高中数学三角函数模型的简单应用学案苏教版必修
§1.6三角函数模型的简单应用
【学习目标 细解考纲】
1、会用三角函数解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 2通过对三角函数的应用，发展数学应用意识，求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断.
【知识梳理 双基再现】
1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型.
2、|sin |y x =是以____________为周期的波浪型曲线.
3、如图所示，有一广告气球，直径为6m ，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角030BAC ∠=时，测得气球的视角01β=，若θ很小时，可取sin θθ≈，试估算该气球离地高度BC 的值约为（ ）.
A ．72cm
B ．86cm
C ．102cm
【小试身手 轻松过关】
1、设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间与水深的关系.
经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ω?=++的图象. 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ ）
A ．123sin ,[0,24]6t
y t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6
t y t ππ=++∈ C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈ D ．123sin(),[0,24]122
t y t ππ=++∈ 2、如图，是一弹簧振子作简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是____________.
3、如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过
12
周期后，乙点的位置将移至（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
【基础训练 锋芒初显】
1、从高出海面hm 的小岛A 处看正东方向有一只船B ，俯角为30看正南方向的一船C 的俯角为45，则此时两船间的距离为（ ）.
A ．2hm
B
C
D ．
2、如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数sin()y A x b ω?=++.
（1）求这一天最大用电量及最小用电量.
（2）写出这段曲线的函数解析式.
3、如图，它表示电流sin()I A t ω?=+在一个周期内的图象.
（1）根据图象写出sin()I A t ω?=+的解析式
（2）在任意
3100
秒的时间间隔内，电流I 即能取得最大值|A|，又能取得最小值-|A|吗？
4、如图为一个观览车示意图，该观缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面距离为0.8米，60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面距离为h .
（1）求h 与θ间关系的函数解析式.
（2）设从OA 开始转动，经过t 秒到达OB ，求h 与t 间关系的确数解析式.
【举一反三 能力拓展】
1、以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m 件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由.
2、如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x b ω?=++
（1）求这段时间的最大温差.
（2）写出这段曲线的函数解析式
【名师小结感悟反思】
解决实际问题的基本思路：读（题）→建（模）→解答,同学们在做题过程中一定要认真体会.
高中数学苏教版必修四学案：1.2.2 同角三角函数关系
第2课时三角函数线 学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. 2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切. 3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．
知识点一有向线段 思考1比如你从学校走到家和你从家走到学校，效果一样吗？ 思考2如果你觉得效果不同，怎样直观的表示更好？ 梳理有向线段 (1)有向线段：规定了________(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段． (2)有向直线：规定了正方向的直线称为有向直线． (3)有向线段的数量：根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上______或______，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB. (4)单位圆：圆心在________，半径等于____________的圆． 知识点二三角函数线 思考1在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？
思考2三角函数线的方向是如何规定的？ 思考3三角函数线的长度和方向各表示什么？梳理
知识点三正弦、余弦、正切函数的定义域 思考对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？梳理三角函数的定义域
类型一 三角函数线 例1 作出－5π 8的正弦线、余弦线和正切线． 反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线． (2)作正切线时，应从点A (1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT . 跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α＝1 2的角α的终边，并求角α的取值集合．
高中数学必修4三角函数教案
任意角的三角函数 一、教学目标 1、知识目标：借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义，根据定义探讨出三角函数值在各个象限的符号，掌握同一个角的不同三角函数之间的关系。 2、能力目标：能应用任意角的三角函数定义求任意角的三角函数值。 3、情感目标：培养数形结合的思想。 二、教材分析 1、教学重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 2、教学难点：从函数角度理解三角函数。 3、教学关键：利用数形结合的思想。 三、教学形式：讲练结合法 四、课时计划：2节课 五、教具：圆规、尺子 六、教学过程 (一)引入 我们已经学过锐角三角函数，知道他们都是以锐角为自变量，以比值 为函数值的函数，你能用直角坐标系中的终边上点的坐标来表示锐角 三角函数吗？ 设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它 的终边在第一象限，在α的终边上任取一点P （a,b ）,它与原点的距离 r=22b a +>0.根据初中学过的三角函数定义，我们有αsin =r b , r a αcos =
a b αtan =,取r=1,则a b tan αa,cos αb,αsin ===，引入单位圆概念。 （二）新课 1、设α是以任意角，它的终边与单位圆交于P （x,y ）,那么： （1） y 叫做α的正弦，记作αsin , 即y αsin =； （2） x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x αcos =； （3） x y 叫做α的正切，记作αtan ，即x y αtan =)0(≠x . 注：用单位圆定义的好处就在于r=1,点的横坐标表示余弦值，纵坐标 表示正弦值。 2、根据任意角的三角函数定义，得到三种函数值在各象限的符号。 通过观察发现：第一象限全为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。总结出一条法则：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 注：这有利于培养学生观察和思考的能力，以方便记忆。 3、利用勾股定理可以推出：1cos sin 22=+αα，根据三角函数定义，当)(2z k k ∈+≠π πα时，有αα αtan cos sin =。这就是说同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。 4、例题 例1求 3 5π的正弦、余弦和正切值。 解:在直角坐标系中，作3π5=∠AOB ,易知AOB ∠的终边与单位圆的交点 坐标为)2 3,21 (-，所以
