幂函数与二次函数专题
幂函数与二次函数专题[最新考纲]1．了解幂函数的概念．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝的图象，了解它们的变化情况．3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R [0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减，[0，＋∞)增增增(－∞，0)减，(0，＋∞)减定点 (0,0)，(1,1) (1,1)2.二次函数 (1)二次函数的定义形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，(m ，n )为顶点坐标；③两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)其中x 1，x 2分别是f (x )＝0的两实根． (3)二次函数的图象和性质函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)图象a >0a <0定义域 RR值域 y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ y ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 对称轴 x ＝－b2a顶点 坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性 b ＝0⇔y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数 递增 区间 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a递减 区间⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ 最值当x ＝－b2a时，y 有最小值y min＝4ac －b 24a当x ＝－b2a时，y 有最大值y max ＝4ac －b 24a辨 析 感 悟1．对幂函数的认识(1)函数f (x )＝x 2与函数f (x )＝2x 2都是幂函数．(×) (2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．(×) (3)幂函数的图象不经过第四象限．(√) 2．对二次函数的理解(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．(×)(5)(教材习题改编)函数f (x )＝12x 2＋4x ＋6，x ∈[0,2]的最大值为16，最小值为－2.(×)(6)(2011·陕西卷改编)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ≤4.(×)[三个防范 一是幂函数的图象最多出现在两个象限内，一定会经过第一象限，一定不经过第四象限，若与坐标轴相交，则交点一定是原点，但并不是都经过(0,0)点，如(2)、(3)．二是二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论，如(5)中的最小值就忽略了函数的定义域．三是一元二次方程有实根的充要条件为Δ≥0，但还要注意n ∈N *，如(6)．考点一幂函数的图象与性质的应用【例1】 (1) 已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 4f (2)的值为( )． A.14 B ．－14 C ．2 D ．－2 (2)函数y ＝13x 的图象是( )．解析 (1) 设f (x )＝x α，由图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22＝1212⎛⎫⎪⎝⎭⇒α＝12，log 4f (2)＝4log122＝14. (2)显然f (－x )＝－f (x )，说明函数是奇函数，同时由当0＜x ＜1时，x 31＞x ；当x ＞1时，x 31＜x ，知只有B 选项符合． 答案 (1)A (2)B规律方法 (1)幂函数解析式一定要设为y ＝x α(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 【训练1】 比较下列各组数的大小：⑴ 121.1，120.9，1； ⑵2322⎛⎫- ⎪⎝⎭，23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭，()431.1-.解⑴ 把1看作121，幂函数y ＝12x 在(0，＋∞)上是增函数．∵0＜0.9＜1＜1.1，∴120.9＜121＜121.1. 即120.9＜1＜121.1.⑵因为2322⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2322⎛⎫ ⎪⎝⎭，23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭＝23710⎛⎫- ⎪⎝⎭＝23710⎛⎫ ⎪⎝⎭，()431.1-＝()2321.1＝231.21，幂函数y＝23x在(0，＋∞)上是增函数，且710＜22＜1.21.∴23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭＜2322⎛⎫- ⎪⎝⎭＜(－1.1)43.考点二二次函数的图象与性质【例2】如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：① b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是( )．A．②④ B．①④ C．②③ D．①③解析因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确．答案 B规律方法解决二次函数的图象问题有以下两种方法：(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．【训练2】 已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a ＞0)，对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________． 解析 当x 0∈[－1,2]时，由f (x )＝x 2－2x 得f (x 0)∈[－1,3]，又对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，∴当x 1∈[－1,2]时，g (x 1)∈[－1,3]．当a ＞0时，⎩⎨⎧－a ＋2≥－1，2a ＋2≤3，解得a ≤12.综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，12考点三 二次函数的综合运用【例3】 若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 审题路线 f (0)＝1求c →f (x ＋1)－f (x )＝2x 比较系数求a ，b →构造函数g (x )＝f (x )－2x －m →求g (x )min →由g (x )min ＞0可求m 的范围． 解 (1)由f (0)＝1，得c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎨⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1).规律方法 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．【训练3】 (2014·江西九校联考)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (c ＞0且为常数)的导函数的图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式(用含c 的式子表示)； (2)令g (x )＝f xx，求y ＝g (x )在[1,2]上的最大值． 解 (1)∵f ′(x )＝2ax ＋b ，由图可知，f ′(x )＝2x ＋1， ∴⎩⎨⎧2a ＝2，b ＝1，得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，故所求函数的解析式为f (x )＝x 2＋x ＋c .(2)g (x )＝f x x ＝x 2＋x ＋c x ＝x ＋cx ＋1，则g ′(x )＝1－c x 2＝x 2－c x 2＝x ＋c x －cx 2.①若c ＜1，即0＜c ＜1时，g ′(x )＞0，∴g (x )在[1,2]上是增函数，故g (x )max ＝g (2)＝c2＋3.②若1≤ c ≤2，即1≤c ≤4，当1≤x ＜c 时，g ′(x )＜0，当c ＜x ≤2时，g ′(x )＞0，∵g (1)＝c ＋2，g (2)＝c2＋3，∴当1≤c ≤2时，g (1)≤g (2)，g (x )max ＝g (2)＝c2＋3；当2＜c ≤4时，g (1)＞g (2)，g (x )max ＝g (1)＝c ＋2. ③若c ＞2，即c ＞4时，g ′(x )＜0，∴g (x )在[1,2]上是减函数，故g (x )max ＝g (1)＝c ＋2. 综上所述，当0＜c ≤2时，g (x )max ＝c2＋3；当c ＞2时，g (x )max ＝c ＋2.1．对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想．3．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用．答题模板2——二次函数在闭区间上的最值问题【典例】 (12分)(经典题)求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1,1]上的最大值．[规范解答] 函数f (x )＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a 24的图象的对称轴为x ＝a 2，应分a 2＜－1，－1≤a 2≤1，a 2＞1，即a ＜－2，－2≤a ≤2和a ＞2三种情形讨论． (2分)(1)当a ＜－2时，由图(1)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ； (5分)(2)当－2≤a ≤2时，由图(2)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24；(8分)(3)当a ＞2时，由图(3)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝a －1. (11分)综上可知，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ＜－2，a24，－2≤a ≤2，a －1，a ＞2.(12分)[反思感悟] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)部分学生易出现两点错误：①找不到分类的标准，无从入手；②书写格式不规范，漏掉结论f (x )max ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ＜－2，a24，－2≤a ≤2，a －1，a ＞2.答题模板 第一步：配方，求对称轴．