三角函数模型的简单应用导学案及答案
三角函数应用-坡角、坡度 导学案
三角函数的应用导学案一、引入2．如图，水坝的横截面是梯形ABCD（DC∥AB），迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD 的坡度i为1：1.2，坝顶宽DC＝2.5米，坝高5米．求：（1）坝底宽AB的长（结果保留根号）；（2）在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD 加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1：1.4，求横截面增加的面积．（结果保留根号）3．如图，水库大坝的横断面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角为30，背水坡AD的坡度为1：1.2，坝顶宽DC为2.5米，坝高CF为4.5米．求：（1）坝底AB的长；（2）坡BC的长；（3）迎水坡BC的坡度．4．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB的坡度为1：，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．（1）真空管上端B到水平线AD的距离．（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈0.4）5．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB＝800米，BC＝200米，坡面AB的坡度为1：，坡面BC的坡度为1：1．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（≈1.414，≈1.732）6．如图所示，已知BC是水平面，AB、AD、CD是斜坡．AB的坡角为42°，坡长为200米，AD的坡角为60°，坡长为100米，CD的坡比i＝1：2．（1）求坡顶A到水平面BC 的距离；（2）求斜坡CD的长度．（结果精确到1米，参考数据：sin42°≈0.70，≈1.73）7．如图，为了测量陶行知纪念馆AB的高度，小李在点C处放置了高度为1.5米的测角仪CD，测得纪念馆顶端A点的仰角∠ADE＝51°，然后他沿着坡度i＝1：2.4的斜坡CF走了6.5米到达点F，再沿水平方向走4米就到达了纪念馆底端点B．（结果精确到0.1，参考数据：sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23）（1）求点D到纪念馆AB的水平距离；（2）求纪念馆AB的高度约为多少米？8．小林从点A出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了65米到达点B，且sinα＝．然后又沿着坡度i＝1：3的斜坡向上走了50米达到点C．（1）小明从A点到B点上升的竖直高度是多少米？（2）小明从A点到C点上升的高度CD是多少米？（结果保留根号）9．为了提升某片区网络信号，在坡度为i＝1：2.4的山坡上加装了信号塔PQ（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为5.2米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.2米的水平地面上立了一块警示牌MN．当太阳光线与水平线成53°角时，测得信号塔PQ落在警示牌上的影子EN长为4米，求信号塔PQ的高．（结果精确到十分位，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3，i＝1：2.4＝5：12）10．如图，某数学研究小组测量山体AC的高度，在点B处测得山体A的仰角为45°，沿BC方向前行20m至点D处，斜坡DE的坡度为1：2，在观景台E处测得山顶A的仰角为58°，且点E到水平地面BC的垂直距离EF为10m．点B，D，C在一条直线上，AB，AE，AC在同一竖直平面内．（1）求斜坡DE的水平宽度DF的长；（2）求山体AC的高度．（结果精确到1m．参考数据sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，）11．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米）12．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，求建筑物BC的高度．（参考数据：≈1.732）13．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，李明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE＝24米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，≈1.414，≈1.732，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求点B距水平地面AE 的高度；（2）求广告牌CD的高度．。
1.6三角函数模型的简单应用示范教案
1.6三角函数模型的简单应用教学目的：1、通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；2、体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；3、体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
教学重点、难点重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质。
难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题。
教学过程：一、复习引入：简单介绍大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间的关系”、“声音的传播”等等，说明这些现象都蕴含着三角函数知识二、讲授新课：例1．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω．（1）求这一天6～14（2）写出这段曲线的函数解析式． 解：（1（2）从图可以看出：从6～14是b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期的图象，∴86142=-=T ∴16=T ∵ωπ2=T ，∴8πω=又∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==-=20210301021030b A ∴⎩⎨⎧==2010b A ∴20)8sin(10++=ϕπx y将点)10,6(代入得：1)43sin(-=+ϕπ， ∴Z k k ∈+=+,23243ππϕπ， ∴Z k k ∈+=,432ππϕ，取43πϕ=， ∴)146(,20)438sin(10≤≤++=x x y ππ。
例2．画出函数x y sin =的图象并观察其周期．分析与简解：如何画图？法1：去绝对值，化为分段函数（体现转化与化归！）；从图中可以看出，函数x y sin =是以π为周期的波浪形曲线．例3．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是δϕθ--=ο90．当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．如果在北京地区(纬度数约为北纬ο40)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？分析与简解：与学生一起学习并理解教材解法（地理课中已学习过），指出该实际问题用到了三角函数的有关知识．例4. 如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++．（１） 求这一天的最大温差；（２） 写出这段曲线的函数解析式．答案：解：象，所以 (12A = 12b =θφφ-δδ太阳光∵121462ω=-g π， ∴8ω=π． 将6x =，10y =代入上式，解得34ϕ=π． 综上，所求解析式为310sin 2084y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππ，[]6,14x ∈． 四、课堂练习：课本第73页练习第1、2、3题五、课堂小结六、作业：课本第73页习题A 组第1、2、3、4题。
高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用2学案答案不全新人教A版
1.6 三角函数模型的简单应用【学习目标】1.掌握三角函数模型应用基本步骤: (1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型 【典型例题分析】.1．你能利用函数sin y x =的奇偶性画出图象吗？它与函数sin y x =的图象有什么联系？2．已知：1sin 2α=-，若(1),22ππα∈-⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)(0,2)απ∈；(3)α是第三象限角；(4)α∈R．分别求角α。
3．已知[]0,2θπ∈, sin ,cos θθ分别是方程210x kx k -++=的两个根，求角θ．4．设A 、B 、C 、D 是圆内接四边形ABCD 的四个内角，求证： （1）sin A ＝sin C ；（2）cos （A ＋B ）＝cos （C ＋D ）； （3）tan （A ＋B ＋C ）＝－tan D ．5．某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商品m 件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大?6．把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈．用剪刀斜着．．将纸筒剪断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线，试一试动手操作一下.它是正弦曲线吗？7．如图，铁匠师傅在打制烟筒弯脖时，为确保对接成直角，在铁板上的下剪线正好是余弦曲线：cosx y a a的一个周期的图象，问弯脖的直径为12 cm 时，a 应是多少cm ?9、（14分）如图，扇形AOB 的半径为2，扇形的圆心角为4π，PQRS 是扇形的内接矩形，设∠AOP=θ，（1） 试用θ表示矩形PQRS 的面积y ；（2）利用正、余弦的和（差）与倍角公式化简矩形面积表达式y.10．某港口水的深度y （米）是时间t ，单位：时）（24t 0≤≤，记作y=f(x),下面是某日水深的数据：经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数b t Asiny +=ϖ的图象。
导学案019函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用教学目标：1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A、ω、φ对函数图象变化的影响．2.会用三角函数解决一些简单实际问题.教学重点：1.“五点法”作图及图象的变换是考查的重点．2.结合三角恒等变换考查y＝A sin(ωx＋φ)的性质及简单应用是考查的热点．教学过程：基础梳理二、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图.三、函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤法一法二双基自测：1．函数y＝sinx2的图象的一条对称轴的方程是()A．x＝0B．x＝π2C．x＝π D．x＝2π2．(教材习题改编)已知简谐运动f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x＋φ(|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝6，φ＝π6B．T＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π33．将函数y＝sin x的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x－π6的图象，则φ等于()A.π6 B.11π6 C.7π6 D.5π64．(教材习题改编)y＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x－π4的振幅为________，频率和初相分别为________、________. 5．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.关键点点拨： 31、确定 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0，|φ|<π)中的参数方法在由图象求解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝ M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定． 2．平移变换中的平移量从y ＝sin ωx (ω>0)到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的变换中平移量为|φ|ω(φ>0时，向左；φ<0时，向右)而不是|φ|.平移的距离是针对x 的变化量而言的．典例分析考点一：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像[例1] (2010·四川高考)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·湖州模拟)要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象 ( ) A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π6个单位D ．向左平移π12个单位2．(2011·北京西城区期末)函数f (x )＝sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象 ( ) A ．关于原点对称 B ．关于y 轴对称C ．关于点(－π8，0)对称D ．关于直线x ＝3π8对称3．(2012·徐州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1)求函数y ＝f (x )的单调递增区间；(2)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．反思总结：1．