【红对勾】人教版高中数学必修4练习手册：3-1-3二倍角的正弦、余弦、正切公式[ 高考]
【高中数学】必修4 专题3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式(解析版)
第三章三角恒等变换3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、选择题1．已知sinα–cosα=43，则sin2α=A．–79B．–29C．29D．79【答案】A【解析】将sinα–cosα=43的两边进行平方，得sin2α–2sinαcosα+cos2α=169，即sin2α=–79．2．（cos15°–cos75°）（sin75°+sin15°）=A．12B2C．32D．1【答案】C【解析】因为sin75°=sin（90°–15°）=cos15°，cos75°=cos（90°–15°）=sin15°，所以（cos15°–cos75°）（sin75°+sin15°）=（cos15°–sin15°）（cos15°+sin15°）=cos215°–sin215°=cos30°3C．3．cos2π182的值为A．1 B．1 2C．22D．24【答案】D【解析】2π1cos 82-=π1cos1422+-=1πcos 24⋅D ．4．已知2θ是第四象限角，且cos 2θsin θ的值为A ．BC ．D【答案】D 【解析】∵2θ是第四象限角，且cos 2θsin 2θ=因此，sin θ=2sin2θcos 2θ=2×（×（）， ∵x ≤–1，∴sin θ．故选D ． 5．已知cos （π4θ+）•cos （π4θ-）θ∈（3π4，π），则sin θ+cos θ的值是 A．2 B ．–2C．2D．2【答案】C 【解析】ππcos cos 44θθ⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππsin cos 44θθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1πsin 222θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=1cos22θ=，∴cos22θ=．∵3ππ4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴3π22π2θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，∴1sin22θ=-． ∴211(sin cos )1sin2122θθθ+=+=-=，∵3ππ4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴sin θ+cos θ<0．∴sin cos 2θθ+=-．故选C ．6．已知θA ．sin 4θB ．cos4θ C ．–sin 4θD ．cos 4θ-【答案】A【解析】根据θ为第三象限角，得到θ∈（2k π+π，2k π+3π2）， 则2θ∈（k π+π2，k π+3π4），4θ∈（π2k +π4，π2k +3π8），所以cos 2θ<0，sin 4θ>0， 则原式4θ|=sin 4θ．故选A ． 7．已知α∈（π2，π），sin α=5tan2α等于A ．–43 B ．–47 C ．–34D ．–35【答案】A 【解析】∵α∈（π2，π），sin αcos α==，∴tan α=–12，∴tan2α=22tan 1tan αα-=212211()2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭--=–43．故选A ．8．函数y =8sin x cos x cos2x 的周期为T ，最大值为A ，则 A ．T =π，A =4 B ．π42T A ==，C ．T =π，A =2D ．π22T A ==，【答案】D【解析】由于函数y =8sin x cos x cos2x =4sin2x •cos2x =2sin4x 的周期为T ，∴T =2π4=π2，且函数的最大值为A =2，故选D ．9．函数f （x ）=2cos x +cos2x （x ∈R ）的最小值是A ．–3B ．–32 C ．–1 D ．12【答案】B【解析】∵函数f （x ）=2cos x +cos2x =2cos x +2cos 2x –1=221cos 2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭–32，故当cos x =–12时，函数f （x ）有最小值等于–32，故选B ． 10．2tan151tan 165︒-︒的值是A BC ．6D 【答案】C【解析】∵15°+165°=180°，∴2tan151tan 165︒-︒=2tan151tan 15︒-︒=12⋅tan30°．故选C ． 11．已知tan a =3，则cos （2α+π2）= A ．–35 B ．35 C ．–35D ．35【答案】C【解析】由tan a =3，得cos （2α+π2）=–sin2α=–222sin cos sin cos αααα+=22tan 1tan αα-+=63195-=-+．故选C ．12．已知cos （π–α）α∈（0，π），则sin2α=A ．–1B ．2-C ．2D ．1【答案】A【解析】由cos（π–α）=2，得–cos2α=，则cos2α=-，∴α∈（0，π），∴sinα2 =，则sin2α=2sinαcosα=2⎛⎝⎭=–1．故选A．13．已知sin（π12+α）sin（π3–2α）=A．4B．34CD．–34【答案】B【解析】sin（π12+α），则sin（π3–2α）=cos（2α+π6）=1–2sin2（π12+α）=1–2×2=34．故选B．14．若5πsinπ132αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，，则tan2α的值为A．120119B．120119-C．119120D．119120-【答案】B【解析】∵5πsinπ132αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，，∴cosα=–1213，∴tanα=sincosαα=–512，则tan2α=22tan1tanαα-=2521251()12⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭--=–120119，故选B．15．已知α为第四象限角，sinα+cosα=3，则cos2α=A ．B ．C D 【答案】D【解析】∵α为第四象限角，sin α+cos α1+2sin αcos α=13，即2sin αcos α=–23，∴sin α–cos α==∴cos2α=cos 2α–sin 2α=–（sin α+cos α）×（sin α–cos α）=–3×（–3）=3，故选D ． 二、填空题16．若sin （π8α-）=3，则cos （π24α-）=_____________． 【答案】59【解析】cos （π24α-）=cos[2（π8α-）]=1–22πsin 8α⎛⎫- ⎪⎝⎭=1–2×259=．故答案为：59． 17．若ππ3sin 225αα-<<=，，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____________．【解析】∵ππ3sin 225αα-<<=，，∴cos α=45， ∴sin2α=2sin αcos α=2×45×324525=，cos2α=1–2sin 2α=1–2×972525=，∴πsin 26α⎛⎫+⎪⎝⎭=sin2αcos π6+cos2αsin π24625=725×12=．18．设cos2θsin 4θ+cos 4θ的值是_____________．【答案】7 8【解析】由于cos2θ=2，则cos4θ+sin4θ=（sin2θ+cos2θ）2–2sin2θcos2θ=1–12sin22θ=1–12（1–cos22θ）=1–12（1–34）=78，故答案为：78．19．函数y=1–2cos2x的最小正周期是_____________．【答案】π【解析】∵y=1–2cos2x=1–（1+cos2x）=–cos2x．∴T=2π2=π．故答案为：π．20．若cosα–sinα=14，则sin2α=_____________．【答案】15 16【解析】∵cosα–sinα=14，∴（cosα–sinα）2=116，可得1–sin2α=116，∴sin2α=1516．故答案为：1516．21．函数y=sinαcosα–cos2α的最小正周期为_____________．【答案】π【解析】∵y=sinαcosα–cos2α=111sin2cos2222αα--=π12242α⎛⎫--⎪⎝⎭，∴三角函数的最小正周期是T=2π2=π，故答案为：π．三、解答题22．在△ABC中，cos（π4+A）=513，求cos2A的值．【解析】在△ABC中，cos（π4+A）=513，∴sin（A+π4）=1213．∴cos2A=sin（π2+2A）=2sin（A+π4）cos（A+π4）=2×513×1213=120169．