从一道课本习题谈导数中的切线问题
导数第二课时：切线问题
切线问题一、求切线问题；；切线方程为；切线斜率为；）切点为（解：处的切线方程；在点试求曲线_____________________________)('______,_________,)1())1(,1(3,13∴∴=∴=+-=x f f f x x y二、在点与过点的问题；所以切线方程为解得：代入切线方程为，切线斜率为解：设切点坐标为处的切线方程；求曲线过点已知曲线______________________________,_______________________________'_________)2,1(,41,22=-=y x y处的切线方程；求曲线过点处的切线方程；，求曲线在点，已知曲线)4,2()2()42()1(343133P P x y +=三、已知切线求直线的问题：的解析式；试求函数处的切线方程为在点，且曲线若奇函数)(,02))1(,1()()(,423x f y x f x f y d cx bx ax x f =-+=+++=四、切线与坐标轴围成的面积问题；的坐标；试求点成的面积为轴围的切线与，在上有一点）若曲线（轴围成的面积为定值；处的切线与在点求证：曲线上一点为曲线若Q y x Q Q x x x f y y x P x f y x f y P x x x f ,1,)0()(2,)()1()(),0(1)(,5>+===>=作业题：的值；，试求成的三角形的面积为所围轴、直线处的切线与在点，曲线相切，试求曲线方程；与直线处过原点，且在点，若曲线相切的直线方程；且与曲线若过点a a x x a a a x y ex y f e c bx ax x f y x y x 61)0)(,(3))1(,1()()(21)54,0(,13322=≠==++==+=。
导数公切线问题解题思路
导数公切线问题解题思路
1. 哎呀呀，先得找到那两个函数呀！就像找宝藏一样，把它们从题海里揪出来！比如说，给你一个函数 f(x)和 g(x)，这就是我们要下手的地方啦！
2. 然后呢，要分别求出它们的导数呀！这可不能马虎，就像给车子检修，每个零件都得仔细检查！像求 f(x)的导数 f'(x)。
3. 接下来，设出公切线的方程呀！这就好比给公切线搭个架子。
比如设为 y=kx+b。
4. 把公切线方程代入函数中呀，这就像把钥匙插进锁孔，看看能不能对上！比如把 y=kx+b 代入 f(x)中。
5. 这时候会得到一个等式呀，然后解出未知数呀！就像解开一道谜题一样刺激！比如求出 k 和 b 的值。
6. 还要注意定义域呀，可别跑错地方啦！好比去一个特定的地方找东西，不能瞎转悠。
比如 x 的取值范围。
7. 有时候还得考虑特殊情况呢，可不能掉以轻心呀！就像走路不能只看直路，还得留意脚下有没有坑。
比如某些边界值。
8. 多画画图呀，直观地看看它们的关系，这可太有用啦！就像有了地图找路更方便。
比如画出函数和公切线的大致图像。
9. 要反复检查呀，可别出了错还不知道呢！好比出门前要照照镜子整理整理。
比如检查计算有没有错误。
10. 最后呀，大功告成啦！是不是很有成就感呀！就像爬上山顶看到美丽的风景一样开心！
我的观点结论就是：导数公切线问题只要按照这些思路来，认真仔细，就一定能解决！。
导数中与切线有关的问题
2. 已 知 f x x2 x c 的 定 义 域 为0,1 , x1, x2 0,1 且 x1 x2 ,求证:| f x1 f x2 || x1 x2 | .
小结
1.求切线方程的步骤：
（1）设切点P（x0,y0）
（2）求k=f (x0)
当
x 0,
3 3
时,
a
f x 1a .
要使得f x M D , 即
f x1 f x2 1
x1 x2
1aa1,1 1 a 0 即为所求.
课堂小练: 1．（05北京卷）过原点作曲线y＝ex的切线，则切 点的坐标为 (1, e) ，切线的斜率为 e ．
化简得 x0 122x0 1 0
解得
x0
1或x0
1 2
①当x0 1时，所求的切线方程为：
y 2 2x 1即y 2x
②当x0
1时，所求的切线方程为：
2 y 2 1 x 1即x 4
y
9
0
4
3.若曲线C:y＝x3-2ax2+2ax 上任意一点处的切线的
的切线方程？
解：设切点为 P x0, x03 x0 2 ，由 k f x0 3x02 1 ∴切线方程为 y x03 x0 2 3x02 1 x x0 又∵切线过点 A1,2 2 x03 x0 2 3x02 1 1 x0
2.曲线 y 1 和 y x2在它们交点处的两条切
x
3
线与 x 轴所围成的三角形面积是 4 （06湖南）
如何用导数解决与切线有关的问题
即:a=4
4.已知曲线 C: y=x3-3x2+2x, 直线 l: y=kx, 且直线 l 与 曲线
C 相切于点 (x0, y0)(x00), 求直线 l 的方程及切点坐标. y0 解: 由直线 l 过点(x0, y0)，其斜率 k= x , 0 ∵点 (x0, y0) 在曲线 C 上, ∴y0=x03-3x02+2x0. y0 ∴ x =x02-3x0+2. 又 y=3x2-6x+2, 0 ∴在点 (x0, y0) 处曲线 C 的切线斜率 k=y|x=x0. ∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2. 整理得 2x02-3x0=0. 解得 x0= 3 (∵x00). 2 3 1 这时 y0=- 8 , k=- 4 . 3 , - 3 ). 切点坐标是 ( ∴直线 l 的方程为 y=- 1 x , 8 2 4
曲线的切线问题，是高考的常见题型之 一，主要有以下几类问题： 一、求过曲线上某个定点处的切线
x 例1（2009全国卷Ⅱ理）曲线y＝ 在点 2x－1 (1，1)处的切线方程为 ．
解
点（1，1）在曲线上． －1 因为y′＝ 2，在点（1，1）处的切线斜率 (2x－1) k＝－1，所以切线方程为x＋y－2＝0．
2．导数运算及切线的理解应注意的问题
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分
子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质， 直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲 线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线 与 曲 线 可 能 有 两 个 或 两 个 以 上 的 公 共 点 ，如 (4)． 三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形 式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之 积，如(9).
