空间直角坐标系
怎样找空间直角坐标系的坐标
怎样找空间直角坐标系的坐标在空间几何中，我们经常需要利用直角坐标系来描述和定位不同点的位置。
直角坐标系由三个互相垂直的坐标轴组成，分别表示x、y和z方向的坐标。
通过找到空间直角坐标系的坐标，我们可以准确地描述和计算点与点之间的距离、角度以及其他几何信息。
下面将介绍如何找到空间直角坐标系的坐标。
在空间直角坐标系中，我们要找到一个点的坐标，需要确定它在x、y和z轴上的投影长度或坐标值。
下面以一个具体的例子来说明具体的步骤。
假设我们要找到点P的坐标，在已知直角坐标系中，我们首先需要确定一个基准点，这个基准点一般被定义为原点O。
接下来，我们需要确定x、y和z轴的方向和单位长度。
1.确定原点和轴方向：–将我们选定的基准点标记为原点O，在直角坐标系中通常处于空间的中心。
–分别选择三个互相垂直的轴作为x轴、y轴和z轴，并标记它们的正方向。
2.确定轴的单位长度：–由于直角坐标系的单位长度可以自由选择，我们需要确定每个轴的单位长度。
–可以根据具体的要求和情境来选择适当的单位长度。
比如，当我们描述点的物理距离时，可以选择米（m）作为单位长度。
3.量取点P在每个轴上的投影长度：–在找寻点P的坐标时，我们需要测量它在每个轴上的投影长度。
这可以通过测量该点到原点O沿着每个轴的距离来实现。
–为了测量点P到原点O的距离，我们可以使用直尺、尺子或其他测量工具。
4.记录坐标值：–确定了点P在每个轴上的投影长度后，我们可以将它们作为点P的坐标值进行记录。
–然后按照一定的次序表示点P的坐标值，一般以(x, y, z)的形式表示，其中x、y和z分别代表在x轴、y轴和z轴上的坐标值。
通过上述步骤，我们可以找到空间直角坐标系中点P的坐标。
这个坐标可以帮助我们准确地描述和计算点P与其他点之间的距离、角度以及其他几何信息。
在三维空间中，直角坐标系是一种非常有用且常见的坐标系，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
总结起来，找到空间直角坐标系的坐标需要确定原点和轴的方向，以及选择适当的轴单位长度。
建立空间直角坐标系的几种方法
建立空间直角坐标系的几种方法1.给定坐标轴方向及原点位置：最直接的方法是给定三个坐标轴的方向及原点位置。
通常，我们选择三个相互垂直的轴，并确定它们的正方向。
例如，我们可以选择X轴向右，Y轴向上，Z轴垂直于XOY平面向外，然后选择原点为坐标轴的交点。
通过这种方法，我们就可以建立一个三维直角坐标系。
2.使用原点和两个已知点：在给定两个已知点和原点的情况下，我们可以建立一个空间直角坐标系。
首先，我们将其中一个已知点作为坐标轴上的一个点，然后确定一个与此轴垂直的第二个轴。
接下来，我们确定第三个轴的方向，使其与前两个轴正交，并选择原点位置。
通过这种方法，我们可以构建一个三维直角坐标系。
3.使用平面和轴的交点：另一种建立空间直角坐标系的方法是确定两个平面及其在坐标轴上的交点。
首先，我们选择平面XY作为参考平面，并将其与X轴和Y轴在原点处的交点作为坐标轴上的两个点。
然后，选择两个非共线的轴分别与平面XZ和平面YZ正交，并确定它们的正方向。
通过这种方法，我们可以建立一个三维直角坐标系。
4.使用向量运算：通过向量运算的方法可以建立空间直角坐标系。
首先，选择一个已知向量为其中一个坐标轴的向量。
然后，选择另一个与已知向量相互垂直的向量，并进行正规化。
接下来，使用向量叉积运算确定第三个轴的方向，并对其进行正规化。
最后，选择原点位置。
通过这种方法，我们可以建立一个三维直角坐标系。
这些方法都是建立空间直角坐标系的常见方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行建立。
第一节空间直角坐标系
一 、空间点的直角坐标 二、空间两点间的距离
一、空间点的直角坐标
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
z 竖轴
即以右手握住 z
轴，当右手的四个
手指从正向x 轴以
2
角度转向正向y 轴
时，大拇指的指向
就是z 轴的正向.
