高中“平面向量”的教学探讨
高中数学解题中平面向量方法运用探究
高屮数学解题中平面向量方法运用探究姚洪兵（福建省建瓯第一中学'，前建南平353199）扌商要：现阶段，高中生通常都要做较多的习题。
在多变、复杂的题型面前，学生在答题时存在较大曲困难。
科学使用平面向量法，既可以帮助学生解决多类习题，又能提升学生的知识实际应用能力。
关键词：高中数学；平面向量法；解题方法中图分类号：G427 文献标识码：A文章编号：2095-9192（2020）11-0009-02引言平面向量作为一种效果较为显著的数学工具，运用它既可以帮助学生轻松解决代数、几何等问题，也能够为数学教学增添全新的视角，促使学生从更新颖的思路分析、解答各类习题。
高中数学解题中平面向量法的运用现状在以往的高中数学授课体系内，向量知识占据极为重要的地位。
随着高考中对平面向量内容的考査不断增加，广大数学教师对这一知识的重视程度也随之提高，其在日常授课中所占的比重也有所提升。
作为数形结合的重要桥梁，平面向量在解析立体几何问题时，发挥的积极作用是不容忽视的。
在日常平面、空间图形等问题的解答中，也经常涉及向量观念及其相关知识，它不仅能够帮助学生降低解题难度，也能够帮助学生从整体上提升解题效率。
为此，教师应对其给予足够的重视，从不同角度探索、完善平面向量法在数学解题中的灵活运用策略，确保其优势能够得到充分的发挥，奠定学生学习的良好知识基础，达到更加高效、高质学习的目的E。
二、高中数学解题中平面向量法的运用意义首先，帮助学生更透彻地理解数学与现代数学间存在的各种联系。
作为现代数学发展的重要基础内容，高中数学涉及的一般都是常量数学和变量数学等基础内容。
科学引入向量知识，不但进一步调整和优化了中学数学知识体系，而且以交汇点的形式呈现出来。
在数学解题中若能恰当、科学运用平面向量法，不仅能帮助学生完善知识结构，也能为学生的中学数学学习向高等数学学习进行有效过渡提供有力支持，帮助学生为之后的数学学习积累丰富的经验与方法。
第六章 平面向量及其应用 数学探究 教材分析与教学建议 (无棣一中 李春阳)
必修第二册第六章《平面向量及其应用数学探究》教材分析与教学建议发言日期：2020年3月20日学校：山东省无棣第一中学******各位数学同仁，大家上午好！我发言的专题是必修二第六章《平面向量及其应用数学探究》部分，不当之处请批评指正！第一方面：本章在整册教材及高中数学中的地位与作用.向量是重要的数学概念和工具,具有深刻的数学内涵和丰富的物理背景，利用它能有效地解决许多问题,向量具有几何形式与代数形式的“双重性”,与代数、几何有着密切的关系.向量作为数学知识网络的一个交汇点,它是联系众多知识的媒介与桥梁,因此以向量为工具是高考命题的一个亮点.解此类题的关键是把那些以向量形式出现的条件“还其本来面目”,作为工具,向量在代数、几何、物理、三角、数列等领域的应用是高考命题的方向,常考常新.本章编写从整体来看，着重体现了“问题引导学习”的理念，从生活实例切身感悟，通过探究、推广等方式环环相扣地给出了一条观察事物（情景）、提出问题、分析问题、解决问题的线索，把学生的思维活动逐步引向深入，帮助学生在获得“四基”的过程中，逐步提高“四能”，发展数学实践能力及创新意识，培育科学精神，促进学生学会学习.从以下几个方面可以进一步体会教材编写的特点。
一、多角度展开向量知识的研究.本章是必修课程与选择性必修课程中几何与代数主题的开篇.本章编写更注重了内容的整体性，体现了内容之间的有机衔接。
突出了几何直观与代数运算之间的融合，及通过形与数的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解。
另外，本章内容与物理联系紧密。
因而可从物理、几何、代数三个角度展开本章内容的研究，形成贯穿全章的三条主线.1.物理角度. 教科书注意从丰富的物理背景中引入向量内容。
例如，借助位移、速度、力等现实中的常见现象，让学生认识引进向量的必要性，并得出向量是既有大小又有方向的量，从而给出向量的概念。
又如，从位移的合成，力的合成引入向量加法的三角形法则与平行四边形法则。
高二上学期数学教学重难点常见难点及解决方案
高二上学期数学教学重难点常见难点及解决方案2023年高二数学教学重难点 - 常见难点及解决方案数学作为一门基础科学，对于高中生来说是非常重要的一门学科。
在高中数学学习过程中，常见的难点不在少数。
下面将分别介绍高二数学上学期的常见难点及解决方案。
