04 第四节第一类曲面积分

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《高等数学教学课件》第四节第一型曲面积分15页PPT

第一类(对面积)曲面积分的性质
类似于第一类曲的线性积 ,质第分一类曲面积分也有：
1 .线性 ,2 .有性限 ,3 .单质可 ,4 .调中加性值 .5 .性 d 定 S 的理 .面
6 .若的面 (x ,y ,密 z )则 ,( 1 ) 度的 . 为质 m ( 量 x ,y ,z ) d为 .S
3
3
D xy :0x 1 ,0y 1 x .d S1zx 2z2 ydx d 1 y 1 1 dx d 3 dyx ,
xyz dS3
x(y1xy)dxdy31dx 1xx(1 yxy)d y 00
4
Dxy
30 1d0 1 x x[x (1 x )yx2]y d y30 1[1 2x (1x)y21 3x3] y 1 0 xd x
二、第一(对类面积 )曲面积分的计算法
定理、设(1)函 . f数 (x,y,z)在光滑上曲连 ; 面续
(2)曲 . 面可以表 :zz示 (x,y)为 (,x,y)D ,
则 f(x,y,z)dS f[x,y,z(x,y)]1zx 2(x,y)z2 y(x,y)dx.
D
同理可得:若可以表:示 x为 x(y,z),(y,z)D
d S1zx 2z2 ydx d 1 y 1 1 dx d 3 dyx . dy
(x 2 y 2 z2 )d S 23 4 (a x y )2 dx dy
D
2 3 0 a 4 d 0 a x ( x a x y ) 2 d 2 y 3 ( 4 1 3 ) 0 a [ a ( x y ) 3 ] a 0 x d x
a2h2 rdr 2a a2h2 rdr
0 a2r2

第一类曲面积分

第四节第一类曲面积分内容分布图示★ 引例曲面状物质的质量 ★ 第一类曲面积分的概念 ★ 第一类曲面积分的计算★ 例1★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 例6★ 例7★ 例8 ★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题10-4 ★ 返回讲解注意：一、第一类曲面积分的概念与性质定义1 设曲面∑是光滑的, 函数),,(z y x f 在∑上有界, 把∑任意分成n 小块i S ∆(i S ∆同时也表示第i 小块曲面的面积),在i S ∆上任取一点),,,(i i i ζηξ作乘积),,2,1(),,(n i S f ii i i =∆⋅ζηξ并作和,),,(1∑=∆⋅ni i i i i S f ζηξ 如果当各小块曲面的直径的最大值0→λ时, 这和式的极限存在,则称此极限值为),,(z y x f 在∑上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为∑⎰⎰=→∑∆=ni ii i i S f dS z y x f 1),,(lim),,(ζηξλ (4.2)其中),,(z y x f 称为被积函数，∑称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法.),(),(1)],(,,[),,(22⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f (4.3)例题选讲：对面积的曲面积分的计算法例1 计算曲面积分,⎰⎰∑zdS 其中∑是球面2222a z y x =++被平面)0(a h h z <<=截出的顶部.例2（讲义例1）计算,)(⎰⎰∑++dS z y x 其中∑为平面5=+z y 被柱面2522=+y x 所截得的部分(图10-4-3).例3（讲义例2）计算,⎰⎰∑xyzdS 其中∑是由平面0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围四面体的整个边界曲面(图10-4-3).例4 计算,dS xyz ⎰⎰∑其中∑为抛物面).10(22≤≤+=z y x z例 5 计算,⎰⎰∑xdS 其中∑是圆柱面,122=+y x 平面2+=x z 及0=z 所围成的空间立体的表面.例6（讲义例3）计算 ,)(222⎰⎰∑++dS z y x∑为内接于球面2222a z y x =++的八面体a z y x =++||||||表面.例7（讲义例4）求球面2222a z y x =++含在圆柱体ax y x =+22内部的那部分面积. 例8（讲义例5）设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为36000=h km ，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径6400=R km).课堂练习1.在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中, 有因子,122y x z z ++试说明这个因子的几何意义. 2.计算,)1(2⎰⎰∑++y x dS 其中∑为平面1=++z y x 及三个坐标面所围成的四面体的表面.3. 求半径为a 的球的表面积.。

