堆 排 序 算 法
堆排序的几种方法
堆排序的几种方法堆排序是一种基于堆数据结构的排序算法，具有稳定且时间复杂度为O(nlogn)的特点。
本文将介绍堆排序的几种方法，包括建堆和调整堆两个关键步骤。
一、建堆建堆是堆排序的第一步，其目的是将无序的数组构建成一个堆。
堆是一种完全二叉树，分为大顶堆和小顶堆两种类型。
在大顶堆中，每个节点的值都大于或等于其子节点的值；而在小顶堆中，每个节点的值都小于或等于其子节点的值。
建堆的方法有多种，其中最常用的是从最后一个非叶子节点开始，依次向上调整每个节点的位置，直到根节点。
具体步骤如下：1. 从最后一个非叶子节点开始，向上遍历每个节点。
2. 对于当前节点，比较其与左右子节点的大小关系，如果子节点较大（或较小），则将当前节点与子节点交换位置。
3. 重复步骤2，直到当前节点满足堆的性质，或者到达叶子节点。
二、调整堆建堆完成后，数组的第一个元素一定是堆中的最大（或最小）值。
为了得到有序的数组，需要将第一个元素与最后一个元素交换位置，并对剩余元素进行堆调整。
这样，每次交换后，最大（或最小）值就会被放置在正确的位置上。
调整堆的方法有多种，其中最常用的是从根节点开始，依次向下调整每个节点的位置，直到叶子节点。
具体步骤如下：1. 将第一个元素与最后一个元素交换位置。
2. 缩小堆的范围，即排除已经有序的元素。
3. 对剩余元素进行堆调整。
从根节点开始，比较其与左右子节点的大小关系，如果子节点较大（或较小），则将当前节点与子节点交换位置。
4. 重复步骤3，直到当前节点满足堆的性质，或者到达叶子节点。
三、堆排序的优化方法除了基本的建堆和调整堆方法外，还有一些优化方法可以提高堆排序的效率。
以下是几种常见的优化方法：1. 堆的初始化：在建堆之前，先对数组进行预处理，将数组中的元素调整为局部有序，可以减少后续建堆的时间复杂度。
2. 堆的调整：在调整堆的过程中，可以使用迭代的方式代替递归，以减少函数调用的开销。
3. 堆的选择：在每次交换堆顶元素和最后一个元素后，可以选择将最后一个元素排除在堆的范围之外，从而减少调整堆的次数。
次序统计量计算次序统计量和进行排序
次序统计量计算次序统计量和进行排序次序统计量是在统计学中常用的概念，它用来描述样本中的特定数值在排序后的位置和相对大小。
在数据分析和排序算法中，次序统计量的计算和排序是十分重要的步骤。
本文将介绍次序统计量的概念、计算方法以及在排序中的应用。
一、次序统计量的概念次序统计量是指样本中第k个小的观测值，其中k可以是任意正整数（1 ≤ k ≤ n）。
当k=1时，次序统计量即为最小值；当k=n时，次序统计量即为最大值。
通过计算次序统计量，我们可以得到样本中某一特定百分位数的值，例如中位数、四分位数等。
二、次序统计量的计算方法计算次序统计量的方法有多种，下面介绍两种常见的方法。
1. 快速选择算法快速选择算法是一种高效的计算次序统计量的方法。
它基于快速排序算法的思想，在每次划分过程中只选择其中一个子序列进行递归。
通过不断地划分和比较，最终可以找到第k个小的观测值。
快速选择算法的时间复杂度为O(n)，是一种较快的计算次序统计量的方法。
2. 堆排序算法堆排序算法是另一种常用的计算次序统计量的方法。
它通过构建最小堆或最大堆的数据结构，每次取出堆顶元素并重新调整堆的结构，直到找到第k个小的观测值。
堆排序算法的时间复杂度为O(nlogn)，虽然较快速选择算法慢一些，但在实际应用中仍然具有较好的性能。
三、次序统计量在排序中的应用次序统计量在排序中有着广泛的应用。
以下是两个常见的应用场景。
1. 快速排序算法快速排序算法是一种常用的排序算法，它利用次序统计量的概念进行排序。
快速排序算法通过选择一个枢轴元素，将序列分成左右两部分，并通过递归地对左右子序列进行排序，最终将整个序列有序化。
在每次排序过程中，通过求解次序统计量的值来确定枢轴元素的位置，从而实现排序。
2. 堆排序算法堆排序算法也是一种常用的排序算法，它利用次序统计量的计算方法进行排序。
通过构建最小堆或最大堆的数据结构，并依次取出堆顶元素，可以实现将序列有序化的过程。
在每次取出堆顶元素时，通过计算次序统计量的值来确定堆顶元素的位置，从而实现排序。
排序类算法(堆排,快排,铜排,插入排)汇总分析
tb=clock();
for(i=N/2;i>0;i--)
HeadAdjust(i,N);
for(i=N;i>1;i--){
a[0]=a[1];
a[1]=a[i];
a[i]=a[0];
HeadAdjust(1,i-1);
}
te=clock();
#include<string.h>
#include<time.h>
typedef struct node{
int data;
struct node *next1;
struct node *next2;
}NODE;
#define CreateNODE(p) p=(NODE *)malloc(sizeof(NODE));
#define DeleteNODE(p) free((void *)p);
int num=5;
void main()
{
NODE *h,*h1,*q,*p,*l,*first[10],*last[10];
int i,tep,k,k1,N,a[10],sum;
srand((unsigned)time(NULL));
printf("输入要排序的数的个数：\n");
scanf("%d",&N);
