空间位置关系的判断与证明

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空间几何的点与面的位置关系

空间几何的点与面的位置关系在空间几何中，点和面是两个基本的几何概念。

它们在三维坐标系中具有不同的性质，但同时也存在着一定的位置关系。

本文将探讨点和面之间的几种常见的位置关系。

1. 点在面上在空间几何中，当一个点完全位于一个面上时，我们可以说这个点在这个面上。

要判断一个点是否在一个面上，我们可以通过判断点的坐标是否满足该面的方程。

例如，对于一个平面方程为ax+by+cz=d，如果一个点P的坐标满足该方程，即有a*x+b*y+c*z=d，那么点P就在该平面上。

2. 点在面的一侧除了在面上，一个点还可以位于一个面的一侧。

在这种情况下，点和面之间存在一定的距离。

我们可以利用面的法向量来判断点在面的一侧的具体位置。

如果点P与面的法向量的点积大于0，则说明点P在面的一侧；如果点积小于0，则说明点P位于面的另一侧。

3. 点在面的内部或外部除了位于面上或一侧，一个点还可以处于一个面的内部或外部。

这要根据面的形状和特点来判断。

例如，对于一个封闭的几何体，如立方体或球体，如果一个点位于其内部，那么该点与面的位置关系是在面的内部；相反，如果点位于几何体的外部，那么该点与面的位置关系是在面的外部。

4. 点在面的边界上在空间几何中，点还可以位于面的边界上。

这种情况下，点既不完全在面上，也不位于面的一侧，而是处于面与其它几何体的交界处。

例如，在一个立方体的边界上，点既不在立方体的内部，也不在立方体的外部，而是正好在立方体的边界上。

综上所述，空间几何中的点和面之间存在着多种不同的位置关系，包括点在面上、点在面的一侧、点在面的内部或外部以及点在面的边界上。

这些位置关系可以通过点的坐标和面的特征来进行准确的判断。

在解决空间几何问题时，我们需要理解并运用这些位置关系，以便更好地描述和分析点与面之间的关系，从而推导出几何学中的重要结论和定理。

通过研究和理解点和面的位置关系，我们可以进一步探索空间几何的其他相关概念和性质，如直线与平面的位置关系、点与直线的位置关系等。

空间几何中的平面与直线的位置关系判定

空间几何中的平面与直线的位置关系判定在我们的空间几何世界中，平面和直线是两个基本的元素，它们之间的位置关系多种多样，而准确判定这些位置关系对于解决几何问题至关重要。

首先，让我们来了解一下平面和直线的基本概念。

平面可以想象成一个无限延展的平坦表面，没有边界和厚度。

直线则是在空间中沿着一个方向无限延伸的几何图形。

平面与直线的位置关系主要有三种：平行、相交和直线在平面内。

当直线与平面平行时，意味着直线与平面没有公共点。

如何判定直线与平面平行呢？假设平面α外的一条直线 l ，如果在平面α内存在一条直线 m ，使得 l 平行于 m ，那么直线 l 就与平面α平行。

我们可以通过观察和构建相应的辅助线来进行判断。

举个例子，在一个房间里，地面可以看作一个平面，而天花板上平行于墙壁的灯管就可以看作与地面平行的直线。

接下来是直线与平面相交的情况。

这时直线与平面有且仅有一个公共点。

比如一根垂直立在地面上的旗杆，旗杆所在的直线就与地面这个平面相交，交点就是旗杆底部与地面的接触点。

要判定直线与平面相交，可以通过观察直线是否穿过平面，或者通过数学方法计算直线上的点是否在平面内来确定。

最后一种情况是直线在平面内。

这意味着直线上的所有点都在平面上。

比如说，在一张纸上画的直线，就完全在这张纸所代表的平面内。

在实际解题中，我们常常会用到一些定理和推论来帮助判定平面与直线的位置关系。

比如，如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

另外，空间向量也是一个非常有用的工具。

通过建立空间直角坐标系，将直线和平面用向量表示，然后利用向量的运算和性质来判定它们的位置关系。

例如，如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，那么直线与平面平行；如果直线的方向向量与平面的法向量平行，那么直线与平面垂直。

