三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用
一、引言
三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
本文将介
绍三角函数模型在实际问题中的简单应用，包括振动、音乐、天文等方面。
二、振动模型
振动是物理学中常见的现象，三角函数模型可以很好地描述振动的特性。
例如，在弹簧振子中，物体在平衡位置附近偏离并摆动，可以用正弦
函数描述振动的过程。
振动的周期、频率和振幅等因素可以通过三角函数
进行计算和预测。
三、音乐模型
音乐是艺术与科学的结合，三角函数模型在音乐中也有着重要的应用。
音乐的基本要素包括音高、音长和音色等。
三角函数可以帮助我们理解和
创建不同音调的声音，例如正弦函数可以生成纯音，而复杂的乐曲可以通
过多个三角函数的叠加来表示。
四、天文模型
三角函数模型在天文学中也扮演着重要的角色。
例如，我们可以使用
正弦函数来描述地球公转和自转的运动规律。
通过对三角函数模型的运用，我们可以计算出日出、日落以及季节变化等现象，并预测天文事件的发生
时间和位置。
五、结论
三角函数模型的简单应用涵盖了振动、音乐和天文等多个领域。
通过
对三角函数的理解和运用，我们可以更好地理解和解释各种现象，并进行
相关问题的计算和预测。
在实际应用中，对三角函数模型的灵活运用将有
助于我们解决各类问题。
1.6三角函数模型的简单应用
y 2 sin(2 x / 3)
例5. 如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近 y y A sin( x ) b 似满足函数 (1)求这一天6~14时的最大温差; 30 (2)写出这段曲线的函数解析式. 20
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C. (2)从图中可以看出,从6~14时的图象是 6 0 10 14 x 函数 y A sin( x ) b的半个周期 1 1 的图象， 所以，A 30 10 10, b 30 10 20 2 2 3 1 2 14 6 . 将x 6, y 10代入上式，解得＝ . 8 4 2
y 2
A
4
T
又T
2
(3) y 2 sin( x ) 2
A点的坐标为(
2sin(2
2
12
O
6
12
x
, 2)
2
12
) 2
sin( ) 1 6 2k , k Z
6 2
一般取：| |≤π 2k , k Z 3 y 2 sin( 2 x 2k )
1. 由图象求振幅A, b
y 2 sinx
y
5 4 向上平移3个单位长度 3 2 sin x 3 2 1
O
5 1 最大值 最小值 A 2 2 2 b 5 1 最大值 最小值 3 y A sinx b 的A, b
y
最 大 值 最 小 值 A 2 4 ( 2) 3 2
10
一般的，所求出的函数模型只能近似刻画 这天某个时刻的温度变化情况，因此应当特 别注意自变量的变化范围.
1.6 三角函数模型的简单应用
1 A (30 10) 10 2
1 b (30 10) 20 2 1 2 14 6, 2 8
8 3 代入(*)式，解得 4
综上，所求解析式为：
3 y 10sin( x ) 20, x [6,14] 8 4
注：
一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的 温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围。
例2：画出函数 y | sin x | 的图象并观察其周期。
解：函数图象如图所示：
从图中可以看出，函数y | sin x |是以 为周期的波浪形曲线。
我们也可以这样验证： 由于 | sin( x ) || sin x || sin x | 所以，函数 y | sin x | 是以 为周期的函数。 注： 利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的 认识，这是研究数学问题的常用方法。
例4：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。 一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进 航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。下面是某港口在 某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 0：00 3：00 水深/米 5.0 7.5 时刻 9：00 12：00 水深/米 2.5 5.0 时刻 18：00 21：00 水深/米 5.0 2.5
一、三角函数模型的应用：
例1：如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数
y A sin( x ) b
(1)求这一天6～14时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式。 解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是 20 C 。 (2)从图中可以看出，从6～14时的图象是函数 y A sin( x ) b (*) 的半个周期的图象 将 A 10, b 20, , x 6, y 10
三角函数模型的简单应用课件
思考2 上述的数学模型是怎样建立的？ 答 解决问题的一般程序是： 1°审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解 数学关系； 2°建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型； 3°求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论； 4°还原：把数学结论还原为实际问题的解答.
思考3 怎样处理搜集到的数据？ 答 画出散点图，分析它的变化趋势，确定合适的函数模型. 小结 利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下： (1)收集数据，画出“散点图”； (2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的 特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决； (3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要 具体情况具体分析.
y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝ |ω| ； π
y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝ |ω| .
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质
(1)ymax＝ A＋k ，ymin＝ －A＋k .
(2)A＝
ymax－ymin 2
，k＝
ymax＋ymin 2
跟踪训练1 求下列函数的周期：
(1)y＝|sin 2x|； (2)y＝sin12x＋π6＋13； (3)y＝|tan 2x|. 解 (1)T＝π2；(2)T＝21π＝4π；(3)T＝π2.
