定积分及其应用
上交大微积分教学课件 第五章定积分及其应用
最小值, 则
•性质9(定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连
续, 则在积分区间[a, b]上至少存在一个点 , 使下式成立:
·性质10设函数f(x)在区间[a, b]上连续，则
a
f
(x)dx
0,
a
a
2 0 f (x)dx,
(f (x)是奇函数); (f (x)是偶函数).
第二节 微积分基本定理
则该曲线弧长L为
L r2( ) r2( ) d
注意：弧长计算公式中的下限一定要小于上限.
＊三、定积分在物理上的应用
1.变力沿直线做功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的
过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且
这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在
Oa
A(x) bx
y c, y dV π d 2 ( y)dy. c
y
平行截面面积已知的立体体积
❖ 有一立体被垂直于x轴的平面相截，被截体积 位于 x a和 x b的两平面之间，而且它被垂 直于x轴的平面所截的截面积是x的已知连续 函数 A(x) ，其立体的体积为
b
V a A(x) d x
(1)分割: T1t0<t1<t2< <tn1<tnT2, tititi1;
(2)近似: 物体在时间段[ti1, ti]内所经过的路程近似为
Siv(i)ti ( ti1< i<ti );
(3)求和: 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为
n
S v( i )ti ;
i 1
(4)取极限: 记max{t1, t2,, tn}, 物体所经过的路程为
取 ε 0 ，如果极限 lim b f (x)dx 存在，则称此极限为函 ε0 a
高等数学第六章-定积分的元素法及其应用(1)
精确值
积分表达式
这种分析方法成为元素法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
第六章 定积分的元素法及其应用
二、定积分在几何学上的应用
1. 直角坐标系下平面图形的面积
（1）若函数 f (x) 在[a,b] 上连续且 f (x) 0，则由f ( x)，x a,
所围图形的面积 . y b
利用椭圆的参数方程
o x xdx a x
应用定积分换元法得
4ab 2 sin2 t dt 0
4ab
1 2
2
ab
当 a = b 时得圆面积公式
第六章 定积分的元素法及其应用
2. 极坐标系下平面图形的面积
设由曲线 =( ) 及射线 =， = 围成的曲边扇 形，则曲边扇形面积为：
思考练习
1. 用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .
提示: 交点为(1, 1), (9, 3), 以 x 为积分变量 , 则要分
两段积分, 故以 y 为积分变量.
A 3 1
dy
3 y
弧线段部分
直线段部分
s
3
1
1
dy
第六章 定积分的元素法及其应用
2.求曲线
30
y
x
R x
第六章 定积分的元素法及其应用
思考: 可否选择 y 作积分变量 ?
此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示:
2x y tan 2 tan y R2 y2
y
o
(x, y)
R x
2 tan Ry R2 y2 dy 0
定积分的二种换元法及其应用
定积分的二种换元法及其应用
一、换元法：
1、等价换元法：即将原有的积分值与另一种积分值进行相互转换，使得两者
之间的价值相同。
例如：将100点A积分换成50点B积分，即100A=50B。
2、定量换元法：即在固定的量上进行转换，使得不同的积分之间能够保持一
定的价值关系。
例如：将1A=2B, 则100A=200B。
二、应用：
1、企业顾客奖励方面应用广泛。
企业通常会采用不同形式的奖励来酬谢忠诚
的顾客。
通过采用不同形式的奖励来衡量顾客对企业所作出的贡献大小是很有必要的。
而通过采用换元法可以使得不同形式的奖励能够保持一定的价值关系；
2、在旅行回馈方面也有应用。
旅行回馈是旅行者在出差或旅行中所获得回馈
物品或服务所对应的数字化标准化代币体系。
通过采用不同形式的回馈来衡量旅行者对旅行所作出贡状大小也是很有必要性的。
考虑到不同形式回馈之间存在差异性；此时可以选择采用换元法来使得不吓当前式回馈能够保护一定价值关系。
定积分性质与应用
定积分性质与应用定积分是微积分学中的一个重要概念，它是对曲线下面的面积进行量化的工具。
在本文中，我将讨论定积分的性质以及其在实际应用中的意义。
1. 定积分的性质定积分具有以下几个性质：（1）可加性：设函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么对于任意的c（a<c<b），函数f(x)在区间[a, c]和区间[c, b]上也是可积的。
而且，同一个函数在不同的区间上的定积分值相加等于在整个区间[a, b]上的定积分值。
（2）线性性：设函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，以及k是任意常数，那么函数kf(x)和f(x)±g(x)也在区间[a, b]上可积。
此外，函数kf(x)在区间[a, b]上的定积分值为k乘以函数f(x)在相同区间的定积分值。
（3）保号性：如果函数f(x)在区间[a, b]上恒大于等于0（或恒小于等于0），那么f(x)在该区间上的定积分值也大于等于0（或小于等于0）。
即，定积分可以用来判断函数在某个区间上的正负性。
2. 定积分的应用定积分在实际应用中起着重要的作用，下面我将介绍其中的几个应用。
（1）曲线下的面积计算定积分最基本的应用之一是计算曲线下的面积。
通过将曲线下方分为若干个矩形和三角形，然后将它们的面积相加，可以近似地计算出曲线下的总面积。
