锐角三角函数的定义
第24讲 锐角三角函数
考点三
三角函数之间的关系
1．同角三角函数之间的关系
sin2α＋cos2α＝
1
；tan
α＝csions
α α.
2．互余两角的三角函数之间的关系
若∠A＋∠B＝90°，则 sin A＝cos B，
sin B＝cos A，
tan A·tan B＝1．
3．锐角三角函数的增减性 当 α 为锐角时，0＜sin α＜1，0＜cos α＜1，且 sin α，tan α 的值都随 α 的增大而 增大 ；cos α 的值随 α 的增大而 减小 ． 温馨提示： 这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同时还 要注意它们的变形公式．
Rt△ABD 中，cos A＝AD＝2 2＝2 5.故选 D．
【答案】D
AB 10 5
3．把△ABC 三边的长度都扩大到原来的 3 倍，则
锐角 A 的正弦值( A )
A．不变
B．缩小为原来的13
C．扩大到原来的 3 倍 D．不能确定
4．在锐角三角形 ABC 中，若sin A－ 23＋(1－
tan B)2＝0，则∠C 的度数是( C )
＝ 5
5＋1.故选 C． 4
【答案】C
5．(2016·福州)如图，以 O 为圆心，半径为 1 的弧 交坐标轴于 A，B 两点，P 是 AB 上一点(不与 A，B 重合)，连接 OP，设∠POB＝α，则点 P 的坐标是( )
A．(sin α，sin α) B．(cos α，cos α) C．(cos α，sin α) D．(sin α，cos α)
考点三
三 角函数的增减性
例 3 如图，若锐角
△ABC 内接于⊙O，点 D 在
⊙O 外(与点 C 在 AB 同侧)，
锐角三角函数的定义
锐角三角函数是三角函数的一种，它们通过弧度制或角度制来定义，其中角度制是最常用的，用θ表示角度。
锐角三角函数是指在锐角和限制条件下的三角函数。
锐角三角函数的定义可以表示为：
sinθ=y/r，cosθ=x/r，tanθ=y/x，
其中，θ表示的是锐角的角度，r表示半径，x和y分别表示锐角的横轴和纵轴的长度。
锐角三角函数的定义是以弧度制和角度制为基础，用正弦、余弦和正切函数来表示，即sinθ、cosθ和tanθ，它们用来描述在锐角和限制条件下的三角函数。
在数学中，这些函数可以用来计算三角形的边长、角度等，是广泛应用的三角函数。
中考数学三角函数公式汇总与解析
中考数学三角函数公式汇总与解析1.锐角三角函数锐角三角函数定义:锐角角A的正弦(si n),余弦(c o s)和正切(t a n),余切(c o t)以及正割(se c)，余割(c sc)都叫做角A的锐角三角函数。
正弦(si n)：对边比斜边，即si n A=a/c余弦(c o s)：邻边比斜边，即c o sA=b/c正切(t a n)：对边比邻边，即t a n A=a/b余切(c o t)：邻边比对边，即c o t A=b/a正割(se c)：斜边比邻边，即se c A=c/b余割(c sc)：斜边比对边，即c s c A=c/a2.3.互余角的关系s i n(π-α)=c o sα,c o s(π-α)=si nα,t a n(π-α)=c o tα,c o t(π-α)=t a nα.4.平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)5.积的关系s i nα=t a nα·c o sαc o sα=c o tα·si nαt a nα=si nα·se cαc o tα=c o sα·c s cαs e cα=t a nα·c scαc s cα=se cα·c o tα6.倒数关系t a nα·c o tα=1s i nα·c scα=1c o sα·se cα=17.诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：s i n(2kπ+α)=si nαk∈zc o s(2kπ+α)=c o sαk∈zt a n(2kπ+α)=t a nαk∈zc o t(2kπ+α)=c o tαk∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：s i n(π+α)=-si nαc o s(π+α)=-c o sαt a n(π+α)=t a nα8.两角和差公式(1)si n(A+B)=si n A c o sB+c o sA si n B(2)si n(A-B)=si n A c o s B-si n B c o sA(3)c o s(A+B)=c o sA c o sB-si n A si n B(4)c o s(A-B)=c o sA c o sB+si n A si n B(5)t a n(A+B)=(t a n A+t a n B)/(1-t a n A t a n B)(6)t a n(A-B)=(t a n A-t a n B)/(1+t a n A t a n B)(7)c o t(A+B)=(c o t A c o t B-1)/(c o t B+c o t A)(8)c o t(A-B)=(c o t A c o t B+1)/(c o t B-c o t A)除了以上常考的三角函数公式外，掌握下面半角公式，积化和差和万能公式有利于快速解决选择题，达到事半功倍的效果哦！1.半角公式注：正负由α/2所在的象限决定。
