【考试必备】2018-2019年最新成都外国语学校初升高自主招生考试数学模拟精品试卷【含解析】【
2018年四川省成都外国语学校中考数学一诊试卷
2018年四川省成都外国语学校中考数学一诊试卷一．选择题（每小题3分，共30分）1．下列各数|﹣2|，﹣（﹣2）2，﹣（﹣2），（﹣2）3中，负数的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列各式正确的是（）A．a5+3a5＝4a5B．（﹣ab）2＝﹣a2b2C．D．m4•m2＝m83．如图，立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．4．已知一组数据1，5，6，5，5，6，6，6，则下列说法正确的是（）A．众数是5B．中位数是5C．平均数是5D．极差是45．已知方程x2+3x﹣4＝0的解是x1＝1，x2＝﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0的解是（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣3.5B．x1＝1，x2＝﹣3.5C．x1＝1，x2＝3.5D．x1＝﹣1，x2＝3.56．如图▱ABCD，E是BC上一点，BE：EC＝2：3，AE交BD于F，则BF：FD等于（）A．2：5B．3：5C．2：3D．5：77．给出下面四个命题，其中真命题的个数有（）（1）平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；（2）90°的圆周角所对的弦是直径；（3）在同圆或等圆中，圆心角的度数是圆周角的度数的两倍；（4）如上图，顺次连接圆的任意两条直径的端点，所得的四边形一定是矩形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCO 的顶点A 在x 轴上，顶点B 的坐标为（4，6）．若直线y ＝kx +3k 将▱ABCO 分割成面积相等的两部分，则k 的值是（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣9．若2x +5y +4z ＝0，3x +y ﹣7z ＝0，则x +y ﹣z 的值等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不能求出10．如图所示，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥BC 交AC 于点E ，已知AD ＝AB ，连接BE 交AD 于点F ，下列结论：①BE ＝CE ；②∠CAD ＝∠ABE ；③S △ABF ＝3S △DEF ；④△DEF ∽△DAE ，其中正确的有（ ）A ．1个B ．4个C ．3个D ．2个二．填空题（每小题4分，共16分）11．已知a ﹣b ＝2，那么2a ﹣2b +5＝ ．12．袋中装有6个黑球和n 个白球，经过若干次试验，发现“若从中任摸一个球，恰好是白球的概率为”，则这个袋中白球大约有个．13．直角三角形纸片的两直角边BC，AC的长分别为6，8，现将△ABC如下图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长为．14．如图，点A1（1，1）在直线y＝x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线y＝x于点B1，B2，过点B2作y轴的平行线交直线y＝x于点A2，过点A2作x轴的平行线交直线y＝x于点B3，…，按照此规律进行下去，则点A n的横坐标为．三．解答题（共54分，15题每小题12分，共12分）15．（1）计算：|﹣2|﹣（π﹣2015）0+（）﹣2﹣2sin60°+；（2）先化简，再求值：÷（2+），其中a＝．16．当m为何值时．关于x的方程＝﹣的解是负数？17．某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A级：90分﹣100分；B级：75分﹣89分；C级：60分﹣74分；D级：60分以下）（1）写出D级学生的人数占全班总人数的百分比为，C级学生所在的扇形圆心角的度数为；（2）该班学生体育测试成绩的中位数落在等级内；（3）若该校九年级学生共有500人，请你估计这次考试中A级和B级的学生共有多少人？18．观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图（1）），则，即AD＝c sin B，AD＝b sin C，于是c sin B＝b sin C，即，同理有：，所以．即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．（1）如图（2），△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，则∠A＝；AC＝；（2）自从去年日本政府自主自导“钓鱼岛国有化”闹剧以来，我国政府灵活应对，现如今已对钓鱼岛执行常态化巡逻．某次巡逻中，如图（3），我渔政204船在C处测得A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政204船距钓鱼岛A的距离AB．（结果精确到0.01，）19．已知一次函数y1＝x+m的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．已知当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2．（1）求一次函数的解析式；（2）已知双曲线在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积．20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG＝FG，连结CE．（1）求证：△ECF∽△GCE；（2）求证：EG是⊙O的切线；（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan G＝，AH＝3，求EM的值．一．填空题（每小题4分，共20分）21．已知+|ab+3|＝0，则a﹣b的值是．22．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．23．如图，E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF，CE，AF、CE交于G，则四边形BEGF 与四边形ADCG的面积的比值为．24．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）的上方，顶点为C．直线y＝kx+m（k≠0）经过点C、B．则下列结论：①b＞a；②2a﹣b＞﹣1；③2a+c＜0；④k＞a+b；⑤k＜﹣1，其中正确的结论有．25．如图，等边△AOB的边长为4，点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA．在点P从O向A运动的过程中，当△PCA为直角三角形时t的值为．二．解答题（共30分）26．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2，单位：吨）之间的函数关系如图所示；B类杨梅深加工后再销售，深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）A类杨梅的销售量为5吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？（2）若该公司收购10吨杨梅，其中A类杨梅有4吨，则经营这批杨梅所获得的毛利润（w）为多少万元？（毛利润＝销售总收入﹣经营总成本）（3）若该公司收购20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元．①求w关于x的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？27．已知：如图1．正方形ABCD，过点A作∠EAF＝90°，两边分别交直线BC于点E，交线段CD于点F，G为AE中点，连接BG（1）求证：∠AFD+∠CBG＝180°；（2）如图2，过点G作BG的垂线交对角线AC于点H，求证：GH＝GB；（3）如图3，连接HF，若CH＝3AH，AD＝2，求线段HF的长．28．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣10ax+16a（a≠0）交x轴于A、B两点，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点H，且AB＝2DH．（1）求a的值；（2）点P是对称轴右侧抛物线上的点，连接PD，PQ⊥x轴于点Q，点N是线段PQ上的点，过点N作NF⊥DH于点F，NE⊥PD交直线DH于点E，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，连接DN、DQ、PB，当DN＝2QN（NQ＞3），2∠NDQ+∠DNQ＝90°时，作NC⊥PB交对称轴左侧的抛物线于点C，求点C的坐标．参考答案一．选择题（每小题3分，共30分）1．下列各数|﹣2|，﹣（﹣2）2，﹣（﹣2），（﹣2）3中，负数的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：|﹣2|＝2，﹣（﹣2）2＝﹣4，﹣（﹣2）＝2，（﹣2）3＝﹣8，﹣4，﹣8是负数，∴负数有2个．故选：B．2．下列各式正确的是（）A．a5+3a5＝4a5B．（﹣ab）2＝﹣a2b2C．D．m4•m2＝m8【解答】解：A、合并同类项，正确；B、（﹣ab）2＝a2b2，错误；C、＝2，错误；D、m4•m2＝m6，错误．故选：A．3．如图，立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示的立体图形的俯视图是C．故选：C．4．已知一组数据1，5，6，5，5，6，6，6，则下列说法正确的是（）A．众数是5B．中位数是5C．平均数是5D．极差是4【解答】解：把数据1，5，6，5，5，6，6，6，按从小到大排列为1，5，5，5，6，6，6，6，中位数＝＝5.5，众数为6，平均数＝＝5，极差为＝6﹣1＝5，故C正确，故选：C．5．已知方程x2+3x﹣4＝0的解是x1＝1，x2＝﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0的解是（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣3.5B．x1＝1，x2＝﹣3.5C．x1＝1，x2＝3.5D．x1＝﹣1，x2＝3.5【解答】解：把方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0看作关于2x+3的一元二次方程，所以2x+3＝1或2x+3＝﹣4，所以x1＝﹣1，x2＝﹣3.5．故选：A．6．如图▱ABCD，E是BC上一点，BE：EC＝2：3，AE交BD于F，则BF：FD等于（）A．2：5B．3：5C．2：3D．5：7【解答】解：∵BE：EC＝2：3，∴BE：BC＝2：5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴BE：AD＝2：5，△ADF∽△EBF，∴＝＝．故选：A．7．给出下面四个命题，其中真命题的个数有（）（1）平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；（2）90°的圆周角所对的弦是直径；（3）在同圆或等圆中，圆心角的度数是圆周角的度数的两倍；（4）如上图，顺次连接圆的任意两条直径的端点，所得的四边形一定是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）平分（非直径）弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧，所以此命题不正确；（2）90°的圆周角所对的弦是直径，正确；（3）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角的度数是它所对的圆周角的两倍，错误；（4）根据对角线相等且相互平分的四边形是矩形可判断此命题正确；故选：B．