通过不断增加这些分割形状的数量，可以得到更为准确的结果。
（2）物理学中的位移、速度和加速度定积分在物理学中也有广泛的应用。
例如，我们可以用定积分来计算质点在一段时间内的位移、速度和加速度。
通过对速度和加速度函数进行定积分，我们可以获得质点的位移函数。
（3）统计学中的概率密度函数在统计学中，概率密度函数描述了某个随机变量的概率分布情况。
通过求取概率密度函数曲线下的面积，我们可以计算出变量落在某个指定区间内的概率。
这其中用到了定积分的技巧。
（4）工程学中的工作与功率在工程学领域，定积分可以用来计算工作和功率。
对于某个体力做功的过程，我们可以通过计算力和位移的函数乘积在一段时间内的定积分，来得到所做工作的大小。
高等数学定积分的应用常见曲线及公式
标题：高等数学定积分的应用 - 常见曲线及公式序在高等数学中，定积分是一个非常重要的概念，它不仅可以用于计算曲线与坐标轴之间的面积，还可以应用于求解各种问题。
在实际应用中，定积分广泛地用于表示曲线与坐标轴之间的面积、求解物体的质量、求解物体的质心、求解曲线的长度以及求解曲线的平均值等问题。
在本文中，我们将会介绍定积分的应用中的常见曲线及公式。
一、常见曲线及其定积分公式1. 直线若有一条直线，其方程为y = kx + b，其中k和b为常数，那么直线与x轴及y轴所围成的面积可以用定积分来表示。
其定积分公式为：\[S = \int_{a}^{b} |kx + b| dx\]其中a和b为直线与x轴的交点的横坐标。
2. 抛物线若有一个抛物线，其方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数且a不等于零，那么抛物线与x轴及y轴所围成的面积可以用定积分来表示。
其定积分公式为：\[S = \int_{x_1}^{x_2} |ax^2 + bx + c| dx\]其中x1和x2为抛物线与x轴的交点的横坐标。
3. 圆若有一个圆，其半径为R，圆心在原点，那么圆与x轴及y轴所围成的面积可以用定积分来表示。
其定积分公式为：\[S = \int_{-R}^{R} \sqrt{R^2 - x^2} dx = \frac{\pi R^2}{2}\]其中R为圆的半径。
4. 椭圆若有一个椭圆，其方程为\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长，那么椭圆与x轴及y轴所围成的面积可以用定积分来表示。
其定积分公式为：\[S = 4 \int_{0}^{a} \sqrt{b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2}} dx\]其中a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。
5. 双曲线若有一个双曲线，其方程为\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的半轴长，那么双曲线与x轴及y轴所围成的面积可以用定积分来表示。
35定积分及其简单应用(理)
§ 3.5定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用知识要点梳理1. 一般地，如果函数 y=f(x)在某个区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I 上的连续曲线。
2 .以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤：①分割，②近似代替,③求和，④取极限.3. 定积分的定义：如果函数 f(x) 在区间［a,b ］ 上图像是连续曲线，用分点a =X o e x , <X 2吒tH<X i 」<X i 吒(11 < x n =b 将区间［a,b ］等分成n 个小区间。
在每个小nnb _ a区间&丄X 】上任取一点m (i =12川，n)作和式送f(q )也x =2；,当y7 n线x=a,x=b 之间部分的曲边梯形面积的代数和 ,在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号.(如下图(5. 微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式):如果f(x)是区间［a,b ］上图像连续不断的函数，并且F / (x)=f(x), 那么 b.f f (x)dx =F(X)| b =F(b)-F(a). a 其中F(x)叫做f(x)的一个原函数。
n T 处时,上述和式无限趋近某个常数，这个常数叫做函数f(X)在区间［a,b ］上的定积分。
记作： [f(x)dx 。
即[f(x)dx =nm £n I上f(u ). n其中f(x) 积式，b,a 间。
叫做被积函数，x 叫做积分变量, 分别叫做积分上限和下限，区间 f(x)dx 叫做被 ［a,b ］叫做积分区4.定积分的几何意义：［f(x)dx 表示介于X 轴，曲线y=f(x),与直y-f(X)X6. 定积分的性质：bbbbb①[kf (x)dx =k [f (x)dx ,(其中 k 为常数);②[[f (x) ±g(x)]dx = [f (x)dx ± a g(x)dx ；b c b③[f (x)dx = [f(x)dx + f (x)dx (其中 a<b<c) oa7. 利用函数的奇偶性求定积分 ：若f(x)是[-a,a]上的奇函数，则ff(x)dx = 0;若f(x)是aa[-a,a]上的偶函数，则 Jaf (x)dx =2 f (x)dx . 8.定积分的求法：①定义法(用微分思想求曲边梯形的面积，分割，近似代替,求和，取极限.);②牛顿-莱布尼兹公式法；③几何意义法：若y=f(x) ,x 轴,与直线x=a,x=b 之间的各 d —x 2dx .④利用奇、偶 J 丄疑难点、易错点剖析：b1. 定积分f f(x)dx 是一个常数。
定积分和不定积分的区别和应用
定积分和不定积分的区别和应用积分是微积分理论的重要内容，分为定积分和不定积分两种形式。
定积分和不定积分虽然有些相似，但是在本质上还是有很大的区别。