定点 o
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
xபைடு நூலகம்
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
zR
M1
P
o x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
M2
o
y
Q(0, y,0)
x P( x,0,0)
A( x, y,0)
M ( x, y, z), x、y、z 分别叫横坐标、纵坐标、竖坐标。
二、空间两点间的距离
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
zR
M1
P o
d M1M2 ?
M2
Q N
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点 11 有序数组 ( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
空间向量的坐标表示
三、向量的直角坐标运算.
设 a (a1,a2,a3),b (b1,b2,b3) 则
a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3);
a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3);
a (a1,a2,a3)( R);
a // b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R)
点O叫做原点，向量i、j、k都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
二、向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向
量 a ,且设i、j、k为坐标向量，
由空间向量基本定理，存在唯
一的有序实数组( a1, a2, a3)使
a = a1i+a2j+a3k
z
a
k i Oj
有序数组(a1,a2,a3)叫做 a在空
间直角坐标系O--xyz中的坐标，
x
记作.
a =( a 1 ,a 2,a 3)
A(x,y,z) y
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点 A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数 组x,y,z，使 OA=xi+yj+zk
在单位正交基底i, j, k中与向量OA对应的有 序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中 的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标， y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则
AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1)
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起 点的坐标.
空间向量坐标运算法则，关键是注意空 间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在 利用向量的坐标运算判断空间几何关系时， 首先要选定单位正交基，进而确定各向量的 坐标。
空间直角坐标系
解: D( 0, 0, 2),
C( 0, 4, 0), A( 3, 0, 2), 过点 A 的 x 轴的垂面 AB 交 x 轴于点 A, 得 x 坐标为 3;
z
2 D
A
3A O
x
C B
C
4y
B
过点 A 的 y 轴的垂面 AO 交 y 轴于原点,
得 y 坐标为 0;
过点 A 的 z 轴的垂面 AC 交 z 轴于点 D,
得 z 坐标为 2.
例1. 如图, 在长方体 OABC-DABC中, |OA|=3,
|OC|=4, |OD|=2. 写出 D, C, A, B 四点的坐标.
解: D( 0, 0, 2),