23．求值：cos 2π7+cos4π7+cos6π7．【解析】原式=π2π4π6πsin cos cos cos7777πsin7⎛⎫++⎪⎝⎭=π2ππ4ππ6πsin cos sin cos sin cos 777777πsin7++=13ππ15π3π17π5πsin sin sin sin sin sin 277277277πsin 7⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=–12． 24．已知a 为第二象限角，cos a =–45，求sin2a ． 【解析】∵a 为第二象限角，cos a =–45，∴sin a=35，则sin2a =2sin a cos a =2×35×（–45）=–2425．25．求函数y =2cos 2x 的单调增区间．【解析】函数y =2cos 2x =cos2x +1， 令2k π–π≤2x ≤2k π，解得k π–π2≤x ≤k π，k ∈Z ， 故函数的增区间为[k π–π2，k π]，k ∈Z ． 26．已知111cos sin αα-=，求sin2α的值． 【解析】∵111cos sin αα-==sin cos cos sin αααα-， ∴sin α–cos α=sin αcos α，两边平方可得1–2sin αcos α=（sin αcos α）2． 即1–sin2α=21sin 24α，2sin 24sin 240αα+-=，解得sin2α–2，或sin2α=––2（舍去）．。
高中数学 3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式(练)新人教A版必修4-新人教A版高中必修4数学试题
3. 1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式（练）一、选择题1．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x ，x ∈R ，则f(x)是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] D[解析] f(x)＝(1＋cos2x)sin2x ＝2cos2xsin2x＝12sin22x ＝1－cos4x 4，故选D.2.sin10°＋sin50°sin35°·sin55°的值为( )A.14B.12C ．2D ．4[答案] C[解析] 原式＝sin(30°－20°)＋sin(30°＋20°)sin35°·cos35°＝2sin30°·cos20°12sin70°＝cos20°12sin70°＝2.3．(2010·某某某某调研)在△ABC 中，3sinA ＋4cosB ＝6,4sinB ＋3cosA ＝1，则C 等于() A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．60°或120°[答案] A[解析] 两式平方后相加得sin(A ＋B)＝12，∴A ＋B ＝30°或150°，又∵3sinA ＝6－4cosB>2，∴sinA>23>12，∴A>30°，∴A ＋B ＝150°，此时C ＝30°.4．(2010·某某某某一中)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＋sin2x 的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] B[解析] ∵y ＝32cos2x －12sin2x ＋sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴周期T ＝π. 5．(2010·某某一中)已知a ＝(sin α，1－4cos2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A.17B ．－17 C.27D ．－27[答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴1－4cos2α＝sin α(3sin α－2)，∴5sin2α＋2sin α－3＝0，∴sin α＝35或sin α＝－1，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α＝35， ∴tan α＝34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－17. 6．(2010·某某中学)已知向量a ＝(sin75°，－cos75°)，b ＝(－cos15°，sin15°)，则|a －b|的值为( )A ．0B ．1C. 2D ．2[答案] D[解析] ∵|a －b|2＝(sin75°＋cos15°)2＋(－cos75°－sin15°)2＝2＋2sin75°cos15°＋2cos75°sin15°＝2＋2sin90°＝4，∴|a －b|＝2.7．(2010·某某某某调研)已知sin β＝35(π2<β<π)，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )A ．1B ．2C ．－2 D.825[答案] C[解析] ∵sin β＝35，π2<β<π，∴cos β＝－45，∴sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2.8．(2010·某某调研)若将函数y ＝cosx －3sinx 的图象向左平移m(m>0)个单位后，所得图象关于y 轴对称，则实数m 的最小值为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] C[解析] y ＝cosx －3sinx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3向左移m 个单位得到函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋π3为偶函数， ∴m ＋π3＝kπ(k ∈Z)，∴m ＝kπ－π3，∵k ∈Z ，且k>0，∴m 的最小值为2π3.9．若tan θ＝13，则cos2θ＋12sin2θ的值为( )A ．－65B ．－45C.45D.65[答案] D[解析] cos2θ＋12sin2θ＝cos2θ＋sin θcos θsin2θ＋cos2θ＝1＋tan θtan2θ＋1＝65. 10．(2010·某某南开中学)已知2tan α·si n α＝3，－π2<α<0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π6的值是( )A ．0 B.32C ．1D.12[答案] A[解析] ∵2tan αsin α＝3，∴2sin2αcos α＝3，即2(1－cos2α)cos α＝3， ∴2cos2α＋3cos α－2＝0，∵|cos α|≤1，∴cos α＝12，∵－π2<α<0，∴sin α＝－32，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝12×32－32×12＝0.二、填空题11．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝14，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝______. [答案] 78[解析] sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－π6－2α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝1－2sin2⎝⎛⎭⎫π6－α＝78. 12．(2010·全国卷Ⅰ理，14)已知α为第三象限角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝____________.[答案] －17[解析] 因为α是第三象限角，∴2kπ＋π<α<2kπ＋3π2，(k ∈Z)，∴4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，∴sin2α>0，又cos2α＝－35，∴sin2α＝45，∴tan2α＝sin2αcos2α＝－43，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝tan π4＋tan2α1－tan π4tan2α＝1－431＋43＝－17. 13．求值：3tan12°－3(4cos212°－2)sin12°＝________. [答案] －4 3[解析] 3tan12°－3(4cos212°－2)sin12°＝3⎝⎛⎭⎪⎫sin12°－3cos12°cos12°2(2cos212°－1)·sin12° ＝23(12sin12°－32cos12°)2cos24°·sin12°·cos12° ＝23(sin12°·cos60°－cos12°·sin60°)sin24°·cos24° ＝23sin(12°－60°)12sin48°＝43(－sin48°)sin48°＝－4 3. 