2019届全国高考原创仿真试卷(三)数学(理)
2019届全国高考原创仿真试卷（三）数学（理科）本试题卷共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数的实部为A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】==，∴复数的实部为0．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．2. 设集合，集合，则等于A. B. C. D. R【答案】D【解析】【分析】先求出集合A和集合B，由此能求出．【详解】∵集合A={y|y=log2x，0＜x≤4}={y|y≤2}，集合B={x|e x＞1}={x|x＞0}，∴= R．故选：D．【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．3. “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所示的是一位猎人记录自己采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数（用十进制表示）是A. 492B. 382C. 185D. 123【答案】D【解析】由题意满四进一，可得该图示是四进位制，化为十进位制为：.故选：D4. 给出下列四个结论：①命题“.”的否定是“.”；②“若，则.”的否命题是“若则.”；③若是真命题，是假命题，则命题中一真一假；④若，则是的充分不必要条件.其中正确结论的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】对于①命题“”的否定是“”，正确；对于②“若，则”的否命题是“若，则”，正确；对于③是真命题说明命题至少有一个是真命题，是假命题说明命题至少有一个是假命题，∴命题中一真一假，正确；对于③由，解得：；由解得：，∴是的必要不充分条件，命题错误；故选：C5. 已知，则A. B. C. D.【答案】C【解析】根据诱导公式得到，结合两式得到.故答案为：C。
6. 已知实数满足，若只在点（4，3）处取得最大值，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，然后对a进行分类，当a≥0时显然满足题意，当a＜0时，化目标函数为直线方程斜截式，比较其斜率与直线BC的斜率的大小得到a的范围．【详解】由不等式组作可行域如图:联立，解得C（4，3）．当a=0时，目标函数化为z=x，由图可知，可行解（4，3）使z=x﹣ay取得最大值，符合题意；当a＞0时，由z=x﹣ay，得y=x，此直线斜率大于0，当在y轴上截距最大时z最大，可行解（4，3）为使目标函数z=x﹣ay的最优解，a＜1符合题意；当a＜0时，由z=x﹣ay，得y=x，此直线斜率为负值，要使可行解（4，3）为使目标函数z=x﹣ay取得最大值的唯一的最优解，则＜0，即a＜0．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，1）．故选：C．【点睛】本题考查线性规划问题，考查了分类讨论的数学思想方法和数形结合的解题思想方法，解答的关键是化目标函数为直线方程斜截式，由直线在y轴上的截距分析z的取值情况，属于中档题．7. 如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体直观图，利用三视图的数据转化求解几何体的体积．【详解】如图，在棱长为2的正方体中，点A，B，C为正方体的顶点，点D，E为所在棱的中点，由三视图还原后的几何体为四棱锥A﹣BCDE，分析知四棱锥的侧面ABE⊥底面BCDE，点A到直线BE的距离即为棱锥的高，易求得为，故四棱锥的体积为．故选：A．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.8. 已知与为单位向量，且，向量满足＝2，则｜｜的取值范围为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由，是单位向量，•=0．可设=（1，0），=（0，1），=（x，y）．由向量满足|﹣﹣|=2，可得（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．其圆心C（1，1），半径r=2．利用|OC|﹣r≤||=≤|OC|+r即可得出．【详解】由，是单位向量，•=0，可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），由向量满足|﹣﹣|=2，∴|（x﹣1，y﹣1）|=2，∴=2，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，其圆心C（1，1），半径r=2，∴|OC|=∴2﹣≤||=≤2+．故选：B．【点睛】本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．9. 将函数的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数的图象，且的图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意恒成立，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知求得g（x）=2sin（ωx+）﹣1，再由已知得函数g（x）的最小正周期为π，求得ω=2，结合g（x）＞﹣1对任意恒成立列关于的不等式组求解．【详解】将函数y=2sinωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度，得g（x）=2sinω（x+）﹣1=2sin（ωx+φ）﹣1，又y=g（x）的图象与直线y=1相邻两个交点的距离为π，得T=π，即．∴g（x）=2sin（2x+φ）﹣1，当时，，∵，∴，解得．∴φ的取值范围是．故选：B．【点睛】解决函数综合性问题的注意点（1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式．（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．10. 设双曲线的左、右焦点分别为. 若点P在双曲线上，且为锐角三角形，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形，不妨设P在第一象限，P点在P1与P2之间运动，求出∠PF2F1和∠F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值，可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围．【详解】△F1PF2为锐角三角形，不妨设P在第一象限，P点在P1与P2之间运动，如图，当P在P1处，∠F1P1F2为=90°，∴S=|F1F2|•|y|=|P1F1|•|P1F2|，由|P1F1|2+|P1F2|2=|F1F2|2，|P1F1|﹣|P1F2|=2，可得|P1F1|•|P1F2|=6，此时|P1F1|+|P1F2|=2，当P在P2处，∠P2F1F2为=90°，x=2，易知y=3，此时|P2F1|+|P2F2|=2|P2F2|+2=8，∴△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是（2，8），故选：A．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查等价转化思想方法，属于中档题．11. 点P为棱长是的正方体的内切球O球面上的动点，点M为的中点，若满足，则动点P的轨迹的长度为A. B. 2 C. 4 D. 2【答案】C【解析】根据题意，该正方体的内切球半径为，由题意,取的中点，连接，则，∵正方体,∴为在平面中的射影，∴点的轨迹为过的平面与内切球的交线，∵正方体的边长为，∴到过的平面的距离，∴截面圆的半径为：2，∴点的轨迹周长为：，故选C.点睛：本题考查了学生的空间想象力，求出点P的轨迹是关键；直线在过点且与垂直的平面内．又点在内接球的球面上，故点的轨迹是正方体的内切球与过且与垂直的平面相交得到的小圆，即可得出结论．12. 设函数是函数的导函数，已知，且，则使得成立的的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数F（x），利用F（x）的导数判断函数F（x）的单调性，求出不等式的解集即可．【详解】设，则，即函数F（x）在R 上单调递减，因为f'（x）=f'（4﹣x），即导函数y=f'（x）关于直线x=2对称，所以函数y=f（x）是中心对称图形，且对称中心（2，1），由于f（4）=0，即函数y=f（x）过点（4，0），其关于点（2，1）的对称点（0，2）也在函数y=f（x）上，所以有f（0）=2，所以，而不等式f（x）﹣2e x＜0即，即F（x）＜F（0），所以x＞0，故使得不等式f（x）﹣2e x＜0成立的x的取值范围是（0，+∞）．故选：B．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 幂函数的图象关于轴对称，则实数＝_______.【答案】2【解析】【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再验证即可．【详解】函数f（x）=（m2﹣3m+3）x m是幂函数，∴m2﹣3m+3=1，解得m=1或m=2；当m=1时，函数y=x的图象不关于y轴对称，舍去；当m=2时，函数y=x2的图象关于y轴对称；∴实数m=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，属于基础题．14. 的展开式中，的系数为_______.【答案】60【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，先确定y的次数，再确定x的次数即可．