三角函数的定义学案
学案1三角函数的概念
学案1三角函数的概念复习目标：理解任意角的概念；掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号；理解弧度制的意义，并能正确地进行角度与弧度之间的换算.重点：任意角三角函数的定义学习过程：课前预习：内化知识 夯实基础一． 知识回顾：1．角的定义：由一条射线绕着端点旋转而成，其中旋转开始的射线叫 正角的形成是由 ，负角的形成是由 ，当射线不转时也形成一个角，这个角是 .2．1弧度的角： .度与弧度的转化关系是 ,弧长、圆心角、半径及圆弧面积之间的关系有 ； .3．任意角的三角函数：),(y x P 为角α终边上一点，它与原点距离为)0( >r r ，则=αsin ；=αc o s ；αt a n= . 二．回顾性题组1．已知角α的终边过点)4,3(-，则=αsin ；=αc o s ；αt a n = .2．α是第一象限的角⇔2 ααcos sin + 1；ααcos sin +<1-⇔ ；ααcos sin 1+<-1<⇔ ；ααcos sin +1=⇔ ；ααc o s s i n <⇔ .3．角θ的终边在第二、第四象限的角平分线上，则角θ的集合为4．若角α的终边与角β的终边关于原点对称，则α、β的关系为 ；若角α的终边与角β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系为5．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 6．比较大小：18sin 18cos7．时针走过1小时20分，则分针转过的角为8．若βαsin sin =，则α、β满足的关系为二、课堂互动：积极参与 领悟技巧例1．已知34πβαπ<+<，3πβαπ-<-<- . 求βα-2的范围.例2．求函数)21(cos log )(sin +=x x f x 的定义域三、强化训练：1．如果0cos sin <⋅αα，且)1,0(cos sin ∈+αα，那么角α终边在（ ）A ．第二象限B ．第二、四象限C ．第一、三象限D ．第四象限2．设角α终边上一点)0( )3,4(<-a a a P ，则ααcos sin 2+的值为（ ）A ．52B ．5252-或C ．52- D ．与α有关 3．已知点)tan ,cos (sin ααα-P 在第一象限，则在[]π2,0内α的取值范围是 .4．化简8sin 1-的结果是5．已知扇形周长为cm 20，当扇形的中心角α为 时，它有最大面积；最大面积6．集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,42|ππ与⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k x x P ,4|π之间的关系为7．设α是第二象限的角，且2cos 2cos αα-=，则2sin α8．已知βαsin sin >，下列命题正确的是 （ ）A ．若βα、是第一象限的角，则βαcos cos >B ．若βα、是第二象限的角，则βαtan tan >C ．若βα、是第三象限的角，则βαcos cos >D ．若βα、是第四象限的角，则βαtan tan >9．ABC ∆中， B A sin sin >是A >B 成立的 条件滕州一中高三数学《必修4》作业班级： 姓名： 学号： 成绩 。
三角函数的性质教学案
三角函数的性质教学案一、教学目标：1. 理解和掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的定义；2. 掌握三角函数的性质，包括奇偶性、周期性和界值；3. 能够应用三角函数的性质解决实际问题。
二、教学内容及过程：1. 引入（10分钟）- 通过问问题或以生活实例的形式引入三角函数的概念，让学生了解三角函数与角度的关系。
- 引导学生思考正弦、余弦和正切在直角三角形中的定义和含义。
2. 正弦函数的性质（20分钟）- 定义正弦函数sin(x) = a/c，其中a为直角三角形中的对边，c为斜边。
- 解释正弦函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，可通过图像和数值验证。
- 探究正弦函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)，通过图像和数值验证。
3. 余弦函数的性质（20分钟）- 定义余弦函数cos(x) = b/c，其中b为直角三角形中的邻边，c为斜边。
- 解释余弦函数的奇偶性：cos(-x) = cos(x)，可通过图像和数值验证。
- 探究余弦函数的周期性：cos(x + 2π) = cos(x)，通过图像和数值验证。
4. 正切函数的性质（20分钟）- 定义正切函数tan(x) = a/b，其中a为直角三角形中的对边，b为邻边。
- 解释正切函数的奇偶性：tan(-x) = -tan(x)，可通过图像和数值验证。
- 探究正切函数的周期性：tan(x + π) = tan(x)，通过图像和数值验证。
5. 三角函数的界值（20分钟）- 分析正弦函数和余弦函数的最大值和最小值，并求出对应的角度。
- 分析正切函数的无界值，并讨论tan(90°)的极限值。
6. 实际问题应用（20分钟）- 提供一些实际问题，如建筑物高度的测量、天线角度的调整等，让学生应用三角函数的性质解决问题。
7. 总结与拓展（10分钟）- 学生总结所学的三角函数的性质，并归纳出定理和公式。
- 提出进一步拓展的问题，如三角函数的图像变换和三角恒等式等。
任意角三角函数学案
