2018年高中数学北师大版必修五达标练习：第1章 §2-2.2 第1课时 等差数列的前n项和 Word版含解析

[A 基础达标]
1．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝20，S 2＝4，则公差d 为( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．7
解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝4，S 4＝20得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝4，
4a 1＋6d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝3.
2．已知数列{a n }为等差数列，a 10＝10，数列前10项和S 10＝70，则公差d ＝( )
A ．－23
B ．－13 C.13 D ．23
解析：选D.由S 10＝10（a 1＋a 10）2，得70＝5(a 1＋10)，解得a 1＝4，所以d ＝a 10－a 110－1
＝10－49＝23
，故选D. 3．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( )
A ．160
B ．180
C ．200
D ．220
解析：选B.(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝(－24)＋78＝54，又a 1＋a 20＝a 2＋a 19＝a 3＋a 18，
则3(a 1＋a 20)＝54，所以a 1＋a 20＝18.则S 20＝20（a 1＋a 20）2
＝10×18＝180. 4．已知数列{a n }的前n 项和公式是S n ＝2n 2＋3n ，则⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n ( ) A ．是公差为2的等差数列
B ．是公差为3的等差数列
C ．是公差为4的等差数列
D ．不是等差数列
解析：选A.因为S n ＝2n 2＋3n ，所以S n n
＝2n ＋3， 当n ≥2时，S n n －S n －1n －1
＝2n ＋3－2(n －1)－3＝2， 故⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列． 5．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若a n b n ＝2n 3n ＋1，则S 21T 21
的值为( ) A.1315 B ．2335
C.1117 D ．49
解析：选C.S 21T 21＝21（a 1＋a 21）221（b 1＋b 21）2
＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝a 11b 11＝2×113×11＋1＝1117
. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________．
解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .
答案：2A
7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________．
解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则由6S 5－5S 3＝5知，6×(5a 1＋10d )－5(3a 1＋3d )
＝5，得3(a 1＋3d )＝1，所以a 4＝13
. 答案：13
8．若等差数列{a n }满足3a 8＝5a 13，且a 1>0，S n 为其前n 项和，则S n 最大时n ＝________．
解析：因为3a 8＝5a 13，所以3(a 1＋7d )＝5(a 1＋12d )，所以d ＝－2a 139
，故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1－2a 139(n －1)＝a 139
(41－2n )．由a 1>0可得当n ≤20时，a n >0，当n >20时，a n <0，所以S n 最大时n ＝20.
答案：20
9．已知在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．
解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .
由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2.
所以a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .
(2)由a 1＝1，d ＝－2，得S n ＝2n －n 2.
又S k ＝－35，则2k －k 2＝－35，
即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.
又k ∈N ＋，故k ＝7.
10.某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层
开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，
要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几
根？共堆了多少层？
解：设最下面一层放n 根，则最多可堆n 层，
则1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2
≥600， 所以n 2＋n －1 200≥0，
记f (n )＝n 2＋n －1 200，
因为当n ∈N ＋时，f (n )单调递增，
而f (35)＝60>0，f (34)＝－10<0，
所以n ≥35，因此最下面一层最少放35根．
因为1＋2＋3＋…＋35＝630，
所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1＋2＋3＋…＋7＝28根，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层．
[B 能力提升]
11．等差数列{a n }的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
解析：选B.由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124，
a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156，
所以4(a 1＋a n )＝280，所以a 1＋a n ＝70.
又S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n 2
×70＝210，所以n ＝6. 12．若两个等差数列的前n 项和之比是(7n ＋1)∶(4n ＋27)，则它们的第11项之比为____________．
解析：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，
则a 11＝a 1＋a 212，b 11＝b 1＋b 212
，
所以a 11b 11＝12（a 1＋a 21）12（b 1＋b 21）＝12（a 1＋a 21）·2112
（b 1＋b 21）·21＝S 21T 21＝7×21＋14×21＋27＝43. 答案：4∶3
13．已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭
⎫S n －12. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1S n 为等差数列，并求S n 的表达式； (2)设b n ＝S n 2n ＋1
，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题意S 2n ＝a n ⎝⎛⎫S n －12，结合a n ＝S n －S n －1(n ≥2)得S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭
⎫S n －12(n ≥2)， 化简整理得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，知数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1S n 为公差为2的等差数列，所以1S n ＝1S 1＋(n －1)×2＝1＋(n －1)×2＝2n －1，所以S n ＝12n －1
. (2)b n ＝S n
2n ＋1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝12⎝ ⎛1－13＋13－15＋…＋12n －1
－ ⎭⎪⎫1
2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 14．(选做题)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求S n 的最小值；
(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c
，求非零常数c 的值． 解：(1)因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根，又公差d >0，所以a 3<a 4，所以a 3＝9，a 4＝13，从而可得a 1＝1，d ＝4，所以a n ＝4n －3.
(2)由(1)知a 1＝1，d ＝4，
所以S n ＝na 1＋n （n －1）2·d ＝2n 2－n ＝2⎝⎛⎭⎫n －142－18
，所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1.
(3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S n
n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， 所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c
.因为数列{b n }是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝1
1＋c ＋15
3＋c ，得2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)，所以c ＝－12.。