8．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCO的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（4，6）．若直线y＝kx+3k 将▱ABCO分割成面积相等的两部分，则k的值是（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：连接OB和AC交于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，过点B作CB⊥x轴于点F，如下图所示：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴ME ＝BF ＝3，OE ＝OF ＝2，∴点M 的坐标为（2，3），∵直线y ＝kx +3k 将▱ABCO 分割成面积相等的两部分， ∴该直线过点M ， ∴3＝2k +3k ， ∴k ＝．故选：A ．9．若2x +5y +4z ＝0，3x +y ﹣7z ＝0，则x +y ﹣z 的值等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．不能求出【解答】解：根据题意得：，把（2）变形为：y ＝7z ﹣3x ， 代入（1）得：x ＝3z ， 代入（2）得：y ＝﹣2z ， 则x +y ﹣z ＝3z ﹣2z ﹣z ＝0． 故选：A ．10．如图所示，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥BC 交AC 于点E ，已知AD ＝AB ，连接BE 交AD 于点F ，下列结论：①BE ＝CE ；②∠CAD ＝∠ABE ；③S △ABF ＝3S △DEF ；④△DEF ∽△DAE ，其中正确的有（ ）A ．1个B ．4个C ．3个D ．2个【解答】解：∵D 是BC 的中点，且DE ⊥BC ， ∴DE 是BC 的垂直平分线，CD ＝BD ， ∴CE ＝BE ，故①正确；∴∠C ＝∠7， ∵AD ＝AB ，∴∠8＝∠ABC ＝∠6+∠7， ∵∠8＝∠C +∠4， ∴∠C +∠4＝∠6+∠7，∴∠4＝∠6，即∠CAD ＝∠ABE ，故②正确；作AG ⊥BD 于点G ，交BE 于点H ， ∵AD ＝AB ，DE ⊥BC ， ∴∠2＝∠3，DG ＝BG ＝BD ，DE ∥AG ，∴△CDE ∽△CGA ，△BGH ∽△BDE ，DE ＝AH ，∠EDA ＝∠3，∠5＝∠1， ∴在△DEF 与△AHF 中，，∴△DEF ≌△AHF （AAS ）， ∴AF ＝DF ，EF ＝HF ＝EH ，且EH ＝BH ，∴EF ：BF ＝1：3， ∴S △ABF ＝3S △AEF ， ∵S △DEF ＝S △AEF ，∴S △ABF ＝3S △DEF ，故③正确；∵∠1＝∠2+∠6，且∠4＝∠6，∠2＝∠3， ∴∠5＝∠3+∠4， ∴∠5≠∠4，∴△DEF ∽△DAE ，不成立，故④错误． 综上所述：正确的答案有3个．故选：C．二．填空题（每小题4分，共16分）11．已知a﹣b＝2，那么2a﹣2b+5＝9．【解答】解：∵a﹣b＝2，∴原式＝2（a﹣b）+5＝4+5＝9，故答案为：912．袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从中任摸一个球，恰好是白球的概率为”，则这个袋中白球大约有2个．【解答】解：∵袋中装有6个黑球和n个白球，∴袋中一共有球（6+n）个，∵从中任摸一个球，恰好是白球的概率为，∴＝，解得：n＝2．故答案为：2．13．直角三角形纸片的两直角边BC，AC的长分别为6，8，现将△ABC如下图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长为．【解答】解：设CE为x，则BE＝AE＝8﹣x，∵∠C＝90°，∴BE2﹣CE2＝BC2，（8﹣x）2﹣x2＝36，解得x＝．14．如图，点A1（1，1）在直线y＝x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线y＝x于点B1，B2，过点B2作y轴的平行线交直线y＝x于点A2，过点A2作x轴的平行线交直线y＝x于点B3，…，按照此规律进行下去，则点A n的横坐标为．【解答】解：∵A n B n+1∥x轴，∴tan∠A n B n+1B n＝．当x＝1时，y＝x＝，∴点B1的坐标为（1，），∴A1B1＝1﹣，A1B2＝＝﹣1．∵1+A1B2＝，∴点A2的坐标为（，），点B2的坐标为（，1），∴A2B2＝﹣1，A2B3＝＝﹣，∴点A3的坐标为（，），点B3的坐标为（，）．同理，可得：点A n的坐标为（，）．故答案为：．三．解答题（共54分，15题每小题12分，共12分）15．（1）计算：|﹣2|﹣（π﹣2015）0+（）﹣2﹣2sin60°+；（2）先化简，再求值：÷（2+），其中a＝．【解答】解：（1）|﹣2|﹣（π﹣2015）0+（）﹣2﹣2sin60°+＝2﹣1+4﹣2×+2＝2﹣1+4﹣+2＝5+；（2）÷（2+）＝＝＝，当a＝时，原式＝＝﹣1．16．当m为何值时．关于x的方程＝﹣的解是负数？【解答】解：两边都乘（x+1）（x﹣2），得m＝x2﹣2x﹣x2+1，解得x＝，由分式方程的解为负数，得＜0且≠﹣1，解得m＞1且m≠3．17．某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A级：90分﹣100分；B级：75分﹣89分；C级：60分﹣74分；D级：60分以下）（1）写出D级学生的人数占全班总人数的百分比为4%，C级学生所在的扇形圆心角的度数为72°；（2）该班学生体育测试成绩的中位数落在等级B内；（3）若该校九年级学生共有500人，请你估计这次考试中A级和B级的学生共有多少人？【解答】解：（1）总人数为25÷50%＝50人，D成绩的人数占的比例为2÷50×100%＝4%，表示C的扇形的圆心角360°×（10÷50）＝360°×20%＝72°，故答案为：4%，72°；（2）由于A成绩人数为13人，C成绩人数为10人，D成绩人数为2人，而B成绩人数为25人，故该班学生体育测试成绩的中位数落在B等级内；故答案为：B；（3）×500＝380（人），答：估计这次考试中A级和B级的学生共有380人．18．观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图（1）），则，即AD＝c sin B，AD＝b sin C，于是c sin B＝b sin C，即，同理有：，所以．即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．（1）如图（2），△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，则∠A＝60°；AC＝20；（2）自从去年日本政府自主自导“钓鱼岛国有化”闹剧以来，我国政府灵活应对，现如今已对钓鱼岛执行常态化巡逻．某次巡逻中，如图（3），我渔政204船在C处测得A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政204船距钓鱼岛A的距离AB．（结果精确到0.01，）【解答】解：（1）由正玄定理得：∠A＝60°，AC＝20；故答案为：60°，20；（2）如图，依题意：BC＝40×0.5＝20（海里）∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE＝180°．∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°．∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°．∴∠A＝45°．在△ABC中，，即，解之得：AB＝10≈24.49海里．所以渔政204船距钓鱼岛A的距离约为24.49海里．19．已知一次函数y1＝x+m的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．已知当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2．（1）求一次函数的解析式；（2）已知双曲线在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2，∴点A的横坐标为1，代入反比例函数解析式，＝y，解得y＝6，∴点A的坐标为（1，6），又∵点A在一次函数图象上，∴1+m＝6，解得m＝5，∴一次函数的解析式为y1＝x+5；（2）∵第一象限内点C到y轴的距离为3，∴点C的横坐标为3，∴y＝＝2，∴点C的坐标为（3，2），过点C作CD∥x轴交直线AB于D，则点D的纵坐标为2，∴x+5＝2，解得x＝﹣3，∴点D的坐标为（﹣3，2），∴CD＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6，点A到CD的距离为6﹣2＝4，联立，解得（舍去），，∴点B 的坐标为（﹣6，﹣1），∴点B 到CD 的距离为2﹣（﹣1）＝2+1＝3， S △ABC ＝S △ACD +S △BCD ＝×6×4+×6×3＝12+9＝21．20．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，连结AC ，过上一点E 作EG ∥AC 交CD 的延长线于点G ，连结AE 交CD 于点F ，且EG ＝FG ，连结CE ． （1）求证：△ECF ∽△GCE ； （2）求证：EG 是⊙O 的切线；（3）延长AB 交GE 的延长线于点M ，若tan G ＝，AH ＝3，求EM 的值．【解答】（1）证明：如图1中，∵AC ∥EG ， ∴∠G ＝∠ACG ，∵AB⊥CD，∴＝，∴∠CEF＝∠ACD，∴∠G＝∠CEF，∵∠ECF＝∠ECG，∴△ECF∽△GCE．（2）证明：如图2中，连接OE，∵GF＝GE，∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵∠AFH+∠FAH＝90°，∴∠GEF+∠AEO＝90°，∴∠GEO＝90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△AHC中，tan∠ACH＝tan∠G＝＝，∵AH＝3，∴HC＝4，在Rt△HOC中，∵OC＝r，OH＝r﹣3，HC＝4，∴（r﹣3）2+（4）2＝r2，∴r＝，∵GM∥AC，∴∠CAH＝∠M，∵∠OEM＝∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴＝，∴＝，∴EM＝．一．填空题（每小题4分，共20分）21．已知+|ab+3|＝0，则a﹣b的值是±．【解答】解：由题意得，a2+b2﹣5＝0，ab+3＝0，即a2+b2＝5，2ab＝﹣6，（a﹣b）2＝11，则a﹣b＝±，故答案为：±．22．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．【解答】解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根，则△＝b2﹣4ac＝4m2﹣4（m2+3m﹣2）＝8﹣12m≥0，∴m≤，∵x1（x2+x1）+x22＝（x2+x1）2﹣x1x2＝（﹣2m）2﹣（m2+3m﹣2）＝3m 2﹣3m +2＝3（m 2﹣m +﹣）+2 ＝3（m ﹣）2 +； ∴当m ＝时，有最小值； ∵＜，∴m ＝成立；∴最小值为；故答案为：． 23．如图，E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF ，CE ，AF 、CE 交于G ，则四边形BEGF 与四边形ADCG 的面积的比值为 ．【解答】解：如图：连接BG ，设S △AEG ＝a ，S △CFG ＝b ，∵点E ，F 分别是矩形ABCD 的边AB ，BC 的中点，∴S △BEG ＝a ，∴S △BGF ＝S △FGC ＝b ，∴S △ABF ＝S △BCE ＝S 矩形ABCD ，S △ABF ＝2a +b ，S △BCE ＝2b +a ，∴a ＝b ，S 矩形ABCD ＝12a ，∴＝＝．故答案为：．24．