空间位置关系的判断与证明.板块一.对平面的进一步认识.学生版
空间位置关系的判断与证明板块五平行与垂直关系综合证明学生版
空间位置关系的判断与证明板块五平行与垂直关系综合证明学生版1.平行关系的判断与证明平行关系是指两条直线在同一个平面上永远不会相交。
我们可以利用以下两个判定条件来判断平行关系。
(1)对于任意一点P，如果一条直线l上的一点P到另一条直线m的距离d恒为定值，那么直线l和直线m平行。
(2)如果两条直线分别与一平面中的一条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
为了更好地理解平行关系的证明过程，下面举例说明。
A----BC----D证明过程：首先，我们选择平面内的任意一点P作为参考点，计算点P到直线CD的距离d1，然后计算点P到直线AB的距离d2、如果d1与d2相等，那么可以判断直线AB和CD平行。
进一步，选择平面内的另一条直线EF与直线AB平行，计算EF与CD 的距离d3，再计算EF与CD的距离d4、如果d3与d4相等，那么可以证明直线AB和CD平行。
2.垂直关系的判断与证明垂直关系是指两条直线或一条直线与一个平面之间的关系，它们之间形成一个90度的角。
我们可以利用以下判定条件来判断垂直关系。
(1)如果两条直线的斜率乘积为-1，那么这两条直线是垂直的。
(2)如果一条直线垂直于两个平行线，则这条直线与这两个平行线垂直。
为了更好地理解垂直关系的证明过程，下面举例说明。
C----DA--，--B证明过程：首先，选择平面内与直线AB平行的直线EF，如果EF与CD垂直，那么可以证明直线AB与平面CD平行。
其次，求出直线EF的斜率k1，求出直线CD的斜率k2，计算k1与k2的乘积。
如果k1*k2=-1，那么可以证明直线EF与CD垂直，进而证明直线AB与平面CD平行。
综合证明：C----DA----BE----F证明过程：首先，通过以上平行关系的证明可知直线AB和CD平行，直线EF和CD平行。
然后，通过以上垂直关系的证明可知直线AB和EF垂直，而直线EF和CD平行，所以可以证明直线AB既与直线CD平行，又与直线EF 垂直。
高中数学 空间位置关系的判断与证明 板块四 垂直关系的判断与证明完整讲义(学生版)
学而思高中完整讲义：空间位置关系的判断与证明.板块三.平行关系的判断与证明.学生版【例1】 下列说法正确的有 ．①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线． ④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面．⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直． ⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直．【例2】 在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有 个．【例3】 已知在三棱锥A BCD -中AC AD =，BD BC =，求证：AB ⊥CD ．ABCE【例4】 如图，已知三棱锥P ABC -，90ACB ∠= ，D 为AB 的中点，且PDB ∆是正三角形，PA ⊥PC ．求证：⑴ PA ⊥面PBC ；⑵平面PAC ⊥平面ABC ．DPABC【例5】 如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．典例分析EBCFDGSA【例6】 如图，在四棱锥P ABCD-中，PA ⊥底面A B C ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．证明：面ABE ⊥面PCD ．【例7】 如图，四面体P ABC -，PA ⊥面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作AE ⊥PB 交PB 于E ，过A 作AF ⊥PC 交PC 于F ．求证：PC ⊥EF ．F EPABC【例8】 如图O 是正方体下底面ABCD 中心，B H D O ''⊥，H 为垂足．求证：B H '⊥平面AD C '．【例9】 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中．．求证：1BD ⊥面1AB C ．A 1D 1C 1B 1DCBA【例10】 在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在1AA ，1CC 上且1B E A B ⊥，1BF BC ⊥，求证：1BD ⊥面BEF【例11】 在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心．求证：1B O ⊥面PAC ．【例12】 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，M ，N 分别为PC ，AB 的中点．⑴求证：MN ∥平面PAD ；⑵若45PDA ∠= ，求证：MN ⊥面PCD ．QPD CAMN【例13】 已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160A AB A AD ∠=∠= ．求证：1CC ⊥BD ．OABCD A 1B 1C 1D 1【例14】 （2008深圳高三联考）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面四边形ABCD满足条件 时，有111AC B D ⊥．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）D 1C 1B 1A 1DCBA【例15】 如图，A 、B 、C 、D 是空间四点，在ABC △中，2AB =，AC BC ==，等边ADB △所在的平面以AB 为轴可转动．当ADB △转动过程中，是否总有AB CD ⊥？请证明你的结论ABC DO【例16】 在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AA 的中点，问当点N 位于AB 上何处时，1MN MC ⊥？【例17】 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，90ACB ∠=︒，1AA =D 是11A B 的中点．⑴求证1C D ⊥平面1A B ；⑵当点F 在1BB 上什么位置时，会使得1AB ⊥平面1C DF ？