函数的切线问题专题强化训练及答案
函数的切线问题微专题
x0
抓住关键：
y0 k
f (x0 ) f (x0 )
；
3．过点 A(x1, y1) 的切线方程：设切点为 P(x0 , y0 ) ，则斜率 k f (x0 ) ，过切点的切线方程为： ∵过点 A(x1, y1) ，∴ y1 y0 f (x0 )(x1 x0 ) 然后解出 x0 的值．（ x0 有几个值，就有几条切线，三次函数多解）
函数的切线问题微专题
第一讲 函数切线及其应用
1．导数的几何意义:
函数 f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线 y f (x) 在点 (x0 , f (x)) 处的切线的斜率．注：（ k f x tan ）
2．在点
A(x0 ,
y0 ) 处的切线方程：
y
f
(x0 )
f
(x0 ) x
A． (5 , 4)
B． (5 , 0)
C． (4 , 0)
D． (5 , 3]
【解析】法一： f x x3 3x2 ,则 f x 3x2 6x ，设切点为 x0 , x03 3x02 ,则 f x0 3x02 6x0 ．
∴过切点处的切线方程为 y x03 3x02 3x02 6x0 x x0 ，把点 2 ，n 代入得：
e2－2x，则 y′＝2＋2e2－2x>0.∵x＝1 时，y＝0，∴x0＝1.故选 A.
[答案] A
【例 1.3】设点 P 是曲线 y x3 3x 3 上的任意一点，点 P 处切线的倾斜角为 ，则角 的范围是（ ） 5
A．
0
，2 3
B．
0
，
2
2 3
，
C．
2
，2 3
D．
3
，2 3
切线判定练习题
切线判定练习题切线判定练习题在微积分中，切线是一个重要的概念。
它是曲线上某一点处与曲线相切的直线。
切线的判定是微积分中的基础知识之一，对于理解和应用微积分具有重要意义。
本文将介绍一些切线判定的练习题，帮助读者加深对切线判定的理解。
题目一：判定曲线的切线方程给定曲线方程 $y = x^3 - 2x^2 + x + 1$，求曲线上点 $(2,3)$ 处的切线方程。
解析：首先，我们需要求出曲线上点 $(2,3)$ 处的切线斜率。
切线斜率可以通过求曲线方程的导数得到。
对于给定的曲线方程 $y = x^3 - 2x^2 + x + 1$，求导得到 $y' = 3x^2 - 4x + 1$。
将点 $(2,3)$ 的横坐标 $x = 2$ 代入导数方程，得到切线斜率 $m = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 9$。
接下来，我们可以利用点斜式来确定切线方程。
点斜式的一般形式为 $y - y_1= m(x - x_1)$，其中 $(x_1, y_1)$ 是切线上的一点，$m$ 是切线的斜率。
将点$(2,3)$ 和斜率 $m = 9$ 代入点斜式，得到切线方程 $y - 3 = 9(x - 2)$。
题目二：判定曲线的切线是否与直线平行给定曲线方程 $y = 2x^2 - 3x + 1$，判断曲线上的点 $(1,0)$ 处的切线是否与直线 $y = 3x - 1$ 平行。
解析：要判断两条直线是否平行，我们需要比较它们的斜率。
对于曲线方程 $y = 2x^2 - 3x + 1$，求导得到 $y' = 4x - 3$。
将点 $(1,0)$ 的横坐标 $x = 1$ 代入导数方程，得到切线斜率 $m = 4(1) - 3 = 1$。
直线 $y = 3x - 1$ 的斜率为 $m = 3$。
由于切线的斜率 $m = 1$ 不等于直线的斜率 $m = 3$，所以切线与直线不平行。
题目三：判定曲线的切线是否与直线垂直给定曲线方程 $y = \sqrt{x}$，判断曲线上的点 $(4,2)$ 处的切线是否与直线 $y = -\frac{1}{2}x + 3$ 垂直。
函数切线以及最值极值问题-带有答案
函数切线以及最值极值问题-带有答案1.已知f （x ）为偶函数，当x ＜0时，f （x ）=ln （﹣x ）+3x ，求曲线y=f （x ） 在点（1，﹣3）处的切线方程2.求与直线240x y -+= 的平行的抛物线2y x = 的切线.3.求过曲线32y x x =- 上的点(11)-， 的切线方程．4.函数y=xe x 在其极值点处的切线方程.22/5.()(),()(0,(0))4 1,2x x f x ae be cx f x y f x f c a b -=--=- 已知函数的导函数为偶函数且曲线在点处的切线的斜率为若C=3，（）求的，判断该函值 数的单调性 （）；6.已知函数()1x af x x e =-+(a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a 的值; (2)求函数()f x 的极值;37.()ln ,,()(1,(1))421.(1)(2)()2x a f x x a R y f x f x y x a f x =+--∈== 已知函数其中且曲线在点处的 切线垂直于直线求的值 求函数的单调区间和极值8.已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．9.已知函数f (x )＝ax －e x(a >0)．(1)若a ＝12，求函数f (x )的单调区间； (2)当1≤a ≤1＋e 时，求证：f (x )≤x .10.设函数f (x )＝12x 2＋e x－x e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．函数切线以及最值极值问题1. 2x +y +1=0 ．2.210x y --=3. 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．4. y=﹣5. （1）对求导得，由为偶函数，知，，因 不恒成立，所以又 ，故.（2）当时，，那么故在 上为增函数.6.[解] (1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－a e x .