第六章 函数误差与误差合成
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函数误差与误差合成
-0.025
2
4
6
8
10
12
和检验法 前半残差和 v 0.013 后半残差和 v 0.0134
1
2
| v1 v1 | 0.013 (0.0134) 0.0264
2 ns 2 10 0.008343 0.052764
可判断该测量列无线性变化的系统误差存在。
1、线性函数
y a1 x1 a2 x2 ... an xn
系统误差公式 y a1x1 a2x2 ... anxn
（线性关系）
当 ai 1
y x1 x2 ... xn
2、三角函数形式
sin f x1, x2 ,..., xn
75 1810 3.3
o
第6章 函数误差与误差合成
知识点和教学目标
函数系统误差 函数随机误差 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案
第一节 函数误差
基本概念
由于被测对象的特点，不能直接进行测量， 或者直接测量难以保证测量准确度，需要采 用间接测量 间接测量
假定各组测量结果不存在系统误差和粗大 误差，求最后结果。
解：1、求加权算术平均值 首先根据测量次数确定各组的权，有
n1 6, n2 30, n3 24, n4 12, n5 12, n6 36 p1 6, p2 30, p3 24, p4 12, p5 12, p6 36
9 2
查表
p ( p 0.95, n 9) 0.512
有 p
故认为不存在显著的周期性系统误差。
计算结论
用9次测量数据统计检定中随机误差的大小，有
2
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和检验法 前半残差和 v 0.013 后半残差和 v 0.0134
1
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| v1 v1 | 0.013 (0.0134) 0.0264
2 ns 2 10 0.008343 0.052764
可判断该测量列无线性变化的系统误差存在。
1、线性函数
y a1 x1 a2 x2 ... an xn
系统误差公式 y a1x1 a2x2 ... anxn
（线性关系）
当 ai 1
y x1 x2 ... xn
2、三角函数形式
sin f x1, x2 ,..., xn
75 1810 3.3
o
第6章 函数误差与误差合成
知识点和教学目标
函数系统误差 函数随机误差 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案
第一节 函数误差
基本概念
由于被测对象的特点，不能直接进行测量， 或者直接测量难以保证测量准确度，需要采 用间接测量 间接测量
假定各组测量结果不存在系统误差和粗大 误差，求最后结果。
解：1、求加权算术平均值 首先根据测量次数确定各组的权，有
n1 6, n2 30, n3 24, n4 12, n5 12, n6 36 p1 6, p2 30, p3 24, p4 12, p5 12, p6 36
9 2
查表
p ( p 0.95, n 9) 0.512
有 p
故认为不存在显著的周期性系统误差。
计算结论
用9次测量数据统计检定中随机误差的大小，有
误差的合成、分配和传递
在通常情况下，未定系统总误差可以用极限误差的 形式给出误差的最大变化范围，也可用标准差来表示。
按极限误差合成 按标准差合成
三、误差的合成
1)按极限误差合成 a.绝对值合成法： 表达式：
( e1 e2
em ) ei
i 1 m
其中ei为极限误差。当m大于10时，合成误差估计值往 往偏大。一般应用于m小于10。
则有：
i
x f xi ci i xi y y
x
i
i
xi xi
相对误差传递公式
y i x
i 1
n
一、误差的传递
和差函数的误差传递
y x1 x2
c1 f 1 x1
x1 y
c2
f 1 x2
x2 y
1 c1
2 c2
y
1i j
n
对 y
y y
(
i 1
n
x x f )0 i 两边求方差，则得： xi y xi
随机相对误差的传递公式
y
n f 2 xi 2 2 f xi f x j （ ） ( ) 2 [( ） ] [( ） ]i , j i j 0 i x y x y x y i 1 1i j i i j n
2 i 1i j
1 y
x
i 1 2 ij i , j i j