第一型曲面积分

一、有向曲面及曲面元素的投影二、第二型曲面积分的概念与性质三、第二型曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系
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一、有向曲面及曲面元素的投影
• 曲面分类双侧曲面单侧曲面
曲面分内侧和外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和右侧
曲面分上侧和下侧
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思考: 思考若 ∑ 是球面出的上下两部分, 则被平行平面 z =±h 截
z
0
)
dS ∫∫Σ z = (
Σ
h
y
dS a ∫∫Σ z = ( 4 π a ln h )
x
−h
Σ
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例2. 计算
其中∑ 是由平面
z
1
与
坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 Σ1, Σ2, Σ3, Σ4 分别表示∑ 在平面上的部分, 则原式 = ∫∫ +∫∫
i=1
∑[
+ Q(ξi ,ηi ,ζ i )(∆Si )zx
n
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积分, 或第二类曲面积分. 记作
∫∫Σ Pdy d z + Qd z d x + Rdxdy
积分曲面. 积分曲面 P, Q, R 叫做被积函数 Σ 叫做积分曲面被积函数; 被积函数
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λ→0i=1
n
+ R(ξi ,ηi ,ζi ) cosγ i ] ∆Si
= lim ∑
λ→0
i=1
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4.4第一型曲面积分

例2计算∫∫ xyzdS , ∑ 如图示为封闭曲面.
∑
解 : ∑ = ∑1 + ∑ 2 + ∑ 3 + ∑ 4 其中 ∑1 , ∑ 2 , ∑ 3 为三个坐标面, ∑4 : x + y + z = 1
x + y + z =1
在 ∑1 , ∑ 2 , ∑ 3 三个坐标面上, 被积函数f ( x, y, z ) = 0 ∴ ∫∫ xyzdS = ∫∫ xyzdS
1. 若面Σ: 曲
z = z(x, y)
D 为在 y平上投 , Σ xO 面的影 xy 函 z(x, y)在 xy上连的导 . 数 D 有续偏数
z
z = f (x, y)
S
o
Dxy
y
x
z
dσ dS = cos γ = 1 + z ′ + z ′y dσ x
2 2
z = f (x, y)
2
故
∫∫ ( x + y + z )ds
Σ
= 2 ∫∫ (5 + x)dxdy
Dxy
= 2 ∫∫ ( x + y + 5 − y )dxdy
D xy
= 2 ∫ dθ∫ (5 + r cos θ)rdr = 125 2π.
0 0
2π
5
例4
计算 ∫∫ | xyz | dS ,
Σ
2 2
其中 Σ 为抛物面 z = x + y （ 0 ≤ z ≤ 1 ）.
2 2
或 = ∫∫ f [ x( y, z ), y, z ] 1 + x′y + x′ dydz. z

第四节对面的曲面积分(第一类曲面积分)