又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴， 得f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解得a ＝e.(2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值．②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x ＝a ，即x ＝ln a . x ∈(－∞，ln a )，f ′(x )<0；x ∈(ln a ，＋∞)，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值， 且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．7---（1）的值为； 2 当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；所以当时，取得极小值，无极大值。
导数求切线方程的练习题及答案
导数求切线方程的练习题及答案精品文档导数求切线方程的练习题及答案类型一:已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数f?，并代入点斜式方程即可( 例1 曲线y?x3?3x2?1在点处的切线方程为 ,(y?3x?4,(y??3x?,(y?4x?5类型四:已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解( 例求过点且与曲线y?例已知函数y?x3?3x，过点A作曲线y?f的切线，切线方程(1x相切的直线方程(,(y??4x?3类型二:已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决(例与直线2x?y?4?0的平行的抛物线y?x的切线方程是2,(2x?y?3?0 ,(2x?y?1?0,(2x?y?3?0 ,(2x?y?1?01 / 6精品文档类型三:已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法(例求过曲线y?x3?2x上的点的切线方程(高二数学第1页共2页高二数学第2页共2页学校数学学科导学案编制人: 审核人: 授课日期: 月日姓名: 班级: 编号:第周号运用导数求切线方程的专项训练11.对任意x，有f?=4x3，f=,1，则此函数为A.f=x4,2C.f=x3B.f=x4+D.f=,x42.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=s时的瞬时速度为A. B.1C.5 D.813(曲线y=x3,3x2+1在点处的切线方程为A.y=3x,4B.y=,3x+2C.y=,4x+D.y=4x,54.函数f=的导数是A.x2,x+1B.C.3xD.3x2+15.曲线y=f在点)处的切线方程为3x+y+3=0，则A. f?>0B. f? 6. 曲线y?x在点?1,1?处的切线方程为2x?12 / 6精品文档A. x?y?2?0B. x?y?2?0C.x?4y?5?0D. x?4y?5?07. 在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:y?x?10x?3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.8. 曲线f?lnx?x在点处的切线的倾斜角为_______.9(曲线y?xe?2x?1在点处的切线方程为。
切线的定义与切线方程的求法课堂练习及课后作业参考答案
第 1页（共 5页）
变式训练 3 求过曲线 y x3 2x 上的点 (1，1) 的切线方程．
解：设想 P(x0，y0 ) 为切点，则切线的斜率为 y|xx0 3x02 2 ． ∴切线方程为 y y0 (3x02 2)(x x0 ) ． y (x03 2x0 ) (3x02 2)(x x0 ) ．
A．a＝﹣1，b＝1 B．a＝1，b＝﹣1 C．a＝﹣2，b＝1 D．a＝2，b＝﹣1
解：∵曲线 y＝x2+ax+b 在点（1，1）处的切线为 3x﹣y﹣2＝0，∴对曲线方程求导数，得 y′＝2x+a，
∴x＝1 时，k＝2+a＝3，解得 a＝1；又∵点（1，1）在曲线 y＝x2+ax+b 上，∴1+a+b＝1，解得 b＝﹣1；
所以
ͳ ሻͳ 即 ͳሻ ͳ
ͳ ͳ
ሻͳ ሻ
，解得 a＝3，b＝﹣1，
故 g（x）＝x﹣1
10．设函数 ሻ
，曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处与直线 x+y﹣1＝0 相切．求 a，b 的值；
解：因为 f（x）ሻ
，所以
ሻ
．
由题意
ͳሻ ͳሻ
ͳ，解得：a＝2，b＝1．
第 5页（共 5页）
解：曲线方程为 y x3 3x ，点 A(0，16) 不在曲线上．设切点为 M (x0，y0 ) ，则点 M 的坐标满足 y0 x03 3x0 ．因 f (x0 ) 3(x02 1) ， 故 切 线 的 方 程 为 y y0 3(x02 1)(x x0 ) ． 点 A(0，16) 在 切 线 上 ， 则 有 16 (x03 3x0 ) 3(x02 1)(0 x0 ) ．化简得 x03 8 ，解得 x0 2 ．所以，切点为 M (2， 2) ，切线方程为 9x y 16 0 ．
切线的判定练习题
切线的判定练习题切线的判定练习题切线是数学中的一个重要概念，它在几何学、微积分和物理学中都有广泛的应用。
切线的判定是切线问题中的基本内容，掌握切线的判定方法对于解决相关问题至关重要。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和掌握切线的判定。
题目一：给定函数y = x^2 + 2x + 1，判断点P(1, 4)是否在曲线y = x^2 + 2x + 1上，并求出曲线在点P处的切线方程。
