证明二重极限不存在
多元函数极限不存在的判定法则
多元函数极限不存在的判定法则多元函数极限存在是微积分中的一个重要概念，它在很多领域中都有广泛的应用，如物理、经济、工程等。
但是，在实际问题中，存在很多情况下，多元函数极限并不存在，这就需要我们掌握一些判定法则来判断多元函数极限是否存在。
本文将介绍一些常见的多元函数极限不存在的判定法则。
1. 二重极限不存在的判定法则二重极限指的是一个多元函数在某一点的两个自变量分别趋于该点时的极限。
二重极限不存在的情况有很多种，下面将介绍其中的几种判定法则。
1.1 Cauchy准则如果一个多元函数在某一点的极限存在，那么它的二重极限也一定存在。
因此，我们可以通过Cauchy准则来判断二重极限是否存在。
Cauchy准则的表述如下：对于任意的正实数ε，存在正实数δ，使得当0<√((x-a)+(y-b))<δ时，|f(x,y)-L|<ε，其中L为函数f(x,y)在点(a,b)处的极限。
如果对于任意的δ>0，都存在(x,y)∈D且0<√((x-a)+(y-b))<δ，使得|f(x,y)-L|≥ε，那么函数f(x,y)在点(a,b)处的二重极限不存在。
1.2 极限路径不同如果函数f(x,y)在点(a,b)处的二重极限存在，那么不同的极限路径得到的极限值应该相同。
如果存在两个不同的极限路径得到的极限值不同，那么函数f(x,y)在点(a,b)处的二重极限不存在。
1.3 极限值不同如果函数f(x,y)在点(a,b)处的二重极限存在，那么任意一个沿着直线x-y=k的路径得到的极限值应该相同。
如果存在两个不同的路径沿着直线x-y=k得到的极限值不同，那么函数f(x,y)在点(a,b)处的二重极限不存在。
2. 三重极限不存在的判定法则三重极限指的是一个多元函数在某一点的三个自变量分别趋于该点时的极限。
三重极限不存在的情况也有很多种，下面将介绍其中的几种判定法则。
2.1 Cauchy准则与二重极限的情况类似，如果一个多元函数在某一点的极限存在，那么它的三重极限也一定存在。
二重极限的计算方法(学年论文)
二重极限的计算方法小结内容摘要本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤。
及二重极限不存在的几种证明方法。
关键词：二重极限变量代换等不存在的证明目录序言 (1)一、利用特殊路径猜得极限值再加以验证 (1)(一)利用特殊路径猜得极限值再加以确定 (1)(二)由累次极限猜想极限值再加以验证 (2)(三)采用对数法求极限 (2)(四)利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限 (3)(五)等价无穷小代换 (3)(六)利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量 (4)(七)多元函数收敛判别方法 (4)(八)变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限 (5)(九)极坐标代换法 (6)(十)用多元函数收敛判别的方法 (7)二、证明二重极限不存在的几种方法 (7)总结 (10)参考文献 (11)序言二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。
对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。
虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。
对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。
二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。
由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量),(y x 的不同变化趋势和函数),(y x f 的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。
一、二重极限的计算方法小结(一) 利用特殊路径猜得极限值再加以验证利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出δ来。
证明二重极限不存在
证明二重极限不存在证明二重极限不存在如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。
例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。
为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案2若用沿曲线，( ，y)一g( ，y)=0趋近于( ，y0)来讨论，一0g ，Y 。
可能会出现错误，只有证明了( ，)不是孤立点后才不会出错。
[关键词】二重极限;存在性;孤立点[中图分类号]o13 [文献标识码]A [文章编号]1673-3878(2008)0l__0l02__02 如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。
是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。
只是略谈一下在判断二重极限不存在时。
一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知，要讨论limf(x，y)不存在，通常x—’10 y—’y0 的方法是：找几条通过(或趋于)定点(xo，Yo)的特殊曲线，如果动点(x，Y)沿这些曲线趋于(xo，Y。