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）的上方，顶点为C．直线y＝kx+m（k≠0）经过点C、B．则下列结论：①b＞a；②2a﹣b＞﹣1；③2a+c＜0；④k＞a+b；⑤k＜﹣1，其中正确的结论有①⑤．【解答】解：①由图知：抛物线的开口向下，则a＜0．对称轴在x轴的左侧，因此，a、b同号，则b＜0∵﹣2+x1＝﹣，1＜x1＜2，∴0＜＜1，∴b＞a．故①正确；②∵抛物线交x轴与点（﹣2，0）∴4a﹣2b+c＝0∵c＞2∴4a﹣2b＝﹣c＜﹣2即2a﹣b＜﹣1．故②错误；③∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0），∴4a﹣2b+c＝0∵b＞a，∴2b＞2a，∴4a﹣2b＜2a，∴4a﹣2b+c＜2a+c，即0＜2a+c，∴2a+c＞0，故③错误；⑤如图，过顶点C作CD⊥AB于点D．则k＝﹣．AD和BD的长度都在1.5和2之间，也就是说1.5＜BD＜2，又因为CD＞2，所以CD除以BD＞1，所以k＜﹣1∴k＜﹣1，故⑤正确；④∵当x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，∵c＞2，∴a+b＞﹣2．又由⑤知，k＜﹣1，∴k与a+b的大小无法判断，故④错误；综上所述，正确的结论有①⑤．故答案是：①⑤．25．如图，等边△AOB的边长为4，点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA．在点P从O向A运动的过程中，当△PCA为直角三角形时t的值为2或s．【解答】解：①如图1中，连接KC、BC．设PB的中点为K．∵PK＝PC，∠KPC＝60°，∴△PKC是等边三角形，∴KC＝PK＝BK，∴∠PCB＝90°，∴当∠PCA＝90°时，点C在线段AB上，∵△AOB是等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠APC＝30°，∵∠CPK＝60°，∴∠APB＝90°，∴BP⊥OA，∵BO＝BA，∴OP＝PA＝2，∴t＝2．②如图2中，当∠PAC＝90°时，作BH⊥OA于H，BG⊥AC于G，连接KC、BC．则四边形BHAG是矩形，△PAC∽△CGB，∴＝＝＝，设OP＝x，则AP＝4﹣x，∵AH＝BG＝2，∴AC＝，GC＝（4﹣x），∵BH＝AG＝2，∴+（4﹣x）＝2，∴x＝．∴t＝，综上所述，t＝2或s时，△PAC是直角三角形，故答案为2或s．二．解答题（共30分）26．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2，单位：吨）之间的函数关系如图所示；B类杨梅深加工后再销售，深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）A类杨梅的销售量为5吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？（2）若该公司收购10吨杨梅，其中A类杨梅有4吨，则经营这批杨梅所获得的毛利润（w）为多少万元？（毛利润＝销售总收入﹣经营总成本）（3）若该公司收购20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元．①求w关于x的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？【解答】解：（1）设x，y的解析式为y＝kx+b，把x＝2时，y＝12，x＝8时，y＝6得：解得：，∴y＝﹣x+14（2≤x≤8），∴x＝5时，y＝9，答：A类杨梅的销售量为5吨时，它的平均销售价格是每吨9万元；（2）若该公司收购10吨杨梅，其中A类杨梅有4吨，则B类杨梅有6吨，易得：W A＝（10﹣3﹣1）×4＝24（万元），W A＝6×（9﹣3）﹣（12+3×6）＝6（万元），∴W＝24+6＝30（万元），答：此时经营这批杨梅所获得的毛利润w为30万元；（3）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨，①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x，w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x，∴w＝w A+w B﹣3×20＝（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x2+7x+48；当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x，w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（5x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x+48，∴w关于x的函数关系式为：w＝，②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48＝30，解得x1＝9，x2＝﹣2，均不合题意，当x≥8时，﹣x+48＝30，解得x＝18，∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．27．已知：如图1．正方形ABCD，过点A作∠EAF＝90°，两边分别交直线BC于点E，交线段CD于点F，G为AE中点，连接BG（1）求证：∠AFD+∠CBG＝180°；（2）如图2，过点G作BG的垂线交对角线AC于点H，求证：GH＝GB；（3）如图3，连接HF，若CH＝3AH，AD＝2，求线段HF的长．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠AEF＝90°，∴∠EAB＝∠DAF，∵∠ABE＝∠ADF＝90°，∴△ABE≌△ADF，∴∠AFD＝∠E，∵AG＝GE，∴GB＝GE＝GA，∴∠E＝∠GBE＝∠AFD，∵∠GBE+∠GBC＝180°，∴∠AFD+∠GBC＝180°．（2）证明：如图2中，连接BD交AC于O，连接OG、BH、取BH的中点K，连接GK、OK．∵∠BGH＝∠BOH＝90°，BK＝KH，∴GK＝KH＝OK＝KB，∴O、H、G、B四点共圆，∵AG＝GE，AO＝OC．∴OG∥CE，∴∠GOB＝∠OBC＝45°，∴∠GOH＝∠GBH＝45°，∵∠BGH＝90°，∴∠GBH＝∠GHB＝45°，∴GH＝GB．（3）解：如图3中，如图3中，设OG交AB于T，GH交AB于P．，作HM⊥DF于M．∵OG∥EC，AB⊥CE，∴OG⊥AB，易证∠EAB＝∠GBP＝∠PGT＝∠HBO，∴tan∠EAB＝tan∠HBO＝，∵CH＝3AH，OA＝OC＝OB，∴tan∠EAB＝tan∠HBO＝＝，∵AB＝AD＝2，∴BE＝DF＝，在Rt△HMF中，易证FM＝，HM＝，∴HF＝＝5．28．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣10ax+16a（a≠0）交x轴于A、B两点，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点H，且AB＝2DH．（1）求a的值；（2）点P是对称轴右侧抛物线上的点，连接PD，PQ⊥x轴于点Q，点N是线段PQ上的点，过点N作NF⊥DH于点F，NE⊥PD交直线DH于点E，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，连接DN、DQ、PB，当DN＝2QN（NQ＞3），2∠NDQ+∠DNQ＝90°时，作NC⊥PB交对称轴左侧的抛物线于点C，求点C的坐标．【解答】解：（1）令y＝0，∵a≠0，∴x2﹣10x+16＝0，得x＝2或x＝8，∴点A（2，0），B（8，0），∴AB＝8﹣2＝6，∵AB＝2DH，∴DH＝3，∵OH＝2+，∴D（5，﹣3），∴﹣3＝a×52﹣10a×5+16a，得a＝；（2）如图1，过点D作PQ的垂线，交PQ的延长线于点M，∵NE⊥PD，∴∠DPN+∠PNE＝90°，∵NF⊥DE，∴∠FEN+∠FNE＝90°，又∵DH⊥x轴，PQ⊥x轴，∴DE∥PQ，∴∠FEN＝∠PNE，∴∠DPM＝∠ENF，∴△EFN∽△DMP，∴，设点P（t，），则FN＝DM＝t﹣5，PM＝+3，∴，解得，EF＝3；（3）如图2，作QG⊥DN于点G，∵DF∥PQ，∴∠FDN＝∠DNQ，∵2∠NDQ+∠DNQ＝90°，∴2∠NDQ+∠FDN＝90°，∵∠FDM＝90°，∴∠NDM＝2∠NDQ，∴∠NDQ＝∠MDQ，∴QG＝QM＝DH＝3，设QN＝m，则DN＝2m，∵sin∠DNM＝，sin∠QNG＝，sin∠DNM＝sin∠QNG，∴，得DM＝6＝DG，∴OQ＝5+6＝11，∴点P的纵坐标是：，∴点P（11，9），∵NG＝DN﹣DG＝2m﹣6，在Rt△NGQ中，QG2+NG2＝QN2，∴32+（2m﹣6）2＝m2，解得，m＝3（舍去）或m＝5，设点C的坐标为（n，），作CK⊥x轴于点K，作NF⊥CK于点K，则CT＝，NT＝11﹣n，∵P（11，9），则BQ＝11﹣8＝3，PQ＝9，∵CN⊥PB，PQ∥CK，PQ⊥x轴，∴△CTN∽△BQP，∴，即，解得，n＝﹣1或n＝10（舍去），∴点C（﹣1，9）．。
2018年四川省成都实验外国语学校自主招生数学试卷
2018年四川省成都实验外国语学校自主招生数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的）1．（4分）下列四个实数中，为有理数的是（）A．B．3.14C．sin20°D．2．（4分）已知代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＞2B．0≤x≤2C．0＜x≤2D．0＜x＜23．（4分）用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形4．（4分）（﹣2）101+（﹣4）50+833等于（）A．450B．﹣5•299C．﹣299D．8325．（4分）已知甲、乙两车由同一起点同时出发并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图所示），那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（）A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面6．（4分）满足一元二次不等式ax2+bx+2＞0的x范围是﹣＜x＜，则a+b的值为（）A．﹣14B．﹣10C．﹣7D．77．（4分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数“．如图，一位母亲在从右到左排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）A．1035B．75C．369D．3658．（4分）不等式|2x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，则a的取值范围是（）A．a≤B．a≤5C．a≤2D．a≤39．（4分）设P1，P2，…P n为直角坐标系平面xOy内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…P n的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…P n的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，则有下列命题：①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（4分）对于函数y＝ax|x|+bx+c（其中，a、b为任意实数，c为整数），选取a、b、c的一组值计算：当x＝1时对应的函数值y1和当x＝﹣1时对应的函数值y2，所得出的正确结果一定不可能是（）A．4和6B．3和1C．2和4D．3和2二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，将答案直接填在答题卷对应的横线上）11．（4分）计算：（﹣）×+|3﹣2|+（）﹣2＝．12．（4分）小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为．