【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试 数学文试题
北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题
北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题一、选择题（共8小题；共40分）1. 设集合A=x 0<x<2，集合B=x log2x>0，则A∩B等于 ______A. x x<2B. x x>0C. x0<x<2D. x1<x<22. 已知i是虚数单位，若复数1+a i2+i是纯虚数，则实数a等于 ______A. 2B. 12C. −12D. −23. “ k=1”是“直线x−y+k=0与圆x2+y2=1相交”的______A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 执行如图所示的程序框图．若输入x=3，则输出k的值是 ______A. 3B. 4C. 5D. 65. 已知x>0，y>0，且2x+y=1，则xy的最大值是______A. 14B. 18C. 4D. 86. 已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为______A. 1B. 34C. 32D. 347. 已知函数f x=e x+a,x≤0,2x−1,x>0（a∈R），若函数f x在R上有两个零点，则a的取值范围是______A. −∞,−1B. −∞,0C. −1,0D. −1,08. 在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是______A. 124B. 112C. 16D. 12二、填空题（共6小题；共30分）9. 已知数列1，a，9是等比数列，数列1，b1，b2，9是等差数列，则 ab1+b2的值为______．10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2+c2−a2=bc，则A= ______．11. 若关于x，y的不等式组x+y−1≥0,x−1≤0,ax−y+1≥0（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为______．12. 已知双曲线中心在原点，一个焦点为F1 −5,0，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为0,2，则此双曲线的方程是______，离心率是______．13. 在直角三角形ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则CP⋅CB+CP⋅CA= ______．14. 将连续整数1，2，⋯，25填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为______，最大值为______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数f x=sin x2cos x2+cos2x2−1．（1）求函数f x的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数f x在π4,3π2上的最小值．16. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=2，E是棱CD上的一点．（1）求证：AD1⊥平面A1B1D；（2）求证：B1E⊥AD1；（3）若E是棱CD的中点，在棱AA1上是否存在点P，使得DP∥平面B1AE ?若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由．17. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（1）写出a，b，x，y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动．（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；（ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率．18. 已知函数f x=a x−1x−2ln x a∈R．（1）若a=2，求曲线y=f x在点1,f1处的切线方程；（2）求函数f x的单调区间．19. 已知直线l:x=my+1m∈R与椭圆C:x29+y2t=1t>0相交于E，F两点，与x轴相交于点B，且当m=0时， EF =83．（1）求椭圆C的方程；（2）设点A的坐标为−3,0，直线AE，AF与直线x=3分别交于M，N两点．试判断以MN 为直径的圆是否经过点B ?并请说明理由．20. 将正整数1，2，3，4，⋯，n2（n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a，b（a>b）的比值ab，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．（1）当n=2时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（2）若a ij表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（1≤i≤n，1≤j≤n），且满足a ij=i+j−i−1n,i<j,i+n−i+j−1n,i≥j,请分别写出n=3，4，5时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；（3）对于由正整数1，2，3，4，⋯，n2排成的n行n列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合n2−n+1,n2−n+2,⋯,n2，记其“特征值”为λ，求证：λ<n+1n.答案第一部分1. D2. A3. A4. C5. B6. B7. D8. A第二部分9. 31010. π311. 312. x2−y24=1；513. 414. 45；85第三部分15. （1）f x=sin x2cos x2+1+cos x2−1=12sin x+12cos x−12=22sin x+π4−12．所以函数f x的最小正周期为2π．由2kπ+π2≤x+π4≤2kπ+3π2，k∈Z，则2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4．则函数f x单调减区间是2kπ+π4,2kπ+5π4，k∈Z．（2）由π4≤x≤3π2，得π2≤x+π4≤7π4．则当x+π4=3π2，即x=5π4时，f x取得最小值−2+12．16. （1）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，因为A1B1⊥面A1D1DA，所以A1B1⊥AD1．在矩形A1D1DA中，因为AA1=AD=2，所以AD1⊥A1D．所以AD1⊥面A1B1D．（2）因为E∈CD，所以B1E⊂面A1B1CD，由（1）可知，AD1⊥面A1B1CD，所以B1E⊥AD1．（3）当点P是棱AA1的中点时，有DP∥平面B1AE．理由如下：在AB1上取中点M，连接PM,ME．P是棱AA1的中点，M是AB1的中点，所以PM∥A1B1，且PM=12A1B1．又DE∥A1B1，且DE=12A1B1．所以PM∥DE，且PM=DE，所以四边形PMED是平行四边形，所以DP∥ME．又DP⊄面B1AE，ME⊂面B1AE，所以DP∥平面B1AE．此时，AP=12A1A=1．17. （1）由题意可知，a=16，b=0.04，x=0.032，y=0.004．（2）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为A，B，C，D，第5组共有2人，记为X，Y．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有AB，AC，AD，BC，BD，CD，AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY共15种情况．设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E，有AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY共9种情况．所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P E=915=35．答：随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是35．（ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，XY共7种情况．所以P F=715．答：随机抽取的2名同学来自同一组的概率是715．18. （1）当a=2时，函数f x=2 x−1x −2ln x，f1=0，fʹx=21+1x2−2x．曲线y=f x在点1,f1处的切线的斜率为fʹ1=2．从而曲线y=f x在点1,f1处的切线方程为y−0=2x−1，即2x−y−2=0．（2）函数f x的定义域为0,+∞．fʹx=ax2−2x+ax2，设ℎx=ax2−2x+a，①当a≤0时，ℎx=ax2−2x+a<0在0,+∞上恒成立，则fʹx<0在0,+∞上恒成立，此时f x在0,+∞上单调递减．②当a>0时，Δ=4−4a2，（ⅰ）若0<a<1，由fʹx>0，即ℎx>0，得0<x<1− 1−a2a 或x>1+1−a2a；由fʹx<0，即ℎx<0，得1− 1−a2a <x<1+1−a2a．所以函数f x的单调递增区间为0,1− 1−a2a 和1+1−a2a,+∞ ，单调递减区间为1− 1−a2a ,1+1−a2a．（ⅱ）若a≥1，ℎx≥0在0,+∞上恒成立，则fʹx≥0在0,+∞上恒成立，此时f x在0,+∞上单调递增．19. （1） 当 m =0 时，直线 l 的方程为 x =1，设点 E 在 x 轴上方，由 x 29+y 2t =1,x =1解得 E 1,2 2t 3 ,F 1,−2 2t3 ．所以 EF =4 2t 3=83，解得 t =2．所以椭圆 C 的方程为x 29+y 22=1．（2） 由 x 29+y 22=1,x =my +1 得 2m 2+9 y 2+4my −16=0，显然 m ∈R ．设 E x 1,y 1 ，F x 2,y 2 ，则 y 1+y 2=−4m 2m +9，y 1y 2=−162m +9． x 1=my 1+1，x 2=my 2+1． 又直线 AE 的方程为 y =y 1x 1+3x +3 ，y =y 1x 1+3x +3 ,x =3,解得 M 3,6y 1x 1+3，同理得 N 3,6y 2x 2+3．因为 B 1,0 ，所以 BM = 2,6y 1x 1+3 ,BN = 2,6y 2x 2+3， 又因为BM ⋅BN= 2,6y 1x 1+3⋅ 2,6y 2x2+3=4+36y 1y 2x 1+3 x 2+3=4+36y 1y 2my 1+4 my 2+4=4 my 1+4 my 2+4 +36y 1y 2m 2y 1y 2+4m y 1+y 2 +16=−16 4m 2+36 −16×4m 2+16×4 2m 2+9 −32m 2+16 2m 2+9=−64m 2−576−64m 2+128m 2+5769=0.所以 BM ⊥BN，所以以 MN 为直径的圆过点 B ． 20. （1） 显然，交换任何两行或两列，特征值不变．可设 1 在第一行第一列，考虑与 1 同行或同列的两个数只有三种可能：2，3 或 2，4 或 3，4． 得到数表的不同特征值是 32或 43．（2） 当 n =3 时，数表为714582369此时，数表的“特征值”为 43． 当 n =4 时，数表为131********711153481216此时，数表的“特征值”为 54． 当 n =5 时，数表为21161116172227121318233891419244510152025此时，数表的“特征值”为65．猜想“特征值”为n+1n．（3）设a，b（a>b）为该行（或列）中最大的两个数，则λ≤ab ≤n2n−n+1，因为n 2n2−n+1−n+1n=n3−n3+1n n2−n+1=−1n n2−n+1<0，所以n 2n2−n+1<n+1n，从而λ<n+1n．。
2013年北京高考文数参考答案详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试北京（文数）参考答案一、选择题1．B 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．B1. 【答案】B.【解析】本题考查集合基本运算，So easy ，不好意思多解释。
如果选错，建议自裁。
2. 【答案】D.【解析】本题考查不等式的简单性质，可以根据不等式的关系，或者用代特值的方法搞定。
比如我们不妨设0,1,0=-==c b a ，分别代入四个选项，排除A 、B 、C,故选择D3. 【答案】C.【解析】本题考查奇偶性和单调性。
函数为偶函数，排除A 、B 、D,所以选择C 4. 【答案】A.【解析】本题考查简单的复数运算以及几何意义，i i i 21)2(+=-，选择A 5. 【答案】B.【解析】本题考查解三角形的正弦定理。
在ABC ∆中，5,3==b a ，31sin =A ，Bb A a sin sin =，代入即可。
6. 【答案】C.【解析】本题考查算法初步。
S=1，i=0;S=32,i=1,S=2113,i=2跳出循环。
7. 【答案】C.【解析】本题考查圆锥曲线的基本性质和常用逻辑用语的基本关系。
双曲线1,21,1,,1222222>>+==+===m m ac e m c m b a 解得8. 【答案】B.【解析】本题考查立体几何中的距离问题。
结合图形，分类讨论即可。
本题特点为麻烦而不困难，就不多解释了。
二、填空题9.【答案】=p 2；x=-1.【解析】本题考查抛物线的基本性质，px y 22=的焦点坐标为)0,1(，=p 2；准线方程为x=-1。
10.【答案】3.【解析】本题考查立体几何中的三视图求体积问题，其中最容易出问题的有两个地方：其一是看不出原几何体的形状，此题题干明确指出几何体为四棱锥，故不存在此问题；其二找不准边的关系，尤其是左视图的边的长度问题。
此题简单也无此陷阱，所以直接利用边长代入体积公式即可。
31333131=⨯⨯⨯==Sh V 11.【答案】2，122n +-【解析】本题考查等比数列的基础知识，可以利用方程思想将已知全部转化为首项和公比的关系，代入公式即可，不多解释了。
2013年北京市朝阳区高三一模数学文科含答案-(1)
2013年北京市朝阳区高三一模数学文科含答案-(1)北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（文史类） 2013.4（考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）i 为虚数单位，复数11i-的虚部是 A ．12B ．12-C ．1i 2- D . 1i 2 （2）若集合{}23M x x =-<<，{}121x N x +=≥，则M N =A. (3,)+∞B. (1,3)-C. [1,3)-D. (2,1]--（3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.若//AB OC，则实数m 的 值为A ．15B ．3-C ．35-D ．17- （4）已知命题p ：x ∀∈R ，210xx +->；命题q ：x ∃∈R ，sin cos 2x x +=则下列判断正确的是A ．p⌝是假命题 B ．q是假命题C ．p q ∨⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题 （5）若直线y x m =+与圆22420xy x +++=有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是A ．(22,22B ．()4,0-C ．(22,22--+D . ()0,4（6）“3m ≥”是“关于,x y 的不等式组0,20,10,0x x y x y x y m ≥⎧⎪-≤⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩表示的平面区域为三角形”的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件（7）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为原点的抛物线的标准方程是 .（10）执行如图所示的程序框图，输出结果S= .（11） 在等比数列{}na 中，32420aa a -=，则3a = ，若{}nb 为等差数列，且33ba =，则数列{}nb 的前5项和等于 .（12）在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边，且满足7sin b a B =，则sin A = ，若60B =，则sin C = .（13） 函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.若在区间[2,2]-上方程()0ax a f x +-=恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .（14）在平面直角坐标系xOy 中，点A 是半圆2240x x y -+=（2≤x ≤4）上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）已知函数231()sin sin 222x f x x ωω=-+（0ω>）的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的取值范围.（16） （本小题满分13分）国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：空气质量指数0-5051-100101-150151-200201-300300以上空气质量等级 1级优 2级良 3级轻度污染 4级中度污染 5级重度污染 6级严重污染由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用茎叶图表示如下：（Ⅰ）试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）试根据上面的统计数据，估计甲城市某一甲城2 4 57109 7 35 63 1 5 8 8乙天空气质量等级为2级良的概率；（Ⅲ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率． (注：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-= ，其中x 为数据nx x x ,,,21的平均数.)（17） （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD，且PA AC ⊥， 2PA AD ==．四边形ABCD 满足BCAD，AB AD⊥，1AB BC ==．E 为侧棱PB 的中点，F 为侧棱PC上的任意一点.（Ⅰ）若F 为PC 的中点，求证：EF 平面PAD ； （Ⅱ）求证：平面AFD ⊥平面PAB ；（Ⅲ）是否存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由．PDA BCFE（18） （本小题满分13分）已知函数2()(2)ln f x xa x a x=-++，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线的斜率为1，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.