第二步：分类，将对称轴是否在给定区间上分类讨论． 第三步：求最值． 第四步：下结论． 【自主体验】已知函数f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a 的值．解 f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－4a ，对称轴为x ＝a 2，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－4a .①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )在区间[0,1]上递增．∴y max ＝f (1)＝－4－a 2.令－4－a 2＝－5， ∴a ＝±1＜2(舍去)．②当0＜a2＜1，即0＜a ＜2时，y max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－4a ，令－4a ＝－5，∴a ＝54∈(0,2)．③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在区间[0,1]上递减，此时f (x )max ＝f (0)＝－4a －a 2. 令－4a －a 2＝－5，即a 2＋4a －5＝0，∴a ＝－5或a ＝1(舍去)．综上所述，a ＝54或a ＝－5.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．幂函数的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是( )．A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞) 解析 设幂函数y ＝x α，则2α＝14，解得α＝－2，所以y ＝x －2，故函数y ＝x －2的单调递增区间是(－∞，0)． 答案 C2．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )．A ．f (－2)＜f (0)＜f (2)B ．f (0)＜f (－2)＜f (2)C ．f (2)＜f (0)＜f (－2)D ．f (0)＜f (2)＜f (－2)解析 函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )．可知函数f (x )图象的对称轴为x ＝12，又函数图象开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大． 答案 D3． 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x 为增函数，由于f (x )是奇函数，故f (x )在R 上为增函数．由f (2－a 2)＞f (a )得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.故实数a 的取值范围是(－2,1)． 答案 C4．若a ＜0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是( )．A ．5－a ＜5a ＜0.5aB ．5a ＜0.5a ＜5－aC ．0.5a ＜5－a ＜5aD ．5a ＜5－a ＜0.5a 解析 5－a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15a ，因为a ＜0时，函数y ＝x a单调递减，且15＜0.5＜5，所以5a ＜0.5a＜5－a . 答案 B5．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )．解析 由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0. ∵abc ＞0，∴ab ＜0，∴对称轴x ＝－b2a＞0， 知A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c ＞0，∴ab ＞0，∴x ＝－b2a＜0，B 错误． 答案 D 二、填空题6． 方程x 2－2ax ＋4＝0的一根大于1，一根小于1，则实数a 的取值范围是________．解析 设f (x )＝x 2－2ax ＋4，则f (1)＜0，解得a ＞52.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞7． 已知函数y ＝－x 2＋4ax 在区间[1,3]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析 根据题意，得对称轴x ＝2a ≤1，所以a ≤12.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，128．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≥2，x －13，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析 将方程有两个不同的实根转化为两个函数图象有两个不同的交点．作出函数f (x )的图象，如图，由图象可知，当0<k <1时，函数f (x )与y ＝k 的图象有两个不同的交点，所以所求实数k 的取值范围是(0,1)． 答案 (0,1) 三、解答题9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且f (x )＞－2x 的解集为{x |1＜x ＜3}，方程f (x )＋6a ＝0有两相等实根，求f (x )的解析式． 解 设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3) (a ＜0)， 则f (x )＝ax 2－4ax ＋3a －2x ，f (x )＋6a ＝ax 2－(4a ＋2)x ＋9a ，Δ＝[－(4a ＋2)]2－36a 2＝0，即(5a ＋1)(a －1)＝0， 解得a ＝－15或a ＝1(舍去)．因此f (x )的解析式为f (x )＝－15x 2－65x －35.10．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．解 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．当－2<a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ； 当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎨⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1． 已知幂函数f (x )＝x α，当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，则α的取值范围是( )． A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(0，＋∞) D．(－∞，0)解析 当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，即当x ＞1时，函数f (x )＝x α的图象在y ＝x的图象的下方，作出幂函数f (x )＝x α在第一象限的图象，由图象可知α＜1时满足题意，故选B. 答案 B2．设函数f (x )＝－2x 2＋4x 在区间[m ，n ]上的值域是[－6,2]，则m ＋n 的取值所组成的集合为( )．A ．[0,3]B ．[0,4]C ．[－1,3]D ．[1,4]解析 由题意得，函数f (x )＝－2x 2＋4x 图象的对称轴为x ＝1，故当x ＝1时，函数取得最大值2.因为函数的值域是[－6,2]，令－2x 2＋4x ＝－6，可得x ＝－1或x ＝3， 所以－1≤m ≤1,1≤n ≤3， 所以0≤m ＋n ≤4. 答案 B 二、填空题3．已知函数f (x )＝12x ，给出下列四个命题： ①若x ＞1，则f (x )＞1；②若0＜x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1； ③若0＜x 1＜x 2，则x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)； ④若0＜x 1＜x 2，则f x 1＋f x 22＜f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 其中，所有正确命题的序号是________．解析 对于①：∵y ＝12x 在(0，＋∞)上为增函数，∴当x ＞1时，f (x )＞f (1)＝1，①正确；对于②：取x 1＝14，x 2＝4，此时f (x 1)＝12，f (x 2)＝2，但f (x 2)－f (x 1)＜x 2－x 1，②错误；对于③：构造函数g (x )＝f x x＝xx ，则g ′(x )＝x2x －xx 2＝－x2x 2＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上为减函数，当x 2＞x 1＞0时，有f x 2x 2＜f x 1x 1，即x 1f (x 2)＜x 2f (x 1)，③错误；对于④：画出f (x )＝12x 在(0，＋∞)的图象，可知f x 1＋f x 22＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，④正确． 答案 ①④ 三、解答题4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f (x )(x ∈R)的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R)的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值． 解 (1)f (x )在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x ＞0)， ∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2xx ＞0，x 2＋2xx ≤0.(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1， 当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值；当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值．综上，g (x )min＝⎩⎨⎧1－2a a ≤0，－a 2－2a ＋10＜a ≤1，2－4a a ＞1.。
2024年新高考版数学专题1_3.2 二次函数与幂函数(分层集训)
2.(2022湖南邵阳、郴州二模,4)“
(a
1)
1 2
<
(2
a)
1 2
”是“-2<a&.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
3.(2023届兰州五十五中开学考,15)幂函数f(x)= xm22m3(m∈Z)为偶函数,且
在区间(0,+∞)上是减函数,则m=
C.对任意x∈R, f(x)≥- 25 恒成立
4
D.∃x∈R,使得函数f(x)=π 答案 ACD
4.(2021广东深圳一模,13)已知函数的图象关于y轴对称,且与直线y=x相
切,则满足上述条件的二次函数可以为f(x)=
.