【详解】∵=[（x+2）+y]5，其展开式的通项公式为T r+1=•（x+2）5﹣r•y r，令r=2，得（x+2）3的通项公式为•x3﹣m•2m，再令3﹣m=2，得m=1，∴的展开式中，的系数为•=60．故答案为：60．【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.15. 在△中，分别是内角A，B，C的对边且B为锐角，若，，则的值为________.【答案】【解析】【分析】由已知及正弦定理可得a=，利用三角形面积公式可得ac=5，联立①②可得a，c，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，由余弦定理可得b的值．【详解】∵，∴，可得：a=，①∵S△ABC=acsinB=，sinB=，∴ac=5，②∴联立①②可得a=5，c=2，∵sinB=，且B为锐角，∴cosB==，∴由余弦定理可得：b2=25+4﹣2×=14，解得：b=．故答案为：．【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于的两点，且轴，若为椭圆上异于的动点且，则该椭圆的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，假设A在第一象限，则，过B作BC⊥x轴于C，分析易得△AF1F2～△BF1C，分析可得B的坐标，将其代入椭圆的方程，变形可得25c2+b2=9a2，结合椭圆的几何性质可得3c2=a2，又由椭圆的离心率公式计算可得答案．【详解】根据题意，因为AF2⊥x轴且F2（c，0），假设A在第一象限，则，过B作BC⊥x轴于C，则易知△AF1F2～△BF1C，由得|AF1|=3|BF1|，所以|AF2|=3|BC|，|F1F2|=3|CF1|，所以，代入椭圆方程得，即25c2+b2=9a2，又b2=a2﹣c2，所以3c2=a2，所以椭圆离心率为．故答案为：．【点睛】对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019届全国新高考原创仿真试卷(三)数学(理科)试题
2019届全国新高考原创仿真试卷（三）数学（理科）本试题卷共8页，23题（含选考题），分选择题和非选择题两部分。
全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M = [1，2], N = {0<322|--∈x x Z x }, 则M∩N =A. [1，2]B. (-1，3)C. {1}D. {1，2}2.复数i i iz (3+=为虚数单位）的共轭复数为 A.i 103101+ B. i 103101- C. i 103109+ D. i 103109- 3.已知抛物线2x y =，则其准线方程为 A. 41-=y B. 21-=y C. 1-=y D. 2-=y 4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有 一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地”，请问此人第5天走的路程为 A.36 里 B.24 里 C.18里 D.12里5.下列有关命题的说法中错误的是A.设R b a ∈,则“a>b ”是“a|a| >b|b|的充要条件B.若q p ∨为真命题，则p 、q 中至少有一个为真命题C.命题：“若)(x f y =是幂函数，则)(x f y =的图象不经过第四象限”的否命题是假命题D.命题“**∈∈∀N n f N n )(,且n n f ≤)(”的否定形式是，“**∉∈∃N n f N n )(,00且00>)(n n f ”6.己知不等式0<1a 2++x x 的解集为(一2，-1)，则二项式62)1(xax -展开式的常数项是 A. -15 B. 15 C. -5 D. 57.一个几何体三视图如右图所示，则该几何体体积为 A. 12 B. 8 C. 6D. 48.若函数 )25sin()sin(3)(x x x f ωπωπ++-=,且||,0)(,2)(βαβα-==f f 的最小值是2π，则)(x f 的单调递增区间是 A. )](32,322[Z k k k ∈+-ππππ B. )](62,652[Z k k k ∈+-ππππ C. )](12,125[Z k k k ∈+-ππππ D. )](6,3[Z k k k ∈+-ππππ 9.甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借A 、B 、C 、D 四类课外书（每类课外书均有若干本)，己知每人只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅A 类课外书，则不同的借阅方案种类为 A.48B.54C.60D.7210.己知点A(4,0), B(0,4),点P(x, y)的坐标x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥0124300y x y x ，则⋅的最小值为A. 25196-B.0C. 425D.-8 11.过双曲线12222=-by a x (a> 0,b > 0)的右焦点F 且平行于其一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，直线l 与双曲线交于点B,且|BF| = 2|AB|，则双曲线的离心率为 A.332 B. 2 C.3 D. 2 12.设函数)(x f 是定义在(-∞,0)上的可导函数，其导函数为)('x f ，且有0>)(')(x f x f +, 则不等式0>)2(4)2018()2018(2--++f x f x 的解集为 A. (-2020,0) B. (-∞,-2020) C. (-2016,0)D. (-∞,-2016)第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(三)(解析版)
5 6
A．1 个
（2）190 是数列 an 中的项
（4）当 n 7 时， an 21 取最小值 n
B．2 个
C．3 个
D．4 个
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
2x y 0
13．[2019·深圳期末]已知不等式组
x
2
y
0
所表示的平面区域为
该多面体的表面积为（ ）
A． 28 4 5
B． 28 8 2
C．16 4 2 8 5
D．16 8 2 4 5
10．[2019·汕尾质检]已知 A ，B ，C ，D 是球 O 的球面上四个不同的点，若 AB AC DB DC BC 2 ，
且平面 DBC 平面 ABC ，则球 O 的表面积为（ ）
图1
图2
（1）证明： AF 平面 MEF ；
（2）求二面角 M AE F 的大小．
20．（12 分）[2019·临沂质检]已知抛物线 C : y2 2 px p 0 的焦点为 F ， P 为抛物线上一点，
O 为坐标原点， △OFP 的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为 3π ． （1）求抛物线 C 的方程； （2）设直线 l 交 C 于 A ， B 两点， M 是 AB 的中点，若 AB 12 ，求点 M 到 y 轴的距离的最小值，并求 此时 l 的方程．
B． 2 3
C． 9 4
D． 4 9
12．[2019·江西九校联考]设 x 为不超过 x 的最大整数， an 为 xx x 0,n 可能取到所有值的
个数，
Sn
是数列
2019年高考数学(理)模拟试题(三)含答案及解析
2019年高考数学(理)模拟试题(三)含答案及解析2019年高考数学（理）模拟试题（三）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足(1-i)z=2+i，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A。
第一象限B。
第二象限C。
第三象限D。
第四象限2.设集合M={x|x<36}，N={2,4,6,8}，则M∩N=（）A。
{2,4}B。
{2,4,6}C。
{2,6}D。
{2,4,6,8}3.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A。
1/4B。
1/3C。
1/2D。
2/34.将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A。
42种B。
48种C。
54种D。
60种5.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（）A。
32π/3B。
64π/3C。
32πD。
64π/26.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，AC=BC，则△ABC的欧拉线方程为（）A。
2x+y-3=0B。
2x-y+3=0C。
x-2y-3=0D。
x-2y+3=07.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A。