//CreateNODE(h1);
CreateNODE(h);
//h=p;h1=p;
p=h;
for(i=0;i<N;i++){
CreateNODE(q);
q->data=rand()%30000;
各种排序方法总结
选择排序、快速排序、希尔排序、堆排序不是稳定的排序算法，冒泡排序、插入排序、归并排序和基数排序是稳定的排序算法。
冒泡法：这是最原始，也是众所周知的最慢的算法了。
他的名字的由来因为它的工作看来象是冒泡：复杂度为O(n*n)。
当数据为正序，将不会有交换。
复杂度为O(0)。
直接插入排序：O(n*n)选择排序：O(n*n)快速排序：平均时间复杂度log2(n)*n，所有内部排序方法中最高好的，大多数情况下总是最好的。
归并排序：l og2(n)*n堆排序：l og2(n)*n希尔排序：算法的复杂度为n的1.2次幂这里我没有给出行为的分析，因为这个很简单，我们直接来分析算法：首先我们考虑最理想的情况1.数组的大小是2的幂，这样分下去始终可以被2整除。
假设为2的k次方，即k=log2(n)。
2.每次我们选择的值刚好是中间值，这样，数组才可以被等分。
第一层递归，循环n次，第二层循环2*(n/2)......所以共有n+2(n/2)+4(n/4)+...+n*(n/n) = n+n+n+...+n=k*n=log2(n)*n所以算法复杂度为O(lo g2(n)*n) 其他的情况只会比这种情况差，最差的情况是每次选择到的midd le都是最小值或最大值，那么他将变成交换法（由于使用了递归，情况更糟）。
但是你认为这种情况发生的几率有多大？？呵呵，你完全不必担心这个问题。
实践证明，大多数的情况，快速排序总是最好的。
如果你担心这个问题，你可以使用堆排序，这是一种稳定的O(log2(n)*n)算法，但是通常情况下速度要慢于快速排序（因为要重组堆）。
数字的大小比较及排序方法
数字的大小比较及排序方法在数学和计算机领域，比较和排序是常见的操作。
当我们面对一系列数字时，我们需要进行比较以确定数字的大小关系，然后可能需要将它们按照一定的顺序进行排序。
本文将探讨数字的大小比较方法以及常用的排序算法。
一、数字的大小比较方法在进行数字比较时，我们可以使用以下几种方法：1. 直接比较法：直接比较数字的大小是最简单直接的方法。
例如，当我们比较两个数字a和b时，我们可以使用如下表达式：a >b ：表示a大于ba <b ：表示a小于ba =b ：表示a等于b2. 绝对值比较法：有时我们不仅需要比较数字的大小关系，还需要考虑数字的正负情况。
此时，我们可以使用绝对值进行比较。
例如，当我们比较两个数字a和b的大小时，我们可以比较它们的绝对值 |a| 和 |b|，并按照绝对值的大小关系得出结果。
3. 比较符号法：除了使用比较运算符进行比较外，我们还可以使用比较符号进行数字的大小比较。
常用的比较符号包括“>”（大于）、“<”（小于）、“=”（等于）、“≥”（大于等于）和“≤”（小于等于）。
二、数字的排序方法当我们有一系列数字需要排序时，我们可以使用下列排序算法：1. 冒泡排序法：冒泡排序法是最简单的排序算法之一。
它通过反复比较相邻两个数字的大小，并根据需要交换它们的位置，直到所有数字按照指定的顺序排列。
冒泡排序法的时间复杂度为O(n^2)。
2. 插入排序法：插入排序法通过将数字逐个插入到已排好序的数字序列中，完成排序。
插入排序法的时间复杂度为O(n^2)，但在实际应用中经常比其他排序算法更快。
3. 快速排序法：快速排序法是一种分治排序算法。
它通过选择一个枢纽元素，将序列划分为左右两个子序列，并对子序列进行递归排序，最终完成整个序列的排序。
快速排序法的时间复杂度为O(nlogn)，但在极端情况下可能达到O(n^2)。
4. 归并排序法：归并排序法也是一种分治排序算法。
它将序列递归地划分为较小的子序列，然后将子序列合并为一个有序序列，直到整个序列有序。
在用堆排序算法排序时,如果要进行增序排序
在用堆排序算法排序时,如果要进行
增序排序
堆排序是一种高效的内部排序方式，它利用“堆”的数据结构，通过“大根堆”和“小根堆”的思想，实现排序。
如果需要进行增序排序，则需要下面几个步骤。
1.首先将无序序列建立成“大根堆”，即堆顶元素最大，待排序序列中最大的元素即为根
结点。
2.取出堆顶元素，在剩余元素中，将堆顶元素替换为剩余元素中最后一个元素，再将剩余
元素重新建立大根堆。
3.然后将最大值重新放置在序列最后一位，每次取出堆顶元素，将序列的最后一位放到堆顶，再重新建堆，完成一次排序。
4.重复上述操作，直到序列中所有的元素都按照递增的顺序排好，排序完成。
堆排序的时间复杂度为O(nlogn)，具体来讲，它无论数据状况怎么样，在最坏的情况下都只需要O(nlogn)的时间，而且不需要额外的空间。
由于它仅仅使用了树形结构，因此堆排序比较节省空间。
由于简单方便，运算速度快，因此受到广泛的认可。
总之，堆排序在增序排序方面非常有效，效率高，而且易于实现。
它的运行时间是固定的，O(nlogn)，且无论数据状况怎么样，其空间占用也是不变的，比较能够满足大多数应用的
要求。
十大经典排序算法（动图演示）
⼗⼤经典排序算法（动图演⽰）0、算法概述0.1 算法分类⼗种常见排序算法可以分为两⼤类：⽐较类排序：通过⽐较来决定元素间的相对次序，由于其时间复杂度不能突破O(nlogn)，因此也称为⾮线性时间⽐较类排序。
