理解锐角三角函数的定义
理解锐角三角函数的定义
1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；
2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 知识网络
考点一、锐角三角函数的概念
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；．要点诠释：
(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，
是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成
，
，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．，
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角函数的定义知：
当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值
(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若
则锐角．，
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
、、的值依次为
、、、、，而、、的值的顺序正好相反，的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)，
②余弦值随锐角度数的增大 (或减小)而减小(或增大)．
2.
锐角三角函数的定义
锐角三角函数的定义 锐角的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。下面是小编为大家整理的关于锐角三角函数的定义，希望对您有所帮助。欢迎大家阅读参考学习! 锐角三角函数的定义 锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。 正弦等于对边比斜边 余弦等于邻边比斜边 正切等于对边比邻边 余切等于邻边比对边 正割等于斜边比邻边 余割等于斜边比对边 正切与余切互为倒数 它的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
它有六种基本函数(初等基本表示)： 函数名正弦余弦正切余切正割余割 在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为，设OP=r，P点的坐标为(x，y)有 正弦函数sin=y/r 余弦函数cos=x/r 正切函数tan=y/x 余切函数cot=x/y 正割函数sec=r/x 余割函数csc=r/y (斜边为r，对边为y，邻边为x。) 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数： 正矢函数versin=1-cos 余矢函数covers=1-sin 同角三角函数间的关系： 平方关系： sin^2()+cos^2()=1 tan^2()+1=sec^2() cot^2()+1=csc^2() 积的关系： sin=tancos cos=cotsin
初中数学锐角三角函数定义大全
初中数学：锐角三角函数定义大全 锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c 余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c 正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b 余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a 正割（sec)等于斜边比邻边；secA=c/b 余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a 互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα. 平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα 倒数关系： tanα·cotα=1
sinα·cscα=1 cosα·secα=1 特殊的三角函数值 0°30°45°60°90° 01/2√2/2√3/21←sinA 1√3/2√2/21/20←cosA 0√3/31√3None←tanA None√31√3/30←cotA 诱导公式 sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosα tan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα
sin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα
锐角三角函数的认识
星火教育一对一辅导教案 学生姓名性别年级9年级学科数学 授课教师李碧瑶上课时间年月日第（）次课 共（）次课 课时：课时 教学课题锐角三角函数的认识 教学目标1.掌握锐角三角函数(sin A，cos A，tan A）的定义； 2.记牢30°、45°、60°角的三角函数值； 3.能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 4. 运用三角函数的关系化简或求值。 教学重点与难点1.理解正切、正弦和余弦的意义，并用它来表示两边的比. 2.添加辅助线解直角三角形 课后作业详见教案 提交时间 2014 年 12 月 12 日学科组长检查签名：
（ 注意咯，下面可是黄金部分！） 知识点1 正切 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．． ，记作tan A ，即的邻边 的对边 A A A ∠∠=tan . ①tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tan A 没有单位，它表示一个比值，其大小只与锐角A 的大小有关，与所在直角三角形的大小无关； ③tan A 不表示“tan ”乘以“A ”； ④任意锐角A ，都有tanA>0，且锐角的正切值随着角的度数的增大而增大； ⑤tan A 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tan A 的值越大． 【例1】在Rt △ABC 中，∠C=90o,AC=5,AB=13,求tanA 和tanB. 【变式】在Rt △ABC 中，∠C=90o,BC=3,tanA=12 5 ，求AC. ★坡度（或坡比） 定义：通常把坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比），用字母i 表示，即i =l h 坡度即为坡角α的正切值tan α，即i =tan α= l h （1）坡角与坡度是两个不同的概念，坡角是坡面与水平面的夹角，是个角度，单位是度. （2）坡度描述的是坡面的陡峭程度，当tan α的值越大时，坡度越大，坡面也就越陡. （3）坡度一般写成1:m 的形式（比例的前项为1），后项可以是小数. 锐角三角函数的认识 典例