答案 x2+ 1 (答案不唯一)
4
5.(2022北京,14,5分)设函数f(x)=
(0,2]上恒成立,即a≤x+ 4 +1在(0,2]上恒成立,
x
因为x∈(0,2],所以x+ 4 +1≥2 x 4 +1=5,当且仅当x= 4 ,即x=2时取等号,所
x
x
x
以x+ 4 +1的最小值为5,所以a≤5,所以a的最大值为5.
x
考点二 幂函数 考向一 幂函数的图象问题
1.(多选)(2022江苏盐城阜宁中学段测,9)若点A(m,n)在幂函数y=xa(a∈R) 的图象上,则下列结论可能成立的是 ( )
f(x-1)-f 2(x)的最大值为
.
答案 - 3
4
4.(2022河北保定重点高中月考,14)若函数f(x)=(m+2)xa是幂函数,且其图象
过点(2,4),则函数g(x)=loga(x+m)的单调增区间为
二次函数与幂函数专题复习
学校：年级：教学课题：二次函数与幂函数学员姓名：辅导科目：数学学科教师：教学目标专题复习二次函数和幂函数的图像与性质教学内容一. 【复习目标】1.准确理解函数的有关概念.2.体会数形结合及函数与方程的数学思想方法.一、幂函数(1)幂函数的定义形如 (α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数(2)幂函数的图象函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0} 值域R [0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)时，增，x∈(－∞，0]时，减增增x∈(－∞，0)时，减定点(0,0)，(1,1) (1,1)例1.下列函数中是幂函数的是（ ）A ．y ＝2x 2B ．y ＝1x 2C ．y ＝x 2＋xD ．y ＝－1x例2. (2011·陕西高考)函数y ＝13x的图象是( )例3.幂函数y ＝x m 2－2m －3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且当x ＞0时，函数是减函数，则m 的值为( )． A ．－1＜m ＜3B ．0C ．1D ．2练习：已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎪⎫－2，12在幂函数y ＝g (x )的图象上，若f (x )＝g (x )，则x ＝________.已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝x －2C ．f (x )＝x 12xD ．f (x )＝12x-设α∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 （ ）A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3对于函数y ＝x 2，y ＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图象都是抛物线型．其中正确的有________．二、二次函数1、二次函数的三种形式【1】【2】【3】2.二次函数的图像和性质二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f 的图像是一条抛物线，对称轴的方程为 顶点坐标是（ ） 。
二次函数与幂函数一轮复习课件(共21张PPT)
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,
专题08 二次函数与幂函数(解析版)
2023高考一轮复习讲与练08 二次函数与幂函数练高考 明方向1．(2018上海)已知11{2,1,,,1,2,3}22α∈---，若幂函数()α=f x x 为奇函数，且在0+∞（，）上递减，则α=_____【答案】1-【解析】由题意()f x 为奇函数，所以α只能取1,1,3-，又()f x 在(0,)+∞上递减，所以1α=-． 2．（2017浙江）若函数2()f x x ax b =++在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关 【答案】B【解析】函数()f x 的对称轴为2a x =-， ①当02a-≤，此时(1)1M f a b ==++，(0)m f b ==，1M m a -=+； ②当12a-≥，此时(0)M f b ==，(1)1m f a b ==++，1M m a -=--； ③当012a<-<，此时2()24a a m f b =-=-，(0)M f b ==或(1)1M f a b ==++，24a M m -=或214a M m a -=++．综上，M m -的值与a 有关，与b 无关．选B ．3．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)若101a b c >><<，，则( ) (A )c c a b < (B )c c ab ba < (C )log log b a a c b c <(D )log log a b c c <【答案】C【解析】对A ：由于01c <<，∴函数cy x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误；对B ：由于110c -<-<，∴函数1c y x-=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误；对C ： 要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b 和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a， 只需ln b b 和ln a a ，构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确，对D ： 要比较log a c 和log b c ，只需比较 ln ln c a 和ln ln c b ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b>>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cc c a b>⇔>，D 错误 4．（2014北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A ．3.50分钟 B ．3.75分钟 C ．4.00分钟 D ．4.25分钟【答案】B【解析】由题意可知2p at bt c =++过点（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），代入2p at bt c =++中可解得0.2, 1.5,2a b c =-==-，∴20.2 1.52p t t =-+-=20.2( 3.75)0.8125t --+， ∴当 3.75t =分钟时，可食用率最大．5．(2013广东)定义域为的四个函数,,,中，奇函数的个数是A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】是奇函数的为与，故选C ．讲典例 备高考O 5430.80.70.5t p R 3y x =2x y =21y x =+2sin y x =43213y x =2sin y x =二次函数与幂函数奇函数的定义偶函数的定义 函数的对称性 奇偶性的判断奇偶性的应用周期性的判断 周期性的应用类型一、幂函数的定义 基础知识：1、幂函数的定义一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．基本题型：1．（幂函数的判断）下列函数中是幂函数的是( ) A ．y ＝x 4＋x 2 B ．y ＝10x C ．y ＝1x 3D ．y ＝x ＋1【答案】C【详解】根据幂函数的定义知，y ＝1x 3是幂函数，y ＝x 4＋x 2，y ＝10x ，y ＝x ＋1都不是幂函数．2．（幂函数的判断）给出下列函数：①31y x =；②32y x =-；③42y x x =+；④35y x=；⑤()21y x =-；⑥0.3xy =，其中是幂函数的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【详解】由幂函数的定义：形如y x α=（α为常数）的函数为幂函数，则可知①331y x x -==和④5353y x x ==是幂函数.