(完整版)导数求切线方程-(有答案)-12
用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =-Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|． 01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x x y x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得020011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程． 解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M 的坐标满足30003y x x =-． 因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．。
导数中的公切线问题--2024年新高考数学一轮复习题型归纳与方法总结 解析版
导数中的公切线问题知识点梳理一、公切线问题一般思路两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.考法1：求公切线方程已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.具体做法为：设公切线在y =f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y =g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)=g ′(x 2)=f x 1 -g x 2x 1-x 2.考法2：由公切线求参数的值或范围问题由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．题型精讲精练1若直线y =kx +b 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =ln x +2 的切线，则k =______．【解析】设y =kx +b 与y =e x 和y =ln x +2 ，分别切于点x 1,e x 1，x 2,ln x 2+2 ，由导数的几何意义可得：k =e x 1=1x 2+2，即x 2+2=1ex 1，①则切线方程为y -e x 1=e x 1x -x 1 ，即y =e x 1x -e x 1x 1+e x 1，或y -ln x 2+2 =1x 2+2x -x 2 ，即y -ln x 2+2 =1x 2+2x -x 2 ，②将①代入②得y =e x 1x +2e x 1-1-x 1，又直线y =kx +b 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =ln x +2 的切线，则-e x 1x 1+e x 1=2e x 1-1-x 1，即e x 1-1 x 1+1 =0，则x 1=-1或x 1=0，即k =e 0=1或k =e -1=1e ，故答案为1或1e．2已知直线y =kx +b 与函数y =e x 的图像相切于点P x 1,y 1 ，与函数y =ln x 的图像相切于点Q x 2,y 2 ，若x 2>1，且x 2∈n ,n +1 ，n ∈Z ，则n =______．【解析】依题意，可得e x 1=k =1x 2y 1=e x 1=kx 1+by 2=ln x 2=kx 2+b，整理得x 2ln x 2-ln x 2-x 2-1=0令f x =x ln x -ln x -x -1x >1 ，则f x =ln x -1x在1,+∞ 单调递增且f 1 ⋅f 2 <0，∴存在唯一实数m ∈1,2 ，使f m =0f x min =f m <f 1 <0，f 2 =ln2-3<0，f 3 =2ln3-4<0，f 4 =3ln4-5<0，f 5 =4ln5-6>0，∴x 2∈4,5 ，故n =4．【题型训练】1.求公切线方程一、单选题1(2023·全国·高三专题练习)曲线y =1x与曲线y =-x 2的公切线方程为()A.y =-4x +4B.y =4x -4C.y =-2x +4D.y =2x -4【答案】A【分析】画出图象，从而确定正确选项.【详解】画出y =1x,y =-x 2以及四个选项中直线的图象如下图所示，由图可知A 选项符合.故选：A2(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f (x )，若曲线y =f (x )在点(0,0)处的切线与曲线y =xf (x )在点(1,2)处点的切线重合，则f ′(2)=()A.-34B.-14C.-4D.14【答案】B【分析】由f(0)=0得d=0，然后求得f (x)，由f (0)=2-01-0求得c=2，设g(x)=xf(x)，由g(1)=2得f(1)=2及a+b=0，再由g (1)=2得3a+2b+2=0，解得a,b后可得f (2)．【详解】设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，∵f(0)=d=0,∴f(x)=ax3+bx2+cx,∴f′(x)=3ax2+2bx+c∴f′(0)=c=2-01-0=2，设g(x)=xf(x)，则g(1)=f(1)=a+b+2=2，即a+b=0⋯⋯①又∵g′(x)=f(x)+xf′(x),∴g′(1)=f(1)+f′(1)=2,∴f′(1)=0，即3a+2b+2=0⋯⋯②由①②可得a=-2,b=2,c=2，∴f′(2)=-14.故选：B.3(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x ln x，g x =ax2-x．若经过点A1,0存在一条直线l与曲线y=f x 和y=g x 都相切，则a=()A.-1B.1C.2D.3【答案】B【分析】先求得f(x)在A(1,0)处的切线方程，然后与g x =ax2-x联立，由Δ=0求解【详解】解析：∵f x =x ln x，∴f x =1+ln x，∴f 1 =1+ln1=1，∴k=1，∴曲线y=f x 在A1,0处的切线方程为y=x-1，由y=x-1y=ax2-x得ax2-2x+1=0，由Δ=4-4a=0，解得a=1．故选：B4(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x2-4x+4,g(x)=x-1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为A.三条B.二条C.一条D.0条【答案】A【分析】分别设出两条曲线的切点坐标，根据斜率相等得到方程8n3-8n2+1=0，构造函数f x =8x3-8x2+1,f x =8x3x-2，研究方程的根的个数，即可得到切线的条数.