2019年全国III卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国III 卷)(适用地区：云南、广西、贵州、四川、西藏)理科数学本试卷共23题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =−=≤，，则A B =A ．{}1,0,1−B ．{}0,1C ．{}1,1−D ．{}0,1,22．若(1i)2i z +=，则z =A ．1i −−B ．1+i −C ．1i −D ．1+i3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8 4．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 5．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 6．已知曲线e ln xy a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则A ．e 1a b ==−，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b −==，D ．1e a −=，1b =−7．函数3222x xx y −=+在[]6,6−的图像大致为 A ． B ． C ． D ．8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线9．执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于A ．4122−B ．5122−C ．6122−D ．7122−10．双曲线C ：2242x y −=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为 A ．324B ．322C ．22D ．3211．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322−）＞f （232−） B ．f （log 314）＞f （232−）＞f （322−）C ．f （322−）＞f （232−）＞f （log 314） D ．f （232−）＞f （322−）＞f （log 314）12．设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考真题理科数学全国Ⅲ卷
高考真题理科数学全国Ⅲ卷IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国）（试题及答案解析）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】B【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B 元素的个数为2，故选B.2．设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（）A ．12B CD ．2【答案】C【解析】由题，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2z -+====+++-，则z C. 3．某城市为了解游客人数的变化规律，提升旅游服务质量，收集并整理了2019年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．2019年2019年2019年根据该折线图，下列结论错误的是（） A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A【解析】由题图可知，2019年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，故选A.4．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（）A ．-80B ．-40C ．40D ．80 【答案】C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()()()()2332233355C 2C 240x x y y x y x y ⋅-+⋅-=，则33x y 的系数为40，故选C.5．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -=【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为52y x =，则52b a =① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,5a b ==，则双曲线C 的方程为22145x y -=，故选B.6．设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到， 如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.7．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】D【解析】程序运行过程如下表所示：初始状态0 100 1第1次循环结束100 10- 2第2次循环结束90 1 3此时9091S =<首次满足条件，程序需在3t =时跳出循环，即2N =为满足条件的最小值，故选D.8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．πB ．3π4C ．π２D ．π4【答案】B【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径r = 则圆柱体体积23ππ4V r h ==，故选B.9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（） A ．24- B ．3- C ．3D ．8 【答案】A【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为.则2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++ 又∵11a =，代入上式可得220d d += 又∵0d ≠，则2d =-∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A. 10．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段1A 2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（）A B CD ．13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离等于半径，∴d a ==又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b =∵222b ac =-，可得()2223a a c =-，即2223c a =∴c e a == A11．已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（）A ．1-２B ．13C ．12D ．1 【答案】C【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴，由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=，解得12a =．12．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（） A ．3 B． CD ．2 【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为轴正半轴， AB 为轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴BD = ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．即C． ∵P 在C 上．∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设P 点坐标00(,)x y ，能够设出P 点坐标满足的参数方程如下：而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =． ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=∴0112x μθ==+，01y λθ==+． 两式相加得：(其中sin ϕcos ϕ) 当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x ，y 满足约束条件0,20,0,-⎧⎪+-⎨⎪⎩x y x y y ≥≤≥则34z x y =-的最小值为________．【答案】1-()A O DxyBPCE【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为34z x y =-，则直线344z y x =-纵截距越大，值越小．由图可知：在()1,1A 处取最小值，故min 31411z =⨯-⨯=-．14．设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =________． 【答案】8-【解析】{}n a 为等比数列，设公比为．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即1121113a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②， 显然1q ≠，10a ≠，②①得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =， ()3341128a a q ∴==⨯-=-．15．设函数1,0,()2,0,+⎧=⎨>⎩xx x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________．【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】()1,02 ,0+⎧=⎨>⎩xx x f x x ≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭ 由图象变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如下：由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.16．