9.1.1三角形的重要线段
三角形的三种重要线段.doc
三角形的三种重要线段中线角平分线高线文字语言在三角形中，连接一个顶点与它对边在三角形中，一个内角的平从三角形的一个顶点向它的对中点的连线分线与它的对边相交，这个边所在直线作垂线，顶点和垂角的顶点与交点之间的线足之间的线段段图形语言作图语言取 BC边的中点 D，连接 AD 作∠ BAC的平分线 AD，交 BC 过点 A 做 AD⊥ BC于点 D于点 D符号语言（ 1）AD是△ ABC的中线；（ 1）AD是△ ABC的角平（1）AD是△ ABC的高；（ 2）AD是△ ABC的 BC边上的中分线；（2）AD是△ ABC中 BC边上线；（ 2）AD平分∠ BAC，交的高；（ 3）；BC于点 D；（3）AD⊥ BC于点 D；（ 4）点 D 是 BC边上的中点（ 3）∠ 1=∠ 2= ∠ BAC；（4）推理语言因为 AD是△ ABC的中线，所以因为 AD是△ ABC的角平分因为 AD是△ ABC的高，所以；线，所以∠ 1=∠ 2= ∠ BAC；AD⊥ BC（或）用途举例（ 1）线段相等；角度相等（1）线段垂直；（ 2）面积相等（2）角度相等重要特征一个三角形有三条中线，它们相交于一个三角形有三条角平分一个三角形有三条高，它们所三角形内一点，这点称为三角形的重线，它们相交于三角形内一在直线相交于三角形内一点，心点，这点称为三角形的内心这点称为三角形的垂心共同点每个三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线，它们所在的直线都相交于一点，它们都是线段精讲精练1．以下是四位同学在钝角三角形ABC中画 BC边上的高，其中画法正确的是（）A．B．C．D．2．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定3.给出以下判断：（ 1）线段的中点是线段的重心（2）三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心（3）平行四边形的重心是它的两条对角线的交点（4）三角形的重心是它的中线的一个三等分点那么以上判断中正确的有（）A．一个B．两个C．三个D．四个4. 如图，在△ ABC 中， AD⊥ BC于点 D， BE=ED=DC，∠ 1=∠ 2，则：①AD是△ ABC的边上的高，也是的边BD上的高，还是△ ABE的边上的高；②AD既是的边上的中线，又是边上的高，还是的角平分线．5. 如图，在△ ABC中，BD是∠ ABC的角平分线，已知∠ ABC=80°，则∠ DBC=°．6．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是度．7．如图，点 D 是△ ABC的边 BC上任意一点，点 E、 F 分别是线段AD、 CE的中点，且△ ABC 的面积为18cm2，则△ BEF 的面积 =cm2．8．如图， D、E 分别是△ ABC边 AB、BC上的点， AD=2BD，BE=CE，设△ ADC的面积为S1，△ACE 的面积为S2，若 S△ABC=6，则 S1﹣ S2的值为．9．如图， A、 B、C 分别是线段A1B， B1C， C1A 的中点，若△ ABC 的面积是1，那么△A1B1C1的面积．10．如图， G是△ ABC的重心， AG⊥ GC， AC=4，则 BG的长为．11．如图，点 G是△ ABC的重心，且△ ABC的面积为9cm2，则△ABG的面积为cm2．12．如图，直线a∥b，点 B 在直线上 b 上，且 AB⊥ BC，∠ 1=55°，求∠ 2 的度数．13．如图，在△ ABC 中，已知点D，E， F 分别为 BC，AD， CE的中点，且，则阴影部分的面积是多少14．已知：点A、 B 在平面直角坐标系中的位置如图所示，求△AOB的面积．15．如图，已知： AD是△ ABC的角平分线， CE是△ ABC的高，∠ BAC=60°，∠ BCE=40°，求∠ADB的度数．16．已知：∠ MON=40°，OE平分∠ MON，点 A、B、 C分别是射线OM、 OE、 ON上的动点（ A、B、 C 不与点 O 重合），连接 AC交射线 OE于点 D．设∠ OAC=x°．（1）如图1，若AB∥ ON，则①∠ ABO的度数是；②当∠BAD=∠ ABD时， x= ；当∠ BAD=∠ BDA时， x= ．（2）如图 2，若 AB⊥ OM，则是否存在这样的 x 的值，使得△ ADB 中有两个相等的角若存在，求出 x 的值；若不存在，说明理由．17．如图，在△ ABC 中， CF⊥AB于 F，BE⊥ AC于 E， M为 BC的中点．（1）若 EF=4， BC=10，求△ EFM的周长；（2）若∠ ABC=50°，∠ ACB=60°，求∠ FME的度数．18．如图，△ ACB 中，∠ ACB=90°，∠ 1=∠ B．（1）试说明 CD是△ ABC的高；（2）如果 AC=8， BC=6， AB=10，求 CD的长．。
三角形中的三条重要线段ppt优秀课件
目 录