（19） （本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点(2,0)A ,离心率为32.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)B 且斜率为k （0k ≠）的直线l 与椭圆C相交于,E F 两点，直线AE ，AF 分别交直线3x = 于M ，N 两点,线段MN 的中点为P .记直线PB 的斜率为k '，求证: k k '⋅为定值.（20）（本小题满分13分）由1,2,3,4,5,6,7,8,9,10按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为1210(,,,)x x x τ=，设1011()|23|k k k S x x τ+==-∑，其中111xx =.（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值； （Ⅱ）求证：()55S τ≥； （Ⅲ）求()S τ的最大值.(注：对任意,a b ∈R ，a b a b a b-≤±≤+都成立.)北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类） 2013.4一、选择题：题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案A CB D D A D B 二、填空题： 题号 （9） （10） （11） （12） （13） （14） 答案28y x=202；1017；1314[)0,1 []5,5-（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）31cos 1()22x f x x ωω-=-+ ……………………………………………1分31cos 2x x ωω=+sin()6x ωπ=+. ……………………………………………………4分因为()f x 最小正周期为π，所以2ω= (5)分于是()sin(2)6f x x π=+. 由222262k x k ππππ-≤+≤π+，k ∈Z ，得36k x k πππ-≤≤π+. 所以()f x 的单调递增区间为[,36k k πππ-π+]，k ∈Z.……………………………8分 （Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈， …………………………………10分则1sin(2)126x π-≤+≤. …………………………………………………12分所以()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1,12-]. ………………………………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.……………3分（Ⅱ）根据上面的统计数据，可得在这五天，中甲城市空气质量等级为2级良的频率为35则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为3．………………6分,5（Ⅲ）设事件A：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为：（29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78）（53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78），（57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78），（75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78），（106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）.其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78. 则空气质量等级相同的为： （29，41），（29，43），（53，55），（53，58），（53，78）, （57，55），（57，58），（57，78）， （75，55），（75，58），（75，78）.共11个结果. 则11()25P A =. 所以这两个城市空气质量等级相同的概率为1125． …………………………………………………………………13分 （17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为,E F 分别为侧棱,PB PC 的中点，所以 EF BC ．因为BCAD，所以EF AD．而EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，PDA BCFE所以EF平面PAD． ……………………………………………………4分（Ⅱ）因为平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD 平面PAC AC =，且PA AC ⊥，PA ⊂平面PAC.所以PA ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD⊥．又因为AB AD ⊥，PA AB A=，所以AD ⊥平面PAB ，而AD ⊂平面AFD ，所以平面AFD ⊥平面PAB．……………………………………………………8分（Ⅲ）存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直.在棱PC 上显然存在点F ,使得AF PC ⊥. 由已知，AB AD ⊥，BCAD，1AB BC ==，2AD =．由平面几何知识可得 CD AC ⊥． 由（Ⅱ）知，PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥， 因为PAAC A=，所以CD ⊥平面PAC ． 而AF ⊂平面PAC ，所以CD AF ⊥． 又因为CDPC C=,所以AF ⊥平面PCD .在PAC ∆中，2,2,90PA AC PAC ==∠=︒，可求得，266,PC PF ==．可见直线AF 与平面PCD 能够垂直，此时线段PF 26．……………14分 （18）（本小题满分13分） 解：(Ⅰ)由2()(2)ln f x x a x a x=-++可知，函数定义域为{}0x x >，且()2(2)a f x x a x '=-++.由题意，(2)4(2)12a f a '=-++=， 解得2a =.……………………………………………………………………………4分（Ⅱ）(2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x--'=-++=(0)x >. 令()0f x '=，得11x =，22a x=.（1）当0a ≤时，02a≤，令()0f x '>，得1x >;令()0f x '<，得01x <<.则函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞. （2）当012a<<，即02a <<时，令()0f x '>，得02ax <<或1x >.则函数()f x 的单调递增区间为(0,)2a ，(1,)+∞.令()0f x '<，得12ax <<.则函数()f x 的单调递减区间为(,1)2a .（3）当12a =，即2a =时，()0f x '≥恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.（4）当12a >，即2a >时，令()0f x '>，得01x <<或2a x >，则函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(,)2a+∞. 令()0f x '<，得12a x <<.则函数()f x 的单调递减区间为(1,)2a . ……………………………………13分（19）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）依题得222,32.a b c c a a ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得24a=，21b=.所以椭圆C的方程为2214x y +=. …………………………………………………4分（Ⅱ）根据已知可设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=.设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++.直线AE，AF的方程分别为：1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---，令3x =，则1212(3,),(3,)22y y M N x x --,所以12121(3,())222y yP x x +--. 所以122112(1)(2)(1)(2)4(2)(2)k x x k x x k k k x x --+--'⋅=⨯-- 21212121223()442()4k x x x x x x x x -++=⨯-++ 2222222228824164414416164441k k k k k k k k k --+++=⨯--+++2241444k k -=⨯=-. ……………………………………………………14分（20）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）1011()|23|7654321012857k k k S x x τ+==-=+++++++++=∑.………3分（Ⅱ）证明：由a b a b +≥+及其推广可得，12231011()232323S x x x x x x τ=-+-++-121023112()3()x x x x x x ≥+++-+++=121010(110)552x x x ++++==.……………………………7分（Ⅲ）10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍共20个数如下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2,30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中最大数之和与最小数之和的差为20372131-=，所以()131Sτ≤，对于0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，0()131Sτ=，所以()Sτ的最大值为131. ……………………………………………………13分注：使得()Sτ取得最大值的有序数组中，只要保证数字1，2，3，4互不相邻，数字7，8，9，10也互不相邻，而数字5和6既不在7，8，9，10之一的后面，又不在1，2，3，4之一的前面都符合要求.。
北京市2013年朝阳区高三数学一模试题(文理科及详细答案)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试〔理工类〕2013.4〔考试时间120分钟 总分值150分〕本试卷分为选择题〔共40分〕和非选择题〔共110分〕两部分第一部分〔选择题 共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 〔1〕i 为虚数单位，复数11i-的虚部是 A ．12 B ．12- C ．1i 2- D . 1i 2〔2〕已知集合{}23M x x =-<<，{}lg(2)0N x x =+≥，则MN =A. (2,)-+∞B. (2,3)-C. (2,1]--D. [1,3)-〔3〕已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.假设//AB OC ，则实数m 的值为A ．3-B ．17-C ．35-D ．35〔4〕在极坐标系中，直线1cos 2ρθ=与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点, O 为极点，则AOB ∠的 大小为 A ．3π B ．2π C ．32π D ．65π 〔5〕在以下命题中，①“2απ=”是“sin 1α=”的充要条件； ②341()2x x+的展开式中的常数项为2；③设随机变量ξ～(0,1)N ,假设(1)P p ξ≥=，则1(10)2P p ξ-<<=-． 其中所有正确命题的序号是 A ．② B ．③ C ．②③ D ．①③〔6〕某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三 视图如下列图，则这个几何体的体积为A. 4B. 42C. 62D. 82222１１ １ 正视图侧视图俯视图〔7〕抛物线22y px =〔p ＞0〕的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为A.B. 1C. D. 2 〔8〕已知函数*()21,f x x x =+∈N .假设*0,x n ∃∈N ，使000()(1)()63f x f x f x n +++++=成立，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有 A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个第二部分〔非选择题 共110分〕答题卡上.〔9〕在等比数列{}n a 中，32420a a a -=，则3a = ，{}n b 为等差数列，且33b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 .〔10〕在ABC ∆中， a ，b ，c 分别为角A ， B ，C 所对的边.已知角A 为锐角，且3sin b a B =,则tan A = .〔11〕执行如下列图的程序框图，输出的结果S= .〔12〕如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点D .假设CD ， 2AB AC ==，则线段AD 的长是 ；圆O 的半径是 .〔13〕函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.假设在区间[2,3]-上方程2()0ax a f x +-=恰有D四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .〔14〕在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆2240x x y -+=〔2≤x ≤4〕上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 〔15〕〔本小题总分值13分〕已知函数21()sin 222x f x x ωω=-+〔0ω>〕的最小正周期为π. 〔Ⅰ〕求ω的值及函数()f x 的单调递增区间； 〔Ⅱ〕当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的取值范围. 〔16〕〔本小题总分值13分〕盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字1,01-，,2．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验〔设每次试验的结果互不影响〕．〔Ⅰ〕在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；〔Ⅱ〕在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；〔Ⅲ〕在两次试验中，记卡片上的数字分别为ξη，，试求随机变量X=ξη⋅的分布列与数学期望EX ．〔17〕〔本小题总分值14分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥， 2PA AD ==．四边形ABCD 满足BCAD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．点,E F 分别为侧棱,PB PC 上的点，且PE PFPB PCλ==． 〔Ⅰ〕求证：EF 平面PAD ；〔Ⅱ〕当12λ=时，求异面直线BF 与CD 所成角的余弦值； 〔Ⅲ〕是否存在实数λ，使得平面AFD ⊥平面PCD ？假设存在， 试求出λ的值；假设不存在，请说明理由．〔18〕〔本小题总分值13分〕已知函数2()(2)ln 22f x x a x a x a =-++++，其中2a ≤． 〔Ⅰ〕求函数()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕假设函数()f x 在(]0,2上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.PDABCFE〔19〕〔本小题总分值14分〕已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 过点(1,2,离心率为2，点A 为其右顶点.过点(10)B ，作直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于点M ，N .〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程； 〔Ⅱ〕求EM FN ⋅的取值范围. 〔20〕〔本小题总分值13分〕设1210(,,,)x x x τ=是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的任意一个全排列，定义1011()|23|k k k S x x τ+==-∑，其中111x x =.〔Ⅰ〕假设(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值； 〔Ⅱ〕求()S τ的最大值；〔Ⅲ〕求使()S τ到达最大值的所有排列τ的个数.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案〔理工类〕2013.4二、填空题：〔注：两空的填空，第一空3分，第二空2分〕 三、解答题：〔15〕〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕1cos 1()22x f x x ωω-=-+1cos 2x x ωω=+sin()6x ωπ=+. …………………………………………4分 因为()f x 最小正周期为π，所以2ω=. ………………………………6分 所以()sin(2)6f x x π=+. 由222262k x k ππππ-≤+≤π+，k ∈Z ，得36k x k πππ-≤≤π+. 所以函数()f x 的单调递增区间为[,36k k πππ-π+]，k ∈Z . ………………8分〔Ⅱ〕因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈， …………………………………10分 所以1sin(2)126x π-≤+≤. ………………………………………12分所以函数()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1,12-]. ……………………………13分〔16〕〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕设事件A ：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则 21()42P A ==． 答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12．…………………………3分 〔Ⅱ〕设事件B ：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．