盲信号分离入门.doc

图1 应用解混合算法将把混合图像分离，如图 3，图 4：
图2
图3 原来的图像是，图 5，图 6：
图4
图5 图6 图像的解混合是把混合后的图像进行分离，如以上的图所表示的那样 为了把一维信号处理应用到图像处理方面，现在假设该一维信号是声音信号，分析图像和声音 的数据的组织的区别 声音是一个波，是声音的振幅随时间改变而改变的函数 表示成声音（时间，振幅）=（T,F） 图像中数据包括位置信息和灰度信息（只考虑灰度图像） ，为了做出对应，
其中 z(t)=W*x(t) W 是“球化矩阵” ，作用是让 E{z(t)*z(t)’}=I 下边是求 W 的求法，假设 x 的尺寸是 n*T，
t=1,2,……,T x=[x(1),x(2),……,x(T)] x(t)*x(t)’是对阵矩阵， t=1,2,……T， x(t)*x(t)’可以被对角化[2]， x(t)*x(t)’=UDU’,U 则 设 是酉矩阵[3]，U*U’=I,则 W=1/sqrt(D)*U’ 验证如下： z(t)*z(t)’=W*x(t)*(W*x(t)’)’ =W*x(t)*x(t)’*W’ =W*U*D*U’*W’ 当 U 是酉矩阵，把 W=1/sqrt(D)*U’带入 W*U*D*U’*W’ 得到 z(t)*z(t)’=I，注意的是，E{z(t)*z(t)’}=I，是统计特征，同一个 U 是不能让每个时刻都 对角化，所以要对 x(t)取平均，在实践中，一般对角化 x*x’/T。 z(t)=W*x(t) =W*A*s(t) 令 W*A=G，则 z(t)=G*s(t) Rzz(k)=E{z(t)*z(t+k)} =E{G*s(t)*(G*s(t+k))’} =E{G*s(t)*s(t+k)’*G’} =G*E{s(t)*s(t+k)}*G’ =G*Rss(k)*G’ 如果 s 的各个分量互相独立，均值为 0，并且 s 是随机过程，那么由随机过程的讨论得到 Rss(k)是 对角阵。 从而得到这样的结论，球化矩阵 z 的自相关矩阵 Rzz(k),k=0,1,2,……,k 令 Rzz(k)取值有意义，可 以被同一个矩阵 G 对角化。基于这个原因，提出 AMUSE[4]方法，具体如下： 注意，下边的过程为了解释的方便忽略了噪声的影响，如果考虑噪声要修改下边的算法的步骤 3： 。 1：求观察值 x 自相关矩阵 ，观察时间从 1 到 T， Rxx(0)=x(t)*x(t)/T。 2：对 Rxx(0)作主分量分解： Rxx(0)=U*D*U’,其中 D 是 Rxx(0)矩阵的特征值组成的对角阵 假 设 y(1),y(2),……,y(N) 是 Rxx(0) 的 特 征 值 ， u(1),u(2),……,u(N) 分 别 是 y(i),I=1,2,……,N.对应的特征向量。 U=[u(1),u(2),……,u(N)] 3：球化阵 W=1/sqrt(D)*U’， 球化输出 z(t)=W*x(t). 4：球 z(t)的自相关矩阵 Rzz(k)=E{z(t)*z(t+k)’}，然后为了更好地进行数据处理， Rzz(k)=(Rzz(k)+Rzz(k)’)/2 对 Rzz(k)做主分量分解 Rzz(k)=Uz*Dz*Uz’ Uz,Dz 解释同步骤 2： 有人建议 k 的选取是让 Dz 中没有重复元素 由前边的讨论[5]，Uz=W*A 从而得到 A=inv(W)*Uz 5： 因为 W*A*s(t)=z(t)=W* inv(W)*Uz*s(t)=z(t)=Uz*s(t) 所以 s(t)=Uz’*z(t).