5.1锐角三角函数的概念(2016年)
A B C D 图3 1. (2016 福建省龙岩市) 】．如图，若点A 的坐标为，则sin ∠1= ． 答案： 】．考点锐角三角函数的定义；坐标与图形性质． 分析根据勾股定理，可得OA 的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案． 解答解：如图，， 由勾股定理，得 OA= =2． sin ∠1= =， 故答案为： ． 20160927091226406001 5.1 锐角三角函数的概念 填空题 基础知识 2016/9/27 2. (2016 四川省乐山市) 】．如图3，在Rt ABC ?中，90BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，则下列结论不正确．．． 的是 ()A sin AD B AB = ()B sin AC B BC = ()C sin AD B AC = ()D sin CD B AC =
答案：】．答案：C 考点：考查正弦函数的概念。 解析：由正弦函数的定义，知：A、B正确，又∠CAD＝∠B， 所以，sin sin CD B CAD AC =∠=，D也正确，故不正确的是C。20160925143801781255 5.1 锐角三角函数的概念选择题双基简单应用2016/9/25 3. (2016 湖北省襄阳市) 】．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（） A． B． C． D． 答案：】． 考点勾股定理；锐角三角函数的定义． 分析直接根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理得出DC，AC的长，再利用锐角三角函数关系求出答案． 解答解：如图所示：连接DC， 由网格可得出∠CDA=90°， 则DC=，AC=， 故sinA===． 故选：B． 点评此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系，正确构造直角三角形是解题关键．
锐角三角函数教案
第一章 直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数（2） 一、知识点 1. 认识锐角三角函数——正弦、余弦 2. 用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比, 用正弦、余弦进行简单的计算. 二、教学目标 知识与技能 1. 能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系. 2. 能够用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算. 过程与方法 1. 经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. 情感态度与价值观 1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学. 2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯. 三、重点与难点 重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系. 难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题. 四、复习引入 设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），测量旗杆高度的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望. 五、探究新知 探究活动1（出示幻灯片4）：如图，请思考： （1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是 ； （2） 的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ； （3）如果改变B 2在斜边上的位置，则 的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ； 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________. B 1 B 2 A C 1 C 2
第1节 锐角三角函数的概念
第1节 锐角三角函数的概 念 ※知识要点 1．正切的概念 如图，在Rt △ABC 中，我们把锐角A 的 与 的 叫做角A 的正切， 记作： = = ． 注意：(1)表示锐角三角函数时，用顶点字母表示角时，角的符号“∠”可以 ，其他情况，不可 ； (2)正切的实质是 ， 大小， 单位； (3)正切的几何意义是反映斜边 的大小； (4)正切的大小只与 有关，相等的两个角的正切值 ． 2．与坡有关的概念 (1)坡的构成： 、 、 ； (2)坡角： 与 所成的角； (3)坡度：又称 ，是斜坡上两点间 与水平距离的比，常用 表示， 即坡角的 值． 注：坡角越大，坡度 ，坡面 ． 3．正弦与余弦的概念 (1)正弦：如上图，在Rt △ABC 中，我们把锐角A 的 与 的 叫做角A 的正弦，记作： = = ． (2)余弦：如上图，在Rt △ABC 中，我们把锐角A 的 与 的 叫做角A 的余弦，记作： = = ． 注：互余关系：若A +B =90°，则有下列关系成立： ※题型讲练 【例1】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5， 求tanB 和tan ∠BCD 的值． 变式训练1： 1．如图，E 是BC 上一点，∠B ＝∠C =90°，连接AE 、DE 且 AE ⊥DE ，若tanA =3 4 ． (1)求tanD ； (2)若BC =AE =10，求DC 的长． 