用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T ＝2πω；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．2．图象变换法 (1)平移变换①沿x 轴平移，按“左加右减”法则； ②沿y 轴平移，按“上加下减”法则． (2)伸缩变换①沿x 轴伸缩时，横坐标x 伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的1ω倍(纵坐标y 不变)； ②沿y 轴伸缩时，纵坐标y 伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)为原来的A 倍(横坐标x 不变). 考点二：三角函数图像的对称性[例2] (2010·福建高考)已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________________．[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)4．(2011·安徽“江南十校”联考)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的最大值是 ( ) A.223 B.233 C.43 D.263反思总结：(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有无穷多条对称轴，可由方程ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象 与x 轴的交点，可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，解得x ＝k π－φω(k ∈ Z)，即其对称中心为(k π－φω，0)(k ∈Z)．(2)相邻两对称轴间的距离为T 2，相邻两对称中心间的距离也为T2. 考点三：求三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)解析式[例3] (2011·江苏高考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．若本例函数图象变为如图所示，试求f (0)．[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)5．(2012·南京模拟)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.6．(2012·北京东城区期末)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．(1)求f (x )的最小正周期及解析式； (2)设g (x )＝f (x )－cos 2x求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值 ．[冲关锦囊]根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：(1)A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；(2)k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最高点＋最低点2；(3)ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；(4)φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.考点四：函数的y ＝A sin(ωx ＋φ)图像和性质的综合应用 [例4] (2011·重庆高考改编)设函数f (x )＝sin x cos x －3cos(x ＋π)cos x (x ∈R)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，再向上平移32个单位，平移后得到函数y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )在[0，π4]上的最大值．[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)7．(2012· 绍兴模拟)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ， x ∈R ，A ＞0，0＜φ＜π2.y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )． (1)求f (x )的最小正周期及φ的值； (2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝2π3，求A的值．[冲关锦囊]认识并理解三角函数的图象与性质是解决此类问题的关键．此类问题往往先用三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质，因此对三角恒等变换的公式应熟练掌握．第一步：化成统一形式将函数f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式；第二步：求f (x )的最小正周期利用公式T ＝2π|ω|求f (x )的最小正周期；第三步：求g (x )的解析式利用代入法求g (x )的解析式并化为A cos(ωx ＋φ)的形式； 第四步：求g(x )的最值利用三角函数的单调性求g(x)的最大值．特别提醒：在具体问题中，我们面对的往往不是简单的正弦函数、余弦函数而是需要变形处理的三角函数，这些三角函数式大都可以转化成形如y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的函数加以解决；化简时，主要应用三角恒等变换知识进行等价变形，然后根据函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的有关性质解题．一、选择题1．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π12个单位，得到函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<π2的图象，则φ＝( ) A.π3 B.π4 C.π6D.π122．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称 D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称3．为把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移π4个单位，这时对应于这个图象的解析式( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin(2x －π4)D ．y ＝sin(2x ＋π4)4．如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)的图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若PM ·PN＝0，则ω＝( )A ．8 B.π8 C.π4 D ．45．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安二、填空题6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝________.7．给出下列六种图象变换方法：(1)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；(2)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍； (3)图象向右平移π3个单位； (4)图象向左平移π3个单位；(5)图象向右平移2π3个单位； (6)图象向左平移2π3个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图象变换到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，那么这两种变换正确的标号是________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．三、解答题8．(2012·苏州模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，若A >0，ω>0,0<φ<π2，求函数的解析式．9．已知函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4， (1)用五点法作出函数的图象；(2)说明此图象是由y ＝sin x 的图象经过怎么样的变化得到的； (3)求此函数的振幅、周期和初相； (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心． 解：(1)列表：描点、连线，如图所示：(2)“先平移，后伸缩”．先把y ＝sin x 的图象上所有点向右平移π4个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象；再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象，最后将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象．(3)周期T ＝2πω＝2π12＝4π，振幅A ＝3，初相是－π4.(4)令12x －π4＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝2k π＋32π(k ∈Z)，此为对称轴方程．令12x －π4＝k π(k ∈Z)，得x ＝π2＋2k π(k ∈Z)． 对称中心为⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，0(k ∈Z)． 10．(2012·南通一模)如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段是函数y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3(A >0，ω>0)，x ∈[－4,0]时的图象，且图象的最高点为B (－1,2)．赛道的中间部分为长3千米的直线跑道CD ，且CD ∥EF ，赛道的后一部分是以O 为圆心的一段圆弧 DE. (1)求ω的值和∠DOE 的大小；(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧 DE上，且∠POE ＝θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．解：(1)由条件，得A ＝2，T4＝3.∵T ＝2πω，∴ω＝π6.∴曲线段FBC 的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋2π3. 当x ＝0时，y ＝OC ＝ 3.又CD ＝3，∴∠COD ＝π4，即∠DOE ＝π4.(2)由(1)，可知OD ＝ 6.又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P 在 DE上， 故OP ＝ 6.设∠POE ＝θ，0<θ≤π4，“矩形草坪”的面积为S ＝6sin θ(6cos θ－6sin θ)＝6(sin θcos θ－sin 2θ) ＝6⎝⎛⎭⎫12sin 2θ＋12cos 2θ－12 ＝32sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4－3. ∵0<θ≤π4，故当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，S 取得最大值．。
《三角函数模型的简单应用》的教学设计
《三角函数模型的简单应用》的教学设计教学设计：《三角函数模型的简单应用》教学目标：1.了解三角函数模型的基本概念和定义；2.掌握三角函数模型在实际问题中的简单应用；3.培养学生的创造思维和解决问题的能力。
教学重点：1.三角函数模型的基本概念和定义；2.三角函数模型在实际问题中的简单应用。
教学难点：1.将实际问题转化为三角函数模型；2.处理和解决实际问题中遇到的不确定因素。
教学准备：1.教学课件PPT；2.教学实例和练习题；3.板书工具。
教学步骤：第一步：导入新知识（10分钟）1.教师通过提问的方式引入新知识，如：“我们知道三角函数是一种与角度相关的函数，它在几何中的基本应用是什么？还有哪些实际应用呢？”2.学生回答后，教师简要介绍三角函数模型的基本概念和定义。
第二步：讲解三角函数模型的基本原理（15分钟）1.教师通过PPT和板书，详细讲解正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和性质，以及它们的简单图像表示。
第三步：示范解题（25分钟）1.教师展示一些实际问题，并演示如何将问题转化为三角函数模型，并求解。
2.教师通过步骤分解、解析图像、比例关系等方式，逐步解决问题，并解释每一步的思路和方法。
3.学生在观摩教师示范后，跟随教师一起解答相关问题。
第四步：合作讨论（15分钟）1.学生分成小组，针对给定问题进行合作讨论和解决。
2.学生通过合作讨论，共同找出问题解决的思路和方法，并进行尝试和验证。
3.学生之间可以相互讨论和交流，促进思维的碰撞和问题的解决。
第五步：练习巩固（20分钟）1.教师发布几个练习题，让学生个人独立完成。
2.学生完成练习题后，教师进行点评和解析，指导学生找出解题中的问题和改正方法。
第六步：拓展应用（15分钟）1.教师提出一些较为复杂的实际问题，并引导学生尝试将问题转化为三角函数模型，并进行求解。
2.学生进行小组合作讨论和解决，培养他们的创造思维和解决问题的能力。
第七步：作业布置（5分钟）1.教师布置相关课后作业，要求学生将实际问题转化为三角函数模型，并求解。
1.6《三角函数模型的简单应用》教学案4
