二重极限的计算方法(学年论文)
论文二重极限计算方法
论文二重极限计算方法二重极限是函数在二元自变量趋于特定点$(a,b)$的过程中的极限。
在求解二重极限时，可以使用两种常用方法：路径法和极限法。
下面将详述这两种方法。
1.路径法路径法是通过沿着不同路径逼近极限点，观察函数极限的行为。
常见的路径有$x=a$和$y=b$，以及通过以$(a,b)$为中心的射线等。
路径法的基本思想是，如果函数在不同路径下极限都存在，并且极限值相等，那么二重极限存在，并且等于这个共同的极限值。
举例说明，假设要求函数$f(x, y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}$在点$(0, 0)$处的二重极限。
可以沿着不同路径逼近这个点。
对于路径$x=0$，有$f(0, y)=0$；对于路径$y=0$，有$f(x, 0)=0$。
所以根据路径法，得到$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = 0$。
2.极限法极限法通过使用不等式，将二重极限的计算转化为一重极限的计算。
具体步骤如下：(1)假设要求函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的二重极限。
(2)令$x=a+h$，$y=b+k$，其中$h$和$k$表示趋于0的变量。
(3)将$f(x,y)$转化为一个关于$h$和$k$的函数$F(h,k)$。
(4) 计算一重极限$\lim_{(h, k) \to (0, 0)} F(h, k)$。
举例说明，求$f(x, y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}$在点$(0, 0)$处的二重极限。
可以将$x$和$y$表示为$x = h$和$y = k$。
代入函数$f(x,y)$得到$F(h, k) = \frac{h^2k}{h^2+k^2}$。
接下来计算一重极限$\lim_{(h, k) \to (0, 0)} F(h, k)$。
由于这是一重极限，可以使用一元极限的计算方法，比如夹逼定理或洛必达法则。
以上就是求解二重极限的路径法和极限法的详细介绍。
学术界对于二重极限的计算方法还有很多探索，包括利用极坐标、球坐标等多种数学工具。
二重极限的计算方法
二重极限的计算方法二重极限是数学分析中一个重要的概念，它描述了当两个自变量同时趋近于一些值时，函数的极限的情况。
二重极限的计算方法包括直接计算、极坐标法、隐函数法等。
本文将介绍二重极限的定义和计算方法，并以具体例子进行说明。
一、二重极限的定义设函数 f(x,y) 在点 (x0,y0) 的一些邻域存在，如果对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当 (x,y) 满足 0<，x-x0，<δ 且0<，y-y0，<δ 时，有，f(x,y)-A，<ε，则称 A 是当 (x,y) 趋于(x0,y0) 时的二重极限，记作lim┌(x,y)→(x0,y0)┐ f(x,y) = A。
二、直接计算法直接计算法是一种常用的计算二重极限的方法。
对于二重极限lim┌(x,y)→(x0,y0)┐ f(x,y) = A，可以先固定其中一个变量，将问题转化为一元极限的计算。
然后再计算关于另一个变量的一元极限。
例如，对于函数 f(x,y) = xy/(x^2+y^2)，我们要计算lim┌(x,y)→(0,0)┐f(x,y)。
固定 y=0，我们得到lim┌x→0┐ f(x,0) = 0。
然后固定 x=0，我们得到lim┌y→0┐ f(0,y) = 0。
因此，由于两个一元极限都存在且相等于0，我们可以得出二重极限lim┌(x,y)→(0,0)┐ f(x,y) = 0。
三、极坐标法对于一些函数，利用极坐标法可以更方便地计算二重极限。
极坐标系是一种将平面上的点用极径r和极角θ表示的坐标系。
设点(x,y)的极坐标为(r,θ)，其中r≥0为点到原点的距离，θ为点(x,y)与x轴正方向的夹角。
极坐标法的思路是将二元函数转化成以极径和极角为自变量的函数，并用极坐标系中的一元极限来计算二重极限。
例如，对于函数 f(x,y) = (x^2+y^2)^(1/2)/ln(1+x^2+y^2)，我们要计算lim┌(x,y)→(0,0)┐ f(x,y)。
二重极限的计算方法(学年论文)
二重极限的计算方法小结内容摘要本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤。
及二重极限不存在的几种证明方法。
关键词：二重极限变量代换等不存在的证明目录序言 (1)一、利用特殊路径猜得极限值再加以验证 (1)(一)利用特殊路径猜得极限值再加以确定 (1)(二)由累次极限猜想极限值再加以验证 (2)(三)采用对数法求极限 (2)(四)利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限 (3)(五)等价无穷小代换 (3)(六)利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量 (4)(七)多元函数收敛判别方法 (4)(八)变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限 (5)(九)极坐标代换法 (6)(十)用多元函数收敛判别的方法 (7)二、证明二重极限不存在的几种方法 (7)总结 (10)参考文献 (11)序言二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。
对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。
虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。
对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。