本文将介绍这两种积分形式的区别及其在实际应用中的意义。
一、定积分的概念与特点在数学中，定积分指的是在一定范围内的函数面积，可以理解为是函数在这个区间内的平均值，也可以说是连续函数在区间内的曲线积分。
定积分的记号是∫，被积函数称为被积分函数。
表示在区间[a,b]内对函数f(x)求积分的过程，即∫a^b f(x)dx。
定积分具有以下的特点：1、定积分与趋近于零的区间长度无关；2、函数f(x)必须在区间[a,b]内连续；3、定积分的值是一个具体的数；4、定积分的值可以表示区间[a,b]内的函数面积；5、定积分可以用于确定曲线下面的面积。
二、不定积分的概念与特点不定积分指的是对于一个函数f(x)，可以求出它的导数F(x)，则称函数F(x)是f(x)的不定积分，并记为∫f(x)dx=C。
不定积分的概念可理解为反函数的求解。
不定积分的特点如下：1、不定积分表示的是数量关系，没有具体的数值；2、不定积分仅仅能确定函数的形式，而不能确定函数所代表的定值。
3、不定积分的系数C称为积分常数。
三、定积分和不定积分的联系与区别相同之处：定积分和不定积分都是关于积分的概念，用于求某种量的大小。
不同之处：1、定积分的结果可以是一个具体的数，而不定积分仅仅能确定函数的形式；2、不定积分是积分的一种形式，是某个函数的导数，而定积分是某个函数在区间内的平均值或曲线积分；3、定积分的结果可以表示为对应的区间内的面积，而不定积分没有这个含义；4、使用方法的不同：求定积分要确定被积函数和积分范围，在对被积函数进行积分；而不定积分是求导数的反过程，先确定函数的导数再求原函数。
四、应用举例1、定积分应用举例：用定积分计算出在 y=x-x^2 函数中 x=[0,1] 区间内正负值面积的差。
解：设该函数为f(x) = x-x^2，x=[0,1]。
定积分及其应用
六、参考概率书籍，说明分布函数怎么计算 参考概率书籍， （p231，13） ， ）
分布函数 取值充满整个实数 轴的随机变量，就不可能用分 轴的随机变量， 布列来表述它取值的概率规律， 布列来表述它取值的概率规律， 一般可统一用分布函数来表述。 一般可统一用分布函数来表述。 分布函数是定义在实数轴上而 取值为大于等于0且小于等于 且小于等于1 取值为大于等于 且小于等于 的实数，对于实轴上任何一点x， 的实数，对于实轴上任何一点 ， 随机变量X的分布函数 的分布函数F（ ） 随机变量 的分布函数 （x） 点的值为随机变量X小于 在x点的值为随机变量 小于 点的值为随机变量 小于x 这个事件发生的概率。 这个事件发生的概率。分布函 数是单调非降的右连续函数， 数是单调非降的右连续函数， 在负无穷大时为0， 在负无穷大时为 ，在正无穷大 时为1。 时为 。
三、不定积分与定积分有什么联系和区别
不 定 积 分 原函数的 集合； 集合；用 换元法计 算时在 的计算 回； 回； 原函 数的
在区间[a,b]上连续 ⑴若f(x)在区间 在区间 上连续 则∫ (a,x)f(t)dt=G(x)是f(x)在 是 在 区间上的一个原函数， 区间上的一个原函数，即 G’(X)=f(x) ，即φ’(x)= ∫ (a,x)f(t)dt= f(x)【第一基本 【 定 是连续函数， 若f(x)是连续函数，F(x) 是连续函数 的一个原函数， 是f(x)的一个原函数，则∫ 的一个原函数 (a,b)f(x)dx=F(b) F(a) 【第 基本定
需求函数：在某一特定时期内， ①需求函数：在某一特定时期内，市场上某种商品的各种可能的购买量与决 需求量Q是价格 是价格p的函 定这些购买量的因素的关系 Q(p)= ∫(0,p)Q(t)dt+Q0 需求量 是价格 的函 价格为0时需求量最大 时需求量最大。 数，价格为 时需求量最大。 ②总成本函数：产品成本是以货币形式实现的企业生产销售产品全部费用支 总成本函数： 固定成本+变动成本 变动成本=总成本 出，固定成本 变动成本 总成本 C(x)= ∫(0,x)C′(t)dt+C0 C0=C 价格× ③总收入函数：总收入=价格×销售量 总收入函数：总收入 价格 R(x)= ∫(0,x)R′(t)dt （∫(0,x)L′(t)dt产量 产量 利润=收入 ④利润函数:利润 收入－成本 L(x)= ∫(0,x)L′(t)dt－C0 利润函数 利润 收入－ － 时的毛利， 为x时的毛利，毛利减去固定成本为纯利） 时的毛利 毛利减去固定成本为纯利）
第5章定积分及其应用
第5章 定积分及其应用§5.1 定积分的概念习 题 5－11.填空题：（1）函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分是积分和的极限，即()baf x dx ⎰＝（ ）.（2）定积分的值只与（ ）及（ ）有关，而与（ ）的记法无关. （3）区间[,]a b 的长度的定积分的表示是（ ）. （4）被积函数()f x 在区间[,]a b 上连续是定积分()baf x dx ⎰存在的（ ）.（5）定积分的几何意义（ ）. 2.利用定积分的定义计算下列积分： （1）2baxdx ⎰； （2）1x e dx ⎰.3.利用定积分的定义计算由抛物线21y x =+，直线x a =、x b =（b a >）及x 轴所围成的图形的面积.4.利用定积分的几何意义，证明下列等式： （1）1310x -=⎰； （2）sin 0xdx ππ-=⎰；（3）4π=⎰； （4）11arctan 0xdx -=⎰；（5）11124x dx xdx -=⎰⎰ ； （6）2202cos 2cos xdx xdx πππ-=⎰⎰.5.利用定积分的几何意义求a⎰(0)b >的值.6. 将下列极限表示成定积分： （1）()201lim3nii i i x λξξ→=-∆∑，λ是[]7,5-上的分割；（2）01limni i x λ→=，λ是[]0,1上的分割.7.将下列和式的极限表示成定积分：（1）111lim 12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； （2）112lim p p p p n n n +→∞+++（0p >）；（3）)221limn n n →∞+； （4）n .8.