1i j
n
在水文测验误差分析中，常对上式进行简化。假定各直接被测量的相对 标准差相等，再假定各直接被测量之间不存在相关关系，则变量和的相 对标准差传递公式变为： x m 2 1 m 2 灵敏系数平方和 ny xi xi y i 1 y i 1 的方根
6第六章：误差的合成与分配
第六章 误差的合成与分配
主讲：马冰
主要内容：
误差的传递 系统误差的合成
随机误差的合成
误差合成原理的实际应用
“相关”问题
第一节 误差的传递
概述
任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量 过程中各个环节一系列误差因素共同作用的结果。如何 正确地分析和综合这些误差因素，并正确地表述这些误 差的综合影响，这就是误差合成要研究的基本内容。 本章较为全面地论述了误差合成与分配的基本规律 和基本方法，这些规律和方法不仅应用于测量数据处理 中给出测量结果的精度，而且还适用于测量方法和仪器 装置的精度分析计算以及解决测量方法的拟定和仪器设 计中的误差分配、微小误差取舍及最佳测量方案确定等 问题。
系统误差的合成的计算公式
系统误差合成的计算公式:线性公式
系统误差合成的计算公式: 三角函数的系统误差
系统误差合成的计算公式: 三角函数的系统误差
系统误差合成的计算公式:计算举例
系统误差合成的计算公式:计算举例
举例：
计算中注意的问题
以上讲的都是定值系统误差，对于变值系统误差，其合 成非常复杂，往往难以计算，故宜在合成前做修正或消除。 至于复杂规律变化的系统误差，按传统习惯是当作随机 误差来处理。
分析和选择测量方法
选择最佳函数误差公式：
一般情况下，间接测量中的部分误差项数愈少，则函数 误差也会愈小，即直接测量值的数目愈少，函数误差也就会 愈少。
所以在间接测量中如果可由不同的函数公式来表示，则 应选取包含直接测量值最少的函数公式。
若不同的函数公式所包含的直接测量数目相同，则应选 取误差较小的直接测量值的函数公式。 如测量零件尺寸时，在相同的条件下测量内尺寸的误差 要比测量外尺寸的误差大，应尽量选择包含测量外尺寸的函 数公式。
主讲：马冰
主要内容：
误差的传递 系统误差的合成
随机误差的合成
误差合成原理的实际应用
“相关”问题
第一节 误差的传递
概述
任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量 过程中各个环节一系列误差因素共同作用的结果。如何 正确地分析和综合这些误差因素，并正确地表述这些误 差的综合影响，这就是误差合成要研究的基本内容。 本章较为全面地论述了误差合成与分配的基本规律 和基本方法，这些规律和方法不仅应用于测量数据处理 中给出测量结果的精度，而且还适用于测量方法和仪器 装置的精度分析计算以及解决测量方法的拟定和仪器设 计中的误差分配、微小误差取舍及最佳测量方案确定等 问题。
系统误差的合成的计算公式
系统误差合成的计算公式:线性公式
系统误差合成的计算公式: 三角函数的系统误差
系统误差合成的计算公式: 三角函数的系统误差
系统误差合成的计算公式:计算举例
系统误差合成的计算公式:计算举例
举例：
计算中注意的问题
以上讲的都是定值系统误差，对于变值系统误差，其合 成非常复杂，往往难以计算，故宜在合成前做修正或消除。 至于复杂规律变化的系统误差，按传统习惯是当作随机 误差来处理。
分析和选择测量方法
选择最佳函数误差公式：
一般情况下，间接测量中的部分误差项数愈少，则函数 误差也会愈小，即直接测量值的数目愈少，函数误差也就会 愈少。
所以在间接测量中如果可由不同的函数公式来表示，则 应选取包含直接测量值最少的函数公式。
若不同的函数公式所包含的直接测量数目相同，则应选 取误差较小的直接测量值的函数公式。 如测量零件尺寸时，在相同的条件下测量内尺寸的误差 要比测量外尺寸的误差大，应尽量选择包含测量外尺寸的函 数公式。
误差的合成与分解
1 f f f f f ( x1 x2 x3 x4 xn ) cos x1 x2 x3 x4 xn
同理可得其他三角函数的角度系统误差公式。书中 59 页。 例题 3-1/p59 例题 3-2/p59
【例 6-1】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓 高 h 50mm ，弦长 l 500mm ，工厂检验部门又用高准确度等级的卡尺量
其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差 ）
（一）函数系统误差的计算
