高中数学三角函数模型的简单应用学案苏教版必修
苏教版高中数学必修四《三角函数的应用》学案设计(无答案)
图11.3.4 三角函数的应用【学习目标】1．会根据函数图象写出解析式2．会用三角函数的图象与性质解决一些实际问题 3．体会三角函数是描述周期现象的重要模型．【重点与难点】1.待定系数法求三角函数解析式2.建立三角函数的模型，并用待定系数法求三角函数解析式【预学单】 知识回顾1. 函数1sin 2y x =图像上每一点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移2π个单位，求所得函数图像的解析式.2．函数sin(),(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><的最小值是-2，其图象相邻最高点与最低点横坐标差是3π，且图象过点(0,1)，求函数解析式.【研学单】主题一、如何由图观察得到三角函数的各系数？ 如何确定初相？例1．如图1，某地一天从6到14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)＋b ．（0,0>>ωA ） （1）求这一天该时段的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式．练习：已知函数)20,0)(sin()(πϕωϕω<<>+=x A x f 的部分图像如图所示．则函数f （x ）的解析式为 ．主题二、已知y=A sin(ωx＋ )＋b模型，用待定系数法确定其中参数例2．在图2中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运到到距离平衡位置最远处时开始计时．（1）求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系；（2）求该物体在t＝5s时的位置．图2主题三、利用数学知识确定模型－圆周运动例3．如图：一个半径为4m的水轮，水轮圆心O恰在水面上，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，当水轮上点P在A点时开始计时。
试将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数;【变式】将圆心O上移2米，当点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，其余不变，试求解：（1）将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数;(2) 点P第一次达到最高点大约需要多长时间？例4．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案设计
三角函数模型的简单应用教案设计设计理念：《普通高中数学课程标准》明确提出了提高学生的知识和技能、重视学生的学习过程和方法，培养学生的情感态度、价值观的三维目标。
为此，结合本节课的教学内容和本校学生的实际情况，教学过程中注重过程、方法，引导学生不断提出问题、研究问题，并解决问题。
重视互动交流，在教学活动中渗透情感态度与价值观。
一、教材分析内容简介：三角函数模型的简单应用的第一课时。
1、教材的地位和作用本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简单应用，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力。
2、学情分析学生已经学习了三角函数的图像和性质，具有用数学知识解决这类实际问题的能力；根据我校学生的数学基础，我在讲解时放慢步骤，对重点环节重点指导，带领学生积极参与并让学生多思考，充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用。
3、教学重点与难点基于上述分析，并结合实际情况，我确定本节课的重点、难点：教学重点——用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题．教学难点——从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．二、目标分析本课教学我以学生的认知水平和生活实际，以学生内化新知为落脚点，在此基础上，我确立了本科的三维教学目标：知识目标——学生能够从实际问题中发现周期性变化的规律，把发现的规律抽象为恰当的三角模型，并解决相关的实际问题．能力目标——让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力。
情感目标——让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用.三、教法及学法分析新课程理念下的教师要善于做学生学习的组织者、合作者、引导者，学生闪光点的发现者以及向学生学习的学习着。
教学方法——启发式、讲练相结合式学习方法——小组自主探究、合作交流式教学手段——为使教法和学法更完美地融为一体，我借助多媒体辅助教学，提高课堂效率。
21.苏教版·高中数学必修Ⅳ教案_§1.3.4 三角函数的应用(学案1)
图 3 图 2 图1§1.3.4 三角函数的应用(一) 王建宏 课标重难点1.会用三角函数模型解决一些简单的具有周期性的实际问题．2.进一步掌握函数模型的应用，培养独立思考的能力，增强应用数学的意识，学会将实际问题抽象为数学问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力．3.体验三角函数也是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，感受三角函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．课前练习1. 若钟摆的高度h (mm )与时间t (s )之间的函数关系如图1所示．试写出该函数的解析式 .2.如图2，某地一天从6时至14时的温度变化曲线,试写出该函数的解析式 . 题型探究 例1如图2，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++. （Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式.(Ⅲ) 求一天中温度超过250C 的时间有多长?练习1. 若钟摆的高度h (mm )与时间t (s )之间的函数关系如图1所示．求t ＝l0(s )时钟摆的高度．例2 在图3中,点O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的 方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3cm ,周期为3s ,且物体向右 运动到距平衡位置最远处时开始计时.(Ⅰ)求物体对平衡位置的位移()x cm 和时间()t s 之间的函数关系; (Ⅱ)求该物体在5t s =时的位置.练习2.在图3中, 点O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为5cm ,周期为4s ,且物体向右运动到平衡位置时开始计时.(Ⅰ) 求物体对平衡位置的位移()x cm 和时间()t s 之间的函数关系;(Ⅱ)求该物体在7.5t s =时的位置.O图5例3 一半径为4m 的水轮如图4所示,水轮圆心O 距水面2m,已水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间.