第一类曲面积分 (2)
第一类面积分和方向
第一类面积分和方向
第一类曲面积分和第二类积分区别是：1、积分对象不同：前者对曲面积分，后者对坐标积分；2、积分顺序不同：前者有顺序，后者没有；3、积分意义不同：前者有几何意义和物理意义，后者只有物理意义；4、积分方向不同：前者积分有方向，而后者没有。
1、积分对象不同
第一类曲面分数物理意义源于对取值密度函数的空间曲面，排序该曲面的质量；
第二类曲线积分是对坐标（有向弧长在坐标轴的投影）积分，对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素。
2、分数顺序相同
第一类曲面积分——有积分顺序，积分下限永远小于上限；
第二类曲线分数——没分数顺序，分数上上限可以倒转。
3、积分意义不同
第一类曲面分数——存有几何意义和物理意义；
第二类曲线积分——只有物理意义。
4、分数方向不同
第一类曲面积分——积分没有方向；
第二类曲线分数——存有分数方向。
第一型曲面积分的计算方法
第一型曲面积分的计算方法嘿，咱今儿就来聊聊这第一型曲面积分的计算方法哈！你说这玩意儿，就像是个调皮的小精灵，得好好捉摸才能搞定它呢！咱先来说说这第一型曲面积分到底是啥呀？其实啊，它就是在曲面上计算某种量的积分。
就好像你要在一个弯弯曲曲的表面上算算有多少东西在那呢。
那怎么算呢？这可有不少门道呢！首先呢，你得把那曲面给表示出来，这就跟给小精灵画个画像似的，得画得清楚明白。
然后呢，根据具体的情况，选择合适的方法。
比如说，要是那曲面比较规则，咱就可以用投影的方法呀。
就好比把那曲面的影子投到一个平面上，在平面上算积分，这多巧妙呀！你想想，这不就像你把一个立体的东西压扁了在平面上看一样嘛。
还有啊，有时候可以利用对称性来简化计算呢。
这就好比你有一堆东西，两边对称，那你只算一边不就完事儿了嘛，多省事儿呀！再比如说，遇到那种特别复杂的曲面，咱就得动点小脑筋，把它分成几块来算，一块一块地啃下来，这就跟吃一个大蛋糕，一口一口地吃是一个道理嘛。
哎呀，这计算第一型曲面积分啊，真的是既有趣又有挑战性。
你得像个探险家似的，在那一堆公式和概念里找线索，找方法。
有时候可能会遇到难题，就像在森林里迷路了一样，但别着急呀，慢慢摸索，总会找到出路的。
而且呀，这第一型曲面积分在好多领域都有用呢！比如物理学呀，工程学呀，那可都少不了它呢！你想想，要是没有它，那些复杂的物理现象和工程问题咋解决呀？总之呢，这第一型曲面积分的计算方法就像是一把钥匙，能打开好多知识的大门。
咱可得好好掌握它，让它为咱服务呀！可别小瞧了它，它的用处大着呢！你要是学会了，那可就牛啦！就像掌握了一门绝世武功一样，能在知识的江湖里闯荡一番呢！怎么样，是不是觉得很有意思呀？赶紧去试试吧！。
微积分(二)_9 曲线积分和曲面积分：第一类曲线积分与第二类曲线积分_
第一类曲线积分的计算法22(,)[(),()]()()d Lf x y d l f x t y t x t y t tβα''=+⎰⎰二、第一类曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转化若L 为平面曲线，其参数方程为则曲线的弧微分求曲线积分且有一阶连续偏导数,(),()x t y t dl =22()()x t y t dt''+由第一类曲线积分的定义，导出如下的计算公式说明:上述定积分的积分下限必须为保证的非负性,dl 如果方程为极坐标形式:()(),L ρρθαθβ=≤≤则(,)d Lf x y l⎰(()cos ,()sin )f βαρθθρθθ=⎰22()()d ρθρθθ'+22(,)[(),()]()()d Lf x y d l f x t y t x t y t tβα''=+⎰⎰不小于积分上限.