空间位置关系与距离专题
空间中的位置关系
空间中的位置关系空间中的位置关系是指事物在三维空间中的相对位置和相互关系。
在我们日常生活中，我们经常需要描述和了解物体或者人在空间中的位置关系，比如左右、前后、上下等等。
本文将从不同角度探讨空间中的位置关系。
一、方位和方向方位是指一个点所处的位置相对于参照物的位置关系，主要有东、西、南、北四个基本方位。
而方向则是指物体或者人的移动的指向，包括前进、后退、向左、向右等等。
方位和方向是空间中的重要位置关系，可以通过地图、指南针等工具进行标示和表示。
举个例子，想象一下你在一个完全陌生的城市里，你可能会问路人某地如何走，他们往往会告诉你“往东走三个街区然后向北转”，这就是通过方位和方向来描述空间中的位置关系。
二、上下左右上下左右是我们最常见的位置描述词语，用于描述物体或者人在空间中的位置关系。
上下是垂直方向的位置关系，而左右是水平方向的位置关系。
比如，我们说树在房子的左边，鸟儿在树上，这就是通过上下左右来描述它们在空间中的位置关系。
三、前后前后是物体或者人在运动中的相对位置关系。
当我们说有人在我前面排队，或者汽车在我后面行驶时，这就是在通过前后来描述它们在空间中的位置关系。
四、内外内外是指物体或者人相对于一个空间的内部或外部的位置关系。
比如，我们说书在书包里，人在房间内，就是通过内外来描述它们在空间中的位置关系。
五、距离距离是指两个点或者物体之间的空间距离，可以通过长度、时间等单位来表示。
距离也是空间中的一种位置关系，比如我们说两个城市之间的距离是200公里，或者书架离床的距离很近等等。
六、空间关系的应用空间的位置关系在我们的日常生活和实际应用中有着重要的作用。
比如，在建筑设计中，需要考虑各个房间或者设施的位置关系，以便提供合理的使用体验；在交通规划中，需要合理安排道路和交通设施的位置关系，以便提高交通效率；在地图制作中，需要准确标示地理位置关系，以便人们能够快速准确地找到目的地。
七、总结空间中的位置关系是我们在日常生活中经常接触到的内容，通过方位和方向、上下左右、前后、内外以及距离等方式来描述物体或者人在空间中的位置关系。
直线与平面的距离与位置关系
直线与平面的距离与位置关系直线与平面的距离与位置关系是几何学中的基础概念之一。
在空间中，直线和平面是我们常见的图形和物体。
了解直线与平面之间的距离与位置关系，对于解决几何问题以及应用于现实生活中的问题都是非常重要的。
本文将详细介绍直线与平面的距离计算方法以及它们之间的位置关系。
一、直线与平面的距离计算1. 点到平面的距离计算公式要计算一个点到平面的距离，我们可以应用以下公式：距离= |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中，平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x, y, z)。
公式中的分子|Ax + By + Cz + D|代表的是点到平面的有向距离。
2. 直线到平面的距离计算公式要计算一条直线到平面的距离，我们可以使用以下公式：距离= |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中，直线上的一点坐标为(x1, y1, z1)，平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0。
同样，公式中的分子|Ax1 + By1 + Cz1 + D|代表的是有向距离。
二、直线与平面的位置关系1. 直线与平面相交当一条直线与平面相交时，我们可以根据直线与平面之间的角度来判断它们的位置关系。
当直线与平面的夹角为锐角时，直线与平面相交于一点。
当直线与平面的夹角为直角时，直线与平面相交于一条直线。
这种情况常见于垂直于平面的直线。
当直线与平面的夹角为钝角时，直线与平面不相交。
2. 直线与平面平行或重合当一条直线与平面平行时，它们之间的距离为点到平面的距离。
根据上文提到的点到平面的距离公式，我们可以计算出直线与平面的距离。
当一条直线与平面重合时，它们的位置完全一样，距离为0。