类型二、幂函数的图象 基础知识：1、五个常见幂函数的图象基本题型：1．（根据解析式确定图象）已知(),1,m n ∈+∞，且m n >，若26log log 13m n n m +=，则函数()nmf x x =的图像为（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得：26log log 2log 6log 13m n m n n m n m +=+=，令()log 01m t n t =<<，则6213t t+=，解得12t =或6t =（舍去），所以n =，即21mn =，所以()2m n f x x =的图像即为()f x x =的图像．2．（根据图象确定解析式）图中1C 、2C 、3C 为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（ ）A ．12、3、1- B ．1-、3、12C ．12、1-、3 D ．1-、12、3 【答案】D【详解】由题意得，根据幂函数的图象与性质可知，2310C C C ααα>>>，所以解析式中指数α的值依次可以是11,,32-， 3．（利用图象比较大小）对于幂函数()45f x x =，若120x x <<，则122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭，()()122f x f x +的大小关系是（ ）A ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭B ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭C ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭D ．无法确定【答案】A【解析】幂函数()45f x x =在0,上是增函数，大致图象如图所示.设()1,0A x ，()2,0C x ，其中120x x <<，则AC 的中点E 的坐标为12,02x x +⎛⎫⎪⎝⎭，且()1AB f x =，()2CD f x =，122x x EF f +⎛⎫= ⎪⎝⎭.()12EF AB CD >+，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫∴>⎪⎝⎭.4．（利用图象比较大小）已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b 【答案】A【解析】由幂函数图像特征知，1a >，01b <<，0c <，所以选A ． 5．（幂函数图象的性质）下列命题中，假命题的个数为_________． ①幂函数的图象有可能经过第四象限；②幂函数的图象都经过点()1,1；③当0a =时，函数a y x =的图象是一条直线；④当0a <时，函数a y x =在定义域内是严格减函数； ⑤过点()1,1-的幂函数图象关于y 轴对称． 【答案】3【详解】对于①，正数的指数幂为正数，故幂函数的图象不可能经过第四象限，故错误；对于②，1的任何指数幂均为1，所以幂函数的图象都经过点()1,1，故正确；对于③，当0a =时，函数a y x =的定义域为{}0x x ≠，其a y x =图象是两条射线，故错误；对于④，当1a =-时，1y x=在定义域内不具有单调性，故错误；对于⑤，当幂函数过点()1,1-时，()11a-=得a 为偶数，故幂函数图象关于y 轴对称，故正确.类型三、幂函数的性质 基础知识：1、五个常见幂函数的性质1．（幂函数单调性）已知点(2,8)在幂函数()nf x x =的图象上，设,(ln ),a f b f c f π===⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．a c b <<【答案】D【解析】由已知得82n =，解得：3n =，所以3()f x x =1<1<，ln ln 1e π>=， 又0-==<，所以ln π<<，由3()f x x =在R 上递增，可得：(ln )f f f π<<⎝⎭⎝⎭，所以a c b <<.2．（幂函数图象的对称性）已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______. 【答案】1【详解】因为()()22322n nf x n n x-=+-是幂函数，2221n n ∴+-=，解得3n =-或1，当3n =-时，()18=f x x 是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递增，不符合题意，当1n =时，()2f x x -=是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递减，符合题意，1n ∴=. 3．（幂函数的奇偶性）设11,2,3,,12a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数a y x =的定义域为R 且函数a y x =为奇函数的所有a 的值为（ ）A ．1,3-B ．1,1-C ．1,3D ．1,1,3-【答案】C【详解】1a =时，函数解析式为y x =满足题意；2a =时，函数解析式为2yx ，偶函数，不符合题意；3a =时，函数解析式为3y x =满足题意；12a =时，函数解析式为12y x =，定义域为[)0,+∞，不符合题意；1a =-时，函数解析式为1y x -=，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，不符合题意.类型四、二次函数的解析式 基础知识：二次函数解析式的三种形式基本题型：1．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 【答案】12x 2－32x ＋2【解析】因为f (x )是二次函数且f (0)＝2，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋2(a ≠0)．又因为f (x ＋1)－f (x )＝x －1，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－(ax 2＋bx ＋2)＝x －1，整理得(2a －1)x ＋a ＋b ＋1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝0，a ＋b ＋1＝0，解得a ＝12，b ＝－32，所以f (x )＝12x 2－32x ＋2.2．已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)，且有最小值－1，则f (x )＝________. 【答案】f (x )＝x 2＋2x .【解析】法一：设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x . 法二：由二次函数f (x )与x 轴交于(0,0)，(－2,0)，知f (x )的图象关于x ＝－1对称．设f (x )＝a (x ＋1)2－1(a >0)，又f (0)＝0，得a ＝1，所以f (x )＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x .3．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 【答案】f (x )＝x 2－4x ＋3.【解析】∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2.又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象经过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.基本方法：求二次函数解析式的方法类型五、二次函数的图象与性质 基础知识：函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是减函数， 在⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞上是增函数 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是增函数， 在⎣⎡⎭⎫－b 2a，＋∞上是减函数基本题型：1．（根据函数图象求范围）(多选)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．