在间接测量中，函数的基本形式主要为初等函数，而且一般为多元函数，其
表达式为：
y f x1 , x2 , x3 ... xn
式中 x1,x2,…,xn -----各个直接测量值； y ----间接测量值。 对于多元函数，其增量可用函数的全微分来表示，则上式的函数增量 dy 为
dx3 ---- dxn ，从而可近似的得到函数的系统误差为：
y
f f f f f x1 x2 x3 x 4 x n x1 x 2 x3 x4 x n
（6-2）
式（6-2）称为函数系统误差公式，而 f / xi 为各个直接测量值的误差传递 函数。有些情况下的函数公式较简单，则可直接求得函数的系统误差。 例如：若函数形式为线性公式
直径的系统误差
f f l h 7.4mm l h 故修正后的测量结果 D D0 D 1300 7.4 1292.6mm D
二、函数随机误差的计算 随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的，对于函数的随误差， 也是用函数的标准偏差来评定。因此，函数的随机误差的计算，就是研究函 y 的标准偏差与各测量值 x1,x2,…,xn 的标准偏差之间的关系。 函数的一般形式为：y=f(x1,x2,…xn) 设对各测量值各进行 N 次等精度测量，其测量值为： 对 x1:x11,x12,…,xN 对 x2:x21,x22,…x2N ┆ 对 xn:xm,xn2,…xnN σ σ
误差的合成.
误差的合成
关于误差合成的理论和方法，在误差理论的教科书中有详尽的介绍，此处不必赘述。
仪器精度分析中最常用的方法如下：
1.已定系统误差的合成
对于符号和大小均为己知的误差称已定系统误差。
这类误差按代数和合成，即
式中，εj为各已知的原始误差所引起的仪器误差，它等于原始误差与传递系数的乘积。
传递系数可由前面介绍的各种方法求出。
2.未定系统误差与随机误差的合成
式中，S1,S2，···，sP为A类（随机）不确定度分量；U1,U2，…，Ur 为确定度分量，
式中，ej为误差界（-ej,ej）；K为置信因子，可以根据分布特性确定。
式（4－17）中的R是误差之间的协方差之和。
在多数情况下，可按所谓的“误差独立作用”原理，近似地令R=0。
3.仪器的总不确定度
式中，凡为置信因子，可以根据组成误差的数目和分布特性确定。
4，仪器总误差
由于仪器制造中多数随机误差与未定系统误差属于正态分布，再加上考虑误差独立作用原理，因此在实用中（尤其在初步计算时）常常采用式（4－21）的简化形式，即
式中，εi为各项未定系统误差与随机误差分量的极限值，t＝1，2，3，…，n。
5．精度分析举例
用光波扫描干涉法测量磁盘磁膜厚度的公式为
式中，va、vb为波数，它们分别与波长九、九相对应；刀为薄膜折射率；甲为入射角。
欢迎转载，信息。
误差分析与测量不确定度评定
当今保存在国 际计量局的铂 铱合金千克原 器的最小不确 定度为0.004mg
误差是针对真值而言的，真值一般都是
指约定真值。
1-20
误差分析与测量不确定度评定 第一章 概述
二、误差的分类
表示形式
误差
性质特点
绝对 误差
相对 误差
系统 误差
随机 粗大 误差 误差
1-21
误差分析与测量不确定度评定 第一章 概述
1-18
误差分析与测量不确定度评定 第一章 概述
一、测量误差的定义
测量误差（error of measurement） 测量误差 ＝ 测得值 － 真值
真值（true value） 是指一个特定的物理量 在一定条件下所定义的 客观量值，又称为理论 值或定义值。理论真值 一般只存在于纯理论之 中。
三角形内角之 和恒为180º
温度、湿度、压 力、气体浓度、
指非电子学中量的测量。
机械力、材料光 折射率等非电学
参数的测量
1-14
误差分析与测量不确定度评定 第一章 概述
根据对测量结果的要求不同分类
工程测量
指对测量误差要求不高的测量。用于这种测量的设备和 仪器的灵敏度和准确度比较低，对测量环境没有严格要求。
因此，对测量结果只需给出测量值。
（公式1） Δxm = ± xm × s%
最大相对误差为
（公式2）
rx
=
Δxm x
=±
xm x
× s%
选定仪表后，被测量的值越接近于 标称范围（或量程）上限，测量的 相对误差越小，测量越准确
绝对误差的最大值与 该仪表的标称范围 （或量程）上限xm成 正比
1-28
误差分析与测量不确定度评定 第一章 概述
误差的合成与分配
二、随机误差的合成 ➢标准差的合成
随机误差具有随机性，其取值是不可预知的，并用测量 的标准差或极限误差来表征其取值的分散程度。随机误差的 合成是采用方和根的方法，同时还要考虑到各个误差传递系 数和误差间的相关性影响。