并证明你的结论．C 11A 1FEDC B A【例18】 （2000全国，文19）如图已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面A B C D 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠．⑴ 证明1C C BD ⊥；⑵ 当1CD CD 的值为多少时，能使1AC ⊥平面1C BD ？请给出证明． 图 9-2-284D 1A 1C 1B 1DCBA【例19】 已知四面体ABCD ，①若棱AB CD ⊥，求证2222AC BD AD BC +=+②若2222AC BD AD BC +=+，求证棱AB CD ⊥．【例20】 已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D F ，分别为AC PC ，的中点，DE AP ⊥于E ．⑴求证：AP ⊥平面BDE ；⑵求证：平面BDE ⊥平面BDF ；⑶若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成两部分的体积比．【例21】 （2009扬州中学高三期末）在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=︒，60BAC CAD ∠=∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，22PA AB ==． ⑴求四棱锥P ABCD -的体积V ；⑵若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ．【例22】 （2003京皖春）如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为侧棱长为4．E F ，分别为棱AB BC ，的中点，EF BD G = ． ⑴求证：平面1B EF ⊥平面11BDD B ；⑵求点1D 到平面1B EF 的距离d ； ⑶求三棱锥11B EFD -的体积V ．D 1C 1B 1A 1GFDCB A。
必修2辅导—3—空间的位置关系证明(同步学生版ok)
空间的关系证明课标要求以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
1.通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理： ①公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；②平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行； ③一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； ④一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
⑤一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。
2.通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：①一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行； ②两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行； ③垂直于同一个平面的两条直线平行④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
3. 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
空间的平行关系知识要点1.线线平行 线线平行的判定：①公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。
图形语言： 数学语言：c a c b b a ////,//⇒②平行四边形对边平行③三角形的中位线平行于底边；梯形的中位线平行于底边。
④如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
（线面垂直的性质）图形语言： 数学语言：b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα ⑤如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（线面平行的性质）图形语言： 数学语言： b a b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα⑥如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（面面平行的性质）图形语言： 数学语言： b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂γβγαβα2.线面平行：（1）线面平行的判定：①定义：直线与平面无公共点.行⇒线面平行）图形语言： 数学语言：ααα////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄③面面平行的性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
空间位置关系的判断与证明
