高中数学学案：三角函数在实际问题中的应用

高中数学学案：三角函数在实际问题中的应用1. 会利用三角函数的概念和性质以及解三角形等知识解决有关三角函数的实际问题．2. 能灵活利用代数、几何知识建立三角函数模型,综合利用三角函数、不等式等知识解决实际问题1. 阅读：必修5第18～20页；必修4第41～44 页,第116～117 页,第122页．2. 解悟：①正余弦定理的内容是什么？三角形的面积公式是什么？②实际应用中常用的术语,如仰角、俯角、方位角、坡度、方向角,你清楚含义吗？3. 践习：在教材空白处,完成必修4 第116 页例5、第122页例5；完成必修5第18～19页例2、例4,第20页练习第4题,第21页习题第6、7、8题.基础诊断1. 海面上有A,B,C三个灯塔,AB＝10 n mile,从A望C和B成60°视角,从B望C和A成75°视角,则BC＝n mile.解析：由题意得在△ABC中,AB＝10,A＝60°,B＝75°,所以C＝45°.由正弦定理可得BCsin A＝ABsin C,即BC＝ABsin C·sin A＝5 6.2. 如图,测量河对岸的塔高AB时,选与塔底B在同一水平面内的两个测点C,D,测得∠BCD ＝30°,∠BDC＝120°,CD＝10m,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB＝__30__m.解析：在△BCD中,由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD,即BC＝10sin30°·sin120°＝10 3.在Rt△ABC中,AB＝BC·tan∠ACB＝103×3＝30,故AB＝30m.3. 如图,一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10：00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向,且与它相距2n mile,则此船的航速是__32__n mile/h.解析：由题可知,∠S ＝75°－30°＝45°,由正弦定理可得BS sin 30°＝ABsin S ,即AB ＝16.又因为此船航行了0.5h ,所以此船的航速为16÷0.5＝32(nmile /h ).4. 如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B 间的距离,李宁同学首先选定了与A,B 不共线的一点C,然后给出了三种测量方案(△ABC 的角A,B,C 所对的边分别记为a,b,c)：①测量A,C,b ；②测量a,b,C ；③测量A,B,a.则一定能确定A,B 间距离的所有方案为①②③．(填序号)解析：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A,B 两点间的距离；对于②直接利用余弦定理即可确定A,B 两点间的距离．范例导航考向❶ 距离、高度问题例1 如图,点M 在A 城的南偏西19°的方向上,现有一辆汽车在点B 处沿公路向A 城直线行驶,公路的走向是A 城的南偏东41°.开始时,汽车B 到M 的距离为9km ,汽车前进6km 到达点C 时,到M 的距离缩短了4km .(1) 求△BCM 的面积S ；(2) 汽车还要行驶多远才能到达A 城.解析：(1) 在△BCM 中,BM ＝9,MC ＝5,BC ＝6.由余弦定理得cos ∠BCM ＝BC 2＋MC 2－MB 22×BC ×MC＝－13,则sin ∠BCM ＝223,所以S ＝12MC·BC·sin ∠MCB ＝12×5×6×223＝102(km 2)．(2) 由条件得∠MAC ＝π3.由(1)得cos ∠BCM ＝－13,sin ∠BCM ＝223则cos ∠ACM ＝cos (π－∠BCM)＝－cos ∠BCM ＝13,sin ∠ACM ＝223,所以sin ∠AMC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－∠ACM －π3＝sin (2π3－∠ACM)＝32cos ∠ACM ＋12sin ∠ACM ＝3＋226. 在△AMC 中,由正弦定理得AC sin ∠AMC ＝MCsin ∠MAC ,则AC ＝MC·sin ∠AMC sin ∠MAC ＝15＋1069(km )．故汽车还要行驶15＋1069km 才能到达A 城．如图,一栋建筑物AB 的高为(30－103) m ,在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD,在它们之间的点M(B,M,D 三点共线)处测得楼顶A,塔顶C 的仰角分别是15°和60°,在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角是30°,则通信塔CD 的高为__60__m .解析：在Rt △ABM 中,AM ＝ABsin 15°·sin 90°＝30－103sin 15°＝206,过点A 作AN ⊥CD,垂足为点N,在Rt △ACN 中,因为∠CAN ＝30°,所以∠ACN ＝60°.又在Rt △CMD 中,∠CMD ＝60°, 所以∠MCD ＝30°,所以∠ACM ＝30°. 在△AMC 中,∠AMC ＝105°, 所以AC sin 105°＝AM sin ∠ACM ＝206sin 30°,所以AC ＝60＋203,CN ＝30＋103,所以CD ＝DN ＋CN ＝AB ＋CN ＝30－103＋30＋103＝60(m ).【注】 本例训练将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,求距离或高度实际就是选定或确定要创建的三角形,选择正弦定理还是余弦定理解三角形的边长. 考向❷ 角度问题例2 如图,两座建筑物AB,CD 的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它的高度分别是9m 和15m ,从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角∠CAD ＝45°.(1) 求BC 的长度；(2) 在线段BC 上取一点P(点P 与点B,C 不重合),从点P 看这两座建筑物的视角为∠APB ＝α,∠DPC ＝β,问当点P 在何处时,α＋β最小？解析：(1) 过点A 作AE ⊥CD,垂足为E,则CE ＝9,DE ＝6,设BC ＝x,则tan ∠CAD ＝tan (∠CAE ＋∠DAE)＝tan ∠CAE ＋tan ∠DAE1－tan ∠CAE·tan ∠DAE＝9x ＋6x 1－9x ·6x＝1, 化简得x2－15x －54＝0,解得x ＝18或x ＝－3(舍)． 故BC 的长度为18m .(2) 设BP ＝t,则CP ＝18－t(0<t<18), tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝9t ＋1518－t 1－9t ·1518－t ＝162＋6t －t 2＋18t －135＝6（27＋t ）－t 2＋18t －135.设f(t)＝27＋t－t 2＋18t －135,则f′(t)＝t 2＋54t －27×23（－t 2＋18t －135）2令f′(t)＝t 2＋54t －27×23（－t 2＋18t －135）2＝0.因为0<t<18,所以t ＝156－27,当t ∈(0,156－27)时,f′(t)<0,f(t)是减函数；当t ∈(156－27,18),f′(t)>0,f(t)是增函数, 所以当t ＝156－27时f(t)取得最小值,即tan (α＋β)取得最小值． 因为－t 2＋18t －135<0恒成立,所以f(t)<0,所以tan (α＋β)<0,α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π,因为y ＝tan x 在(π2,π)上是增函数,所以当t ＝156－27时,α＋β取得最小值, 即当BP 为156－27 m 时,α＋β取得最小值．