三、解答题14．(2010·理，15)已知函数f(x)＝2cos2x ＋sin2x －4cosx.(1)求f(π3)的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．[解析] 本题考查了三角函数的化简求值及二次函数在区间上的最值．(1)可直接求解，(2)化简后转化为关于cosx 的二次函数，求值即可．(1)f(π3)＝2cos 2π3＋sin2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f(x)＝2(2cos2x －1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x －4cosx －1＝3(cosx －23)2－73，x ∈R因为cosx ∈[－1,1]，所以当cosx ＝－1时，f(x)取最大值6；当cosx ＝23时，f(x)取最小值－73.15．已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan2α2，求α＋β的值．[解析] 由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β－α)]＝sin[(α＋β)＋α] ∴tan(α＋β)＝2tan α①由4tan α2＝1－tan2α2得tan α＝2tan α21－tan2α2＝12②由①②得tan(α＋β)＝1，又∵0<α<π4，0<β<π4，∴0<α＋β<π2，∴α＋β＝π4. 16．(2010·苏北四市模考)在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝⎛⎭⎫12，cos2θ在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12. (1)求cos2θ的值； (2)求sin(α＋β)的值．[解析] (1)因为OP →·OQ →＝－12，所以12sin2θ－cos2θ＝－12，即12(1－cos2θ)－cos2θ＝－12，所以cos2θ＝23，所以cos2θ＝2cos2θ－1＝13.(2)因为cos2θ＝23，所以sin2θ＝13，所以点P ⎝⎛⎭⎫12，23，点Q ⎝⎛⎭⎫13，－1， 又点P ⎝⎛⎭⎫12，23在角α的终边上， 所以sin α＝45，cos α＝35.同理sin β＝－31010，cos β＝1010，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×1010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－1010. 17．(2009～2010·某某嵊泗中学高一期末)已知定义在区间⎣⎡⎦⎤－π，2π3上的函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝－π6对称，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，－π2<φ<π2)的图象如图所示．(1)求函数y ＝f(x)在⎣⎡⎦⎤－π，2π3上的表达式； (2)求方程f(x)＝22的解．[解析] (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，由图象知，A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，∴T ＝2π，∴ω＝1.又f(x)＝sin(x ＋φ)过点⎝⎛⎭⎫2π3，0，则 2π3＋φ＝kπ，k ∈Z ，∵－π2<φ<π2，∴φ＝π3，∴f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3当－π≤x<－π6时，－π6≤－x －π3≤2π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫－x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－x －π3＋π3＝－sinx 而函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝－π6对称，则f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫－x －π3 ∴f(x)＝－sinx ，－π≤x<－π6，∴f(x)＝⎩⎨⎧ sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3－sinx x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π6.(2)当－π6≤x≤2π3时，π6≤x ＋π3≤π，∵f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝22， ∴x ＋π3＝π4或3π4，∴x ＝－π12或5π12，当－π≤x<－π6时，∵f(x)＝－sinx ＝22， ∴sinx ＝－22，x ＝－π4或－3π4，∴x ＝－π4，－3π4，－π12，或5π12即为所求．。
高中数学 必修四 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象练习手册 新人教A版必修4
借助y＝cosx的图象可得cosx≥ 的解集为
.Leabharlann 答案：5．在[0,2π]内用五点法作出y＝－sinx－1的简图．
解：(1)按五个关键点列表
x
0
π
2π
y
－1
－2
－1
0
－1
(2)描点并用光滑曲线连接可得其图象，如图所示：
f(x)和g(x)的图象，如图所示．
由图知f(x)和g(x)的图象仅有一个交点，则方程x＋sinx＝0仅有一个根．
答案：B
3．用“五点法”画y＝1－cosx，x∈[0,2π]的图象时，五个关键点的坐标是________．
答案：(0,0)， ，(π，2)， ，(2π，0)
4．函数y＝ 的定义域是________．
高中数学1.4.1正弦函数、余弦函数的图象练习手册
1．函数y＝－sinx，x∈ 的简图是()
解析：用特殊点来验证．x＝0时，y＝－sin0＝0，排除选项A，C；又x＝－ 时，y＝－sin ＝1，排除选项B.
答案：D
2．方程x＋sinx＝0的根有()
A．0个B．1个
C．2个D．无数个
解析：设f(x)＝－x，g(x)＝sinx，在同一直角坐标系中画出
人教版高中数学必修4学案 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程．2．灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正用、逆用公式，进一步学习化归思想方法．基础梳理一、二倍角的正弦、余弦、正切公式α＋β＝sin αcos β＋cos αsin β中，令β＝α，在公式sin()得到sin 2α＝2sin_αcos_α，这就是二倍角的正弦公式；α＋β＝cos αcos β－sin αsin β中，令β＝α，在公式cos()得到cos 2α＝cos2α－sin2α，这就是二倍角的余弦公式，其变形形式有：cos 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； 在公式tan ()α＋β＝tan α＋tan β1－tan αtan β中，令β＝α，得到tan 2α＝2tan α1－tan α，这就是二倍角的正切公式．练习1：2sin 15°cos 15°＝12．练习2：cos 2α2－sin 2α2＝cos_α．练习3：2tan 2α1－tan 22α＝tan_4α． 思考应用1. 二倍角的正弦、余弦、正切公式中的角是否为任意角？解析：注意 tan 2α＝2tan α1－tan 2α这个公式，因为要使tan 2α，tan α有意义，即2α≠π2＋k π且α≠π2＋k π(k ∈Z)还有1－tan 2α≠0即tan α≠±1从而推出α≠π4＋k π(k ∈Z)综上所述α≠π4＋k π2且α≠π2＋k π(k ∈Z)而公式S 2α、C 2α中，角α可以是任意角．二、二倍角公式中应注意的问题(1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解．如8α是4α的二倍角，α是α2的二倍角，α3是α6的二倍角等等．又如α＝2×α2，α2＝2×α4，…，α2n ＝2×α2n ＋1等等．(2)当α＝k π＋π2()k ∈Z 时，tan α的值不存在，这时求tan 2α的值可用诱导公式求得．(3)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如sin π3≠2sin π6.(4)公式的逆用变形． 升幂公式： 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin2α2，1±sin 2α＝()sin α±cos α2．