【例2】如图，一段河坝的横断面为梯形ABCD ，根据图中的数据，回答下列问题(单位：m )： (1)求坡面AB 的坡度； (2)求出坝底宽AD ． 变式训练2： 1．如图是拦水坝的横断面，坡AB 长65米，坡度为1∶2，另一侧堤坡DE 长8米． (1)求坡AB 的水平距离AC 的长； (2)求堤坡DE 的坡度． 【例3】如图，Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，cosB ＝45 ． (1)求sinB 和tanB 的值； (2)求AC 和BC 的长度． 变式训练3： 1．在△ABC 中，∠C ＝90°，若tanA =2，AC =4，求cosB 、 sinB 、sinA 、cosA 、tanB 的值并思考它们之间的关系． 【例4】如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，sinA =1 3 ． (1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tanB ． ※课后练习 1．△ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，AB ＝5，则tanB =( ) A ．45 B ．35 C ．34 D ．43 2．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sinA ＝3 5 ，则cosB 的值是( ) A ．45 B ．35 C ．34 D ．43 3．如图是教学用的直角三角板，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°， tan ∠BAC ＝3 3 ，则边BC 的长为( ) A ．303cm B ．203cm C ．103cm D ．53cm 4．如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1:3，堤高BC ＝5 m ，则坡面AB 的长度是( ) A ．10 m B ．103m C ．15 m D ．53m 5．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是( ) A ． 31010 B ．12 C ．13 D ．1010 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，sinA ＝25，则BC 的长 为 ，tanA ＝ ． 7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD = ． 8．如图，是拦水坝的横断面，斜坡AB =125米，BD =10米，AE =38米，若斜面AB 坡度为1∶2，则坡DE 的坡度为 ． 9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，现给出下列结论： ①sinA ＝32； ②cosB ＝12； ③tanA ＝3 3 ； ④tanB ＝ 3 其中正确的是 ．(填序号) 10．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12，tanA ＝3 4 ． 求AC 、AB 和cosB ． 11．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处，若AB ＝4，BC ＝5，求tan ∠AFE 和sin ∠BCE 的值． 12．如图是一个大坝的横断面，它是一个梯形ABCD ，其中坝顶AB ＝3米，经测量背水坡AD ＝20米，坝高10米，迎水坡BC 的坡度i ＝1：0.6，求坡AD 的坡度和坝底宽CD ． 13．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积 第3题图 第5题图 第4题图 第8题图 第7题图
理解锐角三角函数的定义
理解锐角三角函数的定义 1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 知识网络 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；．要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系， 是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 ， ，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．， (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值 (1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若 则锐角．，
8.锐角三角函数的定义
8.锐角三角函数的定义 (20070911190543578657)第1题. （2007甘肃陇南非课改，3分） 如图，P 是∠α的边OA 上一点， 且点P 的坐标为（3，4）， 则sin α= ( ) A ． 35 B ． 4 5 C ． 34 D ． 43 答案：B (20070911190544421885)第2题. （2007福建厦门课改，4分）已知在Rt ABC △中，90C ∠= ，直角边AC 是直角边BC 的2倍，则sin A ∠的值是 ． (2007091119054531242)第3题. （2007甘肃兰州课改，4分）把Rt ABC △各边的长度都扩大3倍得Rt A B C '''△，那么锐角A ，A '的余弦值的关系为（ ） Ａ．cos cos A A '= Ｂ．cos 3cos A A '= Ｃ．3cos cos A A '= Ｄ．不能确定 答案：Ａ (20070911190546140878)第4题. （2007甘肃兰州课改，4分）下列函数中，自变量x 的取值范围是2x >的函数是（ ） Ａ．y = Ｂ．y = Ｃ．y = Ｄ．y = 答案：Ｃ (20070911190546843991)第5题. （2007广西河池课改，2分）已知在Rt ABC △中，∠C 为直角，AC = 4cm ，BC = 3cm ，sin A = ． 答案：5 3 (20070911190547625356)第6题. （2007海南课改，2分）在Rt ABC △中， 90=∠C ，如果2=AB ，1=BC ，那么B sin 的值是（ ） A ． 2 1 B ．23 C ．33 D ．3 答案：B (20070911190548859809)第7题. （2007山西太原课改，3分）在正方形网格中，α∠的位置如图所示，则sin α的值为（ ） α
锐角三角函数知识点及试题(含答案).