三、示例问题现在，我们通过几个示例问题来更好地理解直线与平面的距离与位置关系。
示例问题1：计算点P(2, 3, 4)到平面2x - 3y + z - 7 = 0的距离。
推导空间解析几何的位置关系与距离公式
推导空间解析几何的位置关系与距离公式在空间解析几何中，位置关系与距离公式是研究空间中点、直线、平面之间相互位置关系与距离的重要工具。
通过推导和研究，我们可以得到一系列的位置关系与距离公式，进一步拓宽我们对空间几何关系的认识。
一、点与点之间的位置关系与距离公式在三维空间中，我们首先考虑点与点之间的位置关系与距离公式。
假设点A（x1，y1，z1）和点B（x2，y2，z2）是空间中的两个点，我们可以得到它们之间的距离公式如下：d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)这个公式可以通过勾股定理推导得出，其中d表示两点之间的距离。
根据该公式，我们可以计算出任意两点之间的距离，从而判断它们的位置关系。
二、点与直线之间的位置关系与距离公式在空间解析几何中，点与直线之间的位置关系是一个重要的研究对象。
给定一条直线L与一个点P(x0, y0, z0)，根据点到直线的距离定义，我们可以推导出点P到直线L的距离公式。
设直线L的方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C分别为直线L的方向向量的分量。
点P到直线L的距离公式可以表示为：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²)通过这个公式，可以判断点和直线之间的位置关系，进一步研究空间中的几何性质。
三、点与平面之间的位置关系与距离公式接下来，让我们考虑点与平面之间的位置关系与距离公式。
给定一个平面的方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C分别为平面的法向量的分量。
对于空间中的一个点P(x0, y0, z0)，点P到平面的距离可以表示为：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²)通过这个公式，我们可以判断点和平面之间的位置关系，从而进一步研究和解决空间几何问题。
空间直线的位置关系
空间直线的位置关系直线是几何学中基本的图形之一，它是由无数个点连结而成的。
而空间直线则是三维空间中的一条直线，具有独特的位置关系。
本文将探讨空间直线的位置关系，通过几个具体案例来加深理解。
一、平行关系如果两条直线在三维空间中永不相交，那么它们被称为平行直线。
平行直线具有以下特点：1. 方向相同：平行直线不会发生交叉或相交，它们的方向是相同的；2. 距离相等：平行直线之间的距离始终保持不变；3. 永不相交：无论空间多大，这两条直线都不会相交。
例如，在三维坐标系中，直线AB与直线CD平行。
这意味着AB与CD的方向相同，两者之间的距离保持不变，且两条直线永远不会相交。
二、垂直关系如果一条直线与平面的交角为90度，那么该直线与平面垂直。
垂直直线与平面之间的位置关系具有以下特点：1. 方向垂直：垂直直线与平面相互垂直，不存在交叉的部分；2. 交角为90度：垂直直线与平面的交角始终为90度；3. 交点唯一：垂直直线与平面只会有一个交点。
举个例子，设有一条通过点A的直线与平面P垂直，那么这条直线满足上述特点：与平面P相交的线段AO为垂直直线，直线AO与平面P的交角为90度，且直线AO与平面P的交点O是唯一的。
三、相交关系两条直线的交点是它们在三维空间中相互交汇的位置。
两条直线的位置关系可以分为以下几种情况：1. 有且仅有一个交点：两条不平行的直线在三维空间中相交，且只有一个交点；2. 无交点：两条不平行的直线在三维空间中没有交点；3. 重合：两条直线在三维空间中完全重合，有无数个交点。
例如，直线l1与直线l2相交于点O，这意味着直线l1和l2在三维空间中有且仅有一个交点。
又如，直线m与直线n平行，它们在三维空间中没有交点。
结论空间直线的位置关系可以通过平行关系、垂直关系和相交关系来描述。