三角函数模型的简单应用
课题（章节）1．6 三角函数模型的简单应用（二） 教学目标 能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律； 能根据问题的实际意义，利用模型解决有关实际问题； 通过三角函数模型的简单应用，培养学生应用数学知识解决问题的能力。 教学重点用三角函数模型解决具有周期变化规律的实际问题 教学难点将某些实际问题抽象为三角函数模型，对实际意义的数学解释 课的类型新授课时间45分钟 教学时数1课时教具几何画板课件，计算器 板书设计 （提纲）三角函数模型的简单应用（二） 将实际问题抽象为三角函数模型：建模的基本思路： 例题：1．根据数据作散点图 2．根据图像进行函数拟合 3．选择恰当的函数模型 本题小结：4．利用函数模型解决实际问题 教学过程： 新课引入： 问题：对于三角函数模型，我们都学习了哪几个方面的应用？ 引入：利用三角函数模型我们还可以解决哪些问题呢？ 教学情景： 将实际问题抽象为三角函数模型： 例：海水受日月的引力，在一定时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米 0：00 5．0 9：00 2．5 18：00 5．0 3：00 7．5 12：00 5．0 21：00 2．5 6：00 5．0 15：00 7．5 24：00 5．0 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与实间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确到0．001）； 一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1．5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ 若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1．5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0．3米的速度减少，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 分析：1．观察表格中的数据，你发现了什么规律？（从所给数据中发现周期性变化规律）； 2．要求学生根据数据作出散点图，观察徒刑，你认为可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律？（引导学生根据散点图的特点选择函数模型）； 3．引导学生与“五点法”联系，求出函数模型的解析式； 4．根据所得的函数模型，求出整点时的水深；（利用计算器） 5．引导学生正确理解题意，利用函数模型解决实际问题，求出第（2）问，并对答案进行合理地解释；（利用计算器进行计算） 6．引导学生正确理解第（3）问，用函数模型刻画安全水深，并对答案做出合理地解释 解：(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图： 根据图像，可以考虑用函数 sin() y A x h ω? =++刻画水深与时间之间的对应关系。从数据和图象可以得出： 2.5,5,12,0 A h T? ====，由 2 12 T π ω == ，得6 π ω= 。所以，这个港口的水深与时间的关系可用 2.5sin5 6 y x π =+ 近似描述。 由上述关系式，易得港口在整点时水深的近似值： 时刻0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 6：00 7：00 水深5．000 6．250 7．165 7．500 7．165 6．250 5．000 3．754 时刻8：00 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00 14：00 15：00 水深2．835 2．500 2．835 3．754 5．000 6．250 7．165 7．500 时刻16：00 17：00 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00 水深7．165 6．250 5．000 3．754 2．835 2．500 2．835 3．754 （2）货船需要的安全水深为4+1．5=5．5（米），所以 5.5 y≥时就可以进港。
高中数学公式三角函数公式大全
高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全： 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a
=sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa
【2019A新教材高中数学必修第一册】5.2.1 三角函数的概念 导学案
5.2.1 三角函数的概念 1.借助单位圆理解任意角三角函数的定义； 2.根据定义认识函数值的符号。理解诱导公式一； 3.能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。 1.教学重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义； 2.教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程，解决与三角函数值有关的一些简单问题。 一、设角， 是一个任意角，R ∈αα它的终边与单位圆交于点),(P y x 。 那么（1） 的正弦函数。叫做α记作 ，;sin α=y 即 （2） 的余弦函数。叫做α记作 ，;cos α=x 即 （3） 的正切。叫做α记作 ;tan α=x y 即 )0(tan ≠=x x y α是 以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为 （tangent function)。 二、三角函数的定义域。 三角函数 定义域 αsin =y αcos =y αtan =y 三、诱导公式 =+)2sin(παk ；=+)2(cos παk ； =+)2(tan παk 。Z k ∈ 一、探索新知 探究一.角α的始边在x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点P 。当πα=时，点P 的坐标是什么？当
322ππα或= 时，点P 的坐标又是什么？它们唯一确定吗？ 探究二 ：一般地，任意给定一个角α，它的终边OP 与单位圆交点P 的坐标能唯一确定吗？ 1.任意角的三角函数定义 设角， 是一个任意角，R ∈αα它的终边与单位圆交于点),(P y x 。 那么（1） 的正弦函数。叫做α记作 ，;sin α=y 即 （2） 的余弦函数。 叫做α记作 ，;cos α=x 即 （3） 的正切。叫做α记作 ;tan α=x y 即 )0(tan ≠=x x y α是 以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为 （tangent function)。 正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数. 通常将它们记为：正弦函数 R x x y ∈=,sin 余弦函数 R x x y ∈=,cos 正切函数 )(2,tan Z k k x x y ∈+≠=ππ 探究三：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量。以比值为函数值的函数，设)2 ,0(π ∈x ，把按锐角三角函数定义求得的锐角x 的正弦记为1z ，并把按本节三角函数定义求得的 x 的正弦记为1y 。1z 与1y 相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？
高三数学一轮复习第11讲三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质
π??