由〔Ⅰ〕可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12． 所以041344111111()1[()()()]222216P B C C =-⋅+⋅=． 答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为1116．……………7分 〔Ⅲ〕由题意可知，ξη，的可能取值为1,01-，,2，所以随机变量X 的可能取值为2,101,--，，,24．21(2)448P X=-==⨯； 21(1)448P X=-==⨯； 77(0)4416P X===⨯； 21(=1)448P X ==⨯； 21(=2)448P X ==⨯； 11(=4)4416P X ==⨯． 所以随机变量X 的分布列为所以1171111()2101881688164E X =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=24．……………………13分 〔17〕〔本小题总分值14分〕 证明：〔Ⅰ〕由已知，PE PFPB PCλ==， 所以 EF BC ． 因为BCAD ，所以EFAD ．而EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以EF平面PAD ． ……………………………………………………4分〔Ⅱ〕因为平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD平面PAC AC =，且PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥． 又因为AB AD ⊥，所以,,PA AB AD 两两垂直． ……………………………………………………5分 如下列图，建立空间直角坐标系， 因为1AB BC ==，2PA AD ==， 所以()()0,0,01,0,0,A B ,()()()1,1,0,0,2,0,0,0,2C D P ．当12λ=时，F 为PC 中点， 所以11(,,1)22F ,所以11(,,1),(1,1,0)22BF CD =-=-．设异面直线BF 与CD 所成的角为θ，所以11|(,,1)(1,1,0)|cos |cos ,|BF CD θ-⋅-=〈〉==，所以异面直线BF 与CD所成角的余弦值为3．…………………………………9分 〔Ⅲ〕设000(,,)F x y z ，则000(,,2),(1,1,2)PF x y z PC =-=-． 由已知PF PC λ=，所以000(,,2)(1,1,2)x y z λ-=-，所以000,,22.x y z λλλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 所以(,,22)AF λλλ=-．设平面AFD 的一个法向量为1111(,,)x y z =n ，因为()0,2,0AD =,所以110,0.AF AD n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111(22)0,20.x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩令1z λ=，得1(22,0,)λλn =-．设平面PCD 的一个法向量为2222(,,)x y z =n ，因为()()0,2,2,1,1,0PD CD =-=-,所以220,0.PD CD n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2222220,0. y z x y -=⎧⎨-+=⎩令21x =，则2(1,1,1)=n ．假设平面AFD ⊥平面PCD ，则120n n ⋅=，所以(22)0λλ-+=，解得23λ=． 所以当23λ=时，平面AFD ⊥平面PCD ．…………………………………………14分 〔18〕〔本小题总分值1 3分〕解：函数定义域为{}0x x >， 且(2)(1)()2(2).a x a x f x x a x x--'=-++=…………2分 ①当0a ≤，即02a≤时，令()0f x '<，得01x <<，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)， 令()0f x '>，得1x >，函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞.②当012a <<，即02a <<时，令()0f x '>，得02ax <<或1x >， 函数()f x 的单调递增区间为(0,)2a，(1,)+∞.令()0f x '<，得12a x <<，函数()f x 的单调递减区间为(,1)2a.③当12a=，即2a =时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. …7分(Ⅱ)①当0a ≤时，由(Ⅰ)可知，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，()f x 在(1,2]单调递增. 所以()f x 在(]0,2上的最小值为(1)1f a =+， 由于22422221121()2(1)10e e e e e e a a f =--+=--+>， 要使()f x 在(]0,2上有且只有一个零点，需满足(1)0f =或(1)0,(2)0,f f <⎧⎨<⎩解得1a =-或2ln 2a <-. ②当02a <≤时，由(Ⅰ)可知，〔ⅰ〕当2a =时，函数()f x 在(0,2]上单调递增；且48414(e )20,(2)22ln 20e ef f -=--<=+>，所以()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. 〔ⅱ〕当02a <<时，函数()f x 在(,1)2a上单调递减，在(1,2]上单调递增；又因为(1)10f a =+>，所以当(,2]2ax ∈时，总有()0f x >.因为22e12a aa +-<<+，所以22222222(e)e[e(2)](ln e22)0a a a a aaaaf a a a ++++----=-++++<.所以在区间(0,)2a 内必有零点.又因为()f x 在(0,)2a 内单调递增， 从而当02a <≤时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. 综上所述，02a <≤或2ln 2a <-或1a =-时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. …………………………………………………………………………………………13分 〔19〕〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，依题意得22222,21314a b c ca a b⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得24a =，21b =.所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ………………………………………………4分〔Ⅱ〕显然点(2,0)A.〔1〕当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，易得(1,22E F，(3,(3,)22M N-，所以1EM FN⋅=. …………………………………………6分〔2〕当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为(1)y k x=-，显然0k=时，不符合题意.由22(1),440y k xx y=-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k+-+-=.设1122(,),(,)E x yF x y,则22121222844,4141k kx x x xk k-+==++.直线AE，AF的方程分别为：1212(2),(2)22y yy x y xx x=-=---，令3x=，则1212(3,),(3,)22y yM Nx x--.所以1111(3)(3,)2y xEM xx-=--，2222(3)(3,)2y xFN xx-=--. ……………………10分所以11221212(3)(3)(3)(3)22y x y xEM FN x xx x--⋅=--+⋅--121212(3)(3)(1)(2)(2)y yx xx x=--+--2121212(1)(1)(3)(3)(1)(2)(2)x xx x kx x--=--+⋅--2121212121212()1[3()9][1]2()4x x x xx x x x kx x x x-++=-++⨯+⋅-++222222222222244814484141(39)(1)4484141244141k kk k k kkk kk kk k--+-++=-⋅+⋅+⋅-++-⋅+++22221653()(1)414k kk k+-=⋅++22216511164164k k k +==+++. ……………………………………………12分 因为20k >，所以21644k +>，所以22165511644k k +<<+，即5(1,)4EM FN ⋅∈. 综上所述，EM FN ⋅的取值范围是5[1,)4. ……………………………………14分 〔20〕〔本小题总分值13分〕 解：〔Ⅰ〕1011()|23|7654321012857kk k S xx τ+==-=+++++++++=∑. ……3分〔Ⅱ〕数10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍分别如下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2, 30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤. 对于排列0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，此时0()131S τ=，所以()S τ的最大值为131. ……………………………………………………………8分〔Ⅲ〕由于数1,2,3,4所产生的8个数都是较小的数，而数7,8,9,10所产生的8个数都是较大的数，所以使()S τ取最大值的排列中，必须保证数1,2,3,4互不相邻，数7,8,9,10也互不相邻；而数5和6既不能排在7,8,9,10之一的后面，又不能排在1,2,3,411x =，并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○其中2,3,4任意填入3个□中，有6种不同的填法；7,8,9,10任意填入4个圆圈○中，共有24种不同的填法；5填入4个△之一中，有4种不同的填法；6填入4个△中，且当与5在同一个△时，既可以在5之前又可在5之后，共有5种不同的填法，所以当11x =时，使()S τ到达最大值的所有排列τ的个数为624452880⨯⨯⨯=，由轮换性知，使()S τ到达最大值的所有排列τ的个数为28800. ……………………………13分北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试〔文史类〕 2013.4〔考试时间120分钟 总分值150分〕本试卷分为选择题〔共40分〕和非选择题〔共110分〕两部分第一部分〔选择题 共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 〔1〕i 为虚数单位，复数11i-的虚部是 A ．12 B ．12- C ．1i 2- D . 1i 2〔2〕假设集合{}23M x x =-<<，{}121x N x +=≥，则MN =A. (3,)+∞B. (1,3)-C. [1,3)-D. (2,1]-- 〔3〕已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.假设//AB OC ，则实数m 的值为 A ．15 B ．3- C ．35- D ．17- 〔4〕已知命题p ：x ∀∈R ，210x x +->；命题q ：x ∃∈R ，sin cos 2x x +=则以下判断正确的选项是A ．p ⌝是假命题B ．q 是假命题C ．p q ∨⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题〔5〕假设直线y x m =+与圆22420x y x +++=有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是A ．(22,22-+B ．()4,0-C ．(22,22--D . ()0,4〔6〕“3m ≥”是“关于,x y 的不等式组0,20,10,0x x y x y x y m ≥⎧⎪-≤⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩表示的平面区域为三角形”的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件〔7〕某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如下列图，则这个几何体的体积为A. 4B.C. 203D. 8〔8〕已知函数*()21,f x x x =+∈N .假设*0,x n ∃∈N ，使000()(1)()63f x f x f x n +++++=，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有 A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个第二部分〔非选择题 共110分〕答题卡上.〔9〕以双曲线2213x y -=的右焦点为焦点，顶点在原点的抛物线的标准方程是 .〔10〕执行如下列图的程序框图，输出结果S= .正视图侧视图俯视图〔11〕 在等比数列{}n a 中，32420a a a -=，则3a = ，假设{}n b 为等差数列，且33b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 .〔12〕在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边，且满足7sin b a B =，则sin A = ，假设60B =，则sin C = .〔13〕 函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.假设在区间[2,2]-上方程()0ax a f x +-=恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .〔14〕在平面直角坐标系xOy 中，点A 是半圆2240x x y -+=〔2≤x ≤4〕上的一个动点，点C在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 〔15〕〔本小题总分值13分〕已知函数21()sin 222x f x x ωω=-+〔0ω>〕的最小正周期为π. 〔Ⅰ〕求ω的值及函数()f x 的单调递增区间； 〔Ⅱ〕当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的取值范围.〔16〕 〔本小题总分值13分〕国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用 茎叶图表示如下：甲城市 2 4 5 7 10 9 7 3 5 6 3 1 5 8 8乙城市〔Ⅰ〕试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系〔只需写出结果〕；〔Ⅱ〕试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率；〔Ⅲ〕分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．(注：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=，其中x 为数据n x x x ,,,21 的平均数.)〔17〕 〔本小题总分值14分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥， 2PA AD ==．四边形ABCD 满足BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．E 为侧棱PB 的中点，F 为侧棱PC 上的任意一点.〔Ⅰ〕假设F 为PC 的中点，求证：EF平面PAD ；〔Ⅱ〕求证：平面AFD ⊥平面PAB ；〔Ⅲ〕是否存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直？假设存在，写出证明过程并求出线段PF 的长；假设不存在，请说明理由．〔18〕 〔本小题总分值13分〕已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，其中a ∈R ．〔Ⅰ〕假设曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线的斜率为1，求a的值；〔Ⅱ〕求函数()f x 的单调区间.〔19〕 〔本小题总分值14分〕已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(2,0)A ,〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕过点(1,0)B 且斜率为k 〔0k ≠〕的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线AE ，AF 分别交直线3x = 于M ，N 两点,线段MN 的中点为P .记直线PB 的斜率为k '，求证: k k '⋅为定值.〔20〕〔本小题总分值13分〕由1,2,3,4,5,6,7,8,9,10按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为1210(,,,)x x x τ=，PDAB CFE设1011()|23|kk k S xx τ+==-∑，其中111x x =.〔Ⅰ〕假设(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值； 〔Ⅱ〕求证：()55S τ≥； 〔Ⅲ〕求()S τ的最大值.(注：对任意,a b ∈R ，a b a b a b -≤±≤+都成立.)北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案〔文史类〕 2013.4一、选择题：〔注：两空的填空，第一空3分，第二空2分〕三、解答题：〔15〕〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕1cos 1()22x f x x ωω-=-+ ……………………………………………1分1cos 2x x ωω=+ sin()6x ωπ=+. ……………………………………………………4分 因为()f x 最小正周期为π，所以2ω=.………………………………………………5分 于是()sin(2)6f x x π=+. 由222262k x k ππππ-≤+≤π+，k ∈Z ，得36k x k πππ-≤≤π+. 所以()f x 的单调递增区间为[,36k k πππ-π+]，k ∈Z .……………………………8分〔Ⅱ〕因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈， …………………………………10分 则1sin(2)126x π-≤+≤. …………………………………………………12分 所以()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1,12-]. ………………………………………13分〔16〕〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.