空间位置关系与距离专题

1

C _ A _ B

_ M

_ D

_ E

O

_ C

空间位置关系与距离专题

【考题回放】

1．已知平面α外不共线的三点A,B,C 到α的距离都相等,则正确的结论是( ) A.平面ABC 必平行于α B. 存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内

C. 平面ABC 必与α相交

D. 平面ABC 必不垂直于α

2．如图，过平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中 点作直线,其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( )

A.4条

B.6条

C.8条

D.12条

3．设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别

是侧棱AA 1、 CC 1 上的点，且PA=QC 1，则 四棱锥B —APQC 的体积为（ ）

A ．16

B ．14

C ．13V

D ．12

4．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列 四个命题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ②若βααβγα//,,则⊥⊥

③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂

⊂；

④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂，

其中真命题是（ ） A ．①和② B ．①和③ C ．③和④ D ．①和④

5．在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'

BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，则( )

① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形

③

四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形

④ 四边形E BFD

'

有可能垂直于平面D BB '

以上结论正确的为 。（写出所有正确结论的编号）

6．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点,2,CA CB CD BD ==== AB AD ==

（Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；

（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面ACD 的距离.

【考点透视】

判断线线、线面、面面的平行与垂直，求点到平面的距离及多面体的体积。 【热点透析】 1． 转化思想：

① ⇔⇔⊥⇔⊥⇔⊥线线平行线面平行面面平行,线线线面面面 ； ② 异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离，

平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。 2．空间距离则主要是求点到面的距离主要方法： ①体积法； ②直接法,找出点在平面内的射影

【范例1】如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱//

1

2

EF BC =． （1）证明FO //平面CDE ； （2

）设BC =，

证明EO ⊥平面CDF ．

【文】如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形, AD ∥BC ，∠BAD=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD=AB =2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点。

(Ⅰ)求证：PB ⊥DM;

(Ⅱ)求CD 与平面ADMN 所成的角

【范例2】如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.

（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD.

【文】在直三棱柱ABC ABC -中，90,1ABC AB BC ∠===.

（1）求异面直线11B C 与AC 所成的角的大小；

（2）若1A C 与平面ABC 所成角为45，求三棱锥1A ABC -的体积。

【范例3】如图，所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1.

（Ⅰ）求BF 的长；

（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离.

解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0）， A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）.

∵AEC 1F 为平行四边形，

【文】正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。

（1）求点1B 到直线AC 的距离. （2）求直线1AB 到平面BD C 1的距离．

M

1

A

A B

D

C

【点晴】求空间距离注意三点：

1．常规遵循一作二证三计算的步骤； 2．多用转化的思想求线面和面面距离； 3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．

【范例4】如图，在长方体AC 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动.

（1）证明：D 1E ⊥A 1D ； （2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4

π

.

【文】如图，已知长方体1111

ABCD A B C D -，12,1AB AA ==，直线BD 与平

面11AA B B 所成的角为0

30，AE 垂直BD 于,E F 为11A B 的中点．

（Ⅰ）求异面直线AE 与BF 所成的角；

（Ⅱ）求平面BDF 与平面1AA B 所成二面角（锐角）的大小； （Ⅲ）求点A 到平面BDF 的距离

自我提升

1．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若

α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么（ ）

(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题

2．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的 （ ） （A ）若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面

（B ）若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 (C) 若AB=AC ，DB=DC ，则AD=BC

(D) 若AB=AC ，DB=DC ，则AD ⊥BC

3．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平

面的距离是4cm ，则该球的体积是（ ）

(A)33π100cm (B) 33π208cm (C) 33π500cm (D) 3

3

π3416cm

4．在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结 论中不成立．．．的是（ ） （A ）BC//平面PDF （B ）DF ⊥平面PA E

（C ）平面PDF ⊥平面ABC （D ）平面PAE ⊥平面 ABC

5．,m n 是空间两条不同直线，,αβ是两个不同平面，下面有四个命题：