1.5三角函数的应用导学案
北师大版九年级数学下册1.5 三角函数的应用1 教案
1.5 三角函数的应用1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用；(重点) 2．能够建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．(难点) 一、情境导入 为倡导“低碳生活”，人们常选择自行车作为代步工具，图①所示的是一辆自行车的实物图．图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC 与CD 的长分别为45cm 和60cm ，且它们互相垂直，座杆CE 的长为20cm.点A 、C 、E 在同一条直线上，且∠CAB ＝75°.你能求出车架档AD 的长吗？ 二、合作探究探究点：三角函数的应用【类型一】 利用方向角解决问题某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B ，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁． (1)试说明点B 是否在暗礁区域外； (2)若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．解析：(1)求点B 是否在暗礁区域内，其实就是求CB 的距离是否大于16，如果大于则不在暗礁区域内，反之则在．可通过构造直角三角形来求CB 的长，作CD ⊥AB 于D 点，CD 是Rt △ACD 和Rt △CBD 的公共直角边，可先求出CD 的长，再求出CB 的长；(2)本题实际上是问C 到AB 的距离即CD 是否大于16，如果大于则无触礁危险，反之则有，CD 的值在第(1)问已经求出，只要进行比较即可．解：(1)作CD ⊥AB 于D 点，设BC ＝x ，在Rt △BCD 中，∠CBD ＝60°，∴BD ＝12x ，CD ＝32x .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，tan ∠CAD ＝CD AD ＝33，∴32x 18＋12x＝33.∴x ＝18.∵18>16，∴点B 是在暗礁区域外；(2)∵CD ＝32x ＝93，93＜16，∴若继续向东航行船有触礁的危险．方法总结：解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题【类型二】利用仰角和俯角解决问题某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动．在活动中，某小组为了测量校园内①号楼AB 的高度(如图)，站在②号楼的C 处，测得①号楼顶部A 处的仰角α＝30°，底部B 处的俯角β＝45°.已知两幢楼的水平距离BD为18米，求①号楼AB的高度(结果保留根号)．解析：根据在Rt△BCE中，tan∠BCE＝BECE，求出BE的值，再根据在Rt△ACE中，tan∠ACE＝AECE，求出AE的值，最后根据AB＝AE＋BE，即可求出答案．解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，CE⊥AB，∴四边形CDBE是矩形，∴CE＝BD＝18米．在Rt△BEC中，∵∠ECB＝45°，∴EB＝CE＝18米．在Rt△AEC中，∵tan∠ACE＝AECE，∴AE＝CE·tan∠ACE＝18×tan30°＝63(米)，∴AB＝AE＋EB＝18＋63(米)．所以，①号楼AB的高为(18＋63)米．方法总结：解决本题的关键是结合仰角、俯角构造直角三角形，然后再解直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题【类型三】求河的宽度根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82米．求AB的长(精确到0.1米，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5)．解析：设AD＝x m，则AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB＝2.5(x＋82)m，在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB＝4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．解：设AD＝x m，则AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，tan∠BCA＝ABAC，∴AB＝AC·tan∠BCA＝2.5(x＋82)．在Rt△ABD中，tan∠BDA＝ABAD，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴2.5(x＋82)＝4x，解得x＝4103.∴AB＝4x＝4×4103≈546.7m.所以，AB的长约为546.7m.方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或宽度．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型四】仰角、俯角和坡度的综合应用如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度．她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i＝1∶1(即tan∠CED＝1)的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是15°.已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE的长度(参考数据：2≈1.41，结果精确到0.1米)．解析：作辅助线EF⊥AC于点F，根据速度乘以时间得出CE的长度，通过坡度得到∠ECF＝30°，通过平角减去其他角从而得到∠AEF＝45°，即可求出AE的长度．解：作EF⊥AC于点F，根据题意，得CE＝18×15＝270(米)．∵tan∠CED＝1，∴∠CED＝∠DCE＝45°.