……………3分 〔Ⅱ〕根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为35， 则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为35．………………6分, 〔Ⅲ〕设事件A ：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为：〔29，43〕，〔29，41〕，〔29，55〕，〔29，58〕〔29，78〕 〔53，43〕，〔53，41〕，〔53，55〕，〔53，58〕，〔53，78〕， 〔57，43〕，〔57，41〕，〔57，55〕，〔57，58〕，〔57，78〕， 〔75，43〕，〔75，41〕，〔75，55〕，〔75，58〕，〔75，78〕， 〔106，43〕，〔106，41〕，〔106，55〕，〔106，58〕，〔106，78〕.其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78. 则空气质量等级相同的为： 〔29，41〕，〔29，43〕， 〔53，55〕，〔53，58〕，〔53，78〕, 〔57，55〕，〔57，58〕，〔57，78〕， 〔75，55〕，〔75，58〕，〔75，78〕.共11个结果. 则11()25P A =. 所以这两个城市空气质量等级相同的概率为1125． …………………………………………………………………13分〔17〕〔本小题总分值14分〕 证明：〔Ⅰ〕因为,E F 分别为侧棱,PB PC 的中点， 所以 EF BC ． 因为BCAD ，所以EFAD ．而EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以EF平面PAD ． ……………………………………………………4分 〔Ⅱ〕因为平面ABCD ⊥平面PAC ，P DABCFE平面ABCD 平面PAC AC =，且PA AC ⊥，PA ⊂平面PAC .所以PA ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥． 又因为AB AD ⊥，PA AB A =，所以AD ⊥平面PAB ，而AD ⊂平面AFD ，所以平面AFD ⊥平面PAB ．……………………………………………………8分 〔Ⅲ〕存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直.在棱PC 上显然存在点F ,使得AF PC ⊥. 由已知，AB AD ⊥，BCAD ，1AB BC ==，2AD =．由平面几何知识可得 CD AC ⊥．由〔Ⅱ〕知，PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥， 因为PAAC A =，所以CD ⊥平面PAC ．而AF ⊂平面PAC ，所以CD AF ⊥． 又因为CDPC C =,所以AF ⊥平面PCD .在PAC ∆中，2,90PA AC PAC ==∠=︒，可求得，3PC PF ==可见直线AF 与平面PCD 能够垂直，此时线段PF ．……………14分 〔18〕〔本小题总分值13分〕解：(Ⅰ)由2()(2)ln f x x a x a x =-++可知，函数定义域为{}0x x >， 且()2(2)a f x x a x '=-++.由题意，(2)4(2)12af a '=-++=， 解得2a =.……………………………………………………………………………4分〔Ⅱ〕(2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x--'=-++=(0)x >. 令()0f x '=，得11x =，22ax =.〔1〕当0a ≤时，02a≤，令()0f x '>，得1x >;令()0f x '<，得01x <<.则函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞. 〔2〕当012a <<，即02a <<时，令()0f x '>，得02ax <<或1x >.则函数()f x 的单调递增区间为(0,)2a ，(1,)+∞. 令()0f x '<，得12ax <<. 则函数()f x 的单调递减区间为(,1)2a .〔3〕当12a=，即2a =时，()0f x '≥恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. 〔4〕当12a >，即2a >时，令()0f x '>，得01x <<或2ax >，则函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(,)2a+∞.令()0f x '<，得12ax <<.则函数()f x 的单调递减区间为(1,)2a. ……………………………………13分〔19〕〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕依题得222,2.a b c c a a ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. …………………………………………………4分 〔Ⅱ〕根据已知可设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++. 直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y yy x y x x x =-=---， 令3x =， 则1212(3,),(3,)22y y M N x x --,所以12121(3,())222y yP x x +--. 所以122112(1)(2)(1)(2)4(2)(2)k x x k x x k k k x x --+--'⋅=⨯--21212121223()442()4k x x x x x x x x -++=⨯-++ 2222222228824164414416164441k k k k k k k k k --+++=⨯--+++ 2241444k k -=⨯=-. ……………………………………………………14分〔20〕〔本小题总分值13分〕 解：〔Ⅰ〕1011()|23|7654321012857kk k S xx τ+==-=+++++++++=∑.………3分〔Ⅱ〕证明：由a b a b +≥+及其推广可得，12231011()232323S x x x x x x τ=-+-++-121023112()3()x x x x x x ≥+++-+++=121010(110)552x x x ++++==. ……………………………7分 〔Ⅲ〕10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍共20个数如下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2, 30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中最大数之和与最小数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤， 对于0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，0()131S τ=，所以()S τ的最大值为131. ……………………………………………………13分注：使得()S τ取得最大值的有序数组中，只要保证数字1，2，3，4互不相邻，数字7，8，9，10也互不相邻，而数字5和6既不在7，8，9，10之一的后面，又不在1，2，3，4之一的前面都符合要求.。
北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试 数学文试题
北京市朝阳区2012—2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题（文史类） 2013.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题(共40分）和非选择题(共110分）两部分第一部分(选择题 共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 设集合{02}A x x =<<，集合2{log 0}B x x =>，则A B 等于A ．{}|2x x <B ．{}|x x >0C ．{}|02x x <<D ．{}|12x x <<【答案】D【KS5U 解析】2{log0}{1}B x x x x =>=>,所以A B {}|12x x =<<，选D 。
2．已知i 是虚数单位，若复数(1i)(2i)a ++是纯虚数,则实数a 等于A ．2B ．12C ．12-D ．2- 【答案】A【KS5U 解析】(1)(2)2(12)ai i a a i ++=-++，要使复数为纯虚数,所以有20,120a a -=+≠，解得2a =，选A 。
3.“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221xy += 相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【KS5U 解析】要使直线0x y k -+=与圆221xy += 相交,则有圆心到直线的距离1d =≤。
即k ≤，所以k ≤≤，所以“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221xy += 相交”的充分不必要条件,选A 。
4。
执行如图所示的程序框图．若输入3x =，则输出k 的值是A ． 3B ．4C ． 5D ． 6【答案】C【KS5U 解析】第一次循环358,1x k =+==；第二次循环8513,2x k =+==；第三次循环13518,3x k =+==；第四次循环18523,4x k =+==；第五次循环23528,5x k =+==，此时满足条件输出5k =，选C.5. 已知0x >，0y >，且21x y +=，则xy 的最大值是A.14B 。
2013北京朝阳高考二模数学文(word解析)
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学学科测试（文史类)2013．５ 第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}0,1,3M =，{}3,N x x a a M ==∈，则M N U =（ ）． A ．{}0 B ．{}0,3 C ．{}1,3,9 D ．{}0,1,3,92．已知p ：(1)(2)0x x --≤，q ：2log (1)1x +≥，则p 是q 的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．函数()sin()4f x x π=-()x ∈R 的图象的一条对称轴方程是（ ）．A ．0x =B ．π4x =-C ．π4x =D ．π2x =4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是16，则判断框内的条件是（ ）．A ．6?n >B ．7?n ≥C ．8?n >D ．9?n >5．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+相切，则此双曲线的离心率等于（ ）．A ．2B ．3C ．6D ．96．将一个质点随机投放在关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是（ ）． A ．12πB ．6πC ．112π- D ．16π-7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）． A ．16 B ．13C ．12 D ．18．已知函数()21(0)x f x a a =⋅+≠，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩给出下列命题：①()()F x f x =；②函数()F x 是奇函数；③当0a <时，若0mn <，0m n +>，总有()()0F m F n +<成立，其中所有正确命题的序号是（ ）． A ．②B ．①③C ．②③D ．①②第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．i 为虚数单位，计算3i1i+=+．10．已知向量(2,1),(3,)x ==a b ，若(2)-⊥a b a ，则x 的值为 _____________．11．已知等差数列{}n a 的公差为2-，3a 是1a 与4a 的等比中项，则首项1a =_______，前n 项和n S =__________．12．若直线l 与圆22(1)4x y ++=相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点坐标是(1,2)-，则直线l 的方程为____________．13．某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨（x 为600的约数），运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元．若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买________吨．14．数列{21}n -的前n 项1,3,7,,21n -L 组成集合{1,3,7,,21}(nn A n *=-∈N L，从集合n A 中任取k(1,2,3,,)k n =L 个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =+++L ．例如当1n =时，1{1}A =，11T =，11S =；当2n =时，2{1,3}A =，113T =+，213T =⨯，213137S =++⨯=．则当3n =时，3S =；试写出n S =．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()f A =2cossin()22A A π-22sin cos 22A A +-． （Ⅰ）求函数()f A 的最大值； （Ⅱ）若()0,,612f A C a 5π===，求b 的值．（16）（本小题满分13分）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．（Ⅰ）求实数a 的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；（Ⅱ）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（Ⅲ）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．组距频率 米频率分布直方图0.0250.075 246810 0.1500.200 12a（17）（本小题满分14分）如图，已知四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，PD EA ∥，22AD PD EA ===，F ,G ,H 分别为BP ,BE ,PC 的中点．（Ⅰ）求证：FG ∥平面PDE ； （Ⅱ）求证：平面FGH ⊥平面AEB ；（Ⅲ）在线段PC 上是否存在一点M ,使PB ⊥平面EFM ？若存在，求出线段PM 的长；若不存在，请说明理由．BD CFGHAEP（18）（本小题满分13分）已知函数()21axf x a x =++，()ln g x a x x =-()0a ≠． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：当0a >时，对于任意(]12,0,e x x ∈，总有()()12g x f x <成立．（19）（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点()1,0F ，长轴的左、右端点分别为12,A A ，且121FA FA ⋅=-uuu r uuu r．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过焦点F 斜率为()0k k ≠的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于点D ．试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？若存在，试求点E 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由．（20）（本小题满分13分）已知实数12,,,n x x x L （n *∈N 且2n ≥）满足||1i x ≤()1,2,,i n =⋅⋅⋅，记121(,,,)n i j i j n S x x x x x ≤<≤=∑L ． （Ⅰ）求2(1,1,)3S --及(1,1,1,1)S --的值；（Ⅱ）当3n =时，求123(,,)S x x x 的最小值； （Ⅲ）当n 为奇数时，求12(,,,)n S x x x L 的最小值．注：1i j i j nx x ≤<≤∑表示12,,,nx x x L 中任意两个数(),1i j x x i j n ≤≤≤的乘积之和．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试答案（文史类)2013．5一、选择题： 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案 DABCB C AC 二、填空题： 题号 （9）（10）（11）（12）（13）（14）答案2i - 1-或38；29n n -+，n *∈N30x y --=3063；(1)221n n +-（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（15）（本小题满分13分）（Ⅰ）解：22()2cossin sin cos 2222A A A A f A =+-sin cos 2sin()4A A A π=-=-． 因为0A <<π，所以444A ππ3π-<-<．则所以当42A ππ-=，即34A π=时，()f A 取得最大值，且最大值为2．…7分（Ⅱ）解：由题意知()2sin()04f A A π=-=，所以sin()04A π-=．又知444A ππ3π-<-<，所以04A π-=，则4A π=．因为12C 5π=，所以712A B π+=，则3B π=．由sin sin a b A B =得，6sinsin 33sin sin 4a Bb A π⋅===π． ……………………13分（16）（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意可知(0.20.150.0750.025)21a ++++⨯=，解得0.05a =．所以此次测试总人数为4400.052=⨯．答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人．……………………4分（Ⅱ）解：由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为(0.150.05)20.4+⨯=，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.4． ……………………7分（Ⅲ）解：设事件A ：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组．由已知，测试成绩在[)2,4有2人，记为,a b ；在[)4,6有6人，记为,,,,,A B C D E F ． 