锐角三角函数 一.知识框架 二.知识概念 1.Rt △ABC 中 (1∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦,记作sinA = ∠A 的对边 斜边 (2∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦,记作cosA = ∠A 的邻边斜边 (3∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切,记作tanA = ∠A 的对边
∠A 的邻边 (4∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切,记作cota = ∠A 的邻边∠A 的对边 2.特殊值的三角函数: 锐角三角函数(1 基础扫描 1. 求出下图中sinD ,sinE 的值. 2.把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′ C ′,那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为( . A . sinA =sinA ′ B . sinA =2sinA ′ C . 2sinA =sinA ′ D . 不能确定 3.在Rt △ABC 中,∠C=90°,若AB =5,AC =4,则sinB 的值是( A . 35
B . 45 C . 34 D . 4 3 4. 如图,△ABC 中,AB=25,BC=7,CA=24.求sinA 的值. 25 24 7C B A 5. 计算:sin30°·sin 60°+sin45°. 能力拓展 6. 如图,B 是线段AC 的中点,过点C 的直线l 与AC 成60°的角,在直线上取一点P ,连接AP 、PB ,使sin ∠APB=1 2,则满足条件的点P 的个数是( A 1个 B 2个 C 3个
D 不存在 7. 如图,△ABC 中,∠A 是锐角,求证:1 sin 2 ABC S AB AC A ?= ?? 8.等腰△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,求sinA 、sinB . l C B A (第7题图 85 F E D 创新学习 9. 如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则sin∠BAC等于( A. B C.
锐角三角函数定义
一锐角三角函数定义（2011.1.24） 学习要求： 理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值． 一、填空题 1．如图所示，B 、B ′是∠MAN 的AN 边上的任意两点，BC ⊥AM 于C 点，B ′C ′⊥AM 于C ′点，则△B 'AC ′∽______，从而 AC B A B C C B ) ()(= '=''，又可得 ① ='' 'B A C B ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比是一个___值； ②='' B A C A ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比也是一个______； ③=' ' 'C A C B ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比还是一个_____． 第1题图 第2题图 2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． ①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______； ②斜边 ) (cos =A ＝______， 斜边) ( cos = B ＝______； ③的邻边 A A ∠= ) (tan ＝______， ) (tan 的对边 B B ∠=＝______． 3．因为对于锐角α 的每一个确定的值，sin α 、cos α 、tan α 分别都有____________与它______，所以 sin α 、cos α 、tan α 都是____________．又称为α 的____________． 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝1，b ＝3，则c ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝30°，则∠B ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 7．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3． 求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．
理解锐角三角函数概念应注意的问题