∵∠ECF ＝90°－45°－15°＝30°，∴EF ＝12CE ＝135米．∵∠CEF ＝60°，∠AEB ＝30°，∴∠AEF ＝180°－45°－60°－30°＝45°，∴AE ＝2EF ＝1352≈190.4(米)．所以，娱乐场地所在山坡AE 的长度约为190.4米．方法总结：解决本题的关键是能借助仰角、俯角和坡度构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．三、板书设计三角函数的应用1．方向角的概念2．三角函数的实际应用本节课尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节，上课前多揣摩．让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．教师尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能真正提高课堂教学效率.。
(完整版)1.5正弦型函数的图象(1)导学案
1.5 函 数sin()y A x ωφ=+的图象（1）学习目标： 1.熟练运用“五点法”做函数)(sin ϕω+=x A y 的图像，理解图像特征，依据图像正确求出解析式.2.掌握振幅变换，相位变换，周期变换，能熟练地把x y sin =的图像变换为)(sin ϕω+=x A y 的图像.学习过程：一、情景引入正弦函数x y sin =是最基本、最简单的三角函数，在物理中，简谐运动中的单摆对平衡位置的位移y 与时间x 的关系等都是形如)(sin ϕω+=x A y 的函数，我们需要了解它与函数x y sin =的内在联系.A 、、ωϕ是影响函数图像形态的重要参数，对此，我们分别进行探究.二、自我探究1. 函数)sin ϕ+=x y （，x R ∈（其中0≠ϕ）的图象，可以看作是正弦曲线上所有的点_________（当ϕ>0时）或______________（当ϕ<0时）平行移动ϕ个单位长度而得到.2. 函数R x x y ∈=,sin ω（其中ω>0且1ω≠）的图象，可以看作是把正弦曲线 上所有点的横坐标______________（当ω>1时）或______________（当0<ω<1时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到.3. 函数A R x x A y (,sin ∈=>0且A ≠1)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标___________（当A>1时）或__________（当0<A<1）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的，函数y=Asinx 的值域为__________.最大值为___________，最小值为______________.三、展示点拨例1.画出函数(1)2sin y x =，R x ∈ (2) 1sin 2y x =,R x ∈ 分析：“五点法”，先画[0，2π]的简图。
小结1： 1．y =Asinx ，x ∈R (A >0且A ≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长或缩短到原来的A 倍得到的2．它的值域最大值是 , 最小值是3．若A <0 可先作y =-Asinx 的图象 ，再以x 轴为对称轴翻折 A 称为振幅，这一变换称为振幅变换例2. 画出函数 (11)sin 2,2)sin2y x y x == x R ∈的简图.小结2：（周期变化，这是由ω的变化引起的）1、 函数y =sin ωx , x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩或伸长到原来的ω1倍（纵坐标不变） 2、函数y =sin ωx , x ∈R (ω>0且ω≠1)的周期是3、若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图决定了函数的周期，这一变换称为周期变换例3 画出函数y ＝sin (x ＋3π)，x ∈R y ＝sin (x －4π)，x ∈R 的简图小结3：1、函数y ＝sin (x ＋3π)，x ∈R 的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动3π个单位长度而得到2、一般地，函数y ＝sin (x ＋ϕ)，x ∈R (其中ϕ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时)平行移动||ϕ个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)y ＝sin (x ＋ϕ)与y ＝sinx 的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换.例4 指出如何由y =sinx 经过变换得出 R x x y ∈++=,2)42sin(21π 函数的图象:四、反馈检测 1判断正误①y ＝A sin ωx 的最大值是A ，最小值是－A ． ( )②y ＝A sin ωx 的周期是ωπ2 ( )③y ＝－3sin4x 的振幅是3，最大值为3，最小值是－3 ( ) 2下列变换中，正确的是（ ）A 将y ＝sin2x 图象上的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)即可得到y ＝sin x 的图象B 将y ＝sin2x 图象上的横坐标变为原来的21倍(纵坐标不变)即可得到y ＝sin x 的图象 C 将y ＝－sin2x 图象上的横坐标变为原来的21倍,纵坐标变为原来的相反数,即得到y ＝sin x 的图象D 将y ＝－3sin2x 图象上的横坐标缩小一倍，纵坐标扩大到原来的31倍，且变为相反数，即得到y ＝sin x 的图象3．最大值为12，周期为23π，初相是6π的函数表达式可能是（ ） A ．1sin()236x y π=+ B 2sin()26x y π=- C 1sin(3)26y x π=+ D 1sin(3)26y x π=- 4．得到sin(3)4y x π=-的图象，只要将sin3y x =的图象（ ） A ．