第四节对面积的曲面积分(第一类曲面积分)曲面积分有两种一种是对坐标的曲面积分，一种是对面积的曲面积分．一对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的基本概念与性质设有一曲面型构件∑的物体，在点(,,)x y z 处的密度为()z y x f ,,，求此物体的质量．求解的方法是, 将曲面∑分为若干个小块i ∆∑(1,2,i n =L )，其面积分别记为i S ∆(1,2,i n =L )，在小块曲面i ∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若密度函数()z y x f ,,是连续变化的则可以用点()i i i M ςηξ,,处的密度近似小块i S ∆上的密度．于是小块i ∆∑的质量为()i i i f ςηξ,,i S ∆，将所有这样的小块的面积加起来，就是物体的质量的近似值．即()∑=∆≈ni i i i i S f m 1,,ςηξ当n 个小的曲面的直径的最大值0→λ时，上面的式子右端的极限值如果存在，则将此极限值定义为曲面的质量．即()∑=→∆=ni i i i i S f m 1,,lim ςηξλ．总之, 以上解决问题的方法就是: 先把它分成一些小片,估计每一小片上的质量并相加,最后取极限以获得精确值. 这同积分思想相一致. 为此我们定义对面积的曲面积分．定义13.3 设函数()z y x f ,,是定义在光滑曲面(或分片光滑曲面)∑上的有界函数．将曲面分为若干个小块i ∆∑(1,2,,i n =L )，其面积分别记为()n i S i ,...,2,1=∆，在小块曲面i ∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若极限()∑=→∆ni i i i i S f 1,,lim ςηξλ存在，则称此极限值为函数()z y x f ,,在曲面∑上对面积的曲面积分(或称第一类曲面积分)．记为()⎰⎰∑ds z y x f ,,．即()⎰⎰∑ds z y x f ,,=()∑=→∆ni iiiiS f 1,,lim ςηξλ．其中λ表示所有小曲面i ∆∑的最大直径, ()z y x f ,,称为被积函数, ∑称为积分曲面．对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分具有相似的性质．如1) ()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑±=±ds z y x g ds z y x f ds z y x g z y x f ,,,,,,,,；2) ()()⎰⎰⎰⎰∑∑=ds z y x f k ds z y x kf ,,,,；3)()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+=2121,,,,,,ds z y x f ds z y x f ds z y x f ．二对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的计算设积分曲面由单值函数()y x z z ,=确定，曲面在坐标面xoy 上的投影为xy D ，函数()y x z z ,=在xy D 具有连续偏导数（即曲面∑是光滑曲面）．按照对面积的曲面积分的定义有()()iiiini S f dS z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1．设对曲面∑的第i 块i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()i σ∆，则i S ∆可以表示为下面的二重积分：()()()⎰⎰∆++=∆idxdy z y x f z y x f S y x i σ,,,,122有二重积分的中值定理有()()i i i i y i i i xi z z S σςηξςηξ∆++=∆,,,,122其中()i i i ςηξ,,是小曲面i S ∆上的任意一点，()i i ηξ,为()i σ∆内任意一点，所以()()i i i ni f dS z y x f ςηξλ,,lim ,,1∑⎰⎰=→∑=()()i i i i y i i i xz z σςηξςηξ∆++,,,,122 注意到()i i i z ηξς,=，从而得到二重积分的计算公式()()()()()⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y xdxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f ,,1,,,,,22．这个公式是很容易理解和记忆的，因为曲面∑的方程是()y x z z ,=，曲面的面积元素为dxdy z z dS y x 221++=，曲面在坐标面XOY 上的投影是xy D ，于是对面积的曲面积分就化为二重积分了．将这个过程简单归纳如下：1) 用y x ,的函数()y x z z ,=代替z ； 2) 用dxdy z z y x 221++换dS ；3) 将曲面投影到坐标面XOY 上得到投影xy D ．简单地说就是“一代二换三投影”．例13.16 计算曲面积分dSz∑⎰⎰，其中曲面∑是由平面()ahhz<<=0截球面2222azyx=++的顶部．图13-16解：曲面∑的方程为222yxaz--=，它在坐标面xoy上的投影为圆形的闭区域：2222hayx-≤+．222221yxaazzyx--=++，所以dSz∑⎰⎰＝222xyDdxdya x y--⎰⎰利用极坐标计算上面的积分，得到()222222222002212ln2ln2xya hDa hdS ardrd ardrddz a r a raa a r ahπθθθππ-∑-==--⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.17计算曲面积分()⎰⎰∑++21yxdS，其中曲面∑是由平面1=++zyx以及三个坐标面所围成的四面体的表面．图13-17解：如上图，曲面∑由曲面4321,,,∑∑∑∑组成，其中4321,,,∑∑∑∑分别是平面1=++z y x ，0,0,0===z y x 上的部分．()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑212ln 31311021021xy x dydx y x dS；()()2ln 1111021022-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zy dydz y x dS；()()2ln 1111021023-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zx dxdz y x dS；()()212ln 11102124-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑xy x dydx y x dS．