vi 是一个任意的非零比列因子，ai 是 A 的列向量。 也就是说，当把信号分离后，估计信号和原始信号的尺度可能不同 y=B*x=B*A*s 令 B*A=G y=G*s 基于上边对假设的分析，如果 G 的每行每列只有一个非零元素，就认为估计成功了（有的人把这样 的 y 和 s 称为“本质相等” ，比如 Cardoso,这里的本质相等的含义是一个矩阵可以通过交换它的某 行（列） ，对某行（列）做伸缩变换，变成了另外的矩阵） 。 这样，BSS 的问题转化为“寻找和源信号本质相等的矩阵” 。 由于“当把信号分离后，估计信号和原始信号的尺度可能不同” ，这样可以把源信号的方差都假设为 一。 为了进一步分析问题，把原来的模型改造为如下的模型：
解混合可以直接用 BSS 方法解决，我用的是 jade，解混后要把图像重新建立[11]。 下边写出图象解混合的步骤： 假设得到的混合图象的样本为 img(1),img(2),……,img(N). 1：把 img(1),img(2),……,img(N)线性化（这里的线性化是把二维图像变成一维数据） ， 得到 img(1),img(2),……,img(N)。 2：把 img(1),img(2),……,img(N)去均值，得到 img(1),img(2),……,img(N)。 3： 用 BSS 方法把 img(1),img(2),……,img(N)分离(在[12]中选择的 BSS 方法是 JADE),得到 img(1),img(2),……,img(N)。 4： 把一维的 img(1),img(2),……,img(N)重建为二维的图像，在注释[11]中给出了重建 图 1~6 已经给出实验结果。代码附后[12]。
在[6]中给出用 AMUSE 的实验结果。 有人把上述步骤 4：修改成为“联合对角化”[7]。后边给出了 AMUSE 的代码[8]。以及和 jade 方法 效果的比较。[9]
三、若干关键技术及实验
以上的讨论是基于一维情况下的，当考虑图像解混合必须重新考虑问题。 首先介绍一下图像解混合 图 1，图 2 给出了两幅图像混合后的图像
需要解决的问题： 1：需要解决大量数据输入问题，初步的想法使用神经网络进行解决。 2：把方法推广到彩色空间。 3：寻找可以把一个样本的混合图像分离的方法。
表示成图像（位置，灰度）=(P,H) 当得到一幅图时候，图像的宽度 w,和高度 h 是已知的。作出对应情况下 P=( i,j)，T=i*w+j[10] 为了应用到图像处理，现在修改假设： 原来的假设为： 1： s 分量 s(1),s(2),……,s(n)均值为零，且互相独立 这个假设中，均值为零的假设不是必需的，只是为了处理数据的方便，才作了这个假设，另外 因为最初该模型解决的是声音信号分离，所以零均值的假设是合理的 独立假设必须满足，考虑到信号由不同的信号源发出，这个假设也是合情合理的 2：混合矩阵 A 是满秩 修改为： 1：s 分量 s(1),s(2),……,s(n)互相独立 显然这个假设是合理的，因为不同的图像不能互相表示 2：混合矩阵 A 满秩 3：混合算法要得到的结果不一定要精确的得到原来位置 P 的灰度值，但是一定要保证 位置 P1,P2,P3 的相对灰度不变，相对灰度不变应该作如下的理解： 在同一幅图像中，原来的图像在位置 P 的灰度表示成 H(P) 如果 H(P1)>H(P2)>H(P3)，解混后则应该： H’(P1)>H’(P2)>H’(P3) 如果 H(P1)-H(P2)>H(P2)-H(P3),解混后应该： H’(P1)-H’(P2)>H’(P2)-H’(P3) 下边划出图形来表示如何解决“图像解混合问题” 。
以下的叙述是使问题得到解决的过程。
随机过程 x(1),x(2),x(3),……,x(n),…是一个随机序列，如果在 t 时刻序列为 x(1),x(2),……,x(t). t+1 时刻的观察值 x(t+1)不是一个确定的值[1]，则这个过程是一个随机过程。 描述随机过程的数学量 1：均值 ave=E{x(n)} 2：自相关 Rxx(k)=E{x(n)*x(n+k)’} 3：互相关 Rxy(k)=E{x(n)*y(n+k)’} 关于自相关，互相关的解释 Rxx(k)不是一定为零（事实上，为零的概率很小） ，这个是因为： 假设 t 时刻，观察需列为 x(1),x(2),……,x(t).假设 t+1 时刻观察值为 x(t+1),则 t*Rxx(1)
等于 C 令 则 t+1 时刻 C 是确定的， （因为 x(1),x(2),……,x(t)已经得到） ，如果上式 Rxx(1)=0，则 C+x(t)*x(t+1)=0 (1) (1) 应该这样理解 如果 x(t)==0,那么 x(t+1)= -1*C 如果 x(t)!=0,那么 x(t+1)= -1*C/x(t) 上边两个结论的意思说明，如果假设 R(1)==0，那么当 t 时刻观察序列已经得到，那么 t+1 时刻 x(t+1)就已经确定， 根本不用观察， 极端情况下， 当把 x(1)给定， 那么 x(2),x(3),…… 都已经确定了，那么这样的过程是违反了随机过程的意思的 同样的方法，可以证明 Rxx(k)基本上不等于 0（概率基本为 1） ，k=0,1,2,…。K 的取值让等式有 意义。 当 x,y 过程不相关并且 ave(x)==0&&ave(y)==0 条件下 Rxy(k)=0,k=0,1,2,… k 让 x,y 取值有意义。 以上可以得到：如果 s(1),s(2),……,s(n),不是不相关，零均值过程，那么 S=[s(1),s(2),……,s(n)]’ 则 Rss(k)是一个对角阵，k=0,1,2,… 。k 让 Rss(k)取值有意义。 (还可以得到的结论是：如果一个序列 x 的 Rxx(k)=0，那么，这个序列可以由序列的前 k 项决定)
y=B*x 在把噪声当作 s 的一个分量情况下，x=A*s y=B*A*s B 是 A 的逆过程 在不知道 A 的情况下，需要做一些假设才可以解决 x 分离问题，现在如下假设 1： s 分量 s(1),s(2),……,s(n)均值为零，且互相独立 这个假设中，均值为零的假设不是必需的，只是为了处理数据的方便，才作了这个假设，另外 因为最初该模型解决的是声音信号分离，所以零均值的假设是合理的 独立假设必须满足，考虑到信号由不同的信号源发出，这个假设也是合情合理的 2：混合矩阵 A 是满秩 对于假设的考虑，假设 n 个信号源 1：尽管可以把 n 个信号缘分离，但是我们并不知道它们的排列顺序，这相当于同时交换输入信号和 混合矩阵与之对应的烈的位置后，所得到的观察 x 是相同的 2：一个信号和与之对应的混合矩阵 A 的列互换一固定的比例因子，对观察值不产生任何影响，也就 是 x(t)=A*s(t)