函数误差与误差合成
误差理论与大数据处理实验报告材料
标准文档误差理论与数据处理实验报告姓名：黄大洲学号：3111002350班级：11级计测1班指导老师：陈益民实验一 误差的基本性质与处理一、实验目的了解误差的基本性质以及处理方法二、实验原理（1）算术平均值对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。
1、算术平均值的意义：在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n 而得的值成为算术平均值。
设 1l ，2l ，…,n l 为n 次测量所得的值，则算术平均值121...nin i l l l l x n n=++==∑算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x 必然趋近于真值0L 。
i v = i l -xi l ——第i 个测量值，i =1,2,...,;n i v ——i l 的残余误差（简称残差）2、算术平均值的计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。
残余误差代数和为：11n niii i v l nx ===-∑∑当x 为未经凑整的准确数时，则有：1nii v==∑01）残余误差代数和应符合：当1n ii l =∑=nx ，求得的x 为非凑整的准确数时，1nii v =∑为零；当1nii l =∑>nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1nii v =∑为正；其大小为求x 时的余数。
当1n ii l =∑<nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1nii v =∑为负；其大小为求x 时的亏数。
2）残余误差代数和绝对值应符合： 当n 为偶数时，1ni i v =∑≤2n A; 当n 为奇数时，1nii v =∑≤0.52n A ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 式中A 为实际求得的算术平均值x 末位数的一个单位。
（2）测量的标准差测量的标准偏差称为标准差，也可以称之为均方根误差。
1、测量列中单次测量的标准差2222121...nini nnδδδδσ=+++==∑式中 n —测量次数（应充分大）i δ —测得值与被测量值的真值之差211nii vn σ==-∑2、测量列算术平均值的标准差：x nσσ=三、实验内容：1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。
03第三章第2节 随机误差的合成
用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无 论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标 准差，均可计算出总的标准差 当误差传播系数 ai 1 、且各相关系数均可视为0的情形
2 i i 1
q
视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或 者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲 的分量
q
q
（3-35）
2 a ii i 1
q
（3-36）
各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且 他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用 8 的极限误差合成公式
第二节
随机误差的合成
1 2
课外：望远镜的放大率 D f f 已测得物镜主焦 f1 1 19.8 0.2 cm 目镜的主焦距 f2 2 0.800 0.005 cm 求放大率的标准差？ 解：由误差传递公式
由间接测量的显函数模型求得ai f xi 根据实际经验给出 知道影响测量结果的误差因素 知道每个 ai 和 i
yi ai i 而不
2
第二节
则合成标准差
随机误差的合成
2 ( a ) i i i 1 q
若各个误差互不相关，即相关系数 ij 0
（3-29）
标准差合成
极限误差合成
1
第二节
一、标准差合成
随机误差的合成
合成标准差表达式:
(a )
i 1 i i
q
2
2 ij ai a j i j
1i j
q
（3-28）
q个单项随机误差，标准差 误差传播系数 a1 , a2 ,
误差理论与数据处理第六版
第3章 误差的合成与分解3-1 相对测量时需用54.255mm 的量块组做标准件，量块组由4块量块研合而成，它们的基本尺寸为：140l mm =，140l mm =，212l mm =，3 1.25l mm =，4 1.005l mm =。
经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分10.7l m μ∆=-，20.5l m μ∆=+，30.3l m μ∆=-，40.1l m μ∆=+；lim 10.35l m δμ=±，lim 20.25l m δμ=±，lim 30.20l m δμ=±，lim 40.20l m δμ=±。
试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。
