高考数学二轮复习专题02：函数与导数
B . f(a)<f(b)
C . f(a)＝f(b)
D . f(a)f(b)>0
4. （2分） (2019高二上·浙江期中) 已知 ，且 ， ， 是函数 的两个相邻的零点，且 ，则 的值为（ ）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） 定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）= ， 则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（ ）
A . 3a﹣1
B . 1﹣3a
C . 3﹣a﹣1
D . 1﹣3﹣a
6. （2分） 已知函数 的图像为曲线C，若曲线C存在与直线 垂直的切线，则实数m的取值范围是（ ）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2016高一上·沈阳期中) 已知函数f（x）满足：当f（x）= ，则f（2+log23）=（ ）
29-2、答案：略
29-3、答案：略
29-4、答案：略
30-1、
高考数学二轮复习专题02：函数与导数
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 单选题 (共17题；共34分)
1. （2分） (2016高一上·厦门期中) 已知函数f（x）=xln（x﹣1）﹣a，下列说法正确的是（ ）
A . 当a=0时，f（x）没有零点
B . 当a＜0时，f（x）有零点x0 ， 且x0∈（2，+∞）
A .
B .
C .
D .
17. （2分） （ ）
A . 0
B . π
C . －π
D . 2π
二、 填空题 (共7题；共8分)
18. （1分） (2019高一上·盘山期中) 已知函数 （ 且 ）恒过定点________.
19. （2分） 已知f（x）是定义在R上且周期为6的奇函数，当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．若函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有5个零点（互不相同），则实数m的取值范围是________
（1） 设角∠DAB=θ，将y表示成θ的函数关系；
（2） 当BE为多长时，y有最小值，最小值是多少？
27. （10分） (2018高三上·邹城期中) 山东省于2015年设立了水下考古研究中心，以此推动全省的水下考古、水下文化遗产保护等工作;水下考古研究中心工作站，分别设在位于刘公岛的中国甲午战争博物院和威海市博物馆。为对刘公岛周边海域水底情况进行详细了解，然后再选择合适的时机下水探摸、打捞，省水下考古中心在一次水下考古活动中，某一潜水员需潜水 米到水底进行考古作业，其用氧量包含以下三个方面：
C . 当a＞0时，f（x）有零点x0 ， 且x0∈（1，2）
D . 当a＞0时，f（x）有零点x0 ， 且x0∈（2，+∞）
2. （2分） (2018高二下·沈阳期中) 函数 恰有一个零点，则实数 的值为（ ）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） 已知函数f(x)＝ －cosx，若 ， 则（ ）
三、 解答题 (共6题；共65分)
25. （15分） (2016高三上·韶关期中) 已知函数f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．
（1） 讨论f（x）的单调性；
（2） 若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜x1＜x2时， ．
26. （10分） 如图，某小区准备在一直角围墙ABC内的空地上植造“绿地△ABD”，其中AB=a，BD长可根据需要进行调节（BC足够长），现规划在△ABD内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，设种草的面积S1与种花的面积S2的比 为y．
28. （15分） (2016高一上·宁波期中) 已知函数f（x）=x|x﹣a|
（1） 若函数y=f（x）+x在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2） 若对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图像恒在y=1图像的下方，求实数a的取值范围；
（3） 设a≥2时，求f（x）在区间[2，4]内的值域．
29. （5分） (2019高三上·衡水月考) 已知函数 ， .
A .
B .
C .
D .
8. （2分） 已知函数f（x）= ，若方程f（x）= 有三个不同的实根，则实数k的范围是（ ）
A . （1，2]
B . [1，+∞）
C . [1，2）
D . [1，2]
9. （2分） (2019高一上·纳雍期中) 已知函数 ，则 的值为（ ）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
（1） 若 在区间 内单调递增，求 的取值范围；
（2） 若 在区间 内单调递增，求 的取值范围；
（3） 若 在区间 内存在极大值 ，证明： .