从这8人中随机抽取2人有,,,,,,,,,,,,ab aA aB aC aD aE aF bA bB bC bD bE bF ， ,,,,,,,,,,,,,,AB AC AD AE AE BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF 共28种情况．事件A 包括,,,,,,,,,,,aA aB aC aD aE aF bA bB bC bD bE bF 共12种情况．所以()123287P A ==． 答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为37．………………………13分（17）（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为F ,G 分别为PB ，BE 的中点，所以FG ∥PE ．又因为FG ⊄平面PED ，PE ⊂平面PED ， 所以FG ∥平面PED ． ……………4分 （Ⅱ）证明：因为EA ⊥平面ABCD ，所以EA CB ⊥．又因为CB AB ⊥，AB AE A =I ， 所以CB ⊥平面ABE ．由已知F ,H 分别为线段PB ,PC 的中点， 所以FH ∥BC ． 则FH ⊥平面ABE ． 而FH ⊂平面FGH ，所以平面FGH ⊥平面ABE ．…………………………………………………9分 （Ⅲ）证明：在线段PC 上存在一点M ，使PB ⊥平面EFM ．证明如下：在直角三角形AEB 中，因为1AE =,2AB =,所以5BE =． 在直角梯形EADP 中，因为1AE =，2AD PD ==,所以5PE =， 所以PE BE =．又因为F 为PB 的中点，所以EF PB ⊥． 要使PB ⊥平面EFM ，只需使PB FM ⊥．因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD CB ⊥，又因为CB CD ⊥，PD CD D =I , 所以CB ⊥平面PCD ，而PC ⊂平面PCD ，所以CB PC ⊥． 若PB FM ⊥，则PFM △∽PCB △,可得PM PFPB PC=． 由已知可求得23PB =，3PF =，22PC =，所以322PM =．……14分 （18）（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为R ，22222(1)(1)(1)()(1)(1)a x a x x f x x x --+'==++．当0a >时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x (,1)-∞-1-(1,1)-1(1,)+∞()f x ' -0 +0 -()f x↘↗↘当0a <时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(,1)-∞-1-(1,1)-1(1,)+∞AEBD CPFGHM()f x ' +0 -0 +()f x↗↘↗综上所述，当0a >时，()f x 的单调递增区间为(1,1)-，单调递减区间为(,1)-∞-，(1,)+∞； 当0a <时，()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，单调递减区间为(1,1)-． ……………………………………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，当0a >时，()f x 在(0,1)上单调递增，()(0)f x f >；()f x 在(1,e]上单调递减，且2e(e)e 1a f a a =+>+． 所以(]0,e x ∈时，()f x a >． 因为()ln g x a x x =-，所以()1ag x x'=-， 令()0g x '=，得x a =．（i ）当0e a <<时，由()0g x '>，得0x a <<；由()0g x '<，得x a >， 所以函数()g x 在()0,a 上单调递增，在(],e a 上单调递减． 所以max ()()ln g x g a a a a ==-．因为(ln )(2ln )(2ln e)0a a a a a a a a --=->-=>， 所以对于任意(]12,0,e x x ∈，总有()()12g x f x <． （ii ）当e a ≥时，()0g x '≥在(]0,e 上恒成立，所以函数()g x 在(]0,e 上单调递增，max ()(e)e <g x g a a ==-． 所以对于任意(]12,0,e x x ∈，仍有()()12g x f x <．综上所述，对于任意(]12,0,e x x ∈，总有()()12g x f x <． …………………13分（19）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题设1(,0)A a -，2(,0)A a ，则1(1,0)FA a =--u u u r，2(1,0)FA a =-u u u r ．由121FA FA ⋅=-uuu r uuu r，解得22a =，所以21b =．所以椭圆C 的方程为2212x y +=．……………………………………4分（Ⅱ）解：依题直线l 的方程为(1)y k x =-．由()22122y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,得()2222214220k x k x k +-+-=． 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,弦AB 的中点为00(,)M x y ，则2122421k x x k +=+，21222(1)21k x x k -=+，22221k x k =+，0221k y k -=+， 所以2222(,)2121k kM k k -++． 直线MD 的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++，令0y =，得2221D k x k =+，则22(,0)21kD k +．若四边形ADBE 为菱形，则02E D x x x +=，02E D y y y +=．所以22232(,)2121k kE k k -++．若点E 在椭圆C 上，则2222232()2()22121k kk k -+=++．整理得42k =，解得22k =．所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形． 此时点E 到y 的距离为12327-．…………………………………………14分（20）（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由已知得222(1,1,)11333S --=-+-=-．(1,1,1,1)1111112S --=----+=-． ………………………3分（Ⅱ）解：3n =时，12312132313(,,)i j i j S S x x x x x x x x x x x ≤<≤===++∑． 固定23,x x ，仅让1x 变动，那么S 是1x 的一次函数或常函数， 因此2323min{(1,,),(1,,)}S S x x S x x ≥-． 同理2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x ≥-． 2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x -≥---．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可以被某一组取值1±的123,,x x x 所达到，于是12311,2,3min{(,,)}k x k S S x x x =±=≥．当1k x =±()1,2,3k =时，22221231231[()()]2S x x x x x x =++-++212313()22x x x =++-．因为123||1x x x ++≥，所以13122S ≥-=-，且当121x x ==，31x =-，时1S =-， 因此min 1S =-． ……………………………………………7分（Ⅲ）解：121(,,,)n i j i j nS S x x x x x ≤<≤==∑L 121312321n n n n x x x x x x x x x x x x -=++++++++L L L ．固定23,,,n x x x L ，仅让1x 变动，那么S 是1x 的一次函数或常函数， 因此2323min{(1,,,,),(1,,,,)}n n S S x x x S x x x ≥-L L ．同理2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x ≥-L L L ． 2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x -≥---L L L ．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可以被某一组取值1±的12,,,n x x x L 所达到，于是1211,2,,min {(,,,)}k n x k nS S x x x =±=≥L L ．当1k x =±()1,2,,k n =L 时，222212121[()()]2n n S x x x x x x =+++-+++L L 2121()22n n x x x =+++-L ．当n 为奇数时，因为12||1n x x x +++≥L ，所以1(1)2S n ≥--，另一方面，若取12121n x x x -====L ，1112221n n n x x x --++====-L ，那么1(1)2S n =--， 因此min 1(1)2S n =--．………………………………………………13分北京市朝阳区高三统一测试 数学（文科）选填解析一、 选择题 1．【答案】D【解析】解：300,311,339⨯=⨯=⨯=Q ,{0,3,9}N ∴=，故{0,1,3,9}M N =U ． 故选D ．2．【答案】A【解析】解：p Q ：{}12x x ≤≤，q ：{}1x x ≤，[]()1,21,∴⊆+∞，故p 是q 的充分不 必要条件． 故选A ．3．【答案】B【解析】解：Q 函数()f x 的对称轴满足()*πππ,42x k k -=+∈N ，()*3ππ,4x k k ∴=+∈N 当1k =-时，π4x =-．故选B ．4．【答案】C 【解析】解：列表S149 16 输出16 n 13579循环结束故8?n >时循环结束，输出16． 故选C ．5．【答案】B【解析】解：双曲线的切线方程为by x a =±，联立抛物线方程22b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，故220b x x a -+=，由直线与抛物线相切可知280b a ⎛⎫∆=-= ⎪⎝⎭，故22b a =，在双曲线中213b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．故选B ．6．【答案】C【解析】解：如图不等式组构成的三角形区域为yAABC △，其中()()()1,4,1,1,5,1A B C ，故13462ABC S =⨯⨯=△，满足到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的区域 为ABC △与圆A ，圆B ，圆C 的公共区域， 由三角形的内角和为π，故公共区域面积为1π2S =， 所以π6π21612p -==-． 故答案为C ．7．【答案】A【解析】解：由题可知该立体突围三棱锥P ABC -，由三 视图可知1AC AB PE ===，AC AB ⊥，PE ⊥平面ABC ， 所以111111326P ABC V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．故答案选A ．8．【答案】C【解析】解：①当0x >时，()()F x f x =．由于无法保证()0f x ≥，因此()()F x f x =不一定成立．②函数()F x 的定义域为非0全体实数．0x ∀>，有：()()()()F x f x f x F x -=--=-=-． ③不妨设0m >，则0n <且m n >-．因此()()()()(22)0m n F m F n f m f n a -+=-=-<． 故答案选C ．二、 填空题 9．【答案】2i - 【解析】解：复数()()()()3i 1i 3i 2i 1i 1i 1i +-+==-++-． 故答案为2i -．10．【答案】1-或3【解析】解：由题可知()21,2,x +-a b =所以()()2320x x -⋅=+-=a b b ，即1x =-或3x =． 故答案为1-或3．11．【答案】8，2*9,n n n -+∈N【解析】解：由题可知2314a a a =⋅，由等差数列的性质可知()()211146a a a -=⋅-，可得18a =；由等差数列的求和公式得()218(2)92n n n S n n n -=+⋅-=-+．故答案为8，2*9,n n n -+∈N ．EDCPBA12．【答案】30x y --=【解析】解：由圆的垂径定理可知OD AB ⊥，所以圆心()0,1O -，AB 中点()1,2D -，所以()12101OD k ---==--，故直线11AB ODk k =-=，所以()():211l y x --=⨯-， 即:30l x y --=． 故答案为30x y --=．13．【答案】30【解析】解：由题可设费用总和为y ， 则60018002322120y x x x x=+⨯≥⋅=， 当且仅当18002x x=， 即30x =时，等号成立． 故答案为30．14．【答案】63，()1221n n --【解析】解：313713173713763S =+++⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．通过观察发现，6321S =-，3321S =-，1121S =-，于是猜测(1)221n n nS +=-．（1）如果设函数()(1)(3)(7)(2n f x x x x x =+⋅+⋅+⋅⋅+-L ，则将()f x 展开后可以得到：12121()n n n n n f x x T x T x T x T ---=+++++L ．令1x =，得：(1)1n f S =+，即(1)1n S f =-，故(1)1232(2222)121n n nn S +=⋅⋅⋅⋅-=-L ． （2）考虑21n -所表示的含义，它表示类似于从n 个球中取出若干个（除非特殊说明，否则不允许不取，下同）的含义．现在，假如有n 个袋子，其中第k 个袋子里面装有k 个不同的小球，1,2,,k n =L ．由于21k -表示的是从第k 个袋子中取出若干个球的方法数，因此1137(21)n T =++++-L 表示：从n 个袋子中的任意1个袋子里取出若干个球的取法总数；2T 表示：从n 个袋子中的任意2个袋子里取出若干个球的取法，例如：37⨯表示的是从第2个袋子和第3个袋子中取出若干个球的取法（每个袋子中至少取出1个球）； ……k T 表示：从k 个袋子中的任意k 个袋子里取出若干个球的取法； ……n T 表示：从n 个袋子中的任意n 个袋子里取出若干个球的取法．因此，12n n S T T T =+++L 表示：从n 个袋子里取出若干个球的取法（不要求从每个袋子里至少取出1个球，但是总共至少要取出1个）．由于所有袋子中一共有(1)2n n +个球，因此(1)221n n n S +=-．故答案为63，()1221n n --．DOBA。
北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷(文科)含答案
北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（文史类）2012.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共 40分）和非选择题（共 110分）两部分第一部分（选择题共40 分）、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项•x y 20 C .C . 3C . 3In f （a n ）为等差数列，则称函数f （x ）为“保比差数列函数”.现有定义在（0,）上的如1.已知全集U1,2,3,4,5,6 ,集合 A 1,3,51,2 ,则AI (e u B )等于C .2.曲线y 2xX 3在x1处的切线方程为 3.已知平面向量a ,b 满足 |a| 1, |b|2，且（a b)则a 与b 的夹角是4.已知数列a n是各项均为正数的等比数列，若a 2 2, 2a 3 a 4 16，则 a n 等于C . 2n 2n5.已知角 的终边经过点（3a,4a ）（a0），则sin2等于7A .256.在ABC 中, urn uuU 则 PA (PB12B .25M 是BC 的中点，AMuuuPC)的值为C-Huuu 3，点P 在AM 上，且满足AP24 25uuuu2 PM ,A. B. 2C.2D. 47.函数f(x)3,x ,x0,的图象与函数g （x ） In （x 1）的图象的交点个数是8.已知数列a n 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数y f （x ），若数列第二部分(非选择题 共110分)二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.19. 已知cos( )—,且 为第二象限的角，则 sin =_，tan = _.2 _ —10. 已知集合 A {x R |x 2} , B = x R I 12x 8 ,则 AI B =_. 2 —11. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若33 34 4代 37 16，则公差dS 9uur umr12. 在 ABC 中，若BA BC 4 , ABC 的面积为2，则角B _________________ .f(x) 1 f(x) 1,ntf(x)' 13.已知函数y f (x)满足:f(1)=a (0a 1)，且 f (x 1)则2f(x),f(x) 1,f (2)=__ (用a 表示)；右 1f (3)=— f(2)则a .14.已知函数f (x)是定义在 R 上的奇函数, 且在定义域上单调递增 .当x 1a,时，不等式f(x 2a) f (x) 0恒成立，则实数a 的取值范围是 _.三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 .15. (本小题满分13分)1 设厶ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知a 2,b 3,cosC -. 3(I)求厶ABC 的面积； (n)求 sin(C A)的值. 16. (本小题满分13分)设数列a n 的前n 项和为S n ，已知41 , a n 1 3S n 1 , n N •(I)写出a 2,a 3的值，并求出数列 a n 的通项公式; (n)求数列 na n 的前n 项和T n .12① f (x)-,② f (x) x ,x则为“保比差数列函数”的所有序号为A .①②B .③④③ f (x) e x , ④ f (x)、、x ,C .①②④D .②③④yA217. (本小题满分13分)函数f(x) Asin( x )(A 0, 0,| | )部分2图象如图所示.(I)求f (x)的最小正周期及解析式；(n)设g(x) f(x) 2cos2x，求函数g(x)在区间[0, _]上的最大值和最小值.218. (本小题满分14分)2函数f(x) 2ax 4x 3 a, a R.(I)当a 1时，求函数f(x)在1,1上的最大值；(n)如果函数f(x)在区间1,1上存在零点，求a的取值范围.19. (本小题满分14分)设函数f (x) x ae x, a R .