1．2．1 任意角的三角函数（1）【学习目标】1.能举例说明任意角的三角函数的定义；已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；能记住三角函数的定义域、值域和各种函数值在各象限的符号；2.通过对三角函数定义的探究，使同学们认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角 度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式，明白三角函数又是以实数为自变量的函数；3.通过探究，明白方程与函数的思想、数形结合的思想、转化的思想在三角函数的运用；提高同学们分析、探究、解决问题的能力，培养同学们严谨治学、一丝不苟的科学精神.【学习重点】任意角的正弦、余弦、正切的定义及函数的定义域、函数值在各象限的符号【难点提示】对用角的终边上的点的坐标（比值）来刻画三角函数的理解.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材1118P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备在前面我们学习了函数的概念、性质，一些特殊函数（包括初中的锐角三角函数、三角形、圆等知识）的概念、性质，任意角的概念等，请同学们回顾后完成下列填空：（1）函数的概念是 ； （2）在Rt ABC ∆中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，则sinA= 、CosA= ；tanA= ；（3）任意角指的是 ；象限角指的是 ； （4）与α同终边的角的集合S 为 ； （5）两个三角形相似如何判定、有哪些性质与结论？（6）圆的概念怎样？圆的圆心可为原点吗？圆的半径可以取一个单位吗？在（2）中显然是锐角的三角函数的定义，怎样将锐角的三角函数推广到任意角呢？这就是我们本节课要研究的问题！二、学习探究 （一）三角函数定义思考猜想 我们对上面（2）中的锐角三角函数的定义作深入的思考，这个函数的定义域是什么？值域是什么？对应法则是什么？其中最为核心的什么？那么在平面坐标系中确定一个任意角α的大小与什么联系的最为紧密？是不是这个角的终边？终边又是什么构成的呢？是不是点？点是不是用坐标表示？请同学们大胆猜想，能不能用任意角α上任意一点P 的坐标来定义α的三角函数！ 归纳概括 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(),x y ，P 到原点的距离为PO =(0)r r ==>，过点P作X 轴的垂线，设垂足为M ，构造出Rt POM ∆.那么，我们类比锐角三角函数，可得：（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=（3）比值(0)y x x ≠叫做α的正切，记作tan α，即tan yxα=（请同学们用函数的概念判定上面三个式子能不能构成角α的函数呢？链接1）任意角三角函数定义：对于确定的值α，在α终边上取任意一点P （除了原点）的坐标为(),x y ，设P 到原点的距离为PO =(0)r r ==>，则比值yr、x r 、y x 分别角α的正弦、余弦、正切，即：sin y r α=、cos x r α=、tan yx α=分别叫角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数统称为三角函数.阅读对比 请同学们仔细阅读教材，比较教材上的定义与上面的定义有哪些区别与联系？教材中取得点是一个定点，上面的定义中取的什么点？结果一样嘛？为什么？（链接2）2.已知角α的终边经过点)4,3(--P ，求α的正弦、余弦、正切值. 解：解后反思 你能从这快乐体验中两道题的解答感悟到什么吗？如：各用什么方法求解的？用到什么数学思想？在第2题中满足4sin 5α=-的有多少角？这些角有何关系？ 挖掘拓展 （1）三角函数定义中的比值的大小与P 点在终边上的位置无关； （2）三角函数的定义域：sin y α=的定义域 、cos y α=的定义域 ； tan y α=的定义域 ；（为什么？） （3）三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号可得：①正弦sin yr α=，当α在第 象限是为正，当α在第 象限是为为负； ②余弦cos xr α=，当α在第 象限是为正，当α在第 象限是为为负；③正切tan yxα=，当α在第 象限是为正，当α在第 象限是为为负；记忆法则： 一全正，二正弦，三切，四余弦，其余均为负.（4）终边相同角的三角函数的关系（诱导公式一）（链接3）；sin(2)____cos(2)____k k απαπ+=+=；；tan(2)____k απ+=∈（其中k Z ） （5）另三个三角函数， cot x y α=、sec rxα=、csc r y α=分别叫角α的的余切、正割、余割函数（类比上面（2）（3）（4），对这三个函数有怎样的结论？链接4）. 三、典例赏析例1（教材P13的例3.请同学们先看题，独立做一下后，再看教材的解答） 解：解后反思 你的解法与教材的解法相同吗？有哪些区别？教材是怎么书写表达的？变式练习 教材P15练习第6题. 解：例2 （教材P14的例4、例5.请同学们先看题，独立做一下后，再看教材的解答） 解：解后反思 你的解法与教材解法相同吗？有哪些区别？你的解法是最简洁的方法吗？ 求解的过程中用到了哪些数学知识与思想方法？（链接5）变式练习 已知sin 0α<且tan 0α>，试判断tan ,sincos222ααα的符号．解：例3.已知点P (3,-4)r r (0)r ≠在角α的终边上，求sin α、cos α、tan α的值． 解：解后反思 求解该题的关键在哪儿？易错点在哪儿？变式练习 已知角α的终边上一点()P m ，且sin 4α=， 求cos ,sin αα,αtan 的值． 解： 四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：任意角三角函数的概念理解了吗？各函数的定义域知道了吗？三角函数值在各象限的符号如何记忆？ 公式一掌握了吗？本节课有哪些题型？运用了哪些思想方法求解的？有哪些需要我们注意的？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？五、学习评价 1．已知角α的终边过点（6,-8），则αtan =（ ）．43.A 43.-B C ．34- D ． 342.有下列命题：（1）在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． （2）若α是第二象限的角,且P(x,y)是其终边上的一点，则22cos yx x +-=α（3）若αsin >0，则α是第一,第二象限的角.其中正确的命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 3.