如果曲线L 的方程为则有(,)d Lf x y l ⎰21()d y x x'+(,())b af x y x =⎰若L 为空间曲线，其参数方程为:(),(),()L x x t y y t z z t ===此时，第一类曲线积分(,,)d Lf x y z l⎰222()()()d x t y t z t t '''++((),(),())f x t y t z t βα=⎰()t αβ≤≤且有一阶连续偏导数,(),(),()x t y t z t dl =222()()()x t y t z t dt'''++则曲线的弧微分若L 由一般方程给出12(,,)0(,,)0x y z x y z ϕϕ=⎧⎨=⎩(,)(,)z g x y z h x y =⎧⎨=⎩或计算曲线积分时，一般先把方程化为参数方程.参数可选为变量中的任意一个.,,x y z例1.计算其中L 是抛物线与点B (1,1) 之间的一段弧.解:)10(:2≤≤=x x y L ⎰=1xxx xd 41102⎰+=1232)41(121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x )155(121-=上点O (0,0)1Lxy2xy =o )1,1(B例2. 计算曲线积分其中Γ为螺旋的一段弧.解:222()d x y z lΓ++⎰tt k a ka d ][2022222⎰++=π)43(3222222k a k a ππ++=线例3. 计算其中L 为双纽线)0()()(222222>-=+a y x a y x 解:在极坐标系下它在第一象限部分为1:cos 2(0)4L a πρθθ=≤≤利用对称性, 得42204cos ()()d πρθρθρθθ'=+⎰⎰=402d cos 4πθθa yoxθd d =s 例4. 计算其中Γ为球面22y x +解: , 11)(:24122121⎩⎨⎧=+=+-Γz x y x :Γ()πθ20≤≤2)sin 2(θ-2)sin 2(θ+2092d 2I πθ∴=⋅⎰θd 2=θcos 221-=z .1的交线与平面=+z x 292=+z 化为参数方程21cos 2+=θx sin 2θ=y 则18π=。
第一型曲面积分计算公式推导[001]
![第一型曲面积分计算公式推导[001]](https://img.taocdn.com/s3/m/b1fb0e475bcfa1c7aa00b52acfc789eb172d9ebf.png)
第一型曲面积分计算公式推导在计算曲面积分之前，我们需要先了解曲面积分的基本概念和计算方法。
曲面积分是数学中的一个重要概念，用于求解曲面上的某个物理量的总量或平均值。
它与曲线积分有一定相似之处，但由于曲面具有二维特性，因此其计算方法相对复杂一些。
首先，我们来考虑一个简单的曲面S，它可以用一对参数u和v的函数表示，即S：(x(u,v), y(u,v), z(u,v))。
这样的曲面可以是平面、球面、圆柱面等等。
为了方便计算，我们通常会将曲面S分割成无限小的面元，每个面元的面积可以表示为dS。
现在，我们需要计算曲面上的某个物理量F的总量或平均值。
物理量F可以是一个标量函数，也可以是一个矢量函数。
我们记物理量F 在曲面S上的取值为F(x,y,z)或F(xi,yi,zi)，其中(xi,yi,zi)是曲面上任意一点的坐标。
那么曲面S上物理量F的总量就可以表示为曲面积分：∬S F(x,y,z) dS 或∬S F(xi,yi,zi) dS接下来，我们需要推导出曲面积分的计算公式。
根据曲面积分的定义，我们可以将曲面上的物理量F表示为F在参数域上的函数：F(x(u,v), y(u,v), z(u,v))现在，我们来计算dS。
根据多元微积分的知识，我们可以得知，如果曲面S是光滑的且方向一致，那么dS可以表示为参数域上两个参数u和v之间的偏导数的叉乘的模：dS = |∂(x,y)/∂(u,v)| du dv其中|∂(x,y)/∂(u,v)|表示偏导数的叉乘的模。
将dS带入曲面积分的公式中，可以得到：∬S F(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) |∂(x,y)/∂(u,v)| du dv这就是曲面积分的计算公式。
需要注意的是，在实际计算中，我们通常会将曲面S分割成一系列小面元，然后对每个小面元进行计算，再将计算结果进行累加。
这样的方法被称为面积分的分区法。
在进行具体的计算时，我们需要确定参数u和v的范围，以及函数F在参数域上的表示形式。