有一河，宽为200米，从一岸到正对岸每隔20米测量一次水深，测得数据如下（图5-1-8）.试用梯形公式求此河横截面积的近似值.图5-1-8§5.2 定积分的性质习 题 5－21. 证明定积分的性质： （1）()()bb aakf x dx k f x dx =⎰⎰ （k 为常数）； （2）1b baadx dx b a ⋅==-⎰⎰. 2. 估计下列积分值：（1）421(2)x dx +⎰； （2）3244(1sin )x dx ππ+⎰； （3）arctan x xdx ；（4）21x edx ⎰； （5）2211x dx x +⎰； （6）20sin x dx x π⎰. 3. 设()f x 及()g x 在[],a b 上连续，证明： (1) 若在[],a b 上，()0f x ≥，且()0baf x dx =⎰，则在[],a b 上，()0f x ≡；（2）若在[],a b 上，()0f x ≥，且()f x 不恒等于零，则()0baf x dx >⎰；（3）若在[],a b 上，()()f x g x ≤，且()()bbaaf x dxg x dx =⎰⎰，则在[],a b 上，()()f x g x ≡．4. 根据定积分性质及第3题的结论，比较下列每组积分的大小：（1）320sin xdx π⎰，220sin xdx π⎰； （2）221x dx ⎰，231x dx ⎰；（3）21ln xdx ⎰，221(ln )x dx ⎰； （4）10x e dx ⎰，21x e dx ⎰；（5）1xe dx ⎰，()101x dx +⎰； （6）20xdx π⎰，20sin xdx π⎰；（7）20sin xdx π⎰，02sin xdx π-⎰； （8）2cos xdx π-⎰，20cos xdx π⎰；（9）10xdx ⎰，()01ln 1x dx +⎰ （10）()01ln 1x dx +⎰，011xdx x+⎰；. 5. 利用积分中值定理求下列极限： （1）sin limn pnn x dx x+→∞⎰； （2）120lim 1nn x dx x →∞+⎰； （3）10lim 1n xx n x e dx e →∞+⎰.6. 设()f x 在[],a b 上连续，()0baf x dx =⎰．证明：()f x 在[],a b 上在[],a b 内至少存在一个零点．7. 设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且1233()(0)f x dx f =⎰．证明：在()0,1内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=．8. 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且存在(),c a b ∈，使得()()()caf x dx f b c a =-⎰．证明：在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=．§5.3 微积分基本公式习 题 5-31. 设0()cos xx t tdt ϕ=⎰，求(0)ϕ'，4πϕ⎛⎫' ⎪⎝⎭. 2．求下列函数的一阶导数： （1）0()sin xtx e dt ϕ=⎰； （2）223()t xx e dt ϕ-=⎰；（3）2()x x ϕ=⎰； （4）2x y =；（5）32x xy =⎰； （6）()cos 2sin ()cos xxx t dt ϕπ=⎰；（7）22x txy t e dt -=⎰； （8）2()xe xy f t dt =⎰．3. 求下列函数的二阶导数：（1）()330sin xy t x tdt =-⎰； （2）258sin ()xy t f x dt dy t ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰⎰．4. 利用洛必达法则，求下列极限：（1）20cos limxx t dt x→⎰； （2）201lim arctan xx tdt x+→⎰；（3）202limsin 2x t x x e dt x x→-⎰； （4）()2202002sin limln 1x x xt dtt t dt→⎡⎤+⎣⎦⎰⎰；（5）121ln 1lim (1)xx tdtt x →-⎰＋； （6）232lim(sin )x x x t dtt t t dt→-⎰⎰；（7）22201lim ()x t x x t t edt x -→+∞+⎰； （8）()222020lim xt xx t e dt te dt→⎰⎰．5. 设函数()y y x =由方程00cos 0y xte dt tdt +=⎰⎰所确定，求dydx． 6. 设函数()y y x =由方程20cos y x x y tdt -+=⎰所确定，求dy dx．7. 设0sin t x udu =⎰，0cos t y udu =⎰，求dydx.8．设20()(1)xt f x t t e dt -=-⎰，问x 为何值时，()f x 有极值？9. 求函数0()(4)xF x t t dt =-⎰在[1,5]-上的最大值与最小值.10. 计算下列各定积分： （1）24211()x dx x+⎰； （2）()13213x x dx --⎰； （3）332(21)x dx --⎰； （4）1(21)xe dx +⎰； （5）12111dx x -+⎰； （6）240tan xdx π⎰；（7）10⎰； （8）21201x dx x +⎰； （9）20cos 2x dx π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰； （10）41dx ⎰； （11）420213311x x dx x -+++⎰； （12）211e dx x ---+⎰； （13）20sin x dx π⎰； （14）设21,01()1,10x x f x x x ⎧+ ≤≤=⎨+ -≤<⎩，求11()f x dx -⎰． 11. 设()f x 连续，若()f x 满足1()()x f xt dt f x xe =+⎰，求()f x ．