平行关系指的是两条直线永不相交，具有相同的方向和距离；垂直关系指的是直线与平面之间的交角为90度，只有一个交点；相交关系指的是直线之间存在交点，可以是一个或无穷个。
位置关系的认识与描述
位置关系的认识与描述通过我们对周围环境的观察和认知，我们可以发现许多物体和事物之间存在着位置关系。
位置关系是指在空间中，物体之间的相对位置或方位关系。
在本文中，我们将深入探讨位置关系的不同类型以及如何准确地描述它们。
一、接触关系接触关系是指物体之间在空间中部分或全部相互接触的状态。
例如，手掌接触桌子、门紧靠墙壁等。
接触关系可以细分为两种类型：直接接触和间接接触。
直接接触是指物体之间的接触是直接的，没有其他物体介入。
例如，手指直接接触到桌面，书靠在书架上等。
间接接触是指物体之间的接触是通过其他物体介入的。
例如，桌子上摆放了一个杯子，杯子与桌面的接触是通过杯垫来实现的。
二、相对位置关系相对位置关系是指物体之间的位置相对于其他物体或空间的位置。
常见的相对位置关系包括上下、前后、左右等。
1. 上下关系：用来描述物体在垂直方向上的位置关系。
例如，书在桌子上方、地铁站在地面下方等。
2. 前后关系：用来描述物体在水平方向上的位置关系。
例如，房子在公园前面、小车在大卡车后面等。
3. 左右关系：用来描述物体在水平方向上的相对位置。
例如，树在小路的左边、门在窗户的右边等。
三、方位关系方位关系是指物体或地点相对于参考点的方位或方向关系。
常见的方位关系包括东西南北、上下左右等。
1. 东西南北：通常用来描述位置相对于地理方位的关系。
例如，公园位于城市的西部、海洋位于大陆的东方等。
2. 上下左右：用来描述物体相对于自身参照物的方位关系。
例如，书上写着字、电视屏幕右下角显示时间等。
四、距离关系距离关系是指物体之间在空间中的距离远近。
描述距离可以使用具体的数值，如米、千米等，也可以用近与远、近与远等相对词语来表达。
距离关系的描述可以根据具体的情况采用不同的表达方式。
例如，两个城市之间的距离是400公里，房间里的两张椅子相距1米等。
五、平行关系平行关系是指物体或线条之间保持相等距离但没有交叉的状态。
例如，两条平行线永远不会相交，铁轨上的两条铁轨平行等。
空间中直线与直线的位置距离
条?
1
B D C
1
1
1
C
A
B
五、思考：
在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线平行。 空间中,如果两条直线都与第三条直线平行,是否也有类似的规律?
如右图,长方体 ABCD A B C D 中， AA1∥BB1,AA1∥DD1,那么 BB1 ∥DD1
1 1 1 1
D1 A1 D A B B1
只有一个
共面
平行
异面
没有
没有
共面
不共面
按平面基本性质分
1、同在一个平面内：相交直线，平行直线 2、不同在任何一个平面内：异面直线
按公共点个数分
1、有一个公共点：相交直线
2、无公共点：平行直线，异面直线
三
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
不一定，它们可能异面，可能相交，也可能平行
两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行. 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.
练习1：请在教室里找出异面直线的例子
练习2：判断下列各图中直线l与m是异面直线吗？
（1）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
（6 ）
练习3：辨析
• • • • • (1)空间中没有公共点的两条直线是异面直线； (2) 分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线; (3) 不同在某一平面内的两条直线是异面直线; (4) 不同在任一平面内的两条直线是异面直线； (5) 平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面 直线; • (6) 既不相交，又不平行的两条直线是异面直线 .