一、平面向量平面向量是高二上数学中的一个重点，平面向量的引入可以理解为是对数学中“长、宽、高”三个维度的扩展，方便数学家探讨平面内的问题。
而平面向量的难点主要在于向量的加减法和平衡向量的求解方法。
解决方案：对于向量的加减法，可以采用画图法，直观感受向量的加减；而对于平衡向量的求解，可以采用平衡点法，将平衡点作为求解向量的起点，往后推导出每一个向量的值，从而求得平衡向量。
二、函数的极限函数的极限是高中数学的重难点，也是高二上数学的必考点之一。
在解决函数的极限时，需要先掌握函数极限的定义和一些常用极限值的计算方法。
解决方案：对于函数极限的定义，可以采用“夹逼定理”、“插值定理”等方法来求解；而对于常用极限值的计算方法，可以采用“洛必达法则”、“无穷小代换法”等方法来简化计算步骤，从而提高求解效率。
三、三角函数三角函数是高二上学期的难点之一，涉及到三角函数的定义、性质以及其应用。
其中最常见的难点是三角函数的简化和求解三角方程。
解决方案：对于三角函数的简化，需要深入理解三角函数的定义和性质，将其转化为简单的三角函数，如正弦、余弦等。
而对于求解三角方程，可以采用三角函数的周期性和对称性来进行转化，利用三角函数的基本公式进行变形，简化计算步骤。
四、概率统计概率统计是高中数学的应用部分，其重难点主要在于概率的理解和概率问题的求解。
在解决概率问题时，需要具备一定的数学基础和概率思维。
解决方案：对于概率问题的求解，可以采用“全概率公式”、“贝叶斯公式”等方法进行计算，详细分析概率事件之间的关系；而在应用概率统计时，需要具备较强的数据分析和预测能力，可以采用数据可视化工具进行数据分析和可视化展示，提高问题求解的效率。
高中数学_平面向量基本定理教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计一、教材分析本节课选自人教A版高中数学必修4第二章2.3.1平面向量基本定理。
学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，是向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用.二、学情分析本节课的授课对象是普通中学的高一学生，该年级的学生已经学习了向量的基本概念和基本运算以及平面向量共线定理；学生对向量的物理背景有了初步的了解，如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习本课作了充分准备，具备了进一步探究的能力.但是本班学生不善于对知识进行总结归纳，因此在教学过程中，引导学生进行独立思考，并逐步培养他们的概括归纳能力.三、教学重难点1.教学重点：平面向量基本定理及其意义；两个向量夹角的简单计算；2.教学难点：平面向量基本定理的探究；向量夹角的判断.四、教学目标(一)知识与技能目标：1.了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量；2.能用平面向量基本定理进行简单的应用。
(二)过程与方法目标：1. 通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力；2. 通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。
(三)情感、态度与价值观目标：1. 用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，发展学生的数学应用意识；2. 经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
五、教学过程七个音符谱出千支乐曲，在多样的向量中，我们能否找到它的基本音符呢？首先通过问题复习平面向量的加减法运算及向量共线定理。
（学生回答）再来思考这么一个问题，给定平面内两个向量→→21e ,e ，如何作出量→→→→-+212121,2e e e e （学生用平行四边形法则、三角形法则等完成.教师进行投影展示.）反过来，平面内任一向量→a 是否都可以用形如→→λ+λ2211e e 的向量表示？（师生共同完成，通过GGB 软件动态展示向量→a 的任意性，让学生更直观的了解.）师生共同给出平面向量基本定理. 强调：向量a 的任意性、1e 、2e 不共线、系数1λ，2λ的存在性与唯一性。
高中数学教学培训讲座--平面向量教学建议(上)
建议四：把握向量的运算：法则、运算律 有了运算，向量的力量无限.如果不能进行运
算，向量只是示意方向的路标.