13．（4分）如图，图中小正方形的边长为1，现随机地向该矩形EFGH框内掷一枚小针，针尖落在梯形ABCD内的概率为．14．（4分）若i2＝﹣1，则1+i+i2+i3…+i7＝．15．（4分）一个盒子中装有两个红球，一个白球和两个蓝球，这些球除颜色外都相同．现从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中摸出一个球，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是．16．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥最长棱的棱长为．17．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若一次函数y＝kx+b对应的直线与反比例函数y═对应的曲线相切，一次函数y＝kx+b对应的直线分别与x轴和y轴相交于A、B两点，则S△AOB＝．18．（4分）圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周顺时针滚动，经过k次滚动（注：如图所示，实线正方形到虚线正方形．为滚动一次），点A第一次回到点P的位置且此时的正方形与初始位置重合，则k＝；若正方形滚动四次就停止，则点A走过的路径的长度为．19．（4分）若4sin318°﹣2sin218°﹣3sin18°+1＝0，则sin18°＝．20．（4分）如图，AC⊥CB，AC＝CB，在BC上取一点D连接AD，∠ACB的平分线交AD于E点，连接BE．若S△ACE＝4，S△EBD＝1，则CD＝．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或推演步骤）21．（10分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60m．（1）利用公式tan＝，求tan15°的值；（2）求河流的宽度BC．22．（12分）已知二次函数y＝4x2﹣4ax+a2﹣2a+2，当﹣1≤x≤3时，函数有最小值5，求a的值．23．（12分）如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象为曲线C，一次函数y＝﹣x的图象为直线l．（1）求平行于直线l且与曲线C相切的直线对应的一次函数解析式；（2）求直线与曲线相切的切点到直线l的距离．24．（12分）如图，已知⊙O的直径AB＝10，C、D为上半圆上两点，AC＝CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E（点E在线段AO上），CE＝4．（1）求四边形ACDB的面积；（2）取CB的中点F，连接DF并延长交⊙O于点G，求DG的长．25．（12分）已知抛物线方程y＝ax2+bx，其顶点坐标为（3，﹣9）．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y＝k（x﹣3）﹣与抛物线交于P，Q两点，点B（3，﹣），求证：+为定值（参考公式，已知A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则A，B两点间的距离|AB|＝．26．（12分）勾股定理是数学史上非常重要的定理之一，两千多年来，人们对它进行了大量的研究，给出了多达数百种证明方法．请你叙述勾股定理，并用欧几里德在《几何原本》中的证明方法进行构图并证明．叙述勾股定理：已知：求证：证明：图形：参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的）1．选：B．2．选：C．3．选：D．4．选：C．5．选：A．6．选：B．7．选：C．8．选：A．9．选：B．10．选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，将答案直接填在答题卷对应的横线上）11．（4分）计算：（﹣）×+|3﹣2|+（）﹣2＝1．12．（4分）小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%．13．（4分）如图，图中小正方形的边长为1，现随机地向该矩形EFGH框内掷一枚小针，针尖落在梯形ABCD 内的概率为．14．（4分）若i2＝﹣1，则1+i+i2+i3…+i7＝0．15．（4分）一个盒子中装有两个红球，一个白球和两个蓝球，这些球除颜色外都相同．现从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中摸出一个球，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是．16．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥最长棱的棱长为2．17．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若一次函数y＝kx+b对应的直线与反比例函数y═对应的曲线相切，一次函数y＝kx+b对应的直线分别与x轴和y轴相交于A、B两点，则S△AOB＝8．18．（4分）圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周顺时针滚动，经过k次滚动（注：如图所示，实线正方形到虚线正方形．为滚动一次），点A第一次回到点P的位置且此时的正方形与初始位置重合，则k＝12；若正方形滚动四次就停止，则点A走过的路径的长度为π．19．（4分）若4sin318°﹣2sin218°﹣3sin18°+1＝0，则sin18°＝．20．（4分）如图，AC⊥CB，AC＝CB，在BC上取一点D连接AD，∠ACB的平分线交AD于E点，连接BE．若S△ACE＝4，S△EBD＝1，则CD＝．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或推演步骤）21．（10分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60m．（1）利用公式tan＝，求tan15°的值；（2）求河流的宽度BC．【解答】解：（1）由公式tan＝可得：tan15°＝＝＝＝2﹣；（2）由题意得：AD为气球的高，∴AD＝60m，AD⊥BC，在Rt△ABD中，∵∠BAD＝90°﹣75°＝15°，tan∠BAD＝，∴BD＝AD×tan15°＝60（2﹣）m，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝90°﹣30°＝60°，tan∠CAD＝，∴CD＝AD×tan60°＝60m，∴BC＝CD﹣BD＝60﹣60（2﹣）＝120﹣120（m），即河流的宽度BC为（120﹣120）m．22．（12分）已知二次函数y＝4x2﹣4ax+a2﹣2a+2，当﹣1≤x≤3时，函数有最小值5，求a的值．【解答】解：∵y＝4x2﹣4ax+a2﹣2a+2＝4（x﹣）2+（2﹣2a），∴函数对称轴为直线x＝a，∵当﹣1≤x≤3时，函数有最小值5，∴①＜﹣1时，x＝﹣1函数取得最小值，4+4a+a2﹣2a+2＝5，即（a+1）2＝0，解得a＝﹣1，不合理，舍去；②﹣1≤≤3时，x＝函数取得最小值，2﹣2a＝5，解得a＝﹣，合理；③＞3时，x＝3函数取得最小值，36﹣12a+a2﹣2a+2＝5，即a2﹣14a+33＝0，解得a1＝11，a2＝3（舍去），综上所述，a的值为﹣或11．23．（12分）如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象为曲线C，一次函数y＝﹣x的图象为直线l．（1）求平行于直线l且与曲线C相切的直线对应的一次函数解析式；（2）求直线与曲线相切的切点到直线l的距离．【解答】解：（1）∵所求直线平行于直线l：y＝﹣x，∴设所求直线解析式为y＝﹣x+b．又∵所求直线与曲线C：y＝相切，∴，即﹣x+b＝有两个相等实数根．整理，得：x2﹣bx+2＝0，∴△＝（﹣b）2﹣4××2＝0，解得：b＝±2．又∵反比例函数图象在第一象限，结合图形1可知b＝2，∴平行于直线l且与曲线C相切的直线对应的一次函数解析式为y＝﹣x+2．（2）由得：，∴切点P的坐标为（，）．如图2，过点P作PM∥y轴交直线l于点M，则点M的坐标为（，﹣），PM＝2；过点P作PN∥x轴交直线l于点N，则点N的坐标为（﹣，），PN＝2，∠MPN＝90°．在Rt△PMN中，∠MPN＝90°，PM＝2，PN＝2，∴MN＝＝4．过点P作P A⊥直线l于点A，则MN•P A＝PM•PN，即×4•P A＝×2×2，∴P A＝，∴线与曲线相切的切点到直线l的距离为．24．（12分）如图，已知⊙O的直径AB＝10，C、D为上半圆上两点，AC＝CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E（点E在线段AO上），CE＝4．（1）求四边形ACDB的面积；（2）取CB的中点F，连接DF并延长交⊙O于点G，求DG的长．【解答】（1）解：过点C作CI⊥BD于I，连接OC．∵AB＝10，CE⊥AB，CE＝4，∴OE＝＝＝3，∴BE＝OE+OB＝8，AE＝OA﹣OE＝2，∵AC＝＝2，BC＝＝＝4，∴S△ACB＝•AC•BC＝20，∵AC＝CD，∴＝，∴∠CBE＝∠CBI，∵∠CEB＝∠CIB＝90°，BC＝BC，∴△BCE≌△BCI（AAS），∴CI＝CE＝4，BE＝BI＝8，∵∠AEC＝∠CID＝90°，AD＝CD，CE＝CI，∴Rt△CEA≌Rt△CID（HL），∴AE＝ID＝2，∴BD＝BI﹣DI＝6，∴S△BCD＝•BD•CI＝12，∴S四边形ABDC＝S△ABC+S△CBD＝20+12＝32．（2）过点D作DH⊥BC于H．∵S△BCD＝•BC•DH＝12，BC＝4，∴DH＝，在Rt△CDH中，CH＝＝＝，∵CF＝BC＝2，∴FH＝CF﹣CH＝，在Rt△DFH中，DF＝＝＝2，∵DF•FG＝CF•FB，∴FG＝＝5，∴DG＝DF+FG＝7．25．（12分）已知抛物线方程y＝ax2+bx，其顶点坐标为（3，﹣9）．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y＝k（x﹣3）﹣与抛物线交于P，Q两点，点B（3，﹣），求证：+为定值（参考公式，已知A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则A，B两点间的距离|AB|＝．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（3，﹣9），∴抛物线的表达式为y＝a（x﹣3）2﹣9＝ax2﹣6ax+9a﹣9＝ax2+bx，故9a﹣9＝0，解得：a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2﹣6x；（2）证明：设点P、Q的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），x1＞3，x2＜3，由题意得，联立方程组并整理得：x2﹣（6+k）x+3k+，则x1+x2＝6+k，x1•x2＝3k+，∴＝+＝+＝＝＝＝＝4为定值．26．（12分）勾股定理是数学史上非常重要的定理之一，两千多年来，人们对它进行了大量的研究，给出了多达数百种证明方法．请你叙述勾股定理，并用欧几里德在《几何原本》中的证明方法进行构图并证明．叙述勾股定理：已知：求证：证明：图形：【解答】已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，求证a2+b2＝c2证明：分别以Rt△ABC的三边为边长作正方形ABFE、正方形AJKC、正方形BCIH，过点C作AB的垂线，交AB于点D，交FE于点G，连接HA、CF．∵四边形ABFE和四边形CBHI是正方形，∴AB＝FB，HB＝CB，∠ABF＝∠CBH＝90°，∴∠CBF＝∠HBA，∴△ABH≌△FBC（SAS），∵AI∥BH，∴S△ABH＝S正方形BCIH，∵CG∥BF，∴S△CBF＝S矩形BDGF，又∵△ABH≌△FBC，∴S△ABH＝S△CBF，∴S正方形BCIH＝S矩形BDGF，即正方形BCIH的面积与四边形BFGD的面积相等，同理可得，正方形ACKJ的面积与四边形ADGE的面积相等；∴S正方形ACKJ+S正方形BCIH＝S矩形ADEG+S矩形BDGF＝S正方形ABFE，即AC2+BC2＝AB2，又∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，∴a2+b2＝c2．。
