新湘教版八年级数学上册三角形时

3.（连云港·中考）小华在电话中问小明：“已知一个三角形三
边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：
“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的
图形正确的是（
）
A
C
E
D
F
B
【解析】选C.因为三角形为钝角三角形，所以最长边上的高是过 最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上.
F
因为CF是△ABC的角平分线，
OE
所以∠ACB=2∠__A_C_F=2_∠_B_C__F.
因为AD是△ABC的角平分线，
所以∠BAC=2∠__B_A_D=2_∠_C_A__D. B
D
C
观察三角形三个角的角平分线,你发现了什么? 三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部. 三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？
●
C
D
三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部.
三角形三条中线的交点叫作三角形的重心. 如图：点O为△ABC的重心
归纳比较
(1)从三角形的一个顶点
向它的对边所在的直线作
垂线，连接顶点和垂足之
三 间的线段叫作三角形的高。 B
角 形 的 三
(2)三角形的一个角的 平分线与这个角的对边 相交，这个角的顶点与 交点之间的线段叫作三
2.能正确识别三角形的高、中线、角平分线，并会应 用这些线 的性质解决问题.
No Image
理想是指路明星。没有理想，就没有坚 定的方向，而没有方向， 就没有生活。
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1钝角三角形的三条高
2
在纸上画出一个钝角三角形.
A
(1)画出钝角三角形的三条高.
(2) 钝角三角形的三条高交于一点吗？
D
钝角三角形的三条高不相交于一点.
(2)它们所在的直线交于一点吗？
将你的结果与同伴进行交流.
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
O
F
B
C
E
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高.
B BC上的中线：AD
C DF E （中点）
BC上的高： AE ∠BAC的平分线：AF
2.如图，AD是△ABC的高，DE是△ACB的中线，BF是 △EBD的角平分线，根据己知条件填_C_=_9_0_0;
(2) BE= _A__E__= __A_B__;
E
F
(3) ∠DBF= ∠_A__B_F_= ∠_A_B__C_;
因为AD是△ABC的角平分线，
A●
︶1 2
所以∠BAD =∠CAD =1 ∠BAC.
2
B
●
D
C
任意画一个三角形,然后利用量角器画出这个三角形三 个角的角平分线,你发现了什么?
三角形三条角平分线的交点叫作三角形的内心.
如图：点O为△ABC的内心
A
因为BE是△ABC的角平分线，
所以∠__A_B__E_=_∠_C__B_E___= ∠_A_B__C_.
4.如图，在ΔABC中，AE是中线，
AD是角平分线，AF是高.填空： （1）BE= CE = BC ；
（2）∠BAD= ∠CAD =
∠BAC ；
（3）∠AFB= ∠AFC =90°；
（4）SΔABC=
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BC•A
F
.
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通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.三角形的三条重要线段：高、中线、角平分线.
2
例2.如图所示，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高。 A
(1)图中共有几个三角形？请分别列举出来。
(2)其中有哪些三角形的面积相等？ B
解(1)图中共有6个三角形，它们分别是：
C DE (中点)
△ABD, △ADE, △AEC, △ABE, △ADC, △ABC.
(2) ∵AD是△ABC的中线，
注意:标明垂直符号和垂足.
B
A
D
C
A
D
C
1 2
锐角三角形的三条高
每人画一个锐角三角形.
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗?
F
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
将你的结果与同伴进行交流. B
锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?
A
OE C
D
锐角三角形的三条高交于三角形内部同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
∴BD=CD.
∵AE是△ABC的高，也是△ABD和△ADC的高，
又∵S△ABD= BD.AE， S△ADC= DC.AE,
∴S△ABD= S△ADC （等底等高的两个三角形的面积相等）
课本练习
1.利用三角尺（或直尺）、量角器任意画一个三角
形，并画出其中一条边上的中线、高及这条边所
对的角的平分线。
A
三角形三条高的交点叫作三角形的垂心. 如图：点O为△ABC的垂心
1 直角三角形的三条高
2
在纸上画出一个直角三角形. (1)画出直角三角形的三条高. (2)它们有怎样的位置关系？
将你的结果与同伴进行交流.
A D
直角三角形的三条高交于直角顶点. B●
C
直角边BC边上的高是__A_B___;
直角边AB边上的高是 CB ; 斜边AC边上的高是___B_D___.
三角形的三条高的特征：
性质
三角形的分类 锐角三角形
高在三角形内部的数量
3
直角三角形
1
钝角三角形
1
高之间是否相交
相交
相交
不相交
高所在的直线是否相交 垂心的位置
相交 相交
三角形 内部
直角顶点
相交
三角形 外部
1 2
在三角形中，一个角的角平分线与这个角的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段,叫作三角形的角平分线.
角形的角平分线。
F
B
线
(3)在三角形中,连接一个 F
顶点和它的对边中点的线
段,叫作三角形的中线. B
1.相同点：三角形的三线都是线段。
A F
OE
C
A
D
OE
AD
C
E
O
C
D
2.不同点：三角形的高垂直于这条边，角平分线平分这个角，中 线平分这条边。
3.在说明这三条线时，必须强调属于哪条边（或哪个角)。
1
三角形的角平分线是一条线段,角的平分线是一条射线.
1三角形的中线
2
在三角形中,连接一个顶点和它的对边中点的线段,
叫作三角形的中线.
三角形的中线平分这个三角形的面积。
因为AD是△ABC中BC边中线，
所以BD=CD1= BC.
2
任意画一个三角形,然后利用
A
●
F
E O
刻度尺画出这个三角形三条边 B 上的中线,你发现了什么?
B
C
D
(4) S△AED=S△__B_E_D_ = S△__A_B__D;
随堂练习
D
1A.下列D各组C 图形中D，哪一B组图C形中B的AD是△ABBCC 的高(
)
BA
CA
B
AD
C
D
A
D
2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，
那么这个三角形是（ B ）
A.锐角三角形 C.钝角三角形
B.直角三角形 D.任意三角形
湘教版数学八年级上册
本课节内容 2.1.2
三角形
(第2课时)
如何过一点画己知直线的垂线？ a
P
l
O
过一点画已知直线的垂线的方法： 一、落； 二、过； 三、画。
知识讲解
从三角形的一个顶点 向它的对边
所在的直线作垂线，顶点 和垂足
之间的线段叫作三角形的高线，
B
简称三角形的高.
任意画一个锐角△ABC, 请你画出BC边上的高. 如图, 线段AD是BC边上的高.