第二讲 二 第二课时 双曲线、抛物线的参数方程(优秀经典课时作业及答案详解)
数学导学案抛物线的参数方程及答案
数学导学案 主备人： 审核人： 学科领导： 班级： 小组： 姓名： 抛物线的参数方程【学习目标】1.了解抛物线的参数方程及参数的意义；2.能选取适当的参数求抛物线的参数方程；【重点难点】1、抛物线参数方程的定义及方法．(重点)2．选取适当的参数求抛物线的参数方程．(难点)【问题导学】一、复习圆、椭圆、双曲线的标准方程和对应的参数方程。
1、圆的标准方程： 圆的参数方程：2、椭圆的标准方程 椭圆的参数方程：（1）焦点在X 轴：（2）焦点在Y 轴：3、双曲线的标准方程（焦点在X 轴）： 双曲线的参数方程：（1）焦点在X 轴：（2）焦点在Y 轴：二、自主预习抛物线)0(22>=p px y 的参数方程___________________________抛物线)0(2-2>=p px y 的参数方程___________________________抛物线)0(y 2x 2>=p p 的参数方程___________________________抛物线)0(y 2-x 2>=p p 的参数方程___________________________ 【合作探究】 例1：已知O 是直角坐标原点，A,B 是抛物线)0(22>=p px y 上异于顶点的两动点， 且OB OA ⊥，AB OM ⊥并与AB 相交于点M ，求点M 的轨迹方程。
课本第33页例3 例2：在上例中，点A ，B 在什么位置时，△AOB 的面积最小？最小值是多少？ 课本第34页探究成功的秘诀公式是A x y z =++其中A 代表成功，x 代表艰苦的劳动，y 代表正确的方法，z 代表少说空话. ——爱因斯坦【当堂检测】 1、若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上，则PF 等于（ C ）A ．2B ．3C ．4D ．52、 抛物线22x my m =⎧⎨=-⎩（m 为参数）的焦点坐标是 （ C ）A ．(1,0)-B ．(0,1)-C ．(0,2)-D ．(2,0)-3. 已知曲线22()2x pt t p y pt ⎧=⎨=⎩为参数为正常数,上的两点,M N 对应的参数分别为12tt 和，120t t +=且，那么MN = （ C ）A ．1p tB ．12p tC ．14p tD ．18p t4、已知经过点)0,2(P ，斜率为34的直线和抛物线x y 22=相交于A,B 两点，设线段AB 的中点为M 。
双曲线及抛物线的参数方程（含答案）
博文教育讲义课题：双曲线的参数方程学习目标：1、 理解双曲线的参数方程，掌握参数方程的应用2、 通过学习圆锥曲线的参数方程，得出参数方程与普通方程互化的方法.双曲线的参数方程及其应用双曲线的参数方程及其应用学习重点： 学习难点： 学习过程：1、复习回顾1.圆.必+户=产的参数方程为2.圆（、一“）2 + （>，—/02=户的参数方程为.3.椭圆 号+%• = l （a > 8 > 0）的一个参数方程.CT D2、双曲线参数方程的探求类似于探究捕圆掺数方程的方法，我们来探兜双曲线净。
） 的参数方程.ATIyN如图2西点为圆。
心，a A （fe 湘 6>0） 径分别作同心圆C 渣C ” 刀为圆口任一点，作宜 线Q 过点作18的切G 线硼分于点，过建圆巷轴的交点作醐J 切绒与直线划1 点就，分剔徊ft, 时/交于点M.轴的汗行线,设林A 边的角为料点的座 标为（•龄点 的坐标为（X,。
射 的坐标为0 J ）.A 1B'图 2-10OA A f M因为点在圆由圆的畚数方程得点的坐标_为（"o 煽以Asin 。
）Q4 = （“cos 伊 方sin 。
）4/' = （x —“cos 伊,一“sinp ）.因为两痂从而0417 = 0a cos （x — a cos p ） — （a sin <p^ = 0.因为点在角的籍边上，由三角函数定义有lanq = {DBP.r = Atanq.所以，点的轨迹的参数方程为fl"为参蜘解得法金奇*= sec 则x = asec°.因为*~-中 =1 sec ，°-tan ，夕=1cos - ＜p cos* tp所以，从⑤消去参数后得到点的轨迹的普通 方程为②，这是中心在原点，焦点在轴上的双 曲线所以⑧就是双曲线②的畚数方程.在双曲线的参数方程⑧中，通常规定参数前范围为伊伊罪手0#等.由图或通峰动踵演示可以看列, 套数*点丽应 的圈的半径的族 转角称为点的寅 心角）而不是的M 旋转角.3、自主练习•X = 2 sec 01双曲线7 一 次为参数），的渐近线方程为y = tan 。
人教版高中数学选修4-4课件：第二讲二第2课时双曲线的参数方程和抛物线的参数方程
x＝sec θ，
解：把双曲线方程化为参数方程
(θ 为参
y＝tan θ
数)，
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设双曲线上点 Q(sec θ，tan θ)，则
|PQ|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝
(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)＝
2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3，
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2．抛物线的参数方程
如图，抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为
x＝2pt2，
____y_＝__2_p_t ____t为参数，t＝tan1
α.