解析：首先，我们将点P的坐标代入函数y = x^2 + 2x + 1中，得到y = 1^2 + 2 × 1 + 1 = 4。
由此可知，点P在曲线y = x^2 + 2x + 1上。
接下来，我们需要求出曲线在点P处的切线方程。
切线的斜率可以通过求函数在该点的导数来得到。
对函数y = x^2 + 2x + 1求导得到y' = 2x + 2。
将x = 1代入导数表达式中，得到斜率k = 2 × 1 + 2 = 4。
切线方程的一般形式为y - y1 = k(x - x1)，其中(x1, y1)为切点的坐标。
代入点P 的坐标和斜率k，得到切线方程为y - 4 = 4(x - 1)。
题目二：已知函数y = 3x^3 - 4x^2 + 2x + 1，求曲线y = 3x^3 - 4x^2 + 2x + 1在点Q(2, 19)处的切线方程。
解析：与题目一类似，首先将点Q的坐标代入函数y = 3x^3 - 4x^2 + 2x + 1中，得到y = 3 × 2^3 - 4 × 2^2 + 2 × 2 + 1 = 19。
因此，点Q在曲线y =3x^3 - 4x^2 + 2x + 1上。
接下来，我们需要求出曲线在点Q处的切线方程。
对函数y = 3x^3 - 4x^2 + 2x + 1求导得到y' = 9x^2 - 8x + 2。
将x = 2代入导数表达式中，得到斜率k =9 × 2^2 - 8 × 2 + 2 = 14。
【导数专题(二)】利用导数的几何意义研究函数的切线问题(有答案)
利用导数的几何意义研究函数的切线问题一、亮点1.导数的几何意义作为高中数学的重点章节，经常出现的高考中，在考试中占据重要地位；2.函数切线以及与函数切线相关的问题，往往是考察的重点，也是学生的易错点；3.本篇导数几何意义问题涉及面广，知识点多，会覆盖到极值点、最值等知识点，故本篇适合章节复习、综合复习.二、教学目标1.掌握导数的几何意义这类问题的基本列式方法及其解题对应思路；2.熟练掌握已知切点P(x0,y0)时，切线的求法；3.熟练掌握未知切点时，先设切点P(x0,y0)，再通过题目条件列方程组，解决问题的方法.三、考情总结导数的几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义为函数y=f(x)图像在点(x0,f(x0))处的切线斜率.用导数的几何意义研究曲线y=f(x)的切线方程的两种类型及方法：类型1：已知切点P(x0,y0)问题已知切点P(x0,y0),求y=f(x)过点P的切线方程，解题过程为：先求出切线的斜率k切，即=f′(x0) ,再通过题目已知条件（可用点斜式），写出方程.k切类型2：未知切点P(x0,y0)问题若未知切点P，解题过程为：先设切出点P(x0,y0)，利用导数写出切线斜率k切=f′(x0)一个等量关系，再利用条件列出x0的另一个等量关系，求解方程(组)解得x0，求出斜率，再求出直线方程.1四、精品题单考点一：已知切点P(x0,y0)问题.学情分析：由于已知切点坐标，此类题目比较简单，直接求在切点处的导数，即为切线的斜率，带入点斜式就能解题.注意切点务必明确位置.这类题型的易错点有以下几个：（1）复杂函数求导易错，要注意方法和技巧，仔细求导；（2）明确切点位置易错，特别是一些相交问题中，必须要明确具体切点位置；（3）导数问题与其他问题结合易错，注意要用到数列、函数等其他知识综合解决.练1.（2019·南通模拟）已知x=1是函数f(x)=(x2+ax)e x的一个极值点，则曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为__________．【推荐理由】易错题，经典题【思路点拨】注意求导方法，求导要仔细【答案】−32【解析】解：由题意，函数f(x)=(x2+ax)e x，则f′(x0)=(x2+ax+2x+a)e x又由x=1是函数f(x)=(x2+ax)e x的一个极值点，所以f′(1)=(3+2a)e=0，解得a=−32，即f′(x)=(x2+12x−32)e x所以f′(0)=−32所以函数f(x)在点(0，f(0))处切线的斜率为−32．故答案为−32．2练2：（2019·无锡校级月考）已知f(x)=lnx，g(x)=12x2+mx+72(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为__________【推荐理由】易错题，考察思路【思路点拨】同时相切，导数相同，列方程组【答案】−2【解析】解：由题意得，f(x)=ln x的导数为f′(x)=1x ，g(x)=12x2+mx+72(m<0)的导数为g′(x)=x+m，∴与f(x)图象的切点为(1，f(1))的切线l的斜率k=f′(1)=1，且f(1)=ln1=0，所以切点为(1，0)，∴直线l的方程为：y=x−1，∵直线l与g(x)的图象也相切，∴{y=x−1y=12x2+mx+72此方程组只有一解，即12x2+(m−1)x+92=0只有一解，∴Δ=(m−1)2−4×12×92=0，解得m=−2或m=4(舍去)．故答案为−2．练3：（2019·南通模拟）设曲线y=x n+1(n∈N∗)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n=lgx n，则a1+a2+⋯+a99的值为______．【推荐理由】综合题，导数与数列结合3【思路点拨】注意求导后，形成的数列表达式的推导【答案】−2【解析】解：∵曲线y=x n+1(n∈N∗)，∴y′=(n+1)x n，∴f′(1)=n+1，∴曲线y=x n+1(n∈N∗)在(1，1)处的切线方程为y−1=(n+1)(x−1)，该切线与x轴的交点的横坐标为x n=nn+1，∵a n=lgx n，∴a n=lgn−lg(n+1)，∴a1+a2+⋯+a99=(lg1−lg2)+(lg2−lg3)+(lg3−lg4)+(lg4−lg5)+(lg5−lg6)+⋯+(lg99−lg100)=lg1−lg100=−2故答案为−2．