据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))； (3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))． 以题试法 1． (1)函数y ＝ 2＋log 1 2 x ＋tan x 的定义域为________． (2)(2012·山西考前适应性训练)函数f (x )＝3sin ? ????2x －π6在区间??????0，π2上的值域为( ) A.??????－32，32 B.??????－32，3 C.??????－332，332 D.???? ??－332，3 解析：(1)要使函数有意义 则????? 2＋log 1 2 x ≥0， x >0，tan x ≥0， x ≠k π＋π2 ，k ∈Z ?? ???? 0 三角函数模型的简单应用一、教学目标 1 、基础知识目标： a 通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法； b 根据解析式作出图象并研究性质； c 体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程； d 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力． 3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。 二、教学重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质 三、教学难点： a 、分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题． b 、由图象求解析式时的确定。 四、教学过程及设计意图 教学过程 设计意图 （一）课题引入 情景展示，引入课题（多媒体显示） 同学们看过海宁潮吗？……?今天我就带大家去看一看天下奇观一一海宁潮. 在潮起潮落中 也蕴含着数学知识． 又如大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间的关系”、“声音的传播”等等也都蕴含着三角函数知识。 通过上面的例子引发学生的兴趣，贴近生活，可以告诉学生生活离不开数学，身边充满了数学；同时可以让学生知道数学的重要性，不仅仅是课本上的内容，还有生活都可以用到数学，所以学生更应该努力学习，才能更懂得生活。 这样的例子还有很多，比如： 二．由图象探求三角函数模型的解析式 例1 ?如图，某地一天从6?14时的温度变化曲线近似满足函数. (1 )求这一天6?14时的最大温差； (2 )写出这段曲线的函数解析式. 解：( 1 )由图可知：这段时间的最大温差是； (2)从图可以看出：从6?14 是的 半个周期的图象， 又… - ??? 将点代入得： ??,取，??。 问题的反思】 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： §1.6三角函数模型的简单应用 【学习目标 细解考纲】 1、会用三角函数解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 2通过对三角函数的应用，发展数学应用意识，求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断. 【知识梳理 双基再现】 1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型. 2、|sin |y x =是以____________为周期的波浪型曲线. 3、如图所示，有一广告气球，直径为6m ，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角030BAC ∠=时，测得气球的视角01β=，若θ很小时，可取sin θθ≈，试估算该气球离地高度BC 的值约为（ ）. A ．72cm B ．86cm C ．102cm 【小试身手 轻松过关】 1、设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间与水深的关系. 经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ω?=++的图象. 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ ） A ．123sin ,[0,24]6t y t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6 t y t ππ=++∈ C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈ D ．123sin(),[0,24]122 t y t ππ=++∈ 2、如图，是一弹簧振子作简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是____________. 3、如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过 12 周期后，乙点的位置将移至（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 高中数学三角函数教案 一、教学目标 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义包括定义域、正负符号判断;了解任意 角的余切、正割、余割函数的定义. 2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概 念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验. 3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的 辩证唯物主义世界观. 4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 二、重点、难点、关键 重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、正负符号判断法. 难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性α确定,比值也随之确定与依赖性比值随着α的变化而变化. 三、教学理念和方法 教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模 仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、 讲练结合”的方法组织教学. 四、教学过程 [执教线索: 回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义锐角三角形边角关系——问题情境:能推广 到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系为何?——优化认知:用直角坐标系研究锐角三 角函数——探索发展:对任意角研究六个比值与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数 定义吗?——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析对应法则、定义域、值域与正负符号判定——例题与练习——回顾小结——布置作业] 定义式 ） ct 函数关系 倒数关系：；； 商数关系：；． 平方关系：；；．诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作 锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用： 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。 高中数学学案：三角函数的最值问题 1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象,求三角函数的最值和值域． 2. 掌握求三角函数最值的常见方法,能运用三角函数最值解决一些实际问题. 1. 阅读：必修4第24～33页、第103～116页、第119～122页． 2. 解悟：①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么？②三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0,ω>0)的最值及对应条件；③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？