空间中的线面关系要求层次重难点空间线、面的位置关系 B ①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所有的点在此平面．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理1，公理2，公理3，公理4，定理*A高考要求模块框架空间位置关系的判断与证明垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．知识内容1．集合的语言：我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ∉； 点A 在平面α，记作：A α∈；点A 不在平面α，记作A α∉； 直线l 在平面α（即直线上每一个点都在平面α），记作l α⊂； 直线l 不在平面α（即直线上存在不在平面α的点），记作l α⊄； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =；平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=．2．平面的三个公理：⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所有的点都在这个平面． 图形语言表述：如右图：符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂⑵ 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图，符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α， 使,,A B C ααα∈∈∈．⑶ 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图：符号语言表述：,A a A a αβαβ∈⇒=∈．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．3．平面基本性质的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．4．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面，那么我们说它们共面．<教师备案>1．公理１反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面．2．公理２可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平面，后面的三个推论都是由这个公理得到的．要强调这三点必须不共线，否则有无数多个平面经过它们． 确定一个平面的意思是有且仅有一个平面．3．公理３反应了两个平面的位置关系，两个平面（一般都指两个不重合的平面）只要有公共点，它们的交集就是一条公共直线．此公理可以用来证明点共线或点在直线上，可以从后面的例题中看到．4．平面基本性质的三个公理是不需要证明的，后面的三个推论都可以由这三个公理得到．推论１与２直接在直线上取点，利用公理１与２便可得到结论，推论３是由平行的定义得到存在性的，再由公理２保证唯一性．线线关系与线面平行1．平行线：在同一个平面不相交的两条直线．平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．公理４（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．2．空间中两直线的位置关系： ⑴共面直线：平行直线与相交直线； ⑵异面直线：不同在任一平面的两条直线．3．空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形．这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．如右图中的空间四边形ABCD ，它有四条边,,,AB BC CD DA ，两条对角线,AC BD ． 其中,AB CD ；,AC BD ；,AD BC 是三对异面直线．DCBA4．直线与平面的位置关系：⑴直线l 在平面α：直线上所有的点都在平面，记作l α⊂，如图⑴；⑵直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=，如图⑵； ⑶直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作//l α，如图⑶．l3()2()1()lAαααl5．直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面的一条直线和平面的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号语言表述：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒． 图象语言表述：如右图：mlα6．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行．符号语言表述：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒．图象语言表述：如右图：βαl m<教师备案>1．画线面平行时，常常把直线画成与平面的一条边平行； 2．等角定理证明：已知：如图所示，BAC ∠和B A C '''∠的边//AB A B ''，//AC A C ''，且射线AB与A B ''同向，射线AC 与A C ''同向． 求证：BAC B A C '''∠=∠证明：对于BAC ∠和B A C '''∠在同一平面的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面的情形．分别在BAC ∠的两边和B A C '''∠的两边上截取线段AD AE 、和A D A E ''''、，使,AD A D AE A E ''''==，因为//''AD A D ，所以AA D D ''是平行四边形 所以//AA DD ''．同理可得//AA EE ''，因此//DD EE ''． 所以DD E E ''是平行四边形． 因此DE D E ''=． 于是ADE A D E '''∆≅∆． 所以BAC B A C '''∠=∠．E'E DC BAA'D 'B 'C '3．根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线的平行线，得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面直线成的角．异面直线所成角的围是π(0,]24．线面平行判定定理（,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒），即线线平面，则线面平行． 要证明这个定理可以考虑用反证法，因为线线平行（//l m ），所以它们可以确定一个平面β，β与已知平面α的交线恰为m ，若线面不平行，则线面相交于一点，此点必在两个平面的交线m 上，从而得到l 与m 相交，与已知矛盾．5．线面平行性质定理，即线面平行，则线线平行，这平行的定义立即可得（共面且无交点）．面面平行的判定与性质1．