，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与，都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与成60︒角时，AB 与成30︒角； ②当直线AB 与成60︒角时，AB 与成60︒角； ③直线AB 与所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与所成角的最大值为60︒．其中准确的是________（填写所有准确结论的编号） 【答案】②③【解析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1， 故||1AC =，2AB =，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD 为轴正方向，CB 为轴正方向， CA 为轴正方向建立空间直角坐标系． 则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线的方向单位向量(0,1,0)a =，||1a =．B 点起始坐标为(0,1,0)，直线的方向单位向量(1,0,0)b =，||1b =． 设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'， 其中为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈．那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--，||2AB '=． 设AB '与所成夹角为π[0,]2α∈，则(cos ,sin ,1)(0,1,0)cos sin |a AB θθαθ--⋅==∈'． 故ππ[,]42α∈，所以③准确，④错误． 设AB '与所成夹角为π[0,]2β∈，cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)cos |AB b b AB b AB βθθθ'⋅='-⋅='=.当AB '与夹角为60︒时，即π3α=，sin32πθα===． ∵22cos sin 1θθ+=，∴|cos |θ． ∴1cos |cos |2βθ=．∵π[0,]2β∈．∴π=3β，此时AB '与夹角为60︒．∴②准确，①错误．三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分． 17．（12分）ABC∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A +=，a =，2b =． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【解析】（1）由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,4AC BC AB ===，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-=∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD .由勾股定理AD =又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=， 1πsin 26ABDS AD AB =⋅⋅△18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）相关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解析】⑴易知需求量可取200,300,500 ()257425003035P X ++===⨯.当200n ≤时：，此时max 400Y =，当200n =时取到. ②当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦此时max520Y =，当300n =时取到.③当300500n <≤时， 此时520Y <.④当500n ≥时，易知一定小于③的情况. 综上所述：当300n =时，取到最大值为520.19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形．ABD CBD ，AB BD ． （1）证明：平面ACD 平面ABC ； （2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D AE C 的余弦值．【解析】⑴取AC 中点为O ，连接BO ，DO ；ABC ∆为等边三角形∴BO AC ⊥∴AB BC =AB BCBD BDABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD CBD ∴∆≅∆. ∴AD CD =,即ACD ∆为等腰直角三角形，ADC ∠ 为直角又O 为底边AC 中点 ∴DO AC ⊥令AB a =，则AB AC BC BD a ====易得：OD =，OB ∴222OD OB BD +=由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥又∵OD ADC ⊂平面由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面 ⑵由题意可知V V D ACE B ACE --= 即B ,D 到平面ACE 的距离相等 即E 为BD 中点以O 为原点，OA 为轴正方向，OB 为轴正方向，OD 为轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,4a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭易得：,24a a AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设平面AED 的法向量为1n ，平面AEC 的法向量为2n ，则110AE n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(13,1,n =D A BC EDBCE O220AE n OA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(20,1,n = 若二面角D AE C --为，易知为锐角，则12127cos 7n n n n θ⋅==⋅ 20．（12分）已知抛物线2:2C y x ，过点（2，0）的直线交C 于A ，B 两点，圆M是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2），求直线与圆M 的方程．【解析】⑴显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立：222y xx my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于，122y y m +=，124y y =-．∴OA OB ⊥，即O 在圆M 上． ⑵若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅= 化简得2210m m --=解得12m =-或①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==-，001924x y =-+=， 半径||r OQ ==则圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==，0023x y =+=，半径||r OQ ==则圆22:(3)(1)10M x y -+-=21．（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数，2111(1)(1)(1)222nm ，求m 的最小值．【解析】⑴()1ln f x x a x =--，0x >则()1a x af x xx-'=-=，且(1)0f = 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调增，所以01x <<时，()0f x <，不满足题意；当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减； 当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(,)a +∞上单调递增．①若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ②若1a >，()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾③若1a =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意综上所述1a =．⑵当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤ 则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立∴11ln(1)22k k+<，*k ∈N 一方面：221111111ln(1)ln(1)...ln(1) (112222222)n n n ++++++<+++=-<，即2111(1)(1)...(1)e 222n +++<．