• 三角形基本概念与性质 • 中线性质与应用 • 高线性质与应用 • 角平分线性质与应用 • 垂直平分线性质与应用 • 综合运用与拓展延伸
01
三角形基本概念与性质
三角形定义及分类
三角形定义
由不在同一直线上的三条线段首尾 顺次连接所组成的封闭图形。
三角形分类
线。
性质
垂直平分线上的点到三角形三个顶 点的距离相等。
性质证明
可以通过全等三角形或轴对称性质 进行证明。
垂直平分线在解题中应用
应用一
利用垂直平分线的性质， 可以求解与三角形有关的 距离问题。
应用二
在证明三角形全等或相似 时，可以利用垂直平分线 的性质进行推导。
应用三
在解决与三角形面积有关 的问题时，可以利用垂直 平分线的性质进行转化。
证明三角形全等
在一些特定的三角形中，可以通过证明两条高相等来证明两个三角 形全等。
解决与三角形高相关的问题
在解决与三角形高相关的问题时，可以通过作高、利用高的性质等 方法来简化问题。
典型例题解析
解析
由于AB=AC，因此△ABC是等腰三角形。作高AH⊥BC于 点H，则AH平分BC。由于DE⊥AB和DF⊥AC，因此四边 形AEDF是矩形。根据矩形的性质，有DE=AF和DF=AE。 又因为AH⊥BC和DE⊥AB，所以∠DEH=∠AHB=90°， 从而∠B=∠HAC。在△DEH和△AHC中， ∠DEH=∠AHC=90°，∠B=∠HAC，因此△DEH∽△AHC。 根据相似三角形的性质，有DE/AH=EH/HC。同理可证 DF/AH=HF/HC。将两式相加得到 (DE+DF)/AH=(EH+HF)/HC=EF/HC。又因为EF=AH （矩形的对边相等），所以(DE+DF)/AH=AH/HC。从 而得到DE+DF=AH^2/HC。又因为 S△ABC=1/2×BC×AH=1/2×AB×DE+1/2×AC×DF=1/ 2×AB×(DE+DF)，所以DE+DF=2S△ABC/AB。最后根 据等腰三角形的性质，有BC=2HC，所以
三角形中的三种重要线段
03
确定角平分线
中垂线与三角形的一边和 相对的角平分线垂直，因 此可以利用中垂线来确定 三角形的角平分线。
确定高线
中垂线与三角形的一边垂 直，因此可以利用中垂线 来确定三角形的高线。
确定中点
中垂线与三角形的一边平 行，因此可以利用中垂线 来确定三角形的中点。
中垂线的性质
垂直平分线的性质
中垂线是三角形一边的垂直平分线，因此它具有垂直平分线的性质，即中垂线上的点到 三角形的两个端点的距离相等。
三角形中的三种重要线段
contents
目录
• 三角形中的中线 • 三角形中的高线 • 三角形中的角平分线 • 三角形中的中位线 • 三角形中的中垂线
01
三角形中的中线
中线的定义
总结词
三角形中线的定义是连接三角形的一 个顶点与对边中点的线段。
详细描述
在三角形中，中线是连接一个顶点与 对边中点的线段。对于任意一个顶点 ，都可以作出一条中线，且该中线将 对应的底边分为两等分。
中线在三角形中的作用
总结词
中线在三角形中起到稳定结构、简化图形和辅助证明等作用。
详细描述
中线在三角形中具有多重作用。首先，它有助于稳定三角形的结构，因为中线将底边分为两等分，使得三角形的 形状更加稳定。其次，中线可以简化复杂的几何图形，通过将图形划分为更易于处理的部分，有助于问题的解决。 此外，中线还常常作为辅助线用于证明三角形中的一些性质和定理。
中线的性质
要点一
总结词
中线具有平行于第三边、长度为第三边一半等性质。
要点二
详细描述
根据中线的定义和性质，我们可以得出以下几点：首先， 中线平行于三角形的第三边，即中线与对应的底边平行； 其次，中线的长度是第三边长度的一半，即中线的长度等 于$frac{1}{2}$倍的底边长度；最后，中线将对应的底边分 为两等分，即中点是底边的中点。这些性质在几何证明和 解题过程中具有广泛应用。
三角形中的三条重要线段
三角形中的三条重要线段
角平分线
中线
高
探究新知：
一、三角形的角平分线：A B C D
三角形中，一个角的平分线与这个角
的对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线；
思考：1.用几何符号语言描述三角形的角平分线定义；2.三角形的角平分线与角平分线有何区别、联系？3.一个三角形有几条角平分线？它们有何特征？
E F
12
二、三角形的中线：A B
C D 三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线；
思考：1.用几何符号语言描述三角形的中线定义；
2.三角形的中线与线段的中点有何区别、联系？
3.一个三角形有几条中线？它们有何特征？F E 三角形的“重心”
三、三角形的高：A B C 从三角形的一个顶点到它对边所在
直线的垂线段叫做三角形的高；
D
E
F
A
B C D A B C
D E F 三角形的“垂心”
四、几何中的“定义”：
能明确界定某个对象含义的语句叫做定义
定义既可看作“性质”又可以看作“判定”
它可以作为推理的依据。
应用新知：
例.如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，AD、AE分别为△ABC的角平分线和高，求∠DAE的度数。