若在则ααα,0cos sin <⋅ 象限．4.已知α的终边经过点(39,2)a a -+，且sin 0,cos 0αα>≤ ，求a 的取值范围. 解：5.求函数|cos ||tan |cos tan x x y x x=+的值域 解：6.若角θ的终边过点()8，a P ，且53cos -=θ，求a 的值． 解：【学习链接】链接1.对于任意给定的值α，都分别有一个唯一确定的比值（实数）y r 、x r、yx 与之对应，所以sin y rα=、cos x r α=、tan yx α=均分别能构成角α的函数.链接2.教材上的定义与学案的定义本质是一样（由三角形相似成比例），教材上的定义是取点P 为角α的终边与单位圆的交点P （x ，y ），此时1OP r ==，从而有sin ,cos ,tan y y x xααα===. 链接3. （1）公式一的文字语言表述为：终边相同的角的同一三角函数的值相等； （2）公式一的作用：利用它可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到π2（或00~0360）链接5.用到了三角函数的概念、公式一；运用了公式法；借助计算器求解.。
学案5三角函数的定义域值域
学案5三角函数的定义域、值域学习目标：1、掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域。
2、结合三角函数的定义域、值域求解最值问题。
重点：三角函数的定义域、值域。
一、 基本知识回顾：1、正弦函数x y sin =定义域是 ，值域是 ，当=x 时，y 有最大值 ，当=x 时，y 有最小值 。
2、余弦函数x y cos =定义域是 ，值域是 ，当=x 时，y 有最大值 ，当=x 时，y 有最小值 。
3、正切函数x y tan =定义域是 ，值域是 。
二、 基础过关：1、函数x x y cos sin -=的定义域为 ，值域为 。
2、函数x x y tan log 250++=⋅的定义域为 。
3、如果4π≤x ，()x x x f sin cos 2+=的最小值是（ ） A ．212- B ．221+- C ．1- D ．221- 4、若21cos sin =y x ，则y x P sin cos =的值域为 （ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,23B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21D ．[]1,1-5、（2006年福建卷）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于 （ ）（A ）23 （B ）32（C ）2 （D ）3 三、典型例题1、求下列函数的定义域(1)()x y x cos 21log sin += (2)()4log sin 21++-=x x x x y (3)()12cos 32sin lg -+=x x y2、求下列函数的值域（1）x x x y cos 1sin 2sin -=（2）x x x x y cos sin cos sin ++=（3）x x y cos 23cos 2+⎪⎭⎫⎝⎛+=π3、函数()x x a a x f 2sin 2cos 221---=的最小值为()a g ()R a ∈．(1)求()a g ； (2)若()21=a g ，求a 及此时()x f 的最大值．4、已知31sin sin =+y x ，求x y 2cos sin -的最小值和最大值．四、强化训练1、函数x x y sin 2sin -=的值域为 （ ）A ．[]1,3--B ．[]3,1-C ．[]3,0D ．[]0,3-2、函数()()x x y sin 1log sin 1log 22-++=，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,6ππx 时的值域为（ ） A ．[]0,1- B ．(]0,1- C ．[)1,0 D ．[]1,03、设实数y x ,满足122=+y x ，则y x 43+的最大值为 。
锐角三角函数定义
锐角三角函数定义学案学习要求：理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值． 1．如图所示，B 、B ′是∠MAN 的AN 边上的任意两点，BC ⊥AM 于C 点，B ′C ′⊥AM 于C ′点，则△B 'AC ′∽______，从而ACB A BC C B )()(='=''，又可得 ①='''B A C B _____，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的____与_____的比是一个__值； ②=''B AC A ____，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比也是一个______； ③='''C A C B ____，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比还是一个_____．第1题图 第2题图2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______； ②斜边)(cos =A ＝______，斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，)(tan 的对边B B ∠=＝______．3.在Rt △ABC 中如果各边都扩大为原来的2倍，则锐角A 的正切值 A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.没有变化 D.不能确定4.已知∠A 为锐角，sin ∠A=2m-3,则m 的取值范围为 5．已知α为锐角，则m =sin α+cos α的值（ ）A ．m ＞1B ．m =1C ．m ＜1D ．m ≥16.已知∠A 为锐角，则 sin ∠A 与tan ∠A 的大小关系为 。
