高中数学全国卷数列专题复习.doc

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(完整版)高考数学专题《数列》超经典.doc

高考复习序列 -----高中数学数列一、数列的通项公式与前 n 项的和的关系① as 1,n1 （注：该公式对任意数列都适用）ns ns n 1, n 2② S nSn 1a n (n 2) （注：该公式对任意数列都适用） ③S n a 1 a 2 La n（注：该公式对任意数列都适用）④ s n+1 - s n-1 = a n+1 + a n （注：该公式对任意数列都适用）二、等差与等比数列的基本知识1、等差数列⑴ 通项公式与公差：定义式： a n an 1d一般式： a na 1n 1 da n pn q推广形式： a na m ( n m)d da n a m ；n m前 n 项和与公差的关系：dS nS mn m ；2n m⑵ 前 n 项和与通项 a n 的关系：前 n 项和公式： s nn ( a 1 a n )na 1n ( n 1)d n 21d ) n .22 d2( a 12前 n 项和公式的一般式：S n An 2Bn, 其中 Ad, Ba 1 1 d2f n2a2应用：若已知 fnn ，即可判断为某个等差数列 n 的前 n 项和，并可求出首项及公差的值。

n 2a n 与 S n 的关系： a n S n S n 1 (n 2) （注：该公式对任意数列都适用）例：等差数列 S n 2n 1， a n a n 1（直接利用通项公式作差求解）⑶常用性质：①若 m+n=p+q ，则有 a ma na p a q ；特别地：若 a m 是 a n , a p 的等差中项，则有 2 a ma n a p n 、m 、 p 成等差数列；②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如 a 1 a 2 a 3 , a 4 a 5a 6, a 7 a 8 a 9 ，）仍是等差数列；③ a 为公差为 d 等差数列， S n 为其前 n 项和，则 S m , S 2 m S m , S 3 m S 2 m ， S 4m S 3m ，．．．也成等差数列 ,n．．．．A 、构成的新数列公差为 D=m 2d ，即 m 2d=(S 2m -S m )- S m ；S nS md等差数列。

全国卷文科数列-复习

数列（文）复习【知识梳理】一、数列的通项公式如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

（对于不是等差数列又不是等比数列的数列的通项公式只能找第n 项与n 的规律）例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：514131211，，，，… 数列①的通项公式是n a = n （n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1n（n N +∈）。

说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

例如，n a = (1)n -=1,21()1,2n k k Z n k -=-⎧∈⎨+=⎩；/③不是每个数列都有通项公式。

例如，1，，，，……二、数列{na }的前n 项和nS 与通项na 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥三、等差数列1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为1(1)n n a a d n +-=≥或1(2)n n a a d n --=≥。

2、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；—说明：1、等差数列的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。

2、(),(为常数B A BAn a n +=⇒{}n a 是等差数列 )例：1.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为 n b 为（填“递增数列”或“递减数列”）2. 等差数列12-=n a n ，=--1n n a a3.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）6703、等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

2024年高考数学专项复习数列求和与递推综合归类 (解析版)

