第十章第二节_二重积分的计算法
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第十章第二节_二重积分的计算法剖析讲解
x2 2
]2y
dy
2
(2 y
y3 )dy
11
1
2
8
【例2】 计算 y 1 x2 y2d , D :由y x, x 1,
D
和y 1所围闭区域 .
y
【解】 D既是X—型域又是—Y型域
1
D y=x
［法1］ DX
:
1 x 1
x
y
1
－1 x o
1x
上式
1
1
dx y
1 x2 y2dy 1
1. 【预备知识】
(1)［X－型域］ a x b, 1( x) y 2( x).
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
其中函数1( x、) 在2( x区) 间 上[a连,b续] .
【X—型区域的特点】 穿过区域且平行于y 轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点.
先求交点
由
y2
x
(1,-1) 或 (4,2)
y x2
［法1］
DY
:
1
y2
y x
2 y
2
xyd
2
dy
y2 xydx
D
1
y2
55
8
［法2］ 视为X—型域 则必须分割 D D1 D2
0 x 1 D1 : x y
x
D2
:
1
x
x 2
4 y
x
1
x
4
x
xyd
dx xydy dx xydy
0
x
1
x2
高等数学第十章第二节二重积分的计算法课件.ppt
• 若积分区域为
y y y2(x)
D
y y1(x)
a
bx
则
f (x, y) d
b
dx
y2 (x) f (x, y) d y
D
a
y1( x)
• 若积分区域为
则
f (x, y) d
d
dy
x2 ( y) f (x, y) d x
D
c
x1( y)
y x x2 ( y) d
D
c
x x1( y) x
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f (x, y) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
y y 2(x)
则
D
D
:
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
f (x, y) dx dy
b
2 (x)
a d x 1(x)
f
(x,
D
x o a y 1(x)b y) d y
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
c
1(y)
y d
y 2(x)
x
y
c
1(
y) y
x
D
1(x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
例1. 计算 I D x2 yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y y y2(x)
D
y y1(x)
a
bx
则
f (x, y) d
b
dx
y2 (x) f (x, y) d y
D
a
y1( x)
• 若积分区域为
则
f (x, y) d
d
dy
x2 ( y) f (x, y) d x
D
c
x1( y)
y x x2 ( y) d
D
c
x x1( y) x
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f (x, y) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
y y 2(x)
则
D
D
:
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
f (x, y) dx dy
b
2 (x)
a d x 1(x)
f
(x,
D
x o a y 1(x)b y) d y
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
c
1(y)
y d
y 2(x)
x
y
c
1(
y) y
x
D
1(x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
例1. 计算 I D x2 yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
10.2 二重积分的计算
∫∫D
b a d
f (x, y) dx dy
ϕ2 ( x)
1
= ∫ d x ∫ (x) f (x, y) dy ϕ = ∫ d y∫
c
ψ 2 ( y)
ψ 1( y) y)
f (x, y) dx
y y = ϕ (x) 2 d x =ψ2 ( y) x =ψ1( y) D y y = ϕ1(x) c o a x bx
§10.2 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的换元法
1
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 被 函 由曲顶柱体体积的计算可知 当 积 数 f (x, y) ≥ 0 且在D上连续时 且在 上连续时, 若D为 X – 型区域 上连续时 为 ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) D: a ≤ x ≤b
I = ∫∫ f (x, y) d x d y = ∫ dy ∫
D
2
8− y2 2y
0
f (x, y)dx
8
例5. 计算 所围成. y = 4 − x2, y = −3x, x =1 所围成. 解: 令f (x, y) = x ln(y + 1+ y )
2
其中D 由
4
y = −3x
y
y = 4 − x2
令ρ = ∆u + ∆v , 则
2 2
T
y
M4
M3
D
M1
M2
o
x
∂x x2 − x1= x(u + ∆u, v) − x(u, v)= ∆u + o(ρ) ∂u (u, v)
18
∂x x4 − x1= x(u, v + ∆v) − x(u, v) = ∆v + o(ρ) ∂v (u, v) 同理得 y2 − y1 = ∂ y ∆u + o(ρ) ∂u (u, v) ∂y y4 − y1 = ∆v + o(ρ) ∂v (u, v) 充分小时, 当∆u, ∆v充分小时 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 充分小时
二重积分的计算法
O
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1
结束
2
y
一、曲顶柱体体积的计算-几何意义
y 2 ( x) 设曲顶柱体的底为 1 ( x) y 2 ( x) y D ( x, y ) 2 a xb
任取 截面积为 故曲顶柱体体积为(元素法) 平面 截柱体的
1
z f ( x , y ) z
y 2 ( x) 设曲顶柱体的底为 1 ( x) y 2 ( x) y D ( x, y ) 2 a xb
任取 截面积为 平面 截柱体的
1
z f ( x , y ) z
D
O
z
a x0 b x y 1 ( x)
z f ( x0 , y )
f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x
x 1 ( y)
d y
c
d
2 ( y)
1 ( y)
O a
y c
y 1 ( x)
D
x 2 ( y)
x
bx
D1 D3
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. (2) 若积分域较复杂, 可将它分成若干 y X - 型域或Y - 型域, 则
f1 ( x, y )
f 2 ( x, y ) 均非负
因此上面讨论的累次积分法仍然有效.