7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝1，b ＝3，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝30°，则∠B ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．10.（1）在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝31，则sin B ＝（2）在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝34，则cosA= . （3）在△ABC 中，∠C 为直角，如果sinA=34 , 那么tanB=_________在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，则tanB ＝_________ 11．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．12.（1）等腰三角形的两边长为5和11，则底角的余弦值为 。
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 第一课时 三角函数的定义与公式一学案 新人教A版必修4-新人
第一课时三角函数的定义与公式一预习课本P11～15，思考并完成以下问题(1)任意角的三角函数的定义是什么？(2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？(3)如何求三角函数的定义域？(4)如何判断三角函数值在各象限内的符号？(5)诱导公式一是什么？[新知初探]1．任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y 余弦x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x正切yx叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数[点睛] 三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．2．三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．诱导公式一即终边相同的角的同一三角函数值相等．[点睛] 诱导公式一的实质是：终边相同的角，其同名三角函数的值相等．因为这些角的终边都是同一条射线，根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α＝β＋720°，则cos α＝cos β.( )(2)若sin α＝sin β，则α＝β.( )(3)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0.( )答案：(1)√(2)×(3)√2．若sin α<0，tan α>0，则α在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C3．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎪⎫55，－255，则sin α＋cos α＝( )A ．55B ．－55C ．255D ．－255答案：B4．sin π3＝________，cos 3π4＝________.答案：32 －22三角函数的定义及应用[典例] 设a <0，角α的终边与单位圆的交点为P (－3a,4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( )A ．25 B ．－25C ．15D ．－15[解析] ∵点P 在单位圆上，则|OP |＝1. 即－3a2＋4a2＝1，解得a ＝±15.∵a <0，∴a ＝－15.∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.∴sin α＝－45，cos α＝35.∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25.[答案] A利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．法二：在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝yr，cosα＝xr.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[活学活用]1．如果α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α的值等于( ) A ．12 B ．－12C ．－32D ．－33解析：选C 由题意知P (1，－3)， 所以r ＝ 12＋－32＝2，所以sin α＝－32. 2．已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝512，求sin α＋cos α的值．解：根据三角函数的定义，tan α＝a 12＝512，∴a ＝5，∴P (12,5)．这时r ＝13，∴sin α＝513，cos α＝1213，从而sin α＋cos α＝1713.三角函数值符号的运用[典例] (1)( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)设α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．(2)∵α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z.∴k π＋π2<α2<k π＋3π4.∴α2在第二、四象限． 又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2<0.∴α2在第二象限．[答案] (1)D (2)B对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．[活学活用]1．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，则下列各组数中有意义且均为正值的是( ) A ．tan A 与cos B B ．