1）加法：①两个法则 ②坐标表示
减法: ①法则
②坐标表示
运算律
注: AB a, AD b
(1) a b ,则四边形是什么图形?
(2) a b a b ,则四边形是什么图形?
⑵对数乘的结合律： (a)b (a b) a (b) ⑶分配律： (a b)c a c bc
注意：
数量积不满足结合律 即: (ab)c a(bc)
数量积不满足消去律 即: a b a c推不出b c
a b 0也推不出b 0或a 0
建议一:把握好章引言及章头图
从而，在章头图中，道路、路标体现了向量与位 移、速度、力等物理量之间的联系，体现了向量有丰 富的实际背景，图中直角坐标系及有向线段表现了向 量方法研究几何内容．章引言说明了向量的研究对象 及研究方法，揭示了向量与几何、代数之间的关系， 运用向量可将几何性质的研究转化为向量的运算，使 几何问题通过向量运算得到解决，从而拓展了几何的 研究空间，它就像图中的高速公路一样，是一条解决 几何问题的高速路.
那些量是数量？时间、功、路程、年龄、质量、 面积等。
（二）向量的表示
1. 代数法:a用 字母表示AB或
A
B
书写用a， 印刷用粗体a
2.几何法:用有向线段表示 有向线段: 规定了起点、方向、长度的 线段
A
B
有向线段与向量 是两个不同的概念
说明1:我们所说的向量，与起点无关，用有向 线段表示向量时，起点可以取任意位置。所以数学 中的向量也叫自由向量.
“平面向量”教材分析与教学建议
“平面向量”教材分析与教学建议一、内容与要求(一)本章内容向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。
向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。
因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。
之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。
本章共分两大节。
第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示、平移等。
第二大节是“解斜三角形”。
这一大节可以看成是向量知识的应用，内容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形应用举例和实习作业等。
正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的两个重要定理，教科书通过向量的数量积把三角形的边与角联系起来，推导出了这两个定理，并运用这两个定理初步解决了测量、工业、几何等方面的实际问题，特别在这一大节中，还安排了一个实习作业，从而使学生进一步了解数学在实际中的应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生由实际问题抽象出数学问题并加以解决的能力。
…为扩大学生的知识面，本章中还安排了两个阅读材料，即“向量的三种类型”和“人们早期怎样测量地球的半径”。
本章重点是向量的概念，向量的几何表示和坐标表示，向量的线性运算，平面向量的数量积，线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，解斜三角形等。
本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用等。
平面向量的教研活动记录(3篇)
第1篇一、活动背景随着新课程改革的深入推进，平面向量作为高中数学的重要组成部分，其教学方法和策略的探讨显得尤为重要。
为了提高教师对平面向量教学的认知，提升教学效果，我校数学教研组于2021年10月20日开展了以“平面向量教学策略探讨”为主题的教研活动。
本次活动旨在通过集体备课、教学观摩、研讨交流等形式，提升教师对平面向量教学的理解和实践能力。
二、活动内容1. 集体备课活动开始，由教研组长主持，组织全体数学教师进行集体备课。
首先，对平面向量的基本概念、性质、运算及应用进行了梳理，明确了教学目标。
接着，针对平面向量的教学难点和重点进行了深入讨论，共同商讨了教学策略。
2. 教学观摩集体备课结束后，由我校青年教师张老师进行了一堂平面向量的公开课。
张老师以实际问题为背景，引导学生探究平面向量的概念和性质，注重培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
在课堂上，张老师运用多媒体教学手段，使抽象的向量知识变得生动形象，激发了学生的学习兴趣。