所以()()()()2ln 13233212ln 3212ln 2ln 12ln 112-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=++⎰⎰∑y x dS习题13.41. 计算()x y z dS ∑++⎰⎰. 其中∑为上半球面222z a x y =--. 2. 计算||I xyz dS ∑=⎰⎰. 其中∑为曲面22z x y =+介于二平面0,1z z ==之间的部分. 3. 计算22()x y dS ∑+⎰⎰. 其中∑是锥面22z x y =+及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面. 4. 求抛物面壳221()2z x y =+(01)z ≤≤的质量, 此壳的面密度的大小为z ρ=.5. 求面密度为0ρ的均匀半球壳2222x y z a ++=(0)z ≥对于z 轴的转动惯量. 6. 计算21(1)dS x y ∑++⎰⎰Ò. 其中∑为四面体1x y z ++≤, 0x ≥, 0y ≥及0z ≥的边界面.参考答案1. 3a π2.3.4.21)15π 5. 4043a πρ6.1)ln 2+. 第五节对坐标的曲面积分一对坐标的曲面积分的概念和性质为了讨论对坐标的曲面积分，首先要对曲面作一些说明． 1. 曲面的侧在曲面∑上的任意一点P 处作曲面的法线向量，有两个方向，取定其中的一个方向，当点P 在曲面上不越过边界连续运动时，法线向量也随着连续变动，这种连续变动又回到P 时，法线向量总是不改变方向，则称曲面∑是双侧的，否则，称曲面是单侧的．如著名的M o bius 带就是单侧曲面.今后我们只讨论曲面是双侧的. 例如曲面()y x z z ,=，如果z 轴的正方向是竖直向上的，则有上侧和下侧．又如空间中的闭曲面有内侧和外侧之分．我们可以通过曲面上的法向量的指定来确定曲面的侧．例如对于曲面()y x z z ,=，若取定的法向量是朝上的，那么实际上就是取定曲面为上侧；对于封闭曲面，若取定的法向量是由内指向外的，则取定的曲面是外侧．选定了曲面的侧的曲面称为有向曲面． 2. 流向曲面一侧的流量设稳定的不可压缩的液体以速度()()()k z y x R j z y x Q i z y x P v ,,,,,,++=流向有向曲面∑，求液体在单位时刻内流过曲面指定侧的流量．其中函数()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,都是曲面∑上的连续函数．如果流体流过平面上的一个面积为A 的闭区域，且流体在闭区域上各点处的流速为常向量v r，又设是该平面上的单位法向量，那么在单位时间内流过这个闭区域的流体组成一个底面积为A ，斜高为||v 的斜柱体，其体积即流量为A v A V ⋅==θcos这就是通过闭区域A 流向n 所指的一侧的流量．对于一般的曲面∑，我们可以将它划分为若干个小块i ∆∑，在∑是光滑的和v r是连续的前提下，只要i ∆∑的直径很小，我们就可以用i ∆∑上任意一点()i i i ςηξ,,处的流速()()()()R Q P v i i i i i i i i i i i i i ςηξςηξςηξςηξ,,,,,,,,++==近似替代i ∆∑上各点处的流速，以此点处的曲面∑的单位法向量k j i n i i i γβαcos cos cos ++=代替i ∆∑上各点处的单位向量，从而得到通过i ∆∑流向指定侧的流量的近似值为i i i S n v ∆⋅()n i ,...,2,1=，（i S ∆为i ∆∑的面积）于是通过曲面∑指定侧的流量近似地为()()()ii i i i ni ii i i i i i i ini i i S R Q P S n v ∆++=∆⋅≈Φ∑∑==]cos ,,cos ,,cos ,,[11γςηξβςηξαςηξ注意到()yz i i i S S ∆=∆αcos ；()zx i i i S S ∆=∆βcos ；()xy i i i S S ∆=∆λcos ．因此上式可以写为()()()()()()],,,,,,[1xy i i i i ni xz i i i i yz i i i i S R S Q S P ∆+∆+∆=Φ∑=ςηξςηξςηξ当所有小块的直径的最大值0→λ时，上面和的极限就是流量Φ的精确值．在实际问题中还有很多的类似的极限，由此我们可以得到对坐标的曲面积分的定义． 3. 对坐标的曲面积分的定义定义13.4 设∑是逐片光滑的有向曲面，函数()z y x R ,,在曲面∑上有界，将∑划分为若干个小块i ∆∑，i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()xy i S ∆，取i ∆∑中的任意一点(,,)i i i ξηζ，若各个小块的直径的最大值0λ→时，极限()()∑=→∆ni xy i i i i S R 1,,lim ςηξλ存在，称此极限为函数()z y x R ,,在曲面∑上对坐标y x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）．记为()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，即()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,＝()()∑=→∆ni xyi iiiS R 1,,lim ςηξλ．类似地，可以定义函数()z y x P ,,在曲面∑上对坐标z y ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dydz z y x P ,,，以及函数()z y x Q ,,在曲面∑上对坐标z x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,如下：()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＝()()∑=→∆ni yziiiiS P 10,,lim ςηξλ；()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＝()()∑=→∆ni zxi iiiS Q 1,,lim ςηξλ．