向左平移4π个单位 B 向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D 向右平移12π个单位 5 函数y ＝sin （－2x ）的单调减区间是( ) Z ∈++∈++k k k k k k ],243,22B.[],223,22[A.ππππππππZ Z ∈++∈++k k k k k k ],4,4D.[-],23,2[C.ππππππππZ6..作出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（要求用直尺和铅笔规范作图）（1）y =23sinx （2）y =sin 3x （3）y =2sin 31x7. 将y =32sin 2x 的图象向 平移 个单位，可得y =32sin 2x 2-的图象，所得函数周期为 值域为8. 将y =sinx 图象上各点的纵坐标变为原来的 ___且将各点的横坐标变为原来的 ______可得y =3sin 31x 的图象. 9用图象变换的方法在同一坐标系内由y ＝sin x 的图象画出函数y ＝21sin(3x-5π)的图象10. 已知y =a sinx +b 的最大值为23，最小值为21-，求a ，b 的值五、盘点归纳。
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教案
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第1.5节《三角函数的应用》主要介绍了正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
通过本节课的学习，使学生了解三角函数在实际生活中的重要性，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对正弦、余弦函数有一定的了解。
但学生在应用三角函数解决实际问题方面还比较薄弱，需要通过本节课的学习，提高学生运用三角函数解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.使学生掌握正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生对三角函数的兴趣，培养学生的创新意识。
四. 教学重难点1.重点：正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.难点：如何运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数在实际问题中的应用。
2.利用案例分析法，分析实际问题中三角函数的运用。
3.采用小组合作讨论法，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。
2.准备三角函数的图像和公式。
3.准备投影仪和教学课件。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用投影仪展示一些实际问题，如测量高度、角度等，引导学生思考如何利用三角函数解决这些问题。
2.呈现（10分钟）呈现三角函数的图像和公式，让学生了解三角函数的基本性质。
同时，结合实际问题案例，讲解如何运用三角函数解决实际问题。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用三角函数进行解决。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）选取几组实际问题，让学生独立解决。
教师及时给予反馈，巩固学生对三角函数应用的掌握。
5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将三角函数应用于其他领域，如工程、物理等。
让学生举例说明，培养学生的创新意识。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调三角函数在实际问题中的应用。
北师大版1.5 三角函数的应用 教案
第一章直角三角形的边角关系1.5 三角函数的应用一、知识点1.用三角函数解决实际问题.2.借助于计算器进行有关三角函数的计算.二、教学目标知识与技能：1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.过程与方法：1.从生活实际问题中提炼出用三角函数解决问题的数学的思想.2.进一步感受数形结合的思想（方程方法与画图法），力图引发学生从三个例题解答中归纳并建构数学模型思想，即抽象成平面图形（直角三角形），再利用三角函数解决问题及其拓展与延伸情感态度与价值观：1.发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.2.能将实际问题抽象成数学问题（数学符号或图像）.3.让学生在探索活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.三、重点与难点重点：1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.难点：灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当三角函数来解决.四、回顾与思考（出示幻灯片2）1.直角三角形中，三边的关系？两个锐角的关系？边与角的关系？2.互余两角之间的三角函数关系？3.同角之间的三角函数关系？4.30°、45°、60°角的三角函数值是多少？五、创设情境，导入新知问题情景：请同学们欣赏动画影片《船要触礁了》（出示幻灯片3）问题1：大家看到了什么？问题2：有什么感受？引导学生交流，并提出本节课要探究的课题. 学生回答老师提出的问题.活动目的：从学生熟知的现实情景入手，既增强了趣味性，一下子抓住学生的注意力；又能使课题蕴含其中，使学生体会数学就在我们身边，也合理地揭示了学习新知识的必要性，从而激发学生探究的积极性.六、探究新知（一）探究一：船是否有触礁（出示幻灯片4）如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.1.