练4:（2019·泰州调研）己知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=1−2ln(−x)x则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为__________．【推荐理由】导数与函数奇偶性结合问题，综合性问题【思路点拨】注意奇函数求另一半的基本技巧．【答案】3x+y−4=0【解析】解：设x>0，则−x<0，所以f(−x)=1−2lnx−x因为f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)，所以f(x)=1−2lnxx (x>0)，则f′(x)=2lnx−3x2，所以切线的斜率为k=f′(1)=−3又f(1)=1，即切点坐标为(1，1)，所以切线的方程为y−1=−3(x−1)，即3x+y−4= 0．故答案为3x+y−4=0．45练5.（2019·苏州模拟）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y =ax 2+bx (a ，b 为常数)过点P(2，-5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x +2y +3=0平行，则a +b 的值是______． 【推荐理由】已知切线斜率，求参数问题 【思路点拨】已知斜率，求导解方程 【答案】−3【解析】解：∵直线7x +2y +3=0的斜率k =−72，曲线y =ax 2+bx (a ，b 为常数)过点P(2，−5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x +2y +3=0平行， ∴y ′=2ax −b x 2，∴{4a +b 2=−54a −b4=−72，解得：{a =−1b =−2，故a +b =−3． 故答案为−3．练6：（2019·南京模拟）设函数f(x)=x 2+c 与函数g(x)=ae x 的图象的一个公共点为P(2，t)，且曲线y =f(x)，y =g(x)在点P 处有相同的切线，若函数f(x)−g(x)的唯一零点在区间(k ，k +1)(k ∈Z)内，则k = 【推荐理由】易错题【思路点拨】相同切线问题，找方程组【答案】−1【解析】解：f′(x)=2x，g′(x)=ae x，∵曲线y=f(x)，y=g(x)在P(2，t)点处有相同的切线，∴f′(2)=g′(2)，即4=ae2，①又P为两曲线的公共点，∴f(2)=g(2)，即4+c=ae2，②，由①②解得c=0，a=4e2⋅e x=x2−4e x−2，令ℎ(x)=f(x)−g(x)=x2−4e2则ℎ′(x)=2x−4e x−2，当x⩽0时，ℎ′(x)<0，∴ℎ(x)在(−∞，0)上递减，又ℎ(−1)=1−4e−3>0，ℎ(0)=−4e−2<0，∴ℎ(x)在(−1，0)内有唯一零点，由题意知(k，k+1)=(−1，0)，∴k=−1．故答案为−1．考点二：未知切点P(x0,y0)问题学情分析：此类题型是切线问题中的难题，关键在于要主动设切点坐标，利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解.这类题型的易错点有以下几个：（1）设切点后找方程组过程易错，需仔细审题后找到对应的方程组；（2）方程组解题易错，要注意解方程组技巧；（3）审题不仔细易错，此类题目条件比较复杂，必须仔细审题，找到切入点解题.练1：（2019·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(−e，−1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是______．6【推荐理由】高考题，典型题【思路点拨】设切点坐标【答案】(e，1)【解析】解：设A(x0，lnx0)，由y=lnx，得y′=1x，∴y′|x=x0=1x 0，则该曲线在点A处的切线方程为y−lnx0=1x(x−x0)，∵切线经过点(−e，−1)，∴−1−lnx0=−ex0−1，即lnx0=e x，则x0=e．由右图可知e是唯一解∴A点坐标为(e，1)．故答案为：(e，1)．练2：（2019·苏北四市二模改编）过曲线y=x−1x(x>0)上一点P(x0，y0)处的切线分别与x轴，y轴交于点A、B，O是坐标原点，若ΔOAB的面积为13，则x0=_________【推荐理由】综合性强，易错题【思路点拨】注意方程组和面积的表达【答案】√5【解析】解：由题意可得y0=x0− 1x0，x0>0，，∴切线的斜率为1+1x02，则切线的方程为y−x0+1x0=(1+1x02)(x−x0)，令x=0可得y=−2x0，令y=0可得x=2x01+x02，7∴ΔOAB的面积S=12·2x0·2x01+x02=13，解得x0=√5负的舍去)．故答案为√5．练3：（2019·江苏卷改编）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x−y+1=0，则点P的坐标是______．【推荐理由】高考题改编【思路点拨】已知斜率，求导解方程【答案】(e，e)【解析】解：函数的定义域为(0，+∞)，函数的导数为f′(x)=lnx+x⋅1x=1+lnx，直线2x−y+1=0的斜率k=2，∵曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x−y+1=0，∴f′(x)=1+lnx=2，即lnx=1，解得x=e，此时y=elne=e，故点P的坐标是(e，e)，故答案为：(e，e)．练4：（2019·连云港校级模拟）若曲线f(x)=ln x+12ax2−(a+2)x+1上存在某点处的切线斜率不大于−5，则正实数a的最小值为________．8【推荐理由】易错题【思路点拨】设点坐标求导，解不等式【答案】9【解析】解：因为f(x)=ln x+12ax2−(a+2)x+1，所以f′(x)=1x+ax−(a+2)．因为f(x)上存在某点处的切线斜率不大于−5，设切点为(x,y) 所以存在x∈(0，+∞)，1x+ ax−(a+2)≤−5，得到2√(1x )·ax−(a+2)≤−5，当且仅当1x=ax时取“=”，化简得a−2√a−3≥0，解得a≥9．