二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。
由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量),(y x 的不同变化趋势和函数),(y x f 的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。
一、二重极限的计算方法小结(一) 利用特殊路径猜得极限值再加以验证利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出δ来。
二重极限的计算方法总结
239科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION学 术 论 坛DOI：10.16661/ki.1672-3791.2019.08.239二重极限的计算方法总结①张敏(郑州商学院 河南巩义 451200)摘 要：函数的极限求解是高等数学中比较重要的一个问题，由于自变量个数的增加和极限趋近路径的任意性，二重极限的求解相较于一元函数的极限问题更加复杂。
一般情况下，高等数学教材中关于二重极限的求解都比较简单，对初学者来说比较抽象。
该文从不同角度介绍了6种不同的求解二重极限的方法，并给出了相应的例题及解析，拓宽了初学者的求解思路，给予了初学二重极限者一定的启发。
关键词：二元函数 二重极限 连续中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2019)03(b)-0239-02①作者简介：张敏（1988—），女，汉族，河南郑州人，研究生，助教，研究方向：数学教育，计算数学。
1 预备知识1.1 二元函数的定义定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点(,)x y ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数Z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在点(,)x y 处的函数值记为f (,)x y ，即Z =f (,)x y ，其中(,)x y 称为自变量，Z 称为因变量。
点集D 称为该函数的定义域，数集{|(,),(,)}z z f x y x y D =∈称为该函数的值域。
1.2 二重极限的定义定义2 设函数Z =f (,)x y 的定义域为D ,000(,)P x y 是xOy 平面内的定点。
若存在常数A ，0ε∀>，0δ∃>，当点0(,)(,)P x y D U P δ∈时，恒有|()||(,)|f P A f x y A ε−=−<，则称常数A为二元函数f (,)x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限（也称为二重极限），记作00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A→=或00(,)((,)(,))f x y A x y x y →→，也可记作0lim ()P P f P A →=或0()()f P A P P →→。
一题多解探讨二重极限的计算
一题多解探讨二重极限的计算一题多解探讨二重极限的计算________________________________________许多数学问题可以利用极限的概念来解决，其中二重极限的计算是极限计算中一个重要的概念，它能够帮助我们在一定条件下，更加准确的确定函数的值。
在讨论二重极限的计算之前，先来看一下极限的概念。
### 一、极限的概念极限是数学分析中重要的概念，它可以用来描述函数在某点处的行为，也可以用来表示某种不断变化的序列或者级数在某点处的行为。
它可以帮助我们解决一些数学问题，并可以用来描述实际问题中出现的现象。
极限是一个表示无穷大的数学概念，它可以用来表示一个数字序列或者函数在某一点处的行为。
当数字序列或者函数在某一点处的值趋近于一个无穷大的数字时，就说该数字序列或者函数在该点处有一个极限。
例如：当x趋近于0时，函数f(x)=2x^2+3x+1在x=0处有一个极限，即f(x)在x=0时趋近于1。
### 二、二重极限的计算当函数f(x)中含有两个未知量x和y时，如果我们想要计算f(x,y)在x、y同时趋近于特定值p、q 时的极限，就要使用二重极限。
二重极限是一种通过将变量依次趋近特定值来计算函数f(x,y)在特定值处的值的方法。
例如：当函数f(x,y)=2x^2+3xy+y^2时，我们想要计算f(x,y)在x、y同时趋近于1时的极限，就可以使用二重极限。
先将x趋近于1，此时f(x,y)=2+3y+y^2，再将y趋近于1，此时f(x,y)=2+3+1=6，因此f(x,y)在x、y同时趋近于1时，其极限为6。
### 三、二重极限的性质1. 函数f(x,y)在x、y同时趋近于p、q时，其极限必定是函数f(p,q)的值。
2. 二重极限可以看作是一个多元函数的单元函数的值，因此它也具有多元函数性质。
3. 二重极限可以看作是一个变量依次趋近特定值而得到的单元函数的值，因此它也具有单元函数性质。
4. 函数f(x,y)在x、y同时趋近于p、q时，其极限必定是函数f(p,q)在p、q处取得最大或者最小值时的值。
二重极限的几种求法
点 p 0 ( x 0 , y 0 ) 时 , 二元函数 f ( p ) 的极限都存在 , 但 不相等 , 则
( x , y) →( x , y ) 0 0
理 1 得出
lim ( x + y ) ln ( x 2 + y 2 ) = 0
x→ 0 y→ 0
lim
f ( x , y ) 不存在 . x 4 + y4 不存在 x + y
不存在 综上所述 , 二重极限与一元函数的极限从定义 到性质 , 再到证明的方式 , 有很多类似之处 , 但也有 很明显的不同之处 . 对于一元函数而言 , 自变量的变 化只有左右两种方式 , 而二元函数可以有无数种沿 曲线趋于某点的方式 , 这是二者最大的差别 . 把握住 这一点 , 再在具体的题上具体分析 , 就能找到解决问 题的方法 .