在绝大部分学生解答完毕的情况下，小组内推选较好的学生黑板板书自己的解答过程，供全班同学交流、讨论，达到互通有无、查缺补漏的作用.2.教师对学生解答过程中闪光点给予肯定和表扬----比如在用三角函数时能指出所涉及的直角三角形，供其他学生们学习.3.鼓励学生从不同角度思考，用不同的方法进行求解.（出示幻灯片5）活动目的：同学们对此问题独立思考，能确定解答的方案，不理解的地方要积极地和同学、教师交流，从而释惑解疑.（二）探究二：塔有多高（出示幻灯片6、7）小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m)2.学生把自己的解决方案记录在纸上，为黑板上展示自己的解答过程做好准备.3.学生讲述解题思路，画图（抽象成数学问题），整理再现过程，展示成果（板演）（出示幻灯片8）交流合作，将问题转化为数学问题，画出示意图.（三）探究三：楼梯加长了多少（出示幻灯片9）深圳东门某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m)让学生在规定时间内完成并展示（投影）成果（出示幻灯片10、11）. 教师巡回指导，对学生画出的示意图中出现的问题予以纠正，及时提醒学生应注意的问题.1.引导学生分组探究下列问题，并推选该组的学生到黑板进行展示自己的解答过程，也可以利用投影仪展示出来，以备各组相互评价.2.询问部分学生的解答思路.指导部分学生：如果缺少数据，可以巧设未知数，起到解答的辅助作用.活动目的：通过这个实例，进一步进行有关三角函数的计算，发展数学应用意识和解决问题的能力.七、解决问题，共同提升（一）问题一：钢缆问题（出示幻灯片12）一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成40°夹角,且DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01m) .要求学生独立完成，把解答过程写到课堂练习本上．挑选三名同学到讲台前说出答案并讲述自己的思路.（二）问题二：大坝问题（出示幻灯片14）如图，水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=135°.(1)求坡角∠ABC的大小;(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3（出示幻灯片15、16）1.引导学生展开合作，交流.2.选择具有代表性的解答方法投影展示.八、课堂小结（出示幻灯片17）九、布置作业1.必做题：习题1.6第1题、第2题.2.选做题：习题1.6第3题、第4题.。
北师大版九年级下册数学1.5 三角函数的应用1教案
1.5 三角函数的应用1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用；(重点)2．能够建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．(难点)一、情境导入为倡导“低碳生活”，人们常选择自行车作为代步工具，图①所示的是一辆自行车的实物图．图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC 与CD 的长分别为45cm 和60cm ，且它们互相垂直，座杆CE 的长为20cm.点A 、C 、E 在同一条直线上，且∠CAB ＝75°.你能求出车架档AD 的长吗？ 二、合作探究探究点：三角函数的应用 【类型一】 利用方向角解决问题某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B ，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁． (1)试说明点B 是否在暗礁区域外； (2)若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．解析：(1)求点B 是否在暗礁区域内，其实就是求CB 的距离是否大于16，如果大于则不在暗礁区域内，反之则在．可通过构造直角三角形来求CB 的长，作CD ⊥AB 于D 点，CD 是Rt △ACD 和Rt △CBD 的公共直角边，可先求出CD 的长，再求出CB 的长；(2)本题实际上是问C 到AB 的距离即CD 是否大于16，如果大于则无触礁危险，反之则有，CD 的值在第(1)问已经求出，只要进行比较即可．解：(1)作CD ⊥AB 于D 点，设BC ＝x ，在Rt △BCD 中，∠CBD ＝60°，∴BD ＝12x ，CD ＝32x .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，tan ∠CAD ＝CD AD ＝33，∴32x 18＋12x＝33.∴x ＝18.∵18>16，∴点B 是在暗礁区域外；(2)∵CD ＝32x ＝93，93＜16，∴若继续向东航行船有触礁的危险．方法总结：解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题【类型二】 利用仰角和俯角解决问题某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动．在活动中，某小组为了测量校园内①号楼AB 的高度(如图)，站在②号楼的C 处，测得①号楼顶部A 处的仰角α＝30°，底部B 处的俯角β＝45°.已知两幢楼的水平距离BD 为18米，求①号楼AB 的高度(结果保留根号)．解析：根据在Rt △BCE 中，tan ∠BCE ＝BECE ，求出BE 的值，再根据在Rt △ACE 中，tan ∠ACE ＝AECE ，求出AE 的值，最后根据AB ＝AE ＋BE ，即可求出答案．解：∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，CE ⊥AB ，∴四边形CDBE 是矩形，∴CE ＝BD ＝18米．在Rt △BEC 中，∵∠ECB ＝45°，∴EB ＝CE ＝18米．在Rt △AEC 中，∵tan ∠ACE ＝AECE，∴AE ＝CE ·tan ∠ACE ＝18×tan30°＝63(米)，∴AB ＝AE ＋EB ＝18＋63(米)．所以，①号楼AB 的高为(18＋63)米． 