【详解】设公切线与f x 和g x 分别相切于点m,f m,n,f n,f x =2x-4，g x =-x -2,gn =fm =g n -f m n -m ，解得m =-n -22+2，代入化简得8n 3-8n 2+1=0，构造函数f x =8x 3-8x 2+1,f x =8x 3x -2 ，原函数在-∞，0 ↗，0，23 ↘，23，+∞ ↗，极大值f 0 >0,极小值，f 23<0故函数和x 轴有交3个点，方程8n 3-8n 2+1=0有三解，故切线有3条.故选A .【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.考查了函数零点个数问题，即转化为函数图像和x 轴的交点问题.5(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x 2-2m ，g x =3ln x -x ，若y =f x 与y =g x在公共点处的切线相同，则m =()A.-3B.1C.2D.5【答案】B【分析】设曲线y =f x 与y =g x 的公共点为x 0,y 0 ，根据题意可得出关于x 0、m 的方程组，进而可求得实数m 的值.【详解】设函数f x =x 2-2m ，g x =3ln x -x 的公共点设为x 0,y 0 ，则f x 0 =g x 0 f x 0 =g x 0 ，即x 20-2m =3ln x 0-x 02x 0=3x 0-1x 0>0，解得x 0=m =1，故选：B .【点睛】本题考查利用两函数的公切线求参数，要结合公共点以及导数值相等列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.6(2023·全国·高三专题练习)函数f (x )=ln x 在点P (x 0,f (x 0))处的切线与函数g (x )=e x 的图象也相切，则满足条件的切点的个数有A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【分析】先求直线l 为函数的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线方程，再设直线l 与曲线y =g (x )相切于点(x 1，e x 1)，进而可得ln x 0=x 0+1x 0-1，根据函数图象的交点即可得出结论．【详解】解：∵f (x )=ln x ，∴f ′(x )=1x ，∴x =x 0，f ′(x 0)=1x 0，∴切线l的方程为y-ln x0=1x0(x-x0)，即y=1x0x+ln x0-1，①设直线l与曲线y=g(x)相切于点(x1，e x1)，∵g (x)=e x，∴e x1=1x0，∴x1=-ln x0．∴直线l也为y-1x0=1x0(x+ln x0)即y=1x0x+ln x0x0+1x0，②由①②得ln x0=x0+1 x0-1，如图所示，在同一直角坐标系中画出y=ln x,y=x+1x-1的图象，即可得方程有两解，故切点有2个.故选：C二、填空题7(2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)与曲线y=e x和y=-x24都相切的直线方程为.【答案】y=x+1【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解.【详解】设直线与曲线y=e x相切于点x1,e x1，因为y =e x，所以该直线的方程为y-e x1=e x1x-x 1，即y=e x1x+e x11-x1，设直线与曲线y=-x24相切于点x2,-x224，因为y =-x2，所以该直线的方程为y+x224=-x22x-x2，即y=-x22x+x224，所以e x1=-x22e x11-x1=x224，解得x1=0,x2=-2，所以该直线的方程为y=x+1，故答案为：y=x+1.8(2023·全国·高三专题练习)已知f x =e x-1(e为自然对数的底数)，g x =ln x+1，请写出f x 与g x 的一条公切线的方程．【答案】y=ex-1或y=x【分析】假设切点分别为m,e m-1，n,ln n+1，根据导数几何意义可求得公切线方程，由此可构造方程求得m，代入公切线方程即可得到结果.【详解】设公切线与f x 相切于点m,e m-1，与g x 相切于点n,ln n+1，∵f x =e x，g x =1x，∴公切线斜率k=e m=1n；∴公切线方程为：y-e m+1=e m x-m或y-ln n-1=1nx-n，整理可得：y=e m x-m-1e m-1或y=1nx+ln n，∴e m=1nm-1e m+1=-ln n，即m=-ln nm-1e m +1=-ln n，∴m-1e m+1-m=m-1e m-1=0，解得：m=1或m=0，∴公切线方程为：y=ex-1或y=x.故答案为：y=ex-1或y=x.9(2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试)已知直线l与曲线y=e x、y=2+ln x都相切，则直线l的方程为．【答案】y=x+1或y=ex【分析】分别求出两曲线的切线方程是y=e x1x+e x11-x1和y=1x2x+1+ln x2，解方程e x1=1x2，e x11-x1=1+ln x2，即得解.【详解】解：由y=e x得y =e x，设切点为x1,e x1，所以切线的斜率为e x1，则直线l的方程为：y=e x1x+e x11-x1；由y =2+ln x 得y =1x ，设切点为x 2,2+ln x 2 ，所以切线的斜率为1x 2，则直线l 的方程为：y =1x 2x +1+ln x 2．所以e x 1=1x 2，e x 11-x 1 =1+ln x 2，消去x 1得1x 2-11+ln x 2 =0，故x 2=1或x 2=1e，所以直线l 的方程为：y =x +1或y =ex ．故答案为：y =x +1或y =ex 10(2023春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习)已知直线y =kx +b 是曲线y =ln 1+x 与y =2+ln x 的公切线，则k +b =.【答案】3-ln2【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算k +b .【详解】设曲线y =ln 1+x 上切点A x 1,ln 1+x 1 ，y =11+x，切线斜率k =11+x 1，切线方程y -ln 1+x 1 =11+x 1x -x 1 ，即y =11+x 1x -x 11+x 1+ln 1+x 1同理，设曲线y =2+ln x 上切点B x 2,2+ln x 2 ，y =1x，切线斜率k =1x 2，切线方程y -2+ln x 2 =1x 2x -x 2 ，即y =1x 2x +1+ln x 2，所以11+x 1=1x 2-x11+x 1+ln (1+x 1)=1+ln x 2，解得x 1=-12x 2=12，所以k =2，b =1-ln2，k +b =3-ln2.故答案为：3-ln2.2.