b ＝－2aB ．a ＋b ＋c <0C ．a －b ＋c >0D ．abc <0 【答案】AD【解析】根据对称轴x ＝－b2a＝1得到b ＝－2a ，A 正确；当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c >0，B 错误；当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c <0，C 错误；函数图象开口向下，所以a <0，b ＝－2a >0，当x ＝0时，y ＝c >0，故abc <0，D 正确．2．（根据解析式确定函数图象）(多选)在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝ax 2＋x ＋1和函数g (x )＝ax ＋1的图象可能是( )【答案】ABD【解析】若a ＝0，则f (x )＝x ＋1，g (x )＝1，A 符合；若a <0，则f (x )的图象开口向下，过点(0,1)，对称轴的方程为x ＝－12a ，g (x )的图象过点(0,1)和⎝⎛⎭⎫－1a ，0，且－12a <－1a ，B 符合；若0<a <14， 则f (x )的图象开口向上，与x 轴有两个交点，过点(0,1)，对称轴的方程为x ＝－12a，g (x )的图象过 点(0,1)和⎝⎛⎭⎫－1a ，0，且－12a >－1a ，C 不符合；若a >14，则f (x )的图象开口向上，与x 轴没有交点， 过点(0,1)，对称轴的方程为x ＝－12a ，g (x )的图象过点(0,1)和⎝⎛⎭⎫－1a ，0，且－12a >－1a ，D 符合． 基本方法：1、分析二次函数图象问题的要点一是看二次项系数的符号，它决定二次函数图象的开口方向； 二是看对称轴和顶点，它们决定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y 轴的交点、与x 轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也能从图象中得到如上信息． 类型四、二次函数给定区间上最值问题 基础知识：1、闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解．2、二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． 基本题型：1．（轴定区间定）已知函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则f (x )的最小值是________． 【答案】－1【解析】∵函数f (x )＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32>1，∴函数f (x )＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上单调递减，∴f (x )min ＝2－6＋3＝－1.2、（轴动区间定）已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在0≤x ≤1时有最大值2，则实数a 的值为________． 【答案】－1或2【解析】易知y ＝－x 2＋2ax ＋1－a (x ∈R)的图象的对称轴为直线x ＝a .当a <0时，函数f (x )的图象如图①中实线部分所示，当x ＝0时，y max ＝f (0)＝1－a ，∴1－a ＝2，即a ＝－1. 当0≤a ≤1时，函数f (x )的图象如图②中实线部分所示，当x ＝a 时，y max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1.∴a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1±52.∵0≤a ≤1，∴a ＝1±52不满足题意．当a >1时，函数f (x )的图象如图③中实线部分所示，当x ＝1时，y max ＝f (1)＝a ＝2，∴a ＝2.综上可知，a 的值为－1或2.3、（轴定区间动）设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值． 【解析】f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为直线x ＝1.当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，当t ≤0时，f (x )min ＝t 2＋1；当0<t <1时，f (x )min ＝1；当t ≥1时，f (x )min ＝t 2－2t ＋2.新预测 破高考1．已知幂函数()f x 的图象经过点(4,2)，则下列命题正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在定义域上是单调递增函数C ．()f x 的值域为RD ．()f x 在定义域内有最大值【答案】B【详解】设()f x x α=，则42α=，解得12α=，()12f x x ∴==()f x 的定义域为[)0,+∞，故A 错误；可得()f x 在定义域上是单调递增函数，故B 正确；值域为[)0,+∞，故C 错误；故()f x 在定义域内没有最大值，故D 错误.2．下列关于幂函数的结论，正确的是（ ）.A ．幂函数的图象都过(0,0)点B ．幂函数的图象不经过第四象限C ．幂函数为奇函数或偶函数D ．幂函数在其定义域内都有反函数【答案】B【解析】幂函数1y x -=不过点(0,0)，则A 错误；当()0,x ∈+∞时，0a x >，则幂函数的图象不经过第四象限，则B 正确；12y x =的定义域为[0,)+∞，不关于原点或y 轴对称，则C 错误；2y x 在(,)-∞+∞内无反函数，则D 错误；3．已知函数：①2xy =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③1y x -=；④12y x =；则下列函数图象（第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应顺序是（ ）A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②【答案】D【详解】①：函数2xy =是实数集上的增函数，且图象过点(0,1)，因此从左到右第三个图象符合；②：函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是实数集上的减函数，且图象过点(0,1)，因此从左到右第四个图象符合；③：函数1y x-=在第一象限内是减函数，因此从左到右第二个图象符合；④：函数12y x =在第一象限内是增函数，因此从左到右第一个图象符合，4．(多选)函数f (x )＝ax 2＋2x ＋1与g (x )＝x a 在同一坐标系中的图象可能为( )【答案】ACD【详解】当a <0时，g (x )＝x a 为奇函数，定义域为{x |x ≠0}，且在(0，＋∞)上递减，而f (x )＝ax 2＋2x ＋1的图象开口向下，对称轴为x ＝－1a >0，f (0)＝1，故A 符合；当a ＝2n (n ∈N *)时，g (x )＝x a 为偶函数，且在(0，＋∞)上递增，f (x )＝ax 2＋2x ＋1的图象开口向上，且对称轴为x ＝－1a <0，Δ＝4－4a <0，其图象和x 轴没有交点，故D 符合；当a ＝12n (n ∈N *)时，函数g (x )＝x a 的定义域为[0，＋∞)，且在[0，＋∞)上递增，f (x )＝ax 2＋2x ＋1的图象开口向上，且对称轴为x ＝－1a <0，Δ＝4－4a >0，图象和x 轴有两个交点，故C 符合．B 明显不符合题意，故选A 、C 、D. 5．若幂函数()222333m m y m m x+-=++的图象不过原点且关于原点对称，则（ ）A ．2m =-B ．1m =-C ．2m =-或1m =-D ．31m -≤≤-【答案】A【详解】根据幂函数的概念，得2331m m ++=，解得1m =-或2m =-，①若1m =-，则4y x -=，令()4f x x -=，其定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()()44f x x x f x ---=-=≠-，显然幂函数为偶函数，不是奇函数，图象不关于原点对称，不符合题意，舍去；②若2m =-，则3y x -=，令()3f x x -=，其定义域为R ，且()()()33f x x x f x ---=-=-=-，即幂函数为奇函数，图象关于原点对称，符合题意.