（4） 若 在区间 内存在极大值 ，证明： .
30. （10分） (2018高一下·上虞期末) 设 ，数列 满足 ， .
（Ⅰ）当 时，求证：数列 为等差数列并求 ；
10. （2分） 定义域为R的连续函数 ， 对任意x都有 ， 且其导函数 满足 ， 则当 时，有（ ）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2017高二下·安阳期中) 函数f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则 的最小值是（ ）
A . 10
B . 9
C . 8
D .
12. （2分） (2019高二下·六安月考) 设函数 ，若 恒成立，则实数 的取值范国是（ ）
A .
B .
C .
D .
13. （2分） (2018高二上·黑龙江期末) 已知 ， ，若对任意的 ，存在 ，使得 成立，则 的取值范围是（ ）
A .
B .
C .
D .
14. （2分） (2018·河南模拟) 定义域为 的函数 的图象的两个端点分别为 ， ， 是 图象上任意一点，其中 ，向量 .若不等式 恒成立，则称函数 在 上为“ 函数”.已知函数 在 上为“ 函数”，则实数 的最小值是（ ）
（Ⅱ）证明：对于一切正整数 ， ．
参考答案
一、 单选题 (共17题；共34分)
1-1、答案：略
2-1、
3-1、答案：略
4-1、
5-1、答案：略
6-1、答案：略
7-1、答案：略
8-1、答案：略
9-1、
10-1、答案：略
11-1、答案：略
12-1、
13-1、答案：略
14-1、
15-1、答案：略
16-1、
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
15. （2分） (2018高三上·河北月考) 已知 为自然对数的底数，若对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A .
B .
C .
D .
16. （2分） (2018高二下·保山期末) 已知某随机变量 的概率密度函数为 则随机变量 落在区间 内在概率为（ ）
①下潜平均速度为 米/分钟，每分钟的用氧量为 升；
②水底作业时间范围是最少10分钟最多20分钟，每分钟用氧量为0.4升；
③返回水面时，平均速度为 米/分钟，每分钟用氧量为0.32升.
潜水员在此次考古活动中的总用氧量为 升.
Байду номын сангаас（Ⅰ）如果水底作业时间是 分钟，将 表示为 的函数；
（Ⅱ）若 ，水底作业时间为20分钟，求总用氧量 的取值范围.
22. （1分） (2015高三上·潍坊期末) 函数y=2x2﹣lnx的单调增区间为________．
23. （1分） (2017高二下·武汉期中) 求曲线y= ，y=2﹣x，y=﹣ x所围成图形的面积为________．
24. （1分） 由两条曲线 与直线y＝1围成平面区域的面积是________．
20. （1分） (2016高一上·淮阴期中) 关于x的方程|x2﹣1|=a有三个不等的实数解，则实数a的值是________
21. （1分） (2016·天津文) 已知函数f（x）= （a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣ 恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是________．
17-1、答案：略
二、 填空题 (共7题；共8分)
18-1、
19-1、
20-1、
21-1、
22-1、答案：略
23-1、
24-1、
三、 解答题 (共6题；共65分)
25-1、答案：略
25-2、答案：略
26-1、答案：略
26-2、答案：略
27-1、
28-1、答案：略
28-2、答案：略
28-3、答案：略
29-1、答案：略
全国高考数学第二轮复习专题二函数与导数第讲导数及其应用理
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专题二 函数与导数第3讲 导数及其应用
真题试做
１.(20１2·课标全国高考,理12)设点P在曲线y=ex上，点Q在曲线y＝ｌn(2ｘ)上,则|PQ|的最小值为( ）．
（１）求a的值；
(２)求函数f(x)的极值.
6.(2012·山东高考,理22)已知函数f（x)= （k为常数，e=２.7１8 28…是自然对数的底数)，曲线y=f(ｘ）在点(１，f(1))处的切线与x轴平行.