两个平面的位置关系⑴两个平面,αβ平行：没有公共点，记为//αβ；画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如右图：⑵两个平面,αβ相交，有一条交线，l αβ=．2．两个平面平行的判定定理：如果一个平面有两条相交直线平行于另一个平面， 那么这两个平面平行．符号语言表述：,,,//,////a b a b A a b ααββαβ⊂⊂=⇒．推论：如果一个平面有两条相交直线分别平行于另一个平面的两条相交直线，则这两个平面平行．3．两个平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言表述：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒．图象语言表述：如右图：γbaβα<教师备案>1．画两个平面相交时，可以先画出交线，再补充其它，平面被遮住的部分画成虚线或不画． 如右图所示：2．面面平行的判定定理可以由线面平行的性质直接得到，如果满足定理条件的两个平面相交，则这两条相交直线都平行于平面的交线，与过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行的公理矛盾．故这两个平面不相交，是平行平面．3．面面平行的性质定理可以直接由两条交线无交点且共面得到．4．在证明线面平行，线线平行和面面平行的题时，常常遇到平行关系的转化，要灵活运用两个性质定理与两个判定定理，证明要求的结论．由于空间中平行关系与垂直关系是高考的核心容，因此在出题时经常会有所结合，本板块专门就平行知识的题目类型归纳，更综合的题目会在第十一讲中详细讲解．由于线面与面面问题之间都是互相转化的，因此本板块中的面面平行题目较少，多数都为线面平行问题．本板块题目多采用两种方法，事实上就是两种思路证明线面平行，一种方法线线平行⇒线面平行，另一种方法是面面平行⇒线面平行．线面垂直1．线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直．2．直线与平面垂直：⑴概念：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面的任意一条直线垂直．画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如右图．lα直线l与平面α互相垂直，记作lα⊥．⑵线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．⑶线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．<教师备案>1．如果定义了异面直线所成角，则异面垂直即异面直线所成角为90︒．2．线面垂直的判定定理把定义中的与任意一条直线垂直这个很强的命题，转化为只需证明与两条相交直线垂直这个问题，从而大大简化了线面垂直的判断．nmA'EDCB Aβα要证明判定定理，只能用定义，若',',AA m AA n m n B ⊥⊥=，,m n α⊂，要证'AA α⊥，在平面α任选一条直线g ，去证'AA g ⊥，结合右图，通过全等三角形的证明可得到，从而得到判定定理，具体的证法略． 3．线面垂直的性质定理，可以用同一法证明， 如图：laABm'mβα直线,l m αα⊥⊥，若直线,l m 不平行，则过直线l 与平面α的交点B 作直线'//m l ，从而有'm α⊥．又相交直线,'m m 可以确定一个平面β，记a αβ=，则因为,'m m 都垂直于平面α，故,'m m 都垂直于交线a ．这与在一个平面，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故,'m m 重合，//m l ，性质定理得证．由同一法还可以证明：过一点与已知平面垂直的直线只有一条．点面距离与线面角 （一）主要方法：本板块所学容为点面距离与线面角，求点面距离有两种方法，首先可以通过直接法作面的垂线，其次可以通过体积法转化，或者将问题转化为与面平行的直线上的点到面的距离；线面角问题属于线面关系的一种，是线面垂直与面面垂直定理的应用． １．点、斜线、斜线段及射影⑴点在直线上的射影自点A 向直线l 引垂线，垂足1A 叫做点A 在直线l 上的射影．点A 到垂足的距离叫点到直线的距离．⑵点在平面的射影自点A 向平面α引垂线，垂足1A 叫做点A 在平面α的射影，这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到这个平面的距离．.. . . .. . . . .v ⑶斜线在平面的射影一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，斜线上一点和斜足间的线段，叫做这点到平面的斜线段．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这平面的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面的射影．2．直线和平面所成的角直线和平面所成的角，应分三种情况：⑴直线和平面斜交时，线面所成的角是这条直线和它在平面的射影所成的锐角；⑵直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90；⑶直线和平面平行或在平面时，直线和平面所成的角的大小为0．显然，直线和平面所成的角的围为0,90⎡⎤⎣⎦．由此可见，一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题），是通过斜线在平面的射影转化成两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：⑴作——作出斜线与射影所成的角；⑵证——论证所作（或找到）的角就是要求的角；⑶算——常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带作用。
空间位置关系的判断与证明.知识框架