A
50°70°
B C
D E
如图是一块三角形空地，现欲将其绿化，拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的两个三角形，以便种上两种不同的花草，请你帮助设计符合要求的图案。
A
B C
D。
三角形的性质及特殊线段
三角形的性质及特殊线段三角形是几何学中最基本的形状之一，它具有许多重要的性质和特殊线段。
本文将对三角形的性质进行探讨，并介绍一些重要的特殊线段。
一、三角形的性质1. 三角形的定义：三角形是由三条边和三个顶点组成的多边形。
其中，每两条边之间形成一个角，三个角之和为180度。
2. 三角形的内角和：三角形的内角和总是等于180度。
这一性质可以用以下公式表示：∠A + ∠B + ∠C = 180°3. 三角形的外角和：三角形的外角和总是等于360度。
外角是指一个内角的补角，用以下公式表示：∠A' + ∠B' + ∠C' = 360°4. 三角形的边长关系：三角形的两边之和大于第三边。
这一性质被称为三角形的三边不等式。
即：AB + AC > BC, BC + AC > AB, AB + BC > AC二、特殊线段1. 中线：三角形中的中线是连接三角形两边中点的线段。
对于任意三角形ABC，其三条中线交于一个点，称为三角形的重心G。
重心G将三角形划分为六个小三角形，每个小三角形的面积都相等。
2. 高线：三角形的高线是从一个顶点画到对边上的垂线。
对于任意三角形ABC，它的三条高线交于一个点，称为三角形的垂心H。
垂心H到三条边的距离都相等，即AH = BH = CH。
3. 角平分线：三角形的角平分线是从一个顶点将对角线平分的线段。
对于任意三角形ABC，它的三条角平分线交于一个点，称为三角形的内心I。
内心I到三条边的距离都相等，即AI = BI = CI。
4. 垂直平分线：三角形的垂直平分线是连接一条边的中点与对边垂直平分线的线段。
对于任意三角形ABC，它的三条垂直平分线交于一个点，称为三角形的外心O。
外心O到三个顶点的距离都相等，即OA = OB = OC。
5. 中位线：三角形的中位线是连接一个顶点与对边中点的线段。
对于任意三角形ABC，它的三条中位线交于一个点，称为三角形的重心G。
三角形的重要线段知识整理
三角形的重要线段知识整理三角形的世界其实比你想象的要有趣得多，尤其是那些藏在它内部的“重要线段”。
你可能觉得，哎呀，这些东西就是简单的线条嘛，有啥了不起？别看它们看上去普通，个个都有着非凡的使命哦！我们就一起来“揭秘”一下这些神秘的三角形线段，搞清楚它们到底有啥作用，真的是一学就会，一用就灵。
咱得聊聊最基础也是最重要的——三角形的“高”。
要是你想要量三角形的“身高”，这条线段可就要派上用场了。
三角形的高，从顶点垂直下降到对边，就是它的“身高”。
别看它垂直下来的这么简简单单，实际上一旦找对了这个点，你就能很轻松地算出三角形的面积。
是不是很酷？就像你量身高一样，一测就知道。
高的作用，可不止这个哦！它还是一些几何问题中的关键，很多时候，它就像是你在解谜时的“万能钥匙”。
要是没有它，很多难题可能就不好解决了。
然后说到“中线”，很多人可能一听这名字就有点迷糊，“中线？是指中午的线？”嘿嘿，别逗了！中线是从三角形的一个顶点，直接连到对边的中点。
如果你把三角形的每条边的中点都连起来，你就会发现一个奇妙的现象——这些中线交汇的地方，居然能将三角形分成六个完全相等的区域！这简直就是三角形的“中心思想”，就像你找到了三角形的心脏一样。
说到这，你是不是有点佩服这个三角形了？它的每个部位都有着严密的联系，简直就像一台精密的机器。
再来说说“角平分线”。
一提到角平分线，大家脑袋里肯定就会冒出一个问题：“这不是说把一个角一分为二吗？”对！你没听错，角平分线就是把一个角“分成两半”的那条线。
它不仅仅是分割角度那么简单，更厉害的是，它会把三角形的边分成一种特定的比例。
换句话说，角平分线就像是一个“神奇的分割大师”，它帮助你精确地把边分割成合适的比例，这可不是随便谁都能做到的哦。
你想象一下，角平分线就像是在三角形里找到了最佳的平衡点，它是一个“调和大师”，让整个三角形变得更加和谐。
再看看“重心”这个家伙，它可不是我们平常意义上的“重心”哦。
华师大版数学七年级下册.1认识三角形(第2课时三角形中的重要线段)课件
知识讲授
三角形的中线
定义
中线
中点
想一想：由三角形的中线能得到什么结论？
问题：你能分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三 条中线吗？视察它们中线的交点你会发现什么规律？
A
A
A
O
O
O
B
CB
CB
C
发现：三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我 们称为三角形的重心.
4．如图所示，BD是△ABC的中线，AD＝2，AB+BC＝5，求△ABC的周长．
解：因为BD是△ABC的中线， 所以点D是AC的中点， 所以AC＝2AD＝4， 所以△ABC的周长为AB+BC+AC＝5+4＝9．