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说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域, 则有
D f ( x, y) dx d y
d x
a b
2 ( x)
1 ( x)
d
y
y 2 ( x)
高等数学(II)(第十章、重积分)
27
Z
A ( x )
(x)
z f ( x, y)
2
1
(x)
f ( x , y ) dy
y
1( x )
所以：
2(x)
2 (x)
D
f(x,y)dxdy
b
A(x)dx
a
[
a
b
f(x .y ) dy ]dx
1 (x)
3-12
28
注意: 1）上式说明: 二重积分可化为二次定 积分计算;
2）积分次序: X-型域 3）积分限确定法: 先Y后X;
域中一线穿—定内限， 域边两线夹—定外限
为方便，上式也常记为：
b
dx
a
2 (x)
f(x .y ) dy
1 (x)
29
3、Y-型域下二重积分的计算：
同理：
d
x 1( y)
D
x 2( y)
c
D
f ( x, y )d
6
得 (3) 求和. 将这 n 个小平顶柱体的体积相加，
到原曲顶柱体体积的近似值，即
V
i1
n
V i f ( i , i ) i .
i1
n
(4) 取极限. 将区域 D 无限细分且每一个子域趋 向于缩成一点， 这个近似值就趋向于曲顶柱体的体
积， 即
V lim
0
将区域 D 任意分成 n 个小区域
任取一点 若存在一个常数 I , 使 记作
则称 f ( x , y )
可积 , 称 I 为 f ( x , y ) 在D上的二重积分.
同济高等数学第十章学习指导及习题详解
615
部分，你会得出结论.
第二节 二重积分的计算法
1. 复习第六章第二部分，曲顶柱体可以看作平行截面面积为已知 的立体吗？平行截面的面积如何表达？如何用定积分表示曲顶柱体 的体积？如果你对于上述问题难以解答，仔细阅读本节第一部分，从 中找出答案.
2. 在直角坐标系下，化二重积分为二次积分时，如何根据积分区 域的类型及被积函数确定积分次序和积分限? 仔细揣摩例 1 至例 4， 你会从中找到答案.
z z2 x, y, z z1 x, y 的位置关系；从代数的角度看，它们的大小
关系.怎样求积分区域 Ω 在 xOy 面上的投影区域 Dxy ？这些问题对于 计算三重积分是至关重要的.
3. 如何建立柱面坐标系，柱面坐标系中坐标面是什么曲面？直 角坐标与柱面坐标有何关系？怎样将直角坐标系下的三重积分转化 为柱面坐标系下的三重积分？阅读本节第二部分，在书上找出答案.
z f (x, y) 为顶, 以 D 为底的曲顶柱体的体积. 物理意义 设平面薄片占有闭区域 D，其面密度为 (x, y) ，则
其质量为
m (x, y)d . D
存在定理 若 f (x, y) 在闭区域 D 上连续，则 f (x, y) d 存在. D
性质 1（线性性质）设 、 为常数，则
第三节 三重积分
1. 将定积分、二重积分的定义性质类比推广，可以得到三重积 分的定义性质.阅读本节第一部分内容，指出二重积分与三重积分的
616
区别.从几何上看，三重积分 dv 表示什么？ Ω 2. 阅读本节第一部分，细心体会“化三重积分为先对 z 后对 x, y
二重积分”时，从几何上看，对 z 积分时，积分的上、下限
4. 积分区域和被积函数在什么情况下，利用柱面坐标计算三重 积分比较简单？结合极坐标系下的二重积分的计算方法，细心揣摩第 二部分内容，从中找出问题的答案.
部分，你会得出结论.
