假设检验概述

此处 z 2 称为临界值,其中事件{| Z | z 2} 即是概率为
的小概率事件.算出检验统计量的观察值,如果事件
{| Z | z 2} 发生,则拒绝 H 0 .使原假设 H 0 被拒绝的检
验统计量 Z 的观察值 z 所在区域 | z | z 2 称为假设 H 0
的拒绝域. 上设检验概述
1.1 假设检验的基本思想
为了检验某一假设 H 0 是否正确,首先假定该假设 H 0 为真,然后根据抽取到的样本对假设 H 0 做出接受或是拒绝
的决策.如果样本观察值导致了不合理的现象发生（即小概
率事件发生了）,则有理由否定假设 H 0 ,否则接受假设 H0 .
当假设 H 0 正确时,小概率事件也有可能发生,此时,
P{拒绝H0 | H0为真} P{| X 0 | K | H0为真} .
这样,取事件 A 为{| X 0 | K},这是一个小概率事件.
根据取得的样本算出 x ,当| x 0 | K ,就说明事件 A 发生,
此时拒绝 H 0 .否则,没有理由拒绝 H 0 ,只能接受 H 0 .
考虑到当 H 0 为真时,统计量 Z
解 如 果 给 定 0.05 , z 2 1.96 . 由 于 n 5, x 502.4 , 2 ,于是 Z 的观察值
z x 0 502.4 500 2.683 1.96 . / n 2/ 5
这说明,在一次抽样中,小概率事件{| X 0 | K}发生了,
从而有理由怀疑 H 0 的正确性,即拒绝 H 0 ,认为生产线运
果 | x 0 | 偏大,就有理由怀疑 H 0 的正确性,从而拒绝 H 0 .
对于 x 与 0 是否接近,需要建立明确的量化判别准 则,即要确定一个合适的常数 K ,使得当| x 0 | K 时拒 绝 H 0 .由于允许犯第一类错误的概率最大为 ,为了确定 常数 K ,考虑临界情形,即允许犯第一类错误的概率为 ：
P{接受H0 | H0不真} .
当样本容量 n 固定时,, 不能同时都小,即 减
小时, 就增大,而 减小时, 就增大.若要使犯两类
错误的概率都减小,只有增加样本容量.在实际应用中,
我们一般是控制犯第一类错误的概率,使它不超过 ,
即令 P{拒绝H0 | H0为真} .这种只对犯第一类错
我们只关心假设 H 0 是否为真.例如,在上例中,只考虑是否
有 0 ,而不关心 与 0 的大小关系.
在实际问题中,有时我们只关心总体的均值或方差是否 增大（或减小）.例如,新品种农作物的产量是否增大,改进 设备后产品的次品率是否减小等.此时需要检验下列形式的 假设:
H0 : 0, H1 : 0
(7-1)
或
H0 : 0 , H1 : 0. (7-2)
形如(7-1)的假设检验称为右侧(边)检验,形如(7-2)的 假设检验称为左侧(边)检验;右侧(边)检验和左侧(边)检验 统称为单侧(边)检验.
设总体 X ~ N (, 2 ) , 已知, X1, X 2,, X n 是来自 总体 X 的一个样本, X 为样本均值,给定的显著性水平 .
为此,先假定 0 ,并称之为原假设或零假设,记为
H0 : 0 ,这个原假设可能成立也可能不成立.当原假设
不成立时,即有 0 ,作假设 H1 : 0 , H1 称为备择假
设或对立假设.原假设和备择假设是一对相互矛盾的假设,拒 绝其一,意味着接受另一个.
由前面的讨论知,假设检验的关键在于构造一个小概率
事件 A ,并根据实际推断原理做出判断：当事件 A 发生时,拒 绝原假设 H 0 .那么,如何构造这个小概率事件 A 呢？
由参数估计知, X 是 的一个“好”估计量,其观察值 x
的大小在一定程度上能反映 的大小.因而,如果原假设 H 0
成立,通常 x 应很接近 0 ,即| x 0 | 应很小.换句话说,如
我们会拒绝假设 H 0 ,这种“弃真”的错误,称为第一类错
误.犯第一类错误的概率恰好是“小概率事件”发生的概
率,用 表示,即
P{拒绝H0 | H0为真} .
反之,若假设 H 0 本来不正确,但一次抽样检验未发 生不合理结果,这样我们就会接受 H 0 ,这种“取伪”的错
误,称为第二类错误.犯第二类错误的概率用 表示,即
量为
501 507 498 502 504
由经验知道,生产的罐头的重量 X （单位：克）服从正态分
布 N(, 2) ,假定标准差为 2 克,且保持不变,这时是
否可以得出生产线运转正常（即这段时间生产的罐头的平均
重量为 500 克）的判断呢？
分析 由题意知,设抽检的罐头的重量 X ~ N (, 22) , 记 0 500 ,则问题是 0 还是 0 .
误的概率加以控制,而不考虑犯第二类错误的概率的假
设检验,称为显著性检验. 是一个事先给定的很小的 正数,称为显著性水平,通常取 0.1, 0.05, 0.01等.
1.2 假设检验的推理方法和步骤
例 8.1 某食品厂生产的罐头规定每听的标准重量为
500 克,这些罐头由一条生产线自动包装,质量管理中规定 每隔一定时间要抽测 5 听罐头.若某次抽测的 5 听罐头的重
X
0
/n
~
N (0,1) ,因而
小概率事件{|
X
0
|
K}等价于事件
|
X
0
n
|
K
n
,
对于给定的显著性水平 ,由标准正态分布分位点的定义知
（如图）,
P
|
X
0 |
n (x)
z
2
,
2
-z 2
O
2
z 2
x
因而,取 K
n
z 2 ,即有
P | X 0 |
n
z 2 | H0为真
这里,统计量 Z X 0 称为检验统计量. / n
转不正常.
综上讨论,对于上例给定的假设检验问题,若给定的
显著性水平 ,可得到如下检验规则：
若 | z | z 2 ,则拒绝 H 0 ；若| z | z 2 ,则接受 H 0 ,
其中 z 为检验统计量 Z 的观测值. 由此可见,当检验统计量 Z 在 H 0 为真且分布已知时,
对给定的显著性水平 ,由于 P{拒绝H0 | H0为真} P{| Z | z 2} ,