第二章第二节第一型曲面积分doc
第18 章 曲面积分第二节 第一类型曲面积分1、 第一类型曲面积分的定义问题：设∑是3R 中一张有面积的曲面，∑上按面密度)(p ρρ=分布着某种物质，问如何求出分布在∑上物质的总质量？沿用以前用过的作法，将∑分成若干小块n S S S ,,,21 ，并在每一小块i S 上任意取定一点i p ，这时小块i S 上的质量)()(i i i S p m σρ≈，n i ,,2,1 =。
于是曲面片∑上的质量就近似地等于)()(1i ini S pσρ∑= 。
当我们把曲面片∑无限细分时，上面的和式的极限就可以定义为展布在曲面片∑上物质的质量M ，即)()(lim1i ini S pM σρ∑==。
以上的实例引导出下面的第一类型曲面积分的定义。
定义18.2 设∑是3R 中一张可求面积的曲面片，f 是定义在∑上的函数,分割T 把∑分成若干更小的曲面片n S S S ,,,21 。
定义分割T 的宽度为},,2,1,max{||||n i diamS T i ==，在每一小片i S 上任意取定一点i p ，如果和数)()(1i i ni S p f σ∑=当0||||→T 时有有限的极限，并且其极限值不依赖于分割及点ip 在iS上的选择，那么称这个极限值为函数f 沿曲面∑的第一型曲面积分，记作σd f ⎰∑，或dSf ⎰⎰∑。
2、 第一类型曲面积分的计算公式由曲面面积元素的表达式dudv r r d v u ||||⨯=σ，或从定义出发，求出右端的极限，便可得出第一型曲面积分的计算公式：（1） 设正则曲面∑有参数向量方程)),(),,(),,((),(v u z v u y v u x v u r r ==，∆∈),(v u ，f 是定义在∑上的连续函数，则σd f ⎰∑dudvr r v u z v u y v u x f v u ||||)),(),,(),,((⨯=⎰⎰∆dudvF EG v u z v u y v u x f ⎰⎰∆-=2)),(),,(),,((；（2） 当曲面∑是由显式D y x y x z ∈=),(),,(ϕ表达时，其中D 是有面积的平面区域，)(1D C ∈ϕ，f 是定义在∑上的连续函数，则有σd f ⎰∑dxdyzx y x y x f D⎰⎰∂∂+∂∂+=22)()(1)),(,,(ϕϕϕ。
第一类曲面积分
z
1
xyz dxdy xyz dxdy xyz dxdy
S
S1上 侧
S2下 侧
S1 o
1
1y
xy 1 x2 y2 dxdy
x S2
Dxy
xy ( 1 x2 y2 )dxdy
Dxy
2 xy( 1 x2 y2 ) dxdy 2 r 2 sin cos 1 r 2 r drd
Dxy
:
0
2
,
0 r 1.
Dxy
2 xy( 1 x2 y2 ) dxdy 2 r 2 sin cos 1 r 2 r drd
Dxy
Dxy
1
2
sin 2 d
1
r
1 r2 dr
2.
20
0
15
18
第18页，本讲稿共29页
例3 计 算x2 d yd zy2 d x d zz2 d x d y， 其 中 S是 长 方 体
19
第19页，本讲稿共29页
S1 : x 0 后侧 , S2 : y 0 左侧 , S3 : z 0 下侧, S4 : x a 前侧 ,
z
c
S1
S6
S5 : y b 右侧, S6 : z c 上侧 , S2
x2dydz y2dxdz z2dxdy
o S4
S
x2dydz
y2dxdz z2dxdy ,
S5
by
20
第20页，本讲稿共29页
x2dydz x2dydz x2dydz
S
S1后 侧
S4前 侧
z
c
S1
S6
02dydz a2dydz a2bc ;
Dyz
一类曲面积分
一类曲面积分曲面积分是对曲面上的某个量进行求和的一种数学运算。
一类曲面积分指的是对于某个向量场在曲面上的积分。
一类曲面积分的计算可以通过参数化曲面来进行。
设曲面为S，其参数化表示为r(u,v)=(x(u,v), y(u,v), z(u,v))，其中u和v是曲面上的参数。