则正实数a的最小值为9．故答案为9．练5：（2019·宿迁模拟）点P在曲线y=x3−x+23上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为α，则α的取值范围是_____________【推荐理由】切线斜率是导数【思路点拨】求的是切线斜率范围，就是求所有导函数的值域【答案】[0，π2)∪[3π4，π)【解析】解：∵tanα=3x2−1，∴tanα∈[−1，+∞)．当tanα∈[0，+∞)时，α∈[0，π2)；当tanα∈[−1，0)时，α∈[3π4，π)．∴α∈[0，π2)∪[3π4，π)故答案为[0，π2)∪[3π4，π)．9练6:（2019·淮安模拟）若曲线y=x−lnx与曲线y=ax2+x在公共点处有相同的切线，则实数a=_________．【推荐理由】易错题【思路点拨】注意相同切线问题，斜率相同，列方程组【答案】−12e【解析】解：设曲线y=x−lnx与曲线y=ax2+x在它们的公共点P(s，t)，，{1−1s=2as+1 (1)s−lns=as2+s (2)由(1)得a=12s2，代入(2)式，解得a=−12e，故答案为a=−12e．练7：（2019·盐城模拟）已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1，f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2，f(x2))，记f′(x)为函数f(x)的导数，则f′(x1)f′(x2)的值为_______．【推荐理由】综合性强，易错题【思路点拨】利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解．【答案】14【解析】解：∵函数f(x)=x3，∴f′(x)=3x2，则曲线y=f(x)在点P(x1，f(x1))处的切线斜率为f′(x1)=3x12则曲线y=f(x)在点P(x1，f(x1))处的切线方程为y−x13=3x12(x−1011x 1)，与y =x 3联立，得x 3−3xx 12+2x 13=(x −x 1)2(x +2x 1)=0，即x 2=−2x 1，，∴f ′(x 2)=3x 22=12x 12 , f ′(x 1)f ′(x 2)=14练8：（2019·徐州二模改编）已知点P 在曲线C ：y =12x 2上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为________．【推荐理由】易错题，关键题【思路点拨】利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解．【答案】1【解析】解：设P (t ，12t 2)，因为y′=x ，所以切线l 的斜率k =t ，且t ≠0，则直线PQ ：y −12t 2=−1t (x −t)，即y =−1t x +12t 2+1，由{y =−1t x +12t 2+1，y =12x 2，消y 得：tx 2+2x −t 3−2t =0，设Q(x 1，y 1)，则x 1+t =−2t ，即x 1=−t −2t ，又因为点Q 在曲线C 上，所以y 1=12x 12=12(−t −2t )2=12t 2+2+2t 2， 故Q (−t −2t ，12t 2+2+2t 2)．因为OP ⊥OQ ，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即t ⋅(−t −2t )+12t 2⋅(12t 2+2+2t 2)=0， 化简得t 4=4，则t 2=2，所以点P 的纵坐标为1．12练9：（2019·苏州校级模拟）设曲线y =(ax −1)e x 在点A(x 0，y 1)处的切线为l 1，曲线y =1−x e x 在点B(x 0，y 2)处的切线为l 2.若存在x 0∈[0，32]，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是________．【推荐理由】综合性强 【思路点拨】利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解．【答案】1≤a ≤32 【解析】解：函数y =(ax −1)e x 的导数为y′=(ax +a −1)e x ，∴l 1的斜率为k 1=(ax 0+a −1)e x 0，函数y =(1−x)e −x 的导数为y′=(x −2)e −x∴l 2的斜率为k 2=(x 0−2)e −x 0，由题设有k 1⋅k 2=−1从而有(ax 0+a −1)e x 0(x 0−2)e −x 0=−1∴a(x 02−x 0−2)=x 0−3，∵x 0∈[0，32]得到x 02−x 0−2≠0， 所以a =x 0−3x 02−x 0−2， 又a′=−(x 0−1)(x 0−5)(x 02−x 0−2)2，令导数大于0，解得1<x 0<5，故x 0−3x 02−x 0−2在(0，1)是减函数，在(1，32)上是增函数， x 0=0时取得最大值为32；x 0=1时取得最小值为1．∴1≤a ≤32故答案为1≤a ≤32．13练10：（2019·常州模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数y =2lnx 的图像与圆M ：(x −3)2+y 2=r 2的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数y =f(x)的图像经过点O ，P ，M ，则y =f(x)的最大值为________．【推荐理由】综合性强【思路点拨】利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解．【答案】98【解析】解：设点P(x 0，2lnx 0)，则因为y =2lnx ，所以，故函数y =2lnx ．