⾮⽐较类排序：不通过⽐较来决定元素间的相对次序，它可以突破基于⽐较排序的时间下界，以线性时间运⾏，因此也称为线性时间⾮⽐较类排序。
0.2 算法复杂度0.3 相关概念稳定：如果a原本在b前⾯，⽽a=b，排序之后a仍然在b的前⾯。
不稳定：如果a原本在b的前⾯，⽽a=b，排序之后 a 可能会出现在 b 的后⾯。
时间复杂度：对排序数据的总的操作次数。
反映当n变化时，操作次数呈现什么规律。
空间复杂度：是指算法在计算机内执⾏时所需存储空间的度量，它也是数据规模n的函数。
1、冒泡排序（Bubble Sort）冒泡排序是⼀种简单的排序算法。
它重复地⾛访过要排序的数列，⼀次⽐较两个元素，如果它们的顺序错误就把它们交换过来。
⾛访数列的⼯作是重复地进⾏直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。
这个算法的名字由来是因为越⼩的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。
1.1 算法描述⽐较相邻的元素。
如果第⼀个⽐第⼆个⼤，就交换它们两个；对每⼀对相邻元素作同样的⼯作，从开始第⼀对到结尾的最后⼀对，这样在最后的元素应该会是最⼤的数；针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后⼀个；重复步骤1~3，直到排序完成。
1.2 动图演⽰1.3 代码实现function bubbleSort(arr) {var len = arr.length;for (var i = 0; i < len - 1; i++) {for (var j = 0; j < len - 1 - i; j++) {if (arr[j] > arr[j+1]) { // 相邻元素两两对⽐var temp = arr[j+1]; // 元素交换arr[j+1] = arr[j];arr[j] = temp;}}}return arr;}2、选择排序（Selection Sort）选择排序(Selection-sort)是⼀种简单直观的排序算法。
1234567堆排序比较次数详解
xxx堆排序比较次数详解在计算机科学领域，堆排序是一种基于堆数据结构的排序算法，它是一种非常高效的排序方法，尤其在大数据集上表现突出。
堆排序的关键在于利用堆的性质来实现排序过程，而其中一个重要的指标就是比较次数。
在本文中，我将对xxx堆排序的比较次数进行详细的解析，希望能够帮助大家更好地理解这一排序算法。
我们需要了解什么是堆排序。
堆排序是一种选择性排序，它利用了堆这种数据结构的特性来实现。
堆可以被看作一棵树，它满足两个性质：结构性和堆序性。
结构性是指堆是一个完全二叉树，而堆序性是指堆中任意节点的值都不大于（或不小于）其孩子节点的值。
根据堆的性质，我们可以利用堆来进行排序，这就是堆排序算法的基本思想。
在xxx堆排序中，比较次数是一个非常重要的指标。
比较次数可以用来衡量算法的效率和性能，它表示在排序过程中进行了多少次元素之间的比较操作。
对于堆排序来说，比较次数取决于待排序数据的特点以及具体的实现方式。
在最坏情况下，比较次数是一个与n相关的量级，其中n表示待排序数据的大小。
一般情况下，堆排序的比较次数大约为nlogn，这使得堆排序成为一种非常高效的排序算法。
在xxx堆排序的实现过程中，比较次数是如何计算的呢？在建立堆的过程中，需要进行n/2次比较，这是因为堆是一棵完全二叉树，而叶子节点不需要进行比较。
在堆排序的过程中，需要进行n-1次比较，这是因为每次将最大（或最小）的元素移出堆后，需要对剩余的元素进行调整，直到完成排序。
堆排序的比较次数可以用一个简单的公式表示：n/2 + (n-1) = 3n/2 - 2。
除了比较次数外，xxx堆排序还涉及到交换次数和空间复杂度等指标。
交换次数表示在排序过程中进行了多少次元素之间的交换操作，而空间复杂度表示算法在执行过程中所需的额外空间。
这些指标的综合考量可以帮助我们更全面地评估堆排序算法的性能和适用范围。
xxx堆排序的比较次数是一个非常重要的指标，它可以帮助我们评估算法的效率和性能。
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堆排序——C#实现一算法描述堆排序（Heap Sort）是利用一种被称作二叉堆的数据结构进行排序的排序算法。
二叉堆在内部维护一个数组，可被看成一棵近似的完全二叉树，树上每个节点对应数组中的一个元素。
除最底层外，该树是满的。
二叉堆中，有两个与所维护数组相关的属性。
Length表示数组的元素个数，而HeapSize则表示二叉堆中所维护的数组中的元素的个数（并不是数组中的所有元素都一定是二叉堆的有效元素）。
因此，根据上述定义有： 0 = HeapSize = Length。
二叉堆可分为最大堆和最小堆两种类型。
在最大堆中，二叉树上所有的节点都不大于其父节点，即 A[Parent(i)] = A[i]。
最小堆正好相反：A[Parent(i)] = A[i]。
为维护一个二叉堆是最大（小）堆，我们调用一个叫做MaxHeapify （MinHeapify）的过程。
以MaxHeapify，在调用MaxHeapify时，先假定根节点为Left(i)和Right(i)的二叉树都是最大堆，如果A[i]小于其子节点中元素，则交换A[i]和其子节点中的较大的元素。
