中考数学题型及方法总结

初中数学中的固定题型及惯性思维

一、角平分线的考点

1.定义

2.性质（垂直于角的两边）

3.对称性（垂直于角

平分线，构造全等，得到中点）

二、中点的三个考点

1.斜边中线（直角与中点）

2.三线合一（等腰与中点）

3.中位线（两个中点）

附注：中点常见作辅助线方法：过其中一个端点作另一个端点所在直线的平行线交延长线与一点。如果其中一个端点所在直线有多条，要结合题目已知条件进行判断，一般以已知线段长度的为主。

三、等腰三角形的考点

1.等角对等边

2.等边对等角

3.三线合一

四、全等三角形

1.五个全等三角形的判定定理

2.对应边对应角相等

五、轴对称图形

1.角的对称性（性质）

2.线段的对称性（性质）

3.等腰三角形的对称性（三线合一）

附注：对称轴是直线，轴对称图形既可以是一个图形本身，比如等腰三角形是轴对称图形，也可以说两个图形关于某条直线呈轴对称图形。

六、勾股定理

1.勾股定理的公式

2.勾股定理的逆定理（可以用来证明直角或者一个三角形是直角三角形）

附注：利用图形证明勾股定理一般都是利用部分面积之和等于整体面积，另外记住几组常见的勾股数，3,4,5；6,8,10; 5,12,13; 7,24,25

七、平面直角坐标系

1.平面直角坐标系是用来确定点及图像的位置的

2.坐标轴及象限的划分

附注：如果题目说不经过第二象限，应该有两种情况，一是经过一三四象限，二是经过一三象限，做此类题目不要思维定势。

八、二次根式

1.二次根式的非负性

2.同类二次根式

3.最简二次根式

4.二次根式的比较大小

5.二次根式的加减乘除

附注：如果题目的计算结果包含根式，一定要习惯性地判断是否是最简二次根式，切记因为细节问题失分；另外代数式有意义也要注意开方数大于等于0,千万不要漏掉等号。

九、一元二次方程

1.定义（二次项系数不为0）

2.四种解法（优先考虑因式分解法，主要是十字相乘）

3.一元二次方程根的个数的判别式

4.一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理

附注：只要一个题目是求解有关一元二次方程的根的代数式的值的题目，只有两种方法，代入法与韦达定理，如果满足韦达定理的形式就用韦达定理，除此之外，一律使用代入法。

十、二次函数

1.定义（最高次为2，二次项系数不为0）

2.二次函数的图像（开口、与X轴的交点、对称轴、顶点坐标、与Y轴的交点位置）

3.二次函数的增减性

4.二次函数的动点问题

附注：初中阶段所有函数的知识点都比较少，更多的是知识点的迁移变化与综合应用。

十一、分式方程

1.分式方程的定义（有可能考选择题）

2.分式方程的解的情况

3.已知分式方程的解的情况，求未知实数的取值范围

附注：1.增根是分式方程无解的特殊情况 2.如果告诉分式方程的解为负数，解出X之后，一方面x<0,另外千万不要忘记x不能等于增根，这个是比较容易出错的一个点。

十二、圆

1.相关定义，比如直径、圆心、弦、切线、弧、圆周角、圆心角等等

2.切线长定理

3.垂径定理

直径：直径所对圆周角是90度

角：同弧所对圆周角相等，同弧所对圆周角是圆心角的一半

弦：垂径定理

弧长相等：弦相等

切线：连接圆心与切点

内接四边形：对角互补

附注：在圆中要记住有很多等腰三角形，另外也经常跟全等和相似结合在一起。

数学题目中的常见突破口及惯性思维

1.中点（考点及作辅助线方法相对比较固定）

2.角平分线（处理方法如上述总结）

3.直角（直角一般跟斜边中线、勾股定理、相似、等量代换结合起来）

4.平行（同位角、内错角、同旁内角）

5.出现比例线段或者乘积形式（相似）

6.等腰直角三角形、正方形、等边三角形中出现勾股线段或者等差线段，使用

旋转法

7.A型、K型、L型（K型）、X型、Z型（X型）相似

8.反比例函数中出现成比例线段（关联点坐标）