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小结
• 1、异面直线的定义: 不同在任何一个平面内的两 条直线叫做异面直线。 • 2、空间两直线的位置关系（平行、相交、异面） • 3、异面直线的画法：用平面来衬托 • 4、什么是平行公理?它的作用是什么? 平行同一条直线的两条直线互相平行 判断两直线平行，它将空间平行问题转化为平 面内的平行问题
高中数学复习专题讲座关于求空间距离的问题
高中数学复习专题讲座关于求空间距离的问题高考要求空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一样化归为这三种距离重难点归纳空间中的距离要紧指以下七种(1)两点之间的距离(2)点到直线的距离(3)点到平面的距离(4)两条平行线间的距离(5)两条异面直线间的距离(6)平面的平行直线与平面之间的距离(7)两个平行平面之间的距离七种距离差不多上指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离七种距离之间有紧密联系，有些能够相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点求点到平面的距离(1)直截了当法，即直截了当由点作垂线，求垂线段的长(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离(3)体积法(3)向量法求异面直线的距离 (1)定义法，即求公垂线段的长 (2)转化成求直线与平面的距离 (3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分不在两条异面直线上两点间距离中最小的典型题例示范讲解例1把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分不是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求(1)EF的长；(2)折起后∠EOF的大小命题意图考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何咨询题知识依靠空间向量的坐标运算及数量积公式错解分析建立正确的空间直角坐标系其中必须保Array证x轴、y轴、z轴两两互相垂直技巧与方法建系方式有多种，其中以O点为原点，以、、的方向分不为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单解 如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz , 设正方形ABCD 边长为a ,那么A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0), D (0,0, 22a ),E (0,－42a , a ),F (42a ,42a ,0) 21||||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420)0,42,42(),42,42,0()2(23,43)420()4242()042(||)1(22222-=>=<==-=⋅+-+⨯=⋅=-==∴=-+++-=OF OE OF OE a OF a OE a a a a a a a a a a EF a a a a a ∴∠EOF =120°例2正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离命题意图 此题要紧考查异面直线间距离的求法知识依靠 求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得错解分析 此题容易错误认为O 1B 是A 1C 与AB 1的距离，这要紧是对异面直线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离技巧与方法 求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采纳化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得解法一 如图，在正方体AC 1中， ∵A 1C 1∥AC ,∴A 1C 1∥平面AB 1C ， ∴A 1C 1与平面AB 1C 间的距离等于异面直线A 1C 1与AB 1间的距离连结B 1D 1、BD ，设B 1D 1∩A 1C 1=O 1,BD ∩AC =O ∵AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，∴AC ⊥平面BB 1D 1D ∴平面AB 1C ⊥平面BB 1D 1D ，连结B 1O ，那么平面AB 1C ∩平面BB 1D 1D =B 1O作O 1G ⊥B 1O 于G ，那么O 1G ⊥平面AB 1C∴O 1G 为直线A 1C 1与平面AB 1C 间的距离，即为异面直线A 1C 1与AB 11A间的距离在Rt △OO 1B 1中，∵O 1B 1=22，OO 1=1，∴OB 1=21121B O OO += 26 ∴O 1G =331111=⋅OB B O O O ，即异面直线A 1C 1与AB 1间距离为33解法二 如图，在A 1C 上任取一点M ，作MN ⊥AB 1于N ，作MR ⊥A 1B 1于R ，连结RN ，∵平面A 1B 1C 1D 1⊥平面A 1ABB 1， ∴MR ⊥平面A 1ABB 1，MR ⊥AB 1 ∵AB 1⊥RN ，设A 1R =x ,那么RB 1=1－x∵∠C 1A 1B 1=∠AB 1A 