课堂小结
锐角三角形的三条高交于在三角形的内部一点，
高
直角三角形的三条高交于直角顶点，钝角三角形
拓展： 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC 的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？你能发现什么规律？
A 相等，因为两个三角形等底同高， 所以它们面积相等.
发现：三角形的中线能将三角形的面积平分.
B
DE C
三角形的角平分线
定义
B 想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?
D
B
C
E O
要点归纳
随堂训练
1．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是（ A ）
2．如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置
正确的是（ B ）
3．下列说法错误的是（ D ）
A．三角形的高、中线、角平分线都是线段 B．三角形的三条中线都在三角形内部 C．锐角三角形的三条高一定交于同一点 D．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点
三角形的三种重要线段
三角形的三种重要线段精讲精练．B．C．D．3.给出以下判断：（1）线段的中点是线段的重心（2）三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心（3）平行四边形的重心是它的两条对角线的交点（4）三角形的重心是它的中线的一个三等分点4.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE=ED=DC，∠1=∠2，则：①AD是△ABC的边上的高，也是的边BD上的高，还是△ABE 的边上的高；②AD既是的边上的中线，又是边上的高，还是的角平分线．5.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，已知∠ABC=80°，则∠DBC=°．6．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是度．7．如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC 的面积为18cm2，则△BEF的面积=cm2．8．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC=6，则S1﹣S2的值为．9．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积．10．如图，G是△ABC的重心，AG⊥GC，AC=4，则BG的长为．11．如图，点G是△ABC的重心，且△ABC的面积为9cm2，则△ABG的面积为cm2．12．如图，直线a∥b，点B在直线上b上，且AB⊥BC，∠1=55°，求∠2的度数．13．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积是多少？14．已知：点A、B在平面直角坐标系中的位置如图所示，求△AOB的面积．15．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．16．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是；②当∠BAD=∠ABD时，x=；当∠BAD=∠BDA时，x=．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．17．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．（1）若EF=4，BC=10，求△EFM的周长；（2）若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠FME的度数．18．如图，△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．（1）试说明CD是△ABC的高；（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．。
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4 三角形的三条角平分线的交点一定在(A ) A.三角形的内部 B.三角形的外部 C.三角形的顶点 D.以上答案都不对 5直角三角形ABC中，∠C=90度， ∠A=40度，BD是∠ABC的角平分线， 65度 则∠CDB= ____
A
D
B
C
练习 如图已知:AD是△ABC的角平分线,
A
BAD DAC ½ ∠BAC 则∠_____= ∠_______=______.