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温馨提示 t＝sin1 α(α 是以射线 OM 为终边的角)，即 参数 t 表示抛物线上除顶点之外的任意一点与原点连线的 斜率的倒数．
第二讲 参数方程
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二、圆锥曲线的参数方程 第 2 课时 双曲线的参数方程和
抛物线的参数方程
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[学习目标] 1.了解抛物线和双曲线的参数方程，了 解抛物线参数方程中参数的几何意义(重点)． 2.利用抛 物线和双曲线的参数方程处理问题(重点、难点)．
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当 tan θ－1＝0，即 θ＝π4时，
|PQ|2 取最小值 3，此时有|PQ|＝ 3.
即 P、Q 两点间的最小距离为 3.
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[迁移探究] (变换条件)已知圆 O1：x2＋(y－2)2＝1 上一点 P 与双曲线 x2－y2＝1 上一点 Q，求 P，Q 两点间 距离的最小值．
解：设 Q(sec θ，tan θ)， 由题意知|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|. |O1Q|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝
双曲线、抛物线的参数方程
双曲线 、抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ(φ为参数)，规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2． (2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan φy ＝a sec φ(φ为参数)．2．抛物线的参数方程 (1)抛物线y2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt (t 为参数)．(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝4t (t 为参数)表示的曲线不在( )A ．x 轴上方B ．x 轴下方C ．y 轴右方D ．y 轴左方解析：选D.原参数方程可化为y 2＝8x ，故图象不在y 轴左方．选D. 2．下列不是抛物线y 2＝4x 的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t2y ＝4t ，(t 为参数) B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 24y ＝t，(t 为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2y ＝2t ，(t 为参数) D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝2t ，(t 为参数)解析：选D.逐一验证知D 不满足y 2＝4x . 3．双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan αy ＝6sec α，(α为参数)的两焦点坐标是( )A ．(0，－43)，(0，43)B ．(－43，0)，(43，0)C ．(0，－3)，(0，3)D ．(－3，0)，(3，0) 解析：选A.tan α＝x 23，sec α＝y6，由sec 2α－tan 2α＝1， 得y 262－x 2(23)2＝1， 即y 236－x 212＝1. 焦点在y 轴上，且c 2＝a 2＋b 2＝48，易得双曲线的焦点坐标是(0，－43)，(0，43)． 4．双曲线x 2－y 2＝1的参数方程是____________． 解析：由x 2－y 2＝1， 又sec 2θ－tan 2θ＝1， 所以令x ＝sec θ，y ＝tan θ.故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θy ＝tan θ，(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θy ＝tan θ，(θ为参数)由参数方程求解双曲线、抛物线的几何性质(1)双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan αy ＝2cos α，(α为参数)的焦点坐标是____________．(2)将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t ，化为普通方程是____________．[解析] (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan αy ＝2cos α，化为y 24－x 2＝1，可知双曲线焦点在y 轴，且c ＝4＋1＝5， 故焦点坐标是(0，±5)．(2)由y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t ＝2sin 2t 2cos 2t＝tan 2t ，将tan t ＝x 代入上式，得y ＝x 2，即为所求方程． [答案] (1)(0，±5) (2)y ＝x2(1)给出双曲线、抛物线的参数方程就可以化为普通方程，进而化成标准方程，然后获得相应的几何性质．(2)注意双曲线的两种标准方程、抛物线的四种标准方程对应的参数方程的区别，重视参数的取值范围对曲线形状的影响．1.如果双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θy ＝6tan θ，(θ为参数)上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的左焦点的距离是________．解析：由双曲线参数方程可知a ＝1，故P 到它左焦点F 的距离|PF |＝10或|PF |＝6. 答案：10或62．过抛物线⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2tx ＝t 2，(t 为参数)的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________．解析：化为普通方程是：x ＝y 24，即y 2＝4x ，所以p ＝2.所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8. 答案：8双曲线参数方程的应用已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝1上一点P ，与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P ，Q 两点距离的最小值．[解] 双曲线x2－y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θy ＝tan θ(θ为参数)，则Q (sec θ，tan θ)，又圆心C (0，2)，则|CQ |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan θ－2)2＝2(tan θ－1)2＋3. 当tan θ＝1，即θ＝π4时，|CQ |2取最小值3，此时有|CQ |min ＝ 3. 又因为|PC |＝1，所以|PQ |min ＝3－1.(1)用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec θy ＝b tan θ(θ为参数)研究双曲线问题时，双曲线上的点的坐标可记作(a secθ，b tan θ)．这样可以将两个变量x ，y 的关系简化为一个变量θ的解析式．此外，我们可以利用θ的三角函数进行变形，使解决问题的途径更加广泛．(2)本类型题可用圆心到双曲线的距离最小值减去圆半径的方法．1.求证：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．证明：由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0，设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)，它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋(－a )2＝|a 2b 2(sec 2φ－tan 2φ)|a 2＋b 2＝a 2b2a 2＋b2(定值)． 2．如图，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.证明：设P (sec φ，tan φ)，因为F 1(－2，0)，F 2(2，0)． 所以|PF 1|＝(sec φ＋2)2＋tan 2φ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1， |PF 2|＝(sec φ－2)2＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1， |PF 1|·|PF 2|＝(2sec 2φ＋1)2－8sec 2φ＝2sec 2φ－1. 因为|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， 所以|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.抛物线参数方程的应用设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l 于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程．