另一方面：223111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n +++>+++=>当3n ≥时，2111(1)(1)...(1)(2,e)222n +++∈∵*m ∈N ，2111(1)(1)...(1)222n m +++<，∴m 的最小值为．22．选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为,,x t y kt =2+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为,,x m m y k =-2+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设:(cos sin )l ρθθ3+0，M 为与C 的交点，求M 的极径． 【解析】⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =-……①()21:2l y x k=+……② ①②消可得：224x y -= 即P 的轨迹方程为224x y -=； ⑵将参数方程转化为一般方程3:0l x y +=……③联立曲线C和224x y x y ⎧+⎪⎨-=⎪⎩解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩解得ρ=即M的极半径是．23．选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()||||f x x x =+1--2． （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空，求m 的取值范围．【解析】⑴()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--⎧⎪=--<<⎨⎪⎩x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得：①当1-x ≤时显然不满足题意；②当12x -<<时，211-x ≥，解得1x ≥；③当2x ≥时，()31=f x ≥恒成立.综上，()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥. ⑵不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2-+f x x x m ≥，令()()2g x f x x x =-+，则()g x m ≥解集非空只需要()max ⎡⎤⎣⎦g x m ≥.而()2223,131,123,2⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩x x x g x x x x x x x ≤≥.①当1-x ≤时，()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦；②当12x -<<时，()2max3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭； ③当2x ≥时，()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦.综上，()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54m ≤.。
2019届全国新高考原创仿真试卷(三)数学试卷(理科)
2019届全国新高考原创仿真试卷（三）数学（理科）本试题卷共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，若是复数的共轭复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意结合复数的运算法则有：.本题选择A选项.2. 已知集合，则的真子集个数为（）A. 1B. 3C. 5D. 7【答案】B【解析】联立解得，则有两个元素，真子集个数为故选3. 已知变量之间满足线性相关关系，且之间的相关数据如下表所示：则（）A. 0.8B. 1.8C. 0.6D. 1.6【答案】B【解析】由题意，，代入线性回归方程为，可得故选4. 下列说法中，错误的是（）A. 若平面平面，平面平面，平面平面，则B. 若平面平面，平面平面，则C. 若直线，平面平面，则D. 若直线平面，平面平面平面，则【答案】C【解析】选项C中，若直线，平面平面，则有可能直线在平面内，该说法存在问题，由面面平行的性质定理可得选项A正确；由面面垂直的性质定理可得选项B正确；由线面平行的性质定理可得选项D正确；本题选择C选项.5. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足，则抛物线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设抛物线的准线为，作直线于点，交轴于由抛物线的定义可得：，结合可知：，即，据此可知抛物线的方程为：.本题选择D选项.点睛：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．6. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围（）A. B. C. D.【答案】A【解析】代入，，则直线单调递减，又函数存在最小值则且，解得故选7. 已知，则（）A. 0B.C.D.【答案】C【解析】由题意可知：，则：，结合诱导公式有：，，据此可得：.本题选择C选项.8. 运行如图所示的程序框图，若输出的的值为250，则判断框中可以填（）A. B. C. D.【答案】B【解析】阅读流程图可得，该流程图输出的结果为：，注意到在求和中起到主导地位，且，故计算：当时,，结合题意可知：判断框中可以填.本题选择B选项.点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．9. 现有六支足球队参加单循环比赛（即任意两支球队只踢一场比赛），第一周的比赛中，各踢了3场，各踢了4场，踢了2场，且队与队未踢过，队与队也未踢过，则在第一周的比赛中，队踢的比赛的场数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】依据题意：踢了场，队与队未踢过，则C队参加的比赛为：；D踢了场，队与队也未踢过，则D队参加的比赛为：；以上八场比赛中，包含了队参加的两场比赛，分析至此，三队参加的比赛均已经确定，余下的比赛在中进行，已经得到的八场比赛中，A,B各包含一场，则在中进行的比赛中，，各踢了2场，即余下的比赛为：，综上可得，第一周的比赛共11场：，，则队踢的比赛的场数是.本题选择D选项.10. 已知双曲线的左、右顶点分别为，点为双曲线的左焦点，过点作垂直于轴的直线分别在第二、三象限交双曲线于两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由通径公式可得：，则：，直线的方程为：，令可得：，则：，可得直线方程为，令可得：，据此有：，整理可得：，则双曲线的渐近线方程为............................本题选择A选项.11. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示，三视图还原之后的几何体是两个全等的三棱柱和组成的组合体，其中棱柱的底面为直角边长为等腰直角三角形，高为，每个棱柱的表面积为：，两三棱柱相交部分的面积为：，据此可得，该几何体的表面积为：.本题选择D选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．12. 已知函数，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，所以在单调递减，在单调递增，所以，则得令，，，在上，则单调递减，又，所以在单调递增，在单调递减，，所以，故选点睛：本题主要考查了不等式恒成立的问题，以及利用导数研究函数的单调性。
2019年高考理科数学全国卷3含答案
数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅲ卷理科数学一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B = ()A .{}1,0,1-B .{}0,1C .{}1,1-D .{}0,1,22.若(1i)2i z +=，则=z ()A .1i--B .1+i-C .1i-D .1+i3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A .0.5B .0.6C .0.7D .0.84.()()42121++x x 的展开式中3x 的系数为()A .12B .16C .20D .245.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134=+a a a ，则3=a ()A .16B .8C .4D .26.已知曲线e ln x y a x x =+在点1（，）ae 处的切线方程为2=+y x b ，则()A.–1==，a e bB.1==，a e b C.–11==，a e b D.–11==-a e b ，7.函数3222xxx y -=+在[]6,6-的图象大致为()A.B.C .D.8.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD △为正三角形，⊥平面平面ECD ABCD ，M 是线段ED 的中点，则()A.=BM EN ，且直线，BM EN 是相交直线B.≠BM EN ，且直线，BM EN 是相交直线C.=BM EN ，且直线，BM EN 是异面直线D.≠BM EN ，且直线，BM EN 是异面直线9.执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于()毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共18页）数学试卷第4页（共18页）A.4122-B.5122-C.6122-D.7122-10.