备战2017广东天河地区高考高三数学一轮复习试题精选不等式02.doc

不等式02
10. “0x >”是“1
2x x
+
≥”的 (A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】当0x >时，12x x +
≥=。

若因为1,x x 同号，所以若1
2x x +≥，则
10,0x x >>，所以0x >是1
2x x
+≥成立的充要条件，选C.
11.已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么2
2
a b +的取值范围是（ ） （A ）416(,)55（B ）4(,16)5（C ）(1,16)（D ）16
(,4)5
【答案】B
【解析】原不等式组等价为2224a b
a b <+⎧⎨+<⎩
，做出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，
22a b +表示区域内的动点(,)P a b 到原点距离的平方，由图象可知当P 在D 点时，22
a b +最大，此时222
416a b +==，原点到直线220a b +-=的距离最小，即
d =
=
所以22245a b d +==，即22a b +的取值范围是22
4165a b <+<，
选B.
12.设曲线220x y -=与抛物线2
4y x =-的准线围成的三角形区域（包含边界）为D ，
),(y x P 为D 内的一个动点，则目标函数52+-=y x z 的最大值为（ ） A ．4 B ．5 C ．8 D ．12
【答案】C
【解析】由220x y -=得曲线为y x =±.抛物线的准线为1x =，所以它们围成的三角形区
域为三角形BOC .由52+-=y x z 得11(5)22y x z =+-，作直线1
2
y x =，平移直线12y x =，当直线11(5)22y x z =+-经过点C 时，直线11
(5)22
y x z =+-的截距最小，此
时z 最大.由1
x y x
=⎧⎨
=-⎩得1,1x y ==-，即(1,1)C -，代入52+-=y x z 得8z =，选
C.
13.已知x y 、满足5030x y x x y -+≥⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
，则24z x y =+的最小值为( )
A. 5
B. -5 C . 6 D. -6
【答案】D
【解析】做出可行域如图：由24z x y =+，得124
z
y x =-
+，平移直线，由图象可知当直线124z y x =-
+经过点C 时，直线124
z
y x =-+的截距最小，此时z 最小。

C 点坐标为(3,3)-，代入24z x y =+得234(3)6z =⨯+⨯-=-，选D.
14.若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是( ) A.
245 B. 285
C. 5
D. 6 【答案】C
【解析】由35x y xy +=，可得
35x y xy xy +=，即135y x +=，所以13
155y x
+=。

则1394312131312
34(34)()5
555555555
x y
x y x y y x y x
+=++=+++
≥
=+=，选C.
15.已知正实数,x y 满足3x y x y ++=，若对任意满足条件的,x y ，都有
2
()()10
x y a x y +-++≥恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】37
(,
]6
-∞ 【解析】要使2
()()10x y a x y +-++≥恒成立，则有2
()1()x y a x y ++≥+，即
1
()a x y x y
≤++
+恒成立。

由3x y xy ++=得23()2x y x y xy +++=≤，即2()4()120x y x y +-+-≥解得6x y +≥或2x y +≤-（舍去）设t x y =+，则6t ≥，函数11
()y x y t x y t
=++
=++，在6t ≥时，单调递增，所以1y t t =+的最小值为
137666+
=，所以376a ≤，即实数a 的取值范围是37
(,]6
-∞。

16.若关于x ，y 的不等式组0,
, 10x y x kx y ⎧⎪
⎨⎪-+⎩
………（k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个
直角三角形，则k = .
【答案】1-或
【解析】先做出不等式0
x y x
⎧⎨
⎩……对应的区域，阴影部分。

因为直线10kx y -+=过定点(0,1)，
且不等式10kx y -+≥表示的区域在直线10kx y -+=的下方，所以要使所表示的平面区域是直角三角形，所以有0k =或直线10kx y -+=与y x =垂直，所以1k =-，综上0k =或1k =-。

17.某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价%p ,第二次提价%q ；方
案乙：每次都提价%2
p q
+，若0p q >>，则提价多的方案是 . 【答案】乙
【解析】设原价为1，则提价后的价格:方案甲：(1%)(1%)p q ++,乙：2
(1%)2
p q ++，因
为
1%1%1%222p q p q
++++=+，因为0p q >>，所
以1%2p q ++，即2
(1%)(1%)(1%)2p q p q +++<+，所以提价多的
方案是乙。

18.已知点(2,)P t 在不等式组40,
30x y x y --≤⎧⎨+-≤⎩
表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线
34100x y ++=距离的最大值为____________．
【答案】4
【解析】因为点(2,)P t 可行域内，所以做出可行域，由图象可知当当点P 位于直线
30x y +-=时，即(2,1)P ，此时点
P 到直线的距离最大
为
20
45
d =
=
=。

19.已知0,(,20x x y y x
k x y k ≥⎧⎪
≤⎨⎪++≤⎩
满足为常数）若y x z 3+=的最大值为8，则k=_____ 【答案】6-
【解析】做出0x y x ≥⎧⎨
≤⎩
的图象。

因为y x z 3+=的最大值为8，所以此时38x y +=，说明此
时直线经过区域内截距做大的点，
，即直线20x y k ++=也经
过点B 。

由38y x x y =⎧⎨+=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，即(2,2)B ，代入直线20x y k ++=得，6k =-。

20.已知,x y 满足约束条件24,
2400x y x y x y +≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥≥⎩，，则z x y =+的最大值为 ．
【答案】8
3
【解析】作出不等式组对应的可行域
，由z x y =+得
y x z =-+，平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点B 时，直线
y x z =-+的截距最大，此时z 最大。

由24,24x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得434
3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即44(,)33B ，代入
z x y =+得448
333
z =
+=。

21.若10x +>，则1
1
x x ++的最小值为 ． 【答案】1 【解析】由111111x x x x +
=++-++得，因为10x +>，所以101
x >+，根据均值定理
得11111111x x x x +
=++-≥=++，当且仅当1
11x x +=+，即2(1)1x +=，即11,0x x +==时取等号，所以1
1
x x +
+的最小值为1. 22.设二次函数2
()4()f x ax x c x R =-+∈的值域为[0,)+∞，则1919
c a +++的最大值为 【答案】
6
5
【解析】因为二次函数的值域为[0,)+∞，所以有0a >，且
2
4404ac a
-=，即4ac =，所以4c a =，所以1919
1991c a a a
+=+
++++22221836133651336
1336a a a a a a a a a +++++==++++
2
556
111361336513a a a a a =+
=+≤+=++++，当且仅当36a a =，即236,6
a a ==时取等号，所以最小值无6
5。

23.已知函数21 (0)
() 1 (>0)
x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨-⎪⎩，则不等式()0f x <的解集为
【答案】(,1)-∞
【解析】若0x >，由()0f x <得2
10x -<，解得01x <<。

若0x ≤，由()0f x <得
10x -+<，解得0x ≤，综上不等式的解为1x <，即不等式的解集为(,1)-∞。