在应用中通常是上面三种积分的和，即()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＋()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＋()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，简记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,．如果∑是有向封闭曲面，通常记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,，并规定取曲面的外侧．4.性质1) 对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分具有类似的性质:()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+++++=++1221.,,,,,,Pdxdy Qdxdz Pdydz Pdxdy Qdxdz Pdydz dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P2) 设∑时有向曲面,∑-表示与∑取相反侧的曲面,则有()()()()()()⎰⎰⎰⎰∑∑-++-=++dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,,,,,,,二对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)的计算方法下面以计算曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,为例来说明如何计算对坐标的曲面积分.取曲面∑的上侧,且曲面由方程()y x z z ,=给出,那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为锐角，曲面∑的面积元素dS 在坐标面xoy 上的投影dxdy 为正值．若xy D 为曲面∑在坐标面xoy 上的投影区域．由对坐标的曲面积分的定义()()()xy i iiini S R dxdy z y x R ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1可以得到()()()⎰⎰⎰⎰=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．如果积分曲面取∑的下侧，那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为钝角，所以曲面∑在坐标面xoy 上的投影dxdy 为负值，从而有()()()⎰⎰⎰⎰-=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．类似地，如曲面∑由方程()z y x x ,=给出，则有()()(),,,,,yzD P x y z dzdy P x y z y z dzdy ∑=±⎰⎰⎰⎰；等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z y x x ,=所给出的曲面的前侧，则取正号；如果是后侧，则取负号．如曲面∑由方程()z x y y ,=给出，则有()()()⎰⎰⎰⎰±=∑xzD dzdx z z x y x P dxdz z y x Q ,,,,,．等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z x y y ,=所给出的曲面的右侧，则取正号；如果是左侧，则取负号．对于曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,的计算，我们可以简单的归纳出如下的计算步骤：a) 用y x ,的函数()y x z z ,=来代替z ； b) 将曲面∑投影到坐标面xoy 上，得到xy D ；c) 对曲面∑定向从而确定符号，上侧取正号，下侧取负号．简称为“一代二投三定向”，将曲面积分化为二重积分计算．例13.18 计算曲面积分⎰⎰∑++zdxdyydzdx xdydz ，其中∑是半球面1222=++z y x ，0≥z 的上侧．解：球面上点()z y x ,,处的单位法线向量为},,{z y x =，速度},,{z y x =，所以()222{,,}{,,}2xdydz ydzdx zdxdy x y z x y z dSx y z dS π∑∑∑++=⋅=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.19 计算曲面积分⎰⎰∑xyzdxdy ，其中∑是球面1222=++z y x外侧在0,0≥≥y x 的部分．解：将曲面∑分为21,∑∑两部分，1∑的方程为2211y x z ---=；2∑的方程为2221y x z --=．2xyD xyzdxdy ∑=⎰⎰⎰⎰(1xy xyD D xyzdxdy xy dxdy∑=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以15212sin 21cos sin 212102320222=-=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑dr r r d rdrd r r r dxdy y x xy xyzdxdy xyxyD D πθθθθθ习题13.51. 计算2xz dydz ∑⎰⎰. 其中∑是上半球面z =. 2. 计算zdxdy xdydz ydzdx ∑++⎰⎰. 其中∑为柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截部分的外侧. 3. 计算2(1)()z x y dxdy ∑++⎰⎰. 其中∑为半球面2221xy z ++=(0)y ≥朝y 轴正向的一侧.4. 求矢量场F xyi yz j xzk =++u r r r r 穿过在第一卦限中的球面2221x y z ++=外侧的通量.5. 计算22x y zdxdy ∑⎰⎰. 其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.参考答案 1. 5215R π 2. 6π 3. 415π 4. 316π 5.72105R π 第六节两类曲面积分之间的联系设有向曲面∑有方程()y x z z ,=给出，∑在坐标面xoy 上地投影区域为xy D ，函数()y x z z ,=在区域xy D 上具有连续的一阶偏导数，()z y x R ,,是曲面∑上的连续函数。