【解】量块组的关系为：1234L l l l l =+++，显然本题是一个关于函数系统误差和函数随机误差的计算问题。
已知个组成块的尺寸偏差（属系统误差），则可计算量块组的系统误差。
12340.70.50.30.10.4L l l l l m μ∆=∆+∆+∆+∆=-+-+=-所以，量块组按基本尺寸使用时的修正值E 为：(0.4)0.4E L m μ=-∆=--= 量块组按基本尺寸使用时的测量误差（系统极限误差）为：lim 0.515L m δμ===±3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为：161.6a mm =，44.5b mm =，11.2c mm =，已知测量的系统误差为 1.2a mm ∆=，0.8b mm ∆=-，0.5c mm ∆=，测量的极限误差为0.8a mm δ=±，0.5b mm δ=±，0.5c mm δ=±，试求立方体的体积及其体积的极限误差。
【解】立方体体积： V=abc ，若不考虑测得值的系统误差，则计算体积为：0161.644.511.280541.44V abc mm ==⨯⨯=体积V 的系统误差为：31.20.80.5161.644.511.2[]80541.44()2745.744()V V V a b ca b c a b c V a b c abc mm ∂∂∂∆∆∆∂∂∂-∆=∆+∆+∆=++=++=考虑测量系统误差后的立方体体积：3077795.69677795.70()V V V mm =-∆=≈又直接测量值存在极限误差，则间接测量体积存在的极限误差为：lim 33729.1()V mm δ=====±故测量结果为：3lim 77795.703729.1()V V mm δ±=±3-3 长方体的边长分别为1a 、2a 、3a ，测量时：①标准差均为σ；②标准差各为1σ、2σ、3σ。
函数误差与误差合成
第一节 函数误差
4
基本概念
间接测量
通过直接测得的量与被测量之间的函数关系 计算出被测量
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量及 其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函 数误差
5
一、函数系统误差计算
6
间接测量数学模型
间接测量的数学模型
yf(x1,x2,...,xn)
▪ x1,x2,与,被xn测量有函数关系的各个直接测量值 及其其他非测量值，又称输入量 ▪间接测量值，又称输出量
函数误差与误差合 成
教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基 本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量 方案的确定等问题 。通过本章的学习，读者 应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以 及误差的合成和分配。
2
教学重点和难点
▪ 函数系统误差 ▪ 函数随机误差 ▪ 函数误差分布的模拟计算 ▪ 随机误差的合成 ▪ 未定系统误差和随机误差的合成 ▪ 误差分配 ▪ 微小误差取舍准则 ▪ 最佳测量方案的确定
x2 2 a n 2
2 xn
15
函数的极限误差公式
当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标 准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式
ya 12x 2 1a22x 2 2 an2x 2 n
▪ x第i i个直接测得量 的x i极限误差
16
三角形式的函数随机误差公式
函数形式为
sinf(x1,x2,...,xn)
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项 Dij ij 0
2
2
2
y2 x f1
x1 2 x f2
x2 2 x fn
2 xn
或
y x f1 2
误差的合成、分配和传递
在通常情况下，未定系统总误差可以用极限误差的 形式给出误差的最大变化范围，也可用标准差来表示。
按极限误差合成 按标准差合成
三、误差的合成
1)按极限误差合成 a.绝对值合成法： 表达式：
( e1 e2
em ) ei
i 1 m
其中ei为极限误差。当m大于10时，合成误差估计值往 往偏大。一般应用于m小于10。
则有：
i
x f xi ci i xi y y
x
i
i
xi xi
相对误差传递公式
y i x
i 1
n
一、误差的传递
和差函数的误差传递
y x1 x2
c1 f 1 x1
x1 y
c2
f 1 x2
x2 y
1 c1
2 c2
y
1i j
n
对 y
y y
(
i 1
n
x x f )0 i 两边求方差，则得： xi y xi
随机相对误差的传递公式
y
n f 2 xi 2 2 f xi f x j （ ） ( ) 2 [( ） ] [( ） ]i , j i j 0 i x y x y x y i 1 1i j i i j n
2 i 1i j
1 y
x
i 1 2 ij i , j i j
1i j
n
在水文测验误差分析中，常对上式进行简化。假定各直接被测量的相对 标准差相等，再假定各直接被测量之间不存在相关关系，则变量和的相 对标准差传递公式变为： x m 2 1 m 2 灵敏系数平方和 ny xi xi y i 1 y i 1 的方根
误差理论与数据处理实验报告.