茨竹学校陈兴超在09年12月25日三、四片区数学教研会上，有老师曾提出一个问题： 书写三角函数时，有时加角的符号，有时没有加角的符号，那么该怎样判定加与不加呢？笔者带着这个问题，查阅了有关资料，结合教学实践，作了一些探究。现就理解锐角三角函数概念应注意的问题作如下例举，供同行们参考. 1、初中阶段的所说的锐角三角函数是锐角的正弦、余弦、正切、余切四种函数的统称. 2、锐角三角函数表示的是两个正数的比值，因而，锐角三角函数没有单位. 3、理清锐角三角函数中的自变量与因变量 对于上述四种函数来说，以∠A为例，自变量都是锐角A，因变量就是锐角A的四种三角函数。这说明，当锐角A的大小不变时，锐角A的正弦值、余弦值、正切值、余切值也将保持不变. 4、锐角三角函数中自变量的取值范围 锐角三角函数的自变量是锐角，所以，自变量∠A的范围就是0°＜∠A＜90°. 5、理解锐角三角函数的整体性 sinA是∠A的正弦函数，cosA是∠A的余弦函数，tanA是∠A的正切函数，cotA是∠A的余切函数，其中，sin A、cos A、tan A、cotA分别是四个不同的整体，不能错误地认为是sin、cos、tan、cot分别与A的乘积，否则，就没有意义了. 6、在书写锐角三角函数时，要因角的不同表示方法而采用不同的书写方式，不能随意改变。具体要求如下：
（1）用顶点字母法表示锐角，在书写锐角三角函数时，可以省略角的符号“∠”。例如∠B的锐角三角函数，可以分别记作： sin B、cos B、tan B、cot B. （2）用希腊字母法表示锐角，在书写锐角三角函数时，可以省略角的符号“∠”。例如∠β的锐角三角函数，可以分别记作： sinβ、cosβ、tanβ、cotβ. （3）用三个英文字母法表示锐角，在书写锐角三角函数时，不可以省略角的符号“∠”。 例如∠ABC的锐角三角函数，可以分别记作： sin∠ ABC、cos∠ ABC、tan∠ ABC、cot∠ ABC. （4）用数字法表示锐角，在书写锐角三角函数时，不可以省略角的符号“∠”。例如∠1的锐角三角函数，可以分别记作： sin∠ 1、cos∠
锐角三角函数—知识讲解
锐角三角函数—知识讲解 责编：康红梅 【学习目标】 1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义； 2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 【要点梳理】 要点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边． 锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A a A c ∠= =的对边斜边； 锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A b A c ∠= =的邻边斜边； 锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边. 同理sin B b B c ∠= =的对边斜边；cos B a B c ∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边． 要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 C a b
，， ，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成 “tanAEF”；另外，、
锐角三角函数的概念
锐角三角函数的概念 教学目标： 1、 理解锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的表示法； 2、 能根据锐角三角函数的定义计算一个锐角的各个三角函数的值； 3、 掌握直角三角形中的锐角三角函数的表示： sinA= 斜边的对边 A ∠， cosA=斜边的邻边A ∠，tanA=的邻边的对边A A ∠∠，cotA=的对边 的邻边A A ∠∠ 4、掌握锐角三角函数的取值范围； 5、通过经历三角函数概念的形成过程，培养学生从特殊到一般及数形结合的思想方法． 教学重点： 锐角三角函数相关定义的理解及根据定义计算锐角三角函数的值． 教学难点： 锐角三角函数概念的形成． 教学过程： 一、创设情境： 鞋跟多高合适？ 美国人体工程学研究人员卡特·克雷加文调查发现，70％以上的女性喜欢穿鞋跟高度为6至7厘米左右的高跟鞋．但专家认为穿6厘米以上的高跟鞋腿肚、背部等处的肌肉非常容易疲劳． 据研究，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11度左右时，人脚的感觉最舒适．假 设某成年人脚前掌到脚后跟长为15厘米，不难算出鞋跟在3厘米左右高度为最佳． 问：你知道专家是怎样计算的吗？ 显然，高跟鞋的鞋底、鞋跟与地面围城了一个直角三角形，回顾直角三角形的已学知识，引出课题． 二、探索新知： 1、下面我们一起来探索一下． 实践一：作一个30°的∠A ，在角的边上任意取一点B ，作BC ⊥AC 于点C ．量出AB ，AC ，BC 的长度（精确到1mm ）． A C B