第一型曲面积分的计算方法

第一型曲面积分的计算方法嘿，咱今儿就来聊聊这第一型曲面积分的计算方法哈！你说这玩意儿，就像是个调皮的小精灵，得好好捉摸才能搞定它呢！咱先来说说这第一型曲面积分到底是啥呀？其实啊，它就是在曲面上计算某种量的积分。

就好像你要在一个弯弯曲曲的表面上算算有多少东西在那呢。

那怎么算呢？这可有不少门道呢！首先呢，你得把那曲面给表示出来，这就跟给小精灵画个画像似的，得画得清楚明白。

然后呢，根据具体的情况，选择合适的方法。

比如说，要是那曲面比较规则，咱就可以用投影的方法呀。

就好比把那曲面的影子投到一个平面上，在平面上算积分，这多巧妙呀！你想想，这不就像你把一个立体的东西压扁了在平面上看一样嘛。

还有啊，有时候可以利用对称性来简化计算呢。

这就好比你有一堆东西，两边对称，那你只算一边不就完事儿了嘛，多省事儿呀！再比如说，遇到那种特别复杂的曲面，咱就得动点小脑筋，把它分成几块来算，一块一块地啃下来，这就跟吃一个大蛋糕，一口一口地吃是一个道理嘛。

哎呀，这计算第一型曲面积分啊，真的是既有趣又有挑战性。

你得像个探险家似的，在那一堆公式和概念里找线索，找方法。

有时候可能会遇到难题，就像在森林里迷路了一样，但别着急呀，慢慢摸索，总会找到出路的。

而且呀，这第一型曲面积分在好多领域都有用呢！比如物理学呀，工程学呀，那可都少不了它呢！你想想，要是没有它，那些复杂的物理现象和工程问题咋解决呀？总之呢，这第一型曲面积分的计算方法就像是一把钥匙，能打开好多知识的大门。

咱可得好好掌握它，让它为咱服务呀！可别小瞧了它，它的用处大着呢！你要是学会了，那可就牛啦！就像掌握了一门绝世武功一样，能在知识的江湖里闯荡一番呢！怎么样，是不是觉得很有意思呀？赶紧去试试吧！。

曲线积分与曲面积分-第一类曲面积分

D yz = {( y , z ) y ≤ R, 0 ≤ z ≤ H }.
o
x
Σ1 R y
dS dS = 2 I = ∫∫ 2 ∫∫ R2 + z 2 2 R +z Σ1 Σ
2 d S = 1 + x 2 + xz d y d z y
= 1+ ( = R
y R y
2 2 2
)2 + 0 d y d z
Σ
Σ1 Σ2
(3) 对称性：
对面积的曲面积分
∫∫ f ( x , y , z ) d S，
Σ
对称性的利用类似于三重积分 .
如：若 f ( x , y , z ) 在 Σ 上连续， Σ 关于 yoz 面对称，则 f ( x, y, z) = f ( x, y, z) 0, ∫∫ f ( x, y, z)d S = 2∫∫ f ( x, y, z)d S, f ( x, y, z) = f ( x, y, z) Σ
dS , 其中 ∑是介于平面 I = ∫∫ 2 2 2 x + y +z Σ
Σ = Σ1 + Σ 2
2 2
z = 0 , z = H 之间的圆柱面 x 2 + y 2 = R 2 .
解 (方法1)
Σ1 : x =
z
H
Σ2
R y ,
( y , z ) ∈ D yz
( y , z ) ∈ D yz
Σ 2 : x = R2 y 2 ,
∫∫ f ( x , y )dσ
D Ω
I是空间闭区域Ω→∫∫∫ f ( x , y , z )dv I是曲线 Γ → I是曲线 Σ →
∫ f ( x , y, z )ds