(I)求函数f (x)单调区间；(n)若x R , f (x) 0成立，求a的取值范围.20. (本小题满分13分)给定一个n项的实数列曰忌丄,a n(n N )，任意选取一个实数c，变换T(c)将数列a1,a2,L ,a n变换为数列|印c|,| a? c|,L ,|务c|，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c可以不相同，第k(k N )次变换记为T k(q)，其中C k为第k次变换时选择的实数•如果通过k次变换后，数列中的各项均为0,则称「(G) , T2G)，…，T k(c k)为“ k次归零变换”(I)对数列：124,8,分别写出经变换「(2) , T2(3) , T3⑷后得到的数列；(n)对数列：1,3,5,7，给出一个“ k次归零变换”，其中k 4 ；(川)证明：对任意n项数列，都存在“ n次归零变换”.北京市朝阳区2012-2013学年度第一学期高三年级期中练习15. （本小题满分13分）1解：（I ）在厶ABC 中，因为cosC -3因为a b ，所以A 为锐角，所以 sin (C A) si nCgcosA cosCgsi nA2012.11、选择题（共40二、填空题（共30分）1)三、解答题（共80分） 所以sin C、.1 cos 2C1 (\2 2'2 ..33所以S VABC1 abgsin C1 2 3 $ 丘 2 & 2 3又由正弦定理得,sin C所以sin Aagsin C c 所以 cos A 1 sin 2 A1 (492)211分2、、2 7 1 4.210、2 八. ........................ 13 分3 9 3 9 2716. （本小题满分13分）解：（I）a2 4 , a3 16. .......................................................... 2 分由题意，a n 1 3S n 1，则当n 2 时，a n 3S n 1 1.两式相减，化简得a n 1 4a n（n 2） . ..................................... 4分a2,又因为a11，a24，- 4，印则数列a n是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a n 4n 1( n N ) ................................. 6 分2 n 1(n) T n a1 2a2 3a3 L na n 1 2 4 3 4 L n 4 ,4T n 4 1 2 42 3 43L (n 1) 4n 1 n 4n , ........................ 8 分两式相减得，3T n 1 4 42L 4n 1 n 4n 1— n 4n• ...................... 12 分1 4n 1 1化简整理得，T n 4n(—_) _(n N ). ......................................... 13分17.（本小题满分13分）解: （I）由图可得A2, T2—,所以T .所以2. 2 3 62.................. o................. Z k............. 2 分当x —时，f(x)2，可得2si n(2-)2 ,66因为丨丨-，所以-所以f(x)的解析式为f(x) 2si n(2x ) . ....................................... 5分6(n)g(x) f(x) 2cos2x 2sin(2x 6) 2cos2x2sin 2xcos —62cos 2xs in— 2cos 2x6、、3s in2x cos2x2sin(2 x ) . .............................................. 10 分6因为x [0,—]，所以一2x2 6 6 6当2x ，即x 时，g(x)有最大值，最大值为2 ；.......... 12分6 2 3当2x ，即x 0时，g(x)有最小值，最小值为 1 . ....................... 13分6 618. (本小题满分14分)解：(I)当a 1 时，则f (x) 2x2 4x 42( x22x) 4 2(x 1)2 6 .因为x 1,1 ,所以x 1 时，f(x)max f(1) 2 . .................................. 3分(n)当a 0时，f(x) 4x 3 ,显然在1,1上有零点，所以a 0时成立•……4分当a 0时，令16 8a(3 a) 8(a 1)(a 2) 0,解得a 1, a 2. ........................................... 5分(1)当a 1 时，f(x) 2x2 4x 2 2(x 1)2由f(x) 0,得x 1 [ 1,1];1当a 2 时，f(x) 4x24x 1 4(x -)2.1由f (x) 0 ,得x - [ 1,1],所以当a 0, 1, 2时，y f(x)均恰有一个零点在1,1上. ........... 7分(2)当f ( 1)gf (1) (a 7)(a 1) 0 ,即1 a 7时，y f x在1,1上必有零点. ............................ 9分(3)若y f x在1,1上有两个零点，则a 1 或 a 2..................................................... 14 分19. (本小题满分14分)解：(I) f (x) 1 ae x ............................ 1 分ia 0时，f(x)在区间( ,In a)上是增函数，在区间(In a,)上是减函数 ........... Q由(I)可知：当 a 0时， f (x)0不恒成立................ 9 分又因为当a 0时，f (x)在区间(，In a)上是增函数，在区间 (Ina,)上是减函数，所以f (x)在点x In a 处取最大值，且 f( Ina) Ina ae lna Ina . ........................... 11 分令 Ina，得 a -,e故f(x) 0对x R 恒成立时，a 的取值范围是［―,). ................................................... 14分e20. (本小题满分14分) 解：(I )T 1(2) : 1,0,2,6;T 2(3) : 2,3,1,3; T 3 ⑷：2,1,3,1. .......................................... 3 分a 0,a 0,8(a 1)(a2) 0,8(a 1)(a 2) 0,1 1 1,a或 1- 1,••… a ................. 13分f( 1) 0, f( 1) 0,f(1) 0f(1) 0-解得a 7或a2.综上所述，函数 f(x)在区间1,1上存在极值点，实数 a 的取值范围是当a 0时，令f (x) 0,得xIn a ..................... 4分 若x In a 则 f (x) 0 ,从而 f (x)在区间(,In a)上是增函数；若xIn a 则 f (x) 0,从而 f (x)在区间(In a,)上是减函数.综上可知：当a 0时, f (x)在区间(，)上是增函数；当a 0时，f (x) 0 , f (x)在R 上是增函数. 3分（H）方法1: T⑷：3,1,13 T2（2）: 1,1,1,1; T3（1）: 0,0,0,0方法2：T1（2）: 1,1,3,5; T2（2）: 1,1,1,3; T3（2）: 1,1,1,1 ; T^）: 0,0,0,0.（川）记经过T k（c k）变换后，数列为a（k）£,L ,a n k）.1 1取c, -（31 82）,则31（1） aj —|印321，即经T1（q）后，前两项相等；2 2取c抽1）af），则a12） a22） a32） 11 a^ af |，即经T2G）后，前3 项相等;2 2继续做类似的变换，取C k haf1〉a k k J），（k n 1），经T k（cQ后，得到数列的2前k 1项相等.特别地，当k n 1时，各项都相等，最后，取c n aj1〉，经T n（c n）后,数列各项均为0.所以必存在n次“归零变换”.（注：可能存在k次“归零变换”，其中k n）. ...................... 13分。
2012-2013学年北京市朝阳区高三(上)期末数学试卷(文科)(附答案解析)
2012-2013学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1. 设集A={x|0<x<2}，集合B={x|log2x>0}，则A∩B等于（）A.{x|x<2}B.{x|x>0}C.{x|0<x<2}D.{x|1<x<2}2. 设i是虚数单位，复数1+ai2−i为纯虚数，则实数a为（）A.2B.−2C.−12D.123. “k=1”是“直线x−y+k=0与圆x2+y2=1相交”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件4. 执行如图所示的程序框图．若输入x=3，则输出k的值是（）A.3B.4C.5D.65. 已知x>0，y>0，且2x+y=1，则xy的最大值是（）A.1 4B.18C.4D.86. 已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）A.√34B.√32C.34D.17. 已知函数f(x)={e x+a，x≤0,2x−1,x>0(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( )A.(−∞, −1)B.(−∞, 0)C.(−1, 0)D.[−1, 0)8. 在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是（）A.124B.112C.16D.12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.已知数列1，a，9是正项等比数列，数列1，b1，b2，9是等差数列，则|a|b1+b2的值为________．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，则角A的大小为________．在平面直角坐标系中，若不等式组{x+y−1≥0x−1≤0ax−y+1≥0（a为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a=________．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F1(−√5, 0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为(0, 2)，则此双曲线的方程是________，离心率是________．在直角三角形ABC 中，∠ACB =90∘，AC =BC =2，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP →⋅CB →+CP →⋅CA →=________．将连续整数1，2，…，25填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为________，最大值为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.已知函数f(x)=sin x2cos x2+cos 2x2−12． （1）求函数f(x)的最小正周期和单调减区间；（2）求函数f(x)在[−π4，π]上最大值和最小值．在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AD =2，E 是棱CD 上的一点．（1）求证：AD 1⊥平面A 1B 1D ；（2）求证：B 1E ⊥AD 1；（3）若E 是棱CD 的中点，在棱AA 1上是否存在点P ，使得DP // 平面B 1AE ？若存在，求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由．某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为10作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： 频率分布表（1）写出a ，b ，x ，y 的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含8的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动．(ⅰ)求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率； (ⅱ)求所抽取的2名同学来自同一组的概率．已知函数f(x)=a(x −1x )−2ln x(a ∈R)．(1)若a =2，求曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间．已知直线l:x =my +1(m ∈R)与椭圆C ：x 29+y 2t=1(t >0)相交于E ，F 两点，与x 轴相交于点B ．，且当m =0时，|EF|=83．（1）求椭圆C的方程；（2）设点A的坐标为(−3, 0)，直线AE，AF与直线x=3分别交于M，N两点．试判断以MN为直径的圆是否经过点B？并请说明理由．将正整数1，2，3，4，…，n2(n≥2)任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a，b(a>b)的比值ab，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．（1）当n=2时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（2）若a ij表示某个n行n列数表中第i行第j列的数(1≤i≤n, 1≤j≤n)，且满足a ij={i+(j−i−1)n,i<ji+(n−i+j−1)n,i≥j请分别写出n=3，4，5时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；（3）对于由正整数1，2，3，4，…，n2排成的n行n列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合{n2−n+1, n2−n+2, ..., n2}，记其“特征值”为λ，求证：λ≤n+1n．参考答案与试题解析2012-2013学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】运用对数函数的单调性化简集合B，然后直接进行交集运算．【解答】解：由A={x|0<x<2}，B={x|log2x>0}={x|x>1}．所以，A∩B={x|0<x<2}∩{x|x>1}={x|1<x<2}．故选D．2.【答案】A【考点】复数的运算【解析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a的值．【解答】复数1+ai2−i =(1+ai)(2+i)(2−i)(2+i)=2−a+2ai+i5，它是纯虚数，所以a＝2，3.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系必要条件、充分条件与充要条件的判断点到直线的距离公式【解析】先看当k=1时，可求得圆心到直线的距离小于半径，可知直线与圆相交，判断出充分性；再看当直线与圆相交时求得圆心到直线的距离小于半径求得k的范围，可知必要性不成立，综合可得答案．【解答】解：当k=1时，圆心到直线的距离d=√2=√22<1，此时直线与圆相交，所以充分性成立．反之，当直线与圆相交时，d=2<1，|k|<√2，不一定k=1，所以必要性不成立．故选A4.【答案】C【考点】程序框图【解析】计算循环中x，与i的值，当x>23时满足判断框的条件，退出循环，输出结果k即可．【解答】解：循环前x=3，k=0，接下来x=8，k=1满足判断框条件，第1次循环，x=8+5=13，k=2，第2次判断后循环，x=13+5=18，k=3，第3次判断并循环x=18+5=23，k=4，第4次判断并循环x=23+5=28，k=5，满足判断框的条件退出循环，输出k=5．故选C．5.【答案】B【考点】基本不等式【解析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x>0，y>0，且2x+y=1，∴xy=12×2xy≤12(2x+y2)2=18，当且仅当2x=y>0，2x+y=1，即x=14，y=12时，取等号，此时，xy的最大值是18．故选B．6.【答案】C【考点】简单空间图形的三视图【解析】由题意可知三棱锥是正三棱锥，底面正三角形的高与正视图的投影线平行，如此其正视图中底边是正三棱锥的底面边长，由俯视图知底面是边长是√32的三角形，其高是棱锥的高√3，由此作出其侧视图，求侧视图的面积．【解答】解：由题意，此物体的侧视图如图．根据三视图间的关系可得侧视图中，底边是正三角形的高，底面三角形是边长为1的三角形，所以AB=√32，侧视图的高是棱锥的高：√3，∴S△VAB=12×AB×ℎ=12×√32×√3=34．故选：C．7.【答案】D【考点】根的存在性及根的个数判断【解析】由函数的解析式作出函数的图象，分析可得结果．【解答】解：由解析式可得函数的左半部分为指数函数的一部分，且随着a的变化而上下平移，右半部分为直线的一部分，且是固定的，作图如下：结合图象分析可得，当左半部分的图象介于两红线之间时符合题意，而红线与y轴的交点坐标为a+1，且只需0≤a+1<1，即−1≤a<0即可，故选D.8.【答案】A【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】由题意可得△P1P2B∽△AD1B，设出P1B＝x，则P1P2=√2x，P2到平面AA1B1B的距离为x，求出四面体的体积，通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值．【解答】由题意在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，△P1P2B∽△AD1B，设P1B＝x，x∈(0, 1)，则P1P2=√2x，P2到平面AA1B1B的距离为x，所以四面体P1P2AB1的体积为V=13×12×(1−x)×1×x=16(x−x2)，当x=12时，体积取得最大值：124．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.【答案】3【考点】等比数列的通项公式等差数列的通项公式【解析】直接由等比数列和等差数列的性质求出a和b1+b2的值，代入要求的式子即可．【解答】解：已知数列1，a，9是正项等比数列，则有：a2=1×9=9，即得：a=3又1，b1，b2，9是等差数列，那么：b1+b2=1+9=10．∴|a|b1+b2=310．故答案为310．【答案】60∘【考点】余弦定理【解析】直接运用余弦定理，将条件代入公式求出角A的余弦值，再在三角形中求出角A即可．【解答】解：∵b2+c2=a2+bc∴b2+c2−a2=bc∴cos A=b2+c2−a22bc=bc2bc=12即A=60∘，故答案为60∘【答案】3【考点】简单线性规划【解析】先根据约束条件{x+y−1≥0x−1≤0ax−y+1≥0（a为常数），画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求关于面积的等式求出a值即可．【解答】解：当a<0时，不等式组所表示的平面区域，如图中的M，一个无限的角形区域，面积不可能为2，故只能a ≥0，此时不等式组所表示的平面区域如图中的N ，区域为三角形区域， 若这个三角形的面积为2，则AB =4，即点B 的坐标为(1, 4)， 代入y =ax +1得a =3．故答案为：3．