中考复习： 锐角三角函数
中考复习：锐角三角函数知识梳理一、锐角三角函数（正弦、余弦、正切）1、定义：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sinc ）， 记作sin A ，即sin A aA c∠==的对边斜边。
把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine ），记作cos A ，即；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent ），记作tan A ，即。
锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数（trigonometric function of acute angle ）。
当锐角A 的大小确定时，∠A 的对边与斜边的比（正弦）、∠A 的邻边与斜边的比（余弦）、∠A 的对边与邻边的比（正切）分别是确定的。
2、增减性：在0°到90°之间，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，余弦随着角度的增大而减小。
3、取值范围：当∠A 为锐角时，三角函数的取值范围是：0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0。
4、互余两角的函数关系：如果两角互余，则其中一有的正弦等于另一角的余弦，即：若α是一个锐角，则sin α=cos （90°-α），cos α=sin （90°-α）。
5、正、余弦的平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。
二、300、450、600的正弦值、余弦值和正切值如下表：三、解直角三角形bcos c A A ∠==的邻边斜边atan bA A A ∠=∠的对边＝的邻边C ∠A 的邻边b∠A 的对边a在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。
1、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，设三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c （以下字母同），则解直角三角形的主要依据是：（1）边角之间的关系： sinA ＝cosB ＝a c ， cosA ＝sinB ＝bc，tanA ＝cotB ＝a b ，cotA ＝tanB ＝b a。
锐角三角函数基本概念
锐角三角函数基本概念三角函数是数学中的重要概念，用于描述角度与边长之间的关系。
锐角三角函数是指在单位圆上定义的三角函数，它们是我们在解决三角形相关问题时经常使用的基本工具。
本文将介绍锐角三角函数的基本概念，并探讨它们的性质和用法。
一、正弦函数（sin）正弦函数是最基本的锐角三角函数之一，它表示一个角的对边与斜边之比。
在单位圆上，设角A对应的点为P(x,y)，则正弦函数可以表示为：sinA = y正弦函数的定义域是所有锐角，值域是[-1,1]。
在解决三角形问题时，我们可以利用正弦函数来求解缺失的边长或角度。
二、余弦函数（cos）余弦函数是另一个重要的锐角三角函数，它表示一个角的邻边与斜边之比。
在单位圆上，设角A对应的点为P(x,y)，则余弦函数可以表示为：cosA = x与正弦函数类似，余弦函数的定义域是所有锐角，值域也是[-1,1]。
在实际问题中，我们可以通过余弦函数来计算未知边长或角度。
三、正切函数（tan）正切函数是通过正弦函数和余弦函数的比值而得到的，它表示一个角的对边与邻边之比。
在单位圆上，设角A对应的点为P(x,y)，则正切函数可以表示为：tanA = sinA / cosA = y / x正切函数的定义域是所有锐角，但值域却没有限制。
正切函数在解决问题时，常用于求解未知边长或角度。
四、割函数（sec）、余割函数（csc）和余切函数（cot）割函数（sec）、余割函数（csc）和余切函数（cot）是正弦函数、余弦函数和正切函数的倒数。
它们的定义如下：secA = 1 / cosA, cscA = 1 / sinA, cotA = 1 / tanA这三个函数在解决三角形问题时也经常使用，用于求解缺失的边长或角度。
五、三角恒等式锐角三角函数之间存在一些重要的恒等式，它们可以帮助我们简化计算或推导出其他有用的关系。