数列求和与递推综合归类目录重难点题型归纳 1【题型一】等差与等比型累加法 1【题型二】换元型累加、累积法 3【题型三】周期数列型递推 4【题型四】二阶等比数列型递推 6【题型五】分式型求递推 7【题型六】前n 项积型递推 8【题型七】“和”定值型递推 9【题型八】分段型等差等比求和 11【题型九】函数中心型倒序求和 12【题型十】分组求和型 14【题型十一】错位相减型求和 16【题型十二】正负相间型求和 19【题型十三】无理根式型裂项相消求和 20【题型十四】指数型裂项相消 22【题型十五】等差指数混合型裂项 23【题型十六】裂和型裂项相消 26【题型十七】分离常数型裂项 27好题演练29重难点题型归纳重难点题型归纳题型一等差与等比型累加法【典例分析】1.(等差累加法)已知数列a n 中，已知a 1=2，a n +1-a n =2n ，则a 50等于()A.2451B.2452C.2449D.24502.(等比累加法)已知数列a n 满足a 1=2，a n +1-a n =2n ，则a 9=()A.510B.512C.1022D.10242024年高考数学专项复习数列求和与递推综合归类（解析版）【技法指引】对于递推公式为a n -a n -1=f n ，一般利用累加法求出数列的通项公式；累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：a na n -1=g (n )(n ≥2)的关系，可用“累乘法”求通项.【变式演练】1.已知数列a n n ∈N * 是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若a 1、数列a 2n 的第2项、数列a n 2 的第5项恰好构成等比数列，则数列a n 的通项公式为()A.a n =2n -1B.a n =2n +1C.a n =n -1D.a n =n +12.已知数列a n 中，a 1=1，前n 项和S n =n +23a n ，则a n 的通项公式为.题型二换元型累加、累积法【典例分析】1.已知数列a n 满足：a 1=13，(n +1)a n +1-na n =2n +1，n ∈N *，则下列说法正确的是()A.a n +1≥a nB.a n +1≤a nC.数列a n 的最小项为a 3和a 4D.数列a n 的最大项为a 3和a 4【变式演练】1.(换元对数累加法)在数列a n 中，a 1=2，a n +1n +1=a n n +ln 1+1n ，则a n =()A.a 8B.2+n -1 ln nC.1+n +ln nD.2n +n ln n2.已知数列a n 满足a 1=32，a n =n n -1a n -1-n2n .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ，求满足S n <12的所有正整数n 的取值集合.【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2，a n+1=1+a n1-a n，(n∈N*)，则a1⋅a2⋅a3⋅⋯a2009⋅a2010=_________．【变式演练】1.数列{a n}中，a1=1，a2=3，a n+1=a n-a n-1(n≥2,n∈N*)，那么a2019=()A.1B.2C.3D.-32.数列a n的首项a1=3，且a n=2-2a n-1n≥2，则a2021=()A.3B.43C.12D.-2题型四【二阶等比数列型递推【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2,且a n=2a n-1-1(n≥2,n∈N+)，则a n=______________【变式演练】1.已知数列a n中，a1=1，a n=3a n-1+4(n∈N∗且n≥2)，则数列a n通项公式a n为() A.3n-1 B.3n+1-2 C.3n-2 D.3n2.已知数列{a n}满足：a n+1=2a n-n+1(n∈N*)，a1=3.(1)证明数列b n=a n-n(n∈N*)是等比数列，并求数列{a n}的通项；(2)设c n=a n+1-a na n a n+1，数列{c n}的前n项和为{S n}，求证：S n<1.【典例分析】1.在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a na n+2(n∈N*)，则22019是这个数列的第________________项．【变式演练】1.已知数列a n满足a1=1,a n+1=2a na n+2.记C n=2na n，则数列Cn的前n项和C1+C2+...+Cn=．2.数列a n满足：a1=13，且na n=2a n-1+n-1a n-1(n∈N*,n≥2)，则数列a n的通项公式是a n=．题型六前n项积型递推【典例分析】1.设等比数列a n的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a7a8>1，a7-1a8-1<0.则下列结论正确的是(多选题)A.0<q<1B.a7a9<1C.T n的最大值为T7D.S n的最大值为S7【技法指引】类比前n项和求通项过程来求数列前n项积：1.n=1，得a12.n≥2时，a n=T n T n-1所以a n=T1，(n=1) T nT n-1,(n≥2)【变式演练】1.若数列a n满足a n+2=2⋅a n+1a n(n∈N*)，且a1=1,a2=2，则数列a n的前2016项之积为()A.22014B.22015C.22016D.220172.设等比数列a n的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并满足条件a1>1，且a2020a2021> 1，a2020-1a2021-1<0，下列结论正确的是(多选题)A.S2020<S2021B.a2020a2022-1<0C.数列T n无最大值 D.T2020是数列T n中的最大值题型七“和”定值型递推【典例分析】1.若数列a n满足a n+2a n+1+a n+1a n=k(k为常数)，则称数列a n为等比和数列，k称为公比和，已知数列a n是以3为公比和的等比和数列，其中a1=1，a2=2，则a2019=______.【变式演练】1.已知数列{a n}满足a n+a n+1=12(n∈N*)，a2=2，S n是数列{a n}的前n项和，则S21为()A.5B.72C.92D.1322.知数列{a n}满足：a n+1+a n=4n-3(n∈N*)，且a1=2，则a n=．题型八分段型等差等比求和【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2，a n+1=32a n,n为奇数2a n,n为偶数 .(1)记b n=a2n，写出b1，b2，并求数列b n的通项公式；(2)求a n的前12项和.【变式演练】1.已知数列a n满足a1=1,a n+1=a n+1,n=2k-1, a n,n=2k.(1)求a2,a5的值；(2)求a n的前50项和S50．题型九函数中心型倒序求和【典例分析】1.已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 是函数f (x )=2x 1-2x,x ≠12-1,x =12的图象上的任意两点(可以重合)，点M为AB 的中点，且M 在直线x =12上．(1)求x 1+x 2的值及y 1+y 2的值；(2)已知S 1=0，当n ≥2时，S n =f 1n +f 2n +f 3n +⋯+f n -1n，求S n ；(3)若在(2)的条件下，存在n 使得对任意的x ，不等式S n >-x 2+2x +t 成立，求t 的范围．【变式演练】2.已知a n 为等比数列，且a 1a 2021=1，若f x =21+x2，求f a 1 +f a 2 +f a 3 +⋯+f a 2021 的值．题型十分组求和型【典例分析】1.已知等比数列a n 的公比大于1，a 2=6，a 1+a 3=20.(1)求a n 的通项公式；(2)若b n =a n +1log 3a n +12log 3a n +22，求b n 的前n 项和T n .【技法指引】对于a n +b n 结构，利用分组求和法【变式演练】1.设S n 为数列a n 的前n 项和，已知a n >0，a 2n +2a n =4S n +3n ∈N *，若数列b n 满足b 1=2，b 2=4，b 2n +1=b n b n +2n ∈N *(1)求数列a n 和b n 的通项公式；(2)设c n =1S n,n =2k -1,k ∈N * b n,n =2k ,k ∈N *求数列c n 的前n 项的和T n .【典例分析】1.已知数列a n 满足a 1=2，且a n +1-3 ⋅a n +1 +4=0，n ∈N *.(1)求证：数列1a n -1是等差数列；(2)若数列b n 满足b n =2n +1a n -1，求b n 的前n 项和.【技法指引】对于a n b n 结构，其中a n 是等差数列，b n 是等比数列，用错位相减法求和；思维结构结构图示如下【变式演练】1.已知等比数列a n 的首项a 1=1，公比为q ，b n 是公差为d d >0 的等差数列，b 1=a 1，b 3=a 3，b 2是b 1与b 7的等比中项．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n 的前n 项和为S n ，数列c n 满足nc n =a 2n S n ，求数列c n 的前n 项和T n ．【典例分析】1.已知数列a n各项均为正数，且a1=2，a n+12-2a n+1=a n2+2a n．(1)求a n的通项公式(2)设b n=-1n a n，求b1+b2+b1+⋯+b20．【变式演练】1.设等差数列a n的前n项和为S n，已知a3+a5=8,S3+S5=10. (1)求a n的通项公式；(2)令b n=(-1)n a n，求数列b n的前n项和T n.题型十三无理根式型裂项相消求和【典例分析】1.设数列a n的前n项和为S n，且满足2S n=3a n-3．(1)求数列a n的通项公式：(2)若b n=a n3,n为奇数1log3a n+log3a n+2,n为偶数，求数列和b n 的前10项的和．【变式演练】1.设数列a n的前n项和S n满足2S n=na n+n，n∈N+，a2=2，(1)证明：数列a n是等差数列，并求其通项公式﹔(2)设b n=1a n a n+1+a n+1a n，求证：T n=b1+b2+⋯+b n<1.题型十四指数型裂项相消【典例分析】1.已知数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =2a n -1.(1)求a n ；(2)设b n =a n a n +1-1 ⋅a n +2-1 ，求数列b n 的前n 项和T n .【变式演练】1.数列a n 满足：a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+n -1 a n -1=2+n -2 ⋅2n n ≥2 .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =a n a n -1 a n +1-1，T n 为数列b n 的前n 项和，若T n <m 2-3m +3恒成立，求实数m 的取值范围.题型十五等差指数混合型裂项【典例分析】1.已知数列a n 满足S n =n a 1+a n 2，其中S n 是a n 的前n 项和.(1)求证：a n 是等差数列；(2)若a 1=1,a 2=2，求b n =2n 1-a n a n a n +1的前n 项和T n .【变式演练】2.已知等比数列a n 的各项均为正数，2a 5，a 4，4a 6成等差数列，且满足a 4=4a 23，数列S n 的前n 项之积为b n ，且1S n +2b n=1．(1)求数列a n 和b n 的通项公式；(2)设d n =b n +2⋅a n b n ⋅b n +1，若数列d n 的前n 项和M n ，证明：730≤M n <13．【典例分析】1.已知数列a n 的满足a 1=1，a m +n =a m +a n m ,n ∈N * .(1)求a n 的通项公式；(2)记b n =(-1)n ⋅2n +1a n a n +1，数列b n 的前2n 项和为T 2n ，证明：-1<T 2n ≤-23.【技法指引】正负相间型裂和，裂项公式思维供参考：-1 n ⋅pn +q kn +b k (n +1)+b=-1 n ⋅t 1kn +b +1k (n +1)+b【变式演练】1.记正项数列a n 的前n 项积为T n ，且1a n =1-2T n ．(1)证明：数列T n 是等差数列；(2)记b n =-1 n ⋅4n +4T n T n +1，求数列b n 的前2n 项和S 2n ．【典例分析】1.已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S 8=4a 4+20，且a 5+a 6=11.(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =n 2+n +1a n a n +1，求b n 的前n 项和T n .【变式演练】1.已知等差数列a n 的通项公式为a n =2n -c c <2 ，记数列a n 的前n 项和为S n n ∈N * ，且数列S n 为等差数列．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列4S n a n a n +1的前n 项和为T n n ∈N * ，求T n 的通项公式．好题演练好题演练1.(山东省泰安市2023届高三二模数学试题)已知数列a n 的前n 项和为S n ，a 1=2，a n ≠0，a n a n +1=4S n .(1)求a n ；(2)设b n =-1 n ⋅3n -1 ，数列b n 的前n 项和为T n ，若∀k ∈N *，都有T 2k -1<λ<T 2k 成立，求实数λ的范围.2.(2023·全国·模拟预测)已知正项数列a n 满足a 1=1，a n +1a n =1+1n.(1)求证：数列a 2n 为等差数列；(2)设b n =1a 2n a n +1+a n a 2n +1，求数列b n 的前n 项和T n .3.(2023·全国·学军中学校联考二模)设数列a n 满足a n +1=3a n -2a n -1n ≥2 ,a 1=1,a 2=2.(1)求数列a n 的通项公式；(2)在数列a n 的任意a k 与a k +1项之间，都插入k k ∈N * 个相同的数(-1)k k ，组成数列b n ，记数列b n 的前n 项的和为T n ，求T 27的值.4.(2023·全国·长郡中学校联考二模)已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n =S n +S n -1(n ∈N *且n ≥2).(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n +22n a n a n +1 的前n 项和为T n ，求证：T n <1.5.(2023·四川攀枝花·统考三模)已知等差数列a n的公差为d d≠0，前n项和为S n，现给出下列三个条件：①S1,S2,S4成等比数列；②S4=32；③S6=3a6+2.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.(1)求数列a n的通项公式；(2)若b n-b n-1=2a n n≥2，且b1=3，设数列1b n的前n项和为Tn，求证：13≤T n<12.6.(2023春·江西抚州·高二金溪一中校联考期中)已知数列a n满足a1=2,a n+1= 2a n+2,n为奇数,1 2a n+1,n为偶数.(1)记b n=a2n，证明：数列b n为等差数列；(2)若把满足a m=a k的项a m,a k称为数列a n中的重复项，求数列a n的前100项中所有重复项的和.7.(河北省2023届高三下学期大数据应用调研联合测评(Ⅲ)数学试题)已知数列a n 满足：a 1=12，3a n +1a n =1+a n +11+a n.(1)求证：1a n +1 是等比数列，并求出数列a n 的通项公式；(2)设b n =3n ⋅a n a n +1，求数列b n 的前n 项和S n .8.(2023·全国·模拟预测)已知数列a n 的前n 项和S n 满足S n =n 2-1+a n .(1)求a 1及a n ；(2)令b n =4S n a n a n +1，求数列b n 的前n 项和T n .