在具体的问题中，我们需要综合运用各种方法和定理，灵活地进行分析和判断。

再来说说一些常见的误区。

有时候，我们可能会因为观察角度的问题或者对概念理解不够清晰，而误判直线与平面的位置关系。

推导空间解析几何的位置关系与距离公式

推导空间解析几何的位置关系与距离公式在空间解析几何中，位置关系与距离公式是研究空间中点、直线、平面之间相互位置关系与距离的重要工具。

通过推导和研究，我们可以得到一系列的位置关系与距离公式，进一步拓宽我们对空间几何关系的认识。

一、点与点之间的位置关系与距离公式在三维空间中，我们首先考虑点与点之间的位置关系与距离公式。

假设点A（x1，y1，z1）和点B（x2，y2，z2）是空间中的两个点，我们可以得到它们之间的距离公式如下：d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)这个公式可以通过勾股定理推导得出，其中d表示两点之间的距离。

根据该公式，我们可以计算出任意两点之间的距离，从而判断它们的位置关系。

二、点与直线之间的位置关系与距离公式在空间解析几何中，点与直线之间的位置关系是一个重要的研究对象。

给定一条直线L与一个点P(x0, y0, z0)，根据点到直线的距离定义，我们可以推导出点P到直线L的距离公式。

设直线L的方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C分别为直线L的方向向量的分量。

点P到直线L的距离公式可以表示为：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²)通过这个公式，可以判断点和直线之间的位置关系，进一步研究空间中的几何性质。

三、点与平面之间的位置关系与距离公式接下来，让我们考虑点与平面之间的位置关系与距离公式。

给定一个平面的方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C分别为平面的法向量的分量。

对于空间中的一个点P(x0, y0, z0)，点P到平面的距离可以表示为：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²)通过这个公式，我们可以判断点和平面之间的位置关系，从而进一步研究和解决空间几何问题。