(Ⅰ)将点P 距离水面的高度z (m )表示为时间t (s )的函数;(Ⅱ)点P 第一次到达最高点大约要多少时间?练习3. 如图5，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题： （Ⅰ）求出你与地面的距离y 与时间t 的函数关系式；（Ⅱ）当你第4次距离地面60.5米时，用了多少时间？（Ⅲ）当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问你的朋友登上摩天轮多少时间后，你和你的朋友与地面的距离之差最大？并求出最大值.课堂演练1. y =x ·cos x 的部分图象是如右图所示的 ( )2.下列四个结论中正确的个数是 ( )①y =sin|x |的图象关于原点对称 ②y =sin （|x |+2）的图象是把y =sin|x |的图象向左平移2个单位得到的 ③y =sin （x +2）的图象是把y =sin x 的图象向左平移2个单位而得到的④y =sin （|x |+2）的图象是由y =sin （x +2）（x ≥0）的图象及y =－sin （x －2）（x <0）的图象组成的A.1B.2C.3D.43.关于函数f (x )＝4sin(2x ＋3π)(x ∈R)，有下列命题: ①由f (1x )＝f (2x )＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可以改写成y ＝4cos(2x －6π)； ③y ＝f (x )的图像关于点(－6π，0)对称； ④y ＝f (x )的图像关于直线x ＝－6π对称. 其中正确的命题序号是____ _____.(注:把你认为正确的命题序号都填上) 4.估计某一天的白昼时间的小时数D （t ）可由下式计算：D （t ）=2k sin π180（t －60）+12,其中t 表示某天的序号，t =0表示1月1日，依此类推，常数k 与某地所处的纬度有关.（Ⅰ）如在波士顿，k =6，试画出函数当0≤t ≤360时的图象；（Ⅱ）在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天最短？（Ⅲ）估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时？。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 1.3.4 三角函数的应用》6
三角函数教学设计【教学分析】1、周期现象是自然界中一类根本的现象，而三角函数是用来刻画周期现象变化的最重要，最根本的数学模型。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，其本身都是最根本的周期，很多周期现象变化规律都可以由他们直接描述。
2、初中讲授的三角函数是静态的，主要讨论直角三角形的边角关系，通过边的比值反响角的大小，而不是从函数的角度来认识；而高中阶段三角函数的学习是特殊函数的研究，初中，高中两个阶段三角函数的学习角度不同。
3、随着对三角函数讨论的深入，使得三角函数成为分析学的重要组成局部，三角函数成了独立的数学分支。
4、角度制和弧度制都是测量角的根本方法，他们是对同一个量——“角〞的不同度量方法。
【内容分析】“三角函数〞这一章的教育价值主要表达在以下几个方面：1 用运动变化的观点了解角的概念的推广是解决现实生活和生产中实际问题的需要，通过对各种角的表示法的训练，提高分析、抽象、概括的能力。
2 正确理解三角函数是以实数为自变量的函数，通过研究三角函数的性质和图象，进一步体会数形结合的思想方法。
3 通过图象变换的学习，培养运用数形结合思想分析、理解问题的能力；培养利用联系、变化的辨证唯物主义观点去分析问题的能力。
4 结合有关内容〔如角度与弧度的换算，角求它的三角函数值，三角函数值求角〕进行算法的根本训练，鼓励学生运用计算器，计算机求函数值，作函数图象，探索和解决问题。
5 通过对角的概念的推广，培养学生学习数学的兴趣；理解并认识角度制与弧度制是辨证统一的，不是孤立的、割裂的。
6 通过对同角三角函数的根本关系的学习，揭示事物之间普遍联系的规律，培养辨证唯物主义思想。
7 通过图象变换的学习，培养从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而到达从感性认识到理性认识的飞跃。
【根本要求】〔1〕任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。
〔2〕三角函数①借助单位圆理解任意角三角函数〔正弦、余弦、正切〕的定义。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 1.3.4 三角函数的应用》1
浅谈高中数学建模核心素养的培养-----以“三角函数的应用”教学为例数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。
——恩格斯。
21世纪中叶以来，数学自身发生了巨大的变化。
一方面，数学因其日益公理化、形式化而忽视与现实生活的密切联系。
另一方面，因数学应用的发展，数学几乎渗透到每一个学科领域及人们生活的方方面面。
割断数学与现实生活的联系的教学内容、教学方式，不仅会极大地降低学生数学学习的热情与动力，而且会造成学生对数学学科的错误理解，更无法让学生感受到数学在日常生活中的作用。
因此，必须沟通生活中的数学与教科书上的数学之间的联系，使数学与生活融为一体。
数学建模就很好的搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。
《普通高中数学课程标准2021年版》指出：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法建构模型解决问题的过程。
数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。
数学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。
数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。
从核心素养的角度认识数学建模，这中间有三层意思：一是对现实问题的数学抽象，二是用数学语言表达问题，三是用数学方法构建模型解决问题。
通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神。
数学建模的学业质量被划分成递进的三个水平，一了解熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述，了解数学模型中的参数、结论的实际含义。
知道数学建模的过程包括：提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、完善模型。
能够在熟悉的实际情境中，模仿学过的数学建模过程解决问题。
高中数学 第一章 三角函数 1.3.4 三角函数的应用学案 苏教版必修4