高考要求模块框架空间位置关系的判断与证明平行．◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．知识内容1．集合的语言：我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：点A在直线l上，记作：A l∉；∈；点A不在直线l上，记作A l点A在平面α内，记作：Aα∉；∈；点A不在平面α内，记作Aα直线l在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作lα⊂；直线l不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作lα⊄；直线l和m相交于点A，记作{}=；=，简记为l m Al m Aαβ=．平面α与平面β相交于直线a，记作a2．平面的三个公理：⑴公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．图形语言表述：如右图：符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂⑵ 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图，符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α， 使,,A B C ααα∈∈∈．⑶ 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图：符号语言表述：,A a A a αβαβ∈⇒=∈．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．3．平面基本性质的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．4．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面．<教师备案>1．公理１反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面内．2．公理２可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平面，后面的三个推论都是由这个公理得到的．要强调这三点必须不共线，否则有无数多个平面经过它们． 确定一个平面的意思是有且仅有一个平面．3．公理３反应了两个平面的位置关系，两个平面（一般都指两个不重合的平面）只要有公共点，它们的交集就是一条公共直线．此公理可以用来证明点共线或点在直线上，可以从后面的例题中看到．4．平面基本性质的三个公理是不需要证明的，后面的三个推论都可以由这三个公理得到．推论１与２直接在直线上取点，利用公理１与２便可得到结论，推论３是由平行的定义得到存在性的，再由公理２保证唯一性．线线关系与线面平行1．平行线：在同一个平面内不相交的两条直线．平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 公理４（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．2．空间中两直线的位置关系：⑴共面直线：平行直线与相交直线；⑵异面直线：不同在任一平面内的两条直线．3．空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形．这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．如右图中的空间四边形ABCD ，它有四条边,,,AB BC CD DA ，两条对角线,AC BD ． 其中,AB CD ；,AC BD ；,AD BC 是三对异面直线．DCBA4．直线与平面的位置关系：⑴直线l 在平面α内：直线上所有的点都在平面内，记作l α⊂，如图⑴；⑵直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=，如图⑵； ⑶直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作//l α，如图⑶．l3()2()1()lAαααl5．直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号语言表述：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒． 图象语言表述：如右图：mlα6．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行．符号语言表述：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒． 图象语言表述：如右图：βαl m<教师备案>1．画线面平行时，常常把直线画成与平面的一条边平行； 2．等角定理证明：已知：如图所示，BAC ∠和B A C '''∠的边//AB A B ''，//AC A C ''，且射线AB与A B ''同向，射线AC 与A C ''同向． 求证：BAC B A C '''∠=∠证明：对于BAC ∠和B A C '''∠在同一平面内的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面内的情形．分别在BAC ∠的两边和B A C '''∠的两边上截取线段AD AE 、和A D A E ''''、，使,A D A D A E A E ''''==，因为//''AD A D ，所以AA D D ''是平行四边形 所以//AA DD ''．同理可得//AA EE ''，因此//DD EE ''． 所以DD E E ''是平行四边形． 因此DE D E ''=． 于是ADE A D E '''∆≅∆． 所以BAC B A C '''∠=∠．E'E DC BAA'D 'B 'C '3．根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线的平行线，得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面直线成的角．异面直线所成角的范围是π(0,]24．线面平行判定定理（,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒），即线线平面，则线面平行．要证明这个定理可以考虑用反证法，因为线线平行（//l m ），所以它们可以确定一个平面β，β与已知平面α的交线恰为m ，若线面不平行，则线面相交于一点，此点必在两个平面的交线m 上，从而得到l 与m 相交，与已知矛盾．5．线面平行性质定理，即线面平行，则线线平行，这平行的定义立即可得（共面且无交点）．面面平行的判定与性质1．