2019考研数学浅析极坐标及其应用

浅析极坐标及其应用

为了表示平面中的一个点，我们熟知的方法是在二维平面中建立平面直角坐标系，用有序数对的形式表示点的位置，但在平面中建立坐标系的方式不止这一种，在考研数学中，还有一种非常重要且常考的知识点，那就是极坐标。

所谓的极坐标就是在平面中选定一个点，称为极点，再从改点引出一条射线，称作极轴，选定正方向为逆时针方向旋转极轴，用旋转的角度以及点到极点的距离就可以表示平面中的点。例如，在平面直角坐标系中的点M ()1,1，如果用极坐标表示的话可以作如下操作，规定坐标原点为极点，从原点出沿x 轴正方向做出极轴，则极轴需要旋转4

π的角度才会穿过点M

，同时点M 到原点（极

，则在该极坐标系中，点M 的坐标可以表示为4π???

，极坐标也可以表示平面中任意点的坐标。同时极坐标系和平面直角坐标系可以互相转化，其转化公式为：cos sin x r y r θθ=??

=?；22

arctan r x y y x θ?=+??=??

0x ≠，其中r 为点到极点的距离，θ为极轴旋转的角度。

之所以会引入极坐标系，是因为在处理某些数学问题是，极坐标比我们熟悉的平面直角坐标系更加有优势，接下来的内容会做进一步的阐述和分析。

首先，极坐标系相对于平面直角坐标系，在表示平面中某些曲线的解析式时具有明显的优势，例如在平面直角坐标系中表示单位圆，解析式为221x y +=，根据转化公式，如果在极坐标系中表示单位圆，其解析式为1r =，很明显能看出极坐标系下的解析式更加简单一些。正因为如此，在一些涉及到圆或者与圆相关的问题时用极坐标来处理会更加方便。比如在考研数学中，对于二重积分的计算，当积分区域为圆或者与圆相关的扇形、拱形等，再或者被积函数中含有22x y +，往往需要

借助于极坐标来计算。公式为：

()(),cos ,sin D D f x y dxdy f r r rdrd θθθ=????。以2003年数学三的一道考研试题为例：

计算二重积分()()2222sin x y D I e

x y dxdy π-+-=+??，其中积分区域(){}

22,D x y x y π=+≤；该题如果使用直角坐标来解决是非常困难的，转化为累次积分后确定上下限就非常麻烦，但该题如果借助于极坐标解决就非常容易，根据转化公式，

()()()222222sin sin x y r D

D I e

x y dxdy e r rdrd ππθ-+---=+=????

22200sin r d r rdr

ππθ-=?进而转化为两次定积分的计算问题，由此可见，在计算类似二重积分时，转化为极坐标系来计算会变得更加简单。