[解] 设P 点的坐标为(2pt 2，2pt )(t 为参数)， 当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，它们的交点M (x ，y )由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1tx y ＝－2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2确定，两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，所以点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0)．当t ＝0时，M (0，0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.(1)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．(2)用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．1.已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt ，(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt ⇒y 2＝2px ，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N (图略)，由题意可知，△MEF 是正三角形，所以∠MFN ＝60°，在Rt △MFN 中，|FN |＝|MF |cos 60°＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋p 2.所以3－p 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋p 2⇒p ＝2.答案：22．连接原点O 和抛物线2y ＝x 2上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．解：设M (x 1，y 1)为抛物线上的动点，P (x ，y )在OM 的延长线上，且M 为线段OP 的中点，抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2， 因为M (x 1，y 1)在抛物线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2ty 1＝2t 2， 由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x2y 1＝y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t2(t 为参数)，消去参数t 得x 2＝4y . 它表示的是抛物线．1．双曲线的参数方程中参数φ的几何意义参数φ是双曲线上的点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角称为点M 的离心角，而不是OM 的旋转角，可类比椭圆的离心角进行理解记忆，双曲线的参数φ的最大取值范围是φ∈R，且φ≠k π＋π2(k ∈Z)，最小范围是φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2.通常规定，离心角φ的取值范围是φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2.2．双曲线的普通方程与参数方程的互化双曲线的普通方程与参数方程依据公式sec 2φ－tan 2φ＝1进行互化．由x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫x a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y b 2＝1⇒令x a ＝sec φ，y b ＝tan φ可得参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ(φ为参数)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ⇒⎩⎪⎨⎪⎧xa＝sec φy b ＝tan φ⇒代入sec 2φ－tan 2φ＝1得普通方程x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．3．抛物线参数方程中参数t 的几何意义t ＝1tan α(α是以射线OM 为终边的角)，即参数t 表示抛物线上除顶点之外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．4．抛物线的普通方程与参数方程的互化将抛物线的参数方程化为普通方程时只需一式平方与另一式相除即可，将抛物线y 2＝2px (p >0)化为参数方程时，必须令x ＝2pt 2代入y 2＝2px 中求出y ＝±2pt 后取y ＝2pt 得到的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt (t 为参数)．5．抛物线另外三种标准方程的参数方程y 2＝－2px (p >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2pt2y ＝2pt (t 为参数)，x 2＝2py (p >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pty ＝2pt 2(t 为参数)， x2＝－2py (p >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt y ＝－2pt 2(t 为参数)． 6．圆锥曲线的参数方程不是唯一的圆锥曲线的参数方程与所选定的参数有关，不同的参数求出的参数方程也不一样．1．点P (1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2y ＝2t ，(参数t ∈R)上的点的最短距离为( )A ．0B ．1C. 2 D ．2解析：选B.设Q (x ，y )为曲线上任一点，则d 2＝|PQ |2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2，由t 2≥0得d 2≥1，所以d min ＝1.2．P 为双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θy ＝3tan θ，(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0) B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0) C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0) D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0) 解析：选A.由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5， 故F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3＝tan θ.从而有9x 2－16y 2＝16(y ≠0)． 3．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝2t ，(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θy ＝2tan θ，(θ为参数)，则直线l 与曲线C 的交点坐标为____________．解析：直线l 的参数方程化为普通方程为2x －y －2＝0，同理曲线C 的普通方程为y2＝2x ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，y 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，y 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝12，y 2＝－1，故直线l 与曲线C 的交点坐标为(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1. 答案：(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－14．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R)，它们的交点坐标为________．解析：根据题意，两曲线分别是椭圆x 25＋y 2＝1的上半部分和开口向右的抛物线y 2＝45x ，联立易得它们的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫1，255[A 基础达标]1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2－1y ＝2t ＋1(t 为参数)的焦点坐标是( )A ．(1，0)B ．(0，1)C ．(－1，0)D ．(0，－1)解析：选B.将参数方程化为普通方程(y －1)2＝4(x ＋1)，该曲线为抛物线y 2＝4x 向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0，1)．2．已知某条曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(a ＋1a)，y ＝12(a －1a )(其中a 是参数)，则该曲线是( )A ．线段B ．圆C ．双曲线D ．圆的一部分解析：选C.将所给参数方程的两式平方后相减，得x 2－y 2＝1.并且由|x |＝12|a ＋1a |≥1，得x ≥1或x ≤－1，从而易知结果．3．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t＋e－ty ＝e t －e －t ，(t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支D ．双曲线下支 解析：选B.因为x 2－y 2＝e 2t＋2＋e －2t－(e 2t－2＋e－2t)＝4.且x ＝e t ＋e －t ≥2e t ·e －t＝2.所以表示双曲线的右支．4．过点M (2，4)且与抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝4t 只有一个公共点的直线有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝4t 得y 2＝8x .