C( 0, 4, 0), A( 3, 0, 2), B( 3, 4, 2). 过点 B 的 x 轴的垂面 BA
o
y
y
o
o
y
x
x
课本中采用的是右手直角坐标系, (如图)
二、点的坐标
点P的坐标: P (x, y, z), z 过点P作 x 轴的垂面,
与 x 轴交点的坐标
就是点P的 x 坐标; 过点P作 y 轴的垂面,
z
P● (x, y, z)
与 y 轴交点的坐标
o
y
y
就是点P的 y 坐标;
x
过点P作 z 轴的垂面, x
N22( 1,
1 2
,
12),
N24(
1 2
,
1,
1 2
),
N14( 1, 1, 1 ),
N21(
1 2
,
0,
1 2
),
N23( 0,
知识要点空间直角坐标系
知识要点空间直角坐标系空间直角坐标系是用来描述三维空间中点位置的一种坐标系统。
它由三个坐标轴x、y、z构成，且彼此互相垂直，并在相交点处成为原点O。
在空间直角坐标系中，每个点的位置可由它在每个坐标轴上的投影来确定。
假设特定点P的坐标为(x,y,z)，则在x轴上的投影为x，y轴上的投影为y，z轴上的投影为z。
空间直角坐标系的特点是可以将任意三维空间中的点表示为有序的数对(x,y,z)，并且任意两点之间的距离可以用直线段来表示。
其基本特征有以下几点：1.原点O：空间直角坐标系的交点即为原点O，它的坐标为(0,0,0)。
2.坐标轴：空间直角坐标系有三个互相垂直的坐标轴，分别为x轴、y轴和z轴。
它们分别与三个方向对应：x轴正向为向右，y轴正向为向上，z轴正向为向外。
3. 坐标面：由三个坐标轴所确定的平面称为坐标面。
分别为xoy平面（z = 0）、xoz平面（y = 0）和yoz平面（x = 0）。
4.坐标轴方向：坐标轴方向有正负之分，规定沿着轴线正向的方向为正方向，反向则为负方向。
5.坐标轴长度：不同坐标轴的长度可以任选，但通常选择相等长度，方便计算。
在空间直角坐标系中，我们可以通过以下方法进行基本的空间点运算：1.点的移动：在坐标轴上，点的移动相当于坐标值的变化。
向右移动，坐标值加；向左移动，坐标值减；向上移动，坐标值加；向下移动，坐标值减；向外移动（离原点越来越远），坐标值加；向内移动（离原点越来越近），坐标值减。
2.点的关系：可以通过对比坐标值来判断两个点的相对位置。
若两点的x、y、z坐标值分别相等，则它们重合；若只有一个坐标值相等，则它们在同一坐标轴上；若有两个坐标轴的坐标值相等，则它们在同一平面上；若没有坐标值相等，则它们位于不同的坐标平面中。
3.点的中点坐标：求两点的中点坐标，可以将两个点的对应坐标分别相加然后除以24. 点的距离：可以根据勾股定理来求两点之间的距离。
设两点分别为P(x1, y1, z1)和Q(x2, y2, z2)，则它们之间的距离d为：d =sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)。
空间几何中的坐标系与空间直角坐标的转换
空间几何中的坐标系与空间直角坐标的转换在空间几何中，坐标系是进行点位置表示和计算的重要工具。
常见的空间坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系等。
其中，空间直角坐标系是最为常用和便捷的一种坐标系。
本文将讨论空间几何中的坐标系，并介绍如何在不同坐标系间进行转换。
一、空间直角坐标系空间直角坐标系又称笛卡尔坐标系，由三个相互垂直的坐标轴构成，通常用x、y、z表示。
它们分别代表了水平方向（x轴）、竖直方向（y轴）和水平面内的垂直方向（z轴）。
一个点P在空间直角坐标系中的坐标可用有序数(x, y, z)表示，其中x、y、z分别为点P在x轴、y 轴、z轴上的投影长度。
二、空间坐标系的转换在空间几何的研究中，通常需要将一个坐标从某个坐标系转换为另一个坐标系。
下面以空间直角坐标系与球坐标系为例，介绍坐标系间的转换过程。
1. 空间直角坐标系到球坐标系的转换给定空间直角坐标系中点P(x, y, z)，它的球坐标为(r, θ, φ)。
其中，r 代表点P到原点的距离，θ代表从x轴到点P的连线与x轴正向之间的夹角，φ代表从正z轴到点P的连线与正z轴之间的夹角。