数列求和与递推综合归类目录重难点题型归纳 1【题型一】等差与等比型累加法 1【题型二】换元型累加、累积法 3【题型三】周期数列型递推 4【题型四】二阶等比数列型递推 6【题型五】分式型求递推 7【题型六】前n项积型递推 8【题型七】“和”定值型递推 9【题型八】分段型等差等比求和 11【题型九】函数中心型倒序求和 12【题型十】分组求和型 14【题型十一】错位相减型求和 16【题型十二】正负相间型求和 19【题型十三】无理根式型裂项相消求和 20【题型十四】指数型裂项相消 22【题型十五】等差指数混合型裂项 23【题型十六】裂和型裂项相消 26【题型十七】分离常数型裂项 27好题演练 29重难点题型归纳重难点题型归纳题型一等差与等比型累加法【典例分析】1.(等差累加法)已知数列a n中，已知a1=2，a n+1-a n=2n，则a50等于()A.2451B.2452C.2449D.2450【答案】B【详解】由a n+1-a n=2n得：a n-a n-1=2n-1，a n-1-a n-2=2n-2，⋯⋯，a3-a2=2×2，a2-a1=2×1，各式相加可得：a n-a1=2×1+2+⋅⋅⋅+n-1=2×n n-12=n n-1，又a1=2，∴a n=2+n n-1=n2-n+2，∴a50=2500-50+2=2452.故选：B.2.(等比累加法)已知数列a n满足a1=2，a n+1-a n=2n，则a9=()A.510B.512C.1022D.1024【答案】B【详解】由a1=2,a n+1-a n=2n得a2-a1=2，a3-a2=22，a4-a3=23，⋮a n -a n -1=2n -1，以上各式相加得，a n -a 1=2+22+⋯+2n -1=21-2n -11-2=2n -2，所以a n =2n -2+a 1=2n ，所以a 9=29=512.故选：B .【技法指引】对于递推公式为a n -a n -1=f n ，一般利用累加法求出数列的通项公式；累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：a na n -1=g (n )(n ≥2)的关系，可用“累乘法”求通项.【变式演练】1.已知数列a n n ∈N * 是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若a 1、数列a 2n 的第2项、数列a n 2 的第5项恰好构成等比数列，则数列a n 的通项公式为()A.a n =2n -1B.a n =2n +1C.a n =n -1D.a n =n +1【答案】A【分析】根据题意设a n =1+n -1 d ，所以a 2n =1+2n -1 d ，a n 2=1+n 2-1 d ，所以1，1+3d ，1+24d 构成等比数列，即1+3d 2=1×1+24d ，求出d 即可求解.【详解】设等差数列a n 的公差为d d >0 ，所以a n =1+n -1 d ，所以a 2n =1+2n -1 d ，a n 2=1+n 2-1 d ，又a 1、数列a 2n 的第2项、数列a n 2的第5项恰好构成等比数列，即1，1+3d ，1+24d 构成等比数列，所以1+3d 2=1×1+24d ，解得d =2，d =0(舍去)，所以a n =2n -1.故选：A .2.已知数列a n 中，a 1=1，前n 项和S n =n +23a n ，则a n 的通项公式为.【答案】a n =n n +12【分析】由S n =n +23a n ，变形可得则S n -1=n +13a n -1，两式相减变形可得a n a n -1=n +1n -1，又由a n =a n a n -1 ×a n -1a n -2 ×⋯⋯×a2a 1×a 1，计算可得a n =n (n +1)2，验证a 1即可得答案．【详解】根据题意，数列{a n }中，a 1=1，S n =n +23a n (n ∈N *)，S n =n +23a n ①，S n -1=n +13a n -1②，①-②可得：a n =(n +2)a n 3-(n +1)a n -13，变形可得：a n a n -1=n +1n -1，则a n =a n a n -1 ×a n -1a n -2 ×⋯⋯×a 2a 1×a 1=n +1n -1 ×n n -2 ×⋯⋯×31 ×1=n (n +1)2；n =1时，a 1=1符合a n =n (n +1)2；故答案为：a n =n (n +1)2．题型二换元型累加、累积法【典例分析】1.已知数列a n 满足：a 1=13，(n +1)a n +1-na n =2n +1，n ∈N *，则下列说法正确的是()A.a n +1≥a nB.a n +1≤a nC.数列a n 的最小项为a 3和a 4D.数列a n 的最大项为a 3和a 4【答案】C【详解】令b n =na n ，则b n +1-b n =2n +1，又a 1=13，所以b 1=13，b 2-b 1=3，b 3-b 2=5，⋯，b n -b n -1=2n -1，所以累加得b n =13+n -1 3+2n -1 2=n 2+12，所以a n =b n n =n 2+12n =n +12n，所以a n +1-a n =n +1 +12n +1-n +12n =n -3 n +4 n n +1，所以当n <3时，a n +1<a n ，当n =3时，a n +1=a n ，即a 3=a 4，当n >3时，a n +1>a n ，即a 1>a 2>a 3=a 4<a 5<⋯<a n ，所以数列a n 的最小项为a 3和a 4，故选：C .【变式演练】1.(换元对数累加法)在数列a n 中，a 1=2，a n +1n +1=a n n +ln 1+1n ，则a n =()A.a 8B.2+n -1 ln nC.1+n +ln nD.2n +n ln n【答案】D【详解】由题意得，a n +1n +1=a n n +ln n +1n ，则a n n =a n -1n -1+ln n n -1，a n -1n -1=a n -2n -2+lnn -1n -2⋯，a 22=a 11+ln 21，由累加法得，a n n =a 11+ln n n -1+ln n -1n -2⋯+ln 21，即a n n =a 1+ln n n -1⋅n -1n -2⋅⋯⋅21，则an n=2+ln n ，所以a n =2n +n ln n ，故选：D2.已知数列a n 满足a 1=32，a n =n n -1a n -1-n 2n .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ，求满足S n <12的所有正整数n 的取值集合.【答案】(1)a n =n +n2n ；(2)1,2,3,4 .【详解】(1)因为a n =n n -1a n -1-n 2n ，所以a n n -a n -1n -1=-12n .因为a 22-a 11=-122，a33-a 22=-123，⋯，a n n -a n -1n -1=-12n ，所以a n n -a 11=-122+123+⋯+12n=-1221-12 n -11-12=12n-12，于是a n=n+n 2n .当n=1时，a1=1+12=32，所以a n=n+n2n.(2)因为S n-S n-1=a n=n+n2n >0，所以S n是递增数列.因为a1=1+12=32，a2=2+24=52，a3=3+323=278，a4=4+424=174，a5=5+525=16532，所以S1=32，S2=4，S3=598，S4=938<12，S5=53732>12，于是所有正整数n的取值集合为1,2,3,4.题型三周期数列型递推【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2，a n+1=1+a n1-a n，(n∈N*)，则a1⋅a2⋅a3⋅⋯a2009⋅a2010=_________．【答案】-6【解析】由已知有a2=1+a11-a1=-3,a3=1-31+3=-12,a4=1-121+12=13,a5=1+131-13=2，所以a5=a1=2，所以数列a n是周期数列，且周期为4，a1a2a3a4=a5a6a7a8=⋯=a2005a2006a2007a2008=1，而a2009a2010= a1a2=2×(-3)=-6，所以a1a2a3⋯a2010=-6。