1.3.4 三角函数的应用[学习目标] 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．[知识链接]1．数学模型是什么？什么是数学模型的方法？答 简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．数学模型的方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法． 2．上述的数学模型建立的一般程序是什么？ 答 解决问题的一般程序是：(1)审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系； (2)建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型； (3)求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论； (4)还原：把数学结论还原为实际问题的解答． [预习导引]1．三角函数的周期性y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|； y ＝A cos(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|； y ＝A tan(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝π|ω|. 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的性质 (1)y max ＝A ＋k ，y min ＝－A ＋k . (2)A ＝y max －y min2，k ＝y max ＋y min2.(3)ω可由ω＝2πT确定，其中周期T 可观察图象获得．(4)由ωx 1＋φ＝0，ωx 2＋φ＝π2，ωx 3＋φ＝π，ωx 4＋φ＝32π，ωx 5＋φ＝2π中的一个确定φ的值． 3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.要点一 三角函数图象的应用例1 作出函数y ＝|cos x |，x ∈R 的图象，判断它的奇偶性并写出其周期和单调区间． 解 y ＝|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k πk ∈Z ，－cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k πk ∈Z .作出函数y ＝cos x 的图象后，将x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，如图：由图可知，y ＝|cos x |是偶函数，T ＝π，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，π2＋k π(k ∈Z )．规律方法 翻折法作函数图象(1)要得到y ＝|f (x )|的图象，只需将y ＝f (x )的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到上方，即“下翻上”．(2)要得到y ＝f (|x |)的图象，只需将y ＝f (x )的图象在y 轴右边的部分沿y 轴翻折到左边，即“右翻左”，同时保留右边的部分．跟踪演练1 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．解 (1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0.于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.要点二 应用函数模型解题例2 已知电流I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωt ＋φ)．(1)如图所示的是I ＝A sin(ωt ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 解 (1)由图知A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180， 则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1180＋1900＝175. ∴ω＝2πT＝150π.又当t ＝1180时，I ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150π·1180＋φ＝0， 而|φ|<π2，∴φ＝π6.故所求的解析式为I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150πt ＋π6.(2)依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150(ω>0)，∴ω≥300π>942，又ω∈N *， 故所求最小正整数ω＝943.规律方法 例题中的函数模型已经给出，观察图象和利用待定系数法可以求出解析式中的未知参数，从而确定函数解析式．此类问题解题关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径．跟踪演练2 弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t (s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离h (cm)由下面的函数关系式表示：h ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π4.(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置； (3)经过多长时间小球往返振动一次？ (4)每秒内小球能往返振动多少次？ 解 (1)令t ＝0，得h ＝3sin π4＝322，所以开始振动的位置为⎝⎛⎭⎪⎫0，322.(2)由题意知，当h ＝3时，t ＝π8，即最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3；当h ＝－3时，t ＝5π8，即最低点为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8，－3.(3)T ＝2π2＝π≈3.14，即每经过约3.14秒小球往返振动一次．(4)f ＝1T≈0.318，即每秒内小球往返振动约0.318次．要点三 构建函数模型解题例 3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y (米)随着时间t (0≤t ≤24，单位：小时)而周期性变化，每天各时刻t 的浪高数据的平均值如下表：t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)1.01.41.00.61.01.40.90.51.0(1)(2)观察图，从y ＝at ＋b ，y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，y ＝A cos(ωt ＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．解 (1)描出所给点如图所示：(2)由(1)知选择y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b 较合适． 令A >0，ω>0，|φ|<π.由图知，A ＝0.4，b ＝1，T ＝12，所以ω＝2πT ＝π6.把t ＝0，y ＝1代入y ＝0.4sin(π6t ＋φ)＋1，得φ＝0.故所求拟合模型的解析式为y ＝0.4sin π6t ＋1(0≤t ≤24)．