⑴计算 AB BC ，AB AC ，AC BC ，BC AC 的值，并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较． ∠A=30°时 AB BC AB AC AC BC BC AC 学生1结果 学生2结果 学生3结果 学生4结果 ⑵将你所取的AB 的值和你的同伴比较． 实践二：作一个50°的∠A ，在角的边上任意取一点B ，作BC ⊥AC 于点C ．量出AB ，AC ，BC 的长度（精确到1mm ）． （1）计算 AB BC ，AB AC ，AC BC ，BC AC 的值（结果保留2个有效数字），并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较． ∠A=50°时 AB BC AB AC AC BC BC AC 学生1结果 学生2结果 学生3结果 学生4结果 （2）将你所取的AB 的值和你的同伴比较． 2、经过实践一和二进行猜测 猜测一：当∠A 不变时，四个比值与B 在AM 边上的位置有无关系？ 猜测二：当∠A 的大小改变时，相应的四个比值会改变吗？ 3、理论推理 观察图中的Rt △11C AB 、Rt △22C AB 和Rt △33C AB ，易知 Rt △11C AB ∽Rt △_________∽Rt △________，所以 1 1 1AC C B ＝_________＝____________． 4、归纳总结得到新知： （1）在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的．
锐角三角函数的知识点
锐角三角函数的知识点 一、选择题 1．如图，ABC ?是一张顶角是120?的三角形纸片，,6AB AC BC ==现将ABC ?折叠，使点B 与点A 重合，折痕DE ，则DE 的长为（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】 作AH ⊥BC 于H ，根据等腰三角形的性质求出BH ，根据翻折变换的性质求出BD ，根据正切的定义解答即可． 【详解】 解：作AH ⊥BC 于H ， ∵AB=AC ，AH ⊥BC ， BH=12 BC=3， ∵∠BAC=120°，AB=AC ， ∴∠B=30°， ∴AB=30BH cos ? 3 由翻折变换的性质可知，3 ∴DE=BD ?tan30°=1， 故选：A ． 【点睛】 此题考查翻折变换的性质、勾股定理的应用，解题关键在于掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 2．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°，A 、B 、C 都是格点，则tan ABC ∠=（ ）
A ．39 B ．3 C ．33 D ．32 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用EC tan ABC BE ∠= 得出答案． 【详解】 解:连接DC ，交AB 于点E ． 由题意可得:∠AFC=30°, DC ⊥AF, 设EC=x,则EF=x 3x tan 30? , ∴BF AF 2EF 23x === EC 3tan ABC BE 23x 3x 33= ===+∠, 故选:A 【点睛】 此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF 的长是解题关键． 3．如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A ，B 在同一水平面上）．为了测量A ，B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地起飞，垂直上升1000米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则AB 两地之间的距离约为（ ）
初中锐角三角函数教案
锐角三角函数 中考主要考查点： 1． 锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值； 2． 解直角三角形；解直角三角形的应用； 3． 直角三角形的边角关系的应用 知识点1. 直角三角形中边与角的关系 中，∠C=90° （1）边的关系： （2）角的关系： （3）边与角的关系： sinA = cosA= tanA= cotA= sinA ＝cosB ＝ a c ， cosA ＝sinB ＝ b c ，tanA ＝＝a b ， tanB ＝b a , cotA=b a 知识点2. 特殊角的三角函数值 特殊角30°，45°，60°的三角函数值列表如下： 斜边 的对边 A ∠斜边 的邻边A ∠邻边的对边A ∠ 对边的邻边A ∠
知识点3. 三角函数的增减性 已知∠A 为锐角，sinA 随着角度的增大而 增大 ，tanA 随着角度的增大而 增大 ， cosA 随着角度的增大而 减小 。 例1. 已知∠A 为锐角，且cosA≤ 2 1 ，那么（ ） （A ） 0°＜A≤60°（B ）60°≤A ＜90°（C ）0°＜A≤30°（D ）30°≤A ＜90° 知识点4. 同角三角函数与互为余角的三角函数之间的关系。 1. 同角三角函数的关系 1cos sin 22=+A A A A A cos sin tan = 1c o t t a n =?A A 2. 互为余角的三角函数之间的关系90=+B A B A B A sin cos cos sin == ?=47cos 43sin 1tan tan =?B A 知识点5. 直角三角形的解法 直角三角形中各元素间的关系是解直角三角形的依据，因此，解直角三角形的关键是 正确选择直角三角形的边角关系式，使两个已知元素（其中至少有一个元素是边）. 重要类型: 1.已知一边一角求其它。 2.已知两边求其它。 例2. 在中，∠C=90°，，∠A －∠B=30°，试求的值。 A C B
怎样理解锐角三角函数的概念