高考数学数列专题复习

专题4 数列一、等差数列（基本量首项1a ，公差d ）1、定义： 1n n a a d +-=（d 是常数公差）2、通项公式：1(1)n a a n d =+-推广：()n m a a n m d =+-n m a a d n m-=- 3、性质：若a,b,c 成等差数，则 2b=a+c若m+n=p+q ，则m n p q a a a a +=+4、前n 项和：11(1)2()2n n n n s na d n a a -=++= 二、等比数列(（基本量首项1a ，公比q ）1、定义：1n na q a +=（q 是公比是常数） 2、通项公式：11n n a a q -=推广：n m n m a a q -=n m n ma q a -= 3、性质：若a,b,c 成等比数，则2b ac =若m+n=p+q ，则m n p q a a a a =5前n 项和：()111n n a q s q -=-三、求数列通项公式的方法1、公式：（已知数列是等差、等比数列）2、已知前n 项和n s ，求通项公式n a ，11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩ 例1、已知221n s n n =++，求n a3：化归法（凑配法）：1n n a pa q +=+（p 、q 是常数），凑为()1n n a p a λλ++=+的形式例2：已知112,32n n a a a +==+，求n a 的通项公式4累加法（叠加法）：1(),()n n a a f n f n +=+是关于n 的函数例3：已知()112,21()21n n a a a n f n n +==++=+，求n a 的通项公式四、求数列前n 项和n s 的方法：1、公式（已知数列是等差、等比数列）2、分组求和：（适用于等差数列加等比数列）则n s =等差数列前n 项和+等比数列前n 项和例1：212n n a n =++，求前n 项和n s3、列项求和：例2. 1(1)n a n n =+ 求 n s4、错位相减法：（试用与一个等差数列⨯一个等比数列）例3：()1212n n a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求n s。

精细版高中数学~数列专题复习.doc

高中数学必修五数列专题复习主备人：海门实验施庆主备人心语~数学考试心理辅导模块1.调整心态：强化必胜信心、优化跃跃欲试的应考情绪，进入应考状态，充分发挥自身水平。

2.强调策略：每做一题，不急于动手，先看清题设条件，挖掘隐晦信息；仔细分析题目，选择正确思路解答；越是似曾相识的题目越要冷静对待。

3.梳理思路：强化答题格式，推敲得分点，增强得分意识，解剖试题命题点，摸清问题的指向。

复习内容如下考点1：数列的有关概念1．在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =1．解：A ． 211ln(1)1a a =++，321ln(1)2a a =++，…，11ln(1)1n n a a n -=++-1234ln()()()()2ln 1231n na a n n ⇒=+=+-2．已知)(1562*∈+=N n n n a n ，则数列{}n a 的最大项是2．解：数列可以看成一种特殊的函数即)(1562*∈+=N n n n a n 可以看成2()()156Xf X X N X +=∈+通过求函数的最大值可知第12项和第13项最大．3．在数列{}na 中，23312n na n ++=++，()n *∈N ，在数列{}n b 中，)cos(πn n a b =，()n *∈N ，则20082009bb -=_________．3解：na 的奇偶性为：奇，奇，偶，偶，奇，奇，偶，偶，…，从而nb 分别为： 1-，1-，1，1，1-，1-，1，1，…，周期为4，所以，200820091(1)2b b -=--=．答：24．已知数列}{n a 的通项公式为n a ＝12n +，设13242111n n n T a a a a a a +=+++⋅⋅⋅，求n T ．4．解：21n n a a +⋅＝4(1)(3)n n ++＝2（11n +－13n +）．13242111n n n T a a a a a a +=+++⋅⋅⋅＝2[（12－14）＋（13－15）＋（14－16）＋……＋（1n－12n +）＋（11n +－13n +）]＝2（12＋13－12n +－13n +）考点2：等差数列1．（2010辽宁文数）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若36324S S ==，，则9a = ．1解析：填15． 316132332656242S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩,解得112a d =-⎧⎨=⎩，91815.a a d ∴=+= 2．在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值为 16 ．2．解：利用等差数列的性质得：468101285120a a a a a a ++++== ，824a =，91113a a -=88812(3)1633a d a d a +-+==3．在等差数列{n a }中，22,16610aa x x --=是方程的两根，则5691213a a a a a ++++= ． 3解：26a a +=29a =6，∴9a =3，∴5691213a a a a a ++++=59a =15，答：154．等差数列}{n a 共有21n +项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________． 4解：依题意,中间项为1+n a ,于是有11(1)319290n n n a na +++=⎧⎨=⎩解得129n a +=．1分析：本题主要是考查等比数列的基本概念和性质，可利用方程思想将等比数列问题转化为1a 和q 处理，也可利用等比数列的定义进行求解．设公比为q ，由题知，12111321a a a q a q =⎧⎨++=⎩得2q =或30q =-<（舍去)，∴34584a a a ++= 5．在数列{}n a 在中，542n a n =-，212n a a a an bn ++=+，*n N ∈,其中,a b 为常数，则ab = ．5．解：∵,254-=n a n ∴,231=a 从而222)25423(2nn n n S n-=-+=．∴a=2，21-=b ，则1ab =-6．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453nnAn B n +=+，77b a = ．6．解：解法1：“若2,,,N m p q m p q *=+∈，则2qp m a a a +=”解析：77b a =1131311313()13172()1322a a Ab b B +⨯==+⨯解法2：可设(745)n A kn n =+，(3)n B kn n =+，则1(1438)n n n a A A k n -=-=+，(22)n b k n =+，则77b a =(14738)17(272)2k k ⨯+=⨯+7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤，则4a 的最大值为___________．7．解：∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4510,15S S ≥≤ ∴4151434102545152S a d S a d ⨯⎧=+≥⎪⎪⎨⨯⎪=+≤⎪⎩ 即1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩ ∴()4141153533322323d d a a d d a a d a d d d -+⎧=+≥+≥⎪⎨⎪=+=++≤+⎩∴45332da d +≤≤+，5362d d +≤+，1d ≤∴43314a d ≤+≤+= 故4a 的最大值为4． 