标准差的合成 若有q个单项随机误差，它们的标准差分别为：
其相应的误差传递系数为：
这些误差传递系数是由测量的具体情况来确定的，例如 对间接测量可按式（3-13）来求得，对直接测量则根据各个 误差因素对测量结果的影响情况来确定。
一、函数误差 ➢函数系统误差计算
若函数形式为线性公式：
则函数的系统误差为：
当
时，则有：
当函数为各测量值之和时，其函数系统误差 也为各测量值系统误差之和。
一、函数误差 ➢函数系统误差计算
在间接测量中，也常遇到角度测量，其函数关 系为三角函数式，对于三角函数的系统误差，可按 上述同样方法进行计算。
若三角函数为：
s
过函数关系计算求得直径。
D
如果：
求测量结果。
一、函数误差 ➢函数随机误差计算
随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来 评定的,对于函数的随机误差,也是用函数的标准差 来进行评定.因此,函数随机误差计算,就是研究函 数y的标准差与各测量值标准差之间的关系。
➢函数：
➢多元函数增量 ➢随机误差：：
➢系统随机误差 ：
误差间的线性相关关系是指它们具有线性依赖关系， 这种依赖关系有强有弱。联系最强时，在平均意义上，一 个误差的取值完全决定了另一个误差的取值，此时两误差 间具有确定的线性函数关系。当两误差间的线性依赖关系 最弱时，一个误差的取值与另一个误差的取值无关，这是 互不相关的情况。
一、函数误差 ➢误差间的相关
《误差的合成与分配》课件
《误差的合成与分配》 PPT课件
欢迎来到《误差的合成与分配》PPT课件！本课程将带您深入了解误差的合成 和分配的重要性，以及应用中的实际方法和注意事项。
误差来源与种类介绍
系统误差
了解不同来源的误差会帮助我们更好地评估测量的准确性。
随机误差
研究随机误差的本质和影响，以便能更好地处理和控制。
人为误差
了解人为误差产生的原因与解决方法，提高测量系统的精度。
误差计算
学习如何计算不同类型误差的方法，从而更好地控 制它们。
合成误差的概念
合成误差是在测量过程中多个误差因素共同作用下产生的综合效果。
合成误差的公式和计算方法
通过合成误差的公式和计算方法，我们可以对多个误差因素的影响进行全面 评估。
合成误差实例分析
实验误差
通过实验示例，深入探讨合成误 差的影响和解决方案。
误差的量化方法
了解不同的量化方法有助于我们确定误差的大小和影响。
1 标准差
通过计算一系列测量值的标准差来评估误差的大小。
2 相对误差
以参考值为基准，计算测量值与参考值之间的差异度和可信度。
误差的定义和计算
误差定义
了解误差的定义有助于我们准确理解其在测量中的 作用。
测量误差
了解不同类型测量误差的实例分 析，提高测量准确性。
建造误差
研究建造行业中常见的误差实例， 提高工程质量。
合成误差的不确定度分析
了解合成误差的不确定度有助于更准确地评估测量结果。
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误差来源与种类介绍
系统误差
了解不同来源的误差会帮助我们更好地评估测量的准确性。
随机误差
研究随机误差的本质和影响，以便能更好地处理和控制。
人为误差
了解人为误差产生的原因与解决方法，提高测量系统的精度。
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学习如何计算不同类型误差的方法，从而更好地控 制它们。
合成误差的概念
合成误差是在测量过程中多个误差因素共同作用下产生的综合效果。
合成误差的公式和计算方法
通过合成误差的公式和计算方法，我们可以对多个误差因素的影响进行全面 评估。
合成误差实例分析
实验误差
通过实验示例，深入探讨合成误 差的影响和解决方案。
误差的量化方法
了解不同的量化方法有助于我们确定误差的大小和影响。
1 标准差
通过计算一系列测量值的标准差来评估误差的大小。
2 相对误差
以参考值为基准，计算测量值与参考值之间的差异度和可信度。
误差的定义和计算
误差定义
了解误差的定义有助于我们准确理解其在测量中的 作用。
测量误差
了解不同类型测量误差的实例分 析，提高测量准确性。
建造误差
研究建造行业中常见的误差实例， 提高工程质量。
合成误差的不确定度分析
了解合成误差的不确定度有助于更准确地评估测量结果。
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h l D 2