以下是一些常用的锐角三角函数恒等式：1. 余弦函数与正弦函数的平方和等于1：cos^2 A + sin^2 A = 12. 正切函数与割函数的乘积等于1：tanA · secA = 13. 正弦函数与余割函数的乘积等于1：sinA · cscA = 1除了这些基本的锐角三角函数，还有其他一些相关的三角函数，如反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
锐角三角函数sin cos tan
锐角三角函数sin cos tan
我们要讨论锐角三角函数，包括正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）。
首先，我们需要理解这些函数的基本定义和性质。
锐角三角函数是定义在锐角上的函数，这些函数与三角形的边和角有关。
1. 正弦（sin）: 正弦函数是定义为直角三角形中锐角的对边与斜边的比值。
2. 余弦（cos）: 余弦函数是定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值。
3. 正切（tan）: 正切函数是定义为直角三角形中锐角的对边与邻边的比值。
这些函数有一些重要的性质，例如：
1. 它们的值都在-1到1之间，这是因为在一个锐角三角形中，对边和邻边
的长度永远不会超过斜边的长度。
2. 正弦、余弦和正切函数在锐角范围内是单调的，这意味着随着角度的增加，它们的值也会增加。
3. 正弦和余弦函数在45度时相等（sin(45°) = cos(45°)），这是因为在一
个等腰直角三角形中，对边和邻边的长度是相等的。
4. 正切函数是无界的，这意味着随着角度的增加，正切函数的值可以无限增加或无限减少。
这些性质对于理解锐角三角函数非常重要，它们可以帮助我们解决各种与三角学相关的问题。
锐角三角函数
锐角三角函数作为数学中的一个重要概念，锐角三角函数是我们学习三角函数的关键部分之一。
在几何学和三角学中，锐角指的是小于90度的角。
而锐角三角函数是以锐角作为自变量的三角函数。
一、正弦函数（sine function）在锐角三角函数中，正弦函数是最常见也是最重要的一个函数。
正弦函数可以表示为：sin(θ) = 对边/斜边其中，θ代表锐角的度数，对边代表锐角的对边长度，斜边代表锐角的斜边长度。
二、余弦函数（cosine function）余弦函数是锐角三角函数中的另一个核心函数，表示为：cos(θ) = 临边/斜边同样，θ代表锐角的度数，临边代表锐角的临边长度，斜边代表锐角的斜边长度。
三、正切函数（tangent function）正切函数是另一个重要的锐角三角函数，表达式为：tan(θ) = 对边/临边在这个公式中，θ代表锐角的度数，对边代表锐角的对边长度，临边代表锐角的临边长度。
四、余切函数（cotangent function）余切函数是正切函数的倒数，可以表示为：cot(θ) = 临边/对边θ代表锐角的度数，临边代表锐角的临边长度，对边代表锐角的对边长度。
五、正割函数（secant function）正割函数是余弦函数的倒数，可以表示为：sec(θ) = 斜边/临边θ代表锐角的度数，斜边代表锐角的斜边长度，临边代表锐角的临边长度。
六、余割函数（cosecant function）余割函数是正弦函数的倒数，可以表示为：csc(θ) = 斜边/对边在这个公式中，θ代表锐角的度数，斜边代表锐角的斜边长度，对边代表锐角的对边长度。
锐角三角函数在数学和实际应用中具有广泛的重要性。
无论是在几何学、物理学还是工程学中，锐角三角函数都扮演着重要的角色。
它们可以帮助我们计算和解决各种三角形和锐角相关问题。
在实际应用中，锐角三角函数还广泛应用于测量和建模等领域。
总结起来，锐角三角函数是数学中不可或缺的一部分。
通过掌握和理解正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数，我们可以更好地理解和解决与锐角有关的各种数学和实际问题。
锐角三角函数
初中数学锐角三角函数初中知识点一、锐角三角函数的定义1.勾股定理：直角三角形两直角边a .b 的平方和等于斜边c 的平方。
222c b a =+ 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B )：定 义表达式 取值范围 关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin1sin 0<<A(∠A 为锐角)B A cos sin = B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=coscbA =cos1cos 0<<A(∠A 为锐角)正切的邻边的对边A tan ∠∠=A Aba A =tan 0tan >A(∠A 为锐角)B A cot tan = B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数) 1cot tan =⋅A Atan α＝sin cos αα，cot α＝cos sin αα余切的对边的邻边A A A ∠∠=cotab A =cot 0cot >A(∠A 为锐角)注意：（1）正弦.余弦.正切.余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；（2）sinA 不是sin 与A 的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。