8．（2010湖北卷理）已知函数()2xf x =,等差数列{}x a 的公差为2．若246810()4f a a a a a ++++=,则212310log [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅⋅= ．8．解：依题意2468102a a a a a ++++=，所以135792528a a a a a ++++=-⨯=-1210612310()()()()22a a a f a f a f a f a +++-⋅⋅⋅⋅==∴212310log [()()()()]6f a f a f a f a ⇒⋅⋅⋅⋅=-考点3：等比数列1．（2010福建数）在等比数列{}n a 中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式n a = ． 1【答案】n-14【解析】由题意知11141621a a a ++=，解得11a =，所以通项n a =n-14．【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式的应用，属基础题．2．（2010江苏卷）8、函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=_________ 2.解析：考查函数的切线方程、数列的通项．在点(a k ,a k 2)处的切线方程为：22(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2k a x =，所以1135,1641212k k a a a a a +=++=++=．3．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项13a =，前三项和为21，则345a a a ++=3．解：844．已知等比数列{}na 的各项都为正数，它的前三项依次为1，1a +，25a +则数列{}na 的通项公式是n a = ．4．解：na =13n -． 5．三个数c b a ,,成等比数列，且(0)a b c m m ++=>，则b 的取值范围是． 5．解：[,0)(0,]3m m -⋃．解：设,b a c bq q ==，则有1,0,1b m b bq m b q q q b++=≠∴++=．当0q >时，113m q bq=++≥，而0b >，03mb ∴<≤；当0<q 时，111m q b q =++≤-，即1m b≤-，而0m >，0<∴b ，则0m b -≤<，故[,0)(0,]3m b m ∈-⋃考点4：等差数列与等比数列综合应用1．设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为．1．解：1(1)1n n a q S q-=-，122n n n S S S ++=+，则有12111(1)(1)(1)2111n n n a q a q a q q q q ++---⋅=+---， 220q q ∴+-=，2q ∴=-．，1q =时，1222(1)(2)23n n n S n S S n n n ++=≠+=+++=+2．在△ABC 中，tan A 是以－4为第3项，4为第7项的等差数列的公差，tan B是以13为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则这个三角形是．2解：锐角三角形．由题意得444tan tan 20A A =-+⇒=>，319tan tan 303B B =⇒=>tan tan tan tan()10,1tan tan A BC A B A B+=-+=-=>-故 ABC ∆是锐角三角形．3．对于数列{}na ，定义数列{}na ∆满足： 1nn n a a a+=∆-，（n *∈N ），定义数列2{}n a ∆满足： 21nn n aa a +∆=∆-∆，（n *∈N ），若数列2{}n a ∆中各项均为1，且2120080a a==，则1a =__________．3 解：由数列2{}na ∆中各项均为1，知数列{}n a ∆是首项为1a ∆，公差为1的等差数列，所以，111111(1)(2)2(1)nk n k aa a a n n a n -=∆==+-+-+∆-∑．这说明，n a 是关于n 的二次函数，且二次项系数为12，由2120080a a==，得1(21)(2008)2n a n n -=-，从而120070a =．点评：等差比数列的通项公式和前n 项和的公式是数列中的基础知识，必须牢固掌握．4．在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+．（Ⅰ）设12n n n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．4．解：（1）122n n n a a +=+，11122n nn n a a +-=+， 11n n b b +=+，则n b 为等差数列，11b =， n b n =，12n n a n -=．（2）1221022)1(232221--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n nn n Sn n n n n S 22)1(23222121321⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=-两式相减，得1222222121210+-⨯=----⨯-⨯=-n n n n n n n S5．等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列,11b =，且2264,b S = 33960b S =．(1)求n a 与n b ； (2)求和：12111nS S S +++．5．解、（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，3(1)n a n d=+-，1n n b q-= 依题意有23322(93)960(6)64S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩①解得2,8d q =⎧⎨=⎩或65403d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去) 故132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+= （2）35(21)(2)n S n n n =++++=+∴121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯+ 11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+1111(1)2212n n=+--++32342(1)(2)n n n +=-++6．已知直线:ny x =与圆22:22()n n C x y a n n N ++=++∈交于不同点A n 、B n ,其中数列{}n a 满足：21111,4n n na a A B +==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设(2),3n n n b a =+求数列{}n b 的前n 项和n S ．6．解:（1）圆心到直线的距离d =21111()22,22(2)2322n n n n n n n n a A B a a a a ++-∴==++=+∴=⨯-则易得（2）10121123(2)2,3122232*********n n n n n nn nb a n S n S n --=+=⋅=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ 相减得(1)21n n S n =-+。