所以点M (2，4)在抛物线上．所以过点M (2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条． 5．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt y ＝2pt2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1，M 2所对应的参数分别是t 1，t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( )A ．t 1＋t 2B ．t 1－t 2C.1t 1＋t 2D ．1t 1－t 2解析：选A.依题意M 1(2pt 1，2pt 21)，M 2(2pt 2，2pt 22) 所以k ＝2pt 21－2pt 222pt 1－2pt 2＝(t 1＋t 2)(t 1－t 2)t 1－t 2＝t 1＋t 2.6．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．解析：将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1，0)．答案：(1，0)7．双曲线⎩⎨⎧x ＝3tan θy ＝sec θ(θ为参数)的两条渐近线所成的角为________．解析：双曲线⎩⎨⎧x ＝3tan θy ＝sec θ(θ为参数)化为普通方程为y 2－x 23＝1，故a ＝1，b ＝3，渐近线方程为y ＝±33x ，则两条渐近线所夹的锐角是60°. 答案：60°8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝ty ＝t ，(t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． 解析：C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ≥0，y ≥0，x 2＋y 2＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. 所以C 1与C 2的交点坐标为(1，1)． 答案：(1，1)9．已知抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t (t 为参数)，设O 为坐标原点，点M 在抛物线C 上，且点M 的纵坐标为2，求点M 到抛物线焦点的距离．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝2t，得y 2＝2x ，即抛物线的标准方程为y 2＝2x .又因为M 点的纵坐标为2，不妨令M 点的横坐标也为2. 即M (2，2)．又因为抛物线的准线方程为x ＝－12.所以由抛物线的定义知|MF |＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2＋12＝52. 即点M 到抛物线焦点的距离为52.10．在双曲线x 2－y 2＝1上求一点P ，使P 到直线y ＝x 的距离为 2.解：设P 的坐标为(sec φ，tan φ)，由P 到直线x －y ＝0的距离为2得|sec φ－tan φ|2＝2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos φ－sin φcos φ＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|， 平方得1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)， 即5sin 2φ－2sin φ－3＝0. 解得sin φ＝1或sin φ＝－35.sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)． sin φ＝－35时，cos φ＝±45.所以P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，－34或⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，34.[B 能力提升]11．已知抛物线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t2y ＝8t，(t 为参数)，圆C 2的极坐标方程为ρ＝r (r >0)，若斜率为1的直线过抛物线C 1的焦点，且与圆C 2相切，则r ＝( )A ．1B ．22C ． 2D ．2解析：选C.抛物线C 1的普通方程为y 2＝8x ，焦点为(2，0)，故直线方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0，圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2，由题意|－2|12＋(－1)2＝r ，得r ＝ 2.12．已知抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt ，(t 为参数，p >0)上的点M ，N 对应的参数值为t 1，t 2，且t 1＋t 2＝0，t 1t 2＝－p 2，则M ，N 两点间的距离为________．解析：由题知M ，N 两点的坐标分别为(2pt 21，2pt 1)，(2pt 22，2pt 2)， 所以|MN |＝(2pt 21－2pt 22)2＋(2pt 1－2pt 2)2＝(2pt1－2pt2)2＝2p|t1－t2|＝2p(t1＋t2)2－4t1t2＝4p2.故M，N两点间的距离为4p2.答案：4p213．求证：以等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点．证明：设双曲线为x2－y2＝a2，取顶点A(a，0)，弦B′B∥Ox，B(a sec α，a tan α)，则B′(－a sec α，a tan α)．因为k B′A＝a tan α－a sec α－a，k BA＝a tan αa sec α－a，所以k B′A·k BA＝－1.所以以BB′为直径的圆过双曲线的顶点．14．(选做题)已知A为抛物线y2＝2px(p>0)上的一个定点，BC是垂直于x轴的一条弦，直线AB交抛物线的对称轴于D点，直线AC交抛物线的对称轴于E点，求证：抛物线的顶点平分线段DE.证明：设抛物线上的点A的坐标是(a22p ，a)，点B的坐标是(t22p，t)，则点C的坐标是(t22p，－t)，于是AB的方程是y－a＝t－at2－a22p(x－a22p)，即y－a＝2pt＋a(x－a22p)，AB与x轴的交点为D(－at2p，0)，同理直线AC的方程是y－a＝2pa－t(x－a22p)，所以点E的坐标为(at2p，0)，所以抛物线的顶点平分线段DE.11。
2019年人教A版选修4-4高中数学过关习题第二讲二第2课时双曲线的参数方程和抛物线的参数方程 及答案
第二讲 参数方程二、圆锥曲线的参数方程第2课时 双曲线的参数方程和抛物线的参数方程A 级 基础巩固一、选择题1．下列不是抛物线y 2＝4x 的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 24，y ＝t(t 为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t(t 为参数) 解析：逐一验证知D 不满足y 2＝4x . 答案：D2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t ＋e －t，y ＝e t －e －t(t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支D ．双曲线下支解析：因为x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t －(e 2t －2＋e －2t )＝4， 且x ＝e t ＋e －t ≥2e t ·e －t ＝2， 所以表示双曲线的右支． 答案：B3．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1，M 2所对应的参数分别是t 1，t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( )A ．t 1＋t 2B ．t 1－t 2[来源:学_科_网Z_X_X_K]C.1t 1＋t 2D.1t 1－t 2[来源:] 解析：依题意M 1(2pt 1，2pt 21)，M 2(2pt 2，2pt 22)， 所以k ＝2pt 21－2pt 222pt 1－2pt 2＝（t 1＋t 2）（t 1－t 2）t 1－t 2＝t 1＋t 2.答案：A4．点P (1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (参数t ∈R)上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2解析：设Q (x ，y )为曲线上任一点，则d 2＝|PQ |2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2.由t 2≥0得d 2≥1，所以d min ＝1. 答案：B5．P 为双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0)B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0)C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0)D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0)解析：由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5，[来源:] 故F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3＝tan θ，[来源:Z 。
2020年高中数学人教A版选修优化课件第二讲二第二课时双曲线、抛物线的参数方程
考纲定位
重难突破
1.知道椭圆的参数方程，参数 重点：理解和掌握椭圆的参数
的意义.