cos B 与sin C C ．sin C 与tan AD ．tan A2与sin C解析：选D ∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴tan A2＞0；又∵0＜C ＜π，∴sin C ＞0.2．若角α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第________象限． 解析：∵α为第二象限角， ∴sin α＞0，cos α＜0.∴P (sin α，cos α)位于第四象限． 答案：四诱导公式一的应用[典例] 计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. [解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝22×32＋12×12 ＝64＋14 ＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤[活学活用] 求下列各式的值：(1)sin 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4；(2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°. 解：(1)sin 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝sin π3＋tan π4＝32＋1. (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°＝sin(2×360°＋90°)＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°) ＝sin 90°＋cos 0°－tan 45° ＝1＋1－1 ＝1.层级一 学业水平达标1．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32解析：选B 设P (x ，y )，∵角α＝2π3在第二象限，∴x ＝－12，y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝32， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α为( ) A ．1 B ．－1 C ．22D ．－22解析：选C ∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r ＝12＋－12＝2，∴cos α＝xr＝12＝22. 3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上三种情况都可能解析：选B ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)， ∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角．4．代数式sin 120°cos 210°的值为( ) A ．－34B ．34C ．－32D ．14解析：选A 利用三角函数定义易得sin 120°＝32， cos 210°＝－32，∴s in 120°cos 210°＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34，故选A. 5．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( ) A ．±15B ．±55C ．±255D ．±12解析：选C 在α的终边上任取一点(－1,2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝yr＝25＝25 5.或者取P (1，－2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝－25＝－25 5. 6．tan ⎝⎛⎭⎪⎫－17π3＝________. 解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案： 37．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α＝________.解析：∵tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12.∴r ＝ 25＋a 2＝13.∴sin α＝－1213，cos α＝513.∴sin α＋cos α＝－713.答案：－7138．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________.解析：当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0.综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：09．求下列三角函数值：(1)cos(－1 050°)；(2)tan 19π3；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4.解：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°，∴cos(－1 050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos 30°＝32. (2)∵19π3＝3×2π＋π3，∴tan 19π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2π＋π3＝tan π3＝ 3.(3)∵－31π4＝－4×2π＋π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4×2π＋π4＝sin π4＝22. 10．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上， ∴x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1， 解得x 1＝22或x 2＝－22. ∴cos α＝22或cos α＝－22， ∴tan α＝－1或tan α＝1.