高考数学数列复习题集附答案

高考数学数列复习题集附答案高考数学数列复习题集附答案1. 数列基本概念数列是数学中重要的概念之一，在高考数学中也占有重要的地位。

数列是按照一定的规律排列的一系列数的集合。

在数列中，每个数称为该数列的项，而规律则决定了数列的特征。

在高考中，数列的考查形式多样，掌握数列的基本概念对于解题至关重要。

2. 等差数列等差数列是一种常见的数列形式，在解题中经常出现。

等差数列的特点是每一项与前一项之差都相等。

假设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则数列的通项公式是aₙ = a₁ + (n-1)d。

在考试中，理解等差数列的通项公式以及应用等差数列的性质解题是必要的。

3. 等比数列等比数列是另一种常见的数列形式，也经常出现在高考数学试题中。

等比数列的特点是每一项与前一项之比都相等。

假设等比数列的首项为a₁，公比为q，第n项为aₙ，则数列的通项公式是aₙ = a₁ * q^(n-1)。

了解等比数列的通项公式、性质以及应用等比数列解题的方法对于解答高考试题非常关键。

4. 递推数列递推数列是数列中常见的一种类型，其中每一项通过前一项计算得出。

递推数列的求解常常需要列出前几项进行观察。

在解题时，可以通过观察数列的规律，推导出数列的通项公式，从而求解特定项。

练习题：1. 给定等差数列的首项a₁ = 3，公差d = 2，求该等差数列的第10项。

答：根据等差数列的通项公式，第10项的计算公式为 a₁₀ = a₁ + (n-1)d = 3 + (10-1)2 = 21。

2. 给定等比数列的首项a₁ = 2，公比q = 3，求该等比数列的第5项。

答：根据等比数列的通项公式，第5项的计算公式为 a₅ = a₁ *q^(n-1) = 2 * 3^(5-1) = 162。

3. 已知递推数列的前两项分别为a₁ = 1，a₂ = 2，且每一项都等于前两项之和，求该递推数列的第6项。

答：观察数列的前几项，发现每一项都等于前两项的和，即aₙ =aₙ₋₁ + aₙ₋₂。

高考数学数列专题复习(学生版教师版).doc

数列（学生版）一、高考预测数列是历年高考的重点与难点，以等差数列与等比数列为基础考查数列的性质及前n 项和的问题是数列中的中低档难度问题，一般只要熟悉等差数列与等比数列及其前n 项和的性质即可正确得出结果.等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等．本讲内容在高考中多以选择题和填空题的形式出现，属于中低档题．解题时应从基础处着笔，首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的变形使用，善用技巧，减少运算量，既准又快地解决问题.除此以外，数列与其他知识的综合考查也是高考中常考的内容，数列是一种特殊的函数，它能与很多知识进行综合，如方程、函数、不等式、极限，数学归纳法（理）等为主要综合对象，概率、向量、解析几何等为点缀.数列与其他知识的综合问题在高考中大多属于中高档难度问题.数列是新课程的必修内容，从课程定位上说，其考查难度不应该太大，数列试题倾向考查基础是基本方向．从课标区的高考试题看，试卷中的数列试题最多是一道选择题或者填空题，一道解答题．由此我们可以预测2012年的高考中，数列试题会以考查基本问题为主，在数列的解答题中可能会出现与不等式的综合、与函数导数的综合等，但难度会得到控制．二、知识导学要点1：有关等差数列的基本问题1．涉及等差数列的有关问题往往用等差数列的通项公式和求和公式“知三求二”解决问题；要点向3：等差、等比数列综合问题1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。

2．数列求通项的常见类型与方法：公式法、由递推公式求通项，由n S 求通项，累加法、累乘法等3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法等。

高考数学二轮复习常考题型大通关(全国卷理数)解答题：数列

高考数学二轮复习常考题型大通关（全国卷理数）解答题：数列1.等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S 。

2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足：3576,24a a a =+=.(1)求等差数列{}n a 的通项公式；(2)求数列1{}nS 的前n 项和n T .3.已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1a b ==,()12N n n a a n *+=∈,()12311111N 23n n b b b b b n n *+++++=-∈ .（1）求n a 与n b ;（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,求n T .4.已知等差数列{}n a 满足36a =，前7项和为749S =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足()33n n n b a =-⋅，求{}n b 的前n 项和n T ．5.已知{}n a 是递增的等比数列，11a =，且22a 、332a 、4a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21231log log n n n b a a ++=⋅，n *∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S .6.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前3项和39S =,且125,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和,求证12n T <.7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．若113a b ==，42a b =，4212S T -=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和.8.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()112,2*n n a a S n N +==+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令112(1)(1)n n n n b a a -+=--，求数列{}n b 的前n 项和n T ，求证：12n T <.答案以及解析1.答案：(1)设{}n a 的公比为q ，由已知得3162q =，解得2q =，∴112.n n n a a q -==(2)由(1)得358,32a a ==，则358,32b b ==，设{}n b 的公差为d ，则有1128432b d b d +=⎧⎨+=⎩解得11612b d =-⎧⎨=⎩∴1612112)2(8n b n n =+--=-，∴数列{}n b 的前n 项和2(161228)6222n n n S n n -+-==-.2.答案：(1设等差数列{}n a 的首项为1a 、公差为d ,3576,24a a a =+= ,()()111264624a d a d a d +=⎧∴⎨+++=⎩,解得：122d a =⎧⎨=⎩,(2122)n a n n ∴=+-⨯=；(2由(1)得：()1(22)(1)22n n n a a n n S n n ++===+,所以1211111111 11223(1)(1)n n n T S S S S n n n n =++++=++++-⨯⨯-+ 11111111112233411n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111n n n =-=++．3.答案：（1）由112,2n n a a a +==,知0n a ≠,故12n n a a +=,即{}n a 是以2为首项,2为公比的等比数列,得()2N n n a n *=∈.由题意知,当1n =时,121b b =-,故22b =.当2n ≥时,11n n n b b b n +=-,整理得11n n b b n n +=+,所以n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项,1为公比的等比数列,即1n b n =,所以()N n b n n *=∈.（2）由（1）知2n n n a b n =⋅.因此231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅,①23412222322n n T n +=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅,②①-②得23122222n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅.故()()1122N n n T n n +*=-+∈.4.答案：（1）由()177477492a a S a ⨯+===，得47a =，因为36a =，所以11.4d a ==，故3n a n =+.（2）()333n n n n b a n =-⋅=⋅，所以1231323333n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯①23131323(1)33n n n T n n +=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯②由①-②得1231133233333313n n n n n T n n +++--=++++-⨯=-⨯- ，所以1(21)334n n n T +-⨯+=.5.答案：（1）设数列{}n a 的公比为q ，由题意及11a =，知1q >.22a 、332a 、4a 成等差数列成等差数列，34232a a a ∴=+，2332q q q ∴=+，即2320q q -+=，解得2q =或1q =（舍去），2q ∴=.∴数列{}n a 的通项公式为1112n n n a a q --==；（2）()212311111log log 222n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭ ，11111111111232435112n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.()()13113232212431114122221n n n n n n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭+⎛⎫=--=- ⎪++++⎝⎭.6.答案：(1)由3S 9=得13a d +=①;125,,,a a a 成等比数列得:()()21114a a d a d +=+②;联立①②得11,2a d ==;故21n a n =-.(2)111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭ 11111111111233521212212n T n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋯+-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭.7.答案：（1）由1142,a b a b ==，则()()421234122312S T a a a a b b a a -=+++-+=+=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则231236312a a a d d +=+=+=，所以2d =.所以32(1)21n a n n =+-=+.设等比数列{}n b 的公比为q ，由题249b a ==，即2139b b q q ===，所以3q =.所以3n n b =；（2）(21)3n n n a b n +=++，所以{}n n a b +的前n 项和为()()1212n n a a a b b b +++++++ ()2(3521)333n n =++++++++ ()()313331(321)(2)2132n n n n n n --++=+=++-8.答案：（1）()12,*n n a S n N +=+∈，①当1n =时，212a S =+，即24a =，当2n ≥时，12n n a S -=+，②由①-②可得11n n n n a a S S +--=-，即12n n a a +=，∴2222,2n n n a a n -=⨯=≥当1n =时，1122a ==，满足上式，∴()2n n a n N *=∈（2）由（1）得1112111()(21)(21)22121n n n n n n b -++==-----∴1111111111(1)(1)23372121221n n n n T ++=-+-++-=---- ∴12n T <。