向量场F=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))定义在曲面S上，则曲面积分的计算公式为：∬S F·n dS = ∬D F(r(u,v))·(ru×rv) dudv其中，D是参数域，ru=(∂x/∂u, ∂y/∂u, ∂z/∂u)和rv=(∂x/∂v, ∂y/∂v, ∂z/∂v)分别是曲面上两个方向的偏导向量，n=ru×rv是曲面上的法向量，dS=||ru×rv|| dudv是曲面元素的面积。
计算一类曲面积分的步骤如下：1. 确定曲面的参数化表示：找到合适的参数u和v，将曲面表示为r(u,v)=(x(u,v), y(u,v), z(u,v))。
2. 计算偏导向量：分别计算ru=(∂x/∂u, ∂y/∂u, ∂z/∂u)和rv=(∂x/∂v, ∂y/∂v, ∂z/∂v)。
3. 计算法向量：计算曲面上的法向量n=ru×rv。
4. 确定参数域：确定参数域D，并确定对应的积分范围。
5. 计算曲面积分：根据公式∬S F·n dS = ∬DF(r(u,v))·(ru×rv) dudv，将F(r(u,v))·(ru×rv)带入并进行积分运算。
需要注意的是，一类曲面积分的计算比较繁琐，需要对参数域进行适当选择，同时也需要具备一定的积分计算技巧。
因此，在具体计算时可能需要借助数值计算方法或符号计算软件进行辅助。
大学高数第二册公式整理
dy
hx
g
xdx
最后得 Hx Gx c
dy Pxy 0
（2）一阶线性齐次微分方程： dx y ce Pxdx
dy Pxy Qx
（3）一阶线性非齐次微分方程： dx
y
ce
P
x
d
x
Qxe Pxdxdx c
（4）齐次微分方程：代换法：如果 dy y ，则令 y u
dx x
x
求
z
的一阶偏导
f x x0 , f y x0 ,
y0 y0
0 0
f xx x0 , y0 A
令
z
的二阶偏导
f xy x0 ,
y0
B
f
yy
x0
,
y0
C
①当 AC B2 0 时，且 A 0 时，有极大值； A 0 时，极小值
②当 AC B2 0时，无极值
③当 AC B2 0时，无法判定
1. 方向导数与梯度
方向导数： f f cos f cos
l x
y
cos,cos 是l的方向余弦
梯
度
：
g r a d fx,
y
f x
,
f y
2.（1）曲线的切线与法平面
x xt
设曲
线方程：
y
yt
z zt
则切线方程：
x x0
x`t0
y y0
y`t0
z z0
z`t0
法平面方程： x`t0 x x0 y`t0 y y0 z`t0 z z0 0
（2）曲面的切平面与法线
设曲线方程为： Fx, y, z 0
则切线方程：
x x0
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i 1
的最大值 0时, 这和式的极限存在, 则
对面积的曲面积分
n
称 f (i ,i , i ) Si 极限为函数 f ( x, y, z)在
i 1
在曲面上对面积的曲面积分 或
第一类曲面积分.记为 f ( x, y, z)dS. 即
n
f ( x, y, z)dS
lim
0
i 1
f (i ,i , i )Si
1. 定义
设曲面Σ是光滑的, ①
O
函数 f(x,(y,
x
iz))xy在• Σ上Dxy(
i
,
i
,
)
y
有界. 把Σ 任意分成n小块 Si(Si同时也表示
任第n 意i f小取(块定i ,曲的i ,面点i的),作面S乘i积,④积)如,②果f设(当i点,各(i小,i ,i块)i,曲Sii面③),为并的作直Si上和径
O
故 ( x y z)dS
x
y
2 ( x y 5 y)dxdy
Dxy
的二 2 (5 x)dxdy
对重 称积
Dxy
性分 2 5dxdy 125 2
Dxy
对面积的曲面积分
补充
设分片光滑的 曲面Σ关于yOz面对称,则
f ( x, y, z)dS
0,
当f ( x, y, z)为 x的奇函数
A 1 dS
1
z
2 x
z
2 y
d
D
对面积的曲面积分
三、对面积的曲面积分的计算法
思想是: 化为二重积分计算.