方程.
2.会用椭圆的参数方程解决简 难点：椭圆的参数方程在实际
单问题.
问题中的应用.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
椭圆的参数方程
x＝acos φ，
23，
y＝32.
所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和 23，32.……………………………………5 分
(2)曲线 C1 的极坐标方程为 θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中 0≤α＜π.因此 A 的极坐标为(2sin α， α)，B 的极坐标为(2 3cos α，α). ……………………………………………………8 分 所以|AB|＝|2sin α－2 3cos α|＝4sinα－π3. 当 α＝56π时，|AB|取得最大值，最大值为 4. ………………………………………10 分
1．中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆xa22＋by22＝1 的参数方程是___y_＝__b_s_in__φ___(φ 是参数)，
规定参数 φ 的取值范围是[0,2π)．
2
．
中
心
在
(
h
，
k
)
的
椭
圆
普
通
方
程
为
x－h2 a2
＋
y－k2 b2
＝
1
，
则
其
参
数
方
程
为
x＝h＋acos φ， __y_＝__k_＋__b_s_i_n_φ____(φ 是参数)．
为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂线，垂足为 E.若|EF|＝|MF|，点 M 的横坐标是 3，
高中数学人教A版选修4-4学案：第二讲二2.-3.双曲线的参数方程 抛物线的参数方程-含答案
2．～3.双曲线的参数方程 抛物线的参数方程[对应学生用书P25]1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ规定参数φ的取值范围为φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2. (2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝b tan φ，y ＝a sec φ.2．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2ptt ∈R . (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．[对应学生用书P25][例1] (1)双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的焦点坐标是________．(2)将方程⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t1＋cos 2t化为普通方程是________．[思路点拨] (1)可先将方程化为普通方程求解； (2)利用代入法消去t .[解析] (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α化为y 236－x 212＝1，可知双曲线焦点在y 轴，且c ＝36＋12＝43，故焦点坐标是(0，±43)． (2)由y ＝1－cos 2t1＋cos 2t＝2sin 2t2cos 2t ＝tan 2t ，将tan t ＝x 代入上式，得y ＝x 2，即为所求方程． [答案] (1)(0，±43)；(2)y ＝x 2.(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参数的意义．(2)对双曲线的参数方程，如果x 对应的参数形式是sec φ，则焦点在x 轴上；如果y 对应的参数形式是sec φ，则焦点在y 轴上．1．如果双曲线⎩⎨⎧x ＝sec θ，y ＝6tan θ(θ为参数)上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的左焦点距离是________．解析：由双曲线参数方程可知a ＝1， 故P 到它左焦点的距离|PF |＝10或|PF |＝6. 答案：10或62．过抛物线⎩⎨⎧y ＝2t ，x ＝t 2(t 为参数)的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 2＋x 2＝6.则|AB |＝________.解析：化为普通方程是：x ＝y 24即y 2＝4x ，∴p ＝2. ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8. 答案：8[例2] 连结原点O 和抛物线2y ＝x 2上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．[思路点拨] 由条件可知，M 点是线段OP 的中点，利用中点坐标公式，求出点P 的轨迹方程，再判断曲线类型．[解] 设M (x 、y )为抛物线上的动点，P (x 0，y 0)在OM 的延长线上，且M 为线段OP 的中点，抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ，y ＝2t 2用中点公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2.变形为y 0＝14x 20，即P 点的轨迹方程为x 2＝4y . 表示抛物线．在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x ，y 表示成关于参数的函数)，这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．3．设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1和F 2为两个焦点，证明：|F 1P |·|F 2P |＝|OP |2.。
解析几何(2) 双曲线(含答案)
第6课时 双曲线1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质． 2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．【梳理自测】一、双曲线的概念已知点F 1(－4，0)和F 2(4，0)，一曲线上的动点P 到F 1，F 2距离之差为6，该曲线方程是________．答案：x 29－y27＝1(x≥3)◆此题主要考查了以下内容：平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M||MF 1|－|MF 2||＝2a}，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a ＞0，c ＞0； (1)当2a ＜2c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝2c 时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a ＞2c 时，P 点不存在． 二、双曲线标准方程及性质1．(教材改编)双曲线x 210－y22＝1的焦距为( )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 32．双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x3．已知双曲线x 2a 2－y25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )A .31414 B .324 C .32D .434．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________．答案：1.D 2.A 3.C 4.－1 4◆此题主要考查了以下内容：考向一双曲线的定义及标准方程(1)(2014·陕西师大附中模拟)设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为( ) A．19 B．26C．43 D．50(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)和椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．【审题视点】(1)利用双曲线定义|PF2|－|QF2|＝2a及三角形周长的计算求解．(2)已知双曲线的焦点及离心率求双曲线方程．