(１)求k的值;
（2)求f(x)的单调区间；
(3)设g(ｘ)=(x2+x）f′(x）,其中f′(x)为ｆ(x）的导函数，证明：对任意x>0,ｇ(x)＜1＋e-2．
(３）在（2)的条件下，是否存在实数ｂ，使得函数ｇ(x)＝bx的图象与函数f(ｘ)的图象恰有3个交点?若存在，请求出实数b的取值范围;若不存在，试说明理由.
规律方法利用导数研究函数极值的一般步骤:（１)确定函数的定义域；(2)求函数f（x)的导数ｆ′(x);(3)①若求极值,则先求出方程ｆ′(x)＝0的根,再检验f′(x）在方程根左右边ｆ′(x)的符号，求出极值.当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内.②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x）＝０根的大小或存在情况，从而求解．
(1)当a=2时,求函数ｆ(x)的单调递增区间；
(2）若函数ｆ(x)在(-1,1）上单调递增,求a的取值范围.
规律方法利用导数研究函数单调性的一般步骤:
(１）确定函数的定义域;
数学高考二轮复习第1部分 专题2 规范答题示例
最大值为f(1a)＝ln(1a)＋a(1－1a)＝－lna＋a－1．
二 轮 复 习
因此f(1a)＞2a－2等价于lna＋a－1＜0.
令g(a)＝lna＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0．
于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0．
因此，a的取值范围是(0,1).
则h′(x)＝x＋3x2x－1，
数
二 轮
①当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；
学
复
习
②当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增；
所以h(x)min＝h(1)＝4． 因为对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，
所以a≤h(x)min＝4，即a的取值范围为(－∞，4]．
当a＝－1时，f(x)＝－x＋lnx，f ′(x)＝1－x x；
数 学
二 轮 复
当0＜x＜1时，f ′(x)＞0；当x＞1时，f ′(x)＜0；
习
所以f(x)的单调增区间为(0,1)．
专题二 函数与导数
(2)因为f ′(x)＝a＋1x，
令f ′(x)＝0，解得x＝－1a；
由f ′(x)＞0，解得0＜x＜－1a；
[解析] (1)f′(x)＝lnx＋1，
数
学
二 轮 复 习
当x∈(0，1e)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(1e，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
所以f(x)的最小值为f(1e)＝－1e．
专题二 函数与导数
(2)2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋3x，
设h(x)＝2lnx＋x＋3x(x＞0)，
专题二 函数与导数
高考数学第二轮复习 函数与导数专题 新人教版
专题二：函数与导数近年来，高考一直强调，要突出重点内容、主干内容，要在知识的交汇点命题，要重视对数学思想方法的考查和数学能力的考查。
于是函数的内容便理所当然地成了高考的“重头戏”。
在高考中，对函数的考查一般包括以下几个方面：（1） 函数的一般理论，包括函数的三要素（定义域，值域，对应法则）；函数的基本性质（单调性，奇偶性，周期性，最大值与最小值等）；互为反函数的两个函数间的关系等。
（2） 函数的图象，包括基本初等函数的图象；图象的变换；运用图象研究函数的性质；图象法解方程，不等式等。
（3） 函数模型，包括一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等。
在高考中，一般和指数函数、对数函数或与其他方程、不等式的知识综合在一起考查，但他们仍不失为重要的函数模型。
（4） 运用导数研究函数的性质。
包括函数图象的切线，函数的单调性、极值、最值，以及运用导数研究方程、不等式等。
（5） 函数的应用。
包括在数学本身，如方程、不等式、数列、三角函数、几何方面的应用，以及在日常生产、生活中的实际应用问题。
1．函数xax x f -=2)(的定义域为]1,0(（为实数） （1）当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域；（2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求的取值范围；（3）函数)(x f y =在]1,0(上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值解：（1）显然函数)(x f y =的值域为),22[∞+； ……………3分（2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，则任取∈21,x x ]1.0(且21x x <都有)()(21x f x f > 成立， 即0)2)((2121>+-x x ax x 只要212x x a -<即可， …………………………5分 由∈21,x x ，故)0,2(221-∈-x x ，所以2-≤a ，故的取值范围是]2,(--∞； …………………………7分 （3）当0≥a 时，函数)(x f y =在上单调增，无最小值，当时取得最大值； 由（2）得当2-≤a 时，函数)(x f y =在上单调减，无最大值，当1=x 时取得最小值a -2；当02<<-a 时，函数)(x f y =在].0(22a -上单调减，在]1,[22a -上单调增，无最大值，当22a x -=时取得最小值a 22- …………………………12分21)(++=xx x h （0，1）对称（1）求函数的解析式（2）若=，且在区间（0，上的值不小于，求实数的取值范围解：（1）设图象上任一点坐标为),(y x ，点),(y x 关于点A （0，1）的对称点)2,(y x --在的图象上………… 3分,1,212xx y x x y +=∴+-+-=-∴即x x x f 1)(+= …… 6分（2）由题意 x a x x g 1)(++= ，且61)(≥++=xa x x g ∵（0， ∴ )6(1x x a -≥+，即162-+-≥x x a ，………… 9分令16)(2-+-=x x x q ，（0，，16)(2-+-=x x x q 8)3(2+-x ＝－，∴（0，时，7)(max =x q …11′∴ 7≥a ……………… 12分 方法二：62)(+-='x x q ， （0，时，0)(>'x q即在（0，2上递增，∴（0，2时，7)(max =x q ∴3设二次函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈满足下列条件：①当∈R 时，的最小值为0，且f －1=f －－1成立； ②当∈0,5时，≤≤21恒成立。