方法总结：解决本题的关键是结合仰角、俯角构造直角三角形，然后再解直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第1题【类型三】 求河的宽度根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A 、B 两点，小张为了测量A 、B 之间的河宽，在垂直于新大桥AB 的直线型道路l 上测得如下数据：∠BDA ＝76.1°，∠BCA ＝68.2°，CD ＝82米．求AB 的长(精确到0.1米，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5)．解析：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，根据三角函数得到AB ＝2.5(x ＋82)m ，在Rt △ABD 中，根据三角函数得到AB ＝4x ，依此得到关于x 的方程，进一步即可求解．解：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，tan ∠BCA ＝ABAC ，∴AB ＝AC ·tan∠BCA ＝2.5(x ＋82)．在Rt △ABD 中，tan ∠BDA ＝ABAD，∴AB ＝AD ·tan ∠BDA ＝4x ，∴2.5(x ＋82)＝4x ，解得x ＝4103.∴AB ＝4x ＝4×4103≈546.7m.所以，AB 的长约为546.7m.方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或宽度．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题【类型四】 仰角、俯角和坡度的综合应用如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE 的长度．她先在山脚下点E 处测得山顶A 的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i ＝1∶1(即tan ∠CED ＝1)的斜坡步行15分钟抵达C 处，此时，测得A 点的俯角是15°.已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A 、B 、E 、D 、C 在同一平面内，且点D 、E 、B 在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE 的长度(参考数据：2≈1.41，结果精确到0.1米)．解析：作辅助线EF ⊥AC 于点F ，根据速度乘以时间得出CE 的长度，通过坡度得到∠ECF ＝30°，通过平角减去其他角从而得到∠AEF ＝45°，即可求出AE 的长度．解：作EF ⊥AC 于点F ，根据题意，得CE ＝18×15＝270(米)．∵tan ∠CED ＝1，∴∠CED ＝∠DCE ＝45°.∵∠ECF ＝90°－45°－15°＝30°，∴EF ＝12CE ＝135米．∵∠CEF ＝60°，∠AEB ＝30°，∴∠AEF ＝180°－45°－60°－30°＝45°，∴AE ＝2EF ＝1352≈190.4(米)．所以，娱乐场地所在山坡AE 的长度约为190.4米．方法总结：解决本题的关键是能借助仰角、俯角和坡度构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．三、板书设计三角函数的应用1．方向角的概念 2．三角函数的实际应用本节课尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节，上课前多揣摩．让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．教师尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能真正提高课堂教学效率.。
1.5三角函数的应用(教案)
2.增加课堂上的互动环节，鼓励学生提问和表达自己的观点，提高他们的参与度。
3.注重培养学生的动手操作能力，让他们在实际操作中感受数学的魅力。
4.针对不同学生的学习情况，制定个性化的教学策略，使每个学生都能在课堂上得到有效的提升。
举例：教授学生使用计算器求特定角度的正弦、余弦值，并运用三角恒等式进行计算。
2.教学难点
（1）三角函数图像的理解：对于初学者来说，理解三角函数图像在不同象限的变化规律具有一定的难度。
突破方法：通过绘制图像、动态演示或借助教具，帮助学生直观地感受图像变化，从而加深理解。
（2）实际问题抽象为数学模型：将现实生活中的问题转化为数学问题，是学生需要克服的难点。
五、教学反思
在上完这节“三角函数的应用”后，我对整个教学过程进行了深入的思考。首先，我觉得在导入新课的部分，通过提出与日常生活相关的问题，成功激发了学生的兴趣和好奇心。他们积极参与，提出了很多有趣的想法，这为后续的教学奠定了良好的基础。
在新课讲授环节，我发现学生们对于三角函数的定义和图像的理解程度参差不齐。有些学生能迅速掌握，但也有一些学生对此感到困惑。我意识到，在讲解这些概念时，需要更多地借助图像和实物演示，让学生能够直观地感受到三角函数的变化规律。
举例：通过动态演示或绘制图像，让学生观察并理解正弦、余弦函数值随角度变化而变化的规律。
（2）三角函数在实际问题中的应用：利用三角函数解决高度测量、距离计算等问题。重点在于培养学生将实际问题抽象为数学模型的能力。
举例：以建筑物高度测量为例，引导学生利用三角函数建立数学模型，解决问题。
（3）三角函数的简单计算：掌握计算器求三角函数值的方法，以及基本的三角恒等式。重点在于提高学生的数学运算能力。
1.5三角函数应用教案1
锐角三角函数的应用一、教学目标：(一)知识目标巩固锐角的三角函数，能够把某些实际问题中的数量关系抽象为直角三角形中元素之间的关系，并运用锐角三角函数解决问题。