【典例精讲】(1)如图，由双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|－|PF 1|＝2a ，|QF 2|－|QF 1|＝2a ，将两式相加得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ|＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ| ＝4a ＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.(2)椭圆x 216＋y 29＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率为e ＝74.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，因此a 2＋b 2＝7.又双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝7a ，所以7a ＝274，所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y23＝1.【答案】 (1)B (2)x 24－y23＝1【类题通法】 (1)涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题时，经常考虑双曲线的定义． (2)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y2n ＝1(mn ＞0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)，这种形式在解题时更简便；(3)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．1．根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x 29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)；(2)与双曲线x 216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．解析：(1)设所求双曲线方程为x 29－y216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入得λ＝14，∴所求双曲线方程为x 29－y 216＝14，即x 294－y24＝1. (2)设双曲线方程为x 216－k －y24＋k ＝1，将点(32，2)代入得k ＝4(k ＝－14舍去)． ∴所求双曲线方程为x 212－y28＝1.考向二 双曲线的性质及应用(1)(2014·哈尔滨模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A ．2B .7C .13D .15【审题视点】 (1)利用PF 1→ ·PF 2→＝0及e ＝54转化为a ，b 的方程组．(2)利用双曲线定义及余弦定理求a 与c 的关系． 【典例精讲】 (1)由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1→⊥PF 2→，设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ，不妨设m ＞n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5， ∴b ＝3，∴a ＋b ＝7，故选C . (2)如图，由双曲线定义得，|BF 1|－|BF 2|＝|AF 2|－|AF 1|＝2a ，因为△ABF 2是正三角形，所以|BF 2|＝|AF 2|＝|AB|，因此|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝28a 2，所以e ＝7，故选B .【答案】 (1)C (2)B【类题通法】 (1)求双曲线的离心率，就是求c 与a 的比值，一般不需要具体求出a ，c 的值，只需列出关于a ，b ，c 的方程或不等式解决即可．(2)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．2．(2014·济南模拟)过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为________．解析：如图所示，不妨设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM⊥OF 于M.由已知得M 为OF 的中点，由射影定理知|PF|2＝|FM||FO|，又F(c ，0)，渐近线方程为bx －ay ＝0，∴|PF|＝bcb 2＋a2＝b ，∴b 2＝c 2·c ，即2b 2＝c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＝b 2，∴e ＝c a ＝ 1＋b2a2＝ 2.答案： 2考向三 直线与双曲线的综合应用已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)与l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B ，l与y 轴交于点P ，若PA →＝512PB →，则a ＝________．【审题视点】 联立方程组，利用P 、A 、B 坐标之间的关系，建立a 的方程． 【典例精讲】 因为双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实数解，消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－a 2≠0，4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0， 解得0＜a ＜2且a≠1. 设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)， 由一元二次方程根与系数的关系， 得x 1＋x 2＝2a2a 2－1，①x 1x 2＝2a2a 2－1，②又P(0，1)，由PA →＝512PB →，得(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，从而x 1＝512x 2，③ 由①③，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝517·2a 2a 2－1，x 2＝1217·2a 2a 2－1代入②， 得517×1217×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2a 2－12＝2a 2a 2－1， 即2a 2a 2－1＝28960，解得a ＝1713，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－1713舍去. 【答案】1713【类题通法】 (1)判断直线l 与双曲线E 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入双曲线E 的方程F(x ，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0F （x ，y ）＝0，消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.由此转化为两点坐标的关系．(2)特殊情况考虑与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系，数形结合求解．3．已知点A(－2，0)，点B(2，0)，且动点P 满足|PA|－|PB|＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点的充要条件为k∈________．解析：由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2－a 2＝1，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x ＞0)，其一条渐近线方程为y ＝x.若P 点的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点，则需k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪ (1，＋∞)双曲线与渐近线的关系不清致误(2014·浙江温州适应性测试)已知F 1，F 2为双曲线Ax 2－By 2＝1的焦点，其顶点是线段F 1F 2的三等分点，则其渐近线的方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±24xC ．