3. 研讨交流公开课后，全体教师对张老师的课堂教学进行了点评。
大家一致认为，张老师的课堂气氛活跃，教学方法灵活，能够有效地引导学生掌握平面向量的知识。
同时，针对教学过程中出现的问题，老师们提出了以下建议：（1）在引入向量概念时，可以结合生活中的实例，让学生更加直观地理解向量的意义。
（2）在讲解向量运算时，要注意培养学生的运算能力，提高解题速度。
（3）在课堂教学中，要注重培养学生的空间想象能力，提高学生的几何素养。
（4）在课后作业的布置上，要注重层次性，满足不同学生的学习需求。
三、活动总结本次教研活动取得了圆满成功，达到了预期目标。
通过集体备课、教学观摩和研讨交流，老师们对平面向量教学有了更深入的认识，明确了教学策略，为今后的教学工作奠定了基础。
1. 提高教师对平面向量教学的认识，明确教学目标。
2. 探讨了平面向量的教学策略，为教师提供了有益的教学方法。
3. 增强了教师之间的交流与合作，促进了教师的专业成长。
例谈高中数学单元教学设计的框架和要素——以《平面向量》单元为例
例谈高中数学单元教学设计的框架和要素———以《平面向量》单元为例罗海兵（江苏省淮安市淮阴区教师发展中心，２２３００３） 《普通高中数学课程标准（２０１７年版）》（以下简称《课标２０１７》）在教学建议中强调：“教师要整体把握教学内容，把握数学知识的本质，理解数学知识产生与发展过程中所蕴含的数学思想，在此基础上，探索通过什么样的途径能够引发学生思考，让学生在掌握知识技能的同时，感悟知识的本质，实现教育价值”．落实这个建议的关键是实施单元教学，即提倡整体教学观，在整体视角下确定教学目标、设计教学情境、把握课程内容、选择教学方法，用数学中的“大观念”统领相关教学内容，使学生经历前后一致、逻辑连贯的完整学习．本文以《平面向量》单元为例，探讨单元设计的框架和要素．２ 数学单元教学设计概述２．１ 数学单元教学设计的涵义单元教学萌芽于１９世纪末的欧美新教育运动，五四运动之后，单元教学思想传入中国，梁启超、叶圣陶都曾对单元教学的思想做过论述．１９９５年，覃可霖教授提出了大单元（即把教材中的几个教学单元组成更大的单元）的概念，使得单元的内涵得到了丰富和拓展．近年来，西北师范大学吕世虎教授对单元教学设计的解释得到了数学界专家的普遍认同，他认为数学单元教学设计是在整体思维指导下，从提升学生数学核心素养的角度出发，通过教学团队之间的合作对教材内容进行统筹重组和优化，以突出高中数学的内容主线、思想主线和素养主线，在此基础上对这个教学单元整体进行循环改进的动态数学教学设计．对于这个观点，笔者认为含有四层涵义：首先，强调的是整体思维，就是要用系统的观点把握知识内容，统揽教学安排，理清不同阶段学生的认知规律和心理特征；其次，说明设计的最终目标是提升学生数学核心素养，单元教学是指向深度学习的路径，深度学习必然有利于发展思维、提升素养；第三，强调单元设计需要团队合作，需要集体智慧和集体力量．教学设计的前期准备、具体实施、评价修改等阶段都有大量的工作，需要备课组教师高度协作、集思广益，这其实就是集体备课的主要任务．第四，教学设计是动态发展的，单元整体教学设计后留给老师课时教学设计是动态的，它会随学情、教情不同有所调整；实施教学之后的反思，也会出现有价值的修改和调整，而下一届教学时也会根据自己的思考和认识在此改进，因而教学设计一直处于改进完善之中．２．２ 数学单元的确定《课标２０１７》的课程结构体现了主题教学，将高中数学课程内容分为函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动和数学探究活动四条主线，又在每个主题下安排若干单元，新教材（以２０１９年苏教版为例）的编写也充分体现了主题教学特点，在老教材基础上进行更合理的整合，便于教师和学生整体把握课程内容和知识结构．现有的教材很好的体现了数学内容的层次性和逻辑性，每一章节就是一个最理想的数学单元．像这样以核心数学知识或数学概念为主线组织的知识类单元，一般呈现出来的是递进关系，学习这样的单元知识一般是由先后顺序的，表现出“线串式”的特点，我们称之为“线串式”单元．这在高中数学单元教学中占主导地位．比如三角函数内容按照章节顺序构成如图１所示的“线串式”单元．!"#$%!&'()%!&'*+,-.%!&'/01!,"23%!&'45!3%!&'67%!89:图１需要说明的是“线串式”单元既可以是章节内的，也可以是跨章节的，甚至跨学科的．如函数的单调性的研究贯穿高中数学课程，高三复习时可以以这个核心数学概念为主题构成一个跨章节的“线串式”单元（如图２）．!"#$ %&'$%()!""