游客从某旅游景区的景点A 处至景点C 处有两条线路. 线路1是从A 沿直线步行到C,线路2是先从A 沿直线步行到景点B 处,然后从B 沿直线步行到C. 现有甲、乙两位游客从A 处同时出发匀速步行,甲的速度是乙的速度的119倍,甲走线路2,乙走线路1,最后他们同时到达C 处．经测量,AB ＝1 040m ,BC ＝500m ,求sin ∠BAC.解析：依题意设乙的速度为x m/s,则甲的速度为119x m/s,因为AB＝1 040m,BC＝500m,所以ACx＝1 040＋500119x,解得AC＝1 260m.在△ABC中由余弦定理可知cos∠BAC＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝1 0402＋1 2602－50022×1 040×1 260＝1213,所以sin∠BAC＝5 13.【注】本例训练将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解；若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解．考向❸综合问题例3某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成．已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米. 现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ.(1) 用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积,并确定sinθ的取值范围；(2) 若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.解析：(1) 连结PO并延长交MN于点H,则PH⊥MN,所以OH＝10.过点O作OE⊥BC,垂足为E,则OE∥MN,所以∠COE＝θ,故OE＝40cosθ,EC＝40sinθ,则矩形ABCD的面积为2×40cosθ(40sinθ＋10)＝800(4sinθcosθ＋cosθ)．△CDP的面积为12×2×40cosθ(40－40sinθ)＝1 600(cosθ－sinθcosθ)．过点N作GN⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线于点G和点K,则GK＝KN＝10.令∠GOK ＝θ0,则sin θ0＝14,θ0∈(0,π6)．当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫θ0，π2时,才能作出满足条件的矩形ABCD,所以sin θ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1.故矩形ABCD 的面积为800(4sin θcos θ＋cos θ)平方米,△CDP 的面积为1 600(cos θ－sin θcos θ)平方米,sin θ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1.(2) 因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.所以设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0),则年总产值为4k ×800(4sin θcos θ＋cos θ)＋3k ×1 600(cos θ－sin θcos θ)＝8 000k(sin θcos θ＋cos θ),θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫θ0，π2. 设f(θ)＝sin θcos θ＋cos θ,θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫θ0，π2,则f′(θ)＝cos 2θ－sin 2θ－sin θ＝－(2sin 2θ＋sin θ－1)＝－(2sin θ－1)(sin θ＋1)．令f′(θ)＝0,得θ＝π6,当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0，π6时,f′(θ)>0,所以f(θ)为增函数；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时,f′(θ)<0,所以f(θ)为减函数,所以当θ＝π6时,f(θ)取到最大值．故当θ＝π6时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【注】 本例重点训练三角函数及导数在应用题中综合应用.自测反馈1. 已知A,B 两地间的距离为10km ,B,C 两地间的距离为20km ,现测得∠ACB ＝30°,则A,C两地间的距离为km .解析：由题意知AB ＝10km ,BC ＝20km ,∠ABC ＝30°,由正弦定理可得BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB ,则sin ∠CAB ＝1.又因为∠CAB ∈(0,180°),所以∠CAB ＝90°,故∠ABC ＝60°,则AC ＝103km .2. 某路边一树干被台风吹断后折成与地面成30°角,树干也倾斜成与地面成60°角,树干底部与树尖着地处相距10 m ,树干折断方向与路垂直. 有一辆宽为2 m ,高为3m 的紧急救援车(纵截面近似矩形)__能__从树下通过．(填“能”或“不能”)解析：如图所示,四边形EFGH 为矩形,点E,H 在边AB 上,点F 在边AC 上,点G 在边BC 上,CD ⊥AB,垂足为D.由题意知当EF ＝3时,若FG ≥2,则救援车能从树下通过．因为EF ＝3,所以AE ＝EF tan A ＝ 3.又因为GH ＝EF ＝3,所以BH ＝GHtan B ＝33,所以FG ＝EH ＝10－3－33＝10－43>2,所以救援车能从树下通过．3. 海轮“和谐号”从A 处以每小时21海里的速度出发,海轮“奋斗号”在A 处北偏东45°的方向,且与A 相距10海里的C 处,沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶,则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为__23__小时．解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”在B 处相遇所需的最短时间为x 小时,由已知得在△ABC 中,AC ＝10,AB ＝21x,BC ＝9x,∠ACB ＝120°,由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC·BC·cos ∠ACB,即(21x)2＝102＋(9x)2－2·10·9x·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12,整理得36x 2－9x －10＝0,解得x ＝23或x ＝－512(舍),所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为23小时．1. 理解题意中各类角的概念．2. 分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步．3. 将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正、余弦定理的“联袂”使用．4. 你还有哪些体悟,写下来：。