y ＝±xD ．y ＝±22x 或y ＝±24x 【正解】 依题意c ＝3a ，∴c 2＝9a 2.又c 2＝a 2＋b 2， ∴b 2a 2＝8，b a ＝22，a b ＝24.故选D . 【答案】 D【易错点】 (1)默认为双曲线焦点在x 轴其渐近线为y ＝±ba x ，而错选为A .(2)把双曲线认为等轴双曲线而错选为C .(3)把a ，b ，c 的关系与椭圆c 2＝a 2－b 2混淆致错．【警示】 (1)对于方程x 2a 2－y 2b 2＝1来说，求渐近线方程就相当于求ba 的值，但要分焦点的位置是在x 轴还是在y 轴上，此题没有给出焦点的位置，其渐近线斜率有四种情况．(2)渐近线为y ＝±b a x 所对应的双曲线为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，表示焦点在x 轴上，当λ＜0时，焦点在y 轴上．1．(2013·高考福建卷)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A .25B .45C .255 D .455解析：选C .求出双曲线的顶点和渐近线，再利用距离公式求解．双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x±2y ＝0，顶点为(±2，0)，∴所求距离为d ＝|±2±0|5＝255. 2．(2013·高考广东卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A .x 24－y 25＝1 B .x 24－y25＝1 C .x 22－y 25＝1 D .x 22－y25＝1 解析：选B .求双曲线的标准方程需要确定焦点位置及参数a ，b 的值．右焦点为F(3，0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为c a ＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y25＝1，选B .3．(2013·高考北京卷)双曲线x 2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m ＞12B ．m ≥1C ．m ＞1D ．m ＞2解析：选C .用m 表示出双曲线的离心率，并根据离心率大于2建立关于m 的不等式求解．∵双曲线x 2－y2m＝1的离心率e ＝1＋m ，又∵e ＞2，∴1＋m ＞2，∴m ＞1.4．(2013·高考湖北卷)已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y2sin 2θ－x2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等解析：选D .先根据θ的范围，确定双曲线方程的类型，判断焦点所在的坐标轴，然后分析双曲线C 1和C 2的实轴长、虚轴长、焦距、离心率是否相等．双曲线C 1的焦点在x 轴上，a ＝cos θ，b ＝sin θ，c ＝1，因此离心率e 1＝1cos θ；双曲线C 2的焦点在y 轴上，由于0<θ<π4，所以a ＝sin θ，b ＝sin θtan θ，c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ，因此离心率e 2＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin θ＝sin θ1＋tan 2θsin θ＝1cos θ. 故两条双曲线的实轴长、虚轴长、焦距都不相等，离心率相等。
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[课时作业] [A 组 基础巩固]1．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：抛物线方程化为普通方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1， 所以|PF |为P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4.故选C. 答案：C2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t ＋e －t ，y ＝e t －e －t (t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支D ．双曲线下支解析：∵x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t －(e 2t －2＋e －2t )＝4.且x ＝e t ＋e －t ≥2e t ·e －t ＝2.∴表示双曲线的右支． 答案：B3．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (其中，参数t ∈R)上的点的最短距离是( )A ．0B ．1 C. 2D ．2解析：方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t表示抛物线y 2＝4x 的参数方程，其中p ＝2，设点M (x ，y )是抛物线上任意一点，则点M (x ，y )到点P (1,0)的距离d ＝(x －1)2＋y 2＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|≥1，所以最短距离为1，选B.答案：B4．若曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则曲线C 上的点的轨迹是( )A ．直线x ＋2y －2＝0B ．以(2,0)为端点的射线C ．圆(x －1)2＋y 2＝1D ．以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析：将曲线的参数方程化为普通方程得x ＋2y －2＝0(0≤x ≤2,0≤y ≤1)． 答案：D5．已知某条曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12⎝⎛⎭⎫a ＋1a ，y ＝12⎝⎛⎭⎫a －1a (其中a 是参数)，则该曲线是( )A ．线段B ．圆C ．双曲线D ．圆的一部分解析：将所给参数方程的两式平方后相减， 得x 2－y 2＝1.并且由|x |＝12⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥1，得x ≥1或x ≤－1， 从而易知结果． 答案：C6．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋22·y sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝0(θ为参数)，则圆心的轨迹方程是________．解析：圆心轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2θ，y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θcos θ，y ＝－(sin θ＋cos θ).消去参数得： y 2＝1＋2x (－12≤x ≤12)．答案：y 2＝1＋2x (－12≤x ≤12)7．已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t得y 2＝8x ，抛物线C 的焦点坐标为F (2,0)， 直线方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0.因为直线y ＝x －2与圆(x －4)2＋y 2＝r 2相切， 由题意得r ＝|4－0－2|2＝ 2.答案： 28．曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a sec α，y ＝b tan α(α为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a tan β，y ＝b sec β(β为参数)的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＋e 2的最小值为________．