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2．思考应用2．试应用二倍角的正弦、余弦公式化简并讨论函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1的奇偶性与周期性．解析：∵y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－2x ＝sin 2x ，∴函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4－1为奇函数， 且其最小正周期T ＝2π2＝π.自测自评1．若sin α2＝45，cos α2＝－35，则角α是(C )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角 解析：∵sin α＝2sin α2cos α2＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425<0，cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725<0，∴角α是第三象限角．故选C.2．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，则tan 2α分析：由sin 2α＝2sin αcos α及sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π解出α，进而求得tan 2α的值．解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，sin α≠0，∴cos α＝－12，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3.3.sin 20°cos 20°cos 2155°－sin 2155°的值是(A ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析：原式＝12sin 40°cos 310°＝sin 40°2cos ⎝⎛⎭⎫270°＋40° ＝sin 40°2sin 40°＝12.故选A. 4．已知x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝－247． 解析：∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，cos x ＝45， ∴sin x ＝－35，tan x ＝－34，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2 x＝－247.基础提升1．函数y ＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期是(A ) A ．π B.π2 C.π4D ．2π解析：∵y ＝cos 2x ，∴函数的最小正周期T ＝π.故选A. 2．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果是(B )A ．tan αB ．tan 2αC ．1 D.12解析：原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α.故选B. 3．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的结果是(B ) A.12sin 2x B.12cos 2x C ．－12cos 2x D ．－12sin 2x解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin π4cos x ＋cos π4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin π4cos x －cos π4sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x ＋22sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x＝12(cos 2x －sin 2x )＝12cos 2x .故选B. 4．已知cos α＝－35，且π<α<3π2，则cos α2＝ (B )A.55 B ．－55 C.255 D ．－255解析：∵cos α＝2cos2α2－1，∴cos2α2＝1＋cos α2＝15. ∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2＝－15＝－55.故选B. 5．当3π<α<4π时，化简1＋cos α2－ 1－cos α2(A ) A.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 B ．－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4C.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4 D ．－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4解析：1＋cos α2－1－cos α2＝cos2α2－sin 2α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2，∵3π<α<4π， ∴3π2<α2<2π， ∴sin α2<0，cos α2>0.∴原式＝sin α2＋cos α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＋π4.故选A. 巩固提高6．已知三角形的一个内角α满足sin α＋cos α＝34，则三角形的形状是(B )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 解析：∵sin α＋cos α＝34，且sin 2α＋cos 2α＝1， ∴1＋sin 2α＝916，∴sin 2α＝－716<0，又α是三角形的一个内角，故α是钝角． 故选B.7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值．解析：∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4， 又cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝35 ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.∴cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＝－2425.又由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝35，得2cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4－1＝－725，即cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝－725，∴sin 2α＝725. ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π4＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝－2425×22－725×22＝－31250. 8．已知sin α＋cos α＝33(0<α<π)，求cos 2α的值．解析：∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13， 2sin αcos α＝－23，又0<α<π，∴sin α>0，cos α<0.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝53，∴sin α－cos α＝153.∴cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－153×33＝－53. 9．已知函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1()x ∈R .(1)当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(2)该函数的图象可由y ＝sin x ()x ∈R 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解析：(1)y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1＝14⎝⎛⎭⎫2cos 2x －1＋14＋34·()2sin x cos x ＋1 ＝14cos 2x ＋34sin 2x ＋54 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos 2x sin π6＋sin 2x cos π6＋54 ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋54. 