双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则PFO△的面积为()A .324B .322C .22D .3211.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则()A .23323log 1224ff f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞＞B .23323124l 2og f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞＞C .23332124log 2f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞＞D .23323lo 122g 4f f f--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞＞12.设函数()si 5n f x x ωπ+⎛⎫= ⎪⎝⎭()0ω＞，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是()A .①④B .②③C .①②③D .①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知a ，b 为单位向量，且·0=a b，若2=-c a ，则cos ,=a c .14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =.15.设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为.16.学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥-O EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，，，，E F G H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =AA =，，3D 打印所用原料密度为30.9 g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020年高三高考仿真(三)数学(理)
2019-2020年高三高考仿真（三）数学（理）本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上．3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、演算步骤或推证过程．第I 卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{},,A x x B x x a B ==⋂≠∅＜2＞且A ，那么a 的值可以是A.3B.0C.4D.22.复数在复平面内所对应的点在实轴上，那么实数a=A.—2B.0C.1D.23.某几何体的正视图与侧视频如图所示，则该几何体的俯视图不可能是4.下列四类函数中，具有性质“对任意的x ＞0,y ＞0,函数”的是A.幂函数B.余弦函数C.指数函数D.对数函数5.命题“任意”的否定是A.存在B.C. D.6.已知变量x,y 满足A.0B.C.4D.57.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，A.（2，4）B.（3，5）C.（—2，—4）D.（—1，—1）8.已知椭圆的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且轴，直线AB 交y 轴于点P ，若，由椭圆的离心率是A. B. C. D.9.在空间，下列命题正确的是A.若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B.若直线m 与平面a 内的一条直线平行，则m//aC.若平面,,P a a l a l βββ⊥⋂=且则过内一点与垂直的直线于平面D.若直线a//b ，且直线10.如图所示为函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭＞的部分图象，其中A 、B 两点之间的距离为5，那么A.—1B.C. D.111.已知P 是直线3x+4y+8=0上的动点，PA 、PB 是圆的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值是A. B. C. D.12.已知定义在R 上的函数()()()()311,11y f x f x f x x f x x =+=--≤=满足当＜时，，若函数恰好有6个零点，则a 有取值范围是A. B.C. D.第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.阅读右边程序框图，若输入n=5，则输出k 的值是______.14.已知数列的前n 项和29158n k S n n k a =-+，若它的第项满足＜＜，则k=______ 15.已知不等式221+10x bx -+＜的解集与不等式ax ＜的解集相等，则a+b 的值为______.16.定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个()()1,212121(),x x x x f x kx kx f x +≤+＜均有成立，则称函数在定义域D 上满足K 条件.若函数满足K 条件，则常数的最大值为__________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.17.（本不题满分12分）已知等差数列{}315,5,225.n n a a S ==的前n 项和为S 且 （I ）求数列的通项；（II ）设.18.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,且A ，B ，C 成等差数列.(I)若，求c的值及△ABC的面积；(II)设.19.（本小题满分12分）如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠⊥⊥，交于点，平面，FC//EA,AC=4,EA=3,FC=1.B A C=30B M AC A C M E A（I）证明：EM；（II）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）在某体育项目的选拔比赛中，A、B两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，A队队员是，B队队员是。
2019届全国高考仿真试卷(三)数学(理)试卷
2019届全国高考仿真试卷（三）数学（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1. 已知，0），，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：∵，，∴，∴，∴．考点：平方关系、倍角关系．2. 圆锥曲线的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】将化成，即，即该圆锥曲线的直角坐标方程为，其准线方程为，即；故选D.3. 设函数，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，，则，当时，，则，综上：或.选D.【点睛】有关分段函数问题是函数部分的一个重要考点，经常考查分段函数求值、定义域、值域、奇偶性、单调性、解方程、解不等式、函数图像等，是高考的热点之一.4. 函数的最大值为（）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】由题意，得；故选A.5. 已知圆C：（）及直线：，当直线被C截得的弦长为时，则= （）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，得，解得，又因为，所以；故选C.6. 已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设内接圆柱的底面半径为，母线长为，则，即，则该圆柱的全面积为，因为，所以当时，内接圆柱的全面积的最大值为；故选B.7. 已知方程的四个根组成一个首项为的的等差数列，则（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】设这个四个根为,则所以8. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意设该双曲线方程为，且，，的中点为，则且，则，即，联立，得，即该双曲线方程为；故选D.点睛：在涉及圆锥曲线的中点弦时，往往利用“点差法“”进行求解，可减少运算量.9. 若为所在平面内任一点，且满足，则一定是（）A. 正三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】因为，所以，即，即是等腰三角形；故选B. 10. 已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB的夹角的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角），设的坐标为（，0），若，则的取值范围是（）A. （，1）B. （，）C. （，）D. （，）【答案】C【解析】设B=x，∠B=θ，则C=1-x，∠C、∠D、∠A均为θ，∴tanθ=．又tanθ=，∴．而tanθ=，∴．又tanθ=,∴．依题设1＜＜2，即1＜＜2，∴4＜＜5，<x<．∴<tanθ<，故选C11. 