1=45°，∴MR =x ,RN =NB 1=)1(22x - 31)31(23)1(2122222+-=-+=+=x x x RN MR MN (0＜x ＜1) ∴当x =31时，MN 有最小值33即异面直线A 1C 1与AB 1解法三〔向量法〕如图建立坐标系，那么111(1,0,0),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)A A B C ∴111(0,1,1),(1,1,0)AB AC -＝＝ 设MN 是直线A 1C 1与AB 1的公垂线，且1111(0,,),(,,0)AN AB AM AC λλλμμμ-＝＝＝＝ 那么11(,,0)(0,0,1)(0,,)MN MA A A ANμμλλ=++-+-+＝- (,,1),μλμλ=--从而有11100MN A C MN AB ⎧⎪⇒⎨⎪⎩＝＝22032113λλμλμμ⎧=⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩1A∴1113(,,)||3333MN MN =⇒=例3如图，ABCD 是矩形，AB =a ,AD =b ,P A ⊥平面ABCD ，P A =2c ,Q 是P A 的中点求 (1)Q 到BD 的距离；(2)P 到平面BQD 的距离解 (1)在矩形ABCD 中，作AE ⊥BD ，E 为垂足 连结QE ， ∵QA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理得QE ⊥BE∴QE 的长为Q 到BD 的距离 在矩形ABCD 中，AB =a ,AD =b ,∴AE =22ba ab +在Rt △QAE 中，QA =21P A =c ∴QE =22222ba b a c ++ ∴Q 到BD(2)解法一 ∵平面BQD 通过线段P A 的中点， ∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离 在△AQE 中，作AH ⊥QE ，H 为垂足∵BD ⊥AE ,BD ⊥QE ,∴BD ⊥平面AQE ∴BD ⊥AH ∴AH ⊥平面BQE ，即AH 为A 到平面BQD 的距离在Rt △AQE 中，∵AQ =c ,AE =22ba ab +∴AH =22222)(ba cb a abc ++∴P 到平面BD 的距离为22222)(ba cb a abc ++解法二 设点A 到平面QBD 的距离为h ，由V A —BQD =V Q —ABD ,得31S △BQD ·h =31S △ABD ·AQ h =S AQS BQDABD ==⋅∆∆学生巩固练习1 正方形ABCD 边长为2，E 、F 分不是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角(如图)，M 为矩形AEFD 内一点，假如∠MBE =∠MBC ，MB 和平面BCF 所成角的正切值为21，那么点M 到直线EF 的距离为( )A2 B1 C2 D 122 三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=1，AB =4，BC =3，∠ABC =90°,设平面A 1BC 1与平面ABC 的交线为l ，那么A 1C 1与l 的距离为( )A 10B 11C 2.6D 2.43 如左图，空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，那么P 与Q 的最短距离为_________4 如右上图，ABCD 与ABEF 均是正方形，假如二面角E —AB —C 的度数为30°，那么EF 与平面ABCD 的距离为_________5 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =3，CC 1=2，如图(1)求证 平面A 1BC 1∥平面ACD 1； (2)求(1)中两个平行平面间的距离； (3)求点B 1到平面A 1BC 1的距离6 正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B 且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°,AB =a ,求 (1)截面EAC 的面积； (2)异面直线A 1B 1与AC 之间的距离；(3)三棱锥B 1—EAC 的体积 7 如图，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A 与AB 、AC 均成45°角，且A 1E ⊥B 1B 于E ，A 1F⊥CC 1于FF1A1A1(1)求点A 到平面B 1BCC 1的距离；(2)当AA 1多长时，点A 1到平面ABC 与平面B 1BCC 1的距离相等8 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =2π,AB = 31AD =a ,∠ADC =arccos552,P A ⊥面ABCD 且P A =a (1)求异面直线AD 与PC 间的距离；(2)在线段AD 上是否存在一点F ，使点A 到平面PCF参考答案1 解析 过点M 作MM ′⊥EF ,那么MM ′⊥平面BCF ∵∠MBE =∠MBC∴BM ′为∠EBC 为角平分线，∴∠EBM ′=45°,BM ′=2,从而MN =22 答案 A2 解析 交线l 过B 与AC 平行，作CD ⊥l 于D ，连C 1D ，那么C 1D为A 1C 1与l 的距离，而CD 等于AC 上的高，即CD =512,Rt △C 1CD 中易求得C 1D =513=2.6 答案 C3 解析 