所以y 取最大值时，只需2x ＋π6＝π2＋2k π⎝⎛⎭⎫k ∈Z ， 即x ＝π6＋k π⎝⎛⎭⎫k ∈Z . 所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝π6＋k π，k ∈Z.(2)将函数y ＝sin x 依次进行如下变换：①把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6的图象； ②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的图象； ③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的图象； ④把得到的图象向上平移54个单位长度，得到函数 y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋54的图象． 综上得到y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1⎝⎛⎭⎫x ∈R 的图象．1．利用同角三角函数基本关系式求值常有两类题：一类是已知角α的某个三角函数值，求其他三角函数值．解法是直接利用三角函数基本关系式求解．另一类是已知tan α的值，求关于sin α，cos α的齐次分式的值的问题，比如求sin α＋cos αsin α－cos α的值，因为cos α≠0，所以用cos α除之，将待求式化为关于tan α的表达式，可整体代入tan α＝m 的值，从而完成待求式的求值．2．关于化简与证明：(1)sin 2α＋cos 2α＝1及()sin α＋cos α2＝1＋2sin αcos α是常用的技巧；同时应注意正切化两弦．(2)利用同角三角函数关系式证明时，要熟悉公式，方法有从左至右或从右至左或从两侧同时证明．。
高中数学人教A版必修四课时训练：3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 Word版含答案
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课时目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．1．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝2sin αcos α，sin α2cos α2＝12sin α； (2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．倍角公式常用变形(1)sin 2α2sin α＝__________，sin 2α2cos α＝__________； (2)(sin α±cos α)2＝__________；(3)sin 2α＝______________，cos 2α＝______________.一、选择题1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( )A.12B.22C.33D.322．函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π2的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数 3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( ) A ．－13 B ．－79 C.13 D.794．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－2 D ．－125．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( ) A ．－105 B.105 C ．－155 D.1556．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)等于( ) A.25 B.75 C.145 D ．－25二、填空题7.3－sin 70°2－cos 210°的值是________． 8．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是______． 9．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______. 10．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，则α＝________.三、解答题11．求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A .12．若cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45，5π4<x <7π4，求sin 2x －2sin 2x 1＋tan x的值．能力提升13．求值：cos 20°cos 40°cos 80°.14．求值：tan 70°·cos 10°·(3tan 20°－1)．3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式答案知识梳理2．(1)cos α sin α (2)1±sin 2α (3)1－cos 2α2 1＋cos 2α2作业设计1．B 2.A3．B [cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)] ＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79.] 4．A [∵1－tan θ2＋tan θ＝1，∴tan θ＝－12. ∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ(sin θ＋cos θ)2＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－⎝⎛⎭⎫－121＋⎝⎛⎭⎫－12＝3.] 5．C [∵5π2<θ<3π，|cos θ|＝15， ∴cos θ<0，cos θ＝－15. ∵5π4<θ2<32π，∴sin θ2<0. 由sin 2θ2＝1－cos θ2＝35， ∴sin θ2＝－155.] 6．C [∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， 原式＝1＋2(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4)cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145.] 7．2解析3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝2(3－cos 20°)3－cos 20°＝2. 8．2 解析 f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x ＋74＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋2. ∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2. 9．3 解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3. 10.π6解析 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0.∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)．∴2cos 2α>0. ∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴sin α＝12(sin α＝－1舍)． ∴α＝π6. 11．证明 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 2 2A －13＋4cos 2A ＋2cos 2 2A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2 A 2cos 2 A 2＝(tan 2 A )2 ＝tan 4 A ＝右边．∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A . 12．解 sin 2x －2sin 2x 1＋tan x ＝2sin x (cos x －sin x )cos x cos x ＋sin x ＝sin 2x (cos x －sin x )cos x ＋sin x ＝sin 2x 1－tan x 1＋tan x＝sin 2x tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ， ∵5π4<x <7π4， ∴－3π2<π4－x <－π. 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－34. ∴原式＝⎝⎛⎭⎫2×1625－1×⎝⎛⎭⎫－34＝－21100. 13．解 原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18. 14．解 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°－cos 20°cos 20°＝cos 20°sin 20°·cos 10°·2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin 20°－12cos 20°cos 20° ＝2cos 10°·sin (－10°)sin 20°＝－sin 20°sin 20°＝－1.。