年高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 第2讲 函数的应用课件 理.pptx
思维升华 解析 11 答案
(2)已知实数f(x)＝ex，x≥0， 若关于x的方程f 2(x)＋f(x)＋t＝0有三个 lg－x，x<0，
－k＝0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是_______________.
解析 17 答案
(2)(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a 等于
A.－12
1 B.3
√C.12
D.1
解析 19 答案
热点三 函数的实际应用问题 解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注 意定义域.其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么， 求什么，从中提炼出相应的数学问题.(2)数学建模：弄清题目中的已知 条件和数量关系，建立函数关系式.(3)解函数模型：利用数学方法得出 函数模型的数学结果.(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际 问题作出解答.
解析 8 答案
(2)(2017届甘肃高台县一中检测)已知函数f(x)满足：①定义域为R；② ∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1，则12 方程f(x) ＝ log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是
√A.5
B.6
C.7
D.8
解析 画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解.
间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是______________.
解析 9 答案
热点二 函数的零点与参数的范围 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函 数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.
高考数学大二轮复习专题2函数与导数第2讲综合大题部分真题押题精练(理)
第2讲 综合大题部分1. (2017·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x－x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围． 解析：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)．①若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减． ②若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝－ln a . 当x ∈(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减， 在(－ln a ，＋∞)上单调递增．(2)①若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．②若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1a＋ln a .a ．当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0，故f (x )只有一个零点；b ．当a ∈(1，＋∞)时，由于1－1a＋ln a >0，即f (－ln a )>0，故f (x )没有零点；c ．当a ∈(0,1)时，1－1a＋ln a <0，即f (－ln a )<0.又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2＋2>0， 故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点．设正整数n 0满足n 0>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a－1，则f (n 0)＝e n 0(a e n 0＋a －2)－n 0>e n 0－n 0>2n 0－n 0>0.由于ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a－1>－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点． 综上，a 的取值范围为(0,1)．2．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x －1－a ln x . (1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <m ，求m 的最小值． 解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．①若a ≤0，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12＋a ln 2<0，所以不满足题意； ②若a >0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，a )单调递减，在(a ，＋∞)单调递增． 