1.6《三角函数模型的简单应用》教学案教学教法分析●三维目标1．知识与技能(1)能根据图象建立解析式．(2)能根据解析式作出图象．(3)能将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(4)能利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．2．过程与方法通过学习三角函数模型的实际应用，使学生学会把实际问题抽象为数学问题，即建立数学模型的思想方法．3．情感、态度与价值观本节引导学生通过解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科知识解决问题的能力；培养他们的探索精神和应用意识．●重点、难点重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型．教学方案设计●教学建议1．本节学习的重点是用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题，教学中注意引导学生学会从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型．2．从实际问题中抽象出三角函数模型的过程中，由于陌生的背景、复杂的数据处理等，学生会感到困难．教学中应当注意帮助学生分析问题中的数量关系，通过作散点图等，引导学生从图的特点来发现各个量之间的关系或它们的变化规律．3．由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此条件允许的话要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，包括建立有关数据的散点图、根据散点图进行函数拟合等．课前自主导学课标解读1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)2．实际问题抽象为三角函数模型.知识三角函数的实际应用1.2．y ＝|sin x |是以π为周期的波浪形曲线． 3．解三角函数应用题的基本步骤(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论．课堂互动探究类型1三角函数模型在物理中的应用例1 已知电流I 与时间t 的关系为I ＝A sin (ωt ＋φ)．图1－6－1(1)如图所示的是I ＝A sin (ωt ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin (ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin (ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？【思路探究】 (1)根据图中提供的数据求T ，进而得到ω，根据图象过(1180，0)得出φ，从而得出函数解析式．(2)由题意得出周期T 不超过1150是关键．【自主解答】(1)由题图知A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180，则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2(1180＋1900)＝175. ∴ω＝2πT ＝150π.又当t ＝1180时，I ＝0，即sin (150π·1180＋φ)＝0， 而|φ|<π2，∴φ＝π6.故所求的解析式为I ＝300sin (150πt ＋π6)． (2)依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150(ω>0)． ∴ω≥300π>942，又ω∈N *， 故所求最小正整数ω＝943.规律方法1．题中的函数模型类型已经给出，观察图象和利用待定系数法可以求出解析式中的未知参数，从而确定函数解析式，其中求ω是利用半周期为[1180－(－1900)]．2．此类问题解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中读图、识图、用图是数形结合的有效途径．变式训练弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm )随时间t (s )的变化曲线(如图所示)是一个三角函数的图象．图1－6－2(1)经过多长时间，小球往复振动一次？ (2)求这条曲线的函数解析式；(3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？ 【解】 (1)由题图可知，周期T ＝2(7π12－π12)＝π. 所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14s . (2)由图可设该曲线的函数解析式为： s ＝A sin (ωt ＋φ)，t ∈[0，＋∞)． 从图中可以看出A ＝4，又2πω＝π， ∴ω＝2.从而s ＝4sin (2t ＋φ)． 将t ＝π12，s ＝4代入上式，得 sin (π6＋φ)＝1，∴φ＝π3. 故所求函数的解析式为s ＝4sin (2t ＋π3)，t ∈[0，＋∞)． (3)当t ＝0时，s ＝4sin π3＝23(cm )．故小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是2 3 cm .类型2 三角函数模型简单的实际应用例2 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈，图中O A与地面垂直，以O A为始边，逆时针转动θ角到O B，设B点与地面距离为h.图1－6－3(1)求h与θ间的函数关系式；(2)设从O A开始转动，经过t秒后到达O B，求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？【思路探究】分析题目→列出函数解析式→应用求解【自主解答】(1)以圆心O 为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox 为始边，O B 为终边的角为θ－π2. 故B 点坐标为(4.8cos (θ－π2)，4.8sin (θ－π2))． ∴h ＝5.6＋4.8sin (θ－π2)，θ∈[0，＋∞)．(2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t 秒转过的弧度数为π30t ， ∴h ＝5.6＋4.8sin (π30t －π2)，t ∈[0，＋∞)． 到达最高点时，h ＝10.4 m .由sin (π30t －π2)＝1，得π30t －π2＝π2，∴t ＝30. ∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．规律方法1．本例中，在审题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”这个过程就是数学建模过程．2．能够迅速地建立数学模型是解决实际问题的一项重要的基本技能．这个过程并不神秘，在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有：求出三角函数的解析式；画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题．变式训练如图游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12 min ，其中心O 距离地面40.5 m ，半径为40 m ．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：图1－6－4(1)求出你与地面的距离y (m )与时间t (min )的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5 m 时，用了多长时间？【解】 (1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知可设y ＝40.5－40cos ωt ，t ≥0，由周期为12 min 可知当t ＝6时摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝π6.所以y ＝40.5－40cos π6t (t ≥0)．(2)设转第1圈时，第t 0 min 时距地面60.5 m ，由60.5＝40.5－40cos π6t 0，得cos π6t 0＝－12，所以π6t 0＝2π3或π6t 0＝4π3，解得t 0＝4或t 0＝8，所以t ＝8(min )时，第2次距地面60.5 m ，故第4次距离地面60.5 m 时，用了12＋8＝20(m in )．类型3数据拟合问题例3 的数据：t (h ) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (m )10.013.09.9 7.0 10.013.0 10.17.0 10.0 sinωt ＋b 的图象．(1)试根据以上数据，求出y ＝A sin ωt ＋b 的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m 时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m ，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)？图1－6－5【思路探究】(1)从拟合曲线可知：函数y ＝A sin ωt ＋b 的周期；由t ＝0时的函数值，t ＝3时取得的最大值，进而可求得ω、A 、b 的值．(2)根据(1)中求得的函数表达式，求出数值不小于4.5＋7＝11.5(m )的时段．【自主解答】(1)从拟合曲线可知：函数y ＝A sin ωt ＋b 在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h )，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h ，因此2πω＝12，ω＝π6.又∵当t ＝0时，y ＝10；当t ＝3时，y max ＝13. ∴b ＝10，A ＝13－10＝3.∴所求函数的表达式为y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24)．(2)由于船的吃水深度为7 m ，船底与海底的距离不少于4.5 m ，故在船舶航行时，水深y 应大于或等于7＋4.5＝11.5(m )．令y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，可得sin π6t ≥12.∴2kπ＋π6≤π6t ≤2kπ＋5π6(k ∈Z )， ∴12k ＋1≤t ≤12k ＋5(k ∈Z )．取k ＝0，则1≤t ≤5，取k ＝1，则13≤t ≤17； 而取k ＝2时，25≤t ≤29(不合题意)．从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时(1时到5时都可以)进港，而下午的17时(即13时到17时之间)离港，在港内停留的时间最长为16 h .规律方法1．本题中没有明显函数的类型，则可通过画散点图来拟合曲线．2．此类问题的一般解法是先由表中数据分析求出待定系数，再转化为三角不等式对实际问题进行预测判断．由于实际问题的背景往往比较复杂，所以要注意认真审题从中抽取基本的数学关系．变式训练某风景美丽的海滩的浪高y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )，下面是某日浪高的数据：(1)试根据以上数据，求出函数y ＝f (t )的近似表达式；(2)一般情况下，浪高在1.25 m ～2 m 之间可以允许冲浪爱好者开展冲浪运动(认为是安全的)，试求一天内的上午8：00至晚上20：00之间有多少时间可供冲浪者安全地进行冲浪运动？【解】 (1)由表中数据，知周期T ＝12， ∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝3.5，得A ＋b ＝3.5. 由t ＝3，y ＝2.0，得b ＝2.0. ∴A ＝1.5.∴y ＝1.5cos π6t ＋2(0≤t ≤24)．(2)由题知，当1.25≤y ≤2.0时才可对冲浪者开放，∴1.25≤1.5cos π6t ＋2≤2 ∴－12≤cos π6t ≤0∴2kπ＋π2≤π6t ≤2kπ＋2π3或2kπ＋4π3≤π6t ≤2kπ＋3π2(k ∈Z )． 即12k ＋3≤t ≤12k ＋4或12k ＋8≤t ≤12k ＋9(k ∈Z )． ∵0≤t ≤24，故可令k 分别为0，1，得3≤t ≤4或8≤t ≤9， 或15≤t ≤16或20≤t ≤21.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，故有2个小时的时间可供冲浪者运动：分别是上午8：00至9：00与下午15：00至16：00.思想方法技巧转化与化归思想在三角函数模型问题中的应用典例(12分)下表是芝加哥1951～1981年月平均气温(华氏)．(1)描出散点图．(2)用正弦曲线去拟合这些数据． (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A .(5)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？①y A ＝cos (πx 6)； ②y －46A ＝cos (πx 6)； ③y －46－A ＝cos (πx 6)； ④y －26A ＝sin (πx 6)．【思路点拨】(1)(2)建立直角坐标系即可；(3)找出气温的最大值和最小值的月份，作差，可求得T2；(4)找出气温的最大值和最小值，作差，求出2A ；(5)将表中数据代入检验．【规范解答】(1)(2)如图所示．....................4分(3)1月份的气温最低为21.4，7月份的气温最高为73.0，根据图知，T2＝7－1＝6，∴T ＝12....................6分 (4)2A ＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，∴A ＝25.8............................................................8分 (5)∵x ＝月份－1，∴不妨取x ＝2－1＝1，y ＝26.0，代入①，得y A ＝26.025.8>1≠cos π6，∴①差距明显； 代入②，得y －46A ＝26.0－4625.8<0≠cos π6，∴②差距明显； 代入④，得y －26A ＝0≠sin π6；∵④差距明显，不适合；代入③，得y －46－A ＝26－46－25.8≈0.78，与cos π6较接近，拟合性更好，∴③相对最适合这些数据.........................12分思维启迪三角函数应用题在阅读理解实际问题时，应注意以下几点： (1)反复阅读，通过关键语句领悟其数学本质．(2)充分运用转化思想，深入思考，联想所学知识确定变量与已知量．(3)结合题目的已知和要求建立数学模型，确定变量的性质与范围及要解决的问题的结论．1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)中有着广泛的应用．2．三角函数模型构建的步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象；(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合；(3)利用三角函数模型解决实际问题；(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．当堂双基达标1．电流强度I (A )随时间t (s )变化的关系式是I ＝5sin (100πt ＋π3)，则当t ＝1200 s 时，电流强度I 为( )A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A 【解析】 当t ＝1200时， I ＝5sin (π2＋π3)＝5cos π3＝2.5. 