在点P 处的切线的斜率为k 1=2x 0， 又k PM =2ln x 0x 0−3，从而圆在点P 处的切线的斜率为k 2=−x 0−32ln x0， 从而k 1=k 2，即2x 0=−x 0−32ln x 0，故4ln x0x 02−3x 0=−1． 因为函数f(x)过点O(0，0)，M(3，0)，所以设f(x)=ax(x −3)，又过点P ，所以2lnx 0=ax 0(x 0−3)，解得a =2ln x 0x0(x 0−3)=−12， 从而得f(x)=−12x(x −3)=−12(x −32)2+98≤98，当x =32时，f(x)max =98．练11：（2019·镇江模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线y =−x 3+1上的一14个动点，点P 处的切线与两个坐标轴交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最小值为 ．【推荐理由】综合性强 ，计算要求高【思路点拨】利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解．【答案】3√234【解析】解：根据题意设P 的坐标为(t ，−t 3+1)，且0<t <1，求导得：y′=−3x 2，故切线的斜率k =y′|x=t =−3t 2，所以切线方程为：y −(−t 3+1)=−3t 2(x −t)，令x =0，解得：y =2t 3+1；令y =0，解得：x =2t 3+13t 2， 所以△AOB 的面积S =12(2t 3+1)·2t 3+13t 2=16(2t 2+1t )2，设f(t)=2t 2+1t ，则f ′(t )=4t −1t 2=4t 3−1t 2 令f ′(t )=0则t =√143， 当0<t <√143时， f ′(t )<0,f(t)单调递减， 当t >√143时， f ′(t )>0,f(t)单调递增，所以当t =√143时，f(t)取得最小值，此时S 也取最小值为3√234． 故答案为3√234．。
定积分三角函数数列导数中切线问题练习题
学习好资料欢迎下载姓名：4月21日课后作业与1、求由曲线所围成的封闭图形的面积。
1答案：2、求由直线2y=2x与抛物线y=3－x所围成的阴影部分的面积。
D.【解析】，故选、求函数处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积。
3，所以切线方程为，所以在处的切线斜率为【解析】，所以所求三角形的面积，得，令，令，得为4，求点取自阴影部分的概率。
、已知从如图所示的长方形区域内任取一个点，长方形的面积为【答案】【解析】，阴影部分的面积为欢迎下载学习好资料。
所以点取自阴影部分的概率为、求定积分5【解析】,21,S?S?6，、已知数列6{a}是等差数列，{a}的前n项和为S nnn63n a2.项和{T}的前na(1)求数列{}的通项公式；(2)求数列nnn n=答案：a n)ba,m?(Δ7、已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，，设向量2)a2,(A i p?b?n?n?(si B,s，.nm为等腰三角形；ABC//（1）若，求证：Δ?m p C =c = 2⊥，角（2ABC的面积. ）若，边长，求Δ3vvu ba?ba??,?Bb sin//n,?a sin A Q m外接圆半ABC，其中R即证明：（1）是三角形RR22ABCa?b??为等腰三角形径，vuvu abb??a?0b(a?2)?m//p?0,即a(b?2)?解（2）由题意可知22221)??4(舍去ab?ab?0??ab)3ab?4ab?(a?b)?3ab即(?4?a?b余弦定理?113sin?C sin??S??4?ab 322关于导数中切线问题的专题训练能力提升（选做）2的图象在a∈R)f)函数(x)＝2ln x＋x>0－bx＋a(b，1. (2014·北大附中河南分校高考押题() 处的切线斜率的最小值是点(b，f(b))1．D 2 C.3 2A．2 B．2222A. ，(b)≥2 ·2b＝2b(2x)＝＋x－b，∴f′b)＝＋2b－＝＋b，∵b，∴>0f′f解∵′(bxbb23的取值α－3x＋上的任意一点，P点处的切线倾斜角为α，则2. 设点P是曲线y＝x3)范围为(πππ5252????????????ππ，πππ，ππ，，0，，0 B. C. D.∪∪A.????????????623623222，x＝3x′∵)y，P解析答案[]A []设(x，f()＝＝x切线的斜率－3，∴k33－000．欢迎下载学习好资料π2????2π，π，0A. .故应选∈∴≥α－∪α＝3x3.－3∴tan????0323.（云南省昆明市2013届高三复习适应性检测数学（理）试题）若函数11x?x??)??e?x?3xy?e(?的最小值是则的图象上任意点处切线的倾斜角为 ,22????35(A)(B)(C)(D) 4664【答案】 B2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线＝(2010·福州高二期末)设P为曲线C：yx4.π倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为()411D．[，1]1,0] C．[0,1] －A．[1，－]B．[－22π[答案]A [解析]∵y′＝2x＋2，且切线倾斜角θ∈[0，]，∴切线的斜率k满足0≤k≤1，41即0≤2x＋2≤1，∴－1≤x≤－.2关于导数其他问题的专题训练132＋2xx－[0,4]内任取的一个数，那么函数f(x)＝江西八校联考1. (2014·)已知m是区间32x ＋3在x∈R上是增函数的概率是()m1112A. B. C. D. 4323132222≥0在x＋m(x)＝x4xx)＝－－2x′＋mx＋3在R上是增函数，∴f(C答案：解析：∵f32≤0，解得m≤－2或m≥2.又∵0≤m≤4，∴2≤m≤4.m＝R上恒成立，∴Δ16－421故所求的概率为P＝＝.422．