【解】建立间接测量大工件直径的函数模型
处的直径测量值
l2 D h 1 3 0 0 m m 0 4 h
l2 D h 4h 5 0 0 m m 不考虑测量值的系统误差，可求出在 h 5 0 m ml
10
计算结果
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 5 0 5 0 . 10 . 1 m m l 5 0 0 4 9 9 1 m m
D D D 1 3 0 0 7 . 4 1 2 9 2 . 6 m m 0
11
二、函数随机误差计算
12
数学模型
函数的一般形式
y f( xx ,2 , . . . ,x ) 1 n
变量中有随机误差，即
y y f ( x x , x , , x x ) 1 1 2x 2 n n
2
x n
2
或 令
f 2 f 2 f 2 x x y 1 2 x n x x x 1 2 n
f ai xi
a a a
y 2 2 1x 1 2 2 2 x 2
【解】
故有
2 62 2 ( 5 0 m m ) （ 1 1 . 51 0 ） ( 0 . 0 2 9 ) 2 2 2 2 ( 2 5 n m ) ( 9 . 7 n m ) ( 2 . 9 n m ) ( 1 6 . 6 n m ) 1 0 0 2 n m
2 2 n x n
15
函数的极限误差公式
当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标 准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式
a a a
y 22 1x 1 22 2 x 2
22 n x n
xi x第 i i个直接测得量 的极限误差16三角形式的函数随机误差公式
函数形式为
【解】
有
l h 2 2 2 2 4 5 0 . 0 1 2 4 0 . 0 0 5 1 6 91 0m m 0 .1 3 m m D
D D D 1 2 9 2 . 6 m m 0 .1 3 m m 0 D
18
f2 2 f2 2 2 ( ) ( ) D l h
1 2 3 4 5 6 121 4 53 6
假设各个量之间的相关系数均为0。试用仿真计算 的方法分析该校准的误差分布及其标准差。 2 2 2 2 2 62 ( 2 5 n m ) ( 9 . 7 n m ) ( 5 0 m m )(0 . 1 )( 0 . 5 81 0) y
误差传播系数为
2 2 l 5 f 0 0 1 1 2 4 2 2 h 4 h 45 0 f l 5 0 0 5 l 2 h 2 5 0
直径的系统误差
故修正后的测量结果
f f D l h7 . 4 m m l h
2 2 2
17
【例2】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。车间工人用一把卡尺量 5 0 m m 5 0 0 m m 得弓高 h ，弦长 l ，工厂检验部门又用高准确度 5 0 . 1 m m 4 9 9 m m。已知车间工 等级的卡尺量得弓高 h ，弦长l 人测量该工件弓高的标准差 ，弦长的标准 0 . 0 0 5 m m h 0 .0 1 m m 差 ，试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的 l 测量结果。
计算机模拟测量系统
x y0 y=F (x) (y) y
x
x y= F(x) s
y s(y)
26
【例3】
用相同标称长度50mm的标准块规校准某块规，通 过两块规长度的直接比较，输出两者的长度差有如下 公式 y f ( x , x , x , x , x , x ) x x x ( x x x x )
20
函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性 的传播关系
相关系数的确定－直接判断法
0 可判断 i j 的情形
x两分量之间没有相互依赖关系的影 断定 x 与 i j 响 当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈 正负交替变化，反之亦然 x属于完全不相干的两类体系分量，如 x与 i j 人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的 误差分量 x虽相互有影响，但其影响甚微，视为可 x与 i j 忽略不计的弱相关
s i n f ( xx ,2 , . . . , x ) 1 n
函数随机误差公式为