根据三角函数的关系，可以得到：r = √(x^2 + y^2 + z^2)θ = arctan(y/x)φ = arccos(z/√(x^2 + y^2 + z^2))2. 球坐标系到空间直角坐标系的转换给定球坐标系中点P(r, θ, φ)，它的空间直角坐标为(x, y, z)。
转换公式如下：x = r * sin(φ) * cos(θ)y = r * sin(φ) * sin(θ)z = r * cos(φ)通过上述转换公式，可以在空间直角坐标系和球坐标系之间进行坐标转换。
三、应用举例下面通过一个具体的例子来说明空间坐标系的转换。
例：已知空间直角坐标系中的点P(3, 4, 5)，求其在球坐标系中的坐标。
根据转换公式，可以计算得到：r = √(3^2 + 4^2 + 5^2) = √50θ = arctan(4/3) ≈ 0.93φ = arccos(5/√50) ≈ 0.49因此，点P在球坐标系中的坐标为(√50, 0.93, 0.49)。
怎样看空间直角坐标系的坐标
怎样看空间直角坐标系的坐标在空间几何中，空间直角坐标系是一种常用的坐标系统。
它由三个相互垂直的坐标轴组成，分别为X轴、Y轴和Z轴，形成一个三维的直角坐标系。
通过这个坐标系，我们可以表示和定位空间中任意一个点的坐标。
本文将介绍如何看空间直角坐标系的坐标。
1. 了解坐标轴的方向在空间直角坐标系中，每个坐标轴都有一个方向。
通常，X轴是水平向右的正方向，而Y轴是垂直向上的正方向，Z轴是垂直于X和Y轴的方向，向外指向观察者。
通过对坐标轴的方向有所了解，我们可以更好地理解坐标的含义。
2. 确定原点在空间直角坐标系中，原点表示坐标轴的交点。
它的坐标为(0, 0, 0)。
我们可以将原点设定在某个参考物体上，如一个房间的角落，或者在计算机生成的三维模型中的一个点。
确定原点后，我们可以相对于原点来测量和定位其他点的坐标。
3. 读取X轴坐标要读取X轴上某个点的坐标，我们需要找到这个点在X轴上的投影。
投影是指垂直于该坐标轴的线段与该坐标轴的交点。
如果该点在X轴右侧，则其X轴坐标为正数；如果在左侧，则为负数。
通过测量投影的长度，我们可以确定X轴坐标的值。
4. 读取Y轴坐标读取Y轴坐标与读取X轴坐标的方法相似。
我们需要找到该点在Y轴上的投影，并测量投影的长度。
如果该点在Y轴上方，则其Y轴坐标为正数；如果在下方，则为负数。
5. 读取Z轴坐标读取Z轴坐标也与读取X轴坐标和Y轴坐标类似。
我们需要找到该点在Z轴上的投影，并测量投影的长度。
如果该点在Z轴的正方向上，则其Z轴坐标为正数；如果在负方向上，则为负数。
6. 使用坐标表示点通过上述步骤，我们可以找到一个点在空间直角坐标系中的坐标。
一般情况下，我们使用三个数值表示一个点的坐标，按照(X, Y, Z)的顺序排列。
例如，一个点的坐标为(3, 2, -1)表示该点在X轴上的投影长度为3，Y轴上的投影长度为2，Z轴上的投影长度为-1。
7. 确定坐标的单位在空间直角坐标系中，坐标的单位可以是任意的。
空间直角坐标系与曲线坐标系
空间直角坐标系与曲线坐标系空间直角坐标系和曲线坐标系是数学中用于描述空间中点的坐标系统。
它们在几何学、物理学、工程学和计算机图形学等领域具有广泛的应用。
本文将介绍空间直角坐标系和曲线坐标系的概念、性质和应用，并进行比较分析。
一、空间直角坐标系空间直角坐标系是三维空间中最常用的坐标系之一。
它由三个相互垂直的坐标轴构成，通常记作(x, y, z)。
x轴、y轴和z轴分别与三个相互垂直的平面相交，并形成一个直角坐标系。
在空间直角坐标系中，一个点的位置可以通过三个坐标值来确定。
例如，点P的坐标为(x, y, z)，表示P在x轴上的距离为x，在y轴上的距离为y，在z轴上的距离为z。
空间直角坐标系具有以下性质：1. 坐标轴垂直：空间直角坐标系中的三个坐标轴相互垂直，任意两个坐标轴的夹角为90度。
这样的垂直性质方便了空间中点的定位和计算。
2. 坐标单位一致：在空间直角坐标系中，三个坐标轴的单位长度一致，通常用米来表示。
这样可以简化计算，并方便进行物理量之间的转换。
3. 坐标范围无限：与平面直角坐标系不同，空间直角坐标系的坐标值可以是任意实数，即坐标范围是无限的。
4. 坐标正负方向：空间直角坐标系中的坐标轴方向可以取正负，其中正方向由右手定则确定。
例如，x轴的正方向向右，y轴的正方向向上，z轴的正方向向外。
二、曲线坐标系曲线坐标系是一种非直角坐标系，它通过坐标曲线来定义点的位置。