故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点． 由于f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0. 故a ＝1.(2)由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0.令x ＝1＋12n 得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <12n .从而ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1. 故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <e. 而⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋123>2， 所以m 的最小值为3.3．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ax 2. (1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1； (2)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a .解析：(1)证明：当a ＝1时，f (x )≥1等价于(x 2＋1)e －x－1≤0.设函数g (x )＝(x 2＋1)e －x－1，则g ′(x )＝－(x 2－2x ＋1)·e －x＝－(x －1)2e －x. 当x ≠1时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，＋∞)单调递减． 而g (0)＝0，故当x ≥0时，g (x )≤0，即f (x )≥1. (2)设函数h (x )＝1－ax 2e －x.f (x )在(0，＋∞)只有一个零点等价于h (x )在(0，＋∞)只有一个零点．(ⅰ)当a ≤0时，h (x )＞0，h (x )没有零点； (ⅱ)当a ＞0时，h ′(x )＝ax (x －2)e －x.当x ∈(0,2)时，h ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0. 所以h (x )在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．故h (2)＝1－4ae 2是h (x )在(0，＋∞)的最小值．①若h (2)＞0，即a ＜e24，h (x )在(0，＋∞)没有零点．②若h (2)＝0，即a ＝e24，h (x )在(0，＋∞)只有一个零点．③若h (2)＜0，即a ＞e24，因为h (0)＝1，所以h (x )在(0,2)有一个零点；由(1)知，当x ＞0时，e x＞x 2，所以h (4a )＝1－16a 3e 4a ＝1－16a3e2a2＞1－16a 32a 4＝1－1a＞0，故h (x )在(2,4a )有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)有两个零点． 综上，当f (x )在(0，＋∞)只有一个零点时，a ＝e24.1. 已知函数f (x )＝ln(x ＋1)＋ax 2，a >0. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在区间(－1,0)上有唯一零点x 0，证明：e －2<x 0＋1<e －1. 解析：(1)f ′(x )＝1x ＋1＋2ax ＝2ax 2＋2ax ＋1x ＋1，x >－1，令g (x )＝2ax 2＋2ax ＋1， 则Δ＝4a 2－8a ＝4a (a －2)， 若Δ<0，即0<a <2，则g (x )>0，故当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 若Δ＝0，即a ＝2，则g (x )≥0， 仅当x ＝－12时，等号成立，故当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． 若Δ>0，即a >2，则g (x )有两个零点，x 1＝－a －a a －22a ，x 2＝－a ＋a a －22a，由g (－1)＝g (0)＝1>0，g (－12)<0得，－1<x 1<－12<x 2<0，故当x ∈(－1，x 1)时，g (x )>0，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )<0，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )>0，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 综上所述，当0<a ≤2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增， 当a >2时，f (x )在(－1，－a －a a －22a )和(－a ＋a a －22a ，＋∞)上单调递增，在(－a －a a －22a，－a ＋a a －22a)上单调递减．(2)由(1)及f (0)＝0可知：仅当极大值等于零，即f (x 1)＝0时，符合要求． 此时，x 1就是函数f (x )在区间(－1,0)上的唯一零点x 0. 所以2ax 20＋2ax 0＋1＝0， 从而有a ＝－12x 0x 0＋1，又f (x 0)＝ln(x 0＋1)＋ax 20＝0， 所以ln(x 0＋1)－x 02x 0＋1＝0，令x 0＋1＝t 0，则ln t 0－t 0－12t 0＝0， 即ln t 0＋12t 0－12＝0，且0<t 0<12，设h (t )＝ln t ＋12t －12，则h ′(t )＝2t －12t 2，当0<t <12时，h ′(t )<0，h (t )单调递减，又h (e －2)＝e 2－52>0，h (e －1)＝e －32<0，所以e －2<t 0<e －1，即e －2<x 0＋1<e －1.2．