(二)能力目标逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．(三)德育目标培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．二、教学重点、难点和疑点1．重点：能熟练运用有关三角函数知识．2．难点：运用适当的三角函数解决实际问题．三、教学过程1、探究活动一教师出示例题例1、今天我们仍然一起来测量教学楼的高度，实用文档如图6-29，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．分析：1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图6-29(2))．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．2．探究活动二例2 如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？实用文档这是实际施工中经常遇到的问题．应首先引导学生将实际问题转化为数学问题．由题目的已知条件，∠D=50°，∠ABD=140°，BD=520米，求DE为多少时，A、C、E在一条直线上。
人教版九年级下册 1.5 三角函数的应用导学案设计
三角函数的应用第一部分：三角函数的应用知识点一：方位角问题【典型例题】某区域平面示意图如图，点 O 在河的一侧，AC 和 BC 表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在 A 处测得点O 位于北偏东45°，乙勘测员在 B 处测得点O 位于南偏西73.7°，测得AC=840m ，BC=500m ．请求出点O 到 BC 的距离。
（参考数据sin73.7°=2524，cos73.7°=257，tan73.7°=724）随堂练习：如图，“中国海监50”正在南海海域A 处巡逻，岛礁B 上的中国海军发现点A 在点B 的正西方向上，岛礁C 上的中国海军发现点A 在点C 的南偏东30°方向上，已知点C 在点B 的北偏西60°方向上，且B 、C 两地相距120海里．（1）求出此时点A 到岛礁C 的距离；（2）若“中海监50”从A 处沿AC 方向向岛礁C 驶去，当到达点A ′时，测得点B 在A ′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）知识点二：坡度问题【典型例题】学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB长为12m.为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3，A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小坡下降的高度AD.知识点三：仰角与俯角问题解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.要点诠释：1.解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2.非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3.解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树AB 的高度，如图，老师测得大树前斜坡DE 的坡度i=1：4，一学生站在离斜坡顶端E 的水平距离DF 为8m 处的D 点，测得大树顶端A 的仰角为α，已知53sin =α，BE=1.6m ，此学生身高CD=1.6m ，请求出大树高度AB随堂练习：小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B ，C 两点的俯角分别为45°，35°．已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100m ，请求出热气球离地面的高度．（结果保留整数）。
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教学设计
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教学设计一. 教材分析《三角函数的应用》是北师大版九年级数学下册的重要内容。
这部分内容主要介绍了三角函数的概念、性质及应用。
通过学习，学生可以了解三角函数的基本概念，掌握三角函数的性质，并能运用三角函数解决实际问题。
本节课的内容为后续学习三角函数的其他部分打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对函数的概念和性质有一定的了解。
但是，对于三角函数这一部分内容，由于其抽象性和复杂性，学生可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生逐步理解和掌握三角函数的知识。
三. 教学目标1.了解三角函数的基本概念，掌握三角函数的性质。
2.能够运用三角函数解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.三角函数的基本概念。
2.三角函数的性质。
3.运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解，使学生了解三角函数的基本概念和性质。
2.案例分析法：通过分析实际问题，使学生掌握运用三角函数解决问题的方法。
3.讨论法：引导学生分组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作三角函数的课件，帮助学生直观地理解三角函数的概念和性质。
2.实际问题：准备一些与生活相关的实际问题，用于引导学生运用三角函数解决实际问题。
3.练习题：准备一些有关三角函数的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些与三角函数相关的实际问题，引导学生思考并引入新课。
2.呈现（10分钟）讲解三角函数的基本概念和性质，让学生了解三角函数的定义和特点。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析实际问题，并运用三角函数解决问题。
教师巡回指导，帮助学生解决讨论中的问题。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
教师及时批改，给予学生反馈。
5.拓展（10分钟）讲解一些与三角函数相关的拓展知识，引导学生思考和探索。