误差理论与数据处理实验报告姓名：黄大洲学号：3111002350班级：11级计测1班指导老师：陈益民实验一 误差的基本性质与处理一、实验目的了解误差的基本性质以及处理方法二、实验原理（1）算术平均值对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。
1、算术平均值的意义：在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n 而得的值成为算术平均值。
设 1l ，2l ，…,n l 为n 次测量所得的值，则算术平均值121...nin i l l l l x n n=++==∑算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x 必然趋近于真值0L 。
i v = i l -xi l ——第i 个测量值，i =1,2,...,;n i v ——i l 的残余误差（简称残差）2、算术平均值的计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。
残余误差代数和为：11n niii i v l nx ===-∑∑当x 为未经凑整的准确数时，则有：1nii v==∑01）残余误差代数和应符合：当1n ii l =∑=nx ，求得的x 为非凑整的准确数时，1nii v =∑为零；当1nii l =∑>nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1nii v =∑为正；其大小为求x 时的余数。
当1n ii l =∑<nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1nii v =∑为负；其大小为求x 时的亏数。
2）残余误差代数和绝对值应符合： 当n 为偶数时，1ni i v =∑≤2n A; 当n 为奇数时，1ni i v =∑≤0.52n A ⎛⎫- ⎪⎝⎭式中A 为实际求得的算术平均值x 末位数的一个单位。
（2）测量的标准差测量的标准偏差称为标准差，也可以称之为均方根误差。
1、测量列中单次测量的标准差2222121...nini nnδδδδσ=+++==∑式中 n —测量次数（应充分大）i δ —测得值与被测量值的真值之差211nii vn σ==-∑2、测量列算术平均值的标准差：x nσσ=三、实验内容：1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。
电气测试4 2_6测量数据处理 7误差合成与分配
1
2017-02-17
例 2-12
用一块 U m =100V，s＝0.5级电压表进行测量，其示值为 85.35V，试确定有效数字位数。 解：该量程的最大误差为： •
2.6.5 等精密度测量结果的处理步骤
对某一被测量进行等密度测量时，其测量值可能同时含 有随机误差、系统误差和粗大误差。为了合理估算其测 量结果，写出正确的测量报告，必须对测量数据进行分 析和处理。 数据处理的基本步骤如下： ① 用修正值等方法，减小恒值系统误差的影响。 n ② 求算术平均值 x 1 x i n i 1 式中，x 是指可能含有粗差在内的平均值。
i xi x
i 1
i 0
n
若 i 的代数和约等于零，说明 的代数和约等于零 说明 x 的计算是正确的；否则 的计算是正确的 否则 说明计算 x 时有错，要重新计算。 ˆ 。利用贝赛尔公式 ④ 求标准差的估计值
ˆ
1 n 2 i n 1 i 1
9
10
ˆx ⑧ 求算术平均值标准差估计值
3
2.6.2 有效数字的位数
• 所谓有效数字的位数，是指在一个数值中，从第一个非零 的数算起，到最末一位数为止，都叫有效数字的位数。例 如，0.27是两位有效数字；10.30和2.102都是四位有效数 字。 • 可见，数字“0”在一个数值中，可能是有效数字，也可能 不是有效数字。
4
2.6.3 有效数字的运算规则 • 在数据处理中，常需要对一些精度不相等的数进 行四则运算。为了使计算简单准确，可首先将参 加 算的各个数 以精度最差的 个为基准进行 加运算的各个数，以精度最差的一个为基准进行 舍入处理（也可多保留一位欠准数字），计算结 果也按精度最差的那个数为基准作舍入处理（也 可以多保留一位或两位欠准数字）。这样使计算 简便准确。
第三章 误差的合成与分配 (全)
5
对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
sin 2
n
P56-57：例3-1；3-2
i 1
二. 函数随机误差计算
随机误差 取值的分散程度 标准差
函数的随机误差
..., xn 的标准差之间的关系。
取值的分散程度 标准差 函数随机误差计算：就是研究函数y 的标准差与各测量值 x1 , x2 , 以各测量值的随机误差δx1, δx2, …….. Δxn
2
2