第二节 二重积分的计算法
1. 复习第六章第二部分，曲顶柱体可以看作平行截面面积为已知 的立体吗？平行截面的面积如何表达？如何用定积分表示曲顶柱体 的体积？如果你对于上述问题难以解答，仔细阅读本节第一部分，从 中找出答案.
2. 在直角坐标系下，化二重积分为二次积分时，如何根据积分区 域的类型及被积函数确定积分次序和积分限? 仔细揣摩例 1 至例 4， 你会从中找到答案.
z z2 x, y, z z1 x, y 的位置关系；从代数的角度看，它们的大小
关系.怎样求积分区域 Ω 在 xOy 面上的投影区域 Dxy ？这些问题对于 计算三重积分是至关重要的.
3. 如何建立柱面坐标系，柱面坐标系中坐标面是什么曲面？直 角坐标与柱面坐标有何关系？怎样将直角坐标系下的三重积分转化 为柱面坐标系下的三重积分？阅读本节第二部分，在书上找出答案.
z f (x, y) 为顶, 以 D 为底的曲顶柱体的体积. 物理意义 设平面薄片占有闭区域 D，其面密度为 (x, y) ，则
其质量为
m (x, y)d . D
存在定理 若 f (x, y) 在闭区域 D 上连续，则 f (x, y) d 存在. D
性质 1（线性性质）设 、 为常数，则
第三节 三重积分
1. 将定积分、二重积分的定义性质类比推广，可以得到三重积 分的定义性质.阅读本节第一部分内容，指出二重积分与三重积分的
616
区别.从几何上看，三重积分 dv 表示什么？ Ω 2. 阅读本节第一部分，细心体会“化三重积分为先对 z 后对 x, y
二重积分”时，从几何上看，对 z 积分时，积分的上、下限
4. 积分区域和被积函数在什么情况下，利用柱面坐标计算三重 积分比较简单？结合极坐标系下的二重积分的计算方法，细心揣摩第 二部分内容，从中找出问题的答案.
第二节_二重积分的计算法
作业 P153 1 (4); 2 (3); 4; 6 (2), (3); 11; 12 (1), (3); 13 (4); 18
x 2 + y 2 = 4 y 及直线 x − 3 y = 0, y − 3x = 0 所围成的 平面闭区域. y 4
∫∫ (x
D
2
+ y ) d x d y = ∫π dθ
2
3 6
π
∫
4 sinθ 2 r ⋅rdr 2 sinθ
2
= 15( − 3) 2
π
o
x
内容小结
二重积分化为累次积分的方法 X – 型区域 直角坐标系情形 Y – 型区域 极坐标系情形: 积分区域 极坐标系情形
例7. 计算
其中D : x 2 + y 2 ≤ a 2 .
−a 2
= π (1 − e
)
∫
+∞ − x 2 e 0
dx =
π
2
例8. 求球体
x2 + y 2 = 2 ax 被圆柱面
z
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
o
2a
y
x
( x 2 + y 2 ) d x d y, 其中D 为由圆 x 2 + y 2 = 2 y, 例9. 计算∫∫ D
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
三、利用极坐标计算二重积分
一、曲顶柱体体积的计算
y = ϕ2 ( x)
设曲顶柱的底为
z
y
ϕ1 ( x) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x) D = ( x, y) a≤ x≤b
曲顶柱体体积为
D
o
a x0 b x y = ϕ1 (x) (x
第二节_二重积分的计算法
第二节_二重积分的计算法二重积分：在平面上规定一个有界闭合区域D，对于D上的每一点P(x,y)，都有一个标量函数f(x,y)与之对应。
则二重积分的数值就是由函数f(x,y)在区域D上所有点处的函数值决定的。
二重积分一般可以表示为∬Df(x,y)dA。
计算二重积分的方法主要有以下几种：直角坐标法、极坐标法、换元积分法和累次积分法。
1.直角坐标法：针对矩形、直角三角形、抛物线和折线边界的区域，可以直接使用直角坐标法来计算二重积分。
具体步骤如下：(1)写出二重积分的累加和形式：I=ΣΣf(x,y)ΔA。
(2)将区域D分成若干小矩形，计算每个小矩形的面积ΔA。
(3)在每个小矩形上选择代表点(x,y)，计算f(x,y)的函数值。
(4)将函数值与相应小矩形的面积相乘，加和求和即可得到二重积分的数值。
2.极坐标法：当具有极坐标对称性的区域时，采用极坐标法可以简化计算。
具体步骤如下：(1) 确定极坐标变换：x=r*cosθ，y=r*sinθ。
(2) 根据变换的雅可比矩阵计算面积元素dA的极坐标形式：dA=rdrdθ。
(3) 将二重积分转化为极坐标下的累次积分：I=∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Df(r*cosθ,r*sinθ)rdrdθ。
(4)将极坐标下的积分区域和积分限进行变换，然后按照累次积分进行计算。
3.换元积分法：当二重积分区域D的边界方程比较复杂时，可以使用换元积分法来简化计算。
具体步骤如下：(1)根据边界方程对二重积分区域D进行变换，将原来的二重积分区域映射到一个新的坐标系中的区域G。
(2)根据变换的雅可比矩阵，计算新坐标系下的面积元素dA'。