以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P 、Q 分不为AB 、CD 的中点，因为AQ =BQ =22a ,∴PQ ⊥AB , 同理可得PQ ⊥CD ，故线段PQ 的长为P 、Q 两点间的最短距离，在Rt △APQ中，PQ =22)2()23(2222=-=-a a AP AQ a 答案22a 4 解析 明显∠F AD 是二面角E —AB —C 的平面角，∠F AD =30°,过F 作FG ⊥平面ABCD 于G ，那么G 必在AD 上，由EF ∥平面ABCD∴FG 为EF 与平面ABCD 的距离，即FG 2a答案 2a5 (1)证明 由于BC 1∥AD 1，那么BC 1∥平面ACD 1 同理，A 1B ∥平面ACD 1，那么平面A 1BC 1∥平面ACD 1(2)解 设两平行平面A 1BC 1与ACD 1间的距离为d ，那么d 等于D 1到平面A 1BC 1的距离 易求A 1C 1=5，A 1B =25，BC 1=13，那么cos A 1BC 1=652,那么sin A 1BC 1=6561,那么S111C B A ∆=61,由于111111D C A B BC A D V V --=，那么31S 11BC A ∆·d =)21(31111D C AD ⋅·BB 1,代入求得d =616112, (3)解 由于线段B 1D 1被平面A 1BC 1所平分，那么B 1、D 1到平面A 1BC 1的距离相等，那么由(2)知点B 1到平面A 1BC 1 6 解 (1)连结DB 交AC 于O ，连结EO ， ∵底面ABCD 是正方形∴DO ⊥AC ，又ED ⊥面ABCD ∴EO ⊥AC ，即∠EOD =45°又DO =22a ，AC =2a ，EO =︒45cos DO =a ，∴S △EAC =22a (2)∵A 1A ⊥底面ABCD ，∴A 1A ⊥AC ，又A 1A ⊥A 1B 1 ∴A 1A 是异面直线A 1B 1与AC 间的公垂线 又EO ∥BD 1，O 为BD 中点，∴D 1B =2EO =2a∴D 1D =2a ，∴A 1B 1与AC 距离为2a(3)连结B 1D 交D 1B 于P ，交EO 于Q ，推证出B 1D ⊥面EAC ∴B 1Q 是三棱锥B 1—EAC 的高，得B 1Q =23a 32422322311a a a V EAC B =⋅⋅=-7 解 (1)∵BB 1⊥A 1E ，CC 1⊥A 1F ，BB 1∥CC 1 ∴BB 1⊥平面A 1EF 即面A 1EF ⊥面BB 1C 1C 在Rt △A 1EB 1中，∵∠A 1B 1E =45°，A 1B 1=a∴A 1E =22a ,同理A 1F =22a ,又EF =a ，∴A 1E =22a同理A 1F =22a ,又EF =a ∴△EA 1F 为等腰直角三角形，∠EA 1F =90°过A 1作A 1N ⊥EF ，那么N 为EF 中点，且A 1N ⊥平面BCC 1B 1 即A 1N 为点A 1到平面BCC 1B 1的距离∴A 1N =221a=又∵AA 1∥面BCC 1B ，A 到平面BCC 1B 1的距离为2a∴a =2，∴所求距离为2(2)设BC 、B 1C 1的中点分不为D 、D 1，连结AD 、DD 1和A 1D 1，那么DD 1必过点N ，易证ADD 1A 1为平行四边形∵B 1C 1⊥D 1D ,B 1C 1⊥A 1N ∴B 1C 1⊥平面ADD 1A 1 ∴BC ⊥平面ADD 1A 1得平面ABC ⊥平面ADD 1A 1，过A 1作A 1M ⊥平面ABC ，交AD 于M ， 假设A 1M =A 1N ，又∠A 1AM =∠A 1D 1N ，∠AMA 1=∠A 1ND 1=90°∴△AMA 1≌△A 1ND 1,∴AA 1=A 1D 1=3,即当AA 1=3时满足条件8 解 (1)∵BC ∥AD ,BC ⊂面PBC ,∴AD ∥面PBC从而AD 与PC 间的距离确实是直线AD 与平面PBC 间的距离 过A 作AE ⊥PB ，又AE ⊥BC ∴AE ⊥平面PBC ，AE 为所求在等腰直角三角形P AB 中，P A =AB =a∴AE =22a (2)作CM ∥AB ，由cos ADC =552 ∴tan ADC =21,即CM =21DM ∴ABCM 为正方形，AC =2a ,PC =3a 过A 作AH ⊥PC ,在Rt △P AC 中，得AH =36下面在AD 上找一点F ，使PC ⊥CF取MD 中点F ，△ACM 、△FCM 均为等腰直角三角形 ∴∠ACM +∠FCM =45°+45°=90°∴FC ⊥AC ,即FC ⊥PC ∴在AD 上存在满足条件的点F课前后备注学法指导: 立体几何中的策略思想及方法立体几何中的策略思想及方法近年来，高考对立体几何的考查仍旧注重于空间观点的建立和空间想象能力的培养题目起点低，步步升高，给不同层次的学生有发挥能力的余地大题综合性强，有几何组合体中深层次考查空间的线面关系因此，高考复习应在抓好差不多概念、定理、表述语言的基础上，以总结空间线面关系在几何体中的确定方法入手，突出数学思想方法在解题中的指导作用，并积极探寻解答各类立体几何咨询题的有效的策略思想及方法一、领会解题的差不多策略思想高考改革稳中有变运用差不多数学思想如转化，类比，函数观点仍是考查中心，选择好典型例题，在差不多数学思想指导下，归纳一套合乎一样思维规律的解题模式是受学生欢迎的，学生通过熟练运用，逐步内化为自己的体会，解决一样差不多数学咨询题就会自然流畅二、探寻立体几何图形中的基面立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地〝立〞起来在具体的咨询题中，证明和运算经常依附于某种专门的辅助平面即基面那个辅助平面的猎取正是解题的关键所在，通过对那个平面的截得，延展或构造，纲举目张，咨询题就迎刃而解了三、重视模型在解题中的应用学生学习立体几何是从认识具体几何模型到抽象出空间点、线、面的关系，从而培养空间想象能力而数学咨询题中许多图形和数量关系都与我们熟悉模型存在着某种联系它引导我们以模型为依据，找出起关键作用的一些关系或数量，对比数学咨询题中题设条件，突出特性，设法对原图形补形，拼凑、构造、嵌入、转化为熟知的、形象的、直观的模型，利用其特点规律猎取优解。