解析：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec α，y ＝b tan α(α为参数)的离心率e 1＝a 2＋b 2a， 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a tan β，y ＝b sec β(β为参数)的离心率e 2＝a 2＋b 2b，∴e 1＋e 2＝a 2＋b 2(a ＋b )ab ≥22abab＝2 2.当且仅当a ＝b 时取等号，所以最小值为2 2. 答案：2 29．已知抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数，p ＞0)上的点M ，N 对应的参数值为t 1，t 2，且t 1＋t 2＝0，t 1t 2＝－p 2，求M ，N 两点间的距离．解析：由题知M ，N 两点的坐标分别为(2pt 21，2pt 1)，(2pt 22，2pt 2)， 所以|MN |＝ (2pt 21－2pt 22)2＋(2pt 1－2pt 2)2 ＝(2pt 1－2pt 2)2＝2p |t 1－t 2| ＝2p (t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4p 2.故M ，N 两点间的距离为4p 2.10.如图所示，O 是直角坐标系的原点，A ，B 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上异于顶点的两动点，且OA ⊥OB ，A ，B 在什么位置时△AOB 的面积最小？最小值是多少？解析：根据题意，设点A ，B 的坐标分别为A (2pt 21，2pt 1)，B (2pt 22，2pt 2)(t 1≠t 2，且t 1t 2≠0)，则|OA |＝ (2pt 21)2＋(2pt 1)2＝2p |t 1|t 21＋1， |OB |＝(2pt 22)2＋(2pt 2)2＝2p |t 2|t 22＋1.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即2pt 21·2pt 22＋2pt 1·2pt 2＝0，所以t 1·t 2＝－1. 又因△AOB 的面积为： S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12·2p |t 1|t 21＋1·2p |t 2|t 22＋1＝2p 2|t 1t 2|(t 21＋1)(t 22＋1)＝2p 2t 21＋t 22＋2＝2p 2t 21＋1t 21＋2≥2p 22＋2＝4p 2.当且仅当t 21＝1t 21，即t 1＝1，t 2＝－1或t 1＝－1，t 2＝1时，等号成立． 所以A ，B 的坐标分别为(2p,2p )，(2p ，－2p )或(2p ，－2p )，(2p,2p )时，△AOB 的面积最小，最小值为4p 2.[B 组 能力提升]1．P 为双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0)B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0)C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0)D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0)解析：由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5， 故F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3＝tan θ.从而有9x 2－16y 2＝16(y ≠0)． 答案：A2．参数方程⎩⎨⎧x ＝⎪⎪⎪⎪cos θ2＋sin θ2，y ＝12(1＋sin θ)(0＜θ＜2π)表示( )A ．双曲线的一支，这支过点⎝⎛⎭⎫1，12 B ．抛物线的一部分，这部分过点⎝⎛⎭⎫1，12 C ．双曲线的一支，这支过点⎝⎛⎭⎫－1，12 D ．抛物线的一部分，这部分过点⎝⎛⎭⎫－1，12 解析：∵x 2＝(cos θ2＋sin θ2)2＝1＋sin θ＝2y ，∴方程x 2＝2y 表示抛物线．又∵x ＝⎪⎪⎪⎪cos θ2＋sin θ2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π4， 且0＜θ＜2π， ∴0≤x ≤ 2，故选B. 答案：B3．抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝t ，关于直线x ＋y －2＝0对称的曲线的焦点坐标是________．解析：抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 的普通方程为y 2＝x ，是以x 轴为对称轴，顶点在原点，开口向右的抛物线，当关于直线x ＋y －2＝0对称时，其顶点变为(2,2)，对称轴相应变为x ＝2，且开口方向向下，所以焦点变为⎝⎛⎭⎫2，2－14，即⎝⎛⎭⎫2，74.答案：⎝⎛⎭⎫2，74 4．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a ＞b ＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．解析：先将参数方程与极坐标方程化为普通方程，再根据直线过焦点、直线与圆相切建立关于椭圆方程中a ，b ，c 的等式，再结合a 2＝b 2＋c 2求得离心率．由已知可得椭圆标准方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m 可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ，即直线的普通方程为x ＋y ＝m ，又圆的普通方程为x 2＋y 2＝b 2，不妨设直线l 经过椭圆C 的右焦点(c,0)，可得c ＝m .又因为直线l 与圆O 相切，所以|m |2＝b ，因此c ＝2b ，即c 2＝2(a 2－c 2)，整理，得c 2a 2＝23，故椭圆C 的离心率为e ＝63. 答案：635.如图，自双曲线x 2－y 2＝1上一动点Q 引直线l ：x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 中点P 的轨迹方程．解析：设点Q 的坐标为(sec φ，tan φ)，(φ为参数)． ∵QN ⊥l ，∴可设直线QN 的方程为x －y ＝λ.① 将点Q 的坐标代入①得：λ＝sec φ－tan φ. 所以线段QN 的方程为x －y ＝sec φ－tan φ.② 又直线l 的方程为x ＋y ＝2.③由②③解得点N 的横坐标x N ＝2＋sec φ－tan φ2.设线段QN 中点P 的坐标为(x ，y )，则x ＝x N ＋x Q 2＝2＋3sec φ－tan φ4，④4×④－②得 3x ＋y －2＝2sec φ.⑤ 4×④－3×②得 x ＋3y －2＝2tan φ.⑥⑤2－⑥2化简即得所求的轨迹方程为 2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0.6．已知曲线C 的方程为⎩⎨⎧x ＝12(e t ＋e －t )cos θ，y ＝12(e t－e－t)sin θ.(1)当t 是非零常数，θ为参数时，C 是什么曲线？(2)当θ为不等于k π2(k ∈Z)的常数，t 为参数时，C 是什么曲线？(3)两曲线有何共同特征？解析：(1)将原参数方程记为①，将参数方程①化为⎩⎪⎨⎪⎧2xe t ＋e－t＝cos θ，2ye t－e－t＝sin θ.平方相加消去θ，得x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫e t ＋e －t 22＋y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫e t －e －t 22＝1.②因为(e t ＋e －t )2＞(e t －e －t )2＞0，故方程②的曲线为椭圆，即C 为椭圆．(2)将方程①化为⎩⎨⎧2xcos θ＝e t ＋e －t ，2ysin θ＝e t－e－t .平方相减消去t ，得x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1.③所以方程③的曲线为双曲线，即C 为双曲线．(3)在方程②中⎝ ⎛⎭⎪⎫e t ＋e －t 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫e t －e －t 22＝1，则c ＝1，椭圆②的焦点坐标为(－1,0)，(1,0)，因此椭圆和双曲线有共同的焦点．。