所以2m =-.6．若幂函数()y f x =的图象过点(8,，则函数()()21f x f x --的最大值为（ ）A ．12B ．12-C ．34-D ．-1【答案】C【解析】设幂函数()y f x x α==，图象过点(8,，故318=2=2ααα，故()f x =()()21f x f x x --=t =，则()21y t t =-+，0t ≥，∴12t =时，max 34y =-.7．幂函数()0y xαα=≠，当α取不同的正数时，在区间0,1上它们的图象是一簇曲线（如图）.设点1,0A ，()0,1B ，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数m y x =，n y x =的图象三等分，即有BM MN NA ==，则mn 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无法确定【答案】A【解析】由题1,0A ，()0,1B ，BM MN NA ==，所以12,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1233m ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，2133n⎛⎫= ⎪⎝⎭，11213333mmnn m⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴===⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，1mn ∴=.8．幂函数f(x)＝x 3m －5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m 可能等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】∵幂函数f(x)＝x 3m －5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，∴3m－5＜0，即m ＜53.又∵m∈N， ∴m＝0,1.∵f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．当m ＝0时，f(x)＝x －5是奇函数；当m ＝1时， f(x)＝x －2是偶函数．∴m ＝1,故选B.9．已知当[0,1]x ∈ 时，函数2(1)y mx =-的图象与y m = 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是A．(0,1])⋃+∞ B ． (0,1][3,)⋃+∞ C ．)⋃+∞ D ．[3,)⋃+∞【答案】B【解析】当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y m=单调递增，且[,1]y m m m =∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m 时，101m<< ，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥. 10．已知幂函数()()22644m m f x m m x--=-+，()m R ∈，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则()3f -，()1f -，()f π的大小关系是（ ）A ．()()()π31f f f <-<-B ．()()()13πf f f -<-<C ．()()()31πf f f -<-<D ．()()()3π1f f f -<<-【答案】A【详解】对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，即()f x 在0,上单调减，又()f x 是幂函数，知：2244160m m m m ⎧-+=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1m =或3m =（舍去），∴6()f x x -=，()f x是偶函数，∴(1)(1)f f -=，(3)(3)f f -=，而(1)(3)()f f f π>>，即(1)(3)()f f f π->->， 11．已知点⎝⎛⎭⎫2，18在幂函数f (x )＝x n 的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫33，b ＝f (ln π)，c ＝f ⎝⎛⎭⎫22，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．a <c <b【答案】C【解析】因为点⎝⎛⎭⎫2，18在函数f (x )的图象上，所以18＝2n ，解得n ＝－3，所以f (x )＝x －3，易知当x >0时，f (x )单调递减．因为33<22<1，ln π>ln e ＝1，所以f ⎝⎛⎭⎫33>f ⎝⎛⎭⎫22>f (ln π)，即a >c >b ，故选C. 12．(多选)已知函数f (x )＝3x 2－6x －1，则( )A ．函数f (x )有两个不同的零点B ．函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增C ．当a ＞1时，若f (a x )在x ∈[－1,1]上的最大值为8，则a ＝3D ．当0＜a ＜1时，若f (a x )在x ∈[－1,1]上的最大值为8，则a ＝13【答案】ACD【解析】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式Δ＝(－6)2－4×3×(－1)＝48＞0，所以函数f (x )有两个不同的零点，A 正确．因为二次函数f (x )图象的对称轴为x ＝1，且图象开口向上，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增，B 不正确．令t ＝a x ，则f (a x )＝g (t )＝3t 2－6t －1＝3(t －1)2－4. 当a ＞1时，1a ≤t ≤a ，故g (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上先减后增，又a ＋1a 2＞1，故最大值为g (a )＝3a 2－6a －1＝8， 解得a ＝3(负值舍去)．同理当0＜a ＜1时，a ≤t ≤1a ，g (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上的最大值为g ⎝⎛⎭⎫1a ＝3a 2－6a －1＝8， 解得a ＝13(负值舍去)．故C 、D 正确．13．已知幂函数()223mm y f x x --+==（其中22m -<<，m ∈Z ）满足：①在区间,0上为减函数；②对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x --=.则()f x 在[]0,4x ∈的值域为__________. 【答案】()4f x x =，值域为[]0,256【解析】22m -<<，m ∈Z ，1m ∴=-，0，1.对任意x ∈R ，都有()()0f x f x --=，即()()f x f x -=，f x 是偶函数.当1m =-时，()4f x x =，满足条件①②；当1m =时，()0f x x =，不满足条件①；当0m =时，()3f x x =，条件①②都不满足，故同时满足条件①②的幂函数()f x 的解析式为()4f x x =，且在区间[]0,4上是增函数，∴当[]0,4x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,256。
专题07 二次函数与幂函数 高考复习资料(解析版)
a x＝ .
2
a ①当 ≥1，即 a≥2 时，f(x)在[0,1]上单调递增，
2
∴f(x)max＝f(1)＝－4－a2. 令－4－a2＝－5，得 a＝±1(舍去)．
a a ②当 0< <1，即 0<a<2 时，f(x)max＝f 2 ＝－4a. 2
5 令－4a＝－5，得 a＝ .
4
a ③当 ≤0，即 a≤0 时，f(x)在[0,1]上单调递减，
【答案】(1)－1 或 2 (2)[0,2] 【解析】 (1)函数 f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为 x＝a.