空间几何中的距离公式
空间几何中的距离公式在空间几何中，距离公式是计算两点之间距离的重要工具。
距离公式不仅广泛应用于数学领域，还在物理学、工程学等各个领域发挥重要作用。
本文将详细介绍空间几何中的距离公式，包括二维空间和三维空间中的情况。
一、二维空间中的距离公式在二维空间中，我们可以使用欧几里得距离公式来计算两点之间的距离。
假设有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离可以通过以下公式来计算：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，d表示两点之间的距离。
以一个例子来说明。
假设有两个点A(2, 3)和B(5, 7)，我们可以使用距离公式计算它们之间的距离。
根据公式，我们有：d = √((5 - 2)² + (7 - 3)²)= √(3² + 4²)= √(9 + 16)= √25= 5因此，点A和点B之间的距离为5个单位长度。
二、三维空间中的距离公式在三维空间中，我们可以使用三维欧几里得距离公式来计算两点之间的距离。
假设有两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们之间的距离可以通过以下公式来计算：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)以一个例子来说明。
假设有两个点A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)，我们可以使用距离公式计算它们之间的距离。
根据公式，我们有：d = √((4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²)= √(3² + 3² + 3²)= √(9 + 9 + 9)= √27= 3√3因此，点A和点B之间的距离为3√3个单位长度。
距离公式在空间几何中有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要计算两点之间的距离，比如在导航系统中计算两地之间的距离，或者在建筑工程中计算两个点之间的距离等。
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1
C _ A _ B
_ M
_ D
_ E
O
_ C
空间位置关系与距离专题
【考题回放】
1．已知平面α外不共线的三点A,B,C 到α的距离都相等,则正确的结论是( ) A.平面ABC 必平行于α B. 存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内
C. 平面ABC 必与α相交
D. 平面ABC 必不垂直于α
2．如图，过平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中 点作直线,其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( )
A.4条
B.6条
C.8条
D.12条
3．设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别
是侧棱AA 1、 CC 1 上的点，且PA=QC 1，则 四棱锥B —APQC 的体积为（ ）
A ．16
B ．14
C ．13V
D ．12
4．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列 四个命题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ②若βααβγα//,,则⊥⊥
③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂
⊂；
④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂，
其中真命题是（ ） A ．①和② B ．①和③ C ．③和④ D ．①和④
5．在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'
BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，则( )
① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形
③
四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形
④ 四边形E BFD
'
有可能垂直于平面D BB '
以上结论正确的为 。
（写出所有正确结论的编号）
6．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点,2,CA CB CD BD ==== AB AD ==
（Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；
（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面ACD 的距离.