公切线中的参数问题一、单选题1(2023·陕西渭南·统考一模)已知直线y =ax +b (a ∈R ,b >0)是曲线f x =e x 与曲线g x =ln x +2的公切线，则a +b 等于()A.e +2B.3C.e +1D.2【答案】D【分析】由f x 求得切线方程，结合该切线也是g x 的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线y =ax +b ，从而求得正确答案.【详解】设t ,e t 是f x 图象上的一点，f x =e x ，所以f x 在点t ,e t 处的切线方程为y -e t =e t x -t ，y =e t x +1-t e t ①，令g x =1x=e t ，解得x =e -t ，g e -t=ln e -t+2=2-t ，所以2-t -e te -t-t=e t ，1-t =1-t e t ，所以t =0或t =1(此时①为y =ex ，b =0，不符合题意，舍去)，所以t =0，此时①可化为y -1=1×x -0 ,y =x +1，所以a +b =1+1=2.故选：D2(2023·陕西榆林·校考模拟预测)若直线l 与曲线y =e x 相切，切点为M x 1,y 1 ，与曲线y =x +32也相切，切点为N x 2,y 2 ，则2x 1-x 2的值为()A.-2B.-1C.0D.1【答案】B【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线方程即可得解.【详解】因为直线l 与曲线y =e x 相切，切点为M x 1,y 1 ，可知直线l 的方程为y =e x 1x -x 1 +e x 1=e x 1x +1-x 1 e x 1，又直线l 与曲线y =x +3 2也相切，切点为N x 2,y 2 ，可知直线l 的方程为y =2x 2+3 x -x 2 +x 2+3 2=2x 2+3 x -x 22+9，所以e x 1=2x 2+3 1-x 1 e x 1=-x 22+9，两式相除，可得21-x 1 =3-x 2，所以2x 1-x 2=-1.故选：B3(2023春·河南·高三校联考阶段练习)已知曲线y =x 在点x 0,x 0 0<x 0<14处的切线也与曲线y =e x 相切，则x 0所在的区间是()A.0,14e 4B.14e 4,14e 2C.14e 2,14eD.14e ,14【答案】C【分析】设切线l与曲线y=e x的切点为m,e m，通过导数分别写出切线方程，由两条切线重合得出方程，再通过此方程有解得出结果.【详解】设该切线为l，对y=x求导得y =12x，所以l的方程为y-x0=12x0x-x0，即y=12x0x+x02．设l与曲线y=e x相切的切点为m,e m，则l的方程又可以写为y-e m=e m x-m，即y=e m x+1-me m．所以e m=12x0，x02=1-me m．消去m，可得x0=1+ln2x0，0<x0<1 4，令t=2x0∈0,1，则ln t-t24+1=0．设h t =ln t-t24+1，当0<t<1时，h t =1t-t2>0，所以h t 在0,1上单调递增，又h1e=-14e2<0，h1e=12-14e>0，所以t0=2x0∈1e,1e，所以x0∈14e2,14e．故选：C.4(2023·全国·高三专题练习)若函数f x =2a ln x+1与g x =x2+1的图像存在公共切线，则实数a的最大值为()A.eB.2eC.e22D.e2【答案】A【分析】分别设公切线与g x =x2+1和f(x)=2a ln x+1的切点x1,x21+1，x2,2a ln x2+1，根据导数的几何意义列式，再化简可得a=2x22-2x22ln x2，再求导分析h(x)=2x2-2x2⋅ln x(x >0)的最大值即可【详解】g x =2x，f x =2a x，设公切线与g x =x2+1的图像切于点x1,x21+1，与曲线f(x)=2a ln x+1切于点x2,2a ln x2+1，所以2x1=2ax2=2a ln x2+1-x21+1x2-x1=2a ln x2-x21x2-x1，故a=x1x2，所以2x1=2x1x2ln x2-x21x2-x1，所以x1=2x2-2x2⋅ln x2，因为a=x1x2，故a=2x22-2x22ln x2，设h(x)=2x2-2x2⋅ln x(x>0)，则h (x)=2x(1-2ln x)，令h (x)=0⇒x=e当h (x)>0时，x∈(0,e)，当h (x)<0时，x∈(e,+∞)，所以h x 在(0,e)上递增，在(e,+∞)上递减，所以h(x)max=h(e)=e，所以实数a的最大值为e，故选：A.5(2023·湖南郴州·统考模拟预测)定义：若直线l与函数y=f x ，y=g x 的图象都相切，则称直线l为函数y=f x 和y=g x 的公切线．若函数f x =a ln x a>0和g x =x2有且仅有一条公切线，则实数a的值为()A.eB.eC.2eD.2e【答案】C【分析】设直线与g x =x2的切点为x1,x21，然后根据导数的几何意义可推得切线方程为y=2x1x-x21，y=ax2x+a ln x2-1.两条切线重合，即可得出a=4x22-4x22ln x2有唯一实根.构造h x =4x2-4x2ln x x>0，根据导函数得出函数的性质，作出函数的图象，结合图象，即可得出答案.【详解】设直线与g x =x2的切点为x1,x21，因为g x =2x，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为2x1，即该直线的方程为y-x21=2x1x-x1，即y=2x1x-x21.设直线与f x =a ln x的切点为(x2,a ln x2)，因为f x =ax，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为ax2，即该直线的方程为y-a ln x2=ax2x-x2，即y=ax2x+a ln x2-1.因为函数f x =a ln x a>0和g x =x2有且只有一条公切线，所以有2x1=ax2a ln x2-1=-x21 ，即a=4x22-4x22ln x2有唯一实根.令h x =4x2-4x2ln x x>0，则h x =8x-8x ln x-4x=4x1-2ln x.解h x =0，可得x= e.当4x1-2ln x>0时，0<x<e，所以h x 在0,e上单调递增；当4x1-2ln x<0时，x>e，所以h x 在e,+∞上单调递减.所以h x 在x=e处取得最大值h e=4e-4e×12=2e.当x→0时，h x →0，h e =4e2-4e2ln e=0，函数h x 图象如图所示，因为a>0，a=4x2-4x2ln x有唯一实根，所以只有a=2e.故选：C6(2023春·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考阶段练习)已知函数f x =2+ln x，g x = a x，若总存在两条不同的直线与函数y=f x ，y=g x 图象均相切，则实数a的取值范围为()A.0,1B.0,2C.1,2D.1,e【答案】B【分析】设函数y=f x ，y=g x 的切点坐标分别为x1,2+ln x1，x2,a x2，根据导数几何意义可得a2=4ln x1+4x1，x1>0，即该方程有两个不同的实根，则设h x =4ln x+4x,x>0，求导确定其单调性与取值情况，即可得实数a的取值范围.【详解】解：设函数f x =2+ln x上的切点坐标为x1,2+ln x1，且x1>0，函数g x =a x 上的切点坐标为x2,a x2，且x2≥0，又f x =1x,g x =a2x，则公切线的斜率k=1x1=a2x2，则a>0，所以x2=a24x21，则公切线方程为y-2+ln x1=1x1x-x1，即y=1x1x+ln x1+1，代入x 2,a x 2 得：a x 2=1x 1x 2+ln x 1+1，则a 22x 1=1x 1⋅a 24x 21+ln x 1+1，整理得a 2=4ln x 1+4x 1，若总存在两条不同的直线与函数y =f x ，y =g x 图象均相切，则方程a 2=4ln x 1+4x 1有两个不同的实根，设h x =4ln x +4x,x >0，则h x =4x⋅x -4ln x +4x2=-4ln xx，令h x =0得x =1，当x ∈0,1 时，h x >0，h x 单调递增，x ∈1,+∞ 时，h x <0，h x 单调递减，又h x =0可得x =1e，则x →0时，h x →-∞；x →+∞时，h x →0，则函数h x 的大致图象如下：所以a >00<a 2<4，解得0<a <2，故实数a 的取值范围为0,2 .故选：B .【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用，难度较大.解决本题的关键是，根据公切线的几何意义，设切点坐标分别为x 1,2+ln x 1 ，且x 1>0，x 2,a x 2 ，且x 2≥0，可得k =1x 1=a 2x 2，即有x 2=a 24x 21，得公切线方程为y =1x 1x +ln x 1+1，代入切点x 2,a x 2 将双变量方程a x 2=1x 1x 2+ln x 1+1转化为单变量方程a 22x 1=1x 1⋅a 24x 21+ln x 1+1，根据含参方程进行“参变分离”得a 2=4ln x 1+4x 1，转化为一曲一直问题，即可得实数a 的取值范围.7(2023·全国·高三专题练习)若曲线y =ln x +1与曲线y =x 2+x +3a 有公切线，则实数a 的取值范围()A.2ln2-36,3-ln22B.1-4ln212,3-ln22C.2ln2-36,+∞ D.1-4ln212,+∞【答案】D【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a 关于切点x 的解析式，根据解析式的值域确定a 的范围.【详解】设x 1,y 1 是曲线y =ln x +1的切点，设x 2,y 2 是曲线y =x 2+x +3a 的切点，对于曲线y =ln x +1，其导数为y =1x ，对于曲线y =x 2+x +3a ，其导数为y =2x +1，所以切线方程分别为：y -ln x 1+1 =1x 1x -x 1 ，y -x 22+x 2+3a =2x 2+1 x -x 2 ，两切线重合，对照斜率和纵截距可得：1x 1=2x 2+1ln x 1=-x 22+3a，解得3a =ln x 1+x 22=ln 12x 2+1+x 22=-ln 2x 2+1+x 22x 2>-12 ，令h x =-ln 2x +1 +x 2x >-12，hx =-22x +1+2x =4x 2+2x -22x +1=2x +1 2x -1 2x +1=0，得：x =12，当x ∈-12,12时，h x <0，h x 是减函数，当x ∈12,+∞时，h x >0，h x 是增函数，∴h min x =h 12 =14-ln2且当x 趋于-12时，，h x 趋于+∞；当x 趋于+∞时，h x 趋于+∞；∴3a ≥14-ln2，∴a ≥1-4ln212；故选：D ．8(2023·河北·统考模拟预测)若曲线f (x )=3x 2-2与曲线g (x )=-2-m ln x (m ≠0)存在公切线，则实数m 的最小值为()A.-6eB.-3eC.2eD.6e【答案】A【分析】求出函数的导函数，设公切线与f x 切于点x 1,3x 21-2 ，与曲线g x 切于点x 2,-2-m ln x 2 ，x 2>0 ，即可得到m =-6x 1x 2，则x 1=0或x 1=2x 2-x 2ln x 2，从而得到m =12x 22ln x 2-12x 22，在令h x =12x 2ln x -12x 2，x >0 ，利用导数求出函数的最小值，即可得解；【详解】因为f (x )=3x 2-2，g (x )=-2-m ln x (m ≠0)，所以f (x )=6x ，g (x )=-mx，设公切线与f x 切于点x 1,3x 21-2 ，与曲线g x 切于点x 2,-2-m ln x 2 ，x 2>0 ，所以6x 1=-m x 2=-2-m ln x 2-3x 21-2 x 2-x 1=-m ln x 2-3x 21x 2-x 1，所以m =-6x 1x 2，所以6x 1=6x 1x 2ln x 2-3x 21x 2-x 1，所以x 1=0或x 1=2x 2-x 2ln x 2，因为m ≠0，所以x 1≠0，所以x 1=2x 2-x 2ln x 2，所以m =-62x 2-x 2ln x 2 x 2=12x 22ln x 2-12x 22，令h x =12x 2ln x -12x 2，x >0 ，则h x =12x 2ln x -1 ，所以当0<x <e 时h x <0，当x >e 时h x >0，所以h x 在0,e 上单调递减，在e ,+∞ 上单调递增，所以h x min =h e =-6e ，所以实数m 的最小值为-6e.故选：A【点睛】思路点睛：涉及公切线问题一般先设切点，在根据斜率相等得到方程，即可找到参数之间的关系，最后构造函数，利用导数求出函数的最值.二、多选题9(2023·湖北·统考模拟预测)若存在直线与曲线f x =x 3-x ,g x =x 2-a 2+a 都相切，则a 的值可以是()A.0B.-24C.log 27D.e π+πe【答案】ABC【分析】设该直线与f x 相切于点x 1,x 31-x 1 ，求出切线方程为y =3x 21-1 x -2x 31，设该直线与g x 相切于点x 2,x 22-a 2+a ，求出切线方程为y =2x 2x -x 22-a 2+a ，联立方程组，得到-a 2+a =94x 41-2x 31-32x 21+14，令h x =94x 4-2x 3-32x 2+14，讨论h x 的单调性，从而得到最值，则可得到-a 2+a ≥-1，解出a 的取值范围，四个选项的值分别比较与区间端点比较大小即可判断是否在区间内.【详解】设该直线与f x 相切于点x 1,x 31-x 1 ，因为f x =3x 2-1，所以f x 1 =3x 21-1，所以该切线方程为y -x 31-x 1 =3x 21-1 x -x 1 ，即y =3x 21-1 x -2x 31.