(2014·贵阳二中模拟)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是()，)>0x(′f时，<0x2<单调递减；当－)x(f，)<0x(′f时，>0x或2－<x当解析：A答案：欢迎下载学习好资料A.单调递增．故选f(x)x2的一个极值点，则下)e(x＝－1为函数f＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x(3．设函数fx)＝ax)(x)的图象的是(＝列图象不可能为yfx2xx2x x)e由.ax＋bx＋)e＋，则h′(x)＝(2axb)e b＋(ax＋＋bx＋c)e ax＝(c＋2)解析：设h(x＝f(x2x＝x)＝ca.∴f(x)e(的极值点，当x＝－1时，ax2＋ax＋bx＋b＋c＝c－a＝0，∴＝－1为函数fa22＝＝1，D中图象一定不满足该条件．axa＋bx＋.若ax，则＋bx＋a＝0有两根x，xxx2112a的取值范围是k单调递增,则 4.(2014新课标Ⅱ,文11)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)) () +∞∞,-1] C.[2,+∞)D.[1,-A.(-∞,-2]B.(,,则f'(x)≥0在x)上恒成立∈(1,+∞在)D答案：解析:由f'(x=k-,又f(x)(1,+∞)上单调递增D.≥<<1,故k1.故选∞)k即≥在x∈(1,+∞上恒成立.又当x∈(1,+)时,02t的值为则当|MN|达到最小时,x 5. 设直线x=t与函数f()=x),g(x=ln x图象分别交于点M,N212.A1BD.C ..222212t=令ln t(t>0),F'(t)=20,得t-=t|MN|=F:答案.或t=-(舍去)易知D解析由题意,设(t)=-22t2222??也为,t> t(t(Ft)在0)取得极小值t,上单调递减在t故上单调递增,时t=,F()=t-ln 222.故选D达到最小最小值,即|MN|,数函若）题试）理（学数测检性应适习复三高届2013市明昆省南云（ 6.欢迎下载学习好资料11x?x??)x??3x(?y?e??e ,则的图象上任意点处切线的倾斜角为的最小值是22????35 (D)(A)(B)(C)4664B【答案】??)(?fxfy(x))f(x)(xf1)?f(4R的的导函数，已知为上的函数，定义在 7.满足b?2a b1)?f(2a?b的取值范围是满足、，则图象如图所示，若两个正数a?21111)??)(,3((,)??,)?(3,)(??,3 D B． CA．．．2232C 【答案】ππ2________.sin x，则f′())的导函数为f′(x)且f(x＝x＝f′()＋y8.已知函数＝f(x)33ππππ32×2′()＝)′(x＝2xf′()＋cos 答案x．所以f)因为f(x＝x＋f′()sin x，所以f33334π－6πππ3f′()＋cos.所以f′()＝.3336－4π12＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是____________．＝－9.已知函数f(x)x22?x－1??x－3?－x＋4x－33答案0<t<1或2<t<3解析f′(x)＝－x＋4－＝＝－，由f′(x)＝0xxx得函数的两个极值点1,3，则只要这两个极值点在区间(t，t＋1)内，函数在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1<t＋1或t<3<t＋1，解得0<t<1或2<t<3. ?)100(?x????x1)(x2)(x3)(x(0)?f____________ f已知函数(＝x)，则10.答案：100！=1×2×3×…×100。
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两个交点，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．
1
1 e
,1
1 e
C．
1
1 e
,
B．
1
1 e
,
1
1
1 e
D．
1
1 e
,
1
1
1 e
,
【 例 19 】 已 知 函 数 f x x 2017 x 2016 x 1 x 1 x 2016 x 2017 ， 在 不 等 式
ae 1 ae
类推：
f g
x,h x过m,0 x,t x过0,m
的切线斜率分别为
em1 1
em1
（根据平移记忆）和
aeam 1
1
aem1
（不要求记忆）
考点 1 切线及斜率问题
【例 1】曲线 y xex1 在点 1，1 处切线的斜率等于（ ）
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
8．如右图，直线 y ax 2 与曲线 y f x 交于 A、B 两点，其中 A 是切点，记 h x f x , g x f x ax ，
取值范围是
．
【例 5】若 P 是函数 f x x 1ln x 1 图象上的动点，点 A1, 1 ，则直线 AP 斜率的取值范围为（ ）
257
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第五章 导数
A． 1,
B． 0,1
C． e1, e
D． , e1
A． 3 2 4
B． 2
C． 3
D． 3 2
【例 25】已知函数 f x f 0e x 2x ，点 P 为曲线 y f x 在点 0 ，f 0 处的切线 l 上的一点，点 Q 在
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第五章 导数
曲线 y ex 上，则 PQ 的最小值为
C． 2 5 5
D． 2 5
【例 27】已知实数 a、b 满足 2a2 5ln a b 0 ，c R ，则 a c2 b c 2 的最小值为（ ）
A． 1 2
B． 3 2
C． 3 2 2
【例 28】已知 S x a 2 ln x a 2 a R ，则 S 的最小值为（ ）
D． 0 ，+
例题 10
例题 11
例题 12