两个平面的位置关系⑴两个平面,αβ平行：没有公共点，记为//αβ；画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如右图：⑵两个平面,αβ相交，有一条交线，l αβ=．2．两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面， 那么这两个平面平行．符号语言表述：,,,//,////a b a b A a b ααββαβ⊂⊂=⇒．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．3．两个平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言表述：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒． 图象语言表述：如右图：γbaβα<教师备案>1．画两个平面相交时，可以先画出交线，再补充其它，平面被遮住的部分画成虚线或不画． 如右图所示：2．面面平行的判定定理可以由线面平行的性质直接得到，如果满足定理条件的两个平面相交，则这两条相交直线都平行于平面的交线，与过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行的公理矛盾．故这两个平面不相交，是平行平面．3．面面平行的性质定理可以直接由两条交线无交点且共面得到．4．在证明线面平行，线线平行和面面平行的题时，常常遇到平行关系的转化，要灵活运用两个性质定理与两个判定定理，证明要求的结论．由于空间中平行关系与垂直关系是高考的核心内容，因此在出题时经常会有所结合，本板块专门就平行知识的题目类型归纳，更综合的题目会在第十一讲中详细讲解．由于线面与面面问题之间都是互相转化的，因此本板块中的面面平行题目较少，多数都为线面平行问题．本板块题目多采用两种方法，事实上就是两种思路证明线面平行，一种方法线线平行⇒线面平行，另一种方法是面面平行⇒线面平行．线面垂直1．线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称 这两条直线互相垂直．由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直． 2．直线与平面垂直：⑴概念：如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足． 垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如右图．αl直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥．⑵线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． ⑶线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．<教师备案>1．如果定义了异面直线所成角，则异面垂直即异面直线所成角为90︒．2．线面垂直的判定定理把定义中的与任意一条直线垂直这个很强的命题，转化为只需证明与两条相交直线垂直这个问题，从而大大简化了线面垂直的判断．n mA'EDCB Aβα要证明判定定理，只能用定义，若',',AA m AA n m n B ⊥⊥=，,m n α⊂，要证'AA α⊥，在平面α内任选一条直线g ，去证'AA g ⊥，结合右图，通过全等三角形的证明可得到，从而得到判定定理，具体的证法略． 3．线面垂直的性质定理，可以用同一法证明， 如图：laABm'mβα直线,l m αα⊥⊥，若直线,l m 不平行，则过直线l 与平面α的交点B 作直线'//m l ，从而有'm α⊥．又相交直线,'m m 可以确定一个平面β，记a αβ=，则因为,'m m 都垂直于平面α，故,'m m 都垂直于交线a ．这与在一个平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故,'m m 重合，//m l ，性质定理得证．由同一法还可以证明：过一点与已知平面垂直的直线只有一条．点面距离与线面角 （一）主要方法：本板块所学内容为点面距离与线面角，求点面距离有两种方法，首先可以通过直接法作面的垂线，其次可以通过体积法转化，或者将问题转化为与面平行的直线上的点到面的距离；线面角问题属于线面关系的一种，是线面垂直与面面垂直定理的应用． １．点、斜线、斜线段及射影⑴点在直线上的射影自点A 向直线l 引垂线，垂足1A 叫做点A 在直线l 上的射影．点A 到垂足的距离叫点到直线的距离．⑵点在平面内的射影自点A 向平面α引垂线，垂足1A 叫做点A 在平面α内的射影，这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到这个平面的距离． ⑶斜线在平面内的射影一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，斜线上一点和斜足间的线段，叫做这点到平面的斜线段．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这平面内的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影． 2．直线和平面所成的角直线和平面所成的角，应分三种情况：⑴直线和平面斜交时，线面所成的角是这条直线和它在平面内的射影所成的锐角； ⑵直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90；。
空间中的位置关系认识平面和空间中的位置关系
空间中的位置关系认识平面和空间中的位置关系空间中的位置关系认识——平面和空间中的位置关系空间中的位置关系是我们在日常生活中经常遇到的一个概念。
我们所处的世界是一个三维空间，其中包含平面和空间中的位置关系。
通过对位置关系的认识，我们可以更好地理解和描述物体在空间中的位置和相互关系。
本文将介绍平面和空间中的位置关系的概念和基本要素，并探讨如何通过图形和数学工具来表示和分析它们。
一、平面中的位置关系认识平面是一个有长度和宽度的二维空间，它是我们日常生活中最常接触到的空间之一。
在平面中，我们经常涉及到点、线和面等基本要素。
1. 点的位置关系点是平面上最基本的要素，它没有长度和宽度，只有位置。
在平面中，点可以唯一地用坐标表示，常见的表示方法是使用笛卡尔坐标系。
通过确定点的坐标，我们可以准确地描述点在平面中的位置。
2. 线的位置关系线是由无数个点组成的，它具有长度但没有宽度。