12. 设13201()()1f x x f x dx x =++⎰，求()f x 与10()f x dx ⎰． 13. 设0ln(1)()(0)xt f x dt x t+=>⎰，求1()f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 14. 设1sin ,0()20,0x x f x x x ππ⎧ ≤≤⎪=⎨⎪ <>⎩或，求0()()x x f t dt ϕ=⎰在(,)-∞+∞内的表达式．§5.4 定积分的换元积分法与分部积分法习 题 5－41. 用换元积分法求下列定积分： （1）122(115)dxx --+⎰； （2）101xx e dx e +⎰； （3）220sin cos x xdx π⎰； （4）022122dx x x -⎰＋＋； （5）1⎰； （6）2120t te dx -⎰； （7）1221xe dx x ⎰； （8）35201x dx x +⎰； （9）2502353x x dx x +-+⎰；(10)6e e⎰； （11）21e ⎰； (12)320sin cos d πθθθ⎰；(13)1(14)；(15)ax ⎰；(16)3⎰(17)⎰；（18）0；(19) 0⎰； (20)； (21)3122(1)xdx -+⎰；(22)1；(23)41⎰；(24)1⎰－；(25)⎰； (26)2⎰； (27)-⎰； (28)()223min 2,x dx -⎰（29）2sin sin cos xdx x xπ+⎰；（30）0π⎰. 2. 用分部积分法求下列定积分： （1）ln 2x xe dx ⎰； （2）1ln e x xdx ⎰；（3）41⎰； （4）1arctan x xdx ⎰； （5）220sin x xdx π⎰； （6）324sin xdx xππ⎰； （7）220cos x xdx π⎰； （8）1530ln x xdx ⎰ ；（9）230x e dx ；(10)22(1)x - ； (11)220cos x e xdx π⎰； (12)1sin(ln )ex dx ⎰ ；(13)22ln (1)e exdx x -⎰； (14)12(1)ln (1)e x x dx -++⎰；(15)221log x xdx ⎰；(16)20sin x x dx π⎰； (17)1ln eex dx ⎰ ； (18)()242sec 1tan x xdx x π+⎰；(19)161⎰； (20)122(1)m xdx -⎰(m 为自然数).3. 利用积分区间的对称性以及函数的奇偶性，计算下列定积分：（1）22sin cos 2x xdx ππ-⎰；（2）22ππ-⎰；（3）6sin x xdx ππ-⎰；（4）1⎰； （5）x dx ； （6）221cos xdx x ππ-+⎰；（7）522cos xdx ππ-⎰； （8）325425sin 21x xdx x x -+⎰＋； （9）)sin x x dx ππ-⎰＋.（10）244cos 1x xdx e ππ--+⎰.4.已知()f x 是连续函数，证明 （1）1()()[()]baf x dx b a f a b a x dx =-+-⎰⎰；（2）200()[()(2)]aaf x dx f x f a x dx =+-⎰⎰；（3）()2321()2aa x f x dx xf x dx =⎰⎰（0a >）．5. 设()f x 是连续函数，证明 (1) 当()f x 是偶函数时，则0()()xx f t dt ϕ=⎰为奇函数；（2）当()f x 是奇函数时，则0()()xx f t dt ϕ=⎰为偶函数．6. 证明：220()2()aaax dx x dx ϕϕ-=⎰⎰，其中()x ϕ为连续函数.7. 证明：110(1)(1)m n n m x x dx x x dx ϕϕ-=-⎰⎰.8. 证明：20sin 2sin nn xdx xdx ππ=⎰⎰.9. 证明：112211111xx dx dx x x =++⎰⎰（0x >）. 10. 设31sin ()x t f x dt t =⎰，求120()x f x dx ⎰.若1sin ()n x t f x dt t=⎰，求110()n x f x dx -⎰.11. 若()f x ''在[0,]π连续，(0)2f =，()1f π=，证明：[()()]sin 3f x f x xdx π''+=⎰.12. 当0x >时，()f x 可导，且满足方程11()1()xf x f t dt x=+⎰， 求()f x .§5.5 广义积分习 题 5－51 计算下列瑕积分.(1)41dx x +∞⎰； (2)0e +∞⎰； （3）2122dx x x +∞-∞++⎰； （4）211(1)dx x x +∞+⎰； (5)1+∞⎰； (6) 0sin px e xdx ω+∞-⎰(0,0p ω>>)；(7)21arctan xdx x+∞⎰；(8) 1⎰(9)1e⎰（10）10⎰；（11）21⎰；（12）()22011dx x -⎰.2. 求当k 为何值时，瑕积分()21ln kdx x x +∞⎰收敛？当k 为何值时，该瑕积分发散？又当k 为何值时，该瑕积分取得最小值？3. 计算瑕积分0n x n I x e dx +∞-=⎰（n 为自然数）.4. 求c 为何值时，使2lim xc tx x c te dt x c -∞→+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰. 5.求2+∞⎰.6. 计算下列式子：（1）(7)2(4)(3)ΓΓΓ； （2）3(3)()29()2ΓΓΓ； （3）40x x e dx +∞-⎰； （4）2220x x e dx +∞-⎰. 7. 用Γ函数表示下列积分，并指出积分的收敛范围.（1）nxe dx +∞-⎰（0n >）； （2）101ln pdx x ⎛⎫⎪⎝⎭⎰； （3）22x dx +∞--∞⎰；(4)mn x x edx +∞-⎰； (5)10⎰； (6)311dx x +∞+⎰. §5.6 定积分的几何应用习题5-6１. 