(3) 将二重积分转化为新坐标系下的累次积分：I=∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Gf(x(u,v),y(u,v))，J(u,v)，dudv，其中J(u,v)为雅可比行列式。
(4)对新坐标系下的累次积分按照直角坐标法或极坐标法进行计算。
4.累次积分法：当二重积分区域D可以通过垂直于坐标轴的直线进行划分时，可以使用累次积分法进行计算。
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(3) 改写D为: 0 y 1, 0 x y o
(1,1)
y x
x
y
0
1
dx sin y 2dy
x
1
(1,1)
0 dy 0 sin y dx
2
1
y
y x
(sin y ) x dy
2
1
y
x D : 0 y 1, 0 x y
o
y sin y 2dy
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
二、极坐标系下二重积分的计算 三、小结 思考题
【复习与回顾】
回顾一元函数定积分的应用
平行截面面积为已知的立体的体积的求法
在点x处的平行截面的面积为 A( x ) 体积元素 dV A( x )dx 体积为
V A( x )dx
a b
一、利用直角坐标系计算二重积分
(( xx )0 ) 11
ff (x (x ,0 y,)dy y )dy
b
V A( x )dx
a
2 ( x )
1( x)
f ( x, y )d [
D a
f ( x , y )dy]dx.
公式1
上式称为先对 y后对x的二次积分
注意:
1）上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算; 2）积分次序: X-型域 先Y后X; 3）积分限确定法: 后积先定限，域中做穿线； 先过为下限，后过未上线。
f ( x, y )d 的值等于以D 为底，以曲面z
D
f ( x , y ) 为顶的曲顶柱体的体积 ．
【方法】根据二重积分的几何意义以及计算“平 行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求.
x 0 [ a , b ]
作平面 x x0
z z y ( x ) y 22( x)
直线与区域边界相交不多于两个交点.
(3)［既非X－型域也非Y－型域］如图 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别都 是X－型域(或Y—型域)
D1
D3
D2
由二重积分积分区域的可加性得
D
.
D1 D2 D3
2.【二重积分公式推导】
且设f ( x , y ) 0
则
a x b, 1 ( x ) y 2 ( x ). (1).若积分区域为X－型域：
O
1 2
1
x
5.【简单应用】
【例5】 求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体 的体积V. z 【解】 设两个直圆柱方程为
x 2 y 2 R2 , x 2 z 2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为
R
2
则所求体积为
z R x 0 x R ( x , y ) DX : 2 2 0 y R x
【X—型区域的特点】 穿过区域且平行于y 轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点.
(2)［Y－型域］ c y d ,
1 ( y ) x 2 ( y ).
d
d
x 1( y)
D
x 2 ( y)
x 1( y)
D
c
c
x 2 ( y)
【Y—型区域的特点】穿过区域且平行于x 轴的
D
c
d
2 ( y)
1 ( y)
f ( x, y )dx]dy
公式2
即化二重积分为先对 x后对y的二次积分.
注意: 1）积分次序: Y-型域 ,先x后Y;
2）积分限确定法:
“域中做穿线”, 须用平行于X轴的射线 穿插区域 。
也可记为 :
D
d
c
dy
2 ( y )
1 ( y )
f ( x , y )dx
y
y=x
D
【解Ⅰ】 看作X－型域
1 x 2 DX : 1 y x
2 x
y=1
o
2
1 x
2
2
x
y x xyd 1 dx 1 xydy 1 [ x 2 ]1 dx D 3 2 x x 1 ( )dx 1 1 2 2 8
【解Ⅱ】 看作Y－型域
2
xyd 1 dy y
2
y 2
xyd
D
本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！
D1
dx
D2
0
1
x
x
xydy dx
1
4
x
x2
xydy
计算较繁
【小结】
以上三例说明，在化二重积分为二次 积分时，为简便见需恰当选择积分次 序；既要考虑积分区域D的形状，又要 考虑被积函数的特性(易积)
0
1
2 y
1 1 y2
f ( x , y )dx
计算二重积分时, 恰当的选取积分次序 十分重要, 它不仅涉及到计算繁简问题, 而且 又是能否进行计算的问题. 凡遇如下形式积分: sin x 2 2 x2 x dx , sinx dx, cosx dx, e dx , y 2 dx x x e dx, e dx , ln x , 等等, 一定要放在 后面积分.