在平面中，我们经常遇到直线和曲线。
直线由两个点确定，通过这两个点可以唯一地定义一条直线。
曲线则没有这样的唯一性。
在平面中，我们还关心线与线之间的相对位置关系。
例如，两条直线可能相交，也可能平行或重合。
这些相对位置关系对于几何图形的分类和性质分析非常重要。
3. 面的位置关系面是平面上的一个区域，它是由无数个点和线组成的。
在平面中，我们经常涉及到三角形、四边形、圆等不同形状的面。
面与面之间的位置关系也是我们常常需要讨论的一个问题。
两个面可能相交，也可能平行或重合。
比如，两个三角形可能相互重叠，也可能只是有一些边重合。
二、空间中的位置关系认识空间是一个有长度、宽度和高度的三维空间，相比平面，它更加复杂。
在空间中，我们需要考虑点、直线、平面以及它们之间的位置关系。
1. 点的位置关系空间中的点与平面中的点类似，可以通过坐标来表示。
不同之处在于，空间中的点除了具有平面中的坐标外，还需要有高度的坐标。
通过这三个坐标，我们可以准确地描述空间中的点的位置。
空间几何的位置关系与证明
空间几何的位置关系与证明空间几何是研究空间中点、线、面等几何要素之间的位置关系的学科，广泛应用于建筑、工程、地理等领域。
在空间几何中，我们需要通过证明来得出准确的结论。
本文将介绍一些空间几何中的常见位置关系，并通过证明来解释它们。
一、点到点的位置关系在空间几何中，两个点之间可以存在不同的位置关系，常见的有以下几种情况：1. 两点重合：当两个点的坐标完全相同时，它们重合在同一个位置上。
我们可以通过计算两点的坐标来证明它们重合。
2. 两点重叠：当两个点的位置非常接近但不完全相同时，我们称它们为重叠。
通常我们需要通过测量两点之间的距离来证明它们的位置关系。
3. 两点相离：当两个点的位置远离并没有任何交集时，它们相离。
我们可以通过计算两点之间的距离来证明它们的位置关系。
二、线到线的位置关系在线到线的位置关系中，我们通常关注两条直线之间的相交情况。
下面是一些常见的情况：1. 直线相交：当两条直线在空间中相交于一个点时，我们称它们为相交。
要证明直线相交，我们可以找到它们的交点，并证明该交点在两条直线上。
2. 直线平行：当两条直线在空间中没有交点且始终保持相同的方向时，我们称它们为平行。
要证明直线平行，我们可以通过比较它们的斜率或者通过使用平行公理来证明。
3. 直线重合：当两条直线完全重合时，它们是同一条直线。
证明直线重合可以通过比较它们的方程或者通过验证它们上的两个点是否相同。
三、点到直线的位置关系点与直线之间的位置关系也是空间几何中的重要内容。
以下是一些常见的情况：1. 点在线上：当一个点与一条直线重合时，我们可以说该点在线上。
要证明一个点在线上，我们可以将该点的坐标代入直线的方程中，如果等式成立，则说明该点在线上。
2. 点在线上方或下方：对于一条直线，我们可以将它分为上方和下方两个区域。
对于一个点，如果它的纵坐标大于直线上所有点的纵坐标，我们称该点在直线上方；如果它的纵坐标小于直线上所有点的纵坐标，我们称该点在直线下方。
高考数学专题突破学生版-空间中点线面的位置关系(考点讲析)
理
线垂直于另一个平面.
α⊥β
α∩β＝MN
ABβ AB⊥MN
AB
⊥α
【典例 16】（2019·江西临川一中高三月考（文））如图，四面体 ABCD 中， ABC 是边长为 1 的正三角形，
8
ACD 是直角三角形， ABD CBD ， AB BD .
(1)证明：平面 ACD 平面 ABC ； (2)若点 E 为 BD 的中点，求点 B 到平面 ACE 的距离. 【典例 17】（2017 课标 1，文 18）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD，且 BAP CDP 90 ．
根据题意，确定两异面直线各自的方向向量 a，b，则两异面直线所成角θ满足 cosθ＝ | a ·b | . | a || b |
热门考点 04 与线、面平行相关命题的判定
1.直线与平面平行的判定与性质 判定 定义
定理
性质
图形
条件 a∩α＝∅
a α，b⊄α，a∥b a∥α
结论 a∥α
2. 面面平行的判定与性质
热门考点 03 异面直线所成的角
异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角或 直角叫作异面直线 a，b 所成的角(或夹角)．
②范围： (0, ] . 2
异面直线的判定方法：
判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；
4
【典例 8】（2019·北京高考真题（文））已知 l，m 是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥ ；③l⊥ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
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题型一 平面的基本性质
【例1】 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（ ）
A ．充分不必要条件．
B ．必要不充分条件．
C ．充要条件．
D ．既不充分也不必要条件．
【例2】 判断下面说法是否正确：
①如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面． ②经过一点的两条直线确定一个平面． ③经过空间任意三点有且只有一个平面．
④若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形． ⑤两个平面的公共点的集合，可能是一条线段．
⑥空间中的四个点只可能确定一个平面或四个平面．
【例3】 若P 是正方体1111ABCD A B C D -上底面对角线AC 上一点，则B 、D 、P 三点可以确定平面（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．无数个
D ．1个或无数个
【例4】 下列推理错误的是（ ）
A ．,,,A l A
B l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂
B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒=
C ．,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且,,A B C 不共线⇒,αβ重合