1 f 2 f 2 f 2 x x 1 2 x n c o s x x x 1 2 n
2
2
2
xi x第 i i个直接测得量 的标准差
i j第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数 D i个测量值和第 j个测量值之间的协方差 ij ij第 x i x j
f xi y x第i个直接测得量 对间接量 在该测量点 i
( x ,x , ,x ) 1 2 n
故修正后的测量结果
2、 相关系数估计
19
相关系数对函数误差的影响
函数随机误差公式
2 y
2 n 2 2 f f f f f 2 x x x 1 2 n i jx ix j x x x x x 1 ij 1 2 n i j
c o s f xx ,2 , . . . , x 1 n
1 n f x i c o s i1 x i 1 n f x i s in i1 x i
9
【例1】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。 如图所示，车间工人用一把卡尺量 h 5 0 m m 得弓高 ，弦长 ，工 l 5 0 0 m m 厂检验部门又用高准确度等级的卡 尺量得弓高 ，弦长 试 l 4 9 9 m m h 5 0 . 1 m m 问车间工人测量该工件直径的系统 误差，并求修正后的测量结果。
23
3、 函数误差分布的模拟计算(自学)
随机误差的分布完整地描述了该误差的全部特征
y f( xx ,2 , . . . ,x ) 1 n
p(y)
p1( x ) p 2 ( x )
pn(x)
分布密度函数
解析方法 难以求得
计算机数值仿真计算
24
计算机随机模拟法的步骤
,x , ,x ①输入各输入量 x 及其算术平均值 1 2 n , , , 偏差
3
第一节 函数误差
4
基本概念
间接测量
通过直接测得的量与被测量之间的函数关系 计算出被测量
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量及 其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函 数误差
5
一、函数系统误差计算
6
间接测量数学模型
间接测量的数学模型
y f( xx ,2 , . . . ,x ) 1 n
系统误差公式
y a xa x . . . a x 1 1 2 2 n n
2、三角函数形式
当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测 量值系统误差之和
当ai 1
y x x . . . x 1 2 n
s i n f xx ,2 , . . . , x 1 n
泰勒展开，并取其一阶项作为近似值，可得
f f f y y f ( x , x , . . . , x ) x x x 12 n 1 2 n x x x 1 2 n
f f f y x x x 1 2 n x x x 1 2 n
22
相关系数的统计计算公式
根据( x i , x的多组测量的对应值 j) 公式计算相关系数
( x i,x j)
( x x) ( x
i k i k k k j k
,x x ，按如下统计
ik jk
x j)
2 2 ( x x ) ( x x ) ik i jk j
x分别为 x jk x、 、 x i k 的算术平均值 i j
x i 和 y 的量纲或单位相同，则 f x i 起到误差放大或缩小的作用 x i 和 y 的量纲或单位不相同，则 f x i 起到误差单位换算的作用
8
几种简单函数的系统误差
x a x . . . a x 1、线性函数 ya 1 1 22 nn
1 2 n
x ,x , ,x 和标准 1 2 n
②产生如正态分布或均匀分布等所需误差分布等大 样本数的伪随机数，并绘制描述各输入直接量误差 分布的统计直方图 ③按函数测量模型公式计算该样本数的间接量 y ， 并绘制该函数误差分布的统计直方图； ④统计并输出该间接量的最佳估计值、标准差与及 误差分布区间半宽度。 25
得到
13
1、 函数标准差计算
2 y
2 n 2 2 f f f f f 2 D x x x 1 2 n i j x x x x x 1 ij 1 2 n i j
2
2
2
或
2 n 2 2 f f f f f 2 2 x x x y 1 2 n i jx ix j x x x x x 1 ij 1 2 n i j
14
处的误差传播系数
相互独立的函数标准差计算