y y
2 ( x0 )
zz xx ,, yy )) f( (
A (( xx A 0) 0)
oo
a a
1 ( x0 )
x x00
xx x) b b yy 1( 1 ( x)
1 ( x0 )
b
2 ( x0 )
A A( (x x0))
即得
(( xx )0 ) 22
c
1
o a
x
bx
为计算方便,可选择积分次序, 必要时还可交换积分次序.
(3) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域.
y
D1
D2 D3
D
D1 D2 D3
o
x
4. 【例题部分】
【例1】 计算 xyd , 其中D：由y 1, x 2及
D
y x所围闭区域.
O
y x
x2
x
xy 1
D
2 x x x d dx 1 2 dy 2 1 y y x x 2 2 x2 dx ( x x 3 )dx 9 . 1 1 4 y 1
2
2
x
2 x 练习 求 2 d , 其中D是由直线x 2, y x和 y D y 双曲线xy 1围成的闭区域.
－1 D
y
1 y y=x o －1 1
x
原式 ydy
1
1
y
1
1 x 2 y 2 dx
注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便
注意两种积分次序的计算效果！
【例3】 计算 xyd , 其中D：由y 2 x及
D
y x 2所围闭区域
【解】 D既是X—型域 又是Y—型域 先求交点
为方便，上式也常记为：
b
a
dx
2(x)
1(x)
f(x , y )dy
• 注: 若 ƒ(x,y)≤0 仍然适用。
y
( 2).若积分域为Y 型域 :
d
y
x 1 y
c y d , 1 ( y ) x 2 ( y ).
c
o
D
x 2 y
x
f ( x, y )dxdy [
总结、利用直系计算二重积分的步骤
（1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；
（2）根据积分域类型, 确定积分次序；
（3）确定积分限，化为二次定积分；
（4）计算两次定积分，即可得出结果.
注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于
正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。
【说明】(1)使用公式1必须是X－型域， 公式2必须是 Y－型域. (2) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , y y ( x) 则有 f ( x , y ) d x d y 2 d D 2 ( x ) x 2 ( y) b x ( y ) 1 d x ( x ) f ( x , y ) d y D 1 a y 2 ( y) d y 1 ( x) c d y ( y ) f ( x , y ) d x
2 2 D
和y 1所围闭区域 .
y
1 D y=x －1
【解】 D既是X—型域又是—Y型域
1 x 1 ［法1］ DX : x y 1
1 1 2 2
x
o
1
x
1 上式 dx y 1 x y dy 1 x 2
1 y 1 ［法2］ DY : 1 x y
计算积分
I
解 e dx 不能用初等函数表示,
先交换积分次序.
I
y
y x
14
1
2
dy 1 e dx 1 dy
2 2
y
y x
1
y
y
e dx
y x
1
1 2
dx e d y
x
2
y x x
y x
y x2
1
1 2 1 4
1 x(e e x )dx
2
1
3 1 e e 8 2
1. 【预备知识】
(1)［X－型域］ a x b, 1 ( x ) y 2 ( x ).
(1,1)
y x
x
y
0
1
dx sin y 2dy
x
1
(1,1)
0 dy 0 sin y dx
2
1
y
y x
(sin y ) x dy
2
1
y
x D : 0 y 1, 0 x y
o
y sin y 2dy
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
二、极坐标系下二重积分的计算 三、小结 思考题
【复习与回顾】
回顾一元函数定积分的应用
平行截面面积为已知的立体的体积的求法
在点x处的平行截面的面积为 A( x ) 体积元素 dV A( x )dx 体积为
V A( x )dx
a b
一、利用直角坐标系计算二重积分
(( xx )0 ) 11
ff (x (x ,0 y,)dy y )dy
b
V A( x )dx
a
2 ( x )
1( x)
f ( x, y )d [
D a
f ( x , y )dy]dx.