第一类曲面积分计算公式

第一类曲面积分计算公式
和参考文献
第一类曲面积分概念是对曲面在三维空间中面积（面积）或曲面曲线（线长）的计算。

由此可以看出，它是计算曲面表面形面积和曲线长度的有效工具。

第一类曲面积分是一类数学积分，它用数学的方法计算了2函数的综合，称为曲面积分。

在开展第一类曲面积分研究时，首先要确定一般正则曲面（一般曲面是构成合法曲线曲面的一类曲面）上待求性质的积分公式：$$\iint_D f(x,y)dS$$，其中$D$为曲面面积，f(x,y)为空间上可积函数；该曲面积分表示在曲面$D$上积分$f(x,y)$的空间积分。

它可用向量积分来表示，故它在三维空间中可以被看做某种形式的空间积分的运算。

大多数和空间有关的问题，可以用第一类曲面积分来解决，比如电磁学中电场强度的计算。

第一类曲面积分也能够计算消光系数，有助于计算物理中受力的方向及强度，是研究几何体内部压力的重要工具。

它可以用来计算力学力学，重力力学内部的力，从而为飞行器的飞行性能提供参考。

第一类曲面积分具有它强大的计算能力，数学推导复杂，但利用今天的计算机计算，可以让结果更加接近精准的值，这给了科学家们更加精准和便捷的理论模型来进行计算和研究。

综上所述，第一类曲面积分在许多科学领域中都有重要作用，其广泛运用已经为科学家和工程师提供了有力的帮助。

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第四节第一类曲面积分
分布图示
★ 引例曲面状物质的质量 ★ 第一类曲面积分的概念 ★ 第一类曲面积分的计算
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 例7
★ 例8
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题10-4 ★ 返回
内容要点
一、第一类曲面积分的概念与性质
定义1 设曲面∑是光滑的, 函数),,(z y x f 在∑上有界, 把∑任意分成n 小块i S ∆(i S ∆同时也表示第i 小块曲面的面积),在i S ∆上任取一点),,,(i i i ζηξ作乘积
),,2,1(),,(n i S f i i i i =∆⋅ζηξ
并作和,),,(1
∑=∆⋅n
i i i i i S f ζηξ 如果当各小块曲面的直径的最大值0→λ时, 这和式的极限存在,
则称此极限值为),,(z y x f 在∑上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为
∑⎰⎰=→∑
∆=n
i i i i i S f dS z y x f 1
),,(lim ),,(ζηξλ (4.2) 其中),,(z y x f 称为被积函数，∑称为积分曲面.
二、对面积的曲面积分的计算法
.),(),(1)]
,(,,[),,(22⎰⎰⎰⎰++=∑
xy
D y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f (4.3)
例题选讲
对面积的曲面积分的计算法
例 1 计算曲面积分,⎰⎰∑
z dS 其中∑是球面2
222a z y x =++被平面)0(a h h z <<=截出的顶部.
解 ∑的方程为.222y x a z --=
∑在xOy 面上的投影区域:xy D {}
.),(2222h a y x y x -≤+
又,12
2
2
22
y
x a a z z y x --=
++利用极坐标
故有
⎰⎰
⎰⎰
-=∑
xy
D r a adxdy z dS 22 2
20
202
22
2r
a rdr d a r a ardrd h a D
xy
-=-=⎰
⎰
⎰⎰
-θ
θ
π
2
2022)(212h a r a In a -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=π
.2h a
aIn π=
例2 (E01) 计算,)(⎰⎰∑
++dS z y x 其中∑为平面5=+z y 被柱面252
2=+y x 所截得的部分.
解积分曲面
∑-=,5:y z 其投影域},25),({2
2≤+=y x y x D xy
,2)1(01122
2dxdy dxdy dxdy z z dS y x =-++=++=
故
⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=-++=
++∑
xy
xy
D D dxdy x dxdy y y x dS z y x )5(2)5(2)(
.2125)cos 5(25
20
πθθπ=+=⎰⎰rdr r d
例3 (E02) 计算
,⎰⎰∑
xyzdS 其中∑是由平面0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围四面
体的整个边界曲面(见图10-4-4).
解记边界曲面∑在0,0,0===z y x 及1=++z y x 上的部分依次为321∑∑∑，，及
，4∑则有
.2
341xyzdS xyzdS ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
∑∑∑
∑∑
注意到在321,,∑∑∑上，被积函数,0),,(==xyz z y x f 故上式右端前三项积分等于零. 在4∑上，,1y x z --=所以
,3)1()1(112222=-+-+=++y x z z
从而
⎰⎰⎰⎰∑∑
=4
xyzdS xyzdS ⎰⎰
--=xy
D dxdy y x xy ,)1(3其中xy D 是4∑在xOy 面上的投影区域.
=⎰⎰