按照曲面的不同情况分为以下三种：
(1) 若曲面 : z z( x, y)
则 f ( x, y, z)dS
f [x, y, z(x, y)]
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
Dxy
(2) 若曲面 : y y( x, z)
O
x
y
2
D
对面积的曲面积分
3 : x2 y2 1 将投影域选在 xOz面上 z
注 y 1 x2 分成左、右两片
(左右两片投影相同)
xdS xdS xdS
对
3
31
称 2 xdS 2 x
性
31
Dxz
32
1 dxdz 1 x2
2 1
x
dx
x2
dz
1 1 x2 0
O
x
y
dS
1 yx2 yz2dxdz 1 dxdz
1 x2 z z x2
xdS 0 0
1 O 1
x
对面积的曲面积分
计算 ( x3 x2 y z)dS, 其中Σ为球面
z a2 x2 y2 之位于平面 z h(0 h a)
上方的部分.
解 曲面Σ的方程
zΣ
z a2 x2 y2 Σ在xOy面上的投影域
Dxy : x2 y2 a2 h2
O
x
y
Dxy : x2 y2 a2 h2
对面积的曲面积分
z a2 x2 y2
因曲面Σ关于yOz面及xOz面对称;
则 f ( x, y, z)dS
f [x, y(x, z) , z]
1
y
2 x
yz2 dxdz
Dxz
(3)若曲面 ：x x( y, z)
则 f ( x, y, z)dS
f [ x( y, z) , y, z]
1
x
2 y
xz2dydz
D yz
对面积的曲面积分
对面积的曲面积分时,首先应根据
曲面Σ选好投影面, 确定投影域并写出 曲面Σ的方程, 然后算出曲面面积元素;
最后将曲面方程代入被积函数, 化为二 重积分进行计算.
例 计算 ( x y z)dS,其中为平面y z 5 被柱面 x2 y2 25 所截得的部分. z
解 曲面 : z 5 y
投影域: Dxy {(x, y) | x2 y2 25}
z
z
z
O
x
y
O
x
y
O
x
y
对面积的曲面积分
例 计算 xdS, 其中是圆柱面x2 y2 1,
平面 z
x
2及z
0
所围成的空间立体的表面.
解
1
2
3Leabharlann z0 z x2x2 y2 1
投影域 D : x2 y2 1
z
对 xdS xdxdy 0
称 1
D
性
xdS x 1 1dxdy 0
O
x
y
有 4 成立 1为第一卦限部分曲面.
1
对面积的曲面积分
积分曲面 : z x2 y2 (0 z 1)
投影域：Dxy {(x, y) | x2 y2 1, x 0, y 0}
| xyz | dS 4 xyz dS dS 1 (2x)2 (2 y)2dxdy
1
4 xy ( x2 y2 ) 1 (2x)2 (2 y)2dxdy
Dxy
4 2 d
1r2 cos sin r2
1 4r2 r dr
极 坐 标
0
0
2
2 sin 2d
1r5
1 4r2 dr
0
0
u
1 5 u(u 1)2du 125 5 1
41
4
420
对面积的曲面积分
例 计算 xdS, 其中是圆柱面x2 y2 1,
平面 z x 2及z 0 所围成的空间立体的表面.
2
f
( x,
y,
z )dS .
当f ( x, y, z)为 x的偶函数
1
其中 1 : x x( y, z) 0.
对面积的曲面积分
例 计算| xyz | dS, 其中为抛物面z x2 y2(0 z 1).
解 依对称性知
抛物面 z x2 y2
z
关于xOz面、yOz面均对称；
被积函数 | xyz | 关于y、x为偶函数.
以dS为代表,取 ( x, y, z)有切dS平,则面,且当点在
dS的质量为: M dM曲面上( x连, y续, z)移dS动时,
切平面也连续转动. 第二步: 求和取极限
M ( x, y, z)dS
对面积的曲面积分
z : z z(x, y)
Si •
二、对面积的曲面积分的定义
(i ,i , i )
第一类曲面积分
第四节 对面积的曲面积分
surface integral
概念的引入 对面积的曲面积分的定义 对面积的曲面积分的计算法
对面积的曲面积分
一、概念的引入
实例 若曲面是光滑的, 它的面密度为连续函数 ( x, y, z),求它的质量.
解 第一步: 将Σ分为许多即极曲其面所微上谓小各曲的点面子处光域都滑,
积分曲面 被积函数 曲面元素
如曲面是 闭曲面,则积分号写成
2. 对面积的曲面积分的性质
若 可分为分片光滑的曲面1及 2 , 则
f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS
1
2
3. 对面积的曲面积分的几何意义
当f ( x, y, z) 1时，空间曲面Σ的面积: