第5章复变函数与积分变换

,数函的析解内 0z z 在个一是) z ( 里这
1 以及f ( z ) e 例1 研究 f ( z ) 2 ( z 1)( z 2)
的孤立奇点的类型。
结束
。0 ) 0z ( 且并
1 z 1
二、 函数的零点与极点的关系
1、定义：
若f ( z ) ( z z0 )m ( z ), ( z )在z0处解析，且 ( z0 ) 0,
z z0
z0是函数f(z)的m级极点的充分必要条件是：
C m是不为0的复常数。
定理5.3 z0是函数f(z)的本性奇点的充分必要条件是： 不存在有限或无穷的极限 lim f ( z ). z z
0
结束
结论
z0是函数f(z)的m级极点的充分必要条件是
1 f (z) ( z ), m ( z z0 )
cn ( z z0 ) n

只有有限多个负幂次项，称z=z0为m 阶极点; ~~~~~~~~
( iii) f ( z )
n
有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点。 ~~~~~~~~
结束
(1)可去奇点: 这时， f (z ) 在 z0 的去心邻域内的洛朗级数实际 上是一个普通的幂级数：
z 来说， 1 是 f ( z ) 的一个三级极点，z i 是它
的一级极点（简单极点）。
sin z f ( z ) 2 有一个简单极点z=0。 z
结束
(3)本性奇点：
例如：函数 f ( z ) e 以z=0为它的本性奇点。 在本性奇点的邻域内，函数f(z)有以下的性质(证明从略)： 如果z0是函数f(z)的本性奇点，那么对于任意给定的复数A， 总可以找到一个趋向于z0的数列，当z沿着这个数列趋向于 z0时，f(z)的值趋向于A。 例如：给定复数A=i，也可以写成 i e 可得到： zn
结束
定义5.2.1 设 z0 ( ) 是函数 f (z ) 的孤立奇点，C 为去心邻域 0 z z0 内任一条围绕点 z 0 的 正向简单闭曲线，则称积分
C f ( z )dz 2 i
为 f (z ) 在点 z 0 处的留数，记作 Re s[ f ( z ), z0 ] 即：
结束
定义设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻
域内，若f (z)的洛朗级数
( i ) f ( z ) cn ( z z0 ) n
n 0

没有负幂次项，称z=z0为可去奇点; ~~~~~~~~
( ii ) f ( z )
n m

cn ( z z0 ) n (c m 0, m 1)
1 1 m ( z z0 ) ( z z0 ) m h( z ) f (z) g( z ) ( z z0 )

h( z )在z0解析, 且 h( z0 ) 0 .
1 1 1 lim 0, 令 0， 则z0是 的m阶零点. z z0 f ( z ) f ( z0 ) f (z)
即：在 z 0的任意小去心邻域内总有 f ( z ) 的奇点 存在，所以 z 0 不是 f ( z ) 的孤立奇点。
1 ( n 1, 2,) 是 f ( z ) 的孤立奇点。 但是 z n
结束
y
o
x
这说明奇点未必是孤立的。
结束
2、孤立奇点的分类：
根据洛朗级数展开式中主要部分的系数取零值的 不同情况，将孤立点进行分类。考察：
内解析的函数，且 ( z0 ) 0.
那么 z 0 是函数 f ( z ) 的 m 级极点。 如果 z 0 是
z z0
f ( z ) 的极点，由（*）式，就有：
z z0
lim f ( z ) 或 lim f ( z )
结束
z2 例如：对于有理分式函数 f ( z ) 2 ( z 1)( z 1)3
m为某一正整数，那么称z0为f(z)的m级零点。
例2 z=0与z=1分别是函数 f ( z ) z ( z 1) 3 的一级 与三级零点。
结束
定理5.1.1 若f(z)在z0解析， z0为f(z)的m级零点的 充要条件是：
f ( n ) ( z0 ) 0, ( n 0,1,2,, m 1), f ( m ) ( z0 ) 0.
sin z 处的函数值为1，则： 在 z 0 就成解析的了。 z
结束
z
(2) 极点： 如果 z 0 是函数 f ( z ) 的 m 阶极点，那么在 0 z z0 内， f ( z ) 有洛朗展开式：
f ( z ) C m ( z z 0 ) m C 1 ( z z 0 ) 1
结束
§5.2
留数
一、留数的概念及留数定理 如果 z 0 是函数 f (z ) 的孤立奇点，那么 f (z )在 z 0 的去心邻域内的洛朗展开式中负一次幂的系数 c1 满足：
C f ( z )dz 2ic1
其中 C为在 z 0 去心邻域内绕 z 0 的闭曲线。
1 c 1 C f ( z )dz . 2i
z 0 必为函数 f1 ( z ) f 2 ( z ) 的 m1 m2 级零点，且当 m1 m 2时，z 0为函数 f1 ( z ) 的 m1 m2 级极点。 f2 (z)
结束
1 例4 函数 有些什么奇点？如果是极点，指出 sin z
它的级数。
1 解： 的奇点是使sinz=0的点，即： sin z z k ( k 0, 1, 2,) 而且是孤立奇点。
定理5.1 z0是函数f(z)的可去奇点的充分必要条件是： 存在极限 lim f ( z ) C .
z z0 0
定理5.2
z0是函数f(z)的极点的充分必要条件是 lim f ( z ) . z z0
lim( z z0 )m f ( z ) C m，在这里m是一个正整数，
第五章 留数及其应用
§5.1 函数的孤立奇点 §5.2 留数 §5.4 留数在定积分计算中的应用
结束
本章大纲要求
理解留数的概念，掌握极点处留数的 求法（不包括无穷远点）。 掌握留数定理，会用留数求一些实积分 及围道积分。
结束
§5.1 函数的孤立奇点
一、孤立奇点的分类 1、定义：如果 f ( z )在 z 0 处不解析，但在 z 0 的某 一个去心邻域 0 z z0 内处处解析，那么 称 z 0 为 f ( z ) 的孤立奇点。
1
Re s[ f ( z ), z0 ]
C f ( z )dz 2 i
结束
1
c 1
例1：求下列函数在孤立奇点z=0处的留数。
1) f ( z ) ze ; 2)
1 2!
1 z
1 f ( z ) z cos ; 3) z
2
sin z f (z) . z
0
例3 已知z=1是f(z)=z3-1的零点，由上定理知z=1 是f(z)的一级零点。
结束
2、函数的零点与极点的关系： 定理 5..1.2 z0是f(z)的m级极点的充要条件是z0为 的m级零点。
证明 “” 若z0为f (z)的m 级极点 1 f (z) g( z ) g( z )在z0解析, 且g( z0 ) 0 m ( z z0 )
ez 1 例如函数 ,初看 z=0是它的二级极点，其实 2 z
是一级极点。
结束
例5.1.1 判别下列函数孤立奇点的类型，对其极点，
指出其级数。
sin z (1) f ( z ) 3 z
cot z ( 2) f ( z ) ( z 1)2 sin z ( 3) f ( z ) ( z 1)2 ( z 1)3
sin z z2 z4 z 2n (1) 1 ( 1) n z 3! 5! ( 2n 1)!
特点：没有负幂次项 e z 1 z n z n 1 1 z z n 1 ( 2) 1 z z n 0 n! n 0 n! z 2! n! 特点：只有有限多个负幂次项 1 1 2 1 n 1 z ( 3)e 1 z z z 2! n! 特点：有无穷多个负幂次项
1 ( 2 n ) i 2
( 2 n ) i 2
1 z

，那么由 e i
1 z

，显然，当ຫໍສະໝຸດ 1 znn 时，zn 0。而e
i
所以当z沿着{zn}趋向于0时，f(z)的值趋向于i。
结束
综上所述，我们可以总结为如下结论： 设函数f(z)在0<|z-z0|<δ(0<δ<+∞)内处处解析那么：
m m 1
]
其中 ( z ) 是一个在 z z0
内解析的函数，且 ( z0 ) 0.
结束
反过来，如果函数 f ( z ) 在 0
z z0
内表示成上面
（*）等式右边的形状，而且：
1 f (z) ( z ). m ( z z0 )
其中 ( z ) 是一个在 z z0
结束
1 “”若z0是 的m级零点, 则 f (z)
1 ( z z0 ) m ( z ) f (z)
( z ) 在z0解析, 且 ( z0 ) 0 .
1 1 1 当z z0时，f ( z ) (z) m m ( z z0 ) ( z ) ( z z0 )
z z0 z z0
结束
所以不论 f ( z ) 在 z 0 是否有定义，如令 f ( z0 ) C 0 ,
那么在圆域 z z0 内就有：
f ( z ) C0 C1 ( z z0 ) C n ( z z0 )n