*+),-./"图２除此之外，数学单元还可以以数学思想方法或数学学科核心素养为主题形成方法类单元和素养类单元，比如“分类讨论思想”、“数学运算”等为主题的单元，这些主题表现出“张网式”的特点，我们称为“张网式”单元，这里不作赘述．总的来说，主题单元的划分没有特别严格的规定，重点依据教学内容的整体性、教学单元的逻辑性、思想方法的一致性划分单元，通过单元教学让学在掌握基本知识和基本技能的同时领悟数学思想、积累数学活动经验，从而提升“四能”、发展数学学科核心素养．３ 单元教学设计３．１ 单元教学设计的框架单元设计总体呈现“整体———局部———整体”的框架结构，分为三个阶段．第一阶段对大单元（如“章”、数学核心概念等）及其包含的子单元（如“节”、相关概念等）做整体设计，这是单元教学设计区别于传统教学设计的显著特征，主要研究单元内容、课程标准、单元目标、学情诊断、重难点分析以及教学方法分析，这一阶段的研究主要以集体备课形式为主，集思广益、发挥集体智慧．第二阶段进行课时教学设计，课时备课要在单元整体设计的统领下实施备课，能将单元目标很好的分解到每一节课的课时目标，将每一个教学环节、教学方法、学法指导都放到大系统中考量．另外课时与课时既要相对独立又要相互联系，注意课时之间的逻辑关系，知识和方法的衔接和渗透等．第三阶段是单元评价和反思，教师在单元教学实施之后，依据《课标２０１７》的课程目标、课程内容和学业质量标准，设置好单元测评试题，试题要围绕本单元内容，聚焦重要的数学概念、定理、方法、思想的理解和应用，强调基础性和综合性，注重通法，淡化技巧．同时还要重视教学过程中的学习行为、学习态度和核心素养发展的评价，注意记录、分析学生学习过程中的表现．另外教师要反思单元教学的实施过程、发现问题、提出修改意见，以改进下一轮单元教学的效果．３．２ 单元教学设计要素分析要素１：内容分析．分析本单元内容的数学价值、数学文化和数学思想，该内容在数学课程中的地位，以及和初中、高中、大学知识的联系，同时对分析课时的科学划分．要素２：教材分析．分析本单元教材的结构体系，情境创设、概念引入、例题习题的编排方式，比较与老教材和其他版本教材的异同．要素３：学情分析．了解学生已有的知识储备和能力水平，对新知识的学习会有什么障碍．要素４：教学目标分析．研究《课标２０１７》中对本单元的内容要求和学业要求，深入理解目标达成的条件和达成的表现，准确表述出指向学生变化的目标，做到显性目标可测量，隐性目标有渗透．要素５：教学方式分析．从单元整体角度出发，选择适合教学内容和学情的教学方式，体现方式的多样性，特别关注学生的活动和参与．４ 单元教学设计示例———以“平面向量”单元为例 “平面向量”是《课标２０１７》设置的几何与代数主题下的一个大单元，根据课程内容的特点和逻辑关系，《２０１９苏教版普通高中教科书数学必修二》（以下简称《２０１９苏教版》）将平面向量分为四个子单元：向量的概念、向量的运算、向量基本定理和坐标表示，向量的应用．受篇幅限制，子单元教学设计以“向量运算”为例，为突出重点，本单元课时教学设计和教学评价从略．４．１ “平面向量”单元教学设计４．１．１ “平面向量”单元的内容分析向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景．向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁．向量是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥重要作用．平面向量在高中数学课程中占据及其重要的地位，一方面它是学习空间向量的基础，二是它对复数的几何意义的理解起到决定性作用，三是利用平面向量能顺利解决许多平面几何、解析几何、物理问题，特别是三角问题的解决，如两角差的三角函数和正、余弦定理的向量法证明，让学生深刻感受到向量方法的力量．４．１．２ “平面向量”单元的教材分析本单元首先通过物理背景引入向量的概念，明确所研究的对象；然后仍然从物理背景出发定义向量的运算、研究运算性质，形成其运算体系；进而介绍平面向量基本定理和坐标表示，进一步认识向量的概念和运算；最后运用概念和运算解决问题，体现向量的应用．这个过程本身就渗透了研究一类数学对象的思路与方法．对比老教材，《２０１９苏教版》将平面向量的数量积安排在平面向量的基本定理和坐标运算之前，把数量积和线性运算整合在一起，形成完整的向量运算体系，同时在本章之后的连续三章分别安排“三角恒等变换”、“解三角形”、“复数”，这种编排更加有利于单元整体教学，让学生对向量的应用有更深刻的认识、理解和感悟．４．１．