作者简介 : 张雅平 ( 1967 - ) ,男 ,河北高阳人 ,学士 ,大同职业技术学院数理系讲师 . 研究方向 : 高等数学教学与研究 .
雁 北 师 范 学 院 学 报 2005 年 66
1
例 4 求 lim+ ( 1 + x y ) sin xy
x→ 0 y→ 0
+
解:
x→ 0
( | x | +| y | ) 2 x 2 + y2 Φ = | x | +| y | | x | +| y | | x | +| y | ,
0 Φ
lim+ ( 1 + x y ) sin xy =
y→ 0
) | r > 0 , cos3θ+ sin3θ ≠0 ,θ ∈[ 0 , D = { ( r ,θ
计算二重极限的几种方法00
lim f ( x , y ) 一定不存在。 x →x
0 y →y 0
例 8 求 lim
x - y + x + y 。 2 2 x →0 x + y y →0
2
2
3
3
解 由于 y ≠0 时恒有 lim f ( x , y ) = y - 1= Υ( y ) , 故 x →0
li m lim f ( x , y ) = - 1
(x , y →
li m ) (0,
x y
0) 2
2
2 2
x + y
= 0
4 利用无穷小量乘以有界量仍为无穷小量
定理 4 若 (
x , y ) → (x 0 , y 0 )
lim
f ( x , y ) = 0, 而 g ( x , y ) 于 ( x 0 , y 0 ) 的邻域内有界, 则
(x , y ) → (x 0 , y 0 )
lim
f (x , y ) = A ,
(x , y ) → (x 0 , y 0 )
lim
g (x , y ) = B
则 ( ( (
y →∞
x , y ) → (x 0 , y 0 ) x , y ) → (x 0 , y 0 )
lim lim lim
定理 3 若于点 P 0 ( x 0 , y 0 ) 的邻域内有 h ( x , y ) ≤f ( x , y ) ≤g ( x , y ) , 且
x →x 0 y →y 0
li m h ( x , y ) = lim g ( x , y ) = A
x →x 0 y →y 0 x →x 0 y →y 0
用极坐标求二重极限的一点注记
用极坐标求二重极限的一点注记极坐标系是一种用于研究函数特征和求解微积分问题的重要坐标系。
由于它具有简洁的表达式，极坐标系一直受到微积分学家与数学家的热捧。
在极坐标系中，求解极限的思路与直角坐标系会有一定的不同，其中，求二重极限的方法更是富有挑战。
本文将以“用极坐标求二重极限”为主题，详细讨论极坐标系中二重极限的求解特点及具体方法。
1. 二重定义域的概念在极坐标系中，定义域的概念可以被拓展到二重定义域（Bounded Domain，简称BD）。
这是一个考量实数函数在极坐标系中的两个基本定义域。
一个是定义域，以一个确定的正数为边界，用来定义不同角度θ的数据范围；另一个是值域，以一个确定的正数为边界，用来定义不同距离r处的数值。
因此，二重极限可以定义为以BD为界限的极坐标系中的极限概念。
2. 二重极限的求解过程在极坐标系中，求二重极限的过程分为两个主要的步骤：（1）求解角度θ对应的定义域限制（Boundary of Domain）；（2）求解距离r对应的值域限制（Boundary of Range）。
为了求解上述问题，首先要解决角度θ的问题，即确定在哪个角度极限会发生变化。
一般来说，只要θ的值在［-2π，2π］之间，极限的值就会发生变化。
此外，还要关注r的大小，即在哪个距离r 处极限值会发生变化。
在上述步骤完成后，接下来就可以求解定义域限制的角度θ的极限值。
为此，需要将所有θ的值按照一定的规则分组，然后根据组内θ的变化趋势，求出各组内θ的极限值。
具体而言，可以采用极限定理，即当函数f（θ）在cn处趋于某个值时，就可以求出限制θ的极限值。
最后，当所有定义域限制的角度θ都求解完成后，就可以求解值域限制的距离r的极限值。
同样，可以将所有r的值按照角度θ的变化趋势分组，然后根据组内r的变化趋势，求出各组内r的极限值。
可以采用相似的极限定理，即当函数f（r）在cn处趋于某个值时，就可以求出限制r的极限值。
总的来说，求解极坐标系中二重极限的具体方法可以概括为：（1）求解角度θ对应的定义域限制；（2）求解距离r对应的值域限制；（3）根据极限定理，求出定义域限制的角度θ的极限值；（4）根据极限定理，求出值域限制的距离r的极限值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二重极限的计算方法小结内容摘要本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤。
及二重极限不存在的几种证明方法。
关键词：二重极限变量代换等不存在的证明目录序言 (1)一、利用特殊路径猜得极限值再加以验证 (1)(一)利用特殊路径猜得极限值再加以确定 (1)(二)由累次极限猜想极限值再加以验证 (2)(三)采用对数法求极限 (2)(四)利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限 (3)(五)等价无穷小代换 (3)(六)利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量 (4)(七)多元函数收敛判别方法 (4)(八)变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限 (5)(九)极坐标代换法 (6)(十)用多元函数收敛判别的方法 (7)二、证明二重极限不存在的几种方法 (7)总结 (10)参考文献 (11)序言二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。