求由下列各组曲线所围成平面图形的面积：（１）1xy =，y x =，2x =; （2）x y e =，xy e -=，1x =; （3）2y x =，2x y +=; （4）3y x =，1y =，2y =，0x =;（5）0y =，1y =，ln y x =，0x =; (6)22x y =，228x y +=;(7) ln y x =,y 轴,ln y a =,ln y b =( 0b a >>)；(8) 23y x =+，2y x =. 2. 直线x k =平分由2y x =，0y =，1x =所围之面积，求k 之值． 3. 求抛物线243y x x =-+-及在点(0,3)-和(3,0)处切线所围成图形的面积. 4. 求抛物线22y px =及其在点,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭处的法线所围成的图形的面积. 5. 求曲线33cos ,sin x a t y a t ==，).0(>a 所围成图形的面积. 6. 求曲线2cos r a θ=).0(>a 所围成图形的面积.7. 求曲线2(2cos r a θ=＋）).0(>a 所围成图形的面积. 8. 求对数螺线r ae θ=（0a >，πθπ-≤≤）及射线θπ=所围成图形的面积.9. 计算阿基米德螺线r a θ= (0a >)上相应于θ从0到2π的一段弧与极轴所围成的图形(如图5-6-22)的面积.图5-6-22 图5-6-2310.求由下列各曲线所围成图形的公共部分的面积. (1) 3cos r θ=及1cos r θ=+；(2) r θ=及2cos 2r θ=.11. 圆1r =被心形线1cos r θ=+分割成两部分，求这两部分的面积. 12.设sin y x =，02x π≤≤.问：为t 何值，图5-6-23中阴影部分的面积1s 与2s 之和最小？最大？13.求由下列已知曲线围成的平面图形绕指定的轴旋转而成的旋转体的体积.（1）2xy a =，0y =，x a =，2x a =（0a >），绕x 轴. （2）22(2)1x y +-=，绕x 轴.（3）ln y x =，0y =，x e =，绕x 轴和y 轴. （4）224x y +=，24(1)x y =--，0y >，绕x 轴. （5）5xy =，6x y +=，绕x 轴.（6）cos y x =，0x =，x π=，x 轴，绕y 轴.14. 求摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（02t π≤≤，0a >）的一拱与0y =所围成的图形绕直线2y a =旋转而成的旋转体的体积.15. 由心形线4(1cos )ρθ=+和直线0θ=及2πθ=所围成图形绕极轴旋转而成的旋转体的体积.16. 一个棱锥体的底面是长为2a 的正方形，高为h ，求此棱锥体的体积 (如图5-6-24).图5-6-24 图5-6-2517.设直线y ax b =+(0a >，0b >)与直线0x =，1x =及0y =所围成的梯形面积等于A ，试求a 、b ，使这个梯形绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小.18.在由椭圆域2214y x +≤绕y 轴旋转而成的椭球体上，以y 轴为中心轴打一个圆孔，使剩下的部分的体积恰好等于椭球体体积的一半，求圆孔的直径.19.设有一锥体，其高为h ，上、下底都为椭圆，椭圆的轴长分别为2a 、2b 与2A 、2B ，求这锥体的体积.20.作半径为r 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高h 为何值时，其体积V 最小？求出此最小值(如图5-6-25).21.把星形线232323x y a +=所围成的图形绕x 轴旋转(图5-6-26)，计算所得旋转体的体积.图5-6-26 图5-6-27 22.用积分的方法证明图5-6-27所示球缺的体积为2()3H V H R π=-. 23.求圆盘222x y a +≤绕x b =-(0b a >>)旋转而成的旋转体的体积.24.证明：由平面图形x a =，x b =，0a b ≤<，0()y f x ≤≤绕y 轴旋转而成的旋转体的体积为2()baV xf x dx π=⎰.25.利用24题的结论，计算sin y x =(0x π≤≤)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积.习题5－71. 已知边际成本'2()25309C q q q =+-，固定成本为55，试求总成本()C q ，平均成本与变动成本.2. 已知边际收入为'()30.2R q q =-，q 为销售量，求总收入函数()R q ，并确定最高 收入的大小.3. 某产品生产q 个单位是总收入R 的变化率为'()200100qR q =-，求： （1）生产50个单位时的总收入；（2）在生产100个单位的基础上，再生产100个单位时总收入的增量.4. 已知某商品每周生产q 个单位时，总成本变化率为'()0.412C q q =-（元/单位），固 定成本500，求总成本()C q . 如果这种商品的销售单价是20元，求总利润()L q ，并问每周生产多少单位时才能获得最大利润？图5-7-56. 设某城市人口总数为F ，已知F 关于时间t （年）的变化率为dF dt =，假设在计算的初始时间(0)t =，城市人口数为100（万），试求t 年中该城市人口总数.7. 若边际消费倾向在收入为Y 时为1232Y -，且当收入为零时总消费支出070c =.（1）求消费函数()c Y ；（2）求收入由100增加到196时消费支出的增加数.8. 设储蓄边际倾向（即储蓄额S 的变化率）是收入y 的函数 '()0.3S y =， 求收入从100元增加到900元时储蓄的增加额.9. 如果需求曲线为2()500.025D q q =-，并已知需求量为20个单位，试求消费者剩余CS .10. 假设某国某年洛伦兹曲线近似地由3y x =（01x ≤≤）表示，试求该国的基尼系数.11. 某投资项目的成本为100万元，在10年中每年可收益25万元，投资率为5%，试 求这10年中该项投资的纯收入的贴现值.12. 