【例 12】关于 x 的方程 2 x a ex 有 3 个不同的实数解，则实数 a 的取值范围为
．
【例 13】已知函数 f x xlnx ax 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． －，0
B．
0,
1 2
D．
2 e2
,
1 e
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第五章 导数
【例 15】对任意的 x 0 ，总有 f x a x lgx 0 ，则 a 的取值范围是（
A． ，lge lg lge B． ，1
C． 1，lge lg lge
．
考点 5 距离问题和平行切线问题
【例 23】设点 P 在曲线 y 1 ex 上，点 Q 在曲线 y ln 2x 上，则 PQ 最小值为（ ）
2
A．1 ln 2
B． 2 1 ln 2
C．1 ln 2
D． 2 1 ln 2
【例 24】直线 y m 分别与曲线 y 2 x 1 ，与 y x lnx 交于点 A, B ，则 AB 的最小值为（ ）
A． ，e
B． e ，+
C．
0
，1 e
D． 1，+
【例 8】已知曲线 y exa 与 y x2 恰好存在两条公切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． 2ln 2 2 ，+ B． 2ln 2 ，+
C． ，2ln 2 2
D． ，2ln 2 2
D． 2, 3
4．已知 a、b、c R ，且满足 b2 c2 1 ，如果存在两条互相垂直的直线与函数 f x ax b cos x c sin x 的
图象都相切，则 a 2b 3c 的取值范围是（ ）
A． 2, 2
B． 5, 5
C． 6, 6
D． 2 2, 2 2
5．设函数 f x x a2 2lnx 2a2 ，其中 x 0 ，
a
R
，存在
x0
使得
f
x0
4 5
成立，则实数
a
的值
是（ ）
A． 1 5
B． 2 5
C． 1 2
D． 1
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第五章 导数
6．已知 f x 是定义在 R 上的单调函数，满足 f f x ex 1 ，则 f x 在 0, f 0 处的切线方程为（ ）
【例 9】过点 Am ，n 与曲线 f x x ln x 相切的直线有且只有两条，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． ( , e)
B． (e , )
C． (0 , 1) e
D． (1 , )
【例 10】设函数 f (x) x3 3x2 ，若过点 (2 , n) 可作三条直线与曲线 y f (x) 相切，则实数 n 的取值范围是
e2017x ax 1 x R 恒成立的条件下等式 f 2018 a f 2017 b 恒成立，求 b 的取值集合（ ）
A．{b | 2016 b 2018} B． 2016, 2018
C． 2018
D． 2017
考点 4 参数范围问题
【例 20】已知函数 f x x xlnx ，若 k Z ，且 k x 2 f x 对任意的 x 2 恒成立，则 k 的最大值为（ ）
D． 9 2
A． 2 2
B． 1 2
C． 2
D． 2
达标训练
1．直线 y m 分别与曲线 y 2 x 1 ，与 y x lnx 交于点 A, B ，则 AB 的最小值为（ ）
A． 3 2 4
B． 2
C． 3
D． 3 2
2．已知函数 f x 10sinx 1 x3 在 x 0 处的切线与直线 nx y 0 平行，则二项式 1 x x2 1 xn 展开式 6
中 x4 的系数为（ ）
A． 120
B．135
C．140
D． 100
3．已知
f
x
a
2 x
4x x 1
x
0 ，若曲线
f
x
上存在不同两点
A, B
，使得曲线
f
x
在点
A, B
处的切
线垂直，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 3, 3
B． 2,2
C． 3,2
A． y x 1
B． y x 1
C． y x 1
D． y x 1
7．已知
P1,P2为 曲线 C
:
y
lnx （
x
0
且
x
1）上的两点，分别过
P1, P2
作曲线 C
的切线交
y
轴于
M,N
两
点，若 P1M P2 N 0 ，则 MN （ ）
C． 0,1
D． (0 , )
【例 14】设 f x lnx ，若函数 g x f x ax 在区间 0, e2 上有三个零点，则实数 a 的取值范围
（）
A．
0,
1 e
B．
1 e2
,
1 e
C．
2 e2
,
2 e
．
【 例 26 】 函 数 f x ex x2 x 1 与 g x 的 图 象 关 于 直 线 2x y 3 0 对 称 ， P、Q 分 别 是 函 数
f x、g x 图象上的动点，则 PQ 的最小值为（ ）
A． 5 5
B． 5
考点 6 两点间距离平方问题
，2 3
【例 3】已知函数 f x 是偶函数，定义域为 ，0 0， ，且 x 0 时，
f
x
x 1 ex
，则曲线
y
f
x
在点 1，f 1 处的切线方程为
．
【例 4】设 P 是函数 y x x 1 图象上异于原点的动点，且该图象在点 P 处的切线的倾斜角为 ，则 的
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第五章 导数
专题 1 函数的切线问题
秒杀秘籍：第一讲 切线的几何意义
1．导数的几何意义: 函数 f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线 y f (x) 在点 (x0 , f (x)) 处的切线的斜率．
注：（ k f x tan ）
切线方程 y f (x0 ) f (x0 ) x x0 的计算:
）
D． lge lg lge，
【例
16 】 已 知 定 义 在
1
,
上的函数
f
x
，满足
f