四川省成都外国语学校2018-2019学年高一下学期入学考试数学试题含答案
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．
16.【答案】0
【解析】
解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（1+x）=f（1-x），
参考答案
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】A．
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】D
12.【答案】C
13.【答案】（-3，-3）
【解析】
解：方法1：平移法
∵y=ax过定点（0，1），
∴将函数y=ax向左平移3个单位得到y=ax+3，此时函数过定点（-3，1），
14.【答案】0
【解析】
解：向量 =（1，λ）， =（3，1）， =（1，2），
则向量2 =（-1，2λ-1），
由2 - 与 共线，得-1×2-（2λ-1）=0，
解得λ=- ，
所以向量 =（1，- ），
所以 在向量 方向上的投影为| |cosθ= = =0．
故答案为：0．
根据平面向量的坐标运算求出2 ，利用共线定理列方程求得λ的值，再求向量 在向量 方向上的投影．
16.已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（1+x）=f（1-x），若f（1）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）=______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
四川省成都外国语学校2018_2019学年高一数学下学期3月月考试题(含解析)
成都外国语学校18-19下期高2018级3月月考试题高一数学请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上．一、选择题：本题共12小题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）D.【答案】B【解析】【分析】【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及集合的交集运算问题，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及集合交集的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
2.上的奇函数C.【答案】D【解析】【分析】【详解】因为为定义在上的奇函数，当时，所以所以故选D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，根据函数的奇偶性求函数的值，熟记奇函数的定义即可求解，属于基础题型.3.B.【答案】A【解析】【分析】a，b，c的大小关系．故选：A．【点睛】考查指数函数、对数函数的单调性，以及增函数的定义．4.（）B.【答案】D【解析】【分析】然后将所求化为齐次式的形式，再运用同角关系式表示．∴．故选D．【点睛】本题考查利用三角变换进行求值，解题时要注意对公式的灵活运用，容易出现的错误是忽视公式中的符号，解答“给值求值”问题的关键是对所给条件及所求值的式子进行合理的变形，注意整体代换在解题中的应用．5.的图象，可把函数的图象（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】角函数的图象变换，即可求解，得到答案。
，解得因为，所以，所以函数的图象向左平行移动个单位长度得选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换，其中解答中正确李颖三角函数的性质，得出三角函数的解析式，熟记三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
2018年成都市成都外国语学校自主招生考试数学试卷(含解析)
2018年成都市成都外国语学校自主招生考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）A卷（共100分）一．选择题（每小题3分，共30分）1．下列各数中，比﹣3大的数是（）A．﹣πB．﹣3.1 C．﹣4 D．﹣22．在下列计算中，正确的是（）A．b3•b3＝b6B．x4•x4＝x16C．（﹣2x2）2＝﹣4x4D．3x2•4x2＝12x23．亚洲陆地面积约为4400万平方千米，将44000000科学记数法表示为（）A．4.4×106B．4.4×107C．0.44×107D．4.4×1034．下面的图形是天气预报的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．如果方程ax2+2x+1＝0有两个实根，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＜1且a≠0 C．a≤1且a≠0 D．a≤16．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11 B．5.5 C．7 D．3.57．如图，DE是△ABC的中位线，F为DE上一点，且EF＝2DF，BF的延长线交AC于点H，CF的延长线交AB 于点G，则S四边形AGFH：S△BFC＝（）A．1：10 B．1：5 C．3：10 D．2：58．如图，四边形ABCD中∠DAB＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝1，CD＝2，则对角线AC的长为（）A．B．C．D．9．如图，以O为圆心的圆与直线y＝﹣x+交于A、B两点，若△OAB恰为等边三角形，则弧AB的长度为（）A．πB．πC．πD．π10．如图，抛物线y1＝（x+1）2+1与y2＝a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①a＝；②AC＝AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（每小题3分，共15分）11．若3x3﹣x＝1，则9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2001＝．12．如果样本x1，x2，x3，…，x n的平均数为5，那么样本x1+2，x2+2，x3+2，…x n+2的平均数是13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝6，Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A 逆时针方向旋转60°得到的，则线段B′C的长为．14．学生要测算某建筑的高度，他们先从视角仪安装处对准筑物顶部上的点A，再把标杆放在视线OA的反向延长线与地面的交点C处．然后把视线对准建筑物底部的点B（AB垂直于地面地面），再找到视线OB的反向延长与标杆的交点D，量得O点到地面的高OO1＝1.5（米），CD＝1.53（米），则建筑物高AB＝米．15．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB ＝∠DCE．若tan∠ACB＝，BC＝2，则⊙O的半径为．三．解答题（共5小题，计55分）16．（18分）计算：（1）﹣12018+（﹣6）2×（）（2）﹣|﹣3|（3）关于x的不等式组恰好有三个整数解，求a的取值范围．17．（7分）在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图1所示）：（1）在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α；（2）量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN＝m；（3）量出测倾器的高度AC＝h．根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN．如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度（如图2）的方案：（1）在图2中，画出你测量小山高度MN的示意图（标上适当的字母）；（2）写出你的设计方案．18．（10分）已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2+2k﹣1＝0…①（1）求证：对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根；（2）如果a是关于y的方程y2﹣（x1+x2﹣2k）y+（x1﹣k）（x2﹣k）＝0…②的根，其中x1，x2是方程①的两个实数根，求代数式（﹣1）÷•的值．19．（10分）如图，已知直线l：y＝ax+b与反比例函数y＝﹣的图象交于A（﹣4，1）、B（m，﹣4），且直线l与y轴交于点C．（1）求直线l的解析式；（2）若不等式ax+b＞﹣成立，则x的取值范围是；（3）若直线x＝n（n＜0）与y轴平行，且与双曲线交于点D，与直线l交于点H，连接OD、OH、OA，当△ODH的面积是△OAC面积的一半时，求n的值．20．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC，垂足为H，连接OB．（1）如图1，求证：∠DAC＝∠ABO；（2）如图2，在弧AC上取点F，使∠CAF＝∠BAD，在弧AB取点G，使AG∥OB，若∠BAC＝60°，求证：GF ＝GD；（3）如图3，在（2）的条件下，AF、BC的延长线相交于点E，若AF：FE＝1：9，求sin∠ADG的值．B卷（50分）一．填空题（每题4分，共20分）21．已知m，n是方程x2﹣2017x+2018＝0的两根，则（n2﹣2018n+2 019）（m2﹣2018m+2019）＝．22．在一个口袋中有七个大小和形状完全相同的小球，分别标有数字﹣6，﹣5，﹣4．﹣3，﹣2，2，1．现从袋中抽出一个小球记上面的数字为a，则使得二次函数y＝（x+1）2+a+1的顶点落在第三象限且使得分式方程＝2﹣有整数解的概率是．23．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则当OC为最大值时，点C的坐标是．24．如图，在边长为1的菱形 ABCD中，∠DAB＝60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC＝60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使∠HAE＝60°，…，按此规律所作的第n个菱形的边长是．25．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA于D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，则下列结论：①AG＝CH；②GH＝；③直线GH的函数关系式y＝﹣；④梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，⊙P的半径为．其中正确的有．二．解答题（26题8分，27题10分，28题12分）26．（8分）为迎接全国文明城市的评选，市政府决定对春风路进行市政化改造，经过市场招标，决定聘请甲、乙两个工程队合作施工，已知春风路全长24千米，甲工程队每天施工的长度比乙工程队每天施工长度的多施工0.4千米，由甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的．（1）求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？（2）若甲工程队每天的施工费用为0.8万元，乙工程队每天的施工费用为0.5万元，要使两个工程队施工的总费用不超过7万元，则甲工程队至多施工多少天？27．（10分）在菱形ABCD中，∠BAD＝60°．