３ “平面向量”单元的学情分析学生经历了数的扩充、数和式的运算及其应用，集合的概念、集合的运算及其应用等学习，积累一定的研究经验，具有研究一个新的数学对象的初步观念，即“抽象出一个数学对象———研究运算———研究运算律———数学应用”；高一下学期，学生已经具备一定的物理基础，对位移、速度、力、功、力的合成和分解都有很好的认识，这也为理解向量及其运算奠定了良好的基础．此外，这个阶段的学生也具备一定的数学抽象、数学运算和逻辑推理能力，有能力学习和理解本章内容．尽管如此，在本章的学习中学生还有可能存在一些不易理解的问题，比如：在抽象向量概念的过程中，物理中强调力的作用点，而平面向量是自由向量；向量线性运算的运算律几何证明的不习惯；投影向量的引入原因等．这些环节需要教师做深入浅出的指导．４．１．４ “平面向量”单元的目标分析本单元的学习，可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义；掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理以及向量的应用；用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题．能够从多种角度理解向量概念和运算法则，掌握向量基本定理；能够运用向量运算解决简单的几何和物理问题，知道数学运算与逻辑推理的关系．通过本单元学习重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和教学抽象素养．４．１．５ “平面向量”单元的教学方式分析应从力、速度、加速度等实际情境入手，从物理、几何、代数三个角度理解向量的概念与运算法则，引导学生运用类比的方法探索实数运算与向量运算的共性与差异，可以通过力的分解引出向量基本定理，建立基底的概念和向量的坐标表示；主要采用合作交流、自主探究、阅读自学等方式组织教学．可以引导学生运用向量解决一些物理和几何问题．例如，利用向量计算力使物体沿某方向运动所作的功，利用向量解决与平面内两条直线平行或垂直有关的问题等．采用启发发现、独立思考、回顾总结等方法引导学生学会解决问题．４．２ “向量运算”子单元教学设计４．２．１ “向量运算”子单元的内容分析从代数的角度理解向量，它的运算可以通过类比数或式的运算进行学习；从几何角度看，向量的运算都具有对应的几何意义，包括运算律的都探究几何证明．这部分内容的学习为空间向量的运算和向量的进一步应用做充分准备，同时也为高等数学中向量的矢量积和混合积打下坚实基础．本单元划分为８个课时：９．２．１向量的加减法（３），９．２．２向量的数乘（２），９．２．３向量的数量积（２），子单元复习课（１）．４．２．２ “向量运算”子单元的教材分析本单元教材通过力的合成、合位移、做功等物理知识抽象出向量四种运算，并运用几何方法证明运算律，研究运算性质的运算，形成其运算体系．体现了研究运算的统一套路：“背景—运算定义—运算律—应用”，能很好的帮助学生建立一般观念．《２０１９苏教版》将平面向量的数量积安排在平面向量的基本定理和坐标运算之前，把数量积和线性运算整合在一起，虽然两类运算有封闭和不封闭之分，但是整合整合在一起，更容易形成对比，有利于学生对比学习，从而更好的形成完整的向量运算体系．４．２．３ “向量运算”子单元的学情分析学生学习了向量的概念后，明白它是一个既有大小、又有方向的量，类比数的运算，自然会想到要进一步学习向量的相关运算，同时结合物理学中矢量一些运算，能较主动的定义运算法则．特别在学习完向量的加法之后，另外三种运算就可以在一般观念的指引下自觉有序的探究．本单元学习中，学生对向量运算律几何证明的不习惯；数量积运算式不封闭的，学生没有遇到过，数量的一些性质研究觉得不自然；投影向量的引入原因不明等．这些环节需要教师加强研究和指导．４．２．４ “向量运算”子单元的目标分析①借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义．②通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义．③了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．④通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．⑤通过几何直观，了解平面向量投影概念以及投影向量的意义．⑥会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．４．２．５ “向量运算”子单元的教学方式分析类比实数运算、借助物理背景得出研究向量加法运算的流程，再在一般观念指引下探究另外三种运算．主要采用合作交流、自主探究、阅读自学等方式组织教学，倡导学生演讲、学生评价、学生小节．