高三空间几何判定定理知识点

高三空间几何判定定理知识点空间几何判定定理是高中数学中的重要部分，它们是判断几何图形相等、全等、平行等性质的基础。

在高三学习中，空间几何判定定理的掌握对于解决各类几何问题至关重要。

本文将介绍高三空间几何判定定理的主要知识点。

一、平面与直线的位置关系判定定理1. 平面与直线平行判定定理：当一条直线与一个平面同时垂直于另一个平面时，这条直线和这个平面平行。

例如，在空间中，如果直线l垂直于平面A且垂直于平面B，则直线l与平面A平行。

2. 平面与直线垂直判定定理：当一条直线与一个平面的两条相交直线都分别垂直于平面的两条相交直线时，这条直线与这个平面垂直。

例如，在空间中，如果直线l1和直线l2都垂直于平面A且它们相交于点P，则直线l与平面A垂直。

二、直线与直线的位置关系判定定理1. 直线与直线相交判定定理：如果两条直线的方向向量不共线且直线上的一点在另一条直线上，则两条直线相交。

例如，在空间中，如果直线l1和直线l2的方向向量不共线且直线l1上的点P在直线l2上，则直线l1与直线l2相交。

2. 直线与直线平行判定定理：如果两条直线的方向向量共线且不重合，则两条直线平行。

例如，在空间中，如果直线l1和直线l2的方向向量共线且不重合，则直线l1与直线l2平行。

三、平面与平面的位置关系判定定理1. 平面与平面平行判定定理：如果两个平面的法线向量平行，则这两个平面平行。

例如，在空间中，如果平面A的法线向量与平面B的法线向量平行，则平面A与平面B平行。

2. 平面与平面垂直判定定理：如果一个平面的法线向量与另一个平面的两个相交直线的方向向量都垂直，则这两个平面垂直。

例如，在空间中，如果平面A的法线向量与平面B的两个相交直线l1和l2的方向向量都垂直，则平面A与平面B垂直。

四、点与直线、点与平面的位置关系判定定理1. 点在直线上的判定定理：如果一个点在直线上，则直线上的任意一点都与该点不重合。

例如，在空间中，如果点P在直线l上，则直线l上的任意一点都不与点P重合。

空间位置关系的判断与证明

空间中的线面关系要求层次重难点空间线、面的位置关系 B ①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所有的点在此平面．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理1，公理2，公理3，公理4，定理*A高考要求模块框架空间位置关系的判断与证明垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．知识内容1．集合的语言：我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ∉；点A 在平面α，记作：A α∈；点A 不在平面α，记作A α∉；直线l 在平面α（即直线上每一个点都在平面α），记作l α⊂；直线l 不在平面α（即直线上存在不在平面α的点），记作l α⊄；直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =；平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=．2．平面的三个公理：⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所有的点都在这个平面．图形语言表述：如右图：符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂⑵ 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面．图形语言表述：如右图，符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使,,A B C ααα∈∈∈．⑶ 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．图形语言表述：如右图：符号语言表述：,A a A a αβαβ∈⇒=∈．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．3．平面基本性质的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．4．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面，那么我们说它们共面．<教师备案>1．公理１反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面．2．公理２可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平面，后面的三个推论都是由这个公理得到的．要强调这三点必须不共线，否则有无数多个平面经过它们．确定一个平面的意思是有且仅有一个平面．3．公理３反应了两个平面的位置关系，两个平面（一般都指两个不重合的平面）只要有公共点，它们的交集就是一条公共直线．此公理可以用来证明点共线或点在直线上，可以从后面的例题中看到．4．平面基本性质的三个公理是不需要证明的，后面的三个推论都可以由这三个公理得到．推论１与２直接在直线上取点，利用公理１与２便可得到结论，推论３是由平行的定义得到存在性的，再由公理２保证唯一性．线线关系与线面平行1．平行线：在同一个平面不相交的两条直线．平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．公理４（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．2．空间中两直线的位置关系： ⑴共面直线：平行直线与相交直线； ⑵异面直线：不同在任一平面的两条直线．3．空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形．这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．如右图中的空间四边形ABCD ，它有四条边,,,AB BC CD DA ，两条对角线,AC BD ．其中,AB CD ；,AC BD ；,AD BC 是三对异面直线．DCBA4．直线与平面的位置关系：⑴直线l 在平面α：直线上所有的点都在平面，记作l α⊂，如图⑴；⑵直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=，如图⑵； ⑶直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作//l α，如图⑶．l3()2()1()lAαααl5．直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面的一条直线和平面的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号语言表述：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒．图象语言表述：如右图：mlα6．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行．符号语言表述：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒．图象语言表述：如右图：βαl m<教师备案>1．画线面平行时，常常把直线画成与平面的一条边平行； 2．等角定理证明：已知：如图所示，BAC ∠和B A C '''∠的边//AB A B ''，//AC A C ''，且射线AB与A B ''同向，射线AC 与A C ''同向．