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数列专题复习（ 1）
一、等差数列和等比数列的性质
1、已知 { a n } 是公差为 1 的等差数列， S n 为 { a n } 的前 n 项和，若 S 8
4S 4 ，则 a 10
17
（ B ）
19
（ C ） 10
（D ） 12
（ A ）
2
2
2、数列 a n 中 a 1 2,a n 1 2a n , S n 为 a n 的前 n 项和，若 S n
126 ，则 n
3、设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和 ,若 a 1 a 3 a 5 3 ,则 S 5
A
5 B 7 C 9
D 11
4、已知等比数列 { a } 满足 a 1
1 , a 3 a 5 4 a 4 1 ,则 a A.
2 B.1 C.
1
D.
1
n 4 2
2
8
5、等比数列｛ a n ｝满足 a 1=3，
a 1
a 3
a 5 =21，则
a 3
a 5 a 7
A21 B42 C63 D84
6、等差数列 a n 的公差为 2，若 a 2 ， a 4 ， a 8 成等比数列，则 a n 的前 n 项和 S n =
（ A ） n n
1
（ B ） n n
1
（ C ）
n n
1
n n 1
2
(D)
2
7、设等差数列 {a } 的前 n 项和为 S ，若 S
＝－ 2，S ＝ 0，S
＝ 3，则 m ＝
n
n
m － 1
m
m ＋ 1
A ． 3
B ． 4
C ． 5
D ．6
8、等比数列｛ a ｝的前 n 项和为 S ，已知 S = a
+10a ， a = 9，则 a =
n
n
3
2
1
5
1
（ A ）
1
（ B ）
1
（ C ）
1
（ D ）
1
3
3
9
9
9、已知 { a n }为等比数列， a 4 a 7
2 ， a 5 a 6 8 ，则 a 1 a 10
A7 B5 C － 5 D －7
10、已知各项均为正数的等比数列 { a n } ， a 1a 2a 3 =5， a 7a 8 a 9 =10，则 a 4 a 5 a 6 =
(A)
5 2 (B) 7
(C) 6 (D)
4 2
11、如果等差数列 { a n } 中， a 3 a 4 a 5 12 ，那么 a 1 a 2 ... a 7
（A ）14
（B ）21 （ C ） 28 （D ） 35
12、等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 S 10=0，S 15 =25 ，则 nS n 的最小值为 ________. 13、等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 3 3S 2 0 ，则公比 q ___________。

14、设 S n 为等差数列 a n 的前 n 项和，若 a 1 =1，公差 d=2 ， S k+2-S k =24 ，则 k=
(A)8
(B)7
(C) 6
(D) 5
15、设△ A n B n C n 的三边长分别为
a n ，
b n ，
c n ，△ A n B n C n 的面积为 S n ，n ＝ 1,2,3，⋯ .若 b 1＞ c 1，
11
1
n ＋ 1
n
n ＋ 1 ＝
c n a
n
， c
n ＋1
b n
a n
，则 (
)．
b ＋ c
＝2a ， a
＝ a ， b ＝
2
2
A ． {Sn} 为递减数列
{S
B
． {Sn} 为递增数列
} 为递增数列
C ． {S
2n － 1 } 为递增数列，
} 为递减数列
D ． {S
} 为递减数列， {S
2n
2n － 1
2n
二、数列求和
1、已知等差数列
a n 的前 n 项和为 S n ， a 5 5, S 5 15 ，，则数列 {
1
} 的前 100 项和
a n
a
n 1
为（
）（ A ）
100
（ B ）
99
（ C ） 99
（ D ） 101
101
101
100
100
2、等比数列 a n 的各项均为正数，且 2a 1 3a 2 1, a 3 2
9a 2a 6.
（ 1) 求数列 { a n } 的通项公式；
（ 2）设
b n
log 3 a 1
log 3 a 2
......
log 3 a n , 求数列
1
的前
n 项和 .
b n
3、已知等差数列 { a n } 的公差不为零， a 1 25 ，且 a 1 , a 11 ,a 13 成等比数列。

（1）求 { a n } 的通项公式；（2）求 a 1 a 4 +a 7
a
3n 2
；
4、已知
a n 是递增的等差数列， a 2 ， a 4 是方程 x 2 5x 6 0 的根。

（1）求
a n 的通项公式；（2）求数列
a n 的前 n 项和 .
2
n
5、已知等差数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足 S 3＝ 0， S 5＝－ 5.
(1) 求 { a } 的通项公式； (2) 求数列
1
的前 n 项和．
n
a 2n 1
a
2 n 1
6 、已知 {a } 是各项均为正数的等比数列，且 1
a 2
2(
1
1 ) ；
n
a
a 1 a 2
a 3 a 4 a 5 1 1 1
2(
a 4 )
a 3 a 5
（ 1）求 {a n 的通项公式；（）设
(a n 1 2 ,
求数列 n 的前 n 项和 T n .
} 2 b n
)
{b }
a n
三、数列递推
1、设S n是数列a n 的前 n 项和，且a1 1， a n 1 S n S n 1，则 S n ________．
2、数列 { a n }满足a n 1 ( 1)n a n 2n 1，则{ a n}的前60项和为____________。

3、若数列a n的前n项和 S n 2 1
a n ，则 a n的通项公式是 a n＝_______.
3 3
4、已知数列a n 满足 a1=1， a n 1 3a n 1.
（1）证明a n 1
是等比数列，并求a n的通项公式；（2）证明： 1 1 ⋯ +
1
3 .
2 a1 a2 a n 2
5、S n为数列 { a n } 的前 n 项和 . 已知a n 0 ， a n2 2a n 4S n 3 ,
（1）求 { a n } 的通项公式：（2）设b n
1
求数列 { b n } 的前n项和
,
a n a n 1
6、已知数列{ a n } 的前n 项和为S n， a1=1，a n 0 ， a n a n 1 S n 1，其中为常数. （1）证明：a n 2 a n ；（2）是否存在，使得 { a n}为等差数列？并说明理由.
7、设数列{ a n}满足a1
1 1
0 且
1
1.
1 a n 1 a n
1
a
n 1,设 S n n
（ 1）求{ a n}的通项公式；（2）设 b n b k , 证明： S n 1.
n k 1
8、已知数列 a n 中， a1
1 1,a n 1 c.
a n
（ 1）设c 5
,b n
a n
1 ，求数列 b n的通项公式；
2 2
（ 2）求使不等式a n a n 1 3 成立的 c 的取值范围.。