【答案】 B2．某人的血压满足函数关系式f (t )＝24sin 160πt ＋110，其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90【解析】 ∵T ＝2π160π＝180，∴f ＝1T ＝80. 【答案】 C3. 如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为：s ＝6sin (2πt ＋π6)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )图1－6－6A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1 s【解析】 T ＝2πω＝2π2π＝1，故单摆来回摆动一次所需时间为1 s . 【答案】 D4. (2013·延安高一检测)如图所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数图象．图1－6－7(1)求这一段时间的最大温差． (2)写出这段曲线的解析式．【解】 (1)由图易知，这段时间的最大温差是20 ℃.(2)设所求解析式为：y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b .则分析图形易知从6时到14时的图象是所求函数半个周期的图象．所以⎩⎪⎨⎪⎧A ＝30－102，b ＝30＋102，6ω＋φ＝－π2＋2k πk ∈Z ，10ω＋φ＝0＋2k πk ∈Z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝10，b ＝20，ω＝π8，φ＝－54π＋2k πk ∈Z .∴y ＝10sin (π8x －54π)＋20.即y ＝10sin (π8x －54π)＋20(x ∈[6，14])即为所求的函数解析式．课后知能检测一、选择题1．(2013·南阳高一检测)一半径为10的水轮，水轮的圆心到水面的距离为7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y 与时间x (秒)满足函数关系式y ＝A sin (ωx ＋φ)＋7，则( )A ．ω＝2π15，A ＝10B ．ω＝152π，A ＝10 C ．ω＝2π15，A ＝17D ．ω＝152π，A ＝17【解析】 T ＝604＝15，ω＝2π15，A ＝10. 【答案】 A2．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm )与时间t (s )的函数关系式是s ＝3cos (g l t ＋π3)，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于( )A .g πB .g2π C .gπ2D .g 4π2 【解析】 ∵T ＝2πg l，∴g l ＝2πT ＝2π，∴l ＝g4π2. 【答案】 D图1－6－83．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【解析】 因为相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期． 【答案】 C4．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin (ωx＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin (π4x －π4)＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) B ．f (x )＝9sin (π4x －π4)(1≤x ≤12，x ∈N *) C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) D ．f (x )＝2sin (π4x ＋π4)＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)【解析】 由题意知x ＝3时，f (x )max ＝9，排除C 、D ，x ＝7时f (x )min ＝5，排除B ，故选A .【答案】 A 5.图1－6－9(2013·石河子高一检测)如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上逆时针旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦A P 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )【解析】 由于d ＝f (l )＝2sin l2，l ∈[0，2π]，故选C . 【答案】 C 二、填空题6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos [π6(x－6)](x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.【解析】 由题意可知A ＝28－182＝5， a ＝28＋182＝23.从而y ＝5cos [π6(x －6)]＋23，故10月份的平均气温值为y ＝5cos (π6×4)＋23＝20.5. 【答案】 20.57．某时钟的秒针端点A 到中心的距离为5 cm ，秒针均匀地绕O 点旋转到B 点，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点重合，将A 、B 两点间的距离d (cm )表示成t (s )的函数，则d ＝________，其中，t ∈[0，60]．【解析】 由题意易知d ＝2r ·sin ω2t ，r ＝5，ω＝π30. ∴d ＝10sin π60t . 【答案】 10sin π60t8．已知某游乐园内摩天轮的中心点O 距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P 自最低点A 起，经过t min 后，点P 的高度h ＝40sin (π6t －π2)＋50(单位：m )，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70 m 以上的时间将持续________分钟．【解析】 依题意，知40sin (π6t －π2)＋50≥70， 即cos π6t ≤－12，从而在一个周期内持续的时间为 2π3≤π6t ≤4π3，4≤t ≤8， 即持续时间为4分钟． 【答案】 4 三、解答题9．交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E ＝2203sin (100πt ＋π6)来表示，求：(1)开始时的电压；(2)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间． 【解】 (1)当t ＝0时，E ＝2203sin π6＝1103(伏)， 即开始时的电压为1103伏． (2)电压的最大值为2203伏，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300秒时第一次取得这个最大值． 10．如图所示，图1－6－10某地一天从0～10时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b ，其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ＜0.(1)求这一天0～10时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式．【解】 (1)由图可知，这一天0～10时的最高温度是20℃，最低温度是0℃，则最大温差是20℃－0℃＝20℃.(2)由图可以看出，从1～9时是半个周期， 则周期T ＝2(9－1)＝16， 所以2πω＝16，解得ω＝π8.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝20，－A ＋b ＝0，得A ＝10，b ＝10，则有y ＝10sin (π8x ＋φ)＋10， 又点(1，0)在曲线上，即满足函数的解析式， 则0＝10sin (π8＋φ)＋10，所以sin (π8＋φ)＝－1. 又－π＜φ＜0，则φ＝－58π，综上，所求解析式为y ＝10sin (π8x －58π)＋10，x ∈[0，10]．11．如图所示，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sinωx (A >0，ω>0)，x ∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°，求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．图1－6－11【解】 依题意，有A ＝23，T4＝3， 又T ＝2πω，∴ω＝π6， ∴y ＝23sin π6x ，x ∈[0，4]． ∴当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3. ∴M (4，3)．又P (8，0)， ∴MP ＝8－42＋0－32＝42＋32＝5(km )．即M 、P 两点间的距离为5 km . 【教师备课资源】1．三角函数与几何知识的综合应用典例如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中始终与地面垂直，设直线BC 与地面所成角为θ，矩形周边上最高点离地面的距离为f (θ)．求：(1)θ的取值范围； (2)f (θ)的解析式； (3)f (θ)的值域．【思路探究】连接BD ，过D 作D E 垂直于地面于E ，在△BD E 中，先求f (θ)的表达式，再求值域．【规范解答】(1)BC 与地面所成的角，就是直线与平面所成的角，显然角θ的范围为[0，π2]．(2)如图，连接BD ，则∠DBC ＝π6，过D 作地面的垂线，垂足为E ，在Rt △B E D 中，∠D B E ＝θ＋π6，DB ＝2，∴f (θ)＝2sin (θ＋π6)(0≤θ≤π2)．(3)f (θ)＝2sin (θ＋π6)(0≤θ≤π2)，π6≤θ＋π6≤2π3， ∴12≤sin (θ＋π6)≤1，即f (θ)的值域为[1，2]．规律方法1．解决本题的关键是准确的作出辅助线BD 、D E ，在△BD E 中求出f (θ)的解析式． 2．解决三角函数与几何知识的综合问题，首先应弄清问题的实际背景，然后结合平面几何知识求解，应注意实际问题中对角的范围的限制．变式训练如图所示，有一广告气球，直径为6 m ，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC ＝30°时，测得气球的视角为2°(若β很小时，可取sin β≈β)，试估算该气球的高BC 的值约为( )A ．70 mB ．86 mC ．102 mD ．118 m【解】 在Rt △ADC 中，CD ＝3 m ，sin β＝CDAC ，∴AC ＝CDsin β.① ∵β很小，∴sin β≈β.又∵1°＝π180 rad ，∴sin β≈β＝π180 rad .②在Rt △ABC 中，sin ∠CAB ＝sin 30°＝BCAC ，③∴由①②③得BC ≈86 m . 【答案】 B2．知识拓展利用基本三角函数的图象研究两类含有绝对值函数的函数的图象与性质 一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到．例如：(1)由函数y ＝f (x )的图象要得到y ＝|f (x )|的图象，只需将y ＝f (x )的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，x 轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”．(2)由函数y ＝f (x )的图象要得到y ＝f (|x |)的图象，应保留y ＝f (x )位于y 轴右侧的图象，去掉y 轴左侧的图象，再由y 轴右侧的图象翻折得到y 轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”．例如，作出函数y ＝|sin x |的图象，根据图象判断其周期并写出单调区间．【解】 函数y ＝sin x 位于x 轴上方的图象不动，位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方即可得到函数y ＝|sin x |的图象，如下图所示：根据图象可知，函数y ＝|sin x |的周期是π，函数在区间[kπ，kπ＋π2]，k ∈Z 上递增；在区间[kπ－π2，kπ]，k ∈Z 上递减.章末归纳提升 第一章 三角函数知识网络构建专题归纳提升专题1 任意角的三角函数的定义及三角函数线掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．例1 (2013·珠海高一检测)函数y ＝lg (2sinx －1)＋1－2cos x 的定义域为________．【思路点拨】先列出三角函数的不等式组，再借助于三角函数线或三角函数的图象求解．【规范解答】要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，cos x ≤12.解得⎩⎪⎨⎪⎧π6＋2k π<x <56π＋2k π，π3＋2k π≤x ≤53π＋2k π，(k ∈Z )∴π3＋2kπ≤x <5π6＋2kπ(k ∈Z )．故所求函数的定义域为[π3＋2kπ，5π6＋2kπ)(k ∈Z )． 【答案】 [π3＋2kπ，5π6＋2kπ)(k ∈Z )变式训练求函数f (x )＝－sin x ＋tan x －1的定义域． 【解】 函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－sin x ≥0，tan x －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤0，tan x ≥1.如图所示，结合三角函数线知 ⎩⎪⎨⎪⎧2k π＋π≤x ≤2k π＋2πk ∈Z ，k π＋π4≤x <k π＋π2k ∈Z .∴2kπ＋5π4≤x <2kπ＋3π2(k ∈Z )．故f (x )的定义域为[2kπ＋5π4，2kπ＋3π2)(k ∈Z ).专题2同角三角函数的关系式及诱导公式(1)牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧，同时要体会数学思想方法如数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用．(2)诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．例2 已知f (α)＝sin2π－α·cos 2π－α·tan －π＋αsin －π＋α·tan －α＋3π. (1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－474π，求f (α)的值．