以上分析可以看出，站在高位从高观点的眼光审视数学知识，会发现底层不能发现的数学之间的联系和区别．对于教学而言，单元教学更加有利于教师从整体上把握内容，避免纠缠于细枝末节；有利于教师教师对教学的长远规划；有利于学生主体地位的凸显，给学生提供更多的参与和活动，促进学生学科数学核心素养的发展．值得提醒的是，单元教学不是形式主义，要靠广大教师积极参与、团结合作、不断实践，才能产生其应有的效益．参考文献：［１］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（２０１７年版）［Ｊ］．北京：人民教育出版社，２０１８．［２］余文森．核心素养导向的课堂教学［Ｍ］．上海：上海教育出版社，２０１７．［３］陈小波．高中数学单元教学整体设计的区域研究和实践［Ｊ］．中学数学教学参考，２０２０，（４）：１０－１５．［４］吕世虎，杨婷，吴振英．数学单元教学设计的内涵、特征以及基本操作步骤［Ｊ］．数学通报，２０１７，（６）：檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸２３－１６．（上接第６３页） （４）思考：角由哪些特征？（略）简析：角的形成历史大致分为四个阶段，一是直线方向发生改变，就有了角度，因此，直线的方向改变是认识角的基础．二是直角作为比较大小的标准，古代的垂直是相对于地面讲的，物体自然下垂，就与地面形成直角．三是角的测量．四是运动的眼光看待角，即一条射线绕一端旋转形成角．从整体教学的视角和角的历史发展来看，角的出现可以从直线方向的改变开始．学生通过前面学习的知识就清楚了角的两条边是射线．不用告诉，而是学生自己就能发现．这样设计就把前面的内容融合进来了，形成一个整体．４ 教学思考射线、直线和角的教学历来都存在以下问题：一是抽象性，由于生活中缺少知识的原型，对学生来说缺乏生活经验为支撑；二是理解难度大，从有限到无限，学生少有知识经验；三是内容呈散点状，这节课教学的知识点很多，如果不去建立知识结构，学生将很难理解知识的本质．基于“童心数学”思想的教学设计，试图解决这些问题，具体体现是：首先通过情境创设，让儿童在操作中感受无限延长，并在情境中自然地实现知识的“再创造”，体现了游戏性．其次，从线段的有限，到射线和直线的无限，再到直线的方向变化产生角，整个过程自然流淌，体现了教学的流变性．再次，本课的设计抓住线的变化，把前后知识建构了一个整体，体现了教学内容的整体性．参考文献：［１］边亚华．童心与儿童教育［Ｄ］．南京师范大学，２００７：７．［２］刘向辉．儿童的意义世界及其特征与价值［Ｊ］．学前教育研究，２０１７：１２．［３］杜威．民主主义与教育［Ｍ］．王承绪等译．北京：教育科学出版，２０１５：２１９．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中“平面向量”的教学探讨
作者：公序波
来源：《外语学法教法研究》2014年第10期
【摘要】“平面向量”是高中数学重要内容之一。
该内容的引入既丰富了高中数学的内容，又体现了向量作为数学工具的重要性。
通过利用向量去解决一些实际问题，深化了数学知识间的关联性和系统性，为更好地学好高中数学奠定了良好的基础。
向量的基础知识较多，且与其他很多部分知识都有联系，如向量与函数的联系、向量与三角函数的联系、向量与立体几何的联系、向量与解析几何的联系等。
【关键词】高中数学 ;平面向量 ;关联
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）10-0103-01
人教版高中第四册第二章“平面向量”是高中数学重要内容之一。
该内容的引入既丰富了高中数学的内容，又体现了向量作为数学工具的重要性。
通过利用向量去解决一些实际问题，深化了数学知识间的关联性和系统性，为更好地学好高中数学奠定了良好的基础。
向量的基础知识较多，且与其他很多部分知识都有联系，如向量与函数的联系、向量与三角函数的联系、向量与立体几何的联系、向量与解析几何的联系等。
因此，有必要加强对向量这一章节的进一步研究和总结。
一、从运算的角度来讲，向量可分为三种运算
（1）几何运算。
本章教材给出了三角形法则，平行四边形法则，多边形法则。
利用这些法则，可以很好地解决向量中的几何运算问题，从中去体会数形结合的数学思想。
（2）代数运算。
①加法、减法的运算法则;②实数与向量乘法法则;③向量数量积运算法则。
（3）坐标运算。
在直角坐标系中，向量的坐标运算有加、减、数乘运算、数量积运算。
通过向量的坐标运算将向量的几何运算与代数运算有机结合起来，充分体现了解析几何的思想，让学生初步利用“解析法”来解决实际问题，也为以后学习解析几何及立体几何相关知识打下了基础，作好了铺垫。
