数值分析,计算方法试题库及答案
数值分析试题与答案
一、单项选择题（每小题3分,共15分）1. 和分别作为π(de)近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰,则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y (de)拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0,()110l x =B ．()00l x ＝0,()111l x =C ．()00l x ＝1,()111l x = D ．()00l x ＝1,()111l x =4. 设求方程()0f x =(de)根(de)牛顿法收敛,则它具有（ ）敛速.A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到(de)第3个方程（ ）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=-二、填空题（每小题3分,共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时,科茨系数()()()33301213,88C C C ===,那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ,所以()0f x =在区间内有根.5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩(de)计算公式 .0,1,2分 人三、计算题（每题15分,共60分）1. 已知函数211y x =+(de)一组数据：求分段线性插值函数,并计算()1.5f (de)近似值.1. 解 []0,1x ∈,()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---[]1,2x ∈,()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩ ()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()00,0,0X =,应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.1.解 原方程组同解变形为1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间(de)近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根,精确到. 3. 解()331f x x x =--,()130f =-<,()210f =>()233f x x '=-,()12f x x ''=,()2240f =>,故取2x =作初始值4. 写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分111dxx+⎰.四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中(de)待定系数,并证明确定后(de)求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明：求积公式中含有三个待定系数,即101,,A A A -,将()21,,f x x x =分别代入求一、 填空（共20分,每题2分）1. 设2.3149541...x *=,取5位有效数字,则所得(de)近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---,()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商 ()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ,=∞||||X .4．求方程 21.250x x --= (de)近似根,用迭代公式 1.25x x =+,取初始值 01x =, 那么 1______x =。
数值分析、计算方法试题库及答案
19.区间[a,b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到2阶的连续导数。
20.当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。
2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。
xi
0
1
2
f(xi)
1
-1
3
f’(xi)
1
5
3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。
16、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。(×)
17、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。(×)
18、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。()
10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。(×)
寂涯网络xx~xx学年第1学期 《计算方法》课程试卷A 第2页 共4页
四、设方程 在 [ ] 内有实根 ，试写出迭代公式
使 ，并说明迭代公式的收敛性。（10分）
五、设有线性方程组 ，其中
（1）求 分解;(2)求方程组的解(3)判断矩阵 的正定性（14分）
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数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
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模 拟 试 卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.2．设，，则=.，= ______.152210142-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 342⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭x ∞A1x3．已知y =f (x )的均差（差商），，，01214[,,]3f x x x =12315[,,] 3f x x x =23491[,,]15f x x x =, 那么均差=.0238[,,] 3f x x x =423[,,]f x x x 4．已知n =4时Newton －Cotes 求积公式的系数分别是：则,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C ＝ .)4(3C 5．解初始值问题的改进的Euler 方法是阶方法；0(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩6．求解线性代数方程组的高斯—塞德尔迭代公式为，123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩若取, 则.(0)(1,1,1)=- x(1)=x 7．求方程根的牛顿迭代格式是 .()x f x =8．是以整数点为节点的Lagrange 插值基函数，则01(), (),, ()n x x x 01, ,, ,n x x x =.()nk jk k x x =∑9．解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是.=Ax b (1)()k k +=+x Bx g 10．设，则的三次牛顿插值多项式为(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====()f x ，其误差估计式为 .二、综合题（每题10分，共60分）1．求一次数不超过4次的多项式满足：，，()p x (1)15p =(1)20p '=(1)30p ''=，.(2)57p =(2)72p '=2．构造代数精度最高的形式为的求积公式，并求出10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰其代数精度.3．用Newton 法求方程在区间内的根, 要求.2ln =-x x ) ,2(∞8110--<-kk k x x x 4．用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：2y a bx=+i x 19253038iy 19.032.349.073.35．用矩阵的直接三角分解法解方程组.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x 6 试用数值积分法建立求解初值问题的如下数值求解公式0(,)(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩，1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++其中.(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+三、证明题（10分）设对任意的，函数的导数都存在且,对于满足x ()f x ()f x '0()m f x M '<≤≤的任意，迭代格式均收敛于的根.20Mλ<<λ1()k k k x x f x λ+=-()0f x =*x 参考答案一、填空题1．5； 2. 8, 9 ; 3.； 4. ； 5. 二； 911516456. , (0.02，0.22，0.1543)(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩7. ; 8. ; 9. ;1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-j x ()1B ρ<10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题1．差商表：11122151515575720204272152230781233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++其他方法：设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+令，，求出a 和b.(2)57p =(2)72p '=2．取，令公式准确成立，得：()1,f x x =,, , .0112A A +=011123A A +=013A =116A =时，公式左右；时，公式左, 公式右2()f x x =14=3()f x x =15=524=∴ 公式的代数精度.2=3．此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。
数值计算方法试题及答案
（2）用n8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。
e
2
x
数值试题
四、1、（15分）方程x3x10在x不同的等价形式（1）x3对应迭代格式
xn1
1xn
1.5附近有根，把方程写成三种
x1对应迭代格式xn1xn1；(2)
x1
1x
；（3）x
3
x1对应迭代格式xn1xn1。判
出其代数精度：
1xfxdxAfA1f10021
(3) (3) (6分)用幂法求矩阵10A111的模最大的特征值及其
相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距
8
数值试题
离小于0.05，取特征向量的初始近似值为1,0。
T
(4) (4) (6分)推导求解常微分方程初值问题
y’xfx,yx,axb,yay0
x1
x
(x1)的形式，使计
6
数值试题
(3) (3) (2分)设(4) (4)
则
2
x12x2
fx
xx12
，则f’x
1x2是3次样条函数，
2x3,0x1
Sx3
2
xaxbxc,(3分)设
(5) (5) (3分)若用复化梯形公式计算0
10
6
1
edx
x
，要求误差不超过
，利用余项公式估计，至少用个求积节点。
x11.6x21
分)写出求解方程组0.4x1x22的
(6) (6) (6
代公式
Gauss-Seidel迭
，为此迭代法是否收敛。
5A
4
43
迭代矩阵
(7) (7) (4分)设
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值分析计算方法试题集及答案
数值分析复习试题第一章 绪论 一. 填空题 1.*x为精确值x 的近似值；()**x f y =为一元函数()x f y =1的近似值；()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-：***r x xe x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂ 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。
3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有6 位和7 位；又取 1.73≈-211.73 10 2≤⨯。
4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为0.0055 。
5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为0.01 。
6、 已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为0.0000204 .7、递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y =y =10y -1,n =1,2,如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误差为8110 2⨯;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3位和 4 位有效数字。
9、若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5。
10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n的相对误差0.02n11、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；12、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 13、为了使计算 ()()2334610111y x x x =++---- 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。