九年级数学下册 1.5 三角函数的应用教案 (新版)北师大版
课题：1.5三角函数的应用教学目标：1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.2．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.3．通过把实际问题转化为数学问题过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力．教学重点与难点：重点：经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用．难点：根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图．教法与学法指导：教法：1.创设情境法.通过播放视频，创设教学情境，激发学生学习兴趣.2.设疑启发法.通过设置疑问，启学生思维，引导学生分析问题.3.观察对比法.通过归纳类比，让学生由感性认识上升到理性认识.学法：1.自主探索法.学生通过独立思考，探索分析，提高数学分析能力.2.合作学习法.学生通过小组讨论，交流等学习过程，加强合作交流，提高学习效果. 教学准备：教师准备：多媒体课件。
学生准备：计算器。
教学过程：一、合作探究，导入新课直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等. 下面我们就来看一个问题(多媒体演示).活动内容1：海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处．之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的?与同伴进行交流.处理方式：首先我们可将小岛A 确定，货轮B 在小岛A 的南偏西55°的B 处，根据“上北下南，左西右东”，B 在A 的“下偏左”55°位置.C 在B 的正东方，即C 在B 的右边.且在A 南偏东25°处，即C 在A 的“下偏左”25°位置．在Rt △ABD 中，∵tan55°＝BDAD，∴BD ＝AD tan55°. 在Rt △ACD 中，∵tan25°＝CDAD，∴CD ＝AD tan25°． 设AD ＝x ，则BD ＝tan55°x ，CD ＝tan25°x . ∵BC ＝BD －CD , ∴tan55°x －tan25°x ＝20，解得，x ＝20tan 55tan 25︒-︒≈20.79，即AD ≈20.79海里．设计意图：“学数学、用数学”应是我们每位数学教师在教学中时刻不忘的数学宗旨.我们教育的学生，不只要学会知识，更重要的是会用知识.将实际问题抛给学生，引导学生想象问题情境，将自己置身于问题情境中，才能顺利的转化为数学问题，从而学会用数学知识解决实际问题.二、分析探索, 新知学习 活动内容1：回答下列问题.如图，小明想测量塔CD 的高度．他在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m 至B 处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1m)处理方式：（自主解决问题）（鼓励学生展示一下自己的过程）（实物投影展示）法1：由题意可知∠DAC ＝30°，∠DBC =60°，AB ＝50m ． 因为CD 是两个直角三角形Rt △ADC 和Rt △BDC 的公共边，所以，设CD =x ，在Rt △ADC 中，∵tan30°＝CD AC ，∴AC ＝tan30CD︒，即AC .法2:在Rt △BDC 中，∵tan60°＝CD BC ，∴BC ＝tan60CD︒，即BC x .又∵AB＝AC－BC＝50m x＝50．解得，x＝43，∴CD≈43m.即塔CD的高度约为43m．（实物投影展示）∵∠DAC＝30°，∠DBC=60°，∴∠ADB＝30°，∴∠DAC＝∠ADB，∴AB＝BD＝50.在Rt△BDC中，∵sin60°＝CD BD，∴CD＝sin60°BD＝50253≈43m.即塔CD的高度约为43m．设计意图：直角三角形的边角关系在航海，工程等测量问题中有着广泛应用，通过“想一想”的问题进一步让学生巩固如何用直角三角形的边角关系这一知识解决实际问题，提高学生的建模，转化能力.三、拓展升华, 变式思考活动内容1：在这个问题中，小明的身高忽略不计，而在实际测量时，应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离．如果小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6m，其他数据不变，此时塔的高度为多少？你能画出示意图吗？处理方式：（3分钟时间思考，交流，并实物投影展示.）如图所示，由前面的解答过程可知CC＇≈43m，则CD＝43＋1.6＝44.6m，即如果考虑小明的高度，塔的高度为44.6m．以开放题的形式呈现，让学生从多角度思考问题，既能培养学生的数学思维能力，又能调动学生学习数学的积极性.学生情绪高涨，讨论热烈.进而得出推论。
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1.5三角函数的应用
一、教学目标
能够把实际问题转化为数学问题，能够利用三角函数的进行计算，并能对结果的意义进
行说明.
二、教学重点和难点
重点：进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用，发展学生数学应用意识和解决问题的能力.
难点：灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当三角函数来解决.
三、教学过程
（一）情境引入：
小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m 至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果保留根号)
（二）合作探究：
如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的
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