定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为( )A. B. C. D.【答案】A..................点睛：在处理本题时，利用题意和合理构造是关键.12. 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积．由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为：，故选A.考点：球内接多面体第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13. 的展开式中系数是___________【答案】【解析】试题分析：的展开式的通项为，令，得，所以含的项的系数为.考点：二项式定理.14. 使成立的的取值范围是___________【答案】（-1，0）【解析】在同一坐标系中分别画出函数和的图象（如图所示），由图象，得使成立的的取值范围是；故填.15. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有___________种（以数字作答）【答案】72【解析】由题意可知，当选用三种颜色着色，由乘法原理种方法，当选用四种颜色时，由乘法原理则种方法，再据加法原理可得种方法．点睛：涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，但也有几种常用方法：按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析：以颜色为主分类讨论，适用于区域，点，线段等问题，用分类加法计数原理分析；将空间问题平面化，转化成平面区域的涂色问题．16. 下列5个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出面MNP的图形的序号是______________（写出所有符合要求的图形序号）【答案】①④⑤解法1 作正方体ABCD－A1B1C1D1如附图，与题设图形对比讨论．在附图中，三个截面BA1D、EFGHKR 和CB1D1都是对角线l (即 AC1)的垂面．对比图①，由MN∥BA l，MP∥BD，知面MNP∥面BA l D，故得l⊥面MNP．对比图②，由MN与面CB1D1相交，而过交点且与l垂直的直线都应在面CB l D l内，所以MN不垂直于l，从而l不垂直于面MNP．对比图③，由MP与面BA l D相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP．对比图④，由MN∥BD，MP∥BA．知面MNP∥面BA1 D，故l⊥面MNP．对比图⑤，面MNP与面EFGHKR重合，故l⊥面MNP．综合得本题的答案为①④⑤．解法2 如果记正方体对角线l所在的对角截面为．各图可讨论如下：在图①中，MN,NP在平面上的射影为同一直线，且与l垂直，故l⊥面MNP．事实上，还可这样考虑：l在上底面的射影是MP的垂线，故l⊥MP；l在左侧面的射影是MN的垂线，故l⊥MN，从而l⊥面 MNP．在图②中，由MP⊥面，可证明MN在平面上的射影不是l的垂线，故l不垂直于MN．从而l不垂直于面MNP．在图③中，点M在上的射影是l的中点，点P在上的射影是上底面的内点，知MP在上的射影不是l的垂线，得l不垂直于面 MNP．在图④中，平面垂直平分线段MN，故l⊥MN．又l在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP垂直，从而l⊥MP，故l⊥面 MNP．在图⑤中，点N在平面上的射影是对角线l的中点，点M、P在平面上的射影分别是上、下底面对角线的4分点，三个射影同在一条直线上，且l与这一直线垂直．从而l⊥面MNP．至此，得①④⑤为本题答案．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17. 已知数列中，，其前项的和为，且满足.(Ⅰ) 求证：数列是等差数列；(Ⅱ) 证明：【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用进行化简，再利用等差数列的的定义进行求解；（Ⅱ）利用裂项抵消法求和，再利用放缩法进行证明.试题解析：（Ⅰ）当时，, ，，从而构成以4为首项，2为公差的等差数列.（Ⅱ）由（1）可知，..点睛：裂项抵消法是数列求和的常见方法，主要适用于以下题型：18. 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D、E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心(Ⅰ)求与平面ABD所成角的余弦值(Ⅱ)求点到平面的距离【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用线面角的定义找出线面角，再利用解直角三角形进行求解；（Ⅱ）先利用面面垂直的判定定理证明面面垂直，再利用利用面面垂直的性质作出线面垂直，得到点到平面的距离.试题解析：（Ⅰ）连结，则是在的射影，即是与平面所成的角.设为中点，连结，∵分别是的中点，又平面，则为正方形，连接，是的重心，且，在直角三角形中，，，，，即（Ⅱ），又，即平面平面，作，垂足为，所以平面，即是到平面的距离，在三角形中，，则到平面的距离为。
2019届全国高考仿真模拟(三)数学(理科)试题
2019届全国高考仿真模拟(三)理科数学本试题卷共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2018·郑州一模)设全集{}4U x N x *=∈≤，集合{}1,4A =，{}2,4B =，则()U AB =ð（ ）A ．{}1,2,3B ．{}1,2,4C ．{}1,3,4D ．{}2,3,4 2.(2018·保定市一模)设z 为复数12z i =-的共轭复数，则()2016z z -=（ ）A ．20162B ．20162- C ．20162i D ．i -3.（2018·河南八市质检）已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数，递增区间是()0,+∞B ．()f x 是偶函数，递减区间是(),1-∞-C ．()f x 是奇函数，递增区间是(),1-∞-D ．()f x 是奇函数，递增区间是()1,1-4.（2018·太原一模）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点坐标为()2,0，则双曲线方程为（ ）A ．22126x y -= B ．22162x y -= C.2213y x -= D ．2213x y -= 5.（2018·咸阳市二模）如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）A ．21π-B ．2πC.22π D ．221π-6.已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，且()1f α=，0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则5cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13 B ．3±3 D ．3- 7.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有坦厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自信，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n =（ ）A ．4B ．5 C.2 D ．3 8.（2018·海口市调研）cos104sin 80sin10-=（ ）A ．．3 9.不等式组1,24x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D ，下列命题中正确的是（ ）A ．(),x y D ∀∈，21x y +≤-B ．(),x y D ∀∈，22x y +≥-C ．(),x yD ∀∈，23x y +≤ D ．(),x y D ∀∈，22x y +≥10.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则QF =（ ） A ．83 B ．52C.3 D ．2 11.（2018·昆明市统测）设函数()ln f x x ax =+，若存在()00,x ∈+∞，使()00f x >，则a 的取值范围是（ ）A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.()1,-+∞ D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭12.已知sin sin 3παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．45-B ．35- C.35 D ．45第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知单位向量1e ，2e 的夹角为60，则向量12e e +与212e e -的夹角为 ． 14.（2018·东北四市一联）在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀，当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是 ．15.（2018·海口市调研）若()1021x a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为30，则a = ．16.