2
探究点二 三角函数模型的应用
思考1 数学模型是什么，什么是数学模型的方法？ 答 简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括， 再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于 实际问题的数学描述.数学模型的方法，是把实际问题加以抽象 概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的 一般数学方法.
三角函数模型的简单应用
问题提出
1.函数 y Asin(x ) 中的参数 A,,
对图象有什么影响？三角函数的性质包 括哪些基本内容？
2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与 性质，其中周期性是三角函数的一个显著性 质.在现实生活中，如果某种变化着的现象 具有周期性，那么它就可以借助三角函数来 描述，并利用三角函数的图象和性质解决相 应的实际问题.
思考7：若某船的吃水深度为4米，安全
间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，
吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那
么该船在什么时间必须停止卸货，将船
驶向较深的水域？
y
8
y 2.5 sin x
6
பைடு நூலகம்
6
货船最好在 6.5时之前停
5
止卸货，将
4
船驶向较深
2
y=-0.3x+6.1 的水域.
o 2 4 6 8 10 12
例1 弹簧上挂的小球做上下振动时，
小球离开平衡位置的距离s（cm）随时
间t（s）的变化曲线是一个三角函数的
图象，如图.
s/cm
（1）求这条曲线对 4
应的函数解析式；
7
（2）小球在开始振
12
动时，离开平衡位 O
t/s
置的位移是多少？
12
-4
例2 已知函数y sin( x )
( 0, 0
示，
) 的部分图象如图所
)
2
探究一：根据图象建立三角函数关系
【背景材料】如图，某地一天从6～14时 的温度变化曲线近似满足函数:
y Asin(x ) b T/℃
思考1：这一天6～14
30
时的最大温差是多少？ 20
三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用一周强化一、知识结构二、重难点知识概述1、用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题，将所发现的规律抽象为恰当的的三角函数模型．2、选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，为决策提供依据．3、研究的方法是利用收集到的数据分析分析问题中的数量关系，通过作出散点图，根据散点图进行函数拟合，得到函数模型．4、三角函数模型的应用包括（1）根据图象建立解析式；（2）根据解析式作出图象；（3）根据实际问题处理数据，作出图象进行函数拟合，将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．5、建立数学模型解决实际问题，所得的模型一般是近似的，并且得到的解也是近似的，所以需要根据实际背景及问题的条件，注意考虑实际意义，对问题的解进行具体分析．三、例题讲解例1、如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S厘米和时间t秒的函数关系式为：，那么单摆从最高点开始来回摆动一次所需的时间为（）A．2π秒B．π秒C．0.5秒D．1秒分析：本题已给出了单摆离开平衡位置O的距离S厘米和时间t秒的函数关系式，单摆从最高点开始来回摆动一次所需的时间即为此函数的一个周期．解：∵ω=2π，∴．故选D．说明：客观世界中很多物理现象的数量之间存在着三角函数关系，熟练掌握三角函数的图象与性质及有关结论，有助于解决此类问题．例2、如图，某大风车的半径为2m，每12s旋转一周，它的最低点O离地面0.5m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．(1)求函数h=f(t)的关系式；(2)画出函数h=f(t)的图象．解析：本小题主要考查三角函数的图象和性质及恒等变换知识，以及由数到形的转化思想和作图技能；考查运算能力和解决实际问题的能力．解：(1)如图，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系．设点A的坐标为(x,y)，则h=y＋0.5．设∠OO1A=θ，则又，即，所以(2)函数的图象如下例3、下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序号x1 59 80 117 126 172 225 263 298 356白昼时间y（小时）5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.48.5 5.4(I)以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；(Ⅱ)试选用一个形如y=Asin(ωx＋)+t的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系．(注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算)(Ⅲ)用(Ⅱ)中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．解：（I）画散点图见下面．