求证：BAC B A C '''∠=∠证明：对于BAC ∠和B A C '''∠在同一平面的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面的情形．分别在BAC ∠的两边和B A C '''∠的两边上截取线段AD AE 、和A D A E ''''、，使,AD A D AE A E ''''==，因为//''AD A D ，所以AA D D ''是平行四边形所以//AA DD ''．同理可得//AA EE ''，因此//DD EE ''．所以DD E E ''是平行四边形．因此DE D E ''=．于是ADE A D E '''∆≅∆．所以BAC B A C '''∠=∠．E'E DC BAA'D 'B 'C '3．根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线的平行线，得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面直线成的角．异面直线所成角的围是π(0,]24．线面平行判定定理（,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒），即线线平面，则线面平行．要证明这个定理可以考虑用反证法，因为线线平行（//l m ），所以它们可以确定一个平面β，β与已知平面α的交线恰为m ，若线面不平行，则线面相交于一点，此点必在两个平面的交线m 上，从而得到l 与m 相交，与已知矛盾．5．线面平行性质定理，即线面平行，则线线平行，这平行的定义立即可得（共面且无交点）．面面平行的判定与性质1．两个平面的位置关系⑴两个平面,αβ平行：没有公共点，记为//αβ；画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如右图：⑵两个平面,αβ相交，有一条交线，l αβ=．2．两个平面平行的判定定理：如果一个平面有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．符号语言表述：,,,//,////a b a b A a b ααββαβ⊂⊂=⇒．推论：如果一个平面有两条相交直线分别平行于另一个平面的两条相交直线，则这两个平面平行．3．两个平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号语言表述：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒．图象语言表述：如右图：γbaβα<教师备案>1．画两个平面相交时，可以先画出交线，再补充其它，平面被遮住的部分画成虚线或不画．如右图所示：2．面面平行的判定定理可以由线面平行的性质直接得到，如果满足定理条件的两个平面相交，则这两条相交直线都平行于平面的交线，与过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行的公理矛盾．故这两个平面不相交，是平行平面．3．面面平行的性质定理可以直接由两条交线无交点且共面得到．4．在证明线面平行，线线平行和面面平行的题时，常常遇到平行关系的转化，要灵活运用两个性质定理与两个判定定理，证明要求的结论．由于空间中平行关系与垂直关系是高考的核心容，因此在出题时经常会有所结合，本板块专门就平行知识的题目类型归纳，更综合的题目会在第十一讲中详细讲解．由于线面与面面问题之间都是互相转化的，因此本板块中的面面平行题目较少，多数都为线面平行问题．本板块题目多采用两种方法，事实上就是两种思路证明线面平行，一种方法线线平行⇒线面平行，另一种方法是面面平行⇒线面平行．线面垂直1．线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直．2．直线与平面垂直：⑴概念：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面的任意一条直线垂直．画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如右图．lα直线l与平面α互相垂直，记作lα⊥．⑵线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．⑶线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．<教师备案>1．如果定义了异面直线所成角，则异面垂直即异面直线所成角为90︒．2．线面垂直的判定定理把定义中的与任意一条直线垂直这个很强的命题，转化为只需证明与两条相交直线垂直这个问题，从而大大简化了线面垂直的判断．nmA'EDCB Aβα要证明判定定理，只能用定义，若',',AA m AA n m n B ⊥⊥=，,m n α⊂，要证'AA α⊥，在平面α任选一条直线g ，去证'AA g ⊥，结合右图，通过全等三角形的证明可得到，从而得到判定定理，具体的证法略． 3．线面垂直的性质定理，可以用同一法证明，如图：laABm'mβα直线,l m αα⊥⊥，若直线,l m 不平行，则过直线l 与平面α的交点B 作直线'//m l ，从而有'm α⊥．又相交直线,'m m 可以确定一个平面β，记a αβ=，则因为,'m m 都垂直于平面α，故,'m m 都垂直于交线a ．这与在一个平面，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故,'m m 重合，//m l ，性质定理得证．由同一法还可以证明：过一点与已知平面垂直的直线只有一条．点面距离与线面角（一）主要方法：本板块所学容为点面距离与线面角，求点面距离有两种方法，首先可以通过直接法作面的垂线，其次可以通过体积法转化，或者将问题转化为与面平行的直线上的点到面的距离；线面角问题属于线面关系的一种，是线面垂直与面面垂直定理的应用．１．点、斜线、斜线段及射影⑴点在直线上的射影自点A 向直线l 引垂线，垂足1A 叫做点A 在直线l 上的射影．点A 到垂足的距离叫点到直线的距离．⑵点在平面的射影自点A 向平面α引垂线，垂足1A 叫做点A 在平面α的射影，这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到这个平面的距离．.. . . .. . . . .v ⑶斜线在平面的射影一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，斜线上一点和斜足间的线段，叫做这点到平面的斜线段．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这平面的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面的射影．2．直线和平面所成的角直线和平面所成的角，应分三种情况：⑴直线和平面斜交时，线面所成的角是这条直线和它在平面的射影所成的锐角；⑵直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90；⑶直线和平面平行或在平面时，直线和平面所成的角的大小为0．显然，直线和平面所成的角的围为0,90⎡⎤⎣⎦．由此可见，一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题），是通过斜线在平面的射影转化成两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：⑴作——作出斜线与射影所成的角；⑵证——论证所作（或找到）的角就是要求的角；⑶算——常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带作用。