二重极限不存在判定法探讨
于 Ｐ０（Ｘｏ，Ｙｏ）时 ，ｉ￣ ｆ（ｘ，ｙ）趋于不同的值 ，则 ｌｉｍ ，ｙ）
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例３ 证明 （ ，ｙ｝） ＿．（０ｌ．０） ｓｉｎ 南．／ ２Ｊ－ ，ｖ２不存在·
， … ， ）＝（Ａａｌ，Ａ ，…，Ａａ ）＝（０，０，…，０），即 Ａａ ＝０
（ｉ＝ｌ，２，… ，ｎ），说明 是 齐次线 性方 程组 Ａｘ＝０的解．又
例 ２ 证 明 ｈｍ
不 存 在 ．
（ ．ｙ）一 （ｏ，０）矿 ＋ ｖ’
证。．。ｆ（ｘ，ｙ）＝ 每＝ ｌ，砉），当（ ，，，）沿路径ｙ＝
南 ＞ｏ）趋于（０，ｏ）￣ｆ， —÷ｕ ． ４－ ＝南Ｉ＋Ｋ ，此结果因ｋ ＝肌
大学高等数学B二 二重极限计算举例PPT
第9章多元函数微分法及其应用燕山大学高等数学课题组高等数学二重极限计算举例一、证明二重极限不存在的方法点P(x,y)以任何方式趋于点P 0(x 0,y 0)时，lim P→P 0f P =A 极限表示:f(x,y)都无限接近于常数A .方法一方法二选取P →P 0的一种方式，证明按此方式的极限不存在选取P →P 0的两种方式，证明按这两种方式的极限存在但不相等方法一若此极限不存在，选取P →P 0的一种方式：某条过P 0的曲线C当P 沿曲线C 趋于P 0时，考察极限lim P→P 0P∈Cf P =lim x,y →x 0,y 0y=φx f x,y=lim x→x 0f(x,φ(x))y =φ(x)lim P→P 0f P 不存在。
则二重极限例limx,y →0,0ln 1+xy x +tany 证明不存在。
分析limx,y →0,0y=kxln 1+xy x +tanylimx→0ln 1+kx2x +tankx==limx→0kx2x +tankx 等价无穷小=lim x→02kx 1+ksec 2kx洛必达法则=1+k1+k =01+k ≠0limx,y →0,0y=−xln 1+xy x +tany=limx→02x tan 2x =limx→0−2x1−sec 2(−x)=等价无穷小lim x→02x x2∞=limx→02x=证由此可见，点(x,y)沿直线y =−x 趋于(0,0)时，函数的极限不存在，所以函数的极限不存在。
方法二选取P→P0的两种方式，过P0的曲线C1过P0的曲线C2令P分别沿曲线C1和曲线C2趋于P0，若按这两种方式，函数的极限虽然存在但不相等，即lim P→P0 P∈C1f(P)≠limP→P0P∈C2f(P)limP→P0f P不存在。
则二重极限例已知二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x yx xy y x f 试证明：当()()0,0,→y x 时，这个函数没有极限。
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高等数学之二元函数的极限，连续与偏导数问题方法总结
题型一：二重极限不存在
证明重极限不存在的常用方法是，取两种不同的路径，f(x,y)在点(x0,y0)处的极限不相等或取某一路径f(x,y)在点(x0,y0)处的极限不存在，均可证明重极限f(x,y)在点(x0,y0)处的极限不存在。
例1：证明下列重极限不存在：
证明：
总结：利用沿不同直线趋向于点(x0,y0)时极限不相等证明重极限不存在是一种证明重极限不存在的常用方法。
题型二：求二重极限
求二重极限常用的有以下四种方法：
（1）利用极限的性质（如四则运算法则，夹逼原理)；
（2）消去分母中极限为零的因子（通常采用有理化，等价无穷小代换等)；（3）转化为一元函数极限，利用一元函数求极限方法求解；
（4）利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量。
例2：求下列二重极限
解法一：
将分子有理化
解法二：
转化为一元函数极限
解法三：
利用等价无穷小代换
题型三：二元函数的连续性和偏导数存在性
分析：解决这一类题型的常用方法为利用函数连续和偏导数的定义。
例3：
解：
总结：一般利用偏导数的定义求解。
高等数学-第七章小结
1.用定义证二重极限的存在，二重极限定义：
例题
2.判定二重极限不存在的两种方法：
例题
3.多元函数连续性：
例题
4.二重极限的求取：
例题
5.多元函数的一阶及高阶偏导数： 例题
例题
例题
6.多元函数全微分：
例题
7.全微分的应用： （1）全微分在近似值计算上的应用； （2）全微分在相对误差与绝对误差计算上的应用。
例题
8.多元函数连续，可导，可微，偏导数连续 的关系：
例题
9.多元复合函数求导法则：
例题
10.全微分不变性：
例题
11.一个方程所确定的隐函数求导:
12.方程组所确定的隐函数求导：
zt10专题十 关于多重极限问题
专题十 关于多重极限问题重极限是学习多元函数的偏导和多元积分学的基础.所以，只有首先解决了重极限的相关问题，才能更好的学习多元函数的偏导和重积分。