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x ... x ) ... ( xn1 xn 2 ... xnN ) 21 22 2N x2 xn
2
n
1i j
(
m1
N
f f xim x jm ) xi x j
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其
它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。
研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。
对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算 在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
10
那么，三角函数的标准差公式？ 假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为 x1 , x2 ,... xn ,
可得相应的角度标准差公式。 （1）对于 sin f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... cos x1 x2 xn
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2
4
6
8
10
12
和检验法 前半残差和 v 0.013 后半残差和 v 0.0134
1
2
| v1 v1 | 0.013 (0.0134) 0.0264
2 ns 2 10 0.008343 0.052764
可判断该测量列无线性变化的系统误差存在。
1、线性函数
y a1 x1 a2 x2 ... an xn
系统误差公式 y a1x1 a2x2 ... anxn
（线性关系）
当 ai 1
y x1 x2 ... xn
2、三角函数形式
sin f x1, x2 ,..., xn
75 1810 3.3
o
第6章 函数误差与误差合成
知识点和教学目标
函数系统误差 函数随机误差 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案
第一节 函数误差
基本概念
由于被测对象的特点，不能直接进行测量， 或者直接测量难以保证测量准确度，需要采 用间接测量 间接测量
假定各组测量结果不存在系统误差和粗大 误差，求最后结果。
解：1、求加权算术平均值 首先根据测量次数确定各组的权，有
n1 6, n2 30, n3 24, n4 12, n5 12, n6 36 p1 6, p2 30, p3 24, p4 12, p5 12, p6 36
9 2
查表
p ( p 0.95, n 9) 0.512
有 p
故认为不存在显著的周期性系统误差。
计算结论
用9次测量数据统计检定中随机误差的大小，有
sx s9 9 0.04μm
修正后检定量块的结果为
x x ( ) 10.0005 (0.0001) 10.0004mm
解：1、计算算术平均值
1 10 x xi 24.7724mm 10 i 1 2、计算残余误差 vi xi x
n
1 2
xi
24.774 24.778
vi
0.0016 0.0056 -0.0014
3
4
24.771
24.780
0.0076
-0.0004 0.0046
5
6 7
24.772
( x ) t0.05 2 (n 1)s( x ) 2.306 0.000978 0.002256( mm)
9、写出最后测量结果
x 24.77489mm 24.7749mm
( x ) 0.002256mm 0.0023mm
x x x 24.7749 0.0023 mm
比较项目 内容
系统误差
随机误差
不 同
发 现 方 法
恒定系统误差 用标准器具计量检定 统计检验 可变系统误差 残差观察法 和检验法 小样本序差法
消除误差源 引入修正值 改进测量方法
减 小 点 方 法
重复测量n次取平 均值其标准差减小 为原 1 n
异 同 点
比较项 目内容
客观性
系统误差
随机误差
都是误差，它们都始终存在于一 切科学实验中
直接测量结果的数据处理步骤
1、计算算术平均值 2、计算残余误差 vi xi x 1 n 2 3、计算单次测量的标准差 s( x ) xi x n 1 i 1 4、判断系统误差
1 n x xi n i 1
恒定系统误差：用标准器具检定 可变系统误差：残差观察法、和检验法、小样本序差法（组内） 3σ准测(n>50)、Grubbs准测(3<n<50)、Dixon准则(3<n<30)
5、判别粗大误差
6、计算粗大误差剔除后的算术平均值和单次测量的标准差 7、计算算术平均值的标准差 s( x ) 8、计算算术平均值的极限误差（区间半宽度）s( x ) n 9、写出最后测量结果 ( x ) t s / n
直接测量结果的数据处理实例
对某一轴径等权测量10次 （mm），求测量结果