二、教学内容、要求、重点与难点
1.本章教学内容可分成两块：第一向量及其运算，第二解斜三角形
（1）平面向量基本知识，向量运算。
具体教学内容有：向量（2.1节）、向量的加法与减法（2.2节）、实数与向量的积（2.4节）。
（2）平面向量的坐标运算，联结几何运算与数量运算的桥梁。
具体教学内容有：平面向量的坐标表示（2.3节），向量加减运算、实数与向量的积运算、平面向量的数量积的坐标表示（2.4节）。
（3）平面向量的应用，具体教学内容有：线段的定比分点，平移，正弦定理，余弦定理，解斜三角形应用举例。
2.教学要求
（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
（2）掌握向量的加法和减法。
（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
（6）掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用;掌握平移公式。
（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
（8）通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
3.教学重点
向量的几何表示，向量的加、减运算及实数与向量的积的运算，平面向量的数量积，向量的坐标运算，向量垂直的条件，平面两点间的距离公式及线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，正、余弦定理。
4.教学难点
向量的概念，向量运算法则及几何意义的理解和应用，解斜三角形等。
三、本章的特点
教材编排的特点决定了在教学中处理本章时，有别于其它章节。
（1）教材在本章处理上，充分体现了数形结合的思想。
教材通过求小船由a地到b地的位移来引入向量，根据学生思维特点，由具体到抽象，以平面几何知识为背景。
在概念、法则及例题的编辑上都尽量配了图形，并安排了较多的作图练习、看图练习及作图验证练习等，为学生积极参与教学活动提供了条件，为发挥学生学习的主体作用提供了条件，这样既抓住了平面向量的特点，又使学生通过操作性练习达到对新概念的理解。
（2）利用“向量法”解决实际问题是本章的显著特点之一。
向量与几何之间存在着密切联系;向量又有加、减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能联系几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法;向量法能将技巧性解题化成算法性解题，正、余弦定理的推导就采用了向量法，为以后学习解析几何与立体几何打下了基础。
（3）强化数学能力是本章的另一显著特点。
由于本章的向量法的精髓就是将技巧性解题思路化成算法性解题思路;利用所学知识解决实际问题的能力作为本章的重要教学要求;为了更好地培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作能力，教材还安排了“复习参考题”，使学生能运用正、余弦定理来解决实际问题，既体现了数学的工具作用和应用性，又从另一个方面促进了学生对知识的理解与掌握。
四、教学体会
依据教学内容、要求及本章的特点，根据学生认知水平和近几年的教学实践，对“平面向量”教学有如下的教学体会：
（1）认真研究《考试大纲》及教学要求和目标，分析本章节特点，根据学生原有知识结构对学习本章可能会产生的正负迁移作用，有针对性地设计教学计划，组织教学过程，做好学法指导。
（2）在教学中重基础知识，重基本方法，重基本技能，重教材，重应用，重工具作用，不拔高，不选偏题和难题，遵循学生认知规律和按大纲要求进行。
（3）抓住向量的数形结合和具有几何与代数的双重属性的特点，提高“向量法”的运用能力，充分发挥工具作用。
在教学中引导学生理解向量怎样用有向线段来表示，掌握向量的三种运算，理解向量运算和实数运算的联系和区别，强化本章基础。
（4）利用解三角形的应用问题，结合教学过程进行数学建模的训练，要引导学生识记、区分和理解正、余弦定理的应用范围，会对公式进行变形;在运用公式解三角形时，会分类讨论三角形类型;指导学生在解三角形时掌握正、余弦定理的选用与寻找合理、简捷的运算途径的关系，总结出解与三角形有关的应用问题。
（5）强化数形结合的思想，化归的思想，分类与讨论的思想，方程的思想等;加强学生运算能力的培养和提高。
引导学生理解本章平移知识与函数图像平移的联系和区别;理解解三角形与三角函数的联系;注意区分两向量的夹角与直线的夹角概念。