一位居民准备购买一栋别墅，现价为300万元，如果以分期付款的方式，要求每年 付款21万元，且20年付清，而银行贷款的年利率为4%，按连续复利计息，请你帮这位购5. 某新产品的销售率由下式给出()10090x f x e -=-，式中x 是产品上市的天数，前四天的销售总数是曲线()y f x =与x 轴在之间的面积（如图5-7-5），求前四天总的销售量.房者作一决定：是采用一次付款合算还是分期付款合算？总习题五1．求下列极限：(1) limnn k →∞=. (2) 21lim inni n i nen ne→∞=+∑；（3）11lim n n i n →∞= （4）112lim p p p p n n n +→∞+++（0p >）； （5）lim n →∞2．利用积分中值定理求下列极限： （1）sin lim0n pnn xdx x +→∞=⎰； （2）222lim n x n n x dx e+→∞⎰．3．求下列极限：（1）101lim (1sin 2)xtx t dt x →+⎰； （2）lim ()x a x a x f t dt x a →-⎰（其中()f x 连续）；（3）()2arctan lim xx t dt→＋ (4) ()2210limxt t x e dt→+∞⎰．4．（已知[]02()1()1xf t dt f x -=-⎰，求(0)f '．5． 已知()2021,0()0,x t e dtx f x x x ⎧-⎪≠=⎨⎪=0⎩⎰，求(0)f '． 6．设()f t 在0t ≤≤+∞上连续，若220()(1)x f t dt x x =+⎰，求(2)f ．7． 求函数0()(3)xF x t t dt =-⎰在[1,5]-上的最大值与最小值．8. 证明：111ln(1)11ln 23n n n+=++++<+． 9. 设()f x 、()g x 在区间[,]a b 上均连续，证明：（1）()222()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⋅⎰⎰⎰（柯西－施瓦茨不等式）；（2）[]()()()111222222()()()()bbba aaf xg x dxf x dxg x dx +≤+⎰⎰⎰（闵可夫斯基不等式）.10. 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，且()0f x >，证明：11ln ()ln ()b b a a f x dx f x dx b a b a ⎡⎤≥⎢⎥--⎣⎦⎰⎰. 11. 设()f x 在[0,]a （0a >）上有连续导数，且(0)0f =，证明：2()2aMa f x dx ≤⎰，其中0max ()x aM f x ≤≤'=.12. 设()f x 在[0,1]上连续且单调减少，试证：对任何(0,1)a ∈，有1()()af x dx a f x dx ≥⎰⎰.13. 设()x ϕ在[,]a b 上连续，()()()xaf x x b t dt ϕ=-⎰，证明：必存在(,)a b ξ∈，使得()f ξ'=0.14.设()f x 在区间[,]a b 上连续，()g x 在区间[,]a b 上连续且不变号.证明至少存在一点[,]a b ξ∈，使下式成立()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰（积分第一中值定理）.15. 计算下列定积分：（1）3(1sin )x dx π-⎰； （2）e ；（3）⎰； （4）0ax ⎰ (0a >)；（5）20sin 1cos x xdx xπ++⎰； （6）40ln(1tan )x dx π+⎰；（7）a⎰(0a >)； （8）；（9）121(21)x x dx -++⎰； （10）sin )x x dx ππ-⎰（11）42213||||1x x dx x -⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭⎰； （12）设2,01()2,12x x f x x x ⎧ ≤≤=⎨-<<⎩，求20()f x dx ⎰.16.利用函数的奇偶性计算定积分121(x dx -+⎰. 17. 利用函数的周期性计算定积分2(sin 2)(tan 1)a ax x dx π++⎰.18. 设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，并满足条件()sin xu f x u e du x -=⎰，求()f x .19. 计算下列各题： （1）设(5)2f =，5()3f x dx =⎰，求5()xf x dx '⎰．（2）已知2()tan f x x =，求40()()f x f x dx π'''⎰.20. 证明()[()()]aaaf x dx f x f x dx -=+-⎰⎰，并求下列定积分：（1）441sin dx x ππ-+⎰； （2）244sin 1x x dx e ππ--+⎰； （3）244cos 1nxx dx e ππ--+⎰（n 为正整数）. 21. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 关于2a bx +=对称的点处取相同的值.证明： 2()2()a b baaf x dx f x dx +=⎰⎰.22. 证明：112211111xx dt dt t t =++⎰⎰（0x >）. 23. 判断下列瑕积分的敛散性：(1)1+∞⎰；(2)2+∞⎰；(3)2cos ln xdx x+∞⎰；(4) 0+∞⎰；(5)3(1)(2)dxx x x +∞--⎰；(6)1+∞⎰；(7)120ln 1xdx x -⎰； (8)1ln 11eex dx x --⎰.24. 已知sin 2x dx x π+∞=⎰，求220sin x dx x+∞⎰. 25. 求介于直线0x =，2x π=之间由曲线sin y x =和cos y x =所围成的平面图形的面积.26. 求椭圆22113x y +=和22113x y +=的公共部分的面积. 27. 