9.正方形（跟等腰直角三角形结合起来，因为比较容易构造）

10.一题多解（等腰三角形要分腰与底；直角三角形要分斜边与直角边；平行四

边形要分边与对角线；相似要分哪两条线段对应成比例）

11.分类依据（不同图形的分类依据不同，这里不作细述）

12.求线段长度或者角的大小，在不知线段如何表示的情况下，要习惯性地假设

未知数

中考数学题型总结

1.已知点),4(1y -,()2,2y 都在直线22

1+-=x y 上,则1y 与2y 的大小关系

是 （A ）21y y ? （B ）21y y = （C ）21y y ? （D ）不能比较

比较函数值大小，两种方法：1.直接求解函数值再进行比较2.利用数

形结合法，通过函数图像直观地看出函数值大小。

2．月球的半径约为1 738 000m ，1 738 000这个数用科学记数法可

表示为

A ．1.738×106

B ．1.738×107

C ．0.1738×107

D ．17.38×105

科学计数法，记住形式:a*10^n(1=

3 ）

A ．±5 B．5 C ．–5

D ． 625

此题考察二次根式的相关概念：平方根及算术平方根，此题显然是求

25的算术平方根，故选B 。

4．下列运算正确的是（ ）

A ．236a a a ?=

B ．236()y y -=

C ．2353()m n m n =

D ．222253x x x -+=

此题考察七年级的幂的运算和合并同类项，幂的运算有三个运算法

则，一是同底数幂的乘法，二是幂的乘方，三是乘积的乘方，另外要

注意：负数的奇数次幂为负数，偶数次幂为正数。幂的运算在中考中

一定是会涉及的，所以虽然简单，但务必掌握扎实。

5. 两个不相等的实数m ，n 满足462=-m m ，462=-n n ，则mn 的值D

(A) 6 (B) －6

(C) 4 (D) －4

求有关一元二次方程的根的代数式的值：方法有两种，一种是代入法，一种是韦达定理，具备X1+X2和X1*X2的形式就用韦达定理，其他情况一律使用代入法，本题是一个变型形式，记住八个字“形式一致，构造方程”（在高中也有类似构造函数的题目），把所给变量当作构造方程的两个实数根即可。

6．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

此题考察轴对称图形与中心对称图形的定义及判断，轴对称图形和中心对称图形都分为两种，一种是两个图形关于某点或者某直线呈中心对称图形或者轴对称图形，还有一种就是图形本身是轴对称或者中心对称图形。A是中心对称图形，B是轴对称图形，C既是中心对称亦是轴对称，D是中心对称。此外我们之前还对正多边形的对称性进行过总结，即正奇数边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，正偶数边形既是中心对称亦是轴对称图形。此为送分题，基础扎实的学生可以快速判断出正确答案。

7.某班派9名同学参加拔河比赛，他们的体重分别是(单位：千克)：

67，59，61，59，63，57，70，59，65，这组数据的众数和中位数分别是( )

A．59，63 B．59，61 C．59，59 D．57，61 此题考察众数、中位数的概念，相关的概念还有平均数、方差、极差，注意：找中位数一定要把所给的一列数按从大到小或从小到大的顺序排列，偶数个数就是排在中间两个数的平均数，奇数个数就是中间的那个数。此题也是比较简单的概念性问题，但务必概念清晰。

8．将1

x

x

-根号外的因式移入根号内，则原式等于( ) A．x-B．－x-C．x D．－x

本题考察二次根式的运算及性质，首先要判断x的正负，此题易判断x为负数（二次根式必须保证开方数大于或者等于0，因为分母为未知数，根据代数式有意义，此题x只能为负数），据此可以快速排除C、D，又因为原数显然小于0，所以可以排除A，故B为正确选项。当然也可以通过运算性质得出B选项。