“sinA ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；（3）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。
例题:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，a =1，b =2，则cosA =________ ，tanA =_________．2. 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AB =5，BC =3，则sinA =________ ，tanA =_________．3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角， ∠A =300，b =4，则a =__________，c =__________4.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝31，则sinB ＝（ ） A ．1010B ．23 C ．34D ．310105.在△ABC 中，∠C =90°，a, b, c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列各式错误的是（ ）A .a =c ·sinAB ．b =c ·cosBC ．b =a ·tanBD ．a =b ·tanA6.在△ABC 中，∠C ＝90°，(1)已知：c ＝ 83，∠A ＝60°，求∠B .a .b ． (2) 已知：a ＝36， ∠A ＝30°，求∠B .b .c .7.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan 的值是（ ）A ．35B ．43 C ．34D ．45练习:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，若sinA =53，则cosB =_________． 2.已知cosA =23，且∠B =900-∠A ，则sinB =__________． 3.∠A 为锐角，已知sinA =135，那么cos (900-A)=___________ ． 4.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC =4，BC =3，则sinA =（ ） A ．43 B ．34 C ． 53 D ．54 5.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA =22，则cosB 的值是( ) A ．21 B ．23 C ．1D ．22知识点二、特殊角所对的三角函数值1. 0°.30°.45°.60°.90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0° 30°45°60°90° αsin0 2122 231 αcos1 23 22210 αtan 0 331 3- αcot-3133注意：记忆特殊角的三角函数值，可用下述方法：0°.30°.45°.60°.90°的正弦值分别是02.12.22.32.42，而它们的余弦值分别是42.32.22.12.02；30°.45°.60°的正切值分别是13.22.31，而它们的余切值分别是31.22.13。
28.1锐角三角函数
感悟新知
知3－练
例 7 (1)已知α=45°，求2sin2α－2 2 sinα·tanα+tan2α；
(2)计算
1 4
tan2
45＋
sin
1 2 30
－3 cos2
30－
sin cos
45 45
.
解题秘方：用“代入法”求值.
感悟新知
解:(1)原式 2 sin－tan 2
2
(4)sin2A 表示sin A·sin A=(sin A)2，不能写成sin A2；cos2A 表示cos A·cos A=(cos A)2，不能写成cos A2；tan2A 表示 tan A·tan A=(tan A)2，不能写成tan A2.
感悟新知
特别提醒
知1－讲
1. 正弦、余弦、正切都是一个比值，是没有单位的数
AB 3k 3k
AB 3k 3
tan B AD 2 2k 2 2. BD k
感悟新知
知1－练
3-1. 将一副三角尺(Rt△ ABC 与Rt△BDC)按如图所示的方 式摆放在一起，连接AD， 试求∠ ADB 的正切值.