【思路点拨】利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求解．【规范解答】 (1)f (α)＝sin 2 α·cos α·tan α－sin α－tan α＝sin α·cos α. (2)由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2 α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34， 又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0， ∴cos α－sin α＝－32. (3)∵α＝－474π＝－6×2π＋π4， ∴f (－474π)＝cos (－474π)·sin (－474π) ＝cos (－6×2π＋π4)·sin (－6×2π＋π4) ＝cos π4·sin π4＝22×22＝12.变式训练若cos θ＝74，求f (θ)＝sin θ－5π·cos －π2－θ·cos 8π－θsin θ－3π2sin －θ－4π的值． 【解】 f (θ)＝sin θ－π·cos π2＋θ·cos －θsin θ＋π2·sin －θ ＝－sin π－θ·－sin θ·cos θcos θ·－sin θ＝－sin θ. ∵cos θ＝74，且sin 2θ＝1－cos 2θ＝916.当θ为第一象限角时，f (θ)＝－34， 当θ为第四象限角时，f (θ)＝34.专题3三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．例3 如图1－1是函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象．图1－1(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？【思路点拨】(1)先确定A 、k ，再根据周期求ω，最后确定φ.(2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移．【规范解答】 (1)由图象知A ＝－12－－322＝12， k ＝－12＋－322＝－1，T ＝2×(2π3－π6)＝π，∴ω＝2πT ＝2.∴y ＝12sin (2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6. ∴所求函数解析式为y ＝12sin (2x ＋π6)－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin (x ＋π6)，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin (2x ＋π6)，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y ＝12sin (2x ＋π6)，最后把函数y ＝12sin (2x ＋π6)的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin (2x ＋π6)－1的图象．变式训练f (x )＝sin (2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象． 【解】 (1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴， ∴sin (2×π8＋φ)＝±1，∴π4＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z . ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－3π4. (2)由y ＝sin (2x －3π4)知专题4 三角函数的性质奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的周期性、单调性和最值(值域)应引起重视．例4 已知函数f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋a ＋1(其中a 为常数)． (1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为4，求a 的值． (3)求f (x )取最大值时x 的取值集合．【思路点拨】 (1)将2x ＋π6看成一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间求解． (2)先求x ∈[0，π2]时2x ＋π6的范围，再根据最值求a 的值． (3)先求f (x )取最大值时2x ＋π6的值，再求x 的值．【规范解答】(1)由－π2＋2kπ≤2x ＋π6≤π2＋2kπ，k ∈Z ，解得－π3＋kπ≤x ≤π6＋kπ，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调增区间为[－π3＋kπ，π6＋kπ](k ∈Z )，由π2＋2kπ≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋kπ≤x ≤2π3＋kπ，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调减区间为[π6＋kπ，2π3＋kπ](k ∈Z )． (2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin (2x ＋π6)≤1，∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，∴a ＝1， (3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2kπ， ∴2x ＝π3＋2kπ，∴x ＝π6＋kπ，k ∈Z .∴当f (x )取最大值时，x 的取值集合是{x |x ＝π6＋kπ，k ∈Z }．变式训练已知函数f (x )＝2sin (2x －π4)，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最小值和最大值． 【解】 (1)∵f (x )＝2sin (2x －π4)， ∴T ＝2πω＝2π2＝π.故函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵f (x )＝2sin (2x －π4)在区间[π8，3π8]上是增函数． 在区间[3π8，3π4]上是减函数．∴函数f (x )在x ＝3π8处取得最大值，在两端点之一处取得最小值． 又f (π8)＝0，f (3π8)＝2，f (3π4)＝2sin (3π2－π4)＝－2cos π4＝－1.故函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最大值为2，最小值为－1.简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数y ＝A sin (ωx ＋φ)化归为简单的y ＝sin x 来研究．这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法．例5 已知1＋tan π＋α1＋tan 2π－α＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin (3π2＋α)cos (π2＋α)＋2si n 2(α－π) 的值．【思路点拨】先求tan x 的值，再将待求的关系式化简，变为切函数求解．【规范解答】 由已知得1＋tan α1－tan α＝3＋22， ∴tan α＝2＋224＋22＝1＋22＋2＝22.∴cos 2(π－α)＋sin (3π2＋α)cos (π2＋α)＋2sin 2(α－π)＝cos 2α＋(－cos α)(－sin α)＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2αsin 2α＋cos 2α ＝1＋tan α＋2tan 2α1＋tan 2α ＝1＋22＋11＋12＝4＋23.变式训练函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1，1]B ．[－54，－1] C ．[－54，1]D ．[－1，54]【解析】 y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1，1]，画出函数图象如图所示．从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y mi n ＝－54，y max ＝1.综合检测(一) 第一章 三角函数(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在“①160°；②480°；③－960°；④1 530°”这四个角中，属于第二象限角的是( )A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④【解析】 ∵480°＝360°＋120°，－960°＝－3×360°＋120°， ∴①②③均是第二象限角．又1 530°＝4×360°＋90°，④不是第二象限角． 【答案】 C2．点P 从(1，0)点出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点坐标为( )A ．(12，32)B ．(－32，－12)C ．(－12，－32)D ．(－32，12) 【解析】 设∠POQ ＝θ，则θ＝π3.又设Q (x ，y )，则x ＝cos π3＝12，y ＝sin π3＝32. 【答案】 A3．已知角α的终边经过点(3a ，－4a )(a <0)，则sin α＋cos α等于( ) A .15 B .75 C ．－15 D ．－75 【解析】 r ＝3a2＋－4a2＝－5a .∴sin α＝－4a －5a ＝45，cos α＝3a －5a ＝－35， ∴sin α＋cos α＝45－35＝15.4．(2013·郑州高一检测)对于函数y ＝sin (132π－x )，下列说法中正确的是( ) A ．函数是最小正周期为π的奇函数 B ．函数是最小正周期为π的偶函数 C ．函数是最小正周期为2π的奇函数 D ．函数是最小正周期为2π的偶函数【解析】 y ＝sin (132π－x )＝sin (π2－x )＝cos x ，故D 项正确． 【答案】 D5．(2012·天津高考)设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos (x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若φ＝0，则f (x )＝cos x 是偶函数，但是若f (x )＝cos (x ＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f (x )＝cos (x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分而不必要条件．【答案】 A 6.图1(2013·陕西师大附中高一检测)已知函数y ＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图1所示，则( )A ．ω＝2，φ＝π6 B ．ω＝1，φ＝－π6 C ．ω＝1，φ＝π6 D ．ω＝2，φ＝－π6【解析】 由图可知T ＝4(712π－π3)＝π. 又T ＝2πω，ω＝2ππ＝2，∴y ＝sin (2x ＋φ)， 代入点(π3，1)，得sin (23π＋φ)＝1，又|φ|＜π2， ∴φ＝－π6. 【答案】 D7．(2012·衡水高一检测)函数y ＝2cos (2x －π3)＋1在区间[－π4，π4]上的值域为( ) A ．[1－3，1＋3] B ．[1－3，3] C ．[－1，3] D ．[－1，1＋3]【解析】 ∵－π4≤x ≤π4，∴－5π6≤2x －π3≤π6， ∴－32≤cos (2x －π3)≤1，∴1－3≤2cos (2x －π3)＋1≤3，故选B . 【答案】 B8．已知sin (α＋π2)＝13，α∈(－π2，0)，则tan α等于( ) A ．－2 2 B ．2 2 C ．－24 D .24【解析】 由sin (α＋π2)＝13， 得cos α＝13，又α∈(－π2，0)． ∴sin α＝－ 1－cos 2α＝－223.故tan α＝sin αcos α＝－2 2. 【答案】 A9．下列函数中，以π为周期且在区间(0，π2)上为增函数的函数是( )A ．y ＝sin x2 B ．y ＝sin xC ．y ＝－tan xD ．y ＝－cos 2x【解析】 C 、D 中周期为π，A 、B 不满足T ＝π. 又y ＝－tan x 在(0，π2)为减函数，C 错． y ＝－cos 2x 在(0，π2)为增函数． ∴y ＝－cos 2x 满足条件． 【答案】 D10．(2012·天津高考)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点(3π4，0)，则ω的最小值是( )A .13 B ．1 C .53 D ．2【解析】 根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω(x －π4)，将(3π4，0)代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0，故ω的最小值为2.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．(2013·上海春季高考)函数f (x )＝sin (2x ＋π4)的最小正周期为________． 【解析】 由题意知，ω＝2，所以f (x )＝sin (2x ＋π4)的最小正周期为T ＝2π2＝π. 【答案】 π12．sin (－120°)cos 1 290°＋cos (－1 020°)sin (－1 050°)＝______. 【解析】 原式＝－sin 120°cos 210°＋cos 60°sin 30° ＝－32×(－32)＋12×12＝1. 【答案】 113．(2013·玉溪高一检测)若θ是△ABC 的一个内角，且sin θcos θ＝－18，则sin θ－co s θ的值为________．【解析】 由sin θcos θ＝－18＜0知π2＜θ＜π，∴sin θ＞0，cos θ＜0，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－2×(－18)＝54.又sin θ－cos θ＞0，∴sin θ－cos θ＝52. 【答案】 5214．设f (x )＝2sin ωx ，(0<ω<1)在闭区间[0，π3]上的最大值为2，则ω的值为__________．【解析】 ∵0<ω<1，∴T ＝2πω，∴T 4＝π2ω>π2. ∴f (x )＝2sin ωx 在[0，π3]上为增函数． ∴f (x )max ＝f (π3)＝2sin π3ω＝ 2. ∴sin π3ω＝22，即π3ω＝π4，∴ω＝34. 