辅助角公式是否熟练？④二倍角公式是什么？由倍角公式得到的降幂扩角公式是什么？必修4第123页练习第4题怎么解？ 3. 践习：在教材空白处,完成必修4第131页复习题第9、10、16题. 基础诊断 1. 函数f(x)＝sin x,x ∈? ????π6，2π3的值域为? ?? ??12，1__． 2. 函数f(x)＝sin x －cos ? ?? ??x ＋π6的值域为3]__． 解析：因为f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin (x －π6), 所以函数f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)的值域为[－3,3]． 3. 若函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x,0≤x<π2,则f(x)的最大值为__2__． 解析：f(x)＝(1＋3tan x)cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ? ????x ＋π6.因为0≤x<π2,所以π6≤x ＋π6<2π3,所以sin ? ????x ＋π6∈???? ??12，1, 所以当sin ? ?? ??x ＋π6＝1时,f(x)有最大值2. 4. 函数y ＝2sin 2x －3sin 2x 范例导航 考向? 形如y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数的最值 §1.2.1 任意角的三角函数 教学目标 <一> 知识目标 1、掌握任意角的三角函数的定义。 2、已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值。 3、记住三角函数的定义域和诱导公式（一）。 <二> 能力目标 1、理解并掌握任意角的三角函数的定义。 2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。 3、通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 <三> 德育目标 1、使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式。 2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。 教学重难点 任意角的正弦、余弦、正切的定义 （包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。 教学过程 问题1：你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义吗？ 锐角三角函数定义 问题2：在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗? 在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆 即：锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示 推广: 我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切) 任意角的三角函数定义: 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则: 正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. (由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,因此三角函数可以看成是自变量为实数的函数.) 所以三角函数可以记为: 我们把角X的正弦、余弦、正切统称为三角函数 问题3:如何求α角的三角函数值? 求α角的三角函数值即求α终边与单位圆交点的纵、横坐标或坐标的比值。例1： 解： 例2： 事实上: 三角函数也可定义为: 设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则 1.2.1 任意角的三角函数(一) 学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 知识点一 任意角的三角函数 使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r . 思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 答案 sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？ 答案 不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关. 思考3 在思考1中，当取|OP |＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 答案 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x . 梳理 (1)单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x (x ≠0). 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数. 高一数学三角函数教案 高一数学《三角函数》教案如下： 已知三角函数值求角反正弦，反余弦函数 目的：要求学生初步了解理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合。 过程： 一、简单理解反正弦，反余弦函数的意义。 由 1在R上无反函数。 2在上， x与y是一一对应的，且区间比较简单 在上，的反函数称作反正弦函数， 记作，奇函数。 同理，由 在上，的反函数称作反余弦函数， 记作 二、已知三角函数求角 首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的。 已知三角函数值求角是多值的。 例一、1、已知，求x 解：在上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个 ∴ 即 2、已知 解：，是第一或第二象限角。 即。 3、已知 解： x是第三或第四象限角。 即或 这里用到是奇函数。 例二、1、已知，求 解：在上余弦函数是单调递减的， 且符合条件的角只有一个 2、已知，且，求x的值。 解：， x是第二或第三象限角。 3、已知，求x的值。 解：由上题：。 介绍：∵ ∴上题 例三、见课本P74-P75略。 三、小结：求角的多值性 法则：1、先决定角的象限。 2、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x; 如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x， 3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角。 四、作业：P76-77 练习 3 习题4.11 1，2，3，4中有关部分。 高一数学《三角函数的周期性》教案如下： 一、学习目标与自我评估 1 掌握利用单位圆的几何方法作函数的图象 2 结合的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期 3 会用代数方法求等函数的周期 三角函数公式 ? 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。 三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 基本信息 ?中文名称 三角函数 ?外文名称 相关概念 余切：cotangent（简写cot）['k?u't?nd??nt] 正割：secant（简写sec）['si:k?nt] 余割：cosecant（简写csc）['kau'si:k?nt] 正矢：versine（简写versin）['v?:sain] 余矢：versed cosine（简写vercos）['v?:s?:d][k?usain] 直角三角函数 直角三角函数（∠α是锐角） 三角关系 倒数关系：cotα*tanα=1 商的关系：sinα/cosα=tanα 平方关系：sin2α+cos2α=1 三角规律 三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 三角函数本质： 根据三角函数定义推导公式根据下图，有sinθ=y/ r;cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y 深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来， 比如以推导 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 推导： 首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 高中数学第一章三角函数1.1.1任意角学案（含解析）新人教A 版必修4 考试标准 课标要点学考要求高考要求 任意角的概念 a a 终边相同的角的表示 b b 象限角的概念 b b 注：“a”表示“了解”，“b”表示“理解”，“c”表示“掌握”． 