∑
xyzdS ⎰
⎰---=x
dy y x y xdx 10
10
)1(3
dx y y x x x
-⎰
⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡--=101
03232)1(3
dx x x ⎰
-⋅=1
036
)1(3
.120
3)33(6
3431
2=
-+-=
⎰
dx x x x x
例4 计算
,dS xyz ⎰⎰∑
其中∑
为抛物面).10(22≤≤+=z y x z
解根据抛物面22y x z +=对称性,及函数||xyz 关于yOz xOz 、坐标面对称,有
dxdy y x y x xy xyzdS dS xyz xy D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰'+++=∑=∑2
222)2()2(1)(441
⎰⎰⎰⎰+=+⋅=20
1
251
2
2
2
20
412sin 241sin cos 4π
πdr r r tdt rdr r r
t t r dt
.420151254141512
-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎰du u u
例 5 计算
,⎰⎰∑
xdS 其中∑
是圆柱面,122=+y x 平面2+=x z 及0=z 所围成的空间
立体的表面.
解
，
＝⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰∑+
∑+
∑∑
3
2
1
∑∑
1
2
，在xOy 面上得投影域.1:2
2
≤+y x D xy
于是
⎰⎰⎰⎰∑==1
,0xy
D xdxdy xdS ⎰⎰⎰⎰∑=+=2
,011xy
D dxdy x
xdS
将
)1:,(31
32
2
3
∑∑
∑-±=x y 投影到zOx 面上，得投影域 .10,11:+≤≤≤≤-x y x D xy
dxdz y y x xdS xdS xdS zx D z x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=∑+∑=∑2
21232
313
,121122
112
22π=-=-+=⎰
⎰⎰⎰+-x D dz x x
dxdz x x x xz
所以
.00ππ=++=∑
⎰⎰xdS
例6 计算
,)(222
⎰⎰∑
++dS z y x
∑为内接于球面2222a z y x =++的八面体
a z y x =++||||||表面.
解被积函数222),,(z y x z y x f ++=关于三个坐标面和原点均对称.积分曲面∑也具有对称性,故原积分
⎰⎰⎰⎰∑
∑=1
,8
其中),0,,(:1>=++∑z y x a z y x 1∑在xOy 面上的投影为,0:a x D xy ≤≤,0x a y -≤≤而
,y x a z --=所以
.3122
dxdy dxdy z z dS y x =++=
dS z y x
dS z y x
⎰⎰⎰⎰∑∑
++=++1
)(8
)(222
222
dxdy y x a y x
xy
D 3])([8
222
⎰⎰--++=
dy y x a y x dx
x
a a ⎰
⎰---++=0
2220
3])([8.324a =
例7 (E03) 求球面2222a z y x =++含在圆柱体ax y x =+22内部的那部分面积. 解如图10-4-5所示，根据对称性知，所求曲面面积A 是第一卦限上面积1A 的4倍.
1A 的投影区域),0,(:22≥≤+y x ax y x D xy
曲面方程,222y x a z --=
故
,12
2222y
x a a z z y x --=
++
所以 ⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰-=--=++=20
cos 0
2
2
2
2
2
22
4414
π
θ
θa D D y
x
r
a rdr d a y
x a adxdy dxdy z z A xy
xy
.42)1(sin 42220
2a a d a -=-=⎰πθθπ
例8 设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为36000=h km ，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径6400=R km).
解取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为z 轴，建立如图坐标系.卫星覆盖的曲面
∑
是上半球面倍半顶角为α的圆锥面所截得的部分.
∑
的方程为
,222y x R z --=
它在xOy 面上的投影区域
.sin :2222αR y x D xy ≤+
于是通讯卫星的覆盖面积为
).cos 1(22απ-=R A
将h R R +=
αcos 代入上式得 .2122
2h R h R h R R R A +⋅=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=ππ 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为
%.5.4242
≈R
A
π 由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔32π角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面.
课堂练习
求半径为a 的球的表面积.。