初中数学综合课件第46课时 二次函数综合型问题

第46课时二次函数综合型问题(60分)一、选择题(10分)1．[2015·嘉兴]如图46－1，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1交x轴于点A(a，0)和B(b，0)，交y轴于点C，抛物线的顶点为D.下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a＝－1，则b＝4；③抛物线上有两点P(x1，y1)和Q(x2，y2)，若x1<1<x2且x1＋x2>2，则y1>y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长最小值为6 2.其中正确判断的序号是(C) A．①B．②C．③D．④【解析】①根据二次函数图象，判断出y的符号；②根据A，B关于对称轴对称，求出b的值；③根据x1＜1＜x2且x1＋x2＞2，得到Q点距离对称轴较远，进而判断出y1＞y2；④作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，连结D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．求出D，E，D′，E′的坐标即可解答．二、填空题(10分)2．[2015·衢州]如图46－2，已知直线y＝－34x＋3分别交x轴，y轴于点A，B，P是抛物线y＝－1 2x2＋2x＋5上一个动点，其横坐标是a，过点P且平行y轴的直线交直线y＝－34x＋3于点Q，则PQ图46－1＝BQ 时，a 的值是．【解析】 P 点横坐标为a ，∵P 点在抛物线y ＝－12x 2＋2x ＋5上，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－12a 2＋2a ＋5， 又∵PQ ∥y 轴，且Q 点在直线y ＝－34x ＋3上，∴点Q 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－34a ＋3，B 点坐标为(0，3)，根据平面内两点间的距离公式，可得PQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a 2＋114a ＋22，BQ ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2，根据题意，PQ ＝BQ ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a 2＋114a ＋22＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2，解得a 的值分别为4，－1，4＋25或4－2 5.三、解答题(共30分)3．(15分)[2016·杭州]已知函数y 1＝ax 2＋bx ，y 2＝ax ＋b ()ab ≠0.在同一平面直角坐标系中．(1)若函数y 1的图象过点(－1，0)，函数y 2的图象过点(1，2)，求a ，b 的值； (2)若函数y 2的图象经过y 1的顶点． ①求证：2a ＋b ＝0；②当1<x <32时，比较y 1，y 2的大小． 解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0，a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，∴a ＝1，b ＝1；(2)①证明∵函数y 1的图象的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，－b 24a ， ∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＋b ＝－b 24a ，即b ＝－b 22a ， ∵ab ≠0，∴－b ＝2a ， ∴2a ＋b ＝0；②∵b ＝－2a ，∴y 1＝ax ()x －2，y 2＝a ()x －2，∴y 1－y 2＝a ()x －2()x －1，∵1<x <32，∴x －2<0，x －1>0，∴()x －2()x －1<0，∴当a >0时，a ()x －2()x －1<0，即y 1<y 2； ∴当a <0时，a ()x －2()x －1>0，即y 1>y 2.4．(15分)[2016·齐齐哈尔]如图46－3，对称轴为直线x ＝2的抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为(－1，0)． (1)求抛物线的解析式； (2)直接写出B ，C 两点的坐标；(3)求过O ，B ，C 三点的圆的面积(结果用含π的代数式表示)． 注：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a图46－3解：(1)由A (－1，0)，对称轴为x ＝2，可得 ⎩⎨⎧－b 2＝2，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝－5， ∴抛物线解析式为y ＝x 2－4x －5；第4题答图(2)由A 点坐标为(－1，0)，且对称轴方程为x ＝2， 可知AB ＝6， ∴OB ＝5，∴B 点坐标为(5，0)， ∵y ＝x 2－4x －5， ∴C 点坐标为(0，－5)；(3)如答图，连结BC ，则△OBC 是直角三角形， ∴过O ，B ，C 三点的圆的直径是线段BC 的长度， 在Rt △OBC 中，OB ＝OC ＝5， ∴BC ＝52， ∴圆的半径为522， ∴S ＝π⎝⎛⎭⎪⎫5222＝252π.(30分)5．(15分)如图46－4，直线y ＝kx ＋m 分别交y 轴，x 轴于A (0，2)，B (4，0)两点，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过A ，B 两点． (1)求直线和抛物线的解析式；(2)设N (x ，y )是(1)所得抛物线上的一个动点，过点N 作直线MN 垂直x 轴交直线AB 于点M ，若点N 在第一象限内．试问：线段MN 的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x 的值；若不存在，请说明理由； (3)在(2)的情况下，以A ，M ，N ，D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．图46－4 第5题答图【解析】 (1)由直线y ＝kx ＋m 分别交y 轴、x 轴于A (0，2)，B (4，0)两点，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过A ，B 两点，利用待定系数法即可求得直线和抛物线的解析式；(2)假设x ＝t 时，线段MN 的长度是最大值，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12t ＋2，N (t ，－t 2＋72t ＋2)，则可得MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2＋72t ＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12t ＋2＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4，然后由二次函数的最值问题，求得答案； (3)根据平行四边形的性质即可求得答案．