空间平面的位置关系

空间平面的位置关系空间平面的位置关系是指在三维空间中，不同平面之间的相对位置和相互关系。

了解和理解空间平面的位置关系对于几何学和工程等领域的研究具有重要意义。

本文将从水平位置关系、垂直位置关系和倾斜位置关系三个方面探讨空间平面的位置关系。

一、水平位置关系所谓水平位置关系，是指在水平方向上不同平面之间的相对位置。

在三维空间中，我们可以将水平视为地平面方向。

在这种情况下，如果两个平面的法线向量的水平分量相等（即两个平面的倾斜角度相等），则可以说它们在水平位置上是平行的。

相反，如果两个平面的法线向量的水平分量不等，则可以说它们在水平位置上是交叉的。

二、垂直位置关系垂直位置关系是指不同平面之间的垂直关系。

在三维空间中，我们可以将垂直视为垂直于地平面的方向。

如果两个平面的法线向量互相垂直，则可以说它们在垂直位置上是正交的。

正交的平面之间的夹角为90度。

相反，如果两个平面的法线向量不垂直，则可以说它们在垂直位置上是斜交的。

斜交的平面之间的夹角不为90度。

三、倾斜位置关系倾斜位置关系是指在水平和垂直方向上不同平面之间的相对位置。

在三维空间中，我们可以将倾斜视为不平行也不垂直的方向。

如果两个平面既不平行也不垂直，则可以说它们在倾斜位置上是倾斜的。

倾斜的平面之间的夹角可以是任意角度。

在实际应用中，空间平面的位置关系常常与几何图形的相交关系和相切关系有着密切联系。

例如，在建筑设计中，如果两个平面相交，则会产生交线，可以用于确定建筑构件的位置和尺寸。

而如果两个平面相切，则可以用于确定曲面的接触点和接触角度。

在计算机图形学和三维建模等领域，对于空间平面的位置关系的准确描述和计算也是非常重要的。

通过合理的算法和数学模型，可以准确地判断平面之间的位置关系，从而实现各种复杂的图形操作和几何计算。

总结起来，空间平面的位置关系涉及到水平位置关系、垂直位置关系和倾斜位置关系。

这些关系在几何学、工程学和计算机图形学等领域中具有广泛的应用。

空间直线与平面的位置关系与判定

空间直线与平面的位置关系与判定空间中的直线和平面是几何学中常见的基本要素，它们之间的位置关系及其判定方法在解决实际问题和进行空间几何推理时起着至关重要的作用。

本文将就空间直线与平面的位置关系以及判定方法进行分析和探讨。

一、空间直线与平面的位置关系在三维空间中，直线与平面之间可以存在三种不同的位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。