当 a<0 时，f(x)max＝f(0)＝1－a， 所以 1－a＝2，所以 a＝－1. 当 0≤a≤1 时，f(x)max＝a2－a＋1， 所以 a2－a＋1＝2，所以 a2－a－1＝0，
B.幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1) C.若幂函数 y＝xα是奇函数，则 y＝xα是增函数
D.幂函数的图象不可能出现在第四象限
【答案】D 【解析】 A 中，点(0，1)不在直线上，A 错；B 中，y＝xα，当α<0 时，图象不过原点，B 错；C 中，当 α<0 时，y＝xα在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，C 错.幂函数图象一定过第一象限，一定不过第四象
2021 高考领跑一轮复习资料·数学篇
专题 07 二次函数与幂函数
一、【知识精讲】 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 y＝xα的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α为常数. (2)常见的 5 种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
高三数学知识点总结9：二次函数和幂函数
（十一）二次函数一．二次函数解析式（1）一般式：).0()(2≠++=a c bx ax x f（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为),,(k h 则其解析式).0()()(2≠+-=a k h x a x f（3）交点式：若二次函数的图象与x 轴的交点为),0,(),0,(21x x 则),)(()(21x x x x a x f --= .0≠a二．二次函数的对称轴（1）对于二次函数)(x f y =的定义域内有21,x x 满足),()(21x f x f =则二次函数的对称轴为.221x x x += （2）对于一般函数)(x f y =对定义域内所有,x 都有)()(x a f x a f -=+成立，那么函数 )(x f y =图像的对称轴方程为：a x =.三．二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在],[n m 上的最值（1）0>a ① 最小值讨论三种情况 1.)(2min m f y m a b =≤-，；2.)2(2min a b f y n a b m -=<-<，；3.)(2min n f y n ab =≥-，. ② 最大值讨论两种情况 1.)(,22max n f y n m a b =+≤-；2.)(22max m f y n m a b =+>-，. （2）0<a ① 最大值讨论三种情况 1.)(2max m f y m a b =≤-，；2.)2(2max a b f y n a b m -=<-<，；3.)(,2max n f y n ab =≥-. ② 最小值讨论两种情况 1.)(,22min n f y n m a b =+≤-；2.)(22min m f y n m a b =+>-，. 四．三个二次的关系一元二次方程的根=一元二次函数的零点=一元二次不等式解集的端点.五．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的实根分布（1）数的角度：① 两实根异号等价于0<a c ；② 有两个正根等价于.0,0,0>>-≥∆a c a b ；③ 有两个负根等价于.0,0,0><-≥∆ac a b （2）形的角度：画出满足要求的图像，用“内有无，内无有”（开口内有端点则不需要考虑对称轴和，∆开口内无端点则需要考虑对称轴和.∆）。
二次函数与幂函数的知识点总结与题型归纳
二次函数与幂函数的知识点总结与题型归纳1．二次函数的定义与解析式(1) 二次函数的定义形如：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)的函数叫作二次函数．(2) 二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠ 0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠ 0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)_(a≠ 0)．2．二次函数的图象和性质3. 幂函数形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．4．幂函数的图象及性质(1) 幂函数的图象比较(2) 幂函数的性质比较1(1) 已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2) 已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式．(3) 已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．2． 幂函数的图象(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴，在 (1，＋ ∞) 上幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴．1(2)函数 y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 2，y ＝x －1 可作为研究和学习幂函数 图象和性质的代表．题型一 求二次函数的解析式例1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是8， 试确定此二次函数．思维启迪： 确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件 灵活运用．解 方法一 设 f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∴所求二次函数解析式为 f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.方法二 设 f(x)＝a(x －m)2＋n ，a ≠ 0.∵f(2)＝f(－1)，2＋ － 1 1 1 ∴抛物线对称轴为 x ＝ 2 ＝ 2.∴m ＝ 2. 又根据题意函数有最大值为 n ＝ 8，12∴y ＝f(x)＝a (x )2 ＋8.依题意有4a ＋2b ＋c ＝－1， a －b ＋c ＝－1， 4ac －b 2 4a ＝8， a ＝－4，解之，得 b ＝4， c ＝7，∵f(2)＝－1，∴a(x 1) ＋8＝－1，解之，得a＝－ 4.2∴f(x)＝－4(x 1)2＋8＝－4x2＋4x＋7.2方法三依题意知，f(x)＋1＝0 的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，a≠0.即f(x)＝ax2－ax－2a－1.4a －2a－1 －a2又函数有最大值y max＝8，即4a＝8，解之，得a＝－4或a＝0(舍去)．∴函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.探究提高二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．题型二二次函数的图象与性质例 2 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈［－4,6］．(1)当a＝－2 时，求f(x)的最值；(2)求实数 a 的取值范围，使y＝f(x)在区间［－4,6］上是单调函数；(3) 当a＝1 时，求f(|x|)的单调区间．思维启迪：对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．解：(1)当a＝－2 时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈［－4,6］，∴f(x)在［－4,2］上单调递减，在［2,6］上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在［－4,6］上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.(3) 当a＝1 时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈［－6,6］，x2＋2x＋3，x∈0，6］且f(x)＝2，x2－2x＋3，x∈［－6，0］∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6］，单调递减区间是［－6,0］．探究提高(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．题型三二次函数的综合应用例 3 若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋ c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间［－1,1］上，不等式f(x)>2x＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．思维启迪：对于(1)，由f(0)＝1可得c，利用f(x＋1)－f(x)＝2x恒成立，可求出a，b，进而确定f(x)的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得．解(1)由f(0)＝1，得c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴ a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，2a＝2，a＝1，即2ax＋a＋b＝2x，∴∴a＋b＝0，b＝－ 1.因此，f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)>2x＋m 等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在［－1,1］上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在［－1,1］上的最小值大于0 即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m 在［－1,1］上单调递减，∴g(x)min ＝g(1) ＝－m－1，由－m－1>0 得，m<－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式（尤其是恒成立）问题是高考命题的热点．题型四幂函数的图象和性质例 4 已知幂函数f（x）＝xm2－2m－3 （m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，＋∞ ）上是减函数，求满足（a＋1）－m3<（3－2a）－m3的 a 的取值范围．思维启迪：由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3<0，再结合m 是整数，及幂函数是偶函数可得m 的值．解∵函数在（0，＋∞）上递减，∴ m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，1∴m＝1.而f（x）＝x－3在（－∞，0），（0，＋∞）上均为减函数，11∴（a＋1）－3<（3 －2a）－3等价于a＋1>3－2a>0 或0>a＋1>3－2a 或 a＋1<0<3－2a.2 3 2 3解得a<－1 或3<a<2. 故 a 的取值范围为a|a<－1或3<a<2 .探究提高（1）幂函数解析式一定要设为y＝xα（α为常数的形式）；（2）可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性．方法与技巧1．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数 形结合来解，一般从 ①开口方向； ②对称轴位置； ③判别式； ④端点 函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时， 一般需借助于二次函数的图 象、性质求解．2． 与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax 2＋ bx ＋ c>0， a ≠ 0 恒成立的充要条件是(2)ax 2＋ bx ＋ c<0， a ≠ 0 恒成立的充要条件是3． 幂函数 y ＝x α(α∈R)，其中 α为常数，其本质特征是以幂的底 x 为自变 量，指数 α为常数．失误与防范1． 对于函数 y ＝ ax 2＋bx ＋ c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明 a ≠0时，就要讨论 a ＝0和 a ≠0两种情况. 2． 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象a>0 b 2－4ac<0a<0最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.。
高考数学学业水平测试复习专题三第11讲二次函数与幂函数pptx课件
1．求二次函数的解析式 (1)二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x＝2，最小值为
－1，则它的解析式是________________． (2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它 的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________．
解析：(1)依题意可设 f(x)＝a(x－2)2－1，又其图象过点(0，1)，所 以 4a－1＝1，所以 a＝12. 所以 f(x)＝12(x－2)2－1.