D ．,l A l A αα⊄∈⇒∉
【例5】 已知点A ，直线l ，平面α，
①,A l l A αα∈⊄⇒∉ ②,A l l A αα∈∈⇒∈ ③,A l l A αα∉⊂⇒∉ ④,A l A l αα∈∉⇒⊄ 以上命题表达正确，且是真命题的有________．
共线问题
【例6】 在正方体1111ABCD A B C D -中，O ，1O 分别是上，下底的中心，P 是1DB 的中点，则O 、P 、1
O 典例分析
板块一.对平面的进一步认识
三点（ ）
A ．不共面共线
B ．共线
C ．共面不共线
D ．不共面
【例7】 如图，已知在空间四边形ABCD 中（即这四点不共面），,,,E F G H 分别是AB 、BC 、CD 、AD
上的点，且EH 交FG 于P ．求证：P 在直线BD 上．
G F
E
D
C
B
A
P H
【例8】 在棱长为2的正方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别是 ,'AB CC 的中点，过点,,'E F D 的截面
与正方体的下底面相交于直线l ， ①请画出直线l 的位置；
②设l BC G =，求BG 的长．
【例9】 在三棱锥A BCD -中，作截面PQR ，若,PQ CB 的延长线交于M ，,RQ DB 的延长线交于点N ，
,RP DC 的延长线交于点K ．求证：,,M N K 三点共线．
K
R
Q
P N
M
D
B
C A
【例10】 已知正方体1111ABCD A B C D -，记1A C 与平面11ABC D 交于点Q ．求证：A ，Q ，1C 三点共线．
【例11】 在正方体 1111ABCD A B C D -中（如图）， 1A C 与截面 1DBC 交于O 点，,AC BD 交于M ，求证：
1,,C O M 三点共线．
M
O
D
D 1
A 1
A
B
B 1
C
C 1
【例12】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为上底面1111A B C D 的中心，M 是正方体对角线1A C 和截
面11AB D 的交点．求证：O 、M 、A 三点共线．
O
M A
B
C
D
B 1
C 1
D 1
A 1
共面问题 【例13】 如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．
【例14】 如图，直线,a b 是异面直线，,,A B C 为直线a 上三点，D E F ，，是直线b 上三点，
A B C D E '''''，，，，
分别为AD DB BE EC CF ，，，，的中点，
求证：⑴A B C C D E ''''''∠=∠；⑵A B C D E '''''，，，，共面．
E'D'C'B'A'
F
E
D C
B
A
a
b
【例15】 正方体1111ABCD A B C D -中，,,,,,E F G H K L 分别是111DC DD A D 、、、111A B BB BC 、、 的中点，求
证：这六点共面．
L
G F E D C
B
A
K H A 1
D 1B 1C 1
【例16】 已知正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别为11D C ，11B C 的中点，记1A C 与平面11ABC D 交于点Q ．
⑴求证：D 、B 、E 、F 四点共面；
⑵求证：A ，Q ，1C 三点共线．
【例17】 已知正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别为11D C ，11B C 的中点，AC
BD P =，11
AC EF Q =．
⑴求证：D 、B 、E 、F 四点共面；
⑵若1A C 交平面BDEF 于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线．
【例18】 已知空间四边形ABCD 的对角线是,AC BD ，点,,,,,E F G H M N 分别是,,AB BC ,CD ,,DA AC BD
的中点，
求证：三线段EG ，FH ，MN 交于一点且被该点平分．
题型二 平面分空间问题
【例19】 任给三个平面，可能把空间划分成几个部分？
【例20】 （2007重庆理3）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）
A ．5部分
B ．6部分
C ．7部分
D ．8部分
【例21】 把正方体的各个面伸展成平面，则把空间分为（ ）
A ．13部分
B ．19部分
C ．21部分
D ．27部分
【例22】 把正四面体的各个面伸展成平面，则把空间分为（ ）
A ．11部分
B ．13部分
C ．15部分
D ．17部分
【例23】 右图是一个长方体，问此长方体过点A 的三个面所在的平面将空间分成几个部分？侧面ABB A ''，
BCC B ''和对角面ACC A ''所在的三个平面将空间分成几个部分？
D'
C'
B'
A'
C
B
A
题型三 截面问题
【例24】 在正方体1111ABCD A B C D -中，P Q ，分别是棱1AA ，1CC 的中点，则过点B P Q ，，的截面
（ ） A ．邻边不等的平行四边形
B ．菱形但不是正方形
C ．邻边不等的矩形
D ．正方形
【例25】 如图所示，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，高为1，过1A A ，11A B 和AC 的中点E ，
F ，
G 画截面．
E
Q
M P
F
H
G
C 1
B 1
A 1
C
B
A
【例26】 正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别为BC ，AB ，11C D 的中点，求作正方体的过P 、Q 、
R 的截面．
R
S G Q
P
A
B C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
E
F M
N
【例27】 如图，求作经过棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的棱1AA 和1CC 的中点E 、F 及点1D 的截面．
⑵求该截面与正方体的下底面以及正方体侧面所围成的几何体的体积．
A B C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
P
F E
Q。