层级二 应试能力达标1．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3.2．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4；③tan 2，其中符号为负的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B ∵－1 000°＝－3×360°＋80°， ∴－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0； ∵－π4是第四象限角，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4>0； ∵2 rad ＝2×57°18′＝114°36′是第二象限角，∴tan 2<0.故选B. 3．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x的终边在第四象限．4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝( ) A ．8B ．－8C ．4D ．－4 解析：选B 由题意r ＝|OP |＝m 2＋－62＝m 2＋36，故cos α＝mm 2＋36＝－45，解得m ＝－8. 5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 解析：|OP |＝42＋y 2.根据任意角三角函数的定义得，y42＋y 2＝－ 255，解得y ＝±8.又∵sin θ＝－255＜0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8. 答案：－86．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________.解析：原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 答案：327．判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4. 解：(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°<0，cos 265°<0，∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角， ∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角． ∴sin 4<0，tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4>0， ∴sin 4tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4<0.8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限． (2)若角α的终边上一点是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，所以sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1， 得m ＝±45. 又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45， sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.。
5.2.1 第2课时 三角函数的概念(二) 学案
第2课时三角函数的概念(二)必备知识·探新知基础知识知识点1三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限__正__，三四象限__负__；余弦：一四象限__正__，二三象限__负__；正切：一三象限__正__，二四象限__负__.思考1：(1)三角函数在各象限的符号由什么决定？(2)三角函数值的符号有简记口诀吗？提示：(1)三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．(2)有；简记口诀为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．知识点2诱导公式(一)sin(α＋k·2π)＝__sin α__，cos(α＋k·2π)＝__cos α__，tan(α＋k·2π)＝__tan α__，其中k∈Z.思考2：根据三角函数的诱导公式一，终边相同的角的同一三角函数值有何关系？提示：终边相同的角，其同名三角函数的值相等．因为这些角的终边都是同一条射线，根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等．基础自测1．sin 256π等于( A )A ．12B ．32 C ．－12D ．－32[解析] 由诱导公式一及特殊角的三角函数知：sin 25π6＝sin(4π＋π6)＝sin π6＝12.2．若sin α>0，tan α<0，则α为( B ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin α>0知α终边在第一、二象限或在y 轴正半轴上；由tan α<0知α终边在第二、四象限．综上知α为第二象限角．3．在△ABC 中，若sin A ·cos B ·tan C <0，则△ABC 是( C ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形[解析] ∵A 、B 、C 是△ABC 的内角，∴sin A >0. ∵sin A ·cos B ·tan C <0，∴cos B ·tan C <0. ∴cos B 和tan C 中必有一个小于0. 即B 、C 中必有一个钝角，选C ． 4．确定下列各三角函数值的符号： (1)cos 260°；(2)sin(－π3)；(3)tan 10π3.