但这样一来，以被交换的子节点为根元素的二叉堆有可能又不满足最大堆性质，此时则递归调用MaxHeapify方法，直到所有的子级二叉堆都满足最大堆性质。
如下图所示：因为在调用MaxHeapify（MinHeapify）方法使根节点为A[i]的二叉堆满足最大（小）堆性质时我们有其左右子堆均已满足最大（小）堆性质这个假设，所以如果我们在将一个待排序的数组构造成最大（小）堆时，需要自底向上地调用 MaxHeapify（MinHeapify）方法。
在利用最大堆进行排序时，我们先将待排序数组构造成一个最大堆，此时A[0]（根节点）则为数组中的最大元素，将A[0]与A[n - 1]交换，则把A[0]放到了最终正确的排序位置。
然后通过将HeapSize 减去1，将（交换后的）最后一个元素从堆中去掉。
然后通过MaxHeapify方法将余下的堆改造成最大堆，然后重复以上的交换。
重复这一动作，直到堆中元素只有2个。
则最终得到的数组为按照升序排列的数组。
二算法实现1 注意到在C#中数组的起始下标为0，因此，计算一个给定下标的节点的父节点和左右子节点时应该特别小心。
private static int Parrent(int i)return (i - 1) - 2;private static int Left(int i)return 2 * i + 1;private static int Right(int i)return 2 * i + 2;2 算法的核心部分是MaxHeapify（MinHeapify）方法，根据算法描述中的说明，一下代码分别实现了对整数数组的最大堆化和最小堆化方法，以及一个泛型版本。
private static void MaxHeapify(int[] array, int i, int heapSize)int left = Left(i);int right = Right(i);int largest = i;if (left heapSize array[left] array[i])largest = left;if (right heapSize array[right] array[largest])largest = right;if (largest != i)Exchange(ref array[i], ref array[largest]);MaxHeapify(array, largest, heapSize);private static void MinHeapify(int[] array, int i, int heapSize)int left = Left(i);int right = Right(i);int smallest = i;if (left heapSize array[left] array[i])smallest = left;if (right heapSize array[right] array[smallest])smallest = right;if (smallest != i)Exchange(ref array[i], ref array[smallest]);MinHeapify(array, smallest, heapSize);private static void MHeapifyT(T[] array, int i, int heapSize, ComparisonT comparison)int left = Left(i);int right = Right(i);int extremumIndex = i;if (left heapSize comparison(array[left], array[i]) 0) extremumIndex = left;if (right heapSize comparison(array[right], array[extremumIndex]) 0)extremumIndex = right;if (extremumIndex != i)ExchangeT(ref array[extremumIndex], ref array[i]);MHeapifyT(array, extremumIndex, heapSize, comparison);3 构造最大（小）堆。
注意到是自底向上进行构造。
private static void BuildMaxHeap(int[] array)for (int i = array.Length - 2 - 1; i = 0; i--)MaxHeapify(array, i, array.Length);private static void BuildMinHeap(int[] array)for (int i = array.Length - 2 - 1; i = 0; i--)MinHeapify(array, i, array.Length);private static void BuildMHeapT(T[] array, ComparisonT comparison)for (int i = array.Length - 2 - 1; i = 0; i--)MHeapifyT(array, i, array.Length, comparison);4 堆排序算法。
以下分别是对整数数组的升序排序、降序排序以及泛型版本。
注意升序排序构造的是最大堆，而降序排序则是构造的最小堆。