已知函数f (x )＝12ln x －mx ，g (x )＝x －ax (a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若m ＝12e 2，对∀x 1，x 2∈[2,2e 2]都有g (x 1)≥f (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)f (x )＝12ln x －mx ，x >0，所以f ′(x )＝12x－m ，当m ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 当m >0时，由f ′(x )＝0得x ＝12m；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′x >0，x >0得0<x <12m ；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′x <0，x >0得x >12m.综上所述，当m ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； 当m >0时，f (x )的单调递增区间为(0，12m )，单调递减区间为(12m ，＋∞)．(2)若m ＝12e 2，则f (x )＝12ln x －12e 2x .对∀x 1，x 2∈[2,2e 2]都有g (x 1)≥f (x 2)成立， 等价于对∀x ∈[2,2e 2]都有g (x )min ≥f (x )max ， 由(1)知在[2,2e 2]上f (x )的最大值为f (e 2)＝12，g ′(x )＝1＋ax2>0(a >0)，x ∈[2,2e 2]，函数g (x )在[2,2e 2]上是增函数，g (x )min ＝g (2)＝2－a2，由2－a 2≥12，得a ≤3，又a >0，所以a ∈(0,3]，所以实数a 的取值范围为(0,3]．3．已知函数f (x )＝ln xx ＋a (a ∈R )，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直．(1)试比较：2 0182 019与2 0192 018的大小并说明理由；(2)若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点x 1，x 2，证明：x 1x 2>e 2.解析：(1)依题意得f ′(x )＝x ＋ax－ln x x ＋a 2，所以f ′(1)＝1＋a 1＋a2＝11＋a， 又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以f ′(1)＝1， 即11＋a＝1，解得a ＝0. 故f (x )＝ln x x ，f ′(x )＝1－ln xx2.令f ′(x )>0，则1－ln x >0，解得0<x <e ； 令f ′(x )<0，则1－ln x <0，解得x >e ， 所以f (x )的单调递增区间为(0，e)， 单调递减区间为(e ，＋∞)．∴f (2 018)>f (2 019)，即ln 2 0182 018>ln 2 0192 019，即ln 2 0182 019>ln 2 0192 018，∴2 0182 019>2 0192 018.(2)不妨设x 1>x 2>0，因为g (x 1)＝g (x 2)＝0， 所以ln x 1－kx 1＝0，ln x 2－kx 2＝0， 可得ln x 1＋ln x 2＝k (x 1＋x 2)， ln x 1－ln x 2＝k (x 1－x 2)． 要证x 1x 2>e 2，即证ln x 1x 2>2， 只需证ln x 1＋ln x 2>2， 也就是证k (x 1＋x 2)>2，即证k >2x 1＋x 2. 因为k ＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2，所以只需证ln x 1－ln x 2x 1－x 2>2x 1＋x 2，即证ln x 1x 2>2x 1－x 2x 1＋x 2.令x 1x 2＝t (t >1)，则只需证ln t >2t －1t ＋1(t >1)．令h (t )＝ln t －2t －1t ＋1(t >1)，则h ′(t )＝1t－4t ＋12＝t －12t t ＋12>0，故函数h (t )在(1，＋∞)上是单调递增的， 所以h (t )>h (1)＝0，即ln t >2t －1t ＋1.所以x 1x 2>e 2. 4．已知函数f (x )＝exx.(1)求曲线y ＝f (x )在点P (2，e22)处的切线方程；(2)证明：f (x )>2(x －ln x )．解析：(1)因为f (x )＝exx，所以f ′(x )＝e x ·x －e xx2＝exx －1x 2，f ′(2)＝e24， 又切点为(2，e22)，所以切线方程为y －e 22＝e24(x －2)，即e 2x －4y ＝0.(2)设函数g (x )＝f (x )－2(x －ln x )＝exx－2x ＋2ln x ，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝exx －1x 2－2＋2x ＝e x－2x x －1x2，x ∈(0，＋∞)． 设h (x )＝e x－2x ，x ∈(0，＋∞)，则h ′(x )＝e x－2，令h ′(x )＝0，则x ＝ln 2. 当x ∈(0，ln 2)时，h ′(x )<0； 当x ∈(ln 2，＋∞)时，h ′(x )>0. 所以h (x )min ＝h (ln 2)＝2－2ln 2>0， 故h (x )＝e x－2x >0. 令g ′(x )＝e x－2xx －1x2＝0，则x ＝1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0. 所以g (x )min ＝g (1)＝e －2>0， 故g (x )＝f (x )－2(x －ln x )>0， 从而有f (x )>2(x －ln x )．。
高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 第3讲 导数的概念
第3讲导数的概念及其简单应用导数的几何意义及导数的运算1.(2015洛阳统考)已知直线m:x+2y-3=0,函数y=3x+cos x的图象与直线l相切于Ρ点,若l ⊥m,则Ρ点的坐标可能是( B )(A)（-错误!未找到引用源。
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） (B)（错误!未找到引用源。
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）(C)（错误!未找到引用源。