9. 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，

从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是C

(A)36(B)

23

3(C)33(D)3

本题为最短路径问题，可以归为最值问题中的一种，最值问题在初中阶段共有八种，代数中有绝对值、平方、二次根式、二次函数，几何中有两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、点到直线的垂线段最短、圆外一点到圆上点的距离。另外还有两种难题，一种是求两个动点和两个定点所构成的四边形周长最小，但两个动点之间的距离是定值，此种题型利用平行四边形对边相等进行替换即可；还有一种求两个动点和两个定点所构成的四边形周长最小，但仅仅已知两个动点所在的直线，此种题目需要作两个对称点，然后转化成两点之间线段最短。

10. 如图，已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐

标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线y＝k

x（x

＞0）经过D点，

交BC的延长线于E点，且OB?AC＝160，有下列四个结论：（第3题）

A

①双曲线的解析式为y ＝40x

（x ＞0）；②E 点的坐标是（5，8）； ③sin ∠COA ＝45

；④AC ＋OB ＝125．其中正确的结论有 ( ) A ．1个 B ．2个

C ．3个

D ．4个

考察此类题目需要学生有较强的分析能力和扎实的基本功，需要对4个选项逐一进行判断，此题图形分为两个：反比例函数和菱形，所以在解题时要充分利用两个图形的性质及对应的解题方法（反比例函数：绝大多数难题都是考察关联点坐标，比如此题先求出D 点坐标，再根据菱形的性质得出B 点坐标，从而验证E 点坐标；菱形：对角线相互垂直且平分），另外选项3是判断三角函数值的，这种题目固定有两种处理方法，一种是构造直角，把所求角放在直角三角形中，另外一种是利用相等角替换。

11．（2分）（2011?苏州）如图，巳知A 点坐标为（5，0），直线y=x+b （b ＞0）与y 轴交于点B ，连接AB ，∠α=75°，则b 的值为（ ）

此题考察特殊角的转化与使用以及特殊的直线方程对应的特殊角。其中30°，45°，60°这三个特殊角所对应的直线方程一定要熟练记忆并灵活运用。

12．（2分）（2010?无锡）如图，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线交OB 于D ，且OD ：DB=1：2，若△OBC 的面积等于3，则k 的值（ ）

A．等于2 B．等于C．等于D．无法确定

反比例函数典型的关联点坐标题，只要题目中出现比例线段，要习惯性的使用关联点坐标进行求解，即假设其中一个点坐标，表示出与之相关的点坐标，然后根据题目已知的等量关系列式并求解。一般假设的点坐标为小比例线段的端点，比如此题假设D点坐标处理起来更为方便。

13．因式分解：224

-= ▲．

a b

因式分解有4种方法，两项要么使用提公因式，要么使用平方差公式；三项要么使用十字相乘，要么使用完全平方公式；四项及以上一律使用分组法。但所有的因式分解都优先考虑提公因式法。注意：因式分解之后的各个因式如果能合并同类项的一定要合并。

14．若23

-+的值为▲．

a b

a b

-=，则924

代数式求值，整体思想的应用，因为此题只给出一个等式，但含有两个未知数，所以显然不是分别求出a,b的值再代入求值。所以此类题目要观察已知等式与所求代数式之间的关系，一般都是倍数关系，除了一元二次方程的求值问题会利用代入法或者韦达定理。注意：有的倍数关系不是整数倍，但我们在做此类题目之前已经知道题目考察的是倍数关系，利用整体思想求值，所以只要用对应字母的系数相除就可以判断出是多少倍（包括不是整数倍的情况），比如此题，a的系数分别是1和-2，所以只要把前面的等式乘以-2即可。

15．如图所示，将边长为8 cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D 落在BC中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是_______．

此题考察图形的折叠，常见的图形变化还有平移、旋转，以上变化均

改变位置，不改变形状，所以要利用对应边及对应角相等。在矩形和正方形的折叠题当中还要把勾股定理当作一种惯性思维，解题中经常用到。

16．（2分）如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2012次运动后，动点P 的坐标是 _________ ．