public static void HeapSort(int[] array)BuildMaxHeap(array);for (int i = array.Length - 1; i 0; i--)Exchange(ref array[i], ref array[0]);MaxHeapify(array, 0, i);public static void HeapDesSort(int[] array)BuildMinHeap(array);for (int i = array.Length - 1; i 0; i--)Exchange(ref array[i], ref array[0]);MinHeapify(array, 0, i);public static void HeapSortT(T[] array, ComparisonT comparison)BuildMHeapT(array, comparison);for (int i = array.Length - 1; i 0; i--)Exchange(ref array[i], ref array[0]);MHeapifyT(array, 0, i, comparison);三另一种代码的组织方式上述的代码是一种常规的堆排序的实现方式。
但既然是用C#来实现堆排序，应当尽可能的考虑面向对象的方式去实现算法。
考虑到上述代码中，无论是求节点的子节点、父节点、维护最大（小）堆、建立最大（小）堆等方法，本身是属于对堆这种数据结构本身的操作。
因此，可以考虑将其封装成一个数据结构类，在类中进行相关的排序操作。
如下所示：public class HeapT#region Fieldsprivate int _heapSize = 0;private T[] _array = null;#endregion#region Propertiespublic int HeapSizeget { return _heapSize; }set { _heapSize = value; }#endregion#region Constructorspublic Heap(T[] array, int heapSize)_array = array;if(heapSize array.Length)Exception ex = new Exception("The heap size is larger than the array length");throw (ex);_heapSize = heapSize;public Heap(T[] array)_array = array;_heapSize = array.Length;#endregion#region Methodsprivate int Parrent(int index)return (index - 1) - 2;private int Left(int index)return 2 * index + 1;private int Right(int index)return 2 * index + 2;private void MHeapify(int rootIndex, ComparisonT comparison)int leftChildIndex = Left(rootIndex);int rightChildIndex = Right(rootIndex);int extremumIndex = rootIndex;if (leftChildIndex _heapSize comparison(_array[leftChildIndex], _array[rootIndex]) 0)extremumIndex = leftChildIndex;if (rightChildIndex _heapSize comparison(_array[rightChildIndex], _array[extremumIndex]) 0)extremumIndex = rightChildIndex;if (extremumIndex != rootIndex)Helper.ExchangeT(ref _array[extremumIndex], ref _array[rootIndex]);MHeapify(extremumIndex, comparison);private void BuildMHeap(ComparisonT comparison)for (int i = _array.Length - 2 - 1; i = 0; i--)MHeapify(i, comparison);public void Sort(ComparisonT comparison)BuildMHeap(comparison);for (int i = _array.Length - 1; i 0; i--)Helper.Exchange(ref _array[i], ref _array[0]);_heapSize--;MHeapify(0, comparison);#endregion} public class Helperpublic static void ExchangeT(ref T x, ref T y)T temp = x;四算法分析1 在整个堆排序的过程中，只是在原有的数组里对元素进行操作，只需要常数的额外空间。