【解】建立间接测量大工件直径的函数模型
处的直径测量值
l2 D h 1 3 0 0 m m 0 4 h
l2 D h 4h 5 0 0 m m 不考虑测量值的系统误差，可求出在 h 5 0 m ml
10
计算结果
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 5 0 5 0 . 10 . 1 m m l 5 0 0 4 9 9 1 m m
D D D 1 3 0 0 7 . 4 1 2 9 2 . 6 m m 0
11
二、函数随机误差计算
12
数学模型
函数的一般形式
y f( xx ,2 , . . . ,x ) 1 n
变量中有随机误差，即
y y f ( x x , x , , x x ) 1 1 2x 2 n n
2
x n
2
或 令
f 2 f 2 f 2 x x y 1 2 x n x x x 1 2 n
f ai xi
a a a
y 2 2 1x 1 2 2 2 x 2
【解】
故有
2 62 2 ( 5 0 m m ) （ 1 1 . 51 0 ） ( 0 . 0 2 9 ) 2 2 2 2 ( 2 5 n m ) ( 9 . 7 n m ) ( 2 . 9 n m ) ( 1 6 . 6 n m ) 1 0 0 2 n m
2 2 n x n
15
函数的极限误差公式
当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标 准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式
a a a
y 22 1x 1 22 2 x 2
22 n x n
xi x第 i i个直接测得量 的极限误差16三角形式的函数随机误差公式
函数形式为
【解】
有
l h 2 2 2 2 4 5 0 . 0 1 2 4 0 . 0 0 5 1 6 91 0m m 0 .1 3 m m D
D D D 1 2 9 2 . 6 m m 0 .1 3 m m 0 D
18
f2 2 f2 2 2 ( ) ( ) D l h
1 2 3 4 5 6 121 4 53 6
假设各个量之间的相关系数均为0。试用仿真计算 的方法分析该校准的误差分布及其标准差。 2 2 2 2 2 62 ( 2 5 n m ) ( 9 . 7 n m ) ( 5 0 m m )(0 . 1 )( 0 . 5 81 0) y
误差传播系数为
2 2 l 5 f 0 0 1 1 2 4 2 2 h 4 h 45 0 f l 5 0 0 5 l 2 h 2 5 0
直径的系统误差
故修正后的测量结果
f f D l h7 . 4 m m l h
2 2 2
17
【例2】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。车间工人用一把卡尺量 5 0 m m 5 0 0 m m 得弓高 h ，弦长 l ，工厂检验部门又用高准确度 5 0 . 1 m m 4 9 9 m m。已知车间工 等级的卡尺量得弓高 h ，弦长l 人测量该工件弓高的标准差 ，弦长的标准 0 . 0 0 5 m m h 0 .0 1 m m 差 ，试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的 l 测量结果。
计算机模拟测量系统
x y0 y=F (x) (y) y
x
x y= F(x) s
y s(y)
26
【例3】
用相同标称长度50mm的标准块规校准某块规，通 过两块规长度的直接比较，输出两者的长度差有如下 公式 y f ( x , x , x , x , x , x ) x x x ( x x x x )
20
函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性 的传播关系
相关系数的确定－直接判断法
0 可判断 i j 的情形
x两分量之间没有相互依赖关系的影 断定 x 与 i j 响 当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈 正负交替变化，反之亦然 x属于完全不相干的两类体系分量，如 x与 i j 人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的 误差分量 x虽相互有影响，但其影响甚微，视为可 x与 i j 忽略不计的弱相关
s i n f ( xx ,2 , . . . , x ) 1 n