设该直线与g x 相切于点x 2,x 22-a 2+a ，因为g x =2x ，所以g x 2 =2x 2，所以该切线方程为y -x 22-a 2+a =2x 2x -x 2 ，即y =2x 2x -x 22-a 2+a ，所以3x 21-1=2x 2-2x 31=-x 22-a 2+a ，所以-a 2+a =x 22-2x 31=3x 21-122-2x 31=94x 41-2x 31-32x 21+14，令h x =94x 4-2x 3-32x 2+14,∴h x =9x 3-6x 2-3x ，所以当x ∈-∞,-13 ∪0,1 时，hx <0；当x ∈-13,0 ∪1,+∞ 时，h x >0；∴h x 在-∞,-13和0,1 上单调递减；在-13,0 和1,+∞ 上单调递增；又h -13 =527,h 1 =-1，所以h x ∈-1,+∞ ，所以-a 2+a ≥-1，解得1-52≤a ≤1+52，所以a 的取值范围为1-52,1+52，所以A 正确；对于B ，-24-1-52=25-2+2 4>0，所以1-52<-24<0，所以B 正确；对于C ，因为0<log 27<log 222=32<1+52，所以C 正确；对于D ，因为e π+πe>2e π⋅πe=2>1+52，所以D 不正确.故选：ABC10(2023·全国·高三专题练习)函数f x =ln x +1，g x =e x -1，下列说法正确的是( )．(参考数据：e 2≈7.39，e 3≈20.09，ln2≈0.69，ln3≈1.10)A.存在实数m ，使得直线y =x +m 与y =f x 相切也与y =g x 相切B.存在实数k ，使得直线y =kx -1与y =f x 相切也与y =g x 相切C.函数g x -f x 在区间23,+∞ 上不单调D.函数g x -f x 在区间23,+∞上有极大值，无极小值【答案】AB【分析】对AB ，设直线与y =f x 、y =g x 分别切于点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，利用点在线上及斜率列方程组，解得切点即可判断；对CD ，令h x =g x -f x ，由二阶导数法研究函数单调性及极值.【详解】对AB ，设直线l 与y =f x 、y =g x 分别切于点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，f x =1x，gx =ex，则有y1=f x1=ln x1+1y2=g x2=e x2-1y1-y2x1-x2=1x1=e x2⇒ln x1+1-e x2-1x1-x2=e x2⇒-x2+1-e x2-11e x2-x2=e x2⇒e x2-1x2-1=0，解得x2=0或x2=1.当x2=0，则y2=0，x1=1，y1=1，公切线为y=x，此时存在实数m=0满足题意；当x2=1，则y2=e-1，x1=1e，y1=0，公切线为y=e x-1e=ex-1，此时存在实数k=1满足题意，AB对；对CD，令h x =g x -f x =e x-ln x-2，x∈0,+∞，则m x =h x =e x-1 x，由m x =e x+1x2>0得h x 在0,+∞单调递增，由h23=e23-32=e2-278e232+32e23+94>0得，x∈23,+∞时，h x >0，h x 单调递增，CD错.故选：AB.三、填空题11(2023·全国·高三专题练习)若曲线y=ax2与y=ln x有一条斜率为2的公切线，则a= .【答案】1ln2e【分析】根据导数的几何意义以及切线方程的求解方法求解.【详解】设公切线在曲线y=ax2与y=ln x上的切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，由y=ln x可得y =1x，所以1x2=2，解得x2=12，所以y2=ln x2=-ln2,则B12,-ln2 ，所以切线方程为y+ln2=2x-1 2，又由y=ax2，可得y =2ax，所以2ax1=2，即ax1=1，所以y1=ax21=x1，又因为切点A(x1,y1)，也即A(x1,x1)在切线y+ln2=2x-1 2上，所以x1+ln2=2x1-1 2，解得x1=ln2+1，所以a =1x 1=1ln2+1=1ln2e .故答案为:1ln2e.12(2023·河北唐山·统考三模)已知曲线y =ln x 与y =ax 2a >0 有公共切线，则实数a 的取值范围为.【答案】12e,+∞【分析】设公切线与曲线的切点为x 1,ln x 1 ，x 2,ax 22 ，利用导数的几何意义分别求y =ln x 和y =ax 2上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.【详解】设公切线与曲线y =ln x 和y =ax 2的切点分别为x 1,ln x 1 ，x 2,ax 22 ，其中x 1>0，对于y =ln x 有y =1x ，则y =ln x 上的切线方程为y -ln x 1=1x 1x -x 1 ，即y =xx 1+ln x 1-1 ，对于y =ax 2有y =2ax ，则y =ax 2上的切线方程为y -ax 22=2ax 2x -x 2 ，即y =2ax 2x -ax 22，所以1x 1=2ax 2ln x 1-1=-ax 22，有-14ax21=ln x 1-1，即14a=x 21-x 21ln x 1x 1>0 ，令g x =x 2-x 2ln x ，g x =x -2x ln x =x 1-2ln x ，令gx =0，得x =e 12，当x ∈0,e12时，g x >0，g x 单调递增，当x ∈e 12,+∞ 时，g x <0，g x 单调递减，所以g x max =g e12=12e ，故0<14a ≤12e ，即a ≥12e.∴正实数a 的取值范围是12e,+∞.故答案为：12e,+∞.13(2023·浙江金华·统考模拟预测)若存在直线l 既是曲线y =x 2的切线，也是曲线y =a ln x 的切线，则实数a 的最大值为.【答案】2e【分析】设切线与两曲线的切点分别为(n ,n 2)，(m ,a ln m )，根据导数的几何意义分别求出切线方程，可得a4m2=1-ln m，由题意可知a4=m2(1-ln m)有解，故令g(x)=x2(1-ln x),(x>0)，利用导数求得其最值，即可求得答案.【详解】由题意知两曲线y=x2与y=a ln x,(x>0)存在公切线，a=0时，两曲线y=x2与y=0,(x>0)，不合题意；则y=x2的导数y =2x，y=a ln x的导数为y =a x，设公切线与y=x2相切的切点为(n,n2)，与曲线y=a ln x相切的切点为(m,a ln m)，则切线方程为y-n2=2n(x-n)，即y=2nx-n2，切线方程也可写为y-a ln m=am(x-m)，即y=amx-a+a ln m，故2n=am-n2=-a+a ln m，即a24m2=a-a ln m，即a4m2=1-ln m，即a4=m2(1-ln m)有解，令g(x)=x2(1-ln x),(x>0)，则g (x)=2x(1-ln x)+x2-1 x=x(1-2ln x)，令g (x)=0可得x=e，当0<x<e时，g (x)>0，当x>e时，g (x)<0，故g(x)在(0,e)是增函数，在(e,+∞)是减函数，故g(x)的最大值为g(e)=e 2，故a4≤e2，所以a≤2e，即实数a的最大值为2e，故答案为：2e。