解：(1)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则ff（ （－3）1） ＝＝ 9aa＋－3bb＋ ＋cc＝ ＝33， ，
f（1）＝a＋b＋c＝－1， 解得 a＝1，b＝－2，c＝0. 所以 f(x)＝x2－2x.
(2)根据题意： a－1≤1≤a＋1， （a＋1）－1≥1－（a－1）， 解得 1≤a≤2， 所以 a 的取值范围为[1，2]．
1．幂函数f(x)＝xa2－10a＋23(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，
＋∞)上是减函数，则a等于( )
A．3
B．4
C．5
D．6
C 因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
f(x)＝x(a－5)2－2(a∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减
函数，
所以(a－5)2－2<0，从而a＝4，5，6，
因为 0＜x＜1，
当 x＝12时，函数取得最大值34.
故选 C.
5 ． 已 知 函 数 y ＝ 2x2 － 6x ＋ 3 ， x∈( － 1 ， 1) ， 则 y 的 最 小 值 是 ______．
解析：函数 y＝2x2－6x＋3 的图象的对称轴为 x＝32>1，所以函数 y＝2x2－6x＋3 在(－1，1)上单调递减，所以 ymin＝2－6＋3＝－1.
2024年新高考版数学专题1_3.2 二次函数与幂函数
b 2a
,
4ac 4a
b2
图象关于直线x=- b 对称
2a
考点二 幂函数 1.定义:一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 2.几个常用幂函数的图象
3.几个常用幂函数的性质
y=x
y=x2
y=x3
定义域
R
R
R
值域
R
[0,+∞)
R
奇偶性 单调性 定点
奇
偶
奇
y=x
y=x2
y=x3
3
故m的取值范围为
2 3
,1
.
例4 已知f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t. (1)求证:对于任意t∈R,关于x的方程f(x)=1必有实数根;
(2)若方程f(x)=0在区间(-1,0)和
0,
1 2
内各有一个实数根,求实数t的取值范
围.
解析 (1)证明:方程f(x)=1⇒x2+(2t-1)x-2t=0,因为Δ=(2t-1)2+8t=4t2+4t+1=(2 t+1)2≥0,所以方程f(x)=1必有实数根.
例1 (2022广东深圳六校联考二,2)若不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-2<x <1},则二次函数y=2bx2+4x+a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为
()
A.-1,-7 B.0,-8
C.1,-1 D.1,-7
解析 ∵不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-2<x<1},∴-2,1是关于x的方程ax2 +bx+2=0的两个实数根,且a<0,
高考数学专题06二次函数与幂函数(含解析)理(2021年整理)
考点06 二次函数与幂函数（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数的图象,了解它们的变化情况.一、二次函数 1．二次函数的概念形如的函数叫做二次函数. 2．表示形式(1)一般式：f (x )=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）.(2)顶点式:f (x ）=a （x −h )2＋k (a ≠0）,其中(h ，k ）为抛物线的顶点坐标.（3）两根式：f （x ）=a （x −x 1)(x −x 2）(a ≠0)，其中x 1，x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标. 3．二次函数的图象与性质R 12321,,,,y x y xy xy y xx =====2()(0)fxa xb x c a =++≠4．(1)函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标是方程ax 2＋bx ＋c =0的实根.（2)若x 1，x 2为f (x )=0的实根，则f (x ）在x 轴上截得的线段长应为｜x 1−x 2.（3)当且（）时，恒有f (x ）〉0(）；当且(）时，恒有f （x ）〈0(）.学.科 二、幂函数 1．幂函数的概念一般地,形如y =x α(α∈R ）的函数称为幂函数,其中底数x 为自变量，α为常数。
2．几个常见幂函数的图象与性质0a >0∆<0∆≤()0f x ≥0a <0∆<0∆≤()0f x ≤RRR[0,)+∞{|0}x x ≠3(1）幂函数在上都有定义.（2)幂函数的图象均过定点。
(3)当时,幂函数的图象均过定点，且在上单调递增。
（4)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减.（5）幂函数在第四象限无图象。
考向一求二次函数或幂函数的解析式1．求二次函数解析式的方法求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式．一般选择规律如下:(0,)+∞(1,1)0α>(0,0),(1,1)(0,)+∞0α<(1,1)(0,)+∞2．求幂函数解析式的方法幂函数的解析式是一个幂的形式,且需满足： （1）指数为常数； （2)底数为自变量; (3）系数为1。