(3)由y ＝0.4sin π6t ＋1≥0.8，得sin π6t ≥－12，则－π6＋2k π≤πt 6≤7π6＋2k π(k ∈Z )，即12k －1≤t ≤12k ＋7(k ∈Z )， 注意到t ∈[0,24]，所以0≤t ≤7，或11≤t ≤19，或23≤t ≤24.再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．规律方法 数据拟合问题实质上是根据题目提供的数据画出简图，求相关三角函数的解析式进而研究实际问题．在求解具体问题时需弄清A ，ω，φ的具体含义，只有把握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化． 处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤： 1．根据原始数据给出散点图．2．通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线． 3．根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．4．利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据． 跟踪演练3 某港口水深y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t (小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0＋B 的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y ＝A sin ωt ＋B 的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT ＝π6.又y min ＝7，y max ＝13，∴A ＝12(y max －y min )＝3，B ＝12(y max ＋y min )＝10.∴函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10 (0≤t ≤24)．(2)由题意，得水深y ≥4.5＋7， 即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1，∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时.1．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内有________个根． 答案 22．如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是________．答案 ③解析 d ＝f (l )＝2sin l2.3．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为__________________．答案 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7解析 由条件可知⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝9，－A ＋B ＝5，∴B ＝7，A ＝2.又T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝π4， 令3×π4＋φ＝π2，∴φ＝－π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7.4．如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处．这时此人所转过的角为2π30 t ＝π15t ，故在t s 时，此人相对于地面的高度为h ＝10sin π15t ＋12(t ≥0)．(2)由10sin π15t ＋12≥17，得sin π15t ≥12，则52≤t ≤252.故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m.1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用． 2．三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．一、基础达标1．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t ＝0时，点A 的坐标是(12，32)，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是________． 答案 [0,1]和[7,12]解析 ∵T ＝12，∴ω＝2π12＝π6，从而设y 关于t 的函数为y ＝sin(π6t ＋φ)．又∵t ＝0时，y ＝32，∴可取φ＝π3，∴y ＝sin(π6t ＋π3)， ∴当2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，即12k －5≤t ≤12k ＋1(k ∈Z )时，函数递增．∵0≤t ≤12，∴函数的单调递增区间为[0,1]和[7,12]．2．一物体相对于某一固定位置的位移y (cm)和时间t (s)之间的一组对应值如下表所示：t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y－4.0－2.80.02.84.02.80.0－2.8－4.0答案 y ＝－4.0cos 52πt解析 设y ＝A sin(ωx ＋φ)，则A ＝4.0，ω＝2πT ＝2π0.8＝5π2，又t ＝0时，y ＝－4.0，∴－4.0＝4.0sin φ，∴可取φ＝－π2，∴y ＝4.0sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52πt －π2，即y ＝－4.0cos 52πt .3．下图显示相对于平均海平面的某海弯的水面高度h (米)在某天24小时的变化情况，则水面高度h 关于从夜间零时开始的小时数t 的函数关系式为________．答案 h ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π⎝⎛⎭⎪⎫或h ＝－6sin π6t4．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y1215.112.19.111.914.911.98.912.1下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是________． ①y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]；②y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]； ③y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24]；④y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π2，t ∈[0,24]．