问题1：二重极限是如何定义的？有几种定义方式？如何理解？答： 对于二重极限的定义，不同教材中有不同的表述，但是归纳起来主要有三种.定义1 设函数(),z f x y =在点()000,p x y 的某一邻域内有定义（点0p 可除外），如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对于所在邻域内适合不等式0d <<的一切点(),p x y 所对应的函数值(),f x y 都满足不等式(),f x y A e -<，那么，常数A 就称为函数(),z f x y =当00,x x yy 时的极限.定义2设函数(),z f x y = 定义域为D ，点()000,p x y 是平面上的一点，函数(),z f x y =在点()000,p x y 的任一邻域中除0p 外，总有异于0p 的属于D 的点，如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对D 内适合不等式00pp d <<的一切点p ，有不等式()f p A e -<成立，则称A 为()f p 当0p p ®时的极限.定义3 设数(),z f x y =的定义域为D ，点()000,p x y 是D 的聚点，如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对D 内适合不等式00pp d <<的一切点(),p x y ，都有(),f x y A e -<成立，常数A 就称为函数(),z f x y =当00,x x yy 时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求函数(),f x y 在点()000,p x y 的某去心邻域内有定义，而定义2允许(),f x y 在点()000,p x y 的任一去心邻域内都有使(),f x y 无定义的点，相应地，定义1要求0p 的去心邻域内的点都适合()f p A e -<，而定义2只要求上述邻域内使(),f x y 有定义的点p 适合()f p A e -<.可见，定义1对函数的要求高，因而使一些极限无法讨论，限制了极限的应用.例如极限()221lim sinx y x yxy→→+，依定义1就无意义，因而在点()0,0的任意δ邻域内，总存在点()()()()(),0,,0,,0,,00,0a a b b a b δδ--<<<<使(),f x y =()221sinx yxy+无定义，当然在这些点不等式(),f x y A e -<就没有意义，但依据定义2（允许不考虑ox oy 轴，轴上的点）有()22001lim sinx y x yxy→→+=0.又例如极限00sin limx y xy x→→依定义1也无意义，但依定义2可以不考虑o y 轴上()0x =的点，对一切0x ≠的点，sin xy xy y xx≤<<，则对0ε∀>，必δε∃=，当0,δ<<且0x ≠时，有sin 0xy xε-<成立，故依定义2，00sin limx y xy x→→=0.由于定义2放宽了对函数的要求，从而使极限概念更便于应用，但由于没引入“聚点”概念，使叙述显得过于烦琐，并且在讨论极限的性质时，更不方便.关于这一点，下面将举例说明.定义3虽然和定义2在本质上没有什么不同，但由于它事先导入“聚点”概念，这样就使得极限定义的叙述方便多了。
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证明二重极限不存在
证明二重极限不存在如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。
例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。
为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案
2
若用沿曲线，( ，y)一g( ，y)=0趋近于( ，y0)来讨论，一0g ，Y 。
可能会出现错误，只有证明了( ，)不是孤立点后才不会出错。
[关键词】二重极限;存在性;孤立点[中图分类号]o13 [文献标识码]A [文章编号]1673-3878(2008)0l__0l02__02 如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。
是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。
只是略谈一下在判断二重极限不存在时。
一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知，要讨论limf(x，y)不存在，通常x—’10 y—’y0 的方法是：找几条通过(或趋于)定点(xo，Yo)的特殊曲线，如果动点(x，Y)沿这些曲线趋于(xo，Y。
)时，f(x，Y)趋于不同的值，则可判定二重极限limf(x，Y)不存在，这一方I—’10 r’Y0 法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过(xo，Y。
)，并且定点是这条曲线的非孤立点，这一点很容易疏忽大意，特别是为图方便，对于型如2 的极限，在判卜’Io g x，Y y—·y0 断其不存在时，不少人找的曲线是f(x，y)一g(x，y)：0，这样做就很容易出错。
3
当沿曲线y=-x+x^2趋于(0 0)时，极限为lim (-x^2+x^3)/x^2=-1;
当沿直线y=x趋于(0 0)时，极限为lim x^2/2x=0。
故极限不存在。
4
x-y+x^2+y^2
f(x,y)=————————
x+y
它的累次极限存在：
x-y+x^2+y^2
l i m l i m ———————— =-1
y->0x->0 x+y
x-y+x^2+y^2
l i m l i m ———————— =1
x->0y->0 x+y
当沿斜率不同的直线y=mx,(x,y)->(0,0)时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。