【考点透视】
判断线线、线面、面面的平行与垂直，求点到平面的距离及多面体的体积。
【热点透析】 1． 转化思想：
① ⇔⇔⊥⇔⊥⇔⊥线线平行线面平行面面平行,线线线面面面 ； ② 异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离，
平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。
2．空间距离则主要是求点到面的距离主要方法： ①体积法； ②直接法,找出点在平面内的射影
【范例1】如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱//
1
2
EF BC =． （1）证明FO //平面CDE ； （2
）设BC =，
证明EO ⊥平面CDF ．
【文】如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形, AD ∥BC ，∠BAD=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD=AB =2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点。
(Ⅰ)求证：PB ⊥DM;
(Ⅱ)求CD 与平面ADMN 所成的角
【范例2】如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.
（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD.
【文】在直三棱柱ABC ABC -中，90,1ABC AB BC ∠===.
（1）求异面直线11B C 与AC 所成的角的大小；
（2）若1A C 与平面ABC 所成角为45，求三棱锥1A ABC -的体积。
【范例3】如图，所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1.
（Ⅰ）求BF 的长；
（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离.
解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0）， A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）.
∵AEC 1F 为平行四边形，
【文】正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。
（1）求点1B 到直线AC 的距离. （2）求直线1AB 到平面BD C 1的距离．
M
1
A
A B
D
C
【点晴】求空间距离注意三点：
1．常规遵循一作二证三计算的步骤； 2．多用转化的思想求线面和面面距离； 3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．
【范例4】如图，在长方体AC 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动.
（1）证明：D 1E ⊥A 1D ； （2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4
π
.
【文】如图，已知长方体1111
ABCD A B C D -，12,1AB AA ==，直线BD 与平
面11AA B B 所成的角为0
30，AE 垂直BD 于,E F 为11A B 的中点．
（Ⅰ）求异面直线AE 与BF 所成的角；
（Ⅱ）求平面BDF 与平面1AA B 所成二面角（锐角）的大小； （Ⅲ）求点A 到平面BDF 的距离
自我提升
1．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若
α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么（ ）
(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题
2．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的 （ ） （A ）若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面
（B ）若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 (C) 若AB=AC ，DB=DC ，则AD=BC
(D) 若AB=AC ，DB=DC ，则AD ⊥BC
3．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平
面的距离是4cm ，则该球的体积是（ ）
(A)33π100cm (B) 33π208cm (C) 33π500cm (D) 3
3
π3416cm
4．在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结 论中不成立．．．的是（ ） （A ）BC//平面PDF （B ）DF ⊥平面PA E
（C ）平面PDF ⊥平面ABC （D ）平面PAE ⊥平面 ABC
5．,m n 是空间两条不同直线，,αβ是两个不同平面，下面有四个命题：
D B
A A
B
C A 1
B 1
C 1 M
N ①,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ②,//,//m n m n αβαβ⊥⊥⇒ ③,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ④,//,//m m n n ααββ⊥⇒⊥ 其中真命题的编号是 _____;（写出所有真命题的编号）
6．已知平面α与平面β交于直线l ，P 是空间一点，PA ⊥α，垂足为A ，PB ⊥β， 垂足为B ，且PA=1，PB=2，若点A
在β内的射影与点B 在α内的射影重合， 则点P 到l .
7．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为a ，M 是BC 的中点，N 是CC 1上一点，满足MN ⊥AB 1。
（1） 试确定点N 的位置；
（2） 求点C 1到平面AMN 的距离。
8.如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE.
（Ⅰ）求证AE ⊥平面BCE ；
（Ⅱ）求二面角B —AC —E 的大小； （Ⅲ）求点D 到平面ACE 的距离.。