（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE、CE、若AB＝4，求线段EC的长；（2）如图2，M为线段AC上一点（不与A、C重合），以AM为边向上构造等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC、DM，Q为线段NC的中点，连接DQ、MQ，判断DM与DQ的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若AC＝，请你直接写出DM+CN的最小值．28．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左边），AB＝4，与y轴交于点C，E为抛物线的顶点，且tan∠ABE＝2．（1）求此二次函数的表达式；（2）已知P在第四象限的抛物线上，连接AE交y轴于点M，连接PE交x轴于点N，连接MN，若S△EAP＝3S△EMN，求点P的坐标；（3）如图2，将原抛物线沿y轴翻折得到一个新抛物线，A点的对应点为点F，过点C作直线l与新抛物线交于另一点M，与原抛物线交于另一点N，是否存在这样一条直线，使得△FMN的内心在直线EF上？若存在，求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析1．【解答】解：∵﹣π＜﹣3，﹣3.1＜﹣3，﹣4＜﹣3，﹣2＞﹣3，∴比﹣3大的数是﹣2．故选：D．2．【解答】解：A、b3•b3＝b6，正确；B、x4•x4＝x8，错误；C、（﹣2x2）2＝4x4，错误；D、3x2•4x2＝12x4，错误；故选：A．3．【解答】解：将44000000科学记数法表示为4.4×107，故选：B．4．【解答】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．5．【解答】解：∵ax2+2x+1＝0有两个实数根，∴当a＝0时，方程化为2x+1＝0，解得：x＝﹣，不合题意；故a≠0，∴△＝b2﹣4ac＝2 2﹣4a≥0，解得：a≤1，则a的取值范围是a≤1且a≠0．故选：C．6．【解答】解：作DM＝DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，∵DE＝DG，∴DM＝DG，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DN，在Rt△DEF和Rt△DMN中，，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，∴S△MDG＝S△ADG﹣S△ADM＝50﹣39＝11，S△DNM＝S△EDF＝S△MDG＝×11＝5.5．故选：B．7．【解答】解：设DF＝x，EF＝2x，S△GDF＝S，则DE＝3x，∵DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝6x，∵DE∥BC，∴△GDF∽△GBC，＝＝，∴＝（）2，即＝（）2＝，∴S△GBC＝36S，∵＝＝，∴S△BGF＝6S，∴S△BFC＝30S，∵EF∥BC，∴＝＝＝＝，∴＝＝，∴S△CFH＝S△BCF＝15S，∴S△BCH＝45S，而AE＝CE，∴AH：HC＝1：3，∴S△BAH＝S△BCH＝15S，∴S四边形AGFH＝S△BAH﹣S△BGF＝15S﹣6S＝9S，∴S四边形AGFH：S△BFC＝9S：30S＝3：10．故选：C．8．【解答】解：延长DC交AB的延长线于点K；在Rt△ADK中，∠DAK＝60°∠AKD＝30°，BC＝1，∴，∴DK＝CD+CK＝4，∴AD＝＝，在△Rt△ADC中，AC＝＝，故选：C．9．【解答】解：如图，作OC⊥AB于C，设AB与x轴交于点M，与y轴交于点N．∵直线AB的解析式为y＝﹣x+，∴M（，0），N（0，），∴OM＝ON＝，△OMN是等腰直角三角形，∴∠OMN＝∠ONM＝45°，∵OC⊥AB，∴OC＝OM＝．∵△OAB为等边三角形，OC⊥AB，∴AB＝2AC，AC＝＝＝，∠AOB＝60°，OA＝OB＝AB，∴AB＝，∴弧AB的长度为：＝π．故选：C．10．【解答】解：∵抛物线y1＝（x+1）2+1与y2＝a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），∴3＝a（1﹣4）2﹣3，解得：a＝，故①正确；过点E作EF⊥AC于点F，∵E是抛物线的顶点，∴AE＝EC，E（4，﹣3），∴AF＝3，EF＝6，∴AE＝＝3，AC＝2AF＝6，∴AC≠AE，故②错误；当y＝3时，3＝（x+1）2+1，解得：x1＝1，x2＝﹣3，故B（﹣3，3），D（﹣1，1），则AB＝4，AD＝BD＝2，∴AD2+BD2＝AB2，∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；∵（x+1）2+1＝（x﹣4）2﹣3时，解得：x1＝1，x2＝37，∴当37＞x＞1时，y1＞y2，故④错误．故选：B．二．填空题（每小题3分，共15分）11．【解答】解：∵9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2001＝3x（3x3﹣x）+4（3x3﹣x）﹣3x+2001，且3x3﹣x＝1，∴9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2001＝3x+4﹣3x+2001＝2005故答案为200512．【解答】解：∵样本x1，x2，…x n的平均数为5，（x1+2）+（x2+2）+…+（x n+2）＝（x1+x2+…+x n）+2n ∴样本x1+2，x2+2，…，x n+2的平均数＝5+2＝7，故答案为：7．13．【解答】解：如图，作B′E⊥AC交CA的延长线于E．∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝6，∴∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝3，∵Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，∴AB＝AB′＝6，∠B′AC′＝60°，∴∠EAB′＝180°﹣∠B′AC′﹣∠BAC＝60°．∵B′E⊥EC，∴∠AB′E＝30°，∴AE＝3，∴根据勾股定理得出：B′E＝＝3，∴EC＝AE+AC＝6，∴B′C＝＝＝3．故答案为：3．14．【解答】解：如图，高OO1＝1.5，CD＝1.53，∵OO1∥CD，∴△BOO1∽△BDC，∴＝，即＝，∴＝＝，∵OO1∥AB，∴△COO1∽△CAB，∴＝，∴＝，∴AB＝76.5（m）．故答案为76.5．15．【解答】解：连接EF，∵∠ACB＝∠DCE，∠B＝∠D＝90°，∴△ABC∽△EDC，∴＝，即＝，∵BC＝2，∴AB＝CD＝，∴DE＝1，∴AE＝DE，∵AF为直径，∴EF⊥AD，∴EF∥CD，∴AF＝CF，在Rt△ABC中，AB＝，BC＝2，∴AC＝，∴⊙O的半径OA＝AF＝AC＝．故答案为：．三．解答题（共5小题，计55分）16．【解答】解：（1）原式＝﹣1+36×＝﹣1+6＝5；（2）原式＝2+﹣3＝；（3）解不等式5x+2＞0，得：x＞﹣0.4，解不等式3x+2a+4＞4（x+1），得：x＜2a，∵不等式组恰好有三个整数解，∴不等式组的整数解为：0、1、2，∴2＜2a≤3，解得：1＜a≤．17．【解答】解：（1）正确画出示意图；（2）①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE＝α；②在测点A与小山之间的B处安置测倾器（A、B与N在同一条直线上），测得此时山顶M的仰角∠MDE＝β；③量出测倾器的高度AC＝BD＝h，以及测点A、B之间的距离AB＝m．根据上述测量数据，即可求出小山的高度MN．18．【解答】（1）证明：△＝[﹣2（k+1）]2﹣4×1×（k2+2k﹣1）＝8＞0，所以对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根；（2）解：∵x1，x2是方程①的两个实数根，∴x1+x2＝2（k+1），x1•x2＝k2+2k﹣1，∴x1+x2﹣2k＝2（k+1）﹣2k＝2，（x1﹣k）（x2﹣k）＝x1•x2﹣（x1+x2）k+k2＝k2+2k﹣1﹣（2k+2）k+k2＝﹣1，方程②为y2﹣2y﹣1＝0，∵a是关于y的方程y2﹣（x1+x2﹣2k）y+（x1﹣k）（x2﹣k）＝0…②的根，∴a2﹣2a﹣1＝0，∴a2﹣1＝2a，∴（﹣1）÷•＝••＝﹣＝﹣＝﹣19．【解答】解：（1）∵，∴m＝1，∴B（1，﹣4）．∵y＝ax+b过A（﹣4，1），B（1，﹣4），∴，解得，∴直线解析式为y＝﹣x﹣3；（2）由函数图象可知，不等式ax+b＞﹣成立，则x的取值范围是x＜﹣4或0＜x＜1．故答案是：x＜﹣4或0＜x＜1；（3）∵直线与y轴交点为（0，﹣3），∴由直线x＝n可知当﹣4＜n＜0时，，∵，∴，整理得n2+3n+2＝0，解得：n1＝﹣1，n2＝﹣2；当n＜﹣4时，，∵，∴，整理得n2+3n﹣10＝0，解得：n1＝﹣5，n2＝2（不合题意，舍去）．综上可知n的值为﹣1，﹣2，﹣5．20．【解答】（1）证明：如图1，延长BO交⊙O于点Q，连接AQ．∵BQ是⊙O直径，∴∠QAB＝90°．∵AD⊥BC，∴∠AHC＝90°．∵弧AB＝弧AB，∴∠AQB＝∠ACB，∵∠AQB+∠ABO＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°∴∠ABO＝∠CAD．（2）证明：如图2，∵AG∥OB，∴∠ABO＝∠BAG，∵∠ABO＝∠CAD，∴∠CAD＝∠BAG，∵∠BAC＝60°，∴∠BAD+∠CAD＝∠BAD+∠BAG＝60°，∵∠BAD＝∠CAF，∴∠CAF+∠CAD＝60°，∴∠GAD＝∠DAF＝60°，∠GAF＝120°，∵四边形AGDF内接于⊙O，∴∠GDF＝60°，∵弧GD＝弧GD，∴∠GAD＝∠GFD＝60°，∴∠GDF＝∠GFD＝60°，∴GD＝GF．（3）解：如图3，延长GA，作FQ⊥AG，垂足为Q，作ON⊥AD，垂足为N，作OM⊥BC，垂足为M，延长AO 交⊙O于点R，连接GR．作DP⊥AG，DK⊥AE，垂足为P、K．∵AF：FE＝1：9，∴设AF＝k，则FE＝9k，AE＝10k，在△AHE中，∠E＝30°，∴AH＝5k．设NH＝x，则AN＝5k﹣x，∵ON⊥AD，∴AD＝2AN＝10k﹣2x又在△AQF中，∵∠GAF＝120°，∴∠QAF＝60°，AF＝k，∴AQ＝，FQ＝k，由（2）知：∠GDF＝∠DAF＝60°，∴△GDF是等边三角形，∴GD＝GF＝DF，∵∠GAD＝∠DAF＝60°，∴DP＝DK，∴△GPD≌△FKD，△APD≌△AKD∴FK＝GP，AP＝AK，∠ADK＝30°，∴AD＝2AK＝AP+AK＝AF+AG∴AG＝10k﹣2x﹣k＝9k﹣2x，∵作OM⊥BC，ON⊥AD，∴OM＝NH＝x，∵∠BOM＝∠BOC＝∠BAC＝60°∴BC＝2BM＝2x，∵∠BOC＝∠GOF，∴GF＝BC＝2x在△GQF中，GQ＝AG+AQ＝k﹣2x，QF＝k，GF＝2x，∵GQ2+FQ2＝GF2，∴（k﹣2x）2+（k）2＝（2x）2，∴x1＝k，x2＝﹣k（舍弃），∴AG＝9k﹣2x＝k，AR＝2OB＝4OM＝4x＝7k，在△GAR中，∠RGA＝90°，∴sin∠ADG＝sin∠R＝＝．一．填空题（每题4分，共20分）21．【解答】解：∵m、n是方程x2﹣2 017x+2 018＝0的两根，∴m2﹣2017m＝﹣2018，n2﹣2017n＝﹣2018，m+n＝2017，mn＝2018，∴原式＝（﹣n+1）（﹣m+1）＝mn﹣（m+n）+1＝2018﹣2017+1＝2．故答案为：2．22．【解答】解：二次函数y＝（x+1）2+a+1的顶点坐标为：（﹣1，a+1），当顶点落在第三象限时，a+1＜0，即a＜﹣1，则符合条件的a的值为﹣6，﹣5，﹣4．﹣3，﹣2，＝2﹣，去分母，得ax＝2（x﹣2）﹣（3x+2），去括号，得ax＝2x﹣4﹣3x﹣2，移项、合并同类项，得（a+1）x＝﹣6，系数化为1，得x＝﹣，当a＝﹣4时，x＝2是增根，则a＝﹣3，﹣2，2，1时，分式方程有整数解，综上所述，当a═﹣3，﹣2时，二次函数y＝（x+1）2+a+1的顶点落在第三象限且使得分式方程＝2﹣有整数解，所以使得二次函数y＝（x+1）2+a+1的顶点落在第三象限且使得分式方程＝2﹣有整数解的概率是，故答案为：．