此题为找规律题，规律题我们并不陌生，从小学到高中各个阶段都有对应形式的规律题，但规律也分为很多种不同的题型，但比较常考的规律有和差倍分、奇偶变化、次方变化（初中以后两种考察形式为主），比如此题，运动奇数次与偶数次对应的纵坐标不同，而横坐标是依次加1的简单变化。

17．（5分）计算2

30116(2)(πtan60)233-??--÷-+-- ???o o 中考必考题型之一，计算题会涉及到的知识点有幂的运算、绝对值、二次根式、三角函数，计算时一定要注意正负号。

18．（5分）解方程：()x

x x x 2322-=--；

中考必考题型之一，解分式方程，分式方程的解法比较固定，但要注意书写规范。还有可能考察分式的先化简再求值的题目。例题如下：

先化简，再求值：2121122x x x x ++??-÷ ?++??

，其中31x =-．

19．（6分）解不等式组，并求出其最小整数解：()?????-<--≥+-x

x x x 8131323 不等式组为七下内容，常考的有两种题型，一种是求解并在数轴上表示，还有一种是求解限定条件下的解集。注意审题，比如此题要求的是最小整数解，不要算出解集之后就万事大吉了，一定要看清题目要求。

20. （ 2014?广东，第22题7分）某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．

（1）这次被调查的同学共有 1000 名；

（2）把条形统计图补充完整；

（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？

此题考察统计图与统计表，现在多为条形统计图与扇形统计图或统计表相结合的题目，

难度不大，会读图读表即可。

21．（本题满分6分）一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴、2个女婴的概率是多少？

中考必考题型之一，解题方法为树状图和列表法，树状图用的比较多。概率也是小学就开始接触的概念，所以在理解上没有问题，但一定要注意分类要合理（便于列举），考虑要全面（不多不少）。22．（6分）如图，在一个坡角为15°的斜坡上有一棵树，高为AB．当

太阳光与水平线成50°时，测得该树在斜坡上的树影BC的长为7米，求树高．(精确到0.1m)

(参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.．27，sin50°≈0.77，

cos50°≈0.64，tan50≈1.19)

锐角三角函数的应用是中考必考题，多为送分题，但有些题需要作简单的变换，因为三角函数的使用必须放在直角三角形当中，所以如果所给图形中没有直角，就需要自己根据题目的需要去构造直角三角形。注意：在变换时一定要跟已知线段长度结合起来。比如此题所构造的直角三角形显然要包含BC边。

23．（本题满分8分）如图，已知函数k

y

（x＞0）的图像经过点A、

x

B，点B的坐标为（2，2）．过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b 的图像经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E．

OD，求a、b的

（1）若AC=3 Array 2

值；

（2）若BC∥AE，求BC的长．

反比例函数，（1）反比例函数中出现比例线段，用关联点坐标或者相似三角形进行求解，比如此题根据B点坐标易求出D点坐标，根据比例求出A点坐标，然后根据两点确定一条直线，代入解一元二次方程即可求出a,b.

（2）易判断四边形BDEC是平行四边形，从而易得出三角形DOE 和三角形CFB全等，而求DE长度只要根据直线方程就可以求出来。24．(8分)“低碳生活”作为一种健康、环保、安全的生活方式受到越来越多人的关注，某公司生产的健身自行车在市场上受到普遍欢迎，在国内市场和国外市场畅销，生产的产品可以全部售出。

该公司的年生产能力为10万辆，在国内市场每台的利润y1（元）

与销量x （万台）的关系如图5－10所示；在国外市场每台的利

润y 2（元）与销量x （万台）的关系为()()