（II）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为y=Asin(ωx＋)＋t，由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，即y max=19.4，y min=5.4，由19.4－5.4=14，得A=7；由19.4＋5.4=24.8，得t=12.4；又T=365，∴，例4、在长江汽车渡口，马力不足或装货较重的汽车上岸时，采用沿着坡面斜着成S形的方向向上升，这是为什么？解析：在汽车马力恒定的情况下，行驶单位路程内，垂直上升高度愈大，汽车愈费“力”，当“力”所不及时，就会发生危险．日常经验告诉我们，走S形可减少这种危险．从数学的角度看，如图所示，AB表示笔直向上行走的路线，(AB⊥CA)，α表示它与水平面所成的夹角，CB表示斜着向上所行走的路线，β表示它与水平面所成的夹角，它们所达到的高度都是BD．现在的问题就是要研究α和β这两个角哪个大．在Rt△BAD中，，①在Rt△BCD中，，②比较①与②，因为AB、CB分别是Rt△ABC的直角边和斜边，也就是说AB＜CB，所以，所以sinα＞sinβ．又因为α、β都是锐角，所以α＞β．因此，汽车沿着CB方向斜着向上开要省力．说明：山区修筑的公路，采取盘山而上的方法，也就是这个道理．另外实际问题中也要碰到利用三角函数来比较大小的问题．。
三角函数模型的简单应用
正切函数的定义与性质
正切函数的定义
正切函数（tangent function） 是三角函数中的一种，通常用 tan(x)表示，其定义是邻边与对边 之比值。
正切函数的性质
正切函数具有周期性、奇偶性、 单调性等性质。
正切函数的图象与公式
正切函数的图象
正切函数的图象是一个周期函数，其周期为π（派），即每隔π的角度其函数值 重复。
余弦函数的图象与公式
余弦函数的图象
余弦函数的图象是一个连续的曲线，形状类似于波浪。在一 个周期内，余弦函数从-1变化到1，再从1变化到-1，如此往 复。图象上的每个点都代表一个角度，对应一个余弦值。
余弦函数的公式
余弦函数有一些基本的公式，如和差角公式、积化和差公式 等。这些公式是余弦函数应用的基础，可以用于简化复杂的 三角函数表达式。
反三角函数的图象与公式
图象
反三角函数的图象是连续的，具有明显的波动形状。它们的形状和大小取决于其参数的取值范围。
公式
反三角函数有多种计算公式，如反正弦公式、反正切公式和反余弦公式等。这些公式可以用于求解三 角函数的反函数。
反三角函数的应用场景
三角函数方程的求解
当需要求解三角函数方程时，可以使用反三角函数来找到方程的 解。
余弦函数的应用场景
振动分析
余弦函数可以用于描述周期性的振动 现象，如机械振动、电磁振荡等。通 过对振荡过程进行分析，可以了解系 统的动态特性。
信号处理
在通信、声音、图像等信号处理领域 ，余弦函数经常被用于对信号进行调 制和解调。通过对信号进行处理和分 析，可以提取出有用的信息。
04
正切函数及其应用
02
正弦函数及其应用
正弦函数的定义与性质
三角函数模型的简单应用（水车问题）
三⾓函数模型的简单应⽤（⽔车问题）§9 三⾓函数模型的简单应⽤第⼀课时⼀、教学⽬的1、对⼀些简单的周期现象，能够选择适当的三⾓函数模型，刻画和解决实际问题。
2、通过本节学习，培养学⽣的数学应⽤意识。
⼆、教学重点：体会三⾓函数模型在实际问题中的应⽤。
三、教学难点：⽤三⾓函数描述周期现象的实际问题。
四、教学过程：例：⽔车问题如图,⽔车的直径为3m,其中⼼(即圆⼼O)距⽔⾯1.2m,如果⽔车每4min 逆时针旋转3圈.在⽔车轮边缘上取⼀点P,点P 距⽔⾯的⾼度h(m)与时间(t)有怎样的关系?分析：设⽔车的半径为R ，R=1.5m ；⽔车中⼼到⽔⾯的距离为b ，b=1.2m ；∠QOP=α⽔车旋转⼀圈所需的时间为T ；单位时间(s)旋转的⾓度(rad)为ω过P 点向⽔⾯作垂线，交⽔⾯于M 点，PM 的长度为P 点的⾼度h ；∠QOP=φ；则：h=PM=PN+NM=Rsin(α-φ)+b根据问题的条件确定这个模型中的变量和参数: α,φ,R 和b.⽤ω表⽰单位时间(s)内⽔车转动的⾓度(rad)，这样，在时刻t ⽔车转动的⾓度为α= ωt ⽔车旋转⼀圈所需的时间T=ωπ2 ⼜由于⽔车每4min 转3圈，旋转⼀圈所需的时间T=80s所以ω=40πrad/sSin φ=5.12.1⾬季河⽔上涨时,函数解析式中的b 减⼩,旱季河⽔流量减少时,参数b 增⼤. 如果⽔车转速加快,将使周期T 减⼩,如果⽔车转速减慢,将使周期T 增⼤.五、课堂⼩结六、课后作业rad ， 295.01.53≈?≈φ所以)(2.1)295.040sin(5.1m t ，h +-=ππ所以。
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课题（章节）1．6 三角函数模型的简单应用（二）
教学目标
能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律；
能根据问题的实际意义，利用模型解决有关实际问题；
通过三角函数模型的简单应用，培养学生应用数学知识解决问题的能力。
教学重点用三角函数模型解决具有周期变化规律的实际问题
教学难点将某些实际问题抽象为三角函数模型，对实际意义的数学解释
课的类型新授课时间45分钟
教学时数1课时教具几何画板课件，计算器
板书设计
（提纲）三角函数模型的简单应用（二）
将实际问题抽象为三角函数模型：建模的基本思路：
例题：1．根据数据作散点图
2．根据图像进行函数拟合
3．选择恰当的函数模型
本题小结：4．利用函数模型解决实际问题
教学过程：
新课引入：
问题：对于三角函数模型，我们都学习了哪几个方面的应用？
引入：利用三角函数模型我们还可以解决哪些问题呢？
教学情景：
将实际问题抽象为三角函数模型：
例：海水受日月的引力，在一定时候发生涨落的现象叫潮。
一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。