答案 ①解析 在给定的四个选项①②③④中我们不妨代入t ＝0及t ＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是①.5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，34内，则正整数m 的值是________． 答案 26,27,28解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34，∴8π<m <9π，且m ∈Z ，∴m ＝26,27,28.6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积．已知函数y ＝sin nx 在[0，πn ]上的面积的2n(n ∈N *)，则(1)函数y ＝sin 3x 在[0，2π3]上的面积为________；(2)函数y ＝sin(3x －π)＋1在[π3，4π3]上的面积为________．答案 (1)43 (2)π＋23解析 (1)取n ＝3，由已知，函数y ＝sin 3x 在[0，π3]上的面积为23.∵函数y ＝sin 3x 的周期为2π3，∴函数y ＝sin 3x 在(π3，2π3)上的面积也是23，∴函数y ＝sin 3x 在[0，2π3]上的面积为43.(2)y ＝sin(3x －π)＋1＝－sin 3x ＋1，作这个函数在区间[π3，4π3]上的图象如图所示：由(1)知S 1＝S 2＝S 3＝23，直线x ＝π3，x ＝4π3，y ＝1及x 轴所围成的矩形面积为π.将S 2割下补在S 3处，则图中阴影部分的面积为π＋23，∴函数y ＝sin(3x －π)＋1在[π3，4π3]上的面积为π＋23.7．如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b . (1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．解 (1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.(2)观察图象可知从8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象， ∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40.∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40. 将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．二、能力提升8．已知A 1，A 2，…A n 为凸多边形的内角，且lgsin A 1＋lgsin A 2＋……＋lgsin A n ＝0，则这个多边形是________． 答案 矩形解析 由题意，得sin A 1·sin A 2·…·sin A n ＝1， ∴sin A 1＝sin A 2＝…＝sin A n ＝1， ∴A 1＝A 2＝…＝A n ＝90°.根据多边形的内角和得n ×90°＝(n －2)×180°，解得n ＝4.9．已知某种交流电电流I (A)随时间t (秒)的变化规律可以用函数I ＝52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt －π2表示，t ∈[0，＋∞)，则这种交流电电流在0.5秒内往复运行________次． 答案 25解析 周期T ＝2π100π＝150(秒)，从而频率为每秒50次，0.5秒往复运行25次．10．电流强度I (安培)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)的图象如图所示，则t ＝7120秒时的电流强度为______．答案 0解析 根据图象得A ＝10，由⎩⎪⎨⎪⎧1300ω＋φ＝π2，4300ω＋φ＝32π，∴⎩⎪⎨⎪⎧ω＝100π，φ＝π6，∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6.当t ＝7120秒时，I ＝10sin 6π＝0.11．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝__________，其中t ∈[0,60]． 答案 10sin πt60解析 将解析式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)的形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10，可得ω＝π60，所以d ＝10sin πt60.12．如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间． (1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6. 则OP 在时间t (s)内所转过的角为π6t .由题意可知水轮逆时针转动， 得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋2.当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t －π6＝1，令π6t －π6＝π2，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s. 三、探究与创新13．已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 解 (1)由表中数据知周期T ＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5. 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0. ∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题知，当y >1时才可对冲浪者开放 ∴12cos π6t ＋1>1， ∴cos π6t >0，∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，k ∈Z即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z .①∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2， 得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午3：00.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 1.3.4 三角函数的应用》8
第32课三角函数综合问题一、考纲要求1能灵活运用三角公式进行化简、求值、求范围；2能综合应用代数中的函数、方程、不等式等知识与方法解决与三角相关的问题。
二、知识梳理1．在中，，，且，，，那么 = ，= ．【教学建议】此题是课本习题的改编，考查三角函数与向量简单的综合应用。
教学时先让学生回忆向量的数量积公式，强调向量夹角必须共起点，求出后，利用余弦定理求出长。
2．函数，假设是函数图像的一条对称轴，那么的值为．【教学建议】此题主要考查三角函数的图像与性质，及三角恒等变形。
教学时，先让学生求出的对称轴，带入表达式，转化为三角求值题，此题要注意分类讨论，不能漏解。
三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。
上课前抽查批阅局部同学的解答，了解学生的思路及主要错误。