感悟新知
解：过点 A 作 AM⊥DB，交 DB 的延长线于点 M. 知1－练
3
sin A－sin B的值.
知2－练
，求
解：∵sinA＋sinB＝43，∴(sinA＋sinB)2＝196.
∴sin2A＋sin2B＋2sinA·sinB＝196.
∵∠A＋∠B＝180°－∠C＝90°，∴sinB＝cosA，
感悟新知
∴sin2A＋cos2A＋2sinA·sinB＝196， ∴1＋2sinA·sinB＝196，∴2sinA·sinB＝79， ∴sin2A＋sin2B－2sinA·sinB＝1－79＝29， ∴(sinA－sinB)2＝29，∴sinA－sinB＝± 32.
锐角三角函数
锐角三角函数介绍在三角函数中，我们经常会遇到锐角三角函数。
所谓锐角，是指小于90度的角度。
锐角三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数在数学中表示为sinθ，余弦函数表示为cosθ，正切函数表示为tanθ。
在本文中，我们将重点介绍锐角三角函数的定义、性质和常用公式。
正弦函数（sinθ）正弦函数是一个周期性函数，其定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]。
数学上可以通过单位圆来理解正弦函数。
单位圆可以被看作是一个半径为1的圆，可以让我们更直观地理解正弦函数。
对于给定的角度θ，正弦函数的值等于单位圆上对应角度处点的y坐标。
正弦函数具有以下性质：1.正弦函数是一个奇函数，即sinθ = -sin(-θ)。
2.正弦函数在0度到90度之间是递增的，即sinθ在(0,90)区间内是单调递增的。
3.正弦函数在90度到180度之间是递减的，即sinθ在(90,180)区间内是单调递减的。
常用公式锐角三角函数有许多与角度相关的常用公式，下面是一些与正弦函数相关的常用公式：1.正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1，即sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1。
2.正弦函数的和差公式：sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ。
3.正弦函数的二倍角公式：sin(2θ) = 2sinθ·cosθ。
4.正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / 2), 其中±表示与θ的象限有关的正负号。
余弦函数（cosθ）余弦函数也是一个周期性函数，其定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]。
与正弦函数类似，我们可以通过单位圆来理解余弦函数。
对于给定的角度θ，余弦函数的值等于单位圆上对应角度处点的x坐标。
余弦函数具有以下性质：1.余弦函数是一个偶函数，即cosθ = cos(-θ)。
2.余弦函数在0度到90度之间是递减的，即cosθ在(0,90)区间内是单调递减的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
锐角三角函数的定义
锐角的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
下面是小编为大家整理的关于锐角三角函数的定义，希望对您有所帮助。
欢迎大家阅读参考学习!
锐角三角函数的定义
锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。
正弦等于对边比斜边
余弦等于邻边比斜边
正切等于对边比邻边
余切等于邻边比对边
正割等于斜边比邻边
余割等于斜边比对边
正切与余切互为倒数
它的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
它有六种基本函数(初等基本表示)：
函数名正弦余弦正切余切正割余割
在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为，设OP=r，P点的坐标为(x，y)有
正弦函数sin=y/r
余弦函数cos=x/r
正切函数tan=y/x
余切函数cot=x/y
正割函数sec=r/x
余割函数csc=r/y
(斜边为r，对边为y，邻边为x。
)
以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：
正矢函数versin=1-cos
余矢函数covers=1-sin
同角三角函数间的关系：
平方关系：
sin^2()+cos^2()=1
tan^2()+1=sec^2()
cot^2()+1=csc^2()
积的关系：
sin=tancos
cos=cotsin
tan=sinsec
cot=coscsc
sec=tancsc
csc=seccot
倒数关系：
tancot=1
sincsc=1
cossec=1
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
余切等于邻边比对边
互余角的三角函数间的关系：
sin(90-)=cos,cos(90-)=sin,
tan(90-)=cot,cot(90-)=tan.。