在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋。
下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米
0：00 5．0 9：00 2．5 18：00 5．0
3：00 7．5 12：00 5．0 21：00 2．5
6：00 5．0 15：00 7．5 24：00 5．0
选用一个函数来近似描述这个港口的水深与实间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确到0．001）；
一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1．5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1．5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0．3米的速度减少，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
分析：1．观察表格中的数据，你发现了什么规律？（从所给数据中发现周期性变化规律）；
2．要求学生根据数据作出散点图，观察徒刑，你认为可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律？（引导学生根据散点图的特点选择函数模型）；
3．引导学生与“五点法”联系，求出函数模型的解析式；
4．根据所得的函数模型，求出整点时的水深；（利用计算器）
5．引导学生正确理解题意，利用函数模型解决实际问题，求出第（2）问，并对答案进行合理地解释；（利用计算器进行计算）
6．引导学生正确理解第（3）问，用函数模型刻画安全水深，并对答案做出合理地解释
解：(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：
根据图像，可以考虑用函数
sin()
y A x h
ωϕ
=++刻画水深与时间之间的对应关系。
从数据和图象可以得出：
2.5,5,12,0
A h Tϕ
====，由
2
12
T
π
ω
==
，得6
π
ω=。
所以，这个港口的水深与时间的关系可用
2.5sin5
6
y x
π
=+
近似描述。
由上述关系式，易得港口在整点时水深的近似值：
时刻0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 6：00 7：00
水深5．000 6．250 7．165 7．500 7．165 6．250 5．000 3．754
时刻8：00 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00 14：00 15：00
水深2．835 2．500 2．835 3．754 5．000 6．250 7．165 7．500
时刻16：00 17：00 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00
水深7．165 6．250 5．000 3．754 2．835 2．500 2．835 3．754
（2）货船需要的安全水深为4+1．5=5．5（米），所以
5.5
y≥时就可以进港。
令
2.5sin
5 5.5
6
x π
+=，得
sin
0.2
6
x π
=，由计算器可得arcsin0.20.2014≈。
如下图，在区间[0，12]内，函数
2.5sin
5
6
y x π
=+的图象与直线 5.5y =有两个交点,A B ，因此
0.2014,
6
x π
≈或
0.2014
6
x π
π-
≈。
解得
0.3848, 5.6152
A B x x ≈≈，由函数的周期性易得
120.384812.3848
C x ≈+=，
12 5.615217.6152
D x ≈+=
因此，货船可以在0时30分左右进港，早晨5时30分左右出钢；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港。
每次可以在港口停留5小时左右。
（3）设在时刻x 货船的安全水深为y ，那么 5.50.3(2)(2)y x x =--≥。
在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在6~7时之间两个函数图象有一个交点（如下图）
通过计算可以得到这个结果。
在6时的水深约为5米，此时货船的安全水深约为4．3米；6．5时水深约为4．2米，此时货船的安全水深约为4．1米；7时的水深约为3．8米，而货船的安全水深约为4米。
因此为了安全，货船最好在6．5时之前停止卸货，将船驶向较深的水域。
思考：在船的安全水深正好等于港口水深时停止卸货行吗？为什么？
课堂小结：教师引导学生概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤： 根据所给数据作出散点图；
利用散点图进行函数拟合，求出三角函数模型；
根据三角函数模型解决实际问题。
课堂练习：教材65页练习3 课后作业：
以下是同学们在互联网上得到的北京每月15日日出时间的数据： 日期 1月15日 2月15日 3月15日 4月15日 5月15日 6月15日 时刻 7：35 7：08 6：27 5：38 5：00 4：45 日期 7月15日 8月15日 9月15日 10月15日 11月15日 12月15日 时刻 4：58 5：26 5：55 6：24 6：58 7：29
（1）在同一坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找出函数模型； （2）如果你准备在国庆节去北京天安门广场看升旗，你最好在什么时间到达天安门广场？
教学反思：。