对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。
虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。
对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。
二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。
由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量),(y x 的不同变化趋势和函数),(y x f 的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。
一、二重极限的计算方法小结(一) 利用特殊路径猜得极限值再加以验证利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出δ来。
例1[1]讨论223),(y x yx y x f +=，在点的极限。
解 令mx y =01lim )1(lim lim 2202402230=+=+=+→→→→→m m x m mx y x y x x mx y x mx y x应为此路径为特殊路径，故不能说明.0lim 22300=+→→y x y x y x 可以猜测值为0。
下面再利用定义法证明：0>∀ε，取εδ2=当δ<-+-<22)0()0(0y x 有ε2222<+≤y x x由于232232120x xy y x y x y x =≤-+ 即有ε<≤+222321x yx y x 故.0lim 22300=+→→y x yx y x 注意 （1）ε的任意性（2）δ一般随而变化（3）若函数以A 为极限，则对函数在的某去心邻域内有范围（A+ε，A-ε）。
(二) 由累次极限猜想极限值再加以验证先求出一个累次极限，该类此极限是否为二重极限在用定义验证 例2[2]设)0(1sin)(),(222222≠+++=y x yx y x y x f 。
求),(lim 00y x f y x →→ 解 0),(lim lim 00=→→y x f y x 可以猜测有极限值为0. 事实上对任意的)0,0(),(≠y x有222222221sin)(0),(y x y x yx y x y x f +≤+≤++=-， 0>∀ε 取2εδ=， 当δ<x ，δ<y ，)0,0(),(≠y x 时，就有ε<-++01sin)(2222yx y x ，即有0),(lim 00=→→y x f y x (三) 采用对数法求极限利用初等变形，特别是指数形式常常可以先求起对数的极限。
或极限是等未定型，往往通过取对数的办法求得结果。
例3 求xyy x xy sin 100)1(lim +++→→解xyxyxy y x xyxyy x xyy x xy e xy e xy 1sin 001sin 100sin 100)1ln(lim )1ln(lim )1(lim +=+=+++++++→→→→→→因为1sin lim00=++→→xyxy y x 而且1ln )1ln(lim100==+++→→e xy xyy x 所以e xy xyy x =+++→→sin 100)1(lim(四) 利用一元函数中重要极限的推广求两个重要极限e x x x x xx =+=⎪⎭⎫⎝⎛+→∞→1)1(lim 11lim 1sin lim 0=→xx x类似于一元函数，我们可以充分利用所熟知的结论。
通过构造变形我们能够化不熟悉为熟悉，进而利用已有的结论而求之例4[3]求（1）)(10)1(lim y x x y x x +→→+ （2）xxya y x sin lim0→→解 （1）因为e x xx =+→1)1(lim ，211lim20=+→→y x y x所以211120)(120)1(lim )1(lim e x x yx xy x y x x y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++→→+→→（2） 由于0,sin sin ≠•=y y xyxyx xy , 又因为)0,(1sin sin lim00≠===→→→x t xy t tlin xy xy t a y x所以a y lin t tlin x xy a y t a y x ==→→→→sin sin lim00(五) 等价无穷小代换利用一元函数中已有的结论对式子进行必要的代换以达到简化的目的，进而求出所要求的极限例5 求yx y x y x ++→→)sin(lim3300解 因为,0,0→→y x 故有033→+y x所以)sin(33y x +等价于33y x + 故原式为0)(lim lim)sin(lim220033003300=++=++=++→→→→→→y xy x yx y x yx y x y x y x y x注 无穷小替代求极限时要理解替换过程的本质，不可随意替换。