解：(1)∵直线y ＝kx ＋m 分别交y 轴，x 轴于A (0，2)，B (4，0)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，4k ＋m ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝2，k ＝－12. ∴直线的解析式为y ＝－12x ＋2，将A (0，2)，B (4，0)分别代入抛物线，得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，－16＋4b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝72，c ＝2.∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋72x ＋2； (2)存在．假设x ＝t 时，线段MN 的长度是最大值，由题意，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12t ＋2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－t 2＋72t ＋2，∴MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2＋72t ＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12t ＋2＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4，∴当t ＝2时，MN 有最大值4；(3)由题意可知，D 的可能位置有如答图三种情形． 当D 在y 轴上时， 设D 的坐标为(0，a )， 由AD ＝MN ，得|a －2|＝4， 解得a 1＝6，a 2＝－2， ∴D 为(0，6)或D (0，－2)；当D 不在y 轴上时，由图可知D 为D 1N 与D 2M 的交点，∵直线D 1N 的解析式为y ＝－12x ＋6，直线D 2M 的解析式为y ＝32x －2， 由两方程联立解得D 为(4，4)．综上可得，D 的坐标为(0，6)，(0，－2)或(4，4)．6．(15分)[2015·温州]如图46－5，抛物线y ＝－x 2＋6x 交x 轴正半轴于点A ，顶点为M ，对称轴MB 交x 轴于点B ，过点C (2，0)作射线CD 交MB 于点D (D 在x 轴上方)，OE ∥CD 交MB 于点E ，EF ∥x 轴交CD 的延长线于点F ，作直线MF . (1)求点A ，M 的坐标；(2)当BD 为何值时，点F 恰好落在该抛物线上？ (3)当BD ＝1时，①求直线MF 的解析式，并判断点A 是否落在该直线上；②延长OE 交FM 于点G ，取CF 中点P ，连结PG ，△FPG ，四边形DEGP ，四边形OCDE 的面积分别记为S 1，S 2，S 3，则S 1∶S 2∶S 3＝__3∶4∶8__. 解：(1)令y ＝0，则－x 2＋6x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝6，∴A (6，0)，∴对称轴是直线x ＝3，∴M (3，9)；(2)∵OE ∥CF ，OC ∥EF ，C (2，0)， ∴EF ＝OC ＝2，∴BC ＝1， ∴点F 的横坐标为5，∵点F 落在抛物线y ＝－x 2＋6x 上， ∴F (5，5)，BE ＝5.∵BD DE ＝CB OC ＝12，∴DE ＝2BD ，∴BE ＝3BD ，∴BD ＝53； (3)①当BD ＝1时，BE ＝3，∴F (5，3)．设MF 的解析式为y ＝kx ＋b ，将M (3，9)，F (5，3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧9＝3k ＋b ，3＝5k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝18，图46－5第6题答图∴y ＝－3x ＋18.∵当x ＝6时，y ＝－3×6＋18＝0，∴点A 落在直线MF 上； ②∵BD ＝1，BC ＝1， ∴△BDC 为等腰直角三角形， ∴△OBE 为等腰直角三角形， ∴CD ＝2，CF ＝OE ＝32， ∴DP ＝22，PF ＝322，根据MF 及OE 的解析式求得点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，92，如答图，过点G 作GN ⊥EF交EF 于点N ，则EN ＝GN ＝32，∴EG ＝322，S △FPG ，S 梯形DEGP ，S 梯形OCDE 的高相等，所以三者面积比等于底之比， 故S △FPG ∶S 梯形DEGP ∶S 梯形OCDE ＝PF ∶(DP ＋EG )∶(DC ＋OE ) ＝322∶22∶42 ＝32∶2∶4＝3∶4∶8.(20分)7．(20分)[2016·广州一模]如图46－6，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点B 的坐标为(3，0)；直线y ＝－x ＋3恰好经过B ，C 两点． (1)写出点C 的坐标；(2)求出抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的解析式，并写出抛物线的对称轴和点A 的坐标； (3)点P 在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D 且∠APD ＝∠ACB ，求点P 的坐标．图46－6 第7题答图【解析】 (1)由直线y ＝－x ＋3可求出点C 坐标；(2)由B ，C 两点坐标便可求出抛物线方程，从而求出抛物线的对称轴和A 点坐标；(3)作辅助线AE ，由三角形的两个角相等，证明△AEC ∽△AFP ，根据两边成比例，便可求出PF 的长度，从而求出P 点坐标． 解：(1)y ＝－x ＋3与y 轴交于点C ，故C (0，3)； (2)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点B ，C ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧9＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)， ∴对称轴为直线x ＝2，点A (1，0)； (3)由y ＝x 2－4x ＋3， 可得D (2，－1)，A (1，0)； ∴OB ＝3，OC ＝3，OA ＝1，AB ＝2， 可得△OBC 是等腰直角三角形， ∴∠OBC ＝45°，CB ＝3 2.如答图，设抛物线对称轴与x 轴交于点F ， ∴AF ＝12AB ＝1.过点A 作AE ⊥BC 于点E .∴∠AEB＝90°.可得BE＝AE＝2，CE＝2 2.在△AEC与△AFP中，∠AEC＝∠AFP＝90°，∵∠ACE＝∠APF，∴△AEC∽△AFP.∴AEAF＝CEPF，21＝22PF，解得PF＝2.∵点P在抛物线的对称轴上，∴点P的坐标为(2，2)或(2，－2)．。