[解析] (1)因为260°是第三象限角，所以cos 260°<0. (2)因为－π3是第四象限角，所以sin(－π3)<0.(3)因为10π3是第三象限角，所以tan 10π3>0.关键能力·攻重难题型探究题型一 三角函数在各象限的符号例1 (1)若cos α>0，sin α<0，则角α的终边在( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)确定下列各式的符号： ①sin105°·cos230°； ②sin7π8·tan 7π8. [分析] 先确定角所在象限，进而确定各式的符号．[解析] (1)由cos α>0，得角α的终边在第一象限或第四象限或x 轴的正半轴上．由sin α<0，得角α的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上．综上可得，角α的终边在第四象限．(2)①∵105°、230°分别为第二、第三象限角， ∴sin105°>0，cos230°<0.于是sin105°·cos230°<0. ②∵π2<7π8<π，∴7π8是第二象限角，则sin 7π8>0，tan 7π8<0. ∴sin7π8·tan 7π8<0. [归纳提升] (1)能准确判定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键；(2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律．【对点练习】❶ (1)判断下列各式的符号： ①sin3·cos4·tan5；②α是第二象限角，sin α·cos α.(2)若cos θ<0且sin θ>0，则θ2是第__ __象限角．( C )A ．一B ．三C ．一或三D ．任意象限角[解析] (1)①π2<3<π，π<4<3π2，3π2<5<2π，∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3·cos4·tan5>0. ②∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin αcos α<0.(2)由cos θ<0且sin θ>0，知θ是第二象限角，所以θ2是第一或三象限角．题型二 诱导公式一的应用例2 计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin(－11π6)＋cos 12π5tan 4π.[分析] 利用诱导公式一化简→求出三角函数值→代入求值[解析] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64.(2)原式＝sin(－2π＋π6)＋cos(2π＋2π5)tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.[归纳提升] 诱导公式一的应用思路1．诱导公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．2．利用诱导公式一可将负角或大于等于2π的角的三角函数化为0～2π之间的角的同名三角函数，实现了“负化正，大化小”．【对点练习】❷ 求下列各式的值． (1)cos 253π＋tan(－154π)；(2)sin810°＋tan765°－cos360°.[解析] (1)原式＝cos(8π＋π3)＋tan(－4π＋π4)＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)－cos(360°＋0°)＝1＋1－1＝1.误区警示对角的范围限定不准确例3 已知sin α2＝35，cos α2＝－45，试确定角α是第几象限的角．[错解] 因为sin α2＝35>0，cos α2＝－45<0，所以α2是第二象限的角，所以π2＋2k π<α2<π＋2k π(k∈Z )，从而π＋4k π<α<2π＋4k π(k ∈Z )，故角α是第三或第四象限的角或终边在y 轴的非正半轴上．[错因分析] 错解中扩大了角的取值范围而导致出错．[正解] 因为sin α2＝35>0，cos α2＝－45<0，所以α2是第二象限的角，所以π2＋2k π<α2<π＋2k π(k∈Z )．由sin α2＝35<22知3π4＋2k π<α2<π＋2k π(k ∈Z )，所以3π2＋4k π<α<2π＋4k π(k ∈Z )，故角α是第四象限的角．[方法点拨] 在确定α是第几象限的角时，一定要注意题目中的隐含条件，把取值范围限定在最小的区间，这样才可以准确得出α是第几象限角．学科素养分类讨论思想在化简三角函数式中的应用例4 设角α的终边不在坐标轴上，求函数y ＝sin α|sin α|＋cos α|cos α|＋tan α|tan α|的值域．[解析] 当α是第一象限角时，sin α，cos α，tan α均为正值， ∴sin α|sin α|＋cos α|cos α|＋tan α|tan α|＝3. 当α是第二象限角时，sin α为正值，cos α，tan α为负值， ∴sin α|sin α|＋cos α|cos α|＋tan α|tan α|＝－1. 当α是第三象限角时，sin α，cos α为负值，tan α为正值， ∴sin α|sin α|＋cos α|cos α|＋tan α|tan α|＝－1. 当α是第四象限角时，sin α，tan α为负值，cos α为正值， ∴sin α|sin α|＋cos α|cos α|＋tan α|tan α|＝－1. 综上可知，函数y 的值域为{－1,3}．[归纳提升] 对于多个三角函数符号的判断问题，要进行分类讨论．课堂检测·固双基1．sin(－103π)的值等于( C )A ．12B ．－12C ．32D ．－32[解析] sin(－103π)＝sin(－4π＋23π)＝sin 23π＝32，故选C ．2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则α的终边在( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] 因为点P 在第三象限，所以tan α<0，cos α<0，所以α为第二象限角． 3．若角α的终边过点(－5，－3)，则( C ) A ．sin αtan α>0 B ．cos αtan α>0 C ．sin αcos α>0D ．sin αcos α<0 [解析] ∵角α的终边过点(－5，－3)， ∴sin α<0，cos α<0，tan α>0， ∴sin αcos α>0，故选C ．4．计算：cos(－5π3)＋sin 13π6· tan 8π.[解析] 原式＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2π＋sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π6·tan(0＋8π)＝cos π3＋sin π6·tan 0 ＝12＋0＝12.。