怎样理解锐角三角函数的概念 锐角三角函数的定义的给出是依据这样一个基本事实：在直角三角形中，当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值是一个固定的值． 关于这点，我们看图1，图中的直角三角形AB1C1，AB2C2，AB3C3，…都有一个相等的锐角A，即锐角A取一个固定值．如图所示，许许多多直角三角形中相等的那个锐角叠合在一起，并使一条直角边落在同一条直线上，那么斜边必然都落在另一条直线上．不难看出， B1C1∥B2C2∥B3C3∥…， ∵△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽…， 因此，在这些直角三角形中，∠A的对边与斜边的比值是一个固定的值．根据同样道理，由“相似形”知识可以知道，在这些直角三角形中，∠A的对边与邻边的比值，∠A的邻边与斜边的比值都分别是某个固定的值．这样在△ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA；锐角A邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tgA；锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作ctgA，于是我们得到锐角A的四个锐角三角函数，即 深刻理解锐角三角函数定义，要注意以下几点：
(1)角A的锐角三角函数值与三角形的大小，即边的长短无关． 只要角A一旦确定，四个比值就随之而定；角A变化时．四个比值对应变化．这正体现了函数的特点，锐角三角函数也是一种函数，这里角A是自变量，对于每一个确定的角A，上面四个比值都有唯一确定的值与之对应，因此，锐角三角函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数． (2)准确理解锐角三角函数定义，要熟记每个锐角三角函数是怎样规定的，是角的哪条边与哪条边的比；在具体应用定义时，要注意分清图形中，哪条边是角的对边，哪条边是角的邻边，哪条边是斜边． [例] 求出图2中sinD，tgE的值． (3)“sinA”等是一个完整的符号．
任意角三角函数的概念解读
“任意角三角函数的概念”教学设计 陶维林（江苏南京师范大学附属中学） 一．内容和内容解析 三角函数是一个重要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型．它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的图象分析和式子变形，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来．它在物理学、天文学、测量学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学中其他学科的基础． 角的概念已经由锐角扩展到0°~360°内的角，再扩充到任意角，相应地，锐角三角函数概念也必须有所扩充．任意角三角函数概念的出现是角的概念扩充的必然结果． 比较锐角三角函数与任意角三角函数这两个概念，共同点是，它们都是“比值”，不同点是锐角三角函数是“线段长度的比值”，而任意角三角函数是直角坐标系中“坐标与长度的比值，或者是坐标的比值”．正是由于“比值”这一与在角的终边上所取点的位置无关的特点，因此，可以用角的终边与单位圆的交点的坐标（或坐标的比值）来表示任意角的三角函数，这是概念的核心．这样定义，不仅简化了任意角三角函数的表示，也为后续研究它的性质带来了方便． 从锐角三角函数到任意角三角函数类似于从自然数到整数扩充的过程，产生了“符号问题”．因此，学习任意角三角函数可以与锐角三角函数相类比，借助锐角三角函数的概念建立起任意角三角函数的概念． 任意角三角函数概念的重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义．它们是本节，乃至本章的基本概念，是学习其他与三角函数有关内容的基础，具有根本的重要的作用．解决这一重点的关键，是学会用直角坐标系中，角的终边上的点的坐标来表示三角函数．因为正切函数并不独立，最主要的是正弦函数与余弦函数． 任意角三角函数自然具有函数的一切特征，有它的定义域，对应法则以及值域．任意角三角函数的定义域是实数集（或它的子集），这是因为，在建立弧度制以后，角的集合与实数集合间建立了一一对应关系，从这个意义上说，“角是实数”，三角函数是定义在实数集上的函数．各种不同的三角函数定义了不同的对应法则，因而可能有不同的定义域与值域． 任意角三角函数概念是核心概念，它是解决一切三角函数问题的基点．无论是研究三角函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值，还是同角三角函数间的关系，以及三角函数的性质，等等，都具有基本的重要的意义． 在建立任意角三角函数这个定义的过程中，学生可以感受到数与形结合，以及类比、运动、变化、对应等数学思想方法． 二．目标和目标解析 本节课的目标是，理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义． 学生已经学习过锐角三角函数sinα，cosα，tanα，了解三角函数是直角三角形中边长的比值，这个比值仅与锐角的大小有关，是随着锐角取值的变化而变化的，其值是惟一确定的，等函数的要素．这是任意角三角函数概念的“生长点”． 理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）定义的关键是由锐角三角函数这个线段长度的比值
锐角三角函数的定义教学反思