【答案】 34三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知角x 的终边过点P (1，3)． (1)求：sin (π－x )－sin (π2＋x )的值； (2)写出角x 的集合S .【解】 ∵x 的终边过点P (1，3)， ∴r ＝|OP |＝12＋32＝2.∴sin x ＝32，cos x ＝12. (1)原式＝sin x －cos x ＝3－12. (2)由sin x ＝32，cos x ＝12. 若x ∈[0，2π]，则x ＝π3，由终边相同角定义，∴S ＝{x |x ＝2kπ＋π3，k ∈Z }.16．(本小题满分12分)(2013·邯郸高一检测)(1)已知cos α＝－45，且α为第三象限角，求sin α的值；(2)已知tan α＝3，计算4sin α－2cos α5cos α＋3sin α的值． 【解】 (1)∵cos 2α＋sin 2α＝1，α为第三象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－ 1－－452＝－35.(2)显然cos α≠0，∴4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝4sin α－2cos αcos α5cos α＋3sin αcos α＝4tan α－25＋3tan α＝4×3－25＋3×3＝57.17．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin (2x ＋π6)＋32，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间．(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？ 【解】 (1)T ＝2π2＝π，由2kπ－π2≤2x ＋π6≤2kπ＋π2(k ∈Z )，知kπ－π3≤x ≤kπ＋π6(k ∈Z )．所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为[kπ－π3，kπ＋π6](k ∈Z )．(2)变换情况如下：y ＝sin 2xh 错误!y ＝sin [2(x ＋错误!)]错误!y ＝sin (2x ＋错误!)＋错误!.18．(本小题满分14分)(2013·徐州高一检测)在已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0，0<φ<π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[π12，π2]时，求f (x )的值域．【解】 (1)由最低点为M (2π3，－2)，得A ＝2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2， 得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M (2π3，－2)在图象上得2sin (2×2π3＋φ)＝－2， 即sin (4π3＋φ)＝－1， 故4π3＋φ＝2kπ－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2kπ－11π6(k ∈Z )． 又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6， 故f (x )＝2sin (2x ＋π6)． (2)∵x ∈[π12，π2]， ∴2x ＋π6∈[π3，7π6]，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1， 故f (x )的值域为[－1，2]．。
10.示范教案(1.6 三角函数模型的简单应用)
1.6 三角函数模型的简单应用整体设计教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等.三维目标1.能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律.将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型.2.通过切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常生活和其他学科的联系.认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学思想的内涵及数学本质,逐步提高创新意识和实践能力.3.通过函数拟合得到具体的函数模型,提高数学建模能力.并在探究中激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍的钻研精神,培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神.重点难点教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课.思路2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期性.在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？回忆必修1第三章第二节“函数模型及其应用”,面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用.推进新课新知探究提出问题①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的?②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么?③上述的数学模型是怎样建立的?④怎样处理搜集到的数据?活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程.对课前已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型.对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法.在教师的引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题.这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解.新课标下的教学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题,探求新知.讨论结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型.②简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.③解决问题的一般程序是:1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答.④画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型.应用示例例1 如图1, 某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y=sin(ωx+φ)+b.图1(1)求这一天的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.活动:这道例题是2002年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论.本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决.题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型.其中第(1)小题实际上就是求函数图象的解析式,然后再求函数的最值差.教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差”实际指的是“求6是到14时这段时间的最大温差”,可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2)小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式.其中求ω是利用半周期(14-6),通过建立方程得解.解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象,∴A=21(30-10)=10,b=21 (30+10)=20.∵21·ωπ2=14-6, ∴ω=8π•.将x=6,y=10代入上式,解得φ=43π. 综上,所求解析式为y=10sin(8π•x+43π)+20,x ∈[6,14]. 点评:本例中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,这恰好是半个周期,提醒学生注意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉.例2 2007全国高考 函数y=|sinx|的一个单调增区间是( )A.(4π-,4π)B.(4π,43π) C.(π,23π) D.(23π,2π) 答案:C例3 如图2,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h 0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?活动: 如图2本例所用地理知识、物理知识较多,综合性比较强,需调动相关学科的知识来帮助理解问题,这是本节的一个难点.在探讨时要让学生充分熟悉实际背景,理解各个量的含义以及它们之间的数量关系.首先由题意要知道太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带,图形如图3,由画图易知太阳高度角θ、楼高h 0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系:h 0=htanθ.由地理知识知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况.图3解:如图3,A 、B 、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于MC.根据太阳高度角的定义,有∠C ＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′,所以MC ＝C h tan 0='3426tan 0 h ≈2.000h 0, 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.点评:本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题,是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型,然后根据所得的函数模型解决问题.要直接根据图2来建立函数模型,学生会有一定困难,而解决这一困难的关键是联系相关知识,画出图3,然后由图形建立函数模型,问题得以求解.这道题的结论有一定的实际应用价值.教学中,教师可以在这道题的基础上再提出一些问题,如下例的变式训练,激发学生进一步探究.变式训练 某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？图4解:如图4,由例3知,北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan ［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,由于每层楼高为3米,根据以上数据,所以他应选3层以上.知能训练课本本节练习1、2.解答:1.乙点的位置将移至它关于x 轴的对称点处.点评:因为波从乙点传到戊点正好是一个周期,经过21周期,波正好从乙点传到丁点,又因为在波的传播过程中,绳上各点只是上下震动,纵坐标在变,横坐标不变,所以经过21周期,乙点位置将移至它关于x 轴的对称点处,即横坐标不变,纵坐标与图中的丁点相同.2.如CCTV —1新闻联播节目播出的周期是1天.点评:了解实际生活中发生的周期变化现象.课堂小结1.本节课我们学习了三个层次的三角函数模型的应用,即根据图象建立解析式,根据解析式作出图象,将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？2.实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此,在应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助理解问题.作业1.图5表示的是电流I 与时间t 的函数关系图5 I=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2π)在一个周期内的图象. (1)根据图象写出I=Asin(ωx+φ)的解析式; (2)为了使I=Asin(ωx+φ)中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少?解:(1)由图知A=300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴ω·(－3001)+φ=0,ω·1501+φ=π.解得ω=100π,φ=3π,∴I=300sin (100πt+3π). (2)依题意有T≤1001,即ωπ2≤1001,∴ω≥200π.故ωmin =629. 2.搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型.解:如以下两例:①人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化,如人体脉搏、呼吸、排泄、体温、睡眠节奏、饥饿程度等；②蜕皮(tuipi)昆虫纲和甲壳纲等节肢动物,以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层,虽有保护身体的作用,但限制动物的生长、发育.因此,在胚后发育过程中,必须进行1次或数次脱去旧表皮,再长出宽大的新表皮后,才变成成虫,这种现象称为蜕皮；蜕下的“旧表皮”称为“蜕”,只有这样,虫体才能得以继续充分生长、发育.蜕皮现象的发生具有周期性,但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的.此外,脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显,如蜥蜴和蛇具有双层角质层,其外层在定期蜕皮时脱掉,蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤,约每2个月为一个周期可完整地脱落1次,称为蛇蜕.设计感想1.本教案设计指导思想是:充分唤起学生已有的知识方法,调动起相关学科的知识,尽量降低实例背景的相对难度,加大实际问题的鲜明、活跃程度,以引发学生探求问题的兴趣.2.