2、结合课件点评。
必要时可借助实物投影，有针对性地投影几位学生的解答过程。
题1：函数的最大值为___________【点评】解析式有何特点？平方展开后出现一个定值，另一个表达式怎么处理？，有没有定义域的范围限制？题2：假设，那么．答案为：【点评】此题主要考察根本关系式、切化弦的根本思路。
注意学生盲目去解，或者计算中不及时发现可用公式。
如，左边，右边都直接用公式。
题3：角构成公差为的等差数列，假设，那么答案为：问题：探求的根本思路是什么？题4：在锐角三角形中，假设，那么实数的取值范围是答案为：【点评】指导学生认真读题。
引导学生探究锐角三角形角的正切值的范围。
问题1：是否需要向“弦〞上转化？问题2：都大于零，能够保证三角形是锐角三角形吗？如果不能，要研究什么？3、诊断题归纳1．研究三角函数的性质，通常将函数解析式化成的形式，如题3和题4 2．会应用代数中的函数、不等式等知识与方法解决与三角相关的问题，同时要注意角的范围对问题的限制。
四、范例导析例1、例1在中，假设〔1〕求角；〔2〕假设的最大边长为，求最小边的长【教学处理】第〔1〕问，学生自主完成。
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案及教案说明
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案及教案说明教案示例：一、教学目标1.理解三角函数模型的基本概念和性质；2.能够应用三角函数模型解决实际问题；3.培养学生的数学建模能力和问题解决能力。
二、教学内容1.三角函数模型的概念和性质；2.三角函数模型的简单应用。
三、教学重点1.理解三角函数模型的概念和基本性质；2.能够运用三角函数模型解决实际问题。
四、教学方法1.讲授法：通过教师讲授和示范，引导学生理解三角函数模型的概念和特点；2.案例法：通过具体实例，让学生运用三角函数模型解决实际问题，提高问题解决能力；3.合作学习法：通过小组合作学习，培养学生的合作意识和团队精神。
五、教学步骤和内容详细说明步骤一：引入1.导入话题：通过提问和讨论，引导学生思考在现实生活中有哪些问题可以用三角函数模型来解决。
2.引入概念：介绍三角函数模型的概念和基本性质，引导学生理解三角函数模型的意义和应用范围。
步骤二：探究与讲解1.设计实例：给学生一个具体实例，引导他们通过观察和探究，了解三角函数模型的具体应用。
2.讲解三角函数模型的基本概念、公式和性质，帮助学生建立起三角函数模型的基本框架。
步骤三：梳理与总结1.梳理知识：回顾三角函数模型的基本概念和公式，让学生用自己的话总结出三角函数模型的特点和应用方法。
2.综合训练：设计一些综合性的应用题，让学生运用所学知识解决问题，提高解题能力。
步骤四：拓展与延伸1.拓展应用：给学生一些更复杂的实际问题，让他们运用所学知识进行分析和解答，培养他们的建模能力和创新思维。
2.延伸探究：引导学生思考三角函数模型的局限性和应用范围，鼓励他们用不同的方法去解决同一个问题。
六、教学资源和工具1.教材：高中数学必修4教材；2.工具：白板、多媒体投影仪等。
七、教学评价1.提问评价：通过提问方式，检查学生对三角函数模型的理解程度；2.综合评价：通过学生的实际表现和作业完成情况，评价他们运用三角函数模型解决实际问题的能力。
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§1.6三角函数模型的简单应用
【学习目标 细解考纲】
1、会用三角函数解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 2通过对三角函数的应用，发展数学应用意识，求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断.
【知识梳理 双基再现】
1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型.
2、|sin |y x =是以____________为周期的波浪型曲线.
3、如图所示，有一广告气球，直径为6m ，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角030BAC ∠=时，测得气球的视角01β=，若θ很小时，可取sin θθ≈，试估算该气球离地高度BC 的值约为（ ）.
A ．72cm
B ．86cm
C ．102cm
【小试身手 轻松过关】
1、设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间与水深的关系.
经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象. 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ ）
A ．123sin ,[0,24]6t
y t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6
t y t ππ=++∈ C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈ D ．123sin(),[0,24]122
t y t ππ=++∈ 2、如图，是一弹簧振子作简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是____________.
3、如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过
12
周期后，乙点的位置将移至（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
【基础训练 锋芒初显】
1、从高出海面hm 的小岛A 处看正东方向有一只船B ，俯角为30看正南方向的一船C 的俯角为45，则此时两船间的距离为（ ）.
A ．2hm
B
C
D ．
2、如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++.
（1）求这一天最大用电量及最小用电量.
（2）写出这段曲线的函数解析式.
3、如图，它表示电流sin()I A t ωϕ=+在一个周期内的图象.
（1）根据图象写出sin()I A t ωϕ=+的解析式
（2）在任意
3100
秒的时间间隔内，电流I 即能取得最大值|A|，又能取得最小值-|A|吗？
4、如图为一个观览车示意图，该观缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面距离为0.8米，60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面距离为h .
（1）求h 与θ间关系的函数解析式.
（2）设从OA 开始转动，经过t 秒到达OB ，求h 与t 间关系的确数解析式.
【举一反三 能力拓展】
1、以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m 件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由.
2、如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++
（1）求这段时间的最大温差.
（2）写出这段曲线的函数解析式
【名师小结感悟反思】
解决实际问题的基本思路：读（题）→建（模）→解答,同学们在做题过程中一定要认真体会.。