f xi (i 1,2,, n) 为各个输入量在该测量 点 ( x1, x2 ,, xn ) 处的误差传播系数 xi 和 y 的量纲或单位相同，则 f xi 起到误差放大或缩小的作用 xi 和 y 的量纲或单位不相同，则 f xi 起到误差单位换算的作用
常见函数的系统误差计算
24.777 24.773 24.775 24.774
3、计算单次测量的标准差
vi2
i 1 10
0.0006
0.0026 0.0016 -0.0224
8
s
10 1
0.008343mm
9
10
24.750
4、判断系统误差
0.01 0.005
根据残余误差观察法， 0 可以看出误差符号大 0 -0.005 体上正负相同，且无 -0.01 显著变化规律，因此， -0.015 可判断该测量列无变 -0.02 化的系统误差存在。
比较项目内容
定义 误差源
随机误差 无限多次测量的平 测得值与无限多次 均值与真值之差 测量的平均值之差
多与单个因素有关 多由大量均匀小的因素 共同影响造成
系统误差
不 同
本质特性 抵偿性 表示方法 数 字 特 征
确定性 无
确定性函数
统计规律 有 统计概率分布
点
恒定系统误差用算 用算术平均值代表期望值 术平均值对真值的 用实验标准差代表分散性 偏离来表示 非恒定系统误差用 用置信限代表结果的可能 多参数表示 取值范围
【解】 用基准量块检定该仪器含有+0.1 μm 的基本误差， 故用该仪器检定量块的修正值为-0.0001mm 。 计算
0.5 0.7 0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.6 0.4 10.0005mm 9 1 0, 2 0.2, 3 0.1, 4 0, 5 0.2, 6 0.1, 7 0, 8 0.1, 9 0.1μm x 10 s9 1 ( xi x )2 0.12μm 9 1
pv
i 1 m
m
2 i 1
(m 1) pi
i 1
1.1
3、求加权算术平均值的区间半宽度 因为该角度进行六组测量共有120个直接测 得值，可认为该测量列服从正态分布，取置 信因子k=3 最后结果的区间半宽度为
( ) 3s( ) 31.1 3.3
4、写出最后测量结果
o
75o1806 4 75o1810
2、求加权算术平均值的标准偏差 计算残差
v1 1 75o1806 75o1810 4
v2 0, v3 2, v4 6, v5 3, v5 1
s
f f f dy dx1 dx2 ... dxn x1 x2 xn
各个直接测量值的系统误差 x1 , x2 ,L , xn , 由于这些误差值皆较小，可以近似代替微分 量 dx1 , dx2 ,L , dxn
函数系统误差
y
的近似计算公式
f f f y x1 x2 ... xn x1 x2 xn
y f ( x1, x2 ,..., xn )
x1, x2 ,, xn 与被测量有函数关系的各个直接 测量值及其他非测量值，又称输入量 y 间接测量值 又称输出量
一、函数系统误差计算
函数系统误差公式
y f ( x1, x2 ,..., xn )
由高等数学可知，对于多元函数，其增量可 用函数的全微分表示，则函数增量
因
p1 : p2 : p3 : p4 : p5 : p6 1: 5 : 4 : 2 : 2 : 6
取 p1 1, p2 5, p3 4, p4 2, p5 2, p6 6
p
i
6
i
20
计算加权算术平均值
p
i 1 6 i
6
i
p
i 1
i
1 0 5 4 4 2 2 10 2 7 6 3 75 1806 20
计算结果
残差和统计法
0 0.2 0.1 0 0.1
1
1 2
0.1 0 0.1 0.1 0.1
2
0.1 0.1 0 2 9 s9 0.72
故可判断无显著的线性系统误差。 小样本序差统计法 8
1
B ( i i 1 )2 0.22 0.32 0.12 0.2 2 0.32 0.12 0.12 0.2 2 0.33 B A i 0.12 1.4 2A 1
x 1 xi 24.77489mm 9 i 1
9
s
v
i 1
9
2 i
91
0.002934mm
7、计算算术平均值的标准差
s( x ) 0.002934 s( x ) 0.000978mm n 9
8、计算算术平均值的极限误差（区间半宽度） 因为测量列的测量次数较少，算术平均值的区间半 宽度按t分布计算，查t分布临界值表 t0.05 2 (9 1) 2.306
通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算
出被测量 间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的 函数
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误
差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差