函数随机误差公式为
1 f 2 f 2 f 2 x x 1 2 x n c o s x x x 1 2 n
2
2
2
xi x第 i i个直接测得量 的标准差
i j第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数 D i个测量值和第 j个测量值之间的协方差 ij ij第 x i x j
f xi y x第i个直接测得量 对间接量 在该测量点 i
( x ,x , ,x ) 1 2 n
故修正后的测量结果
2、 相关系数估计
19
相关系数对函数误差的影响
函数随机误差公式
2 y
2 n 2 2 f f f f f 2 x x x 1 2 n i jx ix j x x x x x 1 ij 1 2 n i j
c o s f xx ,2 , . . . , x 1 n
1 n f x i c o s i1 x i 1 n f x i s in i1 x i
9
【例1】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。 如图所示，车间工人用一把卡尺量 h 5 0 m m 得弓高 ，弦长 ，工 l 5 0 0 m m 厂检验部门又用高准确度等级的卡 尺量得弓高 ，弦长 试 l 4 9 9 m m h 5 0 . 1 m m 问车间工人测量该工件直径的系统 误差，并求修正后的测量结果。
23
3、 函数误差分布的模拟计算(自学)
随机误差的分布完整地描述了该误差的全部特征
y f( xx ,2 , . . . ,x ) 1 n
p(y)
p1( x ) p 2 ( x )
pn(x)
分布密度函数
解析方法 难以求得
计算机数值仿真计算
24
计算机随机模拟法的步骤
,x , ,x ①输入各输入量 x 及其算术平均值 1 2 n , , , 偏差
3
第一节 函数误差
4
基本概念
间接测量
通过直接测得的量与被测量之间的函数关系 计算出被测量
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量及 其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函 数误差
5
一、函数系统误差计算
6
间接测量数学模型
间接测量的数学模型
y f( xx ,2 , . . . ,x ) 1 n
系统误差公式
y a xa x . . . a x 1 1 2 2 n n
2、三角函数形式
当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测 量值系统误差之和
当ai 1
y x x . . . x 1 2 n
s i n f xx ,2 , . . . , x 1 n
泰勒展开，并取其一阶项作为近似值，可得
f f f y y f ( x , x , . . . , x ) x x x 12 n 1 2 n x x x 1 2 n
f f f y x x x 1 2 n x x x 1 2 n
22
相关系数的统计计算公式
根据( x i , x的多组测量的对应值 j) 公式计算相关系数
( x i,x j)
( x x) ( x
i k i k k k j k
,x x ，按如下统计
ik jk
x j)
2 2 ( x x ) ( x x ) ik i jk j
x分别为 x jk x、 、 x i k 的算术平均值 i j
x i 和 y 的量纲或单位相同，则 f x i 起到误差放大或缩小的作用 x i 和 y 的量纲或单位不相同，则 f x i 起到误差单位换算的作用
8
几种简单函数的系统误差
x a x . . . a x 1、线性函数 ya 1 1 22 nn
1 2 n
x ,x , ,x 和标准 1 2 n
②产生如正态分布或均匀分布等所需误差分布等大 样本数的伪随机数，并绘制描述各输入直接量误差 分布的统计直方图 ③按函数测量模型公式计算该样本数的间接量 y ， 并绘制该函数误差分布的统计直方图； ④统计并输出该间接量的最佳估计值、标准差与及 误差分布区间半宽度。 25
得到
13
1、 函数标准差计算
2 y
2 n 2 2 f f f f f 2 D x x x 1 2 n i j x x x x x 1 ij 1 2 n i j
2
2
2
或
2 n 2 2 f f f f f 2 2 x x x y 1 2 n i jx ix j x x x x x 1 ij 1 2 n i j
14
处的误差传播系数
相互独立的函数标准差计算