不同于直角坐标系中的直线坐标轴，曲线坐标系中的坐标轴是由曲线所确定的。
常见的曲线坐标系有柱坐标系和球坐标系。
1. 柱坐标系：柱坐标系是一种二维曲线坐标系，它由极径、极角和高度三个参数来描述点的位置。
通常记作(r, θ, h)。
其中，r表示点到z轴的距离，θ表示点在xy平面上与x轴的夹角，h表示点在z轴上的距离。
柱坐标系主要用于描述圆柱面、圆锥面等曲面的几何性质，在天文学、地理学、电子工程等领域有广泛的应用。
2. 球坐标系：球坐标系是一种三维曲线坐标系，它由极径、极角和方位角三个参数来描述点的位置。
空间直角坐标系概念
空间直角坐标系概念空间直角坐标系是描述三维空间中点位置的一种数学工具。
它由三条相互垂直的轴组成，分别称为x轴、y轴和z轴，并且它们的交点被定义为原点O。
坐标轴及取向空间直角坐标系的坐标轴分别沿着三个方向延伸，形成一个三维的直角坐标网格。
其中，x轴水平向右延伸，y轴垂直向上延伸，z轴从原点O垂直向外延伸。
三个坐标轴的正向取向约定如下：•x轴正向：由原点O指向右侧•y轴正向：由原点O指向上方•z轴正向：由原点O指向观察者坐标表示在空间直角坐标系中，点的位置可以通过坐标进行表示。
每个点的坐标由三个实数(x, y, z)表示，其中x代表点在x轴上的投影长度，y代表点在y轴上的投影长度，z代表点在z轴上的投影长度。
点的坐标表示可以用元组表示法：(x, y, z)，例如点P的坐标为(3, 4, 5)，表示P 在x轴上的投影长度为3，y轴上的投影长度为4，z轴上的投影长度为5。
坐标系与空间图形的关系空间直角坐标系为我们描述和研究三维空间中的几何和物理问题提供了方便。
通过坐标系，我们可以精确地描述和定位空间中的点、直线、平面以及各种立体图形。
对于在坐标系中给定的点P(x, y, z)，我们可以通过确定其在每个坐标轴上的投影长度来准确地找到这个点。
同时，我们可以绘制平行于坐标轴的直线、平面和正多面体等图形，并通过坐标轴的刻度对它们进行测量。
坐标系转换在空间直角坐标系中，我们可以使用坐标系转换来完成不同坐标系之间的转换。
常见的坐标系转换包括：1.直角坐标系到柱坐标系的转换：给定点的直角坐标(x, y, z)，可以通过计算极径r和极角θ来表示它在柱坐标系中的位置。
2.直角坐标系到球坐标系的转换：给定点的直角坐标(x, y, z)，可以通过计算球心到该点的距离ρ，极角θ和方位角φ来表示它在球坐标系中的位置。
坐标系转换可以方便地在不同的坐标系中描述和研究问题，使问题的处理更加灵活和高效。
总结空间直角坐标系是描述三维空间中点位置的数学工具。
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4.3空间直角坐标系
例1：已知正四棱锥P-ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。
解： 正四棱锥P-ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，
∴正四棱锥的高为23
2。
以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB 、BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，-2,0)、B(2,2，0)、C(-2,2，0)、D(-2，-2,0)、P(0,0，23
2
)。
总结：在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标。
例2．在棱长为a 的正方体
ABCD -1111D C B A 中，求异面直线11CC BD 与间的距离。
解：以D 为坐标原点，从D 点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所求的空间直角坐标系。
设P 、Q 分别是直线1BD 和1CC 上的动点，其坐标分别为(x, y, z)、(0，1,z a )，则由正方体的对称
性，显然有x=y 。
要求异面直线11CC BD 与间的距离，即求P 、Q 两点间的最短距离。
设P 在平面AC 上的射影是H ，由在∆
!BDD 中，
BD
BH
D D PH =1，所以
a
x
a a z -=
