理更离不开矩阵这个强大的工具，《阿凡达》中大量的后期电脑制作没有线代的数学工具简直难以想象。 想搞经济研究。好，知道列昂惕夫（Wassily Leontief）吗？哈佛大学教授，1949年用计算机计算出了由美国统计局的25万条经济数据所组成的42个未知数的42个方程的方程组，他打开了研究经济数学模型的新时代的大门。这些模型通常都是线性的，也就是说，它们是用线性方程组来描述的，被称为列昂惕夫“投入-产出”模型。列昂惕夫因此获得了1973年的诺贝尔经济学奖。 相当领导，好，要会运筹学，运筹学的一个重要议题是线性规划。许多重要的管理决策是在线性规划模型的基础上做出的。线性规划的知识就是线代的知识啊。比如，航空运输业就使用线性规划来调度航班，监视飞行及机场的维护运作等；又如，你作为一个大商场的老板，线性规划可以帮助你合理的安排各种商品的进货，以达到最大利润。 对于其他工程领域，没有用不上线代的地方。如搞建筑工程，那么奥运场馆鸟巢的受力分析需要线代的工具；石油勘探，勘探设备获得的大量数据所满足的几千个方程组需要你的线代知识来解决；飞行器设计，就要研究飞机表面的气流的过程包含反复求解大型的线性方程组，在这个求解的过程中，有两个矩阵运算的技巧：对稀疏矩阵进行分块处理和进行LU分解；作餐饮业，对于构造一份有营养的减肥食谱也需要解线性方程组；知道有限元方法吗？这个工程分析中十分有效的有限元方法，其基础就是求解线性方程组。知道马尔科夫链吗？这个“链子”神通广大，在许多学科如生物学、商业、化学、工程学及物理学等领域中被用来做数学模型，实际上马尔科夫链是由一个随机变量矩阵所决定的一个概率向量序列，看看，矩阵、向量又出现了。 另外，矩阵的特征值和特征向量可以用在研究物理、化学领域的微分方程、连续的或离散的动力系统中，甚至数学生态学家用以在预测原始森林遭到何种程度的砍伐会造成猫头鹰的种群灭亡；大名鼎鼎的最小二乘算法广泛应用在各个工程领域里被用来把实验中得到的大量测量数据来拟合到一个理想的直线或曲线上，最小二乘拟合算法实质就是超定线性方程组的求解；二次型常常出现在线性代数在工程（标准设计及优化）和信号处理（输出的噪声功率）的应用中，他们也常常出现在物理学（例如势能和动能）、微分几何（例如曲面的法曲率）、经济学（例如效用函数）和统计学（例如置信椭圆体）中，某些这类应用实例的数学背景很容易转化为对对称矩阵的研究。 嘿嘿（脸红），说实在的，我也没有足够经验讲清楚线代在各个工程领域中的应用，只能大概人云亦云地讲述以上线代的一些基本应用。因为你如果要真正的讲清楚线代的一个应用，就必须充分了解所要应用的领域内的知识，最好有实际的工程应用的经
线性代数经管类——重点难点总结
4184线性代数（经管类）——重点难点总结 1、设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0，且A 的秩为n -1，则齐次线性方程组Ax =0的通解为_K(1,1,1….1)T 2、设A 是n m ?矩阵，已知0=Ax 只有零解，则以下结论正确的是（A ） A ．n m ≥ B ．b Ax =（其中b 是m 维实向量）必有唯一解 C ．m A r =)( D ．0=Ax 存在基础解系 解：αααααααααααααααα 100 101 101)())(()())(()(T T T T T T T T ==， 由于)13(23)2,3(=??? ? ??=T αα， 所以10010010113)13()(==ααααT T ??? ? ??=???? ??=466913)2,3(2313100 100ααT （标准答案）． 6、已知4321,,,αααα线性无关，证明：21αα+,32αα+,43αα+,14αα-线性无关． 证：设0)()()()(144433322211=-++++++ααααααααk k k k ， 即0)()()()(443332221141=++++++-ααααk k k k k k k k ，
因为4321,,,αααα线性无关，必有??? ?? ??=+=+=+=-000043322141 k k k k k k k k ， 只有04321====k k k k ，所以21αα+，32αα+，43αα+，14αα-线性无关． 7、设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（） A.A =0/A/=0? B.A =E C.r (A )=n D.0 线性代数学习心得体会 篇一：学习线性代数的心得体会 学习线性代数的心得体会 线代课本的前言上就说：“在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科了。”我们的线代教学的一个很大的问题就是对线性代数的应用涉及太少，课本上涉及最多的只能算解线性方程组了，但这只是线性代数很初级的应用。我自己对线性代数的应用了解的也不多。但是，线性代数在计算机数据结构、算法、密码学、对策论等等中都有着相当大的作用。 线性代数被不少同学称为“天书”，足见这门课给同学们造成的困难。在这门课的学习过程中，很多同学遇到了上课听不懂，一上课就想睡觉，公式定理理解不了，知道了知识但不会做题，记不住等问题。我认为，每门课程都是有章可循的，线性代也不例外，只要有正确的方法，再加上自己的努力，就可以学好它。 线代是一门比较费脑子的课，所以如果前一天晚上睡得太晚第二天早上的线代课就会变成“催眠课”。那么，就应该在第二天有线代课时晚上睡得早一点。如果你觉得上课跟不上老师的思路那么请预习。这个预习也有学问，预习时要“把更多的麻烦留给自己”，即遇到公式、定理、结论马上把证明部分盖住，自己试着证一下，可以不用写详细的过程， 想一下思路即可；还要多猜猜预习的部分会有什么公式、定理、结论；还要想一想预习的内容能应用到什么领域。当然，这对一些同学有困难，可以根据个人的实际情况适当调整，但要尽量多地自己思考。 一定要重视上课听讲，不能使线代的学习退化为自学。上课时干别的会受到老师讲课的影响，那为什么不利用好这一小时四十分钟呢？上课时，老师的一句话就可能使你豁然开朗，就可能改变你的学习方法甚至改变你的一生。上课时一定要“虚心”，即使老师讲的某个题自 己会做也要听一下老师的思路。 上完课后不少同学喜欢把上课的内容看一遍再做作业。实际上应该先试着做题，不会时看书后或做完后看书。这样，作业可以帮你回忆老师讲的内容，重要的是这些内容是自己回忆起来的，这样能记得更牢，而且可以通过作业发现自己哪些部分还没掌握好。作业尽量在上课的当天或第二天做，这样能减少遗忘给做作业造成的困难。做作业时遇到不会的题可以 问别人或参考同学的解答，但一定要真正理解别人的思路，绝对不能不弄清楚别人怎么做就照抄。适当多做些题对学习是有帮助的。。 线性代数的许多公式定理难理解，但一定要理解这些东西才能记得牢，理解不需要知道它的证明过程的每一步，只 大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变 行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零 特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式线性代数学习心得体会doc
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