3036006180410x x y x ?-+≤≤?=?≤≤?? (1)求国内市场的销售总利润z （万元）关于销售量x （万台）的

函数关系式，并指出自变量的取值范围．

(2)求该公司每年的总利润w(万元)关于国内市场的销量x （万台）

的函数关系式，并帮助该公司确定国内、国外市场的销量各为

多少万台时，公司的年利润最大？

此题为中考必考题型中的一种，函数应用题和最值问题的结合，一般考察都是与生活相关的应用题，所以要结合自己的生活经验理解题目传达的意思，然后列式求解，比如此题考察利润最大，那么首先要理解利润是如何产生的，是销售额-成本，销售额又与销售量和售价有关，售价往往又是销售量的影响因素，比如售价太高，它对应的销售量往往也会下降，这也是中考中比较常考的一种形式，所以此类题目只要结合自己的生活经验和做题的实战经验深刻理解题目的意思，一般难度不大。

25．（本题满分10分）如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O

经过A 、B 、D 三点，过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连接ED ．

（1）求证：ED ∥AC ；

（2）若BD =2CD ，设△EBD 的面积为1S ，△ADC 的面积为2S ，且2121640S S -+=，求△ABC 的面积．

圆的综合题也是中考必考题，（1）做圆的题目一定要擅于运用惯性

思维，比如此题要

证明平行，证明平行的方法有：1.内错角相等，同位角相等，同旁内

角互补2.得到一

个四边形是平行四边形，从而得到对边平行。但此题显然是利用角相

等得到平行，首

先已知AD 是△ABC 的角平分线，得到角相等（定义），之前总结

过，在圆中出现的角

一定要判断是什么角，然后想到对应的两个结论，利用此惯性思维易

得出角ADE 等于

角CAD 。（2）此题出现S1，S2两个未知数，但题目只有一个等式，

通过一个等式求

解多个变量，只有以下几种情况：1.“0”+“0”型（平方、绝对值、

二次根式的非负

性）2.有限定条件（比如解有正数、质数、整数等特殊要求），从本

题所给的等式形

式来看比较容易想到完全平方，从而得解。另外，做证明题一定要学

会假设结论成立，

（第25题）

通过倒推得出解法（在高中数学中会有一个章节专门讲解推理与证

明，其中比较常用

的有分析法和执果溯因法）

26、已知抛物线232y ax bx c =++

（1）若1,1a b c ===-求该抛物线与x 轴的交点坐标；

（2）若++1a b c =，是否存在实数0x ,使得相应的y=1，若有，请指明有几个并证明你的结论，若没有，阐述理由。

（3）若1,23

a c

b ==+且抛物线在22x -≤≤区间上的最小值是-3，求b 的值。 （1）抛物线与X 轴的交点即对应的一元二次方程的解，而一元二次方程有4种解法，优先考虑因式分解法（十字相乘）

（2）此种题型是需要理解与转化的，在高中也极为常见，比如本题，是否存在x0，即3ax^2+2bx+c=1这个方程根的个数，而判断一元二次方程根的个数都是b^2-4ac 的正负。

（3）二次函数中典型的分类讨论，给定的区间有可能在对称轴的左边、右边、两边，所以需要分三类情况讨论，注意每一种情况求出的值一定要验证是否满足大前提。

27．（10分）（2011?常德）如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：∠CFE=∠AFE；

（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似？若有请求出所有符和条件的点P的坐标；若没有，请说明理由．

此题为二次函数压轴题(1)求抛物线解析式，一般都是送分题（2）证明角相等常见方法有1.两直线平行的性质2.等量代换3.三角形全等4.等边对等角5.平行四边形的性质6.同弧或者等弧所对圆周角相等7.两个角对应的三角函数值相等，具体在选择证明方法之前要看要证明的两个角所在的图形特征，先直观地判断，再具体分析。（3）存在性问题，经常考察的有三角形相似、直角三角形、平行四边形、等腰三角形、矩形、周长最小、面积最值，此种题型的关键是分类依据，比如相似三角形的分类依据就是哪两个角对应相等（优先考虑特殊角，比如直角）；直角三角形的分类依据就是哪个角是直角。