求曲线x y e =及该曲线的过原点的切线和x 轴的负半轴所围成的平面图形的面积. 28. 设曲线21:1L y x =-(01)x ≤≤、及x 轴和y 轴所围成的区域被曲线21:L y ax =分为面积相等两部分，其中a 是大于零的常数，试确定a 的值.29. 求由柱体222x y a +≤与222x z a +≤(0a >)的公共部分所围成图形的体积.30.将曲线r =绕x 轴旋转而成的旋转体的体积. 31. 将抛物线2y x ax =-在横坐标0与c （0c a >>）之间的弧段绕x 轴旋转，问c 为 何值时，所得旋转体体积V 等于弦OP （P 为抛物线与x c =的交点）绕x 轴旋转所得锥体体积.32. 设抛物线2y ax bx c =++通过点(0,0)，且当[0,1]x ∈时，0y ≥.试确定a b c 、、 的值，使得该抛物线与直线1x =，0y =所围成图形的面积为13，且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小.33.一位居民准备购买一栋别墅价值为300万元，若首付为50万元，以后分期付款，每年付款数目相同，10年付清，而银行贷款的年利率为6%，按连续复利计息，每年应付款多少？（0.60.5448e-≈）34. 某公司投资2000万建成一条生产线，投产后，在t 时刻的追加成本和追加收益分别为23()52g t t =+ （百万/年）23()17t t ϕ=- （百万/年）试确定该生产线在何时停产可获得最大利润？最大利润是多少？.35.生产某种产品的固定成本为50万元，边际成本与边际收益分别为216100=-+（万元/单位产品）MC Q Q=-（万元/单位产品）MR Q894试确定工厂应将产量定为多少个单位时，才能获得最大利润？并求最大利润.。
定积分及其应用笔记
定积分及其应用笔记一、定积分的概念定积分是积分的一种，是函数在区间[a,b]上的积分和的极限。
即，对于函数f(x)，如果存在一个常数I，对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0<Δx<δ时，有Σf(ξi)Δxi - I<ε，那么常数I就叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
二、定积分的性质1. 线性性质：∫(a+b)f(x)dx=∫af(x)dx+∫bf(x)dx2. 积分区间的可加性：∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx3. 积分区间的可减性：∫(a→b)f(x)dx=∫(a→d)f(x)dx-∫(d→b)f(x)dx4. 函数的线性组合的积分等于各个函数的积分之和：∫(a→b)[af(x)+bf(x)]dx=a∫(a→b)f(x)dx+b∫(a→b)f(x)dx5. 被积函数的常数倍的积分等于常数乘以被积函数的积分：∫(a→b)kf(x)dx=k∫(a→b)f(x)dx6. 被积函数的反函数的积分等于被积函数的积分：∫(a→b)f^(-1)(x)dx=∫(f(a)→f(b))f(x)dx7. 反常积分的基本性质：∫(+∞→-∞)f(x)dx=-∫(-∞→+∞)f(x)dx，∫(+∞→-∞)[af(x)+bg(x)]dx=a∫(+∞→-∞)f(x)dx+b∫(+∞→-∞)g(x)dx8. 被积函数的偶次幂的积分等于偶次幂的积分的四倍：∫(a→b)(f^2)(x)dx=4∫(a→b)[f(x)+f(-x)]/2dx9. 被积函数的奇次幂的积分等于奇次幂的积分的二倍：∫(a→b)([-1]^nf^n)(x)dx=[(-1)^nn!]/2[f^(n-1)(b)-f^(n-1)(a)]+C，其中C是常数10. 奇偶性质：如果被积函数是偶函数，那么它的积分等于在[a,b]上方的积分加上在[b,a]下方的积分；如果被积函数是奇函数，那么它的积分等于在[a,b]上方的积分减去在[b,a]下方的积分。
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定积分及其应用
1、 连续函数
一般地，如果函数y=f(x)在某个区间I上的图像时一条连续不断的曲线，那么
我们就把它称为区间I上的连续函数。
2、 求曲边梯形面积的步骤
① 分割；②近似代替；③求和；④取极限。
3、 定积分的定义
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a= < <……< < <……<
=b。将区间[a,b]等分成n个小区间，在每个小区间[,]上任取一点
（i=1,2,3,……）作和式，当n→∞时，上述和式无
限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作
4、 定积分的性质
（1）
（2）
（3）= + (a
一般地，如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且，那么
=F(b)-F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，为了方便，我们常把 梯形的面积为S=
F(b)-F(a)记成，即== F(b)-F(a)
6、 定积分的几何意义
（1） 通过定积分的运算可以发现，定积分的值可正可负可为零。
直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形。
① 当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分取正值，且等于曲边梯形的面积。
② 当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分取负值，且等于曲边梯形面积的
相反数。
③ 当位于x轴上方的曲边梯形的面积等于位于x轴下方的曲边梯形的面积时，
定积分的值为0；且等于位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方
的曲边梯形的面积。
（2）由三条直线x=a,x=b(a