《三角函数》教案设计
《三角函数》教案设计教案标题：探索三角函数的奥秘教学目标：知识与技能：使学生理解正弦、余弦、正切的基本概念及其在三角形中的应用。
学会利用三角函数解决与角度和边长相关的问题。
过程与方法：通过图形和实例，培养学生观察、归纳和推理的能力。
鼓励学生运用三角函数解决实际问题，提高分析和应用能力。
情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养探索精神。
使学生认识到数学在现实生活中的应用价值。
教学内容：三角函数的定义：正弦、余弦、正切。
三角函数的基本性质：周期性、奇偶性、值域等。
三角函数在解三角形中的应用。
教学方法：启发式教学：通过提问和讨论，引导学生自主发现三角函数的性质和规律。
图形辅助教学：利用三角函数图像，帮助学生直观理解函数变化。
案例分析：通过实际问题的分析，培养学生运用知识解决问题的能力。
教学过程：一、导入新课通过现实生活中的例子（如：波动、周期现象等）引出三角函数的概念。
二、新课讲解三角函数定义：结合单位圆和直角三角形，讲解正弦、余弦、正切的定义。
三角函数性质：通过图像和数学推导，探讨三角函数的周期性、奇偶性等性质。
应用举例：展示三角函数在解三角形、物理波动等领域的应用。
三、课堂练习学生独立完成练习题，教师巡视指导，及时解答疑问。
四、小结与作业小结本节课重点内容，布置相关练习题作为课后作业。
教学工具和材料：多媒体课件：包含三角函数图像、定义和性质等内容。
三角板、量角器等绘图工具：帮助学生绘制三角形，直观理解三角函数。
计算器：用于计算三角函数的值。
评估与反馈：通过课堂练习和课后作业，评估学生对三角函数的掌握情况。
收集学生的疑问和反馈，及时调整教学方法和策略。
拓展延伸：鼓励学生探索三角函数在其他领域（如信号处理、图形学等）的应用。
介绍三角函数的历史背景和发展，激发学生对数学文化的兴趣。
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学习目标：理解任意角的三角函数的定义，了解终边相同的角的同一三角函数值相等，掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的定义域，会运用任意角三角函数的定义求相关角的三角函数值。
课前预习
阅读课本P14—P17，填充下列空格 1.三角函数的定义（如图所示） 设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是()y x ,，它与原点的距离是r （=r ），如上图所示，那么 ①比值 叫做α的正弦，记作 ，即 ； ②比值 叫做α的余弦，记作 ，即 ； ③比值 叫做α的正切，记作 ，即 ； ④比值 叫做α的余切，记作 ，即 ； ⑤比值 叫做α的正割，记作 ，即 ； ⑥比值 叫做α的余割，记作 ，即 。
2.三角函数的定义域
3.三角函数在各象限的符号
合作探究展示
角的终边
x
y 0
αsin x
y 0
αcos
x
y
α
tan
探究一
.已知角α的终边经过点P(4,－3)，求sin α、cos α、tan α的值；
变式一 已知角α的终边经过点P(4a,－3a)(a ≠0)，求2sin α+cos α的值；
探究二 求下列各角的六个三角函数值：⑴0； ⑵π； ⑶2
3π。
求
43π和56
π角的正弦、余弦和正切值．
引申 填表：
探究三 确定下
列各三角函数值的符号： ⑴516cos π； ⑵⎪⎭
⎫ ⎝⎛-34sin π； ⑶21556tan '
已知点p （tan tan ,cos αα ）在第四象限，则角α 在第 象限
当堂练习
（一）选择题
1、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为 （ ） A ．－
55 B ．－ 5 C ．552 D ．2
5
2、α是第二象限角，P （x , 5 ） 为其终边上一点，且cos α=
4
2
x ，则sin α的值为 （ ） A ．
410 B ．46 C ．4
2 D ．－410 3.若0sin <α且0tan >α，则α是（ ）
A.第一象限的角
B.第二象限的角
C.第三象限的角
D.第四象限的角 4.设角θ终边上一点()()06,8<-a a a P ，则ααcos sin 2+的值为（ ）
A.
52 B.52或52- C.52
- D.与a 无关 二．填空题
5、角α的终边上有一点P （m ，5），且)0(,13
cos ≠=
m m
α，则sin α+cos α=______． 6、已知角θ的终边在直线y =
3
3
x 上，则sin θ= ；θtan = ． 7.已知角θ终边上一点()()03,≠x x P ，且x 10
10
cos =θ，求θθtan ,sin 的值。
课后巩固作业
1.下列各三角函数值：① 1125sin ；②12
37sin
1237tan ππ⋅；③4tan 4
sin ；④1cos 1sin -，其中为负值的个数是（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 2.点() 2008cos ,2008tan P 位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 3.若三角形的两内角βα,满足0cos sin <⋅βα，则此三角形必为（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形
4.角α的终边上存在一点⎪⎭
⎫
⎝⎛-m m P 53,54，且0tan cos <αα，求ααcos sin +的值。