，∴x=a-z ， ∴P 的坐标为(a-z, a-z, z) ∴|PQ|=
2
122)()(z z z z a -++-
=
2
)2(2)(2
22
1a a z z z +
-+-
∴当2
1a
z z
=
=时，|PQ|取得最小值，最小值为a 22。
∴异面直线11CC BD 与间的距离为
a 2
2。
限时作业： 1.已知
(4,1,3),(2,5,1),A B C AB C -是的中点，则的的坐标为( )
A.(3,2,2)-
B. (3,2,1)
C. 573(,,)222-
D. 215(,,)722
- 2.点
(3,2,2)A -在x 轴上的摄影和在xoy 平面上的射影点分别为（ ）
A. (1,0,1)(1,2,0)--、
B. (1,0,0)(1,2,0)--、
C. (1,0,1)(1,0,0)--、
D. (1,2,0)(1,2,0)--、 3.已知三点
(1,0,1)(2,4,3)(5,8,5)A -，B ，C ，
则( ) A.三点构成等腰三角形 B. 三点构成直角三角形 C 三点构成等腰直角三角形.D. 三点构不成三角形
4.点(,2,1)(1,1,2)(1,1,1)P x Q R 到、的距离相等，则x 的值为( ) A.
12 B. 1 C. 3
2
D. 2 5.(选做)到点1
(1,0,0)(4,0,0)(,,)2
A P x y z 的距离除以到点
B 的距离为的点的坐标满足
( ) A. 2
224x
y z ++= B. 22212x y z ++=
C.2225()42x y z -++=
D. 2225
()122
x y z -++=
6.点P(1,2，3)关于坐标平面xOy 的对称点的坐标为(1,2，-3).
7.已知A(x ，2,3)、B(5,4，7)，且|AB|=6，则x= 1或9 .
8.（选做）已知A(2,5，-6)，在y 轴上有一点B ，使得|AB|=7，则点B 的坐标为
B(0,2，0)或B(0,8，0). 9.在长方体1111D C B A ABCD -中，AB=12，AD=8，1AA =5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的
坐标。
答案：以A 为原点，射线AB 、AD 、1AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0，
0)、B(12,0，0)、C(12,8，0)、D(0,8，0)、
1A (0,0，5)、1B (12,0，5)、1C (12,8，5)、1D (0,8，5)。
10.在四面体P-ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA=PB=PC=a ，求点P 到平面ABC 的距离。
解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz ，则P(0,0，0)，A （a,o,o ），B （o,a,o ），C （o,o,a ）.
过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离。
PA=PB=PC,∴H 为∆ABC 的外心，
又 ∆ABC 为正三角形，∴H 为∆ABC 的重心。
由定比分点公式，可得H 点的坐标为)3
,3,3(a a a
∴|PH|=
a a a a 3
3)30()30()30(222=-+-+-。
∴点P 到平面ABC 的距离为
a 3
3。
11.(选做)点P 在坐标平面xOy 内，A 点的坐标为(-1,2，4)，问满足条件|PA|=5的点P 的轨迹是什么？ 解：设点P 的坐标为(x, y, z)。
点P 在坐标平面xOy 内，∴z=0 |PA|=5，∴
5)4()2()1(222=-+-++z y x ，
即2
)
1(+x 2)2(-+y 2)4(-+z =25，
∴点P 在以点A 为球心，半径为5的球面上，
∴点P 的轨迹是坐标平面xOy 与以点A 为球心，半径为5的球面的交线，即在坐标平面xOy 内的圆，且此圆的圆心即为A 点在坐标平面xOy 上射影
A '(-1,2，0)。
点A 到坐标平面xOy 的距离为4，球面半径为5，
∴在坐标平面xOy 内的圆
A '的半径为3。
∴点P 的轨迹是圆2
)1(+x 2)2(-+y =9，z=0。
x
H。