【答案】 x 2−y 24=1,√5【考点】双曲线的标准方程 双曲线的特性【解析】设出双曲线的方程，利用中点坐标公式求出p 的坐标，将其坐标代入双曲线的方程，通过a ，b ，c 的关系列出另一个等式，解两个方程得到a ，b 的值．即可求解双曲线方程以及双曲线的离心率． 【解答】解：据已知条件中的焦点坐标判断出焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1 ∵ 一个焦点为(−√5, 0) ∴ a 2+b 2=5①∵ 线段PF 1的中点坐标为(0, 2)，∴ P 的坐标为(√5, 4)将其代入双曲线的方程得5a 2−16b 2=1 ② 解①②得a 2=1，b 2=4， 所以双曲线的方程为x 2−y 24=1．双曲线的离心率为：e =c a =√5． 故答案为：x 2−y 24=1；√5．【答案】 4【考点】平面向量数量积的运算 【解析】由题意建立直角坐标系，可得CP →及CA →，CB →的坐标，而原式可化为CP →⋅(CB →+CA →)，代入化简可得答案．【解答】解：由题意可建立如图所示的坐标系 可得A(2, 0)B(0, 2)，P(23, 43)或P(43, 23)，故可得CP →=(23, 43)或(43, 23)，CA →=(2, 0)，CB →=(0, 2)， 所以CA →+CB →=(2, 0)+(0, 2)=(2, 2)，故CP →⋅CB →+CP →⋅CA →=CP →⋅(CB →+CA →)=(23, 43)⋅(2, 2)=4或=(43, 23)⋅(2, 2)=4，故答案为：4【答案】 45,85 【考点】 归纳推理数列的函数特性【解析】由已知中每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和取最小值时，各数组成一个以3为首项，以3为公差的等差数列；第三列各数之和取最大值时，各数组成一个以11为首项，以3为公差的等差数列；进而得到答案． 【解答】解：∵ 每一行的数字从左到右都成递增数列， 则第三列的第一个数字最小为3， 第三列的第二个数字最小为6， 第三列的第三个数字最小为9， 第三列的第四个数字最小为12， 第三列的第五个数字最小为15， 此时个数数字的排列次序如表所示：此时第三列各数之和取最小值：45；则第三列的第一个数字最大为11，第三列的第二个数字最大为14，第三列的第三个数字最大为17，第三列的第四个数字最大为20，第三列的第五个数字最大为23，此时个数数字的排列次序如下图所示：此时第三列各数之和取最小值：85；故答案为：45，85三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【答案】解：（1）f(x)=12sin x+1+cos x2−12=12(sin x+cos x)=√22sin(x+π4)；∴函数最小正周期为2π根据正弦函数的单调性可知，当2kπ+π2≤x+π4≤2kπ+3π2(k∈Z)时，函数单调减∴2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4为函数的单调递减区间．（2）∵−π4≤α≤π即0≤α+π4≤5π4，∴f(x)max=f(π4)=√22，f(x)min=f(π)=−12．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】（1）先通过倍角公式和两角和公式对函数进行化简整理得f(x)=√22sin(x+π4)，再根据正弦函数图象的性质可知其最小正周期和单调递减区间．（2）根据正弦函数的单调性进而可得函数f(x)的最大值和最小值．【解答】解：（1）f(x)=12sin x+1+cos x2−12=12(sin x+cos x)=√22sin(x+π4)；∴函数最小正周期为2π根据正弦函数的单调性可知，当2kπ+π2≤x+π4≤2kπ+3π2(k∈Z)时，函数单调减∴2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4为函数的单调递减区间．（2）∵−π4≤α≤π即0≤α+π4≤5π4，∴f(x)max=f(π4)=√22，f(x)min=f(π)=−12．【答案】解：（1）证明：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，因为A1B1⊥面A1D1DA，所以A1B1⊥AD1．…在矩形A1D1DA中，因为AA1=AD=2，所以AD1⊥A1D．…所以AD1⊥面A1B1D．…（2）证明：因为E∈CD，所以B1E⊂面A1B1CD，由（1）可知，AD1⊥面A1B1CD，…所以B1E⊥AD1．…（3）当点P是棱AA1的中点时，有DP // 平面B1AE．…理由如下：在AB1上取中点M，连接PM1ME．因为P是棱AA1的中点，M是AB1的中点，所以PM // A1B1，且PM=12A1B1．…又DE // A1B1，且DE=12A1B1．所以PM // DE，且PM=DE，所以四边形PMED是平行四边形，所以DP // ME．…又DP⊄面B1AE，ME⊂面B1AE，所以DP // 平面B1AE．…此时，AP=12A1A=1．…【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的性质【解析】（1）要证AD1⊥平面A1B1D，只需证明A1B1⊥AD1，AD1⊥A1D即可．（2）要证B1E⊥AD1，只需证明AD1⊥面A1B1CD即可说明结果．（3）点P是棱AA1的中点，使得DP // 平面B1AE，通过在AB1上取中点M，连接PM1ME．证明PM // A1B1，且PM=12A1B1，然后说明四边形PMED是平行四边形，然后证明DP // 平面B1AE．【解答】解：（1）证明：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，因为A1B1⊥面A1D1DA，所以A1B1⊥AD1．…在矩形A1D1DA中，因为AA1=AD=2，所以AD1⊥A1D．…所以AD1⊥面A1B1D．…（2）证明：因为E∈CD，所以B1E⊂面A1B1CD，由（1）可知，AD1⊥面A1B1CD，…所以B1E⊥AD1．…（3）当点P是棱AA1的中点时，有DP // 平面B1AE．…理由如下：在AB1上取中点M，连接PM1ME．因为P是棱AA1的中点，M是AB1的中点，所以PM // A1B1，且PM=12A1B1．…又DE // A1B1，且DE=12A1B1．所以PM // DE，且PM=DE，所以四边形PMED是平行四边形，所以DP // ME．…又DP⊄面B1AE，ME⊂面B1AE，所以DP // 平面B1AE．…此时，AP=12A1A=1．…【答案】由题意可知，a＝16，b＝0.04，x＝0.032，y＝0.004．(ⅰ)由题意可知，第4组共有4人，记为A，B，C，D，第5组共有2人，记为X，Y．从竞赛成绩是80分以上（含8的同学中随机抽取2名同学，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY，共15种情况．设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E，有AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY共9种情况．所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P(E)=915=35．答：随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率35．(ⅱ)设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，XY共7种情况．所以P(F)=715．答：随机抽取的2名同学来自同一组的概率是715．【考点】分布和频率分布表频率分布直方图古典概型及其概率计算公式【解析】（1）利用频率分布表和频率分布直方图，由题意能求出a，b，x，y的值．(2)(ⅰ)由题意可知，第4组共有4人，记为A，B，C，D，第5组共有2人，记为X，Y．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学，有15种情况由此能求出随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率．(ⅱ)设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，XY共7种情况，由此能求出随机抽取的2名同学来自同一组的概率．【解答】由题意可知，a＝16，b＝0.04，x＝0.032，y＝0.004．(ⅰ)由题意可知，第4组共有4人，记为A，B，C，D，第5组共有2人，记为X，Y．从竞赛成绩是80分以上（含8的同学中随机抽取2名同学，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY，共15种情况．设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E，有AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY共9种情况．所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P(E)=915=35．答：随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率35．(ⅱ)设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，XY共7种情况．所以P(F)=715．答：随机抽取的2名同学来自同一组的概率是715．【答案】解：f′(x)=a(1+1x2)−2x=ax2−2x+ax2，…令ℎ(x)=ax2−2x+a．(1)当a=2时，函数f(x)=2(x−1x)−2ln x，f(1)=0，f′(x)=2(1+1x2)−2x．曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线的斜率为f′(1)=2．…从而曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y−0=2(x−1)，即2x−y−2=0．…(2)函数f(x)的定义域为(0, +∞)．设ℎ(x)=ax2−2x+a，(a)当a≤0时，ℎ(x)=ax2−2x+a<0在(0, +∞)上恒成立，则f′(x)<0在(0, +∞)上恒成立，此时f(x)在(0, +∞)上单调递减．…(b)当a>0时，△=4−4a2，(I)若0<a<1，由f′(x)>0，即ℎ(x)>0，得0<x<1−√1−a2a或x>1+√1−a2a；…由f′(x)<0，即ℎ(x)<0，得1−√1−a2a<x<1+√1−a2a．…所以函数f(x)的单调递增区间为(0, 1−√1−a2a)和(1+√1−a2a, +∞)，单调递减区间为(1−√1−a2a, 1+√1−a2a)．…(II)若a≥1，ℎ(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，则f′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，此时f(x)在(0, +∞)上单调递增．…【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】(1)将a=2代入，对函数f(x)进行求导得到切线的斜率k=f′(1)，切点为（1, f(1)），根据点斜式即可写出切线方程；(2)由题意知先求函数f(x)的定义域，再由(1)得出的导数，设ℎ(x)=ax2−2x+．下面对a进行分类讨论：①当a≤0时，②当若0<a<1时，③当a≥1时，由此可知f(x)的单调增区间和单调递减区间．【解答】解：f′(x)=a(1+1x2)−2x=ax2−2x+ax2，…令ℎ(x)=ax2−2x+a．(1)当a=2时，函数f(x)=2(x−1x)−2ln x，f(1)=0，f′(x)=2(1+1x2)−2x．曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线的斜率为f′(1)=2．…从而曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y−0=2(x−1)，即2x−y−2=0．…(2)函数f(x)的定义域为(0, +∞)．设ℎ(x)=ax2−2x+a，(a)当a≤0时，ℎ(x)=ax2−2x+a<0在(0, +∞)上恒成立，则f′(x)<0在(0, +∞)上恒成立，此时f(x)在(0, +∞)上单调递减．…(b)当a>0时，△=4−4a2，(I)若0<a<1，由f′(x)>0，即ℎ(x)>0，得0<x<1−√1−a2a或x>1+√1−a2a；…由f′(x)<0，即ℎ(x)<0，得1−√1−a2a<x<1+√1−a2a．…所以函数f(x)的单调递增区间为(0, 1−√1−a2a)和(1+√1−a2a, +∞)，单调递减区间为(1−√1−a2a, 1+√1−a2a)．…(II)若a ≥1，ℎ(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，则f′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，此时f(x) 在(0, +∞)上单调递增． … 【答案】 解：（1）当m =0时，直线l 的方程为x =1，设点E 在x 轴上方，由{x 29+y 2t=1x =1，解得E(1, 2√2t 3)，F(1, −2√2t 3)．所以|EF|=4√2t3=83，解得t =2．所以椭圆C 的方程为x 29+y 22=1．（2）由{x 29+y 22=1x =my +1，得(2m 2+9)y 2+4my −16=0，显然m ∈R ． 设E(x 1, y 1)，F(x 2, y 2)，则y 1+y 2=−4m 2m 2+9，y 1y 2=−162m 2+9． x 1=my 1+1，x 2=my 2+1． 又直线AE 的方程为y =y 1x 1+3(x +3)，由{y =y 1x 1+3(x +3)x =3，解得M(3, 6y 1x 1+3)，同理得N(3, 6y 2x 2+3)．又B(1, 0)， 所以BM →=(2, 6y 1x 1+3)，BN →=(2, 6y 2x 2+3)，又因为BM →⋅BN →=(2, 6y 1x 1+3)•(2, 6y 2x 2+3)=4+36y 1y 2(x 1+3)(x 2+3)=4+36y 1y 2(my 1+4)(my 2+4)=4(my 1+4)(my 2+4)+36y 1y 2m 2y 1y 2+4m(y 1+y 2)+16=−16(4m 2+36)−16×4m 2+16×4(2m 2+9)−32m 2+16(2m 2+9)=−64m 2−576−64m 2+128m 2+5769=0．所以BM →⊥BN →，所以以MN 为直径的圆过点B ． 【考点】圆锥曲线的综合问题 椭圆的标准方程 【解析】（1）m =0时直线l 的方程与椭圆方程联立解得E ，F 坐标，据|EF|=83得到关于t 的方程，解出即可．（2）由{x 29+y 22=1x =my +1消x 得到关于y 的一元二次方程，设E(x 1, y 1)，F(x 2, y 2)，由韦达定理可用m 表示y 1，y 2，根据已知条件可求出M ，N 坐标，判断以MN 为直径的圆是否经过点B ，只需判断是否有BM →⊥BN →，进而转化为是否有BM →⋅BN →=0，通过计算即可验证．【解答】解：（1）当m =0时，直线l 的方程为x =1，设点E 在x 轴上方，由{x 29+y 2t =1x =1，解得E(1, 2√2t 3)，F(1, −2√2t 3)．所以|EF|=4√2t 3=83，解得t =2．所以椭圆C 的方程为x 29+y 22=1．（2）由{x 29+y 22=1x =my +1，得(2m 2+9)y 2+4my −16=0，显然m ∈R ．设E(x 1, y 1)，F(x 2, y 2)，则y 1+y 2=−4m 2m 2+9，y 1y 2=−162m 2+9． x 1=my 1+1，x 2=my 2+1． 又直线AE 的方程为y =y 1x1+3(x +3)，由{y =y1x 1+3(x +3)x =3，解得M(3, 6y 1x 1+3)， 同理得N(3, 6y 2x2+3)．又B(1, 0)， 所以BM →=(2, 6y 1x 1+3)，BN →=(2, 6y 2x 2+3)，又因为BM →⋅BN →=(2, 6y 1x 1+3)•(2, 6y 2x2+3)=4+36y 1y 2(x 1+3)(x 2+3)=4+36y 1y 2(my 1+4)(my 2+4)=4(my 1+4)(my 2+4)+36y 1y 221212=−16(4m 2+36)−16×4m 2+16×4(2m 2+9)−32m 2+16(2m 2+9)=−64m 2−576−64m 2+128m 2+5769=0．所以BM →⊥BN →，所以以MN 为直径的圆过点B ．【答案】 证明：（1）显然，交换任何两行或两列，特征值不变．可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数只有三种可能，2，3或2，4或3，4． 得到数表的不同是32或43 …第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页（2）当n =3时，数表为此时，数表的“特征值”为 43 …当n =4时，数表为此时，数表的“特征值”为54．…当n =5时，数表为此时，数表的“特征值”为65．… 猜想“特征值”为n+1n．…（3）设a ，b(a >b)为该行（或列）中最大的两个数，则λ≤ab ≤n 2n 2−n+1， 因为n 2n 2−n+1−n+1n =n 3−(n 3+1)n(n 2−n+1)=−1n(n 2−n+1)<0所以n 2n 2−n+1<n+1n，从而λ<n+1n…【考点】 演绎推理 归纳推理 类比推理【解析】（1）可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数的可能，可得特征值；（2）分别写出当n =3，n =4，n =5时的图表，由特征值的定义可得答案．（3）设a ，b(a >b)为该行（或列）中最大的两个数，易得λ≤ab ≤n 2n −n+1，作差可证n 2n −n+1<n+1n，进而可得答案．【解答】 证明：（1）显然，交换任何两行或两列，特征值不变．可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数只有三种可能，2，3或2，4或3，4．得到数表的不同是32或43…（2）当n =3时，数表为此时，数表的“特征值”为 43 …当n =4时，数表为此时，数表的“特征值”为54．…当n =5时，数表为此时，数表的“特征值”为65．… 猜想“特征值”为n+1n．…（3）设a ，b(a >b)为该行（或列）中最大的两个数，则λ≤ab ≤n 2n 2−n+1， 因为n 2n 2−n+1−n+1n =n 3−(n 3+1)n(n 2−n+1)=−1n(n 2−n+1)<0所以n 2n 2−n+1<n+1n，从而λ<n+1n…。
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北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题（文史类） 2013.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合{02}A x x =<<，集合2{log 0}B x x =>，则A B 等于A ．{}|2x x< B ．{}|x x >0 C ．{}|02x x << D ．{}|12x x <<【答案】D解：2{log 0}{1}B x x x x =>=>,所以A B {}|12x x =<<，选D. 2．已知i 是虚数单位，若复数(1i)(2i)a ++是纯虚数，则实数a 等于A ．2B ．12C ．12-D ．2-【答案】A解：(1)(2)2(12)a i i a a i ++=-++，要使复数为纯虚数，所以有20,120a a -=+≠，解得2a =，选A.3.“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y += 相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A解：要使直线0x y k -+=与圆221x y += 相交，则有圆心到直线的距离1d =≤。