23．【解答】解：E为AB的中点，当O，E及C共线时，OC最大，过C作CF⊥x轴于F，则∠CFO＝90°，此时OE＝BE＝AB＝1，由勾股定理得：CE＝＝2，OC＝1+2＝3，即BE＝CE，∵∠CBE＝90°，∴∠ECB＝30°，∠BEC＝60°，∴∠AEO＝60°，∵在Rt△AOB中，E为斜边AB中点，∴AE＝OE，∴△AOE等边三角形，∴∠AOE＝60°，∴∠COB＝90°﹣60°＝30°，∴CF＝OC＝＝，由勾股定理得：OF＝＝＝，所以点C的坐标是（，）．故答案为：（，）．24．【解答】解：连接BD交AC于O，连接CD1交AC1于E，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴ACD⊥BD，∠BAO＝∠DAB＝30°，OA＝AC，∴OA＝AB•cos30°＝1×＝，∴AC＝2OA＝，同理AE＝AC•cos30°＝•＝，AC1＝3＝（）2，…，第n个菱形的边长为（）n﹣1，故答案为：（）n﹣1，25．【解答】解：①∵四边形OABC是矩形，∴OE＝BE，BC∥OA，OA＝BC，∴∠HBE＝∠GOE，∵在△BHE和△OGE中，∠HBE＝∠GOE，OE＝BE，∠HEB＝∠GEO，∴△BHE≌△OGE（ASA），∴BH＝OG，∴AG＝CH．②如图1，连接DE并延长DE交CB于M，连接AC，则由矩形的性质，点E在AC上．∵DD＝OC＝1＝OA，∴D是OA的中点，∵在△CME和△ADE中，∠MCE＝∠DAE，CE＝AE，∠MEC＝∠DEA，∴△CME≌△ADE（ASA），∴CM＝AD＝2﹣1＝1，∵BC∥OA，∠COD＝90°，∴四边形CMDO是矩形，∴MD⊥OD，MD⊥CB，∴MD切⊙O于D，∵HG切⊙O于F，E（1，），∴可设CH＝HF＝x，FE＝ED＝＝ME，在Rt△MHE中，有MH2+ME2＝HE2，即（1﹣x）2+（）2＝（+x）2，解得x＝．∴H（，1），OG＝2﹣＝，∴G（，0）．∴GH2＝（﹣）2+（0﹣1）2＝，∴GH＝，③设直线GH的解析式是：y＝kx+b，把G、H的坐标代入得，解得：，∴直线GH的函数关系式为y＝﹣x+，④如图2，连接BG，∵在△OCH和△BAG中，CH＝AG，∠HCO＝∠GAB，OC＝AB，∴△OCH≌△BAG（SAS）．∴∠CHO＝∠AGB．∵∠HCO＝90°，∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F．∴OH平分∠CHF．∴∠CHO＝∠FHO＝∠BGA．∵△CHE≌△AGE，∴HE＝GE．∵在△HOE和△GBE中，HE＝GE，∠HEO＝∠GEB，OE＝BE，∴△HOE≌△GBE（SAS）．∴∠OHE＝∠BGE．∵∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，∴∠BGA＝∠BGE，即BG平分∠FGA．∵⊙P与HG、GA、AB都相切，∴圆心P必在BG上．过P做PN⊥GA，垂足为N，则△GPN∽△GBA．∴＝，设半径为r，则＝，解得r＝．故答案为：①②③④．二．解答题（26题8分，27题10分，28题12分）26．【解答】解：（1）设甲队每天完成x千米，则乙队每天完成（x﹣0.4）千米．根据题意得：＝×，解得：x＝2.4．经检验，x＝2.4是原方程的解．2.4﹣0.4＝2．答：甲队每天修2.4千米，乙队每天修2千米．（2）设甲队改造a千米，则乙队改造（24﹣a）千米．根据题意得×0.8+×0.5≤7，解得：a≤12．＝5，答：甲工程队至多施工5天．27．【解答】解：（1）如图1，连接BD，则BD平分∠ABC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝120°，∴∠ABD＝∠ABC＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AD＝4，∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，由勾股定理得：DE＝＝2，∵DC∥AB，∴∠EDC＝∠DEA＝90°，在Rt△DEC中，DC＝4，EC＝＝＝2；（2）如图2，延长CD至H，使DH＝CD，连接NH、AH，∵AD＝CD，∴AD＝DH，∵CD∥AB，∴∠HDA＝∠BAD＝60°，∴△ADH是等边三角形，∴AH＝AD，∠HAD＝60°，∵△AMN是等边三角形，∴AM＝AN，∠NAM＝60°，∴∠HAN+∠NAG＝∠NAG+∠DAM，∴∠HAN＝∠DAM，在△ANH和△AMD中，∵，∴△ANH≌△AMD（SAS），∴HN＝DM，∵D是CH的中点，Q是NC的中点，∴DQ是△CHN的中位线，∴HN＝2DQ，∴DM＝2DQ．（3）如图2，由（2）知，HN＝DM，∴要CN+DM最小，便是CN+HN最小，即：点C，H，N在同一条线上时，CN+DM最小，此时，点D和点Q重合，即：CN+DM的最小值为CH，如图3，由（2）知，△ADH是等边三角形，∴∠H＝60°．∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠ACD＝∠BCD＝∠BAD＝30°，∴∠CAH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，在Rt△ACH中，CH＝＝2，∴DM+CN的最小值为2．28．【解答】解：（1）二次函数y＝a（x﹣1）2+k的对称轴为直线x＝1，又∵AB＝4，∴点A到y轴的距离为×4﹣1＝1，∴点A的坐标是（﹣1，0），∵tan∠ABE＝2，∴×4×tan∠ABE＝2×2＝4，∴点E的纵坐标为4，∴顶点E的坐标为（1，4），∴k＝4，∵点A（﹣1，0）在二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象上，∴a（﹣1﹣1）2+4＝0，解得a＝﹣1，故二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）如图1，∵A（﹣1，0），E（1，4），∴点M是AE的中点，且M（0，2），根据等底等高的三角形的面积相等可得，S△AMN＝S△EMN，又∵S△EAP＝3S△EMN，∴S△AMN＝S△APN，根据等底等高的三角形的面积相等可得点P的纵坐标为﹣2，∴﹣（x﹣1）2+4＝﹣2，解得x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），故点P的坐标是（1+，﹣2）；（3）存在．理由如下：如图2，令x＝0，﹣（0﹣1）2+4＝3，所以，点C的坐标为（0，3），根据翻折的性质，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4沿y轴翻折得到的新抛物线为y＝﹣（x+1）2+4，∵A点的对应点为点F，∴点F的坐标为（1，0），又∵E（1，4），∴EF⊥x轴，设直线l的解析式为y＝kx+3，联立，解得（为点C，舍去），，∴点N坐标为（2﹣k，﹣k2+2k+3），联立，解得（为点C，舍去），，∴点M的坐标为（﹣2﹣k，﹣k2﹣2k+3），过点M作MG⊥x轴于G，过点N作NH⊥x轴于H，∵△FMN的内心在直线EF上，∴EF是∠MFN的平分线，∴∠MFG＝∠NFH，又∵∠MGF＝∠NHF＝90°，∴△MGF∽△NHF，∴＝，即＝，整理得，k2﹣2k﹣3＝﹣（k2﹣2k+1），即k2﹣2k﹣1＝0，解得k1＝1+，k2＝1﹣，∵点M（﹣2﹣k，﹣k2﹣2k+3）在y轴的右侧，点N（2﹣k，﹣k2+2k+3）在对称轴直线x＝1的右边，∴，解得﹣2＜k＜1，∴k＝1﹣，故直线EF的解析式为y＝（1﹣）x+3．。
四川省成都外国语学校2018-2019学年高一3月月考数学试题
成都外国语学校18-19下期高2018级3月月考试题高一数学本试题卷分选择题和非选择题两部分•全卷共 4页，选择题部分1至2页，非选择题部 分3至4页.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分(共60分)注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试 卷和答题纸规定的位置上.2 .每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合卫一",一◎=•"，「：=打|，—，则"工啓—()A [x|0 <x < 2}B {x|0 < x < 2}C [x\2 <x < 3}D [X \2 <x < 3} 2. 已知定义在匸上的奇函数”「满足：当’「时「，贝门()A.向左平行移动’•个单位长度 B .向右平行移动「个单位长度A.1B .-C .D23. 若a = 205， =log ^2 c = log 21 则|A. 「.:：：：：•B 二；’厂：;-■C b > a > c7Ttan (9 + )=34. 已知，贝U cos(2日-*=(3 4A.B .C . *D . 107TX =—/(X )= 5；(2x + 031 5. 己知直线 是函数U —) 与的图象的一条对称轴，为了得到函数 )nD h :：- :::■rf)的图象，可把函数「一2：'小的图象(C.向左平行移动「个单位长度D •向右平行移动「个单位长度6•已知「■- I '，且，「门，则向量■:在。
•方向上的投影为（）1 观A. B . C . 1 D .'tanxf（x）= ------------7. 已知函数】-，则函数「「的最小正周期为（）71 71 n 71A. B . C . D .:, 厂’acos（B + = 8. 在曲汇中，角A, B, C所对的边分别为::\ —二；（）A. 1 B . C . : D9. 若函数' 11■-在区间I :- •「和■1上均为增函数，则实数a的取值范围是' ■'A. I -H B . I :门丨C . I 二」D . I ;-110 .如图所示，隔河可以看到对岸两目标A, B,但不能到达，现在岸边取相距4km的C, D 两点，测得/ ACB= 75°,/ BCD= 45° ,Z ADC= 30°,/ ADB= 45° （A, B, C, D 在同一平面内），则两A 8、5 4.152 15A.-R D ・333f(x)=2sinx-cosx取得最大值，则COST -(A. 2.5目标A, B间的距离为（）km.11.设当x =二时，函数512.在斜4工'中，设角」,', 的对边分别为 a ,,,已知mbiA + bslnB - cstnC — 4bslnHcosC 若「门是角"的角平分线，且■■,则（ ）3 12 1A.B . :C .D .非选择题部分（共90分）注意事项：1. 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.2. 在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.COS （TI + a ）=-——13. 已知皿为锐角，且 __ 2，则加皿= .14. ___________________________________ 函数V =曲曲- sx 的定义域为 。
成都市外国语国际学校2019年初升高入学考试(含自主招生考)数学试题及答案
成都市外国语国际学校2019年初升高入学考试（含自主招生考）数学试题及答案（答卷时间： 120分钟 满分：100分）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷。
第Ⅰ卷为选择题，请考生把第Ⅰ卷各题答案填在第Ⅱ卷卷首相应答题位置处。
第Ⅱ卷为非选择题，完卷后仅交第Ⅱ卷。