知识导图 学法指导 1.结合实例明确任意角的概念． 2．本节的重点是理解并掌握正角、负角、零角的概念，掌握用集合的形式表示终边相同的角，并会判断角的终边所在的象限. 1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．角的表示 顶点：用O表示； 始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置； 终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置． 状元随笔(1)在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向． (2)为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”． 3．角的分类 类型定义图示 正角按逆时针方向旋转形成的角 负角按顺时针方向旋转形成的角 零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 5．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．状元随笔(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏． (2)k·360 °与α中间用“＋”连接，k·360 °－α可理解成k·360 °＋(－α)． (3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360 °的整数倍．终边不同则表示的角一定不同． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)角的始边、终边是确定的，角的大小是确定的．( ) (2)第一象限的角一定是锐角．( ) (3)终边相同的角是相等的角．( ) 答案：(1)×(2)×(3)× 2．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：结合正角、负角和零角的概念可知，126°，99°是正角，－60°，－63°是负角，0°是零角，故选B. 答案：B 《三角函数模型的简单应用》练习 一、选择题 1.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( ) (x)=x+sinx (x)= (x)=xcosx (x)=x·· 2.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k，据此函数可知， 这段时间水深(单位：m)的最大值为( ) B.6 3.如图，小明利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为5m， AB为1.5m(即小明的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是( ) 4.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)的图 象如图所示，则当t=秒时，电流强度是( ) 安安 安安 5.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(-x)sinx的大致图象是( ) 二、填空题 6.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos(x=1，2， 3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28℃，12月份的平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃. 7.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上 标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=________，其中t∈[0，60]. 8.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin+60(美元)(t(天)，A>0，ω>0)，现 采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150(天) 时达到最低油价，则ω的最小值为__________. 三、解答题 9.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系： f(t)=10-cos t-sin t，t∈[0，24).(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差. 10.如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化. (1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位，如t=1表示2月1日). (2)估计当年3月1日动物种群数量. 《三角函数模型的简单应用》巩固练习 一、选择题 1.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针 三角函数是数学中常见的一类关于 角度的函数。三角函数将 直角三角形 的内角和它的两个边 的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三 角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究 周期性现象的基础数学工具 ⑴。在数学 分析中，三角函数也被定义为 无穷级数 或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实 数值，甚至是复数值。 常见的三角函数包括正弦函数（sin ）、余弦函数（cos ）和正切函数（tan 或者tg ）。在航 海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如 余切函数、正割函数、余割函数、正矢 函数、半正矢函数 等其他的三角函数。 不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计 算得出，称为三角恒等式。 三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方 面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数， 叫做双曲函数［2］ 。 常见的双曲函数也被称为双曲 正弦函数、双曲余弦函数等等。 直角三角形中的定义 右直供二闻张中仅苕期 伙水左画90至力间的录）二角藝的宦义［叩?络匡F 锐甬机可 以滋出一牛直集二角形，庚再其申的一个内芻是和设連个三甬殛孔9旳对匹需也和得世长度 g afliSE 是更迎弓痔辺的毗面冋百?: &抽余弦是澤边与斜辺的乂道；| ft H 制正切灵对迥与糾盅柏"■宜 伽 e ￥ b &的余切是嘟边2舛边的比■包co tfi = - q &闌正甥足斜辺弓押辺的比朗 ; &的余割是斜边与对边的比值！宀诃二2 a 标系中的奩义【姗＜ iftH 吟F 】是平面直角H 标菇咕的一牛知声是欖轴正向程时计疑術I 励 方向驱aeiJS, F = C +扌A 礎序 順点涮柜离?刚砒林三 JB 曲隸定 义 为【口 12#可?帅7血划腹圧駆定三三角血也雪主意知:也LL 却宦汩頤左定＞朮 自盍買的时僕成立-比如逋当■ = &的时僂.世和二自漲由盍乩 遞说朗对丹幢 正花；B 口 0—1.正切； -■耀h 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)三角函数模型的简单应用教案
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