人教A版高中数学必修四课后训练{3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式}
课后训练1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( )A ．12B．2CD2．已知α是第二象限角，sin α＋cos α，则cos2α＝( ) A．3-B．9-．9D．33．函数f (x )＝sin 2xsin x cos x 在区间ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( ) A ．1B．32D．4．已知cos 21π54x x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin2x ＝( ) A ．2425-B ．45-C ．2425D．5 5．若α∈π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( ) A．2BD6．已知tan π4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2，则tan tan 2x x 的值为________． 7．化简：21sin 352sin10cos10︒-︒︒＝________．8．已知θ为锐角，cos(θ＋15°)＝35，则cos(2θ－15°)＝________．9．已知α是第一象限的角，且cosα＝513，求πsin4cos(24π)αα⎛⎫+⎪⎝⎭+的值．10．已知向量a＝(1＋sin2x，sin x－cos x)，b＝(1，sin x＋cos x)，函数f(x)＝a·b．(1)求f(x)的最大值及相应的x的值．(2)若f(θ)＝85，求cos2π24θ⎛⎫-⎪⎝⎭的值；参考答案1答案：B 解析：1－2sin222.5°＝cos45°＝2．2答案：A 解析：由sinα＋cosα＝3-平方得1＋2sinαcosα＝3193=，∴2sinαcosα＝23 -．∴(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝53．∵α在第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0．∴cosα－sinα，∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)·(cosα－sinα)＝-3答案：C 解析：∵f(x)＝1cos22x-+sin2xx－12cos2x＋12＝π1sin262x⎛⎫-+⎪⎝⎭，且ππ42x≤≤，∴ππ52π366x≤-≤．从而可得y max＝131+22=．4答案：A 解析：∵cos21π54xx=⎛⎫+⎪⎝⎭，∴22cos sin1cos sin5x xx x-=-，∴cos x＋sin x＝15，∴1＋sin2x＝125，∴sin2x＝2425-．5答案：D 解析：∵sin2α＋cos2α＝14，∴sin2α＋cos2α－sin2α＝cos2α＝14．∴cosα＝12±．又α∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，∴cos α＝12，sin α∴tan α6答案：49 解析：∵πtan 4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2， ∴tan 11tan x x +-＝2，∴1tan 3x =． ∴2211tan tan 1tan 49====2tan tan 22291tan x x x x x x---． 7答案：－1 解析：原式＝22sin 351cos 70=2sin10cos10sin 20︒-︒-︒︒︒＝cos 70sin(9070)-︒︒-︒＝－1． 8答案：50 解析：∵θ为锐角，cos(θ＋15°)＝35， ∴sin(θ＋15°)＝45，∴sin(2θ＋30°)＝2sin(θ＋15°)cos(θ＋15°)＝2425，cos(2θ＋30°)＝2cos 2(θ＋15°)＝9721=2525⨯--． ∴cos(2θ－15°)＝cos(2θ＋30°－45°)＝cos(2θ＋30°)sin45°＋sin(2θ＋30°)sin45°＝72425225250-⨯+⨯． 9答案：解：πsin sin )42=cos(24π)cos 2ααααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭+＝22sin )2cos sin αααα+-＝12cos sin αα⋅-． 由已知可得sin α＝1213，∴原式＝1=5122141313--． 10答案：解：(1)∵a ＝(1＋sin2x ，sin x －cos x )，b ＝(1，sin x ＋cos x )，∴f (x )＝1＋sin2x ＋sin 2x －cos 2x＝1＋sin2x －cos2xπ2+14x⎛⎫-⎪⎝⎭．因此，当ππ2=2π2x k-+，即x＝3π+π8k(k∈Z)时，f(x)．(2)∵f(θ)＝1＋sin2θ－cos2θ＝85，∴sin2θ－cos2θ＝35，两边平方得1－sin4θ＝925，即sin4θ＝1625．∴ππ16cos22=cos4=sin4=4225θθθ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．。
人教版高一数学必修四第三章二倍角的正弦、余弦、正切公式
3．1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式考点学习目标核心素养二倍角的正弦、余弦、正切公式会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式逻辑推理二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用能够灵活运用二倍角公式解决求值、化简和证明等问题数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P132－P134，并思考下列问题：1．在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？2．在上述公式中，若α＝β，能得出什么结论？二倍角的正弦、余弦、正切公式名称公式推导记法正弦sin 2α＝2sin__αcos__αS(α＋β)――→令β＝αS2αS2α余弦cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αC(α＋β)――→令β＝αC2α利用sin2α＋cos2α＝1消去sin2α或cos2αC2α正切tan 2α＝2tan α1－tan2αT(α＋β)――→令β＝αT2αT2α正确理解二倍角公式(1)要注意公式应用的前提是所含各三角函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)10α是5α的倍角，5α是5α2的倍角．( ) (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (4)对于任意角α，总有tan 2α＝2tan α1－tan 2α.( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于( )A.75 B.125 C.1225 D.2425答案：D计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33D.32 答案：B已知tan α＝43，则tan 2α＝________．答案：－247给角求值求下列各式的值． (1)sin π8cos π8；(2)cos 2π6－sin 2π6；(3)2tan 150°1－tan 2150°； (4)cos π5cos 2π5.【解】 (1)sin π8cos π8＝12×2sin π8cos π8＝12×sin π4＝12×22＝24.