锐角三角函数的定义教学反思 篇一:锐角三角函数教学反思 锐角三角函数教学反思 龙潭镇一中黄海东 锐角三角函数是定义在直角三角形中的研究边角之间的关系。而锐角三角函数值实质上就是边与边之间的一种比值，它能沟通了边与角之间的联系，为解直角三角形提供了角边关系的根据。 本节课重难点就是对比值的理解，可以从以下几方面着手研究:(1)讨论角的任意性(从特殊到一般)，(2)运用相似三角形性质，让学生领悟到:在直角三角形中，对于固定角，无论直角三角形大小怎么样改变，都影响不到其对边与斜边的比值。 采用激趣设疑方法，从修建扬水站铺设水管问题入手，让学生参与问题讨论，唤起学生学习兴趣和求知欲。再根据从特殊到一般的学习方法，利用特殊角来探究锐角的三角函数，通画图，找出边的长度、角的度数，计算相关方面进行探究，学生发现:特殊角的三角函数值可以用勾股定理求出相关边的长度，然后就问:三角函数与直角三角形的边、角 有什么关系，三角函数与三角形的形状大小有关系吗,整堂课都在愉快的氛围中进行。多数学生都能积极动脑积极参与思考。教学中，要关注学生的情感态度，对那些积极动脑，热情参与的同学，都给予了鼓励和表扬，促使学生的情感和兴趣始终保持最佳状态，从而保证施教活动的有效性。 在以后教学中，还要多注意以下两点: (1)要多花点时间来研究如何调控课堂气氛。学生的注意力是比较容易分散的，兴趣也比较容易转移，因此，越是生动形象的语言，越是宽松活泼的气氛，越
容易被他们接受。要不断摸索，不断实践找到合适的教学风格，每一种个性教学都是教学魅力和人格魅力的展现。 (2)要学会换位思考，站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节，上课前多揣摩。让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，学会真正把课堂还给学生，让学生来做课堂的主角。 (3)下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步。只有这样，才能真正提高课堂教学效率。 篇二:锐角三角函数教学反思 锐角三角函数教学反思 直角三角形中边角之间的关系，是现实生产生活中应用最广泛的关系之一。锐角三角函数在解决现实问题中有着重 要的作用，使学生正确理解和掌握三角函数的定义，才能正确理解和掌握直角三角形中的边和角的相互关系，进而才能去解直角三角形，因此三角函数的概念既是本章的重点又是理解本章知识的关键。学生在前面已经学习过与本章知识相联系的知识，如勾股定理，直角三角形的两锐角互余，相似三角形的对应边成比例等，一定程度地认识了直角三角形的边、角的关系，这为本章学习奠定了基础。 本节课采用问题引入法，从新闻题材中大家都感兴趣的话题入手，让学生主动参与学习活动。交流合作，学生们表现得非常积极，从讨论、猜想、测量、计算各个方面进行探究，学生发现问题,提出猜想,操作论证,理论推导,得出结论，教师适时提出疑问，引导学生思考，进一步深入地去认识三角函数;得出正切的概念，提出两互余锐角正切值关系问题把本课的内容拓展。至此，每个学生在课堂的表现明显改变，表现得积极、主动、问题意识强。通过这一阶段的课堂教学，在合作探究中培养学生的问题意识，同学们的表现有了明显的转变，课堂上有问题能及时提出
5.1锐角三角函数的概念(2012年)
1. (2012 广西河池市) 如图，在1010的正方形网格中，ABC △的顶点和线段EF 的端点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：tan A ， （结果保留根号）； (2)请你在图中找出一点D （仅一个点即可），连结DE 、DF ，使以D 、E 、F 为顶点的三角形与ABC △全等，并加以证明. 答案：（1）1tan 2A ，25AC （2）（说明：D 的位置有四处，分别是图中的1234D D D D 、、、．此处画出D 在1D 处的位置及证明，D 在其它位置的画法及证明参照此法给分） EFD △的位置如图所示． AC
证明：∵224225FD AC 222222DE CB 2EF BA ∴EFD ≌BAC （说明：其他证法参照此法给分） 20120815120356750359 5.1 锐角三角函数的概念 复合题 数学思考 2012-08-15 2. (2012 青海省) 如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD=5，AC=6，则tan B 的值是（ ） A. 45 B. 35 C. 34 D. 43 答案：C 20120815113501593972 5.1 锐角三角函数的概念 选择题 基本技能 2012-08-15 3. (2012 山东省枣庄市) 如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）
A．1 2 B． 3 2 C．3 5 D． 4 5 答案：B 20120811154008640463 5.1 锐角三角函数的概念选择题双基简单应用2012-08-11 4. (2012 宁夏回族自治区) 在△ABC中∠C=90°，AB=5，BC=4，则t a n A=_________. 答案： 3 4 20120720095206812653 5.1 锐角三角函数的概念填空题基础知识2012-07-20 5. (2012 山东省济南市) 如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若ABC △ 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ACB ∠的值为（）． （A）1 3 （B） 1 2 （C） 2 2 （D）3