一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的）1. π-14.3的相反数是（ ）A ．14.3-πB ．0C ．π-14.3D ．以上答案都不对2．我们把形如),(是实数b a bi a +的数叫做复数，其中a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部，则复数i z ⋅-=0045cot 30tan 的虚部是（ ）A ．33B ．-1C ．1D ．33．已知非零实数b a ,满足 24242a b a -++=，则a b +等于（ ）．A.－1B.0C.1D.24．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．A C.1 D.25. 跟我学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC 剪下△ABC ，展开即可得到一个五角星.若想得到一个正五角星（如图④，正五角星的5个角都是36︒），则在图③中应沿什么角度剪？即∠ABC 的度数为（ ）A ．126︒ B.108︒ C.90︒ D.72︒6．已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：①0>abc ；②c a b +<；③024>++c b a ；④b c 32<；⑤)(b am m b a +>+（1≠m 的实数） 其中正确的结论有：（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7.关于y x ,的方程22229x xy y ++=的整数解（y x ,）的组数为（ ）． A.2组 B.3组 C.4组 D.无穷多组8．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于y x ,的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩， 只有正数解的概率为（ ）． A.121 B.92 C.185 D.36139．下列运算正确的是（ ）A ．021********sin 201=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-÷--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-B ．23160cot 3)14.3(2710=+︒----）（πC ． cos45°·(－)－2－(2－)0＋｜－｜＋127121-=-D ．()00202020cot 20tan 281+--- 2240c o s30sin 2-=-+212332二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案直接填在题目中的横线上.） 10．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u *v =v uv +．若关于x 的方程x *(a *x ) = 41-有 两个相同的实数根，则实数a 的值是 .11．有10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．12．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于 ．13.以下叙述中，其中正确的有 （请写出所有正确叙述的序号） （1）若等腰三角形的一个外角为 70，则它的底角为 35（2）“赵爽弦图”是由于四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）。
成都市成都外国语学校2018-2019学年高一数学下学期入学考试试题(含解析)
13。若 ，且 ,则函数 的图象必过点______．
【答案】（-3，—3）
【解析】
【分析】
利用指数函数过定点的性质进行判断．
【详解】方法1：平移法
∵y=ax过定点(0，1）,
∴将函数y=ax向左平移3个单位得到y=ax+3，此时函数过定点（—3，1），
将函数y=ax+3向下平移4个单位得到y=ax+3—4，此时函数过定点（—3，—3)．
【答案】⑴ ， 。⑵ 。
【解析】
本试题主要是考查了集合的运算以及二次不等式的求解的综合运用。
(1）因为全集是实数集R， ， 得到 ，当 时, ，故 , .。
（2)由于 ，得到集合的关系在求解参数的范围。
解析:⑴ ，当 时， ，故 ， .
⑵由 ，知 .
① ， ；
②当 时， , ， ，只要满足 ,则 ;综上所述 。
，即
则
本题正确选项:
【点睛】本题考查数量积的坐标运算，三角函数的恒等变换及化简求值,同角三角函数基本关系式的应用;在解决关于 、 的齐次式问题时,通常采用构造 的方式进行简化运算。
9.设 , , ，则 、 、 的大小关系为（ ）
A. B。 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
把 化为 形式,再根据幂函数的单调性，得到 的大小关系．
（2）| +2 |=
=
= = ．
【点睛】本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力，属基础题．
20.已知函数 ， （其中 , , )的周期为 ，且图象上一个最低点为 .
（Ⅰ）求 的解析式；
（Ⅱ)当 ，求 的最值．
【答案】（1）f(x）＝2sin （2)最小值1，最大值 .
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不可割，则与圆周合体而无所失矣”。试用这个方法解决问题：如图，
⊙的内接多边形周长为 3 ，⊙ 的外切多边形周长为 3.4，则下列各
数中与此圆的周长最接近的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6、今年 5月，我校举行“庆五 四”歌咏比赛，有 17位同学参加选 拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前 8名进入决赛，若知道某同学 分数，要判断他能否进入决赛，只需知道 17位同学分数的（ ）
A．ab B．3ab C．a D．3a
4．一元二次方程 x(x－2)＝0根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
O
C．只有一个实数根
D．没有实数根
5、割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和
面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来
越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于
19．（本题共 2个小题，每题 8分，共 16分） （1）.计算：( 2011－1)0＋ 18sin45°－2－1
（2）．先化简，再计算：
( ) xx22＋－x1÷x－2xx－1，其中 x是一元二次方程 x2－2x－2＝0的正
数根．
20．（本题共 2个小题，每题 6分，共 12分） （1）.如图，用两段等长的 铁丝恰好可以分别围成一个正五边形 和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x2＋17)cm，正六边形的 边长为(x2＋2x)cm(其中 x>0)．求这两段铁丝的总长．
A．有最小值 0，有最大值 3
B．有最小值－1，有最大值 0 C．有最小值－1，有最大值 3 D．有最小值－1，无最大值 9．如图，矩形 OABC的边 OA长为 2 ，边 AB长为 1，OA在数轴 上，以原点 O为圆心，对角线 OB的长为半径画弧，交正半轴于一
点，则这个点表示的实数是( )
A．2.5 B．2 2 C. 3 D. 5 10．成都外国语学校广场有一喷水池，水从地面喷出，如图， 以水 平地面为 x轴，出水点为原点，建立平面直 角坐标系，水在空中划出 的曲线是抛物线 y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大 高度是( )
1．下列事件中，必然事件是( ) A．掷一枚硬币，正面朝上 B．a是实数，|a|≥0 C．某运动员跳高的最好成绩是 20.1米 D．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品
2、如图是奥迪汽车的标志，则标志图中所包含的图形变换没有的是 （）
A．平移变换 B．轴对称变换 C．旋转变换 D．相似变 换
3．如果□×3ab＝3a2b，则□内应填的代数式( )
A.中位数
B.众数
C.平均数
D.方差
7．如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可能 是( )
{A.xx＋－13>>00， {C.xx＋－13<>00，
{B.
x＋1>0， 3－x>0
{D.x3＋－1x<>00，
8．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变
量取值范围内，下列说法正确的是( )
方向，则从 C岛看 A、B两岛的视角∠ACB＝________.
17．若一次函数 y＝(2m－1)x＋3－2m 的图象经过 一、二、四 象限，则 m 的取值范围是________．
18．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察， 第 n个图形有________个小圆.(用含 n的代数式表示) 三、解答题（本大题 7个小题，共 90分）
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 11、两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，
则该几何体的左视图是（ ） （A）两个外离的圆 （B）两个外切的圆（C）两个相交的圆 （D）两个内切的圆
12．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结 论：
①b2－4ac>0； ②abc>0； ③8a＋c>0； ④9a＋3b＋c<0. 其中，正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本小题有 6小题，每小题 4分，共 24分） 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案
（2）．描述证明 海宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：
将上图横线处补充完整，并加以证明．
21．（本题 12分） 某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生， 根据规定的推荐程序：首先由本年级 200名学生民主投票，每人只 能推荐一人(不设弃权票)，选出了票数最多的甲、乙、丙三人．票数 结果统计如图一：
2018-2019年最新成都外国语学校自主招生考试 数学模拟精品试卷 （第一套）
考试时间：90分钟
总分：150分
一、选择题（本题有 12小题，每小题 3分，共 36分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请你把正确
选项前的字母填涂在答题卷中相应的格子内．注意可以用多种不同的 方法来选取正确答案．
其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试．各项成绩如下 表所示：
测试项目
测试 成绩 /分
测试成 绩/分
测试 成绩/
分
甲
乙
丙
笔试
92 90 95
面试
85 95 80
图二是某同学根据上表绘制的 一个不完全的条形图．
请你根据以上信息解答下列问题：
(1)补全图一和图二；
(2)请计算每名候选人的得票数；
(3)若每 名候选人得一票记 1分，投票、笔试、面试三项得分按
照 2∶5∶3的比确定，计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被
录取，应该录取谁？
22．（本题 12分）如图，已知直线 AB与 x轴交于点 C，与双曲 线 y＝kx交于 A(3，230)、B(－5，a)两点．AD⊥x轴于点 D，BE∥x 轴且与 y轴交于点 E.
(1)求点 B的坐标及直线 AB的解析式； (2)判断四边形 CBED的形状，并说明理由．
13．当 x______时，分式3－1x有意义． 14．在实数范围内分解因式：2a3－16a＝________. 15．在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工 放 射 性 核 素 碘 － 131，其 浓 度 为 0.0000963贝 克 /立 方 米 ．数 据 “0.0000963”用科学记数法可表示为________． 16．如图，C岛在 A岛的北偏东 60°方向，在 B岛的北偏西 45°