(2)cos2π6－sin2π6＝cos⎝⎛⎭⎫2×π6＝cosπ3＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.(4)原式＝2sinπ5cosπ5cos2π52sinπ5＝sin2π5cos2π52sinπ5＝sin4π54sinπ5＝sinπ54sinπ5＝14.给角求值问题的两类解法(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．1．cos4π12－sin4π12等于()A．－12B．－32C.12 D.32解析：选D.原式＝⎝⎛⎭⎫cos2π12－sin2π12⎝⎛⎭⎫cos2π12＋sin2π12＝cos π6＝32.2．求下列各式的值．(1)tan 30°1－tan2 30°；(2)1sin 10°－3cos 10°.解：(1)tan 30°1－tan230°＝12×2tan 30°1－tan230°＝12tan 60°＝32.(2)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°＝4sin （30°－10°）sin （2×10°）＝4sin 20°sin 20°＝4.给值求值已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos(2α＋π4)的值． 【解】 因为π2≤α＜3π2，所以3π4≤α＋π4＜7π4.因为cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，所以3π2<α＋π4<7π4. 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. 所以cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725.所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725＝－31250.三角函数求值问题的一般思路(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)注意几种公式的灵活应用，如： ①sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ； ②cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x .1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( ) A.724 B ．－724 C.247D ．－247解析：选D.由cos x ＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 得sin x ＝－35，所以tan x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x1－tan 2x ＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247，故选D.2．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A.118 B ．－118 C.1718D ．－1718解析：选 D.cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α，代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，所以sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718.化简与证明(1)化简2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α；(2)证明tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝2tan 2α. 【解】 (1)原式＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π2－π4－α＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫2×π4－2α ＝cos 2αcos 2α＝1. (2)证明：法一：左边＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α－sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin 2α12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝2sin 2αcos 2α＝2tan 2α＝右边．所以等式成立．法二：左边＝1＋tan α1－tan α－1－tan α1＋tan α＝4tan α1－tan 2α＝2tan 2α＝右边．故原式成立．三角函数式的化简与证明(1)化简的方法①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.(2)证明三角恒等式的方法①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．1．若α为第三象限角，则1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝________．解析：因为α为第三象限角，所以cos α＜0，sin α＜0， 所以1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝2cos 2αcos α－2sin 2αsin α＝－2cos αcos α－－2sin αsin α＝0.答案：02．求证：4sin αcos α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan 2α.证明：左边＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α＝右边．1．已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( ) A ．2 B ．－2 C.34D ．－34解析：选D.因为sin α＝3cos α，所以tan α＝3， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34.2．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________．解析：因为sin θ2＋cos θ2＝233，所以⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22＝43， 即1＋2sin θ2cos θ2＝43，所以sin θ＝13，所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79. 答案：13 793．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin 2α，cos 2α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 解：(1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35. (2)由(1)知cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－4＋3310.[A 基础达标]1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x 的值为( )A.1925 B.1625 C.1425D.725解析：选D.因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝725.2．已知sin α＝55，则cos 4α－sin 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C.15D.35解析：选D.cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝1－2sin 2α＝1－25＝35.3．设－3π<α<－5π2，化简1－cos （α－π）2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2解析：选C.因为－3π<α<－5π2，－3π2<α2<－5π4，所以1－cos （α－π）2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13，则sin(－3π＋2α)＝( )A.79 B ．－79C.35D ．－35解析：选A.易得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－1＝2×⎝⎛⎭⎫－132－1＝－79.又cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α，所以sin(－3π＋2α)＝sin(π＋2α)＝－sin 2α＝－⎝⎛⎭⎫－79＝79.故选A. 5．化简tan 14°1－tan 214°·cos 28°的结果为( )A.sin 28°2B ．sin 28°C ．2sin 28°D ．sin 14°cos 28°解析：选A.tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12×2tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12tan 28°·cos 28°＝sin 28°2，故选A.6．已知sin α－2cos α＝0，则tan 2α＝________． 解析：由sin α－2cos α＝0，得tan α＝sin αcos α＝2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×21－22＝－43. 答案：－437．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________．解析：sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56.答案：－568.1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝________．解析：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝（cos 20°－sin 20°）2cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1.答案：19．已知sin 2α＝513，π4<α<π2，求sin 4α，cos 4α的值．解：由π4<α<π2，得π2<2α<π. 因为sin 2α＝513，所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－⎝⎛⎭⎫5132＝－1213. 于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×513×⎝⎛⎭⎫－1213＝－120169； cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝⎛⎭⎫5132＝119169. 10．已知π2<α<π，sin α＝45. (1)求tan 2α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值． 解：(1)由题意得cos α＝－35， 所以tan α＝－43， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－831－169＝247. (2)因为sin α＝45，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫452＝－725， sin 2α＝2sin α·cos α＝2×45×⎝⎛⎭⎫－35＝－2425. 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4＝cos 2α·cos π4＋sin 2α·sin π4＝⎝⎛⎭⎫－725×22＋⎝⎛⎭⎫－2425×22＝－31250. [B 能力提升]11．已知tan x ＝2，则tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4等于( ) A.43B ．－43 C.34 D ．－34解析：选C.tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x＝－1－tan 2x 2tan x ＝4－12×2＝34. 12．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝________． 解析：1sin θ＋1cos θ＝22⇒sin θ＋cos θsin θcos θ＝22 ⇒sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin 22θ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2θ∈(π，2π)， 所以sin 2θ＝－12，所以sin θ＋cos θ<0， 所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π， 所以cos 2θ＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin 2θ·cos π3＋sin π3cos 2θ＝12. 答案：1213．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值． 解：因为0<x <π4，所以0<π4－x <π4. 又因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213. 因为cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， 所以cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2413. 14．(选做题)已知sin x 2－2cos x 2＝0. (1)求tan x 的值；(2)求cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin （π＋x ）的值．解：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0， 知cos x 2≠0，所以tan x 2＝2， 所以tan x ＝2tan x 21－tan 2 x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)知tan x ＝－43， 所以cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin （π＋x ） ＝cos 2x－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x （－sin x ） ＝cos 2x －sin 2x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x ＝（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）22（cos x －sin x ）sin x ＝2×cos x ＋sin x sin x＝2×1＋tan x tan x ＝24.。
2020-2021学年数学人教A版必修4课件：课时作业 3-1-3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
解：(1)f(x)＝1＋sicno4sπ2＋xx2－sin2cπ4o－s2xx－1
＝
cos22x
sinπ4＋xcos4π＋x
＝si2ncπ2o＋s222xx＝2ccooss222xx＝2cos2x，
所以 f－1112π＝2cos－116π＝2cosπ6＝ 3.
(2)g(x)＝cos2x＋sin2x＝ 2sin2x＋π4. 因为 x∈0，π4，所以 2x＋π4∈4π，34π， 所以当 x＝π8时，g(x)max＝ 2， 当 x＝0 时，g(x)min＝1.
平方得 1＋2sinαcosα＝39＝13，
∴2sinαcosα＝－23.
∴(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝53.
∵α 是第二象限角，∴sinα>0，cosα<0.
∴cosα－sinα＝－ 315，
∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)·(cosα－sinα)＝－
(2)因为－π≤x≤0，所以－34π≤x＋π4≤π4.
当 x＋π4＝－π2，即 x＝－34π时，f(x)取得最小值．
所以 f(x)在区间[－π，0]上的最小值为
f－34π＝－1－
2 2.
——能力提升类——
12．已知 tanθ＝13，则 cos2θ＋12sin2θ 的值为( B )
A．－65
B．65
Hale Waihona Puke ＝2×cosxsi＋nxsinx＝
2×1＋tantaxnx＝
2 4.
11．已知函数 f(x)＝ 2sin2xcos2x－ 2sin22x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间[－π，0]上的最小值．
解：(1)因为 f(x)＝ 22sinx－ 22(1－cosx) ＝sinx＋π4－ 22， 所以 f(x)的最小正周期为 2π.