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）(D)（-错误!未找到引用源。
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）解析:由l⊥m可得直线l的斜率为2,函数y=3x+cos x的图象与直线l相切于Ρ点,也就是函数在P点的导数值为2,而y ′=3-sin x=2,解得sin x=1,只有B,D符合要求,而D中的点不在函数图象上,因此选B.2.(2014广东卷)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为.解析:由题意知点(0,3)是切点.y′=-5e-5x,令x=0,得所求切线斜率为-5.从而所求方程为5x+y-3=0.答案:5x+y-3=0利用导数研究函数的单调性3.(2015辽宁沈阳市质检)若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,则不等式f(x)>错误!未找到引用源。
+1(e为自然对数的底数)的解集为( A )(A)(0,+∞) (B)(-∞,0)∪(3,+∞)(C)(-∞,0)∪(0,+∞) (D)(3,+∞)解析:不等式f(x)>错误!未找到引用源。
+1可以转化为e x f(x)-e x-3>0令g(x)=e x f(x)-e x-3,所以g′(x)=e x(f(x)+f′(x))-e x=e x(f(x)+f′(x)-1)>0,所以g(x)在R上单调递增,又因为g(0)=f(0)-4=0,所以g(x)>0⇒x>0,即不等式的解集是(0,+∞).故选A.4.(2014辽宁卷)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( C )(A)[-5,-3] (B)[-6,-错误!未找到引用源。
高考数学二轮复习 函数与导数 课时考点2 导数的概念及应用
课时考点2 导数的概念及应用高考考纲透析：（理科）(1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。
(2)熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数。
(3)理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。
（文科）(1)了解导数概念的某些实际背景。
(2)理解导数的几何意义。
(3)掌握函数，y=c(c 为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数。
(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念.并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。
(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值。
高考风向标：导数的概念及运算，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值，尤其是利用导数研究函数的单调性和极值，复现率较高。
高考试题选：1.设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是（ ）2. 设曲线x e y x (-=≥0）在点M （t,e --t ）处的切线l 与x 轴y 轴所围成的三角形面积为S （t ）.（Ⅰ）求切线l 的方程；（Ⅱ）求S （t ）的最大值.3. 已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --=，（Ⅰ）求导数)(x f '；（Ⅱ）若0)1(=-'f ，求)(x f 在[--2，2] 上的最大值和最小值； （Ⅲ）若)(x f 在（—∞，—2）和[2，+∞]上都是递增的，求a 的取值范围.热点题型1: 函数的最值已知函数f (x )=－x 3＋3x 2＋9x ＋a ,（I ）求f (x )的单调递减区间；（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解：（I ） f ’(x )＝－3x 2＋6x ＋9．令f ‘(x )<0，解得x <－1或x >3，所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II ）因为f (－2)＝8＋12－18＋a =2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以f (2)>f (－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x )>0，所以f (x )在[－1, 2]上单调递增，又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．变式新题型1：已知]2,1[,6)(3-∈+-=x b ax ax x f 的最大值为3，最小值为29-，求b a ,的值。
高考数学(理)二轮大提分【专题2】函数与导数 2-2导数及其应用
)
3.复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝
g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘
积．
一级排查
二级排查
(三级排查 )
4.在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，则函数y＝
f(x)在区间(a，b)内单调递增；如果f′(x)＜0.那么
一级排查
二级排查
三级排查
【例】已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2 在 x＝1 处有极值为 10， 求 f(x)． [ 正 解 ] f′(x) ＝ 3x2 ＋ 2ax ＋ b ， 由 题 意 得 3＋2a＋b＝0， 1＋a＋b＋a2＝10， 解得ab＝ ＝4－，11 或ab＝ ＝－ 3. 3， 当 a＝－3，b＝3 时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋9，f′(x)＝3x2－ 6x＋3＝3(x－1)2≥0.