应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,确定它的周期,从而建立起适当三角函数模型.如果学生选择了不同的函数模型,教师应组织学生进行交流,或让学生根据自己选择的模型进行求解,然后再根据所求结果与实际情况差异进行评价.3.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,有条件的要用多媒体进行动态演示,以使学生有更多的时间用于对问题本质的理解.(设计者:郑吉星)第2课时导入新课思路1.通过展示上节作业引入,学生搜集、归纳到的现实生活中的周期现象有:物理情景的①简单和谐运动,②星体的环绕运动；地理情景的①气温变化规律,②月圆与月缺；心理、生理现象的①情绪的波动,②智力变化状况,③体力变化状况；日常生活现象的①涨潮与退潮,②股票变化等等.思路2.(复习导入)回忆上节课三角函数模型的简单应用例子,这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用.推进新课新知探究提出问题①本章章头引言告诉我们,海水在月球和太阳引力作用下发生周期性涨落现象.回忆上节课的内容,怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢？在指数、对数模型中是怎样处理搜集到的数据的？②请做下题(2007浙江高考)若函数f(x)=2sin(ωx+φ),x ∈R (其中ω＞0,|φ|＜2π)的最小正周期是π,且f(0)=3,则( ) A.ω=21,φ=6π B.ω=21,φ=3π C.ω=2,φ=6π D.ω=2,φ=3π 活动:这样的开头对学生来说是感兴趣的.教师引导学生复习、回忆、理清思路,查看上节的课下作业.教师指导、适时设问,让学生尽快回忆到上节课的学习氛围中,使学生的思维状态进入到现在的情境中.讨论结果:①略 ②D应用示例例1 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表: 时刻0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深/米 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?活动:引导学生观察上述问题表格中的数据,会发现什么规律?比如重复出现的几个数据.并进一步引导学生作出散点图.让学生自己完成散点图,提醒学生注意仔细准确观察散点图,如图6.教师引导学生根据散点的位置排列,思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律.根据散点图中的最高点、最低点和平衡点,学生很容易确定选择三角函数模型.港口的水深与时间的关系可以用形如y=Asin(ωx+φ)+h 的函数来刻画.其中x 是时间,y 是水深,我们可以根据数据确定相应的A,ω,φ,h 的值即可.这时注意引导学生与“五点法”相联系.要求学生独立操作完成,教师指导点拨,并纠正可能出现的错误,直至无误地求出解析式,进而根据所得的函数模型,求出整点时的水深.图6根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.注意引导学生正确理解题意,一天中有两个时间段可以进港.这时点拨学生思考:你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？让学生养成检验的良好习惯.在本例(3)中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.求货船停止卸货,将船驶向深水域的含义又是什么?教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候.进一步引导学生思考:根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价.通过讨论或争论,最后得出一致结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图(图6).根据图象,可以考虑用函数y=Asin(ωx+φ)+h 刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出:A ＝2.5,h ＝5,T ＝12,φ＝0,由T ＝ωπ2＝12,得ω＝6π. 所以这个港口的水深与时间的关系可用y ＝2.5sin 6πx+5近似描述. 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值: 时刻 0:00 1:00 2:00 3:004:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 水深5.0006.2507.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 时刻12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.57.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754(2)货船需要的安全水深为4+1.5＝5.5(米),所以当y≥5.5时就可以进港.令2.5sin 6πx+5=5.5,sin 6πx=0.2. 由计算器可得MODEMODE2SHIFT sin -10.2=0.201 357 92≈0.201 4.如图7,在区间[0,12]内,函数y ＝2.5sin 6πx+5的图象与直线y ＝5.5有两个交点A 、B,图7因此6πx≈0.201 4,或π－6πx≈0.201 4. 解得x A ≈0.384 8,x B ≈5.615 2.由函数的周期性易得:x C ≈12+0.384 8＝12.384 8,x D ≈12+5.615 2＝17.615 2.因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.图8(3)设在时刻x 货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点(如图8).通过计算也可以得到这个结果.在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域. 点评:本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题,题目只给出了时间与水深的关系表,要想由此表直接得到函数模型是很困难的.对第(2)问的解答,教师引导学生利用计算器进行计算求解.同时需要强调,建立数学模型解决实际问题,所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析.如本例中,一天中有两个时间段可以进港,教师应引导学生根据问题的实际意义,对答案的合理性作出解释. 变式训练发电厂发出的电是三相交流电,它的三根导线上的电流强度分别是时间t 的函数,I A =Isinωt,I B =Isin(ωt+120°),I C =Isin(ωt+240°),则I A +I B +I C =________.答案:0例2 图9,是一个单摆的振动图象,据图象回答下列问题:(1)单摆振幅多大；(2)振动频率多高；(3)摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置；(4)摆球运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置；(5)若当g ＝9.86 m/s 2J,求摆线长.活动:引导学生观察图象并思考,这个简谐运动的函数模型是什么？引导学生结合函数上例.点拨学生考虑最高点、最低点和平衡点.通过学生讨论、思考确定选用函数y=Asin(ωx+φ)来刻画单摆离开平衡位置的位移与时间之间的对应关系.图9解:结合函数模型和图象:(1)单摆振幅是1 cm ；(2)单摆的振动频率为1.25 HZ ；(3)单摆在0.6 s 通过平衡位置时,首次具有速度的最大负值；(4)单摆在0.4 s 时处正向最大位移处,首次具有加速度最大负值；(5)由单摆振动的周期公式T=2πgL ,可得L=224πgT =0.16 m. 点评:解决实际问题的关键是要归纳出数学函数模型,然后按数学模型处理.同时要注意检验,使所求得的结论符合问题的实际意义.变式训练1.已知函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为24π+.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若sinx+f(x)＝32,求sinxcosx 的值. 解:(1)∵f(x)为偶函数,∴f(－x)＝f(x),即sin(－ωx+φ)＝sin(ωx+φ).∴φ＝2π. ∴f(x)＝sin(ωx+2π)＝cosωx. 相邻两点P(x 0,1),Q (x 0+ωπ,－1). 由题意,|PQ|＝4)(2+ωπ=π2+4.解得ω＝1.∴f(x)＝cosx.(2)由sinx+f(x)＝32,得sinx+cosx ＝32. 两边平方,得sinxcosx ＝185 . 2.小明在直角坐标系中,用1 cm 代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象.若他将纵坐标改用2 cm 代表一个单位长度,横坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他将横坐标改用2 cm 代表一个单位长度,而纵坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？解:小明原作的曲线为y=sinx,x ∈R ,由于纵坐标改用了2 cm 代表一个单位长度,与原来1 cm代表一个单位长度比较,单位长度增加到原来的2倍,所以原来的1 cm 只能代表21个单位长度了.由于横坐标没有改变,曲线形状没有变化,而原曲线图象的解析式变为y ＝21sinx,x ∈R .同理,若纵坐标保持不变,横坐标改用2 cm 代表一个单位,则横坐标被压缩到原来的21,原曲线周期就由2π变为π.故改变横坐标后,原曲线图象的解析式变为 y ＝sin2x,x ∈R .3.求方程lgx ＝sinx 实根的个数.解:由方程式模型构建图象模型.在同一坐标系内作出函数y ＝lgx 和y ＝sinx 的图象,如图10.可知原方程的解的个数为3.图10点评:单解方程是很困难的,而根据方程式模型构建图象模型,利用数形结合来解就容易多了,教师要让学生熟练掌握这一方法.知能训练课本本节练习33.本题可让学生上网查一下,下载有关人体节律的软件,利用软件就能方便地作出自己某一时间段的三条人体节律曲线,它们都是正弦型函数图象,根据曲线不难回答题中的问题.让学生在课下总结一下自己在什么时候应当控制情绪,在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加以锻炼,在什么时候应当保持体力,以利于学生的高效率学习.点评:通过解决可用三角函数模型描述的自身问题,让学生增强学习三角函数的兴趣,并进一步体会三角函数是描述周期性变化现象的重要模型,体会数学应用的广泛性.课堂小结1.让学生回顾本节课的数学模型都解决了哪些现实生活中的问题,用三角函数模型刻画周期变化规律对国家建设、制定未来计划,以及我们的学习、生活都发挥着什么样的作用.2.三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题,其解答流程大致是:审读题意→设角建立三角式→进行三角变换→解决实际问题.在解决实际问题时,要学会具体问题具体分析,充分运用数形结合的思想,灵活的运用三角函数的图象和性质解决现实问题.作业图11如图11,一滑雪运动员自h=50 m 高处A 点滑至O 点,由于运动员的技巧(不计阻力),在O 点保持速率v 0不变,并以倾角θ起跳,落至B 点,令OB=L,试问,当α=30°时,L 的最大值为多少?当L 取最大值时,θ为多大?分析:本题是一道综合性题目,主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.首先运用物理学知识得出目标函数,其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题.解:由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程:⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-==.21sin sin cos cos 200gt t v a L h t v a L s θθ 由①②,整理得v 0cosθ=t a L cos ,v 0sinθ=ta L sin -+21gt. ∴v 02+gLsinα=41g 2t 2+22t L ≥2222241tL t g •=gL. 运动员从A 点滑至O 点,机械守恒有mgh=21mv 02, ∴v 02=2gh.∴L≤)sin 1(2)sin 1(20a g gh a g v -=-=200(m), 即L max =200(m). 又41g 2t 2=222th s +=22t L , ∴t=g L 2,s=Lcosα=v 0tcosθ=2gh·gL 2·cosθ, 得cosθ=cosα.∴θ=α=30°.∴L 最大值为200米,当L 最大时,起跳倾角为30°.设计感想1.本节是三角函数内容中新增加的一节,目的是加强学生的应用意识,本节教案设计的指导思想,是让学生围绕着采集到的数据展开讨论,在学生思考探究的过程中,学会积极冷静地对待陌生背景,正确处理复杂数据以及准确分析问题中的数量关系,这很符合新课改理念.2.现实生活中的问题是多变的,学生的思维是发散的,观察的视角又是多样的,因此课题教学中,教师要善于挖掘并发现学生思维的闪光点,通过讨论例题这个载体,充分激发学生的潜能,让学生从观察走向发现,从发现走向创造,走向创新.3.学生面对枯燥的数据,潜意识里是讨厌的,因此教师要在有限的课堂时间里,着重解决物理背景下、地理背景下的三角函数的函数模型的选定,不要把时间浪费在一些计算上.。
高一数学1.6三角函数模型的简单应用(教、学案)
．
设计意图：变式练习，开阔思路，启迪思维，培养能力。数行结合求周期。 （四）应用数学知识解决实际问题
例 3．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为
， 为此时太阳直射纬度，
为该地
的纬度值，那么这三个量之间的关系是
90
．当地夏半年 取正值，冬半年
取负值．
如果在北京地区 ( 纬度数约为北纬 40 ) 的一幢高为 h0 的楼房北面盖一新楼， 要使新楼一
十、教后反思 以问题引导教学，让学生听有所思，思有所获，获有所感。问题串的设计，使学习内容 在难度和强度上循序渐进而又螺旋上升， 并通过互动逐一达成教学目标， 突出重点， 突破难 点，较好的提高了课堂教学的有效性。
一、预习目标
1.6 三角函数模型的简单应用
课前预习学案
3
预习三角函数模型的简单问题，初步了解三角函数模型的简单应用 二、预习内容 1、三角函数可以作为描述现实世界中 _________现象的一种数学模型 .