高中数学导数切线问题例题
高中数学导数切线问题例题导数与切线是高中数学中的重要概念，它们在解决曲线的性质和应用问题中起着关键作用。
本文将通过几个例题，详细介绍导数与切线的相关概念和应用。
例题一：已知函数f(x) = x^2 + 2x - 1，求该函数在点x = 2处的切线方程。
解答一：首先，我们需要求得函数f(x)在点x = 2处的导数值，即f'(2)。
求导得到f'(x) = 2x + 2，代入x = 2，可得到f'(2) = 6。
导数值表示函数在该点的切线斜率，所以在点x = 2处的切线斜率为6。
接下来，我们利用切线的斜率和该点的坐标，即(2, f(2))，可以得到切线方程。
切线方程的一般形式为y - y1 = k(x - x1)，其中k为切线斜率，(x1, y1)为切点坐标。
代入切点坐标和切线斜率，可得到切线方程为y - f(2) = 6(x - 2)。
例题二：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求该函数在曲线上任意一点的切线方程。
解答二：我们需要求得函数f(x)的导数，即f'(x)。
求导得到f'(x) = 6x^2 - 6x + 2。
导数表示曲线在某一点的切线斜率，我们可以选择任意一点(x0,f(x0))。
对于任意一点(x0, f(x0))，我们将这个点代入导数表达式，得到切线斜率k。
然后利用切点坐标和切线斜率，即(x0, f(x0))和k，可以得到切线方程。
例如，选择点(1, f(1))，代入导数表达式，可得切线斜率k = f'(1) = 2。
接着，代入切点坐标和切线斜率，得到切线方程为y - f(1) = 2(x - 1)。
同样地，我们可以选择曲线上任意一点进行计算，得到对应的切线方程。
通过以上两个例题，我们可以看到导数与切线的关系。
在例题一中，我们很容易求得切线的斜率，因为已知函数f(x)是个二次函数，直接求导后代入点的坐标即可得到切线方程。
运用导数探究曲线的切线问题
导数类型题运用导数探究曲线的切线问题导数与曲线的切线有缘，因为()0/x f的几何意义是曲线y=f (x)在点（x 0 ，f (x 0)）处的切线斜率，其物理意义通常指物体运动时的瞬时速度。
曲线的切线反映了曲线的变化情况，体现了微积分中重要的思想方法——以直代曲。
因此，利用导数求解曲线的问题，几乎是新课程高考每年必考的内容。
在这类问题中，导数所肩负的任务是求切线的斜率，这类问题的核心部分是考查函数的思想方法和解析几何的基本思想方法，真正体现出函数、导数既是研究的对象又是研究的工具。
举例说明。
例1已知函数)0()(>+=t xtx x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（1）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；（2）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 分析：由题意点P 在曲线外，故求切线PM 、PN 的方程，须设出M 、N 两点的横坐标，目的是借助导数求直线的斜率；第二问属探索性问题，往往是先假设存在，看是否能求得符合条件的t 或导出矛盾。
解：（1）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ， 21)(xtx f -='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12111x x x tx t x y --=+-，又 切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x t x t x --=+-，即02121=-+t tx x ， 同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x ．由（1）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根，⎩⎨⎧-=⋅-=+∴. ,22121t x x t x x （ * ）22211221)()(x t x x t x x x MN --++-=])1(1[)(221221x x t x x -+-= ])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=， 把（ * ）式代入,得t t MN 20202+=,因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ．（2）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴01111--+x x t x ＝01222--+x x t x ，即21121x x t x -+＝22222x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ，21x x ≠ ，1212)(x x x x t =+∴． 把（*）式代入，解得21=t ． ∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且 21=t ． 点评：本题以函数为载体，综合考查了函数与导数的有关问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
题型五 求曲线或切线方程中待定字母的值
名师点金
例 ５ 若直线 ｙ＝ｘ 是曲线 ｙ＝ｘ３－ ３ｘ２＋ａｘ 的切 线 ，
则 ａ＝
．
解 设 ｙ＝ｘ 与 ｙ＝ｘ３－ ３ｘ２＋ａｘ 切 于 点 Ｐ（ ｘ０， ｙ０） ， 则
ｙ′│ｘ＝ｘ０＝３ｘ０２－ ６ｘ０＋ａ＝１，
①
又 Ｐ 在曲线上， ｘ０３－ ３ｘ０２＋ａｘ０＝ｘ０，
（ｆ ｘ） 上时， 要求过点 Ｐ 的切线时， 一定要注意可能存
在两种情况： 一是点 Ｐ 本身即为切点； 二是切线是
以曲线 ｙ＝（ｆ ｘ） 上的另一点 Ｑ 为切点， 但该切 线恰好
过点 Ｐ．解题时切勿混淆了“在 Ｐ 点处的切线”与“过
Ｐ 点 的 切 线 ”两 概 念 ， 否 则 会 因 概 念 理 解 不 够 深 刻
而“ 大 意 失 荆 州 ”．
题型四 已知斜率， 求曲线的切线方程
例 ４ 与 直 线 ２ｘ－ ｙ＋４＝０ 的 平 行 的 抛 物 线 ｙ＝ｘ２
的切线方程是
（
）
Ａ．２ｘ－ ｙ＋３＝０
Ｂ．２ｘ－ ｙ－ ３＝０
Ｃ．２ｘ－ ｙ＋１＝０
Ｄ．２ｘ－ ｙ－ １＝０
解 设 Ｐ（ ｘ０， ｙ０） 为切点， 则切点的斜率为 ｙ′│ｘ＝ｘ０＝ ２ｘ０＝２， 所以 ｘ０＝１．
由①得公切线方程为
ｙ＝ｘ－
１ ４
．