（2018·山西四校联考）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1cos cos 2a Bb Ac -=，当()tan A B -取最大值时，角B 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （2018·成都市二诊）已知数列{}n a 中，11a =，又数列()2n n N na *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭是首项为2、公差为1的等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18. 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时.（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望()E ξ．19. （2018·邯郸模拟）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABD △ 是边长为30CBD CDB ∠=∠=，E 为棱PA 的中点.（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）若平面PAB ⊥平面ABCD ，2PA PB ==，求二面角P BC E --的余弦值.20. （2018·河南九校联考）已知椭圆()2222:10x y W a b a b +=>>点A 在圆22:16O x y +=上.（1）求椭圆W 的方程；（2）若点P 为椭圆W 上不同于点A 的点，直线AP 与圆O 的另一个交点为Q .是否存在点P ，使得3PQ AP=?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.21. (2018·唐山市二模)设函数()()21ln 2x f x k x k x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若k 为正数，且存在0x 使得()2032f x k <-，求k 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）.（1）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （2）已知()2,0A -，()0,2B ，圆C 上任意一点(),M x y ，求ABM △面积的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲（1）已知a ，b 都是正数，且a b ≠，求证：3322a b a b ab +>+；（2）已知a ，b ，c 都是正数，求证：222222a b b c c a abc a b c++≥++.数学试卷参考答案一、选择题1-5：AADCA 6-10：DABBA 11、12：DD 二、填空题 13.23π 14.丙 15.2 16.6π 三、解答题17.解析：（1）∵数列2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列， ∴()2211nn n na =+-=+， 解得()21n a n n =+.（2）∵()211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭.∴11111212231n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 18.解析:（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，两人都付0元的概率为11114624P =⨯=， 两人都付40元的概率为2121233P =⨯=，两人都付80元的概率为311121111142634624p ⎛⎫⎛⎫=--⨯--=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则两人所付费用相同的概率为12311152432412P P P P =++=++=. （2）设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，()11104624P ξ==⨯=，()121114043264P ξ==⨯+⨯=，()11121158046234612P ξ==⨯+⨯+⨯=，()1112112026434P ξ==⨯+⨯=，()1111604624P ξ==⨯=，ξ的分布列为()040801201608024412424E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19. 解析：（1）证明：如图，取AB 的中点F ，连接EF 、DF ，∴//EF PB ，∵30CBD FDB ∠=∠=，ABC △为正三角形， ∴//DF BC ，∵EF DF ⊂、平面DEF ，PB BC ⊂、平面PBC ， ∴平面//DEF 平面PBC ， ∵DE ⊂平面DEF ， ∴//DE 平面PBC . （2）∵2PA PB ==， ∴PF AB ⊥，∵平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为AB ， ∴PF ⊥平面ABCD ，且1PF =，连接DF ，分别取FB ，FD ，FP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则点()A ，)B，)2,0C，()0,3,0D ，()0,0,1P ，12E ⎫⎪⎪⎝⎭， 设平面BCP的法向量为(,m x y =， 则()0,2,0BC =，()BP =， ∴0m BC ⋅=，0m BP ⋅=，0y =，1x =即(m =，设平面BCE的法向量为(,n a b =，122BE ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴13a =，0b =，∴13n ⎛= ⎝.∴57cos ,m n m nm n⋅<>==⋅ 20.解析：（1）因为椭圆W 的左顶点A 在圆22:16O x y+=上，令0y =，得4x =±，所以4a =，所以c e a ==，所以c =，所以2224b a c =-=， 所以W 的方程为221164x y +=. （2）设点()11,P x y ，()22,Q x y ，设直线AP 的方程为()4y k x =+，与椭圆方程联立得()224,1,164y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩化简得到()2222143264160k x k x k +++-=，因为4-为方程的一个根，所以()21232414k x k -+-=+，所以21241614k x k -=+，所以214AP k=+. 因为圆心到直线AP的距离为d =，所以AQ ===， 因为1PQ AQ AP AQ APAPAP-==-，代入得到222221433113111PQk k AP k k k +=-=-==-+++， 显然23331k -≠+，所以不存在直线AP ，使得3PQ AP=.21. 解析：（1）()()()()2111x k x k x x k k f x x k x x x+--+-'=+--==，（0x >）， ①当0k ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单调递增；②当0k >时，()0,x k ∈，()0f x '<；(),x k ∈+∞，()0f x '>， 所以()f x 在()0,k 上单调递减，在(),k +∞上单调递增.（2）因为0k >，由（1）知()232f x k +-的最小值为()2233ln 222k f k k k k k +-=+--，由题意得23ln 022k k k k +--<，即31ln 022k k k +--<. 令()31ln 22k g k k k =+--，则()222113230222k k g k k k k -+'=-+=>， 所以()g k 在()0,+∞上单调递增，又()10g =， 所以()0,1k ∈时，()0g k <，于是23ln 022k k k k +--<；- 11 - ()1,k ∈+∞时，()0g k >，于是23ln 022k k k k +-->. 故k 的取值范围为01k <<.22. 解析：（1）圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）， 所以普通方程为()()22344x y -++=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得()()22cos 3sin 44ρθρθ-++=，化简可得圆C 的极坐标方程：26cos 8sin 210ρρθρθ-++=.（2）点(),M x y 到直线:20AB x y -+=的距离为d =ABM △的面积12cos 2sin 9924S AB d πθθθ⎛⎫=⨯⨯=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以ABM △面积的最大值为9+23.证明：（1）∵a b ≠，∴0a b -≠，∴2220a ab b -+>，∴22a ab b ab -+>，而a ，b 均为正数，∴0a b +>，∴()()()22a b a ab b ab a b +-+>+， ∴3322a b a b ab +>+成立.（2）∵a ，b ，c 都是正数，∴222222a b b c acb +≥，222222a b c a bca +≥，222222c a b c abc +≥，三式相加可得()()22222222a b b c c a abc a b c ++≥++，∴()()222222a b b c c a abc a b c ++≥++， ∴222222a b b c c a abc a b c++≥++.。