O 0 ）来刻画，试10求该函数t /表h 达式。
设计意图：教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
八、发导学案、布置预习。 设计意图： 布置下节课的预习作业， 并对本节课巩固提高。 教师课后及时批阅本节的
延伸拓展训练。 九、板书设计
三角函数模型的简单应用
例 1．
例 2. 例 3.
练习： 小结：
6
④探究其他解法：
14
6
2或
14
2
2等 0
设计意图：培养学生多角度考虑问题的习惯，培养学生的发散思维，培养学生的学习兴 趣。
⑤借助三角函数模型研究的思想方法研究一些较复杂的三角函数。 设计意图：升华为思想方法。
（三）由解析式作出图象并研究性质
第10课时三角函数模型的简单应用教案导学案练习题
第10课时 三角函数模型的简单应用 序号 知识目标 学法建议 能力素养 1 能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律 阅读教材,小组间寻找实际生活中的三角函数问题 进一步体验函数来源于生活、应用于生活的思想,体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养创新精神和实践能力
2 能根据实际问题的意义,利用三角函数模型解决有关问题,为决策提供依据 自主探究分析问题,然后总结、提炼,升华为分析和解决问题的能力 让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力
重点:精确模型的应用——由图像求解析式,由解析式研究图像及性质. 难点:分析、整理、利用信息,从实际问题中提取基本的数学关系来建立数学模型.
已知转轮半径为R,转轮距地面最近的距离为1 m,转动的角速度为ω(rad/s),有一个人在P0的位置,如图,此时∠xOP0=φ.当经过t s后,点P0到达点P的位置,能否用时间t表示P处的人与地面距离H?
预学1:分析《问题情境》 上述转轮情境是一个周期性变化的实例,若设在 P处的人与地面的距离H,则H关于时间t的函数表达式为H=Rsin(ωt+φ)+R+1,类似地,许多现实中的周期现象均可以通过三角函数模型来解决,如物理中的简谐运动、交流电的电流和大海中的潮汐现象等.
预学2:函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在物理中的应用 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈[0,+∞))在物理中的应用: A——振幅;T=2π𝜔——周期;f=1𝑇=𝜔2π——频率;ωx+φ——相位;φ——初相.
想一想:函数y=2cos(3𝑥-π4)-1的频率大小是多少?
预学3:函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的基本性质 定义域:R. 值域:[-A+b,A+b].
周期:2π𝜔.
江苏省常州市西夏墅中学高一数学必修4《函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用》导学案
2、要得到函数 的图象，只须将 的图象
3、把函数 的图象向左平移 ，所得图象的函数式为
4函数
5．函数 上交点个数是__________.
四、典例分析
例1、已知函数 。
（1）在给定的坐标系中，作出函数 在区间 上的图象
（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值。
例2、已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ< )的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 ，且图象上一个最低点为M(3,-2).
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈［1,2］时，求f(x)的值域.
例3、已知函数f(x)= sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 。
（1）求f( )的值；（2）将函数y=f(x)的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间。
y=Asin(ωx+φ)（A>0,ω>0）
2、用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图
用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如表所示
ωx+φ
0
π
2π
x
y=Asinωx+φ)
0
A
0
-A
0
3、函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(ωx习反馈
1、（1）要得到 的图象向______平移_______。
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高一数学 SX-10-01-000
1．6 《三角函数模型的简单应用》导学案
编写人： 龚声魁 审核人：纪 欣 编写时间：2010-01-18
【学习目标】 1. 分析收集到的数据，选择适当的三角函数模型，将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型。
2. 切身感受数学建模的全过程，体验数学在实际生活中的价值和作用，逐步提高创新意识和实践能力，增强求知欲。
【重点难点】 从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型，用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题。
【学法指导】 合作交流，共同探究。
【知识链接】 函数)x sin(A y ϕ+ω=的图象与性质、函数的建模。
【学习过程】 一．预习自学
1．如果某种变化着的现象具有 ，那么它就可以借助三角函数来描述。
2．函数y=|sinx|是以 为周期的波浪形曲线。
3．)x sin(A y ϕ+ω= ()0,0A >ω>的振幅是 ，周期是 ，相位是 。
4．函数y=2|sinx|-3的一个单调增区间是 A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ-
4,4 B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ43,4 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ23, D. ⎪⎭
⎫
⎝⎛ππ2,23 5. 把函数)3
2sin(π
+
=x y 先向右平移
2
π
个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为________________________________。
二．新知探求
例1．如图，某地夏天6-14时用电量变化曲线近似满足函数b )x sin(A y +ϕ+ω=
()π<ϕ<>ω>0,0,0A ，
（1）求这一天6-14时的最大用电量及最小用电量；
（2）写出这段曲线的函数解析式。
思考：是否这天每个时刻的用电量都符合这个函数模型？如果不是，我们又该注意什么呢？
θ
φ
φ-δδ太阳光
例2．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是θ=90°－|φ－δ| ．当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．如果在北京地区(纬度数约为北纬40° )的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
思考1：当太阳高度角为θ时，设高为h0的楼房在地面上的
投影长为h，那么θ、h0、h三者满足什么关系？
思考2：根据地理知识，北京地区一年中,正午太阳直射什么
纬度位置时,物体的影子最短或影子最长？
思考3：若A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回
归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，画图指出两楼的临界距离应是怎样的？
思考4：要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
练习：某市的纬度是北纬21°34′，小王想在该市某住宅小区买房，该小区的楼高7层，每层3米，楼与楼之间相距15米，要使所买楼房在一年四季正午的太阳不被前面的楼房遮挡，最低应该选择第几层的房？
【背景材料】 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.
探讨1:观察表格中的数据，每天水深的变化具有什么规律性？
探讨2:设水深y 是时间x 的函数，作出表中的数据对应的散点图，你认为可以用哪个类型的函数来拟合这些数据？
探讨3:用函数h )x sin(A y +ϕ+ω=来刻画水深和时间之间的对应关系，如何确定解析式中的参数值？
探讨4:这个港口的水深与时间的关系可用上述函数近似描述，你能根据这个函数模型，求出各整点时水深的近似值吗？（精确到0.001）
探讨5：一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离）。
该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
探讨6：若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
三.归纳小结
如何确定函数关系式)x sin(A y ϕ+ω=中参数A 、ω、φ？
解决三角函数应用题的一般步骤是什么？ 什么样的应用题适合于建立三角函数模型？
四.课堂检测
1． 在200米高山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高为
A ．
米3400 B ． 米33400 C ．米33200 D ．米3
200
2．交流电的电压E （单位：V ）与时间ｔ（单位：ｓ）的关系可用)6
t 100sin(3220E π
+
π=来表示，则电压的最大值是 ，第一次获得这个最大值的时间是 。
3．某时钟秒针端点A 到中心点O 的距离为5ｃｍ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间ｔ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点间的距离ｄ（ｃｍ）表示ｔ（ｓ）的函数，则d ＝ ,其中t ∈[0,60].
五.学后反思
通过这节课的学习，你对三角函数有什么新的认识？三角函数和以前所学的函数有什么异同之处？三角函数的应用题和以前所学的应用题在解法和解题步骤上有什么相同之处和不同之处？
六.课外作业
1.查阅电视节目预告，统计中央电视台不同栏目的播出周期。
如：新闻联播，大风车，同一首歌，夕阳红，半边天，动物世界，春节联欢晚会……
2．小明在直角坐标系中，用1cm 代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象。
若他将纵坐标改用2cm 代表一个单位长度，横坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他将横坐标改用2cm 代表一个单位长度，而纵坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？
3.根据下列条件，求△ABC 的内角A ： （1）sinA=2
1 ， (2)tanA=3
3
- , (3) cosA=2
2-
, (4) tanA=1
4.发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t 的函数，t sin I I A ω=,)120t sin(I I B ︒+ω=,)240t sin(I I C ︒+ω=,则=++C B A I I I 。
5．已知函数()()
()π≤ϕ≤>ωϕ+ω=0,0x sin x f 为偶函数，且其图象上相邻的一个最
高点和最低点间的距离为24π+。
（1）求函数f(x)的解析式；（2）若sinx+f(x)=32，求sinxcosx 的值。
sx10-01-003答案 1．6 《三角函数模型的简单应用》导学案 一.预习自学
1.周期性
2. π
3. A ωπ
2 ϕ+ωx 4. C 5. 2)x 2sin(y 32--=π
二。
新知探求
例1 见课本必修四第60页
（1）由图知，这段时间的最大用电量为50万度，最小用电量为30万度。
（2）所求解析式为 []14,6x ,40)4
3x 8sin(
10y ∈+π
+π=
例2 见课本必修四第61页 练习：()︒=︒--︒-︒=θ45'2623'342190 如右图 最低应选择第三层
研讨题 见课本必修四第62页
四.课堂检测 1.A 2.s ;
V 3220300
1 3. 60
t sin 10π 六. 课外作业新课标第一网 2. R x x 2sin y R x x
sin y 21
∈=∈=和
3. （1）A=30°或150° （2）A=150° （3） A=135° （4） A=45°
4. 0 5。
()()()18
52x cos x sin 2x cos x sin(x f 1-==+=π
新课标第一网。