即k ≤，所以k ≤≤，所以“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y += 相交”的充分不必要条件，选A.4. 执行如图所示的程序框图．若输入3x =，则输出k 的值是A ． 3B ．4C ． 5D ． 6 【答案】C解：第一次循环358,1x k =+==；第二次循环8513,2x k =+==；第三次循环13518,3x k =+==；第四次循环18523,4x k =+==；第五次循环23528,5x k =+==，此时满足条件输出5k =，选C.5. 已知0x >，0y >，且21x y +=，则xy 的最大值是A.14B.18C. 4D. 8【答案】B解：因为21x y +=≥18xy ≤，当且仅当122x y ==，即11,42x y ==取等号，所以选B.6. 已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A 4B 2C ．34D ．1【答案】C解：由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为2，高13224⨯=。
选C.7.已知函数e,0,()21,0x a xf xx x⎧+≤=⎨->⎩（a∈R），若函数()f x在R上有两个零点，则a的取值范围是A．(),1-∞-B．(),0-∞C．()1,0-D．[)1,0-【答案】D解：当0x>时，由()0f x=得210x-=，此时12x=。
当0x≤时，由()0f x=得0xe a+=。
即xa e=-，因为0x≤，所以10xe-≤-<，即10a-≤<，选D.8.在棱长为1的正方体1111A B C D A B C D-中，1P，2P分别为线段A B，1B D（不包括端点）上的动点，且线段12P P平行于平面11A A D D，则四面体121P P A B的体积的最大值是A．124B．112C．16D．12【答案】A解：过2P做2P O⊥底面于O,连结1O P, 则1O P A B⊥，即1O P为三棱锥211P P A B-的高，设101A P x x=<<，，则由题意知1//O P A D,所以有11O P B PA D A B=，即11OP x=-。
三角形1112A P BS x∆=，所以四面体121P P A B的体积为11211111111(1)(1)()33266224A P Bx xS O P x x x x∆+-⋅=⨯-=-≤=，当且仅当1x x=-，即12x=时，取等号，所以四面体121P P A B的体积的最大值为124，选A.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9. 已知数列1,,9a是等比数列，数列121,,,9b b是等差数列，则12ab b+的值为.【答案】310解：因为1,,9a 是等比数列，所以2199a =⨯=，所以3a =±。
121,,,9b b 是等差数列121910b b +=+=。
所以12310a b b =+。
10.在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +-=，则A = ． 【答案】3π解：根据余弦定理可得2221co s 222b c ab c A b cb c+-===，所以3A π=。
11.若关于x ，y 的不等式组10,10,10x y x a x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 .【答案】3解：先做出不等式10,10,x y x +-≥⎧⎨-≤⎩对应的区域如图。
因为直线10ax y -+=过定点(0,1)，且不等式10ax y -+≥表示的区域在直线10ax y -+=的下方，所以三角形ABC 为不等式组对应的平面区域，三角形的高为1，所以1122A B C S B C ∆=⨯⨯=，所以4B C =，当1x =时，1C y a =+,所以14C y a =+=，解得3a =。
12.已知双曲线中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段1P F 的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是 ，离心率是 .【答案】1422=-yx解：由双曲线的焦点可知c =PF 1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为2F ，则有2P F x ⊥，且24P F =，点P在双曲线右支上。
所以16P F ===，所以CBADE126422P F P F a -=-==，所以2221,4a b c a ==-=，所以双曲线的方程为1422=-yx，离心率c e a==、.13.在直角三角形A B C 中，90A C B ∠=︒，2A C B C ==，点P 是斜边A B 上的一个三等分点，则C P C B C P C A ⋅+⋅=．【答案】4解：由题意知三角形为等腰直角三角形。
因为P 是斜边A B 上的一个三等分点，所以13A P AB =，所以13C P C A A P C A A B =+=+，所以211842c o s 135333C P C A C A A B C A =+=+⨯=，1142co s 45333C P C B C A C B A B C B =+=⨯=，所以84433C P C B C P C A ⋅+⋅=+= 。
14. 将连续整数1,2,,25 填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为.【答案】45； 85解：因为第3列前面有两列，共有10个数分别小于第3列的数，因此：最小为：3+6+9+12+15=45.因为第3列后面有两列，共有10个数分别大于第3列的数，因此：最大为：23+20+17+14+11=85.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数2()sinco sco s1222x x x f x =+-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）求函数()f x 在[,]π3π42上的最小值.16. （本小题满分14分）在长方体1111A B C D -A B C D 中，12A A =A D =，E 是棱C D 上的一点． （Ⅰ）求证：1A D ⊥平面11A B D ；（Ⅱ）求证：11B E A D ⊥；（Ⅲ）若E 是棱C D 的中点，在棱1A A 上是否存在点P ，使得D P ∥平面1B A E ？若存在，求出线段A P 的长；若不存在，请说明理由． 17. （本小题满分13分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”， 全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（Ⅰ）写出,,,a b x y的值； （Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动. （ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率； （ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率.18. （本小题满分13分）已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ．（Ⅰ）若2a=，求曲线()yf x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19. （本小题满分14分）已知直线:1()l x m y m =+∈R 与椭圆()22:109xy C t t+=>相交于,E F 两点，与x 轴相交于点B ，且当0m =时，83E F =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点A 的坐标为(3,0)-，直线A E ，A F 与直线3x =分别交于M ，N 两点.试判断以M N 为直径的圆是否经过点B ?并请说明理由.组别 分组 频数 频率 第1组 [50，60）8 0.16 第2组 [60，70） a▓第3组 [70，80） 20 0.40 第4组 [80，90） ▓ 0.08 第5组[90，100]2 b合计▓▓频率分布表频率频率分布直方图 x20. （本小题满分13分）将正整数21,2,3,4,,n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数,a b （a b >）的比值a b，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.（Ⅰ）当2n =时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（Ⅱ）若ij a 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数（1i n ≤≤，1j n ≤≤），且满足(1),(1),ij i j i n i j a i n i j n i j +--<⎧=⎨+-+-≥⎩， ，请分别写出3,4,5n =时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；（Ⅲ）对于由正整数21,2,3,4,,n 排成的n 行n 列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合222{1,2,,}n n n n n -+-+ ，记其“特征值”为λ，求证：1.n nλ+<北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题答案（文史类） 2013.1三、解答题：（15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）1co s ()sinco s1222x x xf x +=+-111sin co s 222x x =+-…………………………………………2分1().242x π=+-……………………………………………4分所以函数()f x 的最小正周期为2π. …………………………………………6分 由322242k x k ππππ+≤+≤π+，k ∈Z ，则52244k x k πππ+≤≤π+.则函数()f x 单调减区间是5[2,2]44k k πππ+π+，k ∈Z . ………………9分(Ⅱ)由x π3π≤≤42，得7244x πππ≤+≤. ………………………………………11分则当342x ππ+=，即54x π=时，()f x 取得最小值12-. …………………13分（16）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在长方体1111A B C D -A B C D 中，因为11A B ⊥面11A D D A ，所以111A B A D ⊥． ………………………………………………………………2分 在矩形11A D D A 中，因为12A A =A D =，所以11A D A D ⊥．……………………4分 所以1A D ⊥面11A B D . ………………………………………………………5分 （Ⅱ）因为E C D ∈，所以1B E ⊂面11A B C D ，由（Ⅰ）可知，1A D ⊥面11A B C D ， …………………………………………7分所以11B E A D ⊥． …………………………………………………………………8分 （Ⅲ）当点P 是棱1A A 的中点时，有D P ∥平面1B A E ． ………………………9分 理由如下：在1A B 上取中点M ，连接P M ,M E ． 因为P 是棱1A A 的中点，M 是1A B 的中点， 所以P M ∥11A B ，且1112P M A B =．……10分又D E ∥11A B ，且1112D E A B =．所以P M ∥D E ，且P M D E =， 所以四边形P M E D 是平行四边形，所以D P ∥M E ．…………………………11分 又D P ⊄面1B A E ，M E ⊂面1B A E ，所以D P ∥平面1B A E ． …………………………………………………………13分 此时，1112A P A A ==． …………………………………………………………14分（17）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知，16,0.04,0.032,0.004a b x y ====．……………………4分 （Ⅱ）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为,,,A B C D ，第5组共有2人，记为,X Y ．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有,,,,,,,A B A C A D B C B D C D A X A Y ，,,,,,,B X B Y C X C Y D X D Y X Y共15种情况．…………………………………………………………………………6分 设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ， …………7分 有,A X A Y ，,,,,,,B X B Y C X C Y D X D Y X Y 共9种情况． ……………8分 所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是93()155P E ==．答：随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率35. ……………10分（ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F ，有,,,,,,A B A C A D B C B D C D X Y 共7种情况． …………………………………………………………………………11分 所以7()15P F =答：随机抽取的2名同学来自同一组的概率是715． ………………………………13分A 1B 1CBD 1C 1ADEPM（18）（本小题满分13分） 解：222122()(1)a x x af x a xxx-+'=+-=， ……………………………………………1分令2()2h x ax x a=-+．（Ⅰ）当2a=时，函数1()2()2ln f x x xx=--，(1)0f =，212()2(1)f x xx'=+-．曲线()yf x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为(1)2f '=． …………………………2分从而曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为02(1)yx -=-，即220x y --=． ………………………………………………………………4分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞． 设2()2h x ax x a=-+，（1）当0a ≤时，2()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减．……………6分（2）当0a >时，244a ∆=-， （ⅰ）若01a <<， 由()0f x '>，即()0h x >，得10x a-<<或1x a+>；……………8分由()0f x '<，即()0h x <，得11x a a -+<<．………………………9分所以函数()f x的单调递增区间为a和)a+∞，单调递减区间为aa． ……………………………………11分（ⅱ）若1a ≥，()0h x ≥在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增． ………………………………………………………………13分 （19）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）当0m =时，直线l 的方程为1x =，设点E 在x 轴上方，由221,91x ytx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得(1,(1,)33E F -.所以833E F ==，解得2t =. ……………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22192xy+=. ………………………………………………4分（Ⅱ）由221,921x yx m y ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(29)4160m y m y ++-=，显然m ∈R . …………5分 设1122(,),(,)E x y F x y ,则121222416,2929m y y y y m m --+==++. ……………6分111x m y =+,221x m y =+.又直线A E 的方程为11(3)3y y x x =++，11(3),33y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩解得116(3,)3y M x +， 同理得226(3,)3y N x +.所以121266(2,),(2,)33y y B M B N x x ==++ , …………………………………………9分 又因为121266(2,)(2,)33y y B M B N x x ⋅=⋅++ 12121212363644(3)(3)(4)(4)y y y y x x m y m y =+=+++++1212212124(4)(4)364()16m y m y y y m y y m y y +++=+++2222216(436)164164(29)3216(29)m m m m m -+-⨯+⨯+=-++22264576641285769m m m ---++=0=.…………………13分所以B M B N ⊥,所以以M N 为直径的圆过点B . ………………………………14分（20）（本小题满分13分） 证明：（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数只有三种可能，2,3或2,4或3,4.得到数表的不同特征值是32或4.3……………………………………………3分（Ⅱ）当3n=时，数表为此时，数表的“特征值”为4.3……………………………………………………4分当4n=时,数表为此时，数表的“特征值”为54. ………………………………………………………5分当5n=时，数表为此时，数表的“特征值”为65. …………………………………………………………6分猜想“特征值”为1nn+. …………………………………………………………………7分（Ⅲ）设,a b（a b>）为该行（或列）中最大的两个数，则221a nb n nλ≤≤-+，因为2332221(1)10, 1(1)(1) n n n nn n n n n n n n n+-+-==-< -+-+-+所以2211n nn n n+<-+，从而1.nnλ+<…………………………………………13分7 1 45 8 23 6 913 1 5 910 14 2 67 11 15 34 8 12 1621 1 6 11 1617 22 2 7 1213 18 23 3 89 14 19 24 45 10 15 20 25。