()
一级排查
二级排查
三级排查
自我校对 1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.× 6.√ 7.× 第 1 题记错 y＝cos x，y＝logax 的求导公式．第 5 题没有理解
函数的极大(小)值的概念．第 7 题错误理解函数单调性与导 数的关系． 订正 1 几个重要的求导公式：(xn)′＝nxn－1(n∈N*)， (sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x，(ax)′＝axln a， (loga x)′＝xln1 a(a＞0，a≠1)．
第2讲 导数及其应用
一级排查
二级排查
三级排查
三年考向
排查考前必记的数学概念、公式、性质、定理
在下面 7 个小题中，有 3 个表述不正确，请在题
2020届高考二轮复习 专题二 函数与导数(共3讲)
3.函数的图象 对于函数的图象要会作图、识图、用图. 作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图 象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、 对称变换.
4.指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质 (1) 指 数 函 数 y ＝ ax(a>0 ， a≠1) 与 对 数 函 数 y ＝ logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两 种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共 性质. (2)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0，α<0 两种情况.
考 情
对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期
解 性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以
读 选择、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，
难度较大．
主干知识梳理
1.函数的三要素 定义域、值域及对应关系 两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函 数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数. 2.函数的性质 (1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.利用定 义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符 号、下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.
故 f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f－32＝f12＝－14. 所以 f(3)＋f－32＝0＋－14＝－14.
答案 －14
函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期
性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的
思
维 条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，
升
华 推证函数的性质，根据函数的性质解决问题.
思维启迪
)
可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象.
解析 函数的定义域为{x|x≠－1}，其图象可由 y＝
高考数学二轮复习专题二函数与导数2.3导数的简单应用课件理
考点 2 利用导数研究函数的单调性
1．若求函数的单调区间(或证明单调性)，只要在其定义域内解 (或证明)不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 即可．
2．若已知函数的单调性，则转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间上恒成立问题来求解．
例 2(2017·全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 a<0 时，证明 f(x)≤－43a－2.
1．(2017·山西临汾五校三联)已知函数 f(x)是奇函数，当 x<0 时， f(x)＝xln(－x)＋x＋2，则曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线方程为( )
A．y＝2x＋3 B．y＝2x－3 C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－3
解析：设 x>0，则－x<0， ∵f(x)为奇函数，当 x<0 时，f(x)＝xln(－x)＋x＋2， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(－xlnx－x＋2)＝xlnx＋x－2. ∴f(1)＝－1，f′(x)＝lnx＋2. ∴f′(1)＝2， ∴曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线方程是 y＝2x－3.故选 B. 答案：B
(2)∵f′(x)＝ex(sinx＋cosx)，
∴k＝f′(0)＝1＝－m1 ，∴m＝－1. (3)由导数的几何意义，知 k＝y′＝ex＋e－x－3≥2 ex·e－x－3＝ －1， 当且仅当 x＝0 时等号成立． 即 tanα≥－1，α∈[0，π)．又－12≤x≤12，tanα＝k<0， 所以 α 的最小值是34π.
2．经过原点(0,0)作函数 f(x)＝x3＋3x2 的图象的切线，则切线方 程为________________．