利用等价无穷小替代求极限其实质就是在极限运算中同时乘一个或是除一个等价无穷小，也就是我们通常所说的“乘除时可以替换，加减时不可随意替换”(六) 利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量充分利用无穷小的性质，与一元函数类似，在求极限过程中，以零为极限的量称为无穷小量，有关无穷小量的运算性质也可以推广到多元函数中。
例6[4]求 ()()()()2222,32323lim -+---→→y x y x y x解 因为()()()()()()()()()32323lim2323lim222,32222,3--+---=-+---→→→→x y x y x y x y x y x y x而()()()()21232322≤-+---y x y x 为有界变量 又 ()03lim2,3=-→→x y x 故有 原式=0(七) 多元函数收敛判别方法当一个二重极限不易直接求出时，可以考虑通过放缩法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，且两端的极限值相等，则原函数的极限值存在且等于它们的公共值。
例7[5]求 ()yx y xy x ++→→220lim解 因为()y x yy x x y x y y x x y x y x +=+<+++=++≤222222而()0lim0→+→→y x y x ，故()yx y xy x ++→→220lim(八) 变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限有时为了将所求的极限化简，转化为已知的极限，可以根据极限式子的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程。
1、讨论当0,0→→y x ，二元函数),(y x f 的极限，利用变量代换把二重极限化为一元函数中已知的极限转化，相应有0→t 从而求得结果。
例8 求 22220,0)1ln(lim yx y x y x +++→→ 解 令,22μ=+y x 则当0,0→→y x 时 0→μ，于是1)1ln(lim )1ln(lim 022220,0=+=+++→→→μμμyx y x y x 2、讨论当()常数0,≠→∞→a a y x 时，二元函数),(y x f 的极限，作变量代换，相应有∞→t ，利用已知一元函数的极限公式。
例9 求 yx x a y x xy +→∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛+211lim 其中0≠a解 因为xyyy x xyx x xy xy )(11112++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+当 a y x →∞→,时，令xy=t,相应有∞→t 则e t xy tt xya y x =⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→→∞→11lim 11lim所以axyy y x x ay x yx x a y x e exy xy1)11ln()(lim 11lim 2==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→∞→+→∞→3、讨论∞→∞→y x ,时二元函数),(y x f 的极限例10 求 )(22,)(lim y x y x e y x +-∞→∞→+解 因为)()(2)(22)(222)()()(y x y x y x y x exy e y x e y x ey x ++++--+=+=+ 当 ∞→∞→y x ,时，令x+y=t,相应有∞→t则 0lim )(lim 2)(2,==+∞→+∞→∞→t t y x y x et e y x0lim lim 22lim ,,,=•=•∞→∞→∞→∞→∞→∞→y y x x y x y x y x eye x e y e x 所以0)(lim )(22,=++-∞→∞→y x y x e y x(九) 极坐标代换法讨论当()()0,0,→y x 时，二元函数),(y x f 的极限，必要时可以用极坐标变换θθsin ,cos r y r x ==，即将求),(y x f 当极限问题变换为)sin ,cos (θθr r f 求+→0r 的极限问题。
但必须要求在+→0r 的过程中与θ的取值无关。
注意这里不仅对任何固定的θ在+→0r 时的极限与θ无关，而且要求在+→0r 过程中θ可以随r 的改变而取不同的值的情况下仍然无关，才能说明),(lim,0y x f y x →→存在。
例11[6]求2222)0,0(),(lim y x y x y x +→解 令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，当)0,0(),(→y x 时，有+→0r 令θθθθ22222242222sin cos sin cos r rr x x y x ==+ 因为 1sin cos 22≤θθ所以0sin cos lim lim 22202222)0,0(),(==++→→θr y x y x r y x(十) 用多元函数收敛判别的方法通过缩放法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，再利用两边夹定理来推出结果。