下面将分别对这三种情况进行详细说明。

1. 直线在平面内：当直线完全包含在平面内部时，我们称直线在平面内。

这种情况下，直线上的所有点都同时满足平面方程，即直线上的任意一点坐标代入平面方程后等式成立。

举例来说，考虑一条直线L：{(x,y,z)|x+y-z+1=0}，以及一个平面P：x+y-z=0。

可以发现，直线L上的所有点坐标代入平面P的方程后等式成立，所以该直线L在平面P内。

2. 直线与平面相交：当直线与平面有交点时，我们称直线与平面相交。

直线与平面相交的情况下，直线上的所有点坐标代入平面方程后等式成立，但并不能包含直线上的所有点。

以直线L：{(x,y,z)|x+y-z+1=0}与平面P：x+2y+3z=0为例，我们可以求解这两个方程组，找出它们的交点。

经计算可得，L和P的交点为(-1, -2, 1)，因此直线L与平面P相交。

3. 直线与平面平行：当直线与平面没有交点且直线上的所有点坐标代入平面方程后等式不成立时，我们称直线与平面平行。

以直线L：{(x,y,z)|x+y-z+1=0}和平面P：2x+2y-2z+2=0为例，我们可以观察到直线L上的任意一点坐标代入平面P的方程后等式不成立。

因此，直线L与平面P平行。

二、空间直线与平面的判定方法在实际问题中，我们常常需要根据给定的方程或条件来判断直线与平面之间的位置关系。

下面将介绍两种常用的判定方法：点法向式和方向向量法。

1. 点法向式：点法向式是通过平面上的一点和该平面的法向量来表示平面的方程。

利用点法向式可以判断直线与平面的位置关系。

2021届高考数学二轮立体几何空间位置关系的判断与证明

4
15
C.5
D. 5
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解析：如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 上方放一个完全一样的三棱柱，记为 A1B1C1 A2B2C2，取 A1A2 的中点 D，连接 CD， DB2，FB2，则 C，F，B2 三点共线，则 AE 与 CF 所成的角就是 DB2 与 CB2 所成的角，易知 AC＝2 2，CD＝ 17，B2D＝
(1)求证：B′D′∥平面 AECF； (2)求三棱锥 B′AD′F 的体积．
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[解] (1)证明：作 D′M⊥AF，交 AF 于点 M，作 B′N⊥EC，交 CE 于点 N，连接 MN，如图．
∵AD′ ＝ D′F＝2， B′ C＝ B′E＝2，
∠AD′F＝∠CB′E＝90°， ∴M，N 分别为 AF，CE 的中点，且 D′M＝B′N＝ 2. ∵平面 AD′F⊥底面 AECF，平面 AD′F∩底面 AECF＝AF， D′M⊥AF，D′M⊂平面 AD′F，∴D′M⊥底面 AECF. 同理可得 B′N⊥底面 AECF.
α 与 β 可能相交，故 D 错误．故选 B、C. 答案：BC
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2.[异面直线所成的角](2020·深圳市统一模拟)已C＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，BB1
和 B1C1 的中点分别为 E，F，则 AE 与 CF 所成角的余弦
值为
()
A.
3 5
B.25
A．①②④
B．①③
C．②④
D．①③④
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解析：如图，①当 P，Q 分别是 AD1 与 B1C 的中点时，AB∥PQ，①正确． ②设正方体棱长为 2，当 P 在 A 处时， Q 在 B1 处，△BPQ 的面积为 2，当 P 在 AD1 的中点，Q 在 B1C 的中点时，△BPQ 的面积为 2，故②错误． ③当 PA＞0 时，设直线 PB1 与 AQ 是共面直线，则 AP 与 B1Q 共面，矛盾，故假设不成立，所以直线 PB1 与 AQ 是异面直线，③正确．