BE是△ABC的中线,则 AE EC ½AC _______=_______=________
E F
CFA CF是△ABC的高,则∠_____= 0 CFB ∠_______=90
B
D
C
1
2 0 3 1 4 205 31
过三角形 的一个顶点，你能画出 它的对边的垂线吗?
5
5
5
三角形的高
从三角形的一个顶点 向它的对边 所在直线作垂线， 顶点 和垂足 之间的线段 叫做三角形的高线， 简称三角形的高。 B 如图, 线段AD是BC边上的高. 几何语言表述： A
D
C
∵AD是△ABC的BC上的高线. ∴AD⊥BC于D. 或∠ADB=∠ADC=90°.
(2) 钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的 位置关系吗?
三角形的三条中线的性质
三角形的三条中线交于一点.
回顾思考
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
画法
0 0 0
放、靠、 画。 过、
42 5 3 4 5
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
0
1
2
3
4
5
6
A
B
C
0 7 8 9 10
你能画出钝角三角形的三条高吗？ 它们有怎样的位置关系？
想一想
钝角三角形的高是在三角形的内 部还是外部?
钝角三角形有两条高在三角形的外部
钝角三角形的三条高所在直线交于一点
反思收获
通过折纸、画图等活动，体验并获得了三角形的 “角平分线”、“中线”和“高线”的概念与性质。 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。
9.1.1三角形的重要线段
做一做
在一张薄纸上任意画一 个三角形，你能设法画出它 的一个内角的平分线吗?
B
A
C B D C
你能通过折纸的方法得到它吗? 在一张纸上画出一个 一个三角形并剪下，将它 的一个角对折，使其两边 重合。 A
三角形的角平分线的定义
“角的平分线”是一条射线。
“三角形的角平分线”还是射线吗? 在三角形中，一个内角 的平分线与它的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的 线段叫三角形的角平分线。
∠ 1= ∠ 2
A
1
2
B D C “三角形的角平分线”是一条线段。 几何语言表述： ∵AD是△ABC中的∠BAC的平分线.
1 1 ＝2＝ BAC 2
注：
或BAC＝21 ＝22
三角形的角平分线的性质
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形 纸片各一个。 (1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗? (2) 你能用折纸的办法得到它们吗? (3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的 位置关系?
做一做
O
做一做
直角三角形的三条高
在纸上画出一个直角三角形。 A
(1) 画出直角三角形的三条高, 它们有怎样的位置关系？
直角三角形的三条高交于 直角顶点.
想一想
D B C
直角边BC边上的高是 AB边 ; 直角边AB边上的高是 BC边;
做一做
钝角三角形的三条高
在纸上画出一个钝角三角形。
你能折出钝角三角形的三条高吗？
任意画一个锐角△ABC, 请你画出BC边上的高. A
B
D
C
锐角三角形的三条高
每人准备一个锐角三角形纸片。 (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 你能用折纸的办法得到它们吗? 使折痕过顶点，顶点的对边边缘重合 (3) 这三条高之间有怎样的位置关系？ 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
观察发现
三角形的三条角平分线交于同一点.
Hale Waihona Puke 三角形的“中线”在三角形中，连接一个顶点 与它对边中点的线段，叫做这 个三角形的中线。
如图， AD是BC边上的中线. B
A
几何语言表述： ∵AD是△ABC的边BC上的中线. 1 BD＝CD＝ BC 2
D BD=DC
C
或BC＝2CD＝2BD
议一议
(1) 在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的三条 中线.
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段， 叫做这个三角形的中线。 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂 线，顶点和垂足之间的线段就叫做三角形的高线， 简称三角形的高。 三角形的三条角平分线交于同一点. 三角形的三条中线交于一点.
三角形的三条高所在直线交于一点。
一)选择题. 1.三角形的高、中线与角平分线都是( C ) A.直线 B.射线 C.线段 D.可能是直线,也可能是线段 2 如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的 一 个 顶点, 那么这个三角形是( C ) A.锐角三角形 B.钝角三角形; C.直角三角形 D. 无法确定 3 三角形的三条高的交点一定在( D ) A.三角形内部 B.三角形的外部 C.三角形的内部或外部 D.以上答案都不对