点评 “ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１ 与 ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２”表 示 同 一 条 直 线 的 充 要 条 件 是“ｋ１＝ｋ２ 且 ｂ１＝ｂ２”．运 用 这 个 充 要 条 件 处理切线问题， 往往能很快建立已知与未知间关
系， 起到化难为易、化繁为简的作用．
数学爱好者 #$%
在曲线上 ｙ＝ｘ３－ ３ｘ， 故解法不同于题型一．
解 可设切点为 Ｍ（ ｘ０， ｙ０） ， 则 ｙ０＝ｘ０３－ ３ｘ０， ① ｋ＝ｆ（′ｘ０） ＝３ｘ０２－ ３， 又切线 ｌ 过 Ａ、Ｍ 两点，
所以 ｋ＝ ｙ０－ １６ ｘ０
，
则
３ｘ０２－
３＝
ｙ０－ １６ ｘ０
，
②
联立①、②可解得 ｘ０＝－ ２， ｙ０＝－ ２， 即 Ｍ（ － ２， － ２） ，
说明 １．在“某点处的切线”与“过某点的切线”
意义不同， 注意审题， 后者一定要先“设切点的坐标 ”；
２．求切线方程的步骤是：（ １） 明确切点；（ ２） 确定
该 点 处 的 切 线 的 斜 率（ 即 该 点 处 的 导 数 值） ；（ ３） 若
切 点 不 明 确 ， 则 应 考 虑 先 设 切 点．当 点 Ｐ 在 曲 线 ｙ＝
ｘ
人
教
（ ２） ｙ′│ｘ＝１＝１， 所 以 过 曲 线 上 的 点（ １， ０） 处 斜 率
专 为 １ 的切线方程为 ｙ＝ｘ－ １．
业Ｓ
精心策划
求曲线的切线方程是导数的重要应用之一， 用
高 导数求切线方程的关键在于求出切点 Ｐ（ ｘ０， ｙ０） 及斜 二 率 ， 其 求 法 为 ： 设 Ｐ（ ｘ０， ｙ０） 是 曲 线 ｙ＝（ｆ ｘ） 上 的 一 点 ，
由 此 得 到 切 点（ １， １） ．故 切 线 方 程 为 ｙ－ １＝２（ ｘ－
１） ， 即 ２ｘ－ ｙ－ １＝０， 故选 Ｄ．
点评 此题所给的曲线是抛物线， 故也可利用
Δ法加以解决， 即设切线方程为 ｙ＝２ｘ＋ｂ， 代 入 ｙ＝ｘ２，
得 ｘ２－ ２ｘ－ ｂ＝０， 又因为 Δ＝０， 得 ｂ＝－ １， 故选 Ｄ．
②式都是 ｌ 的方程， 所以 － ｘ１２＝ｘ２２＋ａ，
消去 ｘ２ 得方程 ２ｘ１２＋２ｘ１＋１＋ａ＝０．
若 判 别 式 Δ＝４－ ４×２（ １＋ａ） ＝０ 时 ， 即 ａ＝－ １ 时 解 ２
得 ｘ１＝－
１ ２
， 此时点 Ｐ 与 Ｑ 重合．
即当 ａ＝－
１ ２
时， Ｃ１ 和 Ｃ２ 有且 仅 有 一 条 公 切 线 ，
却十分重要．下面例析四种常见的类型及解法．
题型一 已知切点， 求曲线的切线方程
例 １ 曲 线 ｙ＝ｘ３－ ３ｘ２＋１ 在 点（ １， － １） 处 的 切 线
方程为
（
）
Ａ．ｙ＝３ｘ－ ４
Ｂ．ｙ＝－ ３ｘ＋２
Ｃ．ｙ＝－ ４ｘ＋３
Ｄ．ｙ＝４ｘ－ ５
解析 由 ｆ（′ｘ） ＝３ｘ２－ ６ｘ， 则在点（ １， － １） 处斜率ｋ＝
从而得切线方程为 ９ｘ－ ｙ＋１６＝０．
点评 要注意“曲线过点 Ａ 的切线”与“曲线在
点 Ａ 的 切 线 ”的 区 别．一 些 同 学 常 会 出 现 这 样 的 错
解： 设过 Ａ（ ０， １６） 的曲线的切线 ｌ 的斜率为 ｋ， 则 ｋ＝
ｙ′│ｘ＝０＝３ｘ２－ ３│ｘ＝０＝－ ３， 所 以 ｌ 的 方 程 为 ｙ－ １６＝－ ３（ ｘ－ ０） ， 即 ３ｘ＋ｙ－ １６＝０．
名师点金
习题转化
从一道课本习题谈
导数中的切线问题
□ 广东 冼虹雁
题目 （ 选修 ２－ ２ 中习题 １．２Ａ 组第 ６ 题）
已知函数 ｙ＝ｘｌｎｘ．
（ １） 求这个函数的导数；
（ ２） 求这个函数在点 ｘ＝１ 处） ｙ′＝（ ｘｌｎｘ） ′＝ｌｎｘ＋ｘ·１ ＝１＋ｌｎｘ；
标
则 以 Ｐ 为 切 点 的 切 线 方 程 为 ： ｙ－ ｙ０＝ｆ′（ ｘ０）（ ｘ－ ｘ０） ．若 曲线 ｙ＝（ｆ ｘ） 在 点 Ｐ（ ｘ０， （ｆ ｘ０） ） 的 切 线 平 行 于 ｙ 轴（ 即 导数不存在） 时， 由切线定义知， 切线方程为 ｘ＝ｘ０．本 题比较简单， 但由此引出的关于导数中的切线问题
②
联立①、②， 消去 ａ 得 ｘ０３－ ３ｘ０２＋６ｘ０２－ ３ｘ０３＝０，
解得
ｘ０＝０，
或
ｘ０＝
３ ２
．
从而 ａ＝１， 或 ａ＝ １３ ． ４
点评 与着眼于重根的讨论而言， 运用切点坐
标避免了讨论， 求 ａ 的值就是解方程（ 组） ．
题型六 求两曲线的公切线方程
例 ６ 已知抛物线 Ｃ１： ｙ＝ｘ２＋２ｘ 和 Ｃ２： ｙ＝－ ｘ２＋ａ， 若Ｃ１
和 Ｃ２ 有且仅 有 一 条 公 切 线 ｌ， 求 出 公 切 线 ｌ 的 方 程．
解 函 数 ｙ＝ｘ２＋２ｘ 的 导 数 ｙ′＝２ｘ＋２， 曲 线 Ｃ１ 在 新
课
点 Ｐ（ ｘ１， ｘ１２＋２ｘ１） 的切线方程是：
标
ｙ－（ ｘ１２＋２ｘ１） ＝（ ２ｘ１＋２）（ ｘ－ ｘ１） ，
人 教
即 ｙ＝（ ２ｘ１＋２） ｘ－ ｘ１２，
ｆ′（ １） ＝－ ３， 故 所 求 的 切 线 方 程 为 ｙ－（ － １） ＝－ ３（ ｘ－ １） ，
即 ｙ＝－ ３ｘ＋２， 故选 Ｂ．
点评 此类题较为简单， 只需求出曲线的导数
ｆ（′ｘ） ， 并代入点斜式方程即可．
!"# 数学爱好者
题型二 已知过曲线上一点， 求切线方程 例 ２ 求 曲 线 ｙ＝３ｘ－ ｘ３ 的 过 点 Ａ（ ２， － ２） 的 切 线 方程． 分析 由于点 Ａ（ ２， － ２） 恰 好 在 曲 线 ｙ＝（ｆ ｘ） 上 ， 因此容易得到一条切线方程， 即以点 Ｐ 为切点的切 线．本题求的是“ 经 过 点 Ｐ 的 切 线 ”， 而 不 是“ 点 Ｐ 处 的 切 线 ”， 因 而 不 排 除 有 其 他 切 线 经 过 Ｐ．因 此 本 题 切线应有两条， 一条以点 Ｐ 为切点， 另一条不以点 Ｐ 为切点但经过点 Ｐ． 解 设切点为 Ｐ（ ｘ０， ｙ０） ， 因为 ｙ′＝３－ ３ｘ２， 所以在点 Ｐ 处的切线方程为 ｙ－ ｙ０＝（ ３－ ３ｘ０２）（ ｘ－ ｘ０） ， 又切线过点 Ａ， 所以－ ２－（ ３ｘ０－ ｘ０３） ＝（ ３－ ３ｘ０２）（ ２－ ｘ０） ， 整理得 ｘ０３－ ３ｘ０２＋４＝０， 即（ ｘ０＋１）（ ｘ０－ ２） ２＝０， 所以 ｘ０＝－ １ 或 ｘ０＝２， 所以当 ｘ０＝－ １ 时， 切线方 程 为 ｙ＝－ ２； 当 ｘ０＝２时 ， 切线方程为 ９ｘ＋ｙ－ １６＝０． 点评 曲线过点 Ａ 的切线与曲线在点 Ａ 处的 切线不同， 前者既包括点 Ａ 处的切线， 又包括过点 Ａ 但切点在另一点处的切线．因此， 解题时必须理清 概念， 弄清题意． 题型三 已知过曲线外一点， 求切线方程 例 ３ 过 点 Ａ（ ０， １６） 作 曲 线 ｙ＝ｘ３－ ３ｘ 的 切 线 ， 求此切线方程． 分析 导数 ｆ′（ ｘ０） 的几何意义是曲线 ｙ＝（ｆ ｘ） 上 点（ ｘ０， （ｆ ｘ０） ） 处切线的斜率， 而本题中点 Ａ（ ０， １６） 不
①专
函数 ｙ＝－ ｘ２＋ａ 的导数 ｙ′＝－ ２ｘ， 曲线 Ｃ２ 在点 Ｑ（ ｘ２，
业Ｓ
精心策划
－ ｘ２２＋ａ） 的切线方程是： ｙ－（ － ｘ２２＋ａ） ＝－ ２ｘ（２ ｘ－ ｘ２） ， 即 ｙ＝－ ２ｘ２ｘ＋ｘ２２＋ａ，
高
二
②
如果直线 ｌ 是过点 Ｐ 和 Ｑ 的公切线， 则①式和
"ｘ１＋１＝－ ｘ２，