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考点一考点二考点三增分强化练(十七) 增分强化练(十八)
空间中的翻折问题
考情调研
考向分析
将平面图形翻折成空间图形，既是实际应用问题的需要，
又具有考察学生空间想象能力、逻辑推理、数学实践、综 1.翻折后空间关系的证明．合分析问题能力的功能，因此，它是高考中的一种常见题 2.翻折中的探索性问题.
答案：D
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考点一考点二考点三增分强化练(十七) 增分强化练(十八)
2．(2019·泰安模拟)如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与 PRQ 所在平面平行的是( )
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[题后悟通] 1．直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
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∴MH＝ 1＋x x2＝面 ABCE，
1≤ x＋1x
22，当且仅当
x＝1x，即
x＝1
时等号成立，此时
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2．直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
第2讲空间位置关系的判断与证明
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空间线、面位置关系的判断
考情调研
考向分析
主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和 1.空间线面位置关系的判断．
求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的 2.异面直线所成角．
形式出现，解题要求有较强的空间想象能力和逻辑推理 3.线面角.
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2．用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角． (3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
1 A.2
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2 B. 2
6 C. 3
D．1
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解析：由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥 D′-ABCE 中，底面 ABCE 为边长是 1 的正方形，侧面 D′EA 中，D′E⊥AE，且 D′E＝AE＝1. ∵AE⊥D′E，AE⊥CE，D′E∩CE＝E， ∴AE⊥平面 D′CE. 作 D′M⊥CE 于 M，作 MN⊥AB 于 N，连接 D′N，则由 AE⊥平面 D′CE，可得 D′M⊥AE， ∴D′M⊥平面 ABCE. 又 AB⊂平面 ABCE， ∴D′M⊥AB.
C 中，如图，作截面可得平面 PQR∩平面 HGN＝HN.
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D 中，如图，作截面可得 QN，C1M 为两相交直线，因此平面 PQR 与平面 A1MC1 不平行．
答案：A
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解析：(1)证明：由底面 ABCD 为矩形，知 AD⊥CD. 又因为 DE⊥AD，DE∩CD＝D, 所以 AD⊥平面 CDE. 又因为 CE⊂平面 CDE，所以 AD⊥CE.
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4．(2019·湘潭模拟)已知四棱锥 P-ABCD 的底面边长都为 2，PA＝PC＝2 3，PB＝PD，且∠DAB＝60°，M 是 PC 的中点，则异面直线 MB 与 AP 所成的角为________．解析：如图所示，连接 AC 与 BD 相交于 N，则 MN∥PA，根据异面直线所成角的定义，可得 MB，AP 所成的角为∠NMB 或∠NMB 的补角，由题意，在△MNB 中，NB＝1，MN＝ 3， BN⊥MN，则 tan∠NMB＝MNBN＝ 33，所以∠NMB＝30°. 答案：30°
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(3)结论：线段 BE 上存在点 Q(即 BE 的中点)，使得平面 ADQ⊥平面 BCE.
证明如下：
取 CE 的中点 P，BE 的中点 Q，连接 AQ，DP，PQ，则 PQ∥BC.
由 AD∥BC，得 PQ∥AD.
所以 A，D，P，Q 四点共面.
解析：A 中，因为 PQ∥AC∥A1C1，所以可得 PQ∥平面 A1BC1，又 RQ∥A1B，可得 RQ∥平面 A1BC1，从而平面 PQR∥平面 A1BC1 B 中，如图，作截面可得平面 PQR∩平面 A1BN＝HN.
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型.
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[题组练透] 1．(2019·东三省三校模拟)如图，直角梯形 ABCD，∠ABC＝90°，CD＝2，AB＝BC＝ 1，E 是边 CD 的中点，△ADE 沿 AE 翻折成四棱锥 D′-ABCE，则点 C 到平面 ABD′ 距离的最大值为( )
解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化
归的思想.
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[题组练透]
1．(2019·乌鲁木齐质检)已知直线 l⊥平面 α，直线 m⊂平面 β，以下四个命题：①若 α
∥β，则 l⊥m；②若 α⊥β，则 l∥m；③若 l∥m，则 α⊥β；④若 l⊥m，则 α∥β，其中
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空间线面平行、垂直关系的证明
考情调研
考向分析
直线、平面平行、垂直的判定及其性质是高考中的重
点考查内容，涉及线线、线面、面面平行与垂直的判 1.线面、面面平行关系的证明．
定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现， 2.线面、面面垂直关系的证明.
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[题后悟通] 1．判断与空间位置关系有关命题真假的 3 种方法 (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断． (2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定． (3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．
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由(1)，知 AD⊥平面 CDE，所以 AD⊥DP，故 BC⊥DP. 在△CDE 中，由 DC＝DE，可得 DP⊥CE. 又因为 BC∩CE＝C，所以 DP⊥平面 BCE. 又因为 DP⊂平面 ADPQ，所以平面 ADPQ⊥平面 BCE(即平面 ADQ⊥平面 BCE)．即线段 BE 上存在点 Q(即 BE 中点)，使得平面 DQ⊥平面 BCE.3
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2．(2019·张家口、沧州模拟)已知直线 a，b 和平面 α，a⊂α，则 b⊄α 是 b 与 a 异面的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：由题意，若直线 b 不在平面 α 内，则 b 与 a 相交或 b∥a，不一定有 b 与 a 异面，反之，若 b 与 a 异面，一定有直线 b 不在平面 α 内，即 b⊄α 是 b 与 a 异面的必要不充分条件．故选 B.
3．(2019·北京西城区模拟)如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 为矩形，侧面 ADEF 为梯形，AF∥DE，DE⊥AD，DC＝DE.
(1)求证：AD⊥CE；
(2)求证：BF∥平面 CDE；
(3)判断线段 BE 上是否存在点 Q，使得平面 ADQ⊥平面 BCE？并说明理由．
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正确的两个命题是( )
A．①与②
B．③与④
C．②与④
D．①与③
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解析：对于①，因为直线 l⊥平面 α，α∥β，所以直线 l⊥平面 β，因直线 m⊂平面 β，所以 l⊥m，故①正确；对于②，l 与 m 异面、平行或相交，故②错误；对于③，因为直线 l⊥平面 α，l∥m，所以 m⊥α，而 m⊂β，所以 α⊥β，所以③正确；对于④，当直线 l⊥平面 α，直线 m⊂平面 β，l⊥m 时，α、β 平行或相交，故④错误，综上，① 与③正确，故选 D.