公式1
上式称为先对 y后对x的二次积分
注意:
1）上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算; 2）积分次序: X-型域 先Y后X; 3）积分限确定法: 后积先定限，域中做穿线； 先过为下限，后过未上线。
f ( x, y )d 的值等于以D 为底，以曲面z
D
f ( x , y ) 为顶的曲顶柱体的体积 ．
【方法】根据二重积分的几何意义以及计算“平 行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求.
x 0 [ a , b ]
作平面 x x0
z z y ( x ) y 22( x)
直线与区域边界相交不多于两个交点.
(3)［既非X－型域也非Y－型域］如图 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别都 是X－型域(或Y—型域)
D1
D3
D2
由二重积分积分区域的可加性得
D
.
D1 D2 D3
2.【二重积分公式推导】
且设f ( x , y ) 0
则
a x b, 1 ( x ) y 2 ( x ). (1).若积分区域为X－型域：
O
1 2
1
x
5.【简单应用】
【例5】 求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体 的体积V. z 【解】 设两个直圆柱方程为
x 2 y 2 R2 , x 2 z 2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为
R
2
则所求体积为
z R x 0 x R ( x , y ) DX : 2 2 0 y R x
【X—型区域的特点】 穿过区域且平行于y 轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点.
(2)［Y－型域］ c y d ,
1 ( y ) x 2 ( y ).
d
d
x 1( y)
D
x 2 ( y)
x 1( y)
D
c
c
x 2 ( y)
【Y—型区域的特点】穿过区域且平行于x 轴的
D
c
d
2 ( y)
1 ( y)
f ( x, y )dx]dy
公式2
即化二重积分为先对 x后对y的二次积分.
注意: 1）积分次序: Y-型域 ,先x后Y;
2）积分限确定法:
“域中做穿线”, 须用平行于X轴的射线 穿插区域 。
也可记为 :
D
d
c
dy
2 ( y )
1 ( y )
f ( x , y )dx
y
y=x
D
【解Ⅰ】 看作X－型域
1 x 2 DX : 1 y x
2 x
y=1
o
2
1 x
2
2
x
y x xyd 1 dx 1 xydy 1 [ x 2 ]1 dx D 3 2 x x 1 ( )dx 1 1 2 2 8
【解Ⅱ】 看作Y－型域
2
xyd 1 dy y
2
y 2
xyd
D
本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！
D1
dx
D2
0
1
x
x
xydy dx
1
4
x
x2
xydy
计算较繁
【小结】
以上三例说明，在化二重积分为二次 积分时，为简便见需恰当选择积分次 序；既要考虑积分区域D的形状，又要 考虑被积函数的特性(易积)
0
1
2 y
1 1 y2
f ( x , y )dx
计算二重积分时, 恰当的选取积分次序 十分重要, 它不仅涉及到计算繁简问题, 而且 又是能否进行计算的问题. 凡遇如下形式积分: sin x 2 2 x2 x dx , sinx dx, cosx dx, e dx , y 2 dx x x e dx, e dx , ln x , 等等, 一定要放在 后面积分.
y y
2 ( x0 )
zz xx ,, yy )) f( (
A (( xx A 0) 0)
oo
a a
1 ( x0 )
x x00
xx x) b b yy 1( 1 ( x)
1 ( x0 )
b
2 ( x0 )
A A( (x x0))
即得
(( xx )0 ) 22
c
1
o a
x
bx
为计算方便,可选择积分次序, 必要时还可交换积分次序.
(3) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域.
y
D1
D2 D3
D
D1 D2 D3
o
x
4. 【例题部分】
【例1】 计算 xyd , 其中D：由y 1, x 2及
D
y x所围闭区域.
O
y x
x2
x
xy 1
D
2 x x x d dx 1 2 dy 2 1 y y x x 2 2 x2 dx ( x x 3 )dx 9 . 1 1 4 y 1
2
2
x
2 x 练习 求 2 d , 其中D是由直线x 2, y x和 y D y 双曲线xy 1围成的闭区域.
－1 D
y
1 y y=x o －1 1
x
原式 ydy
1
1
y
1
1 x 2 y 2 dx
注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便
注意两种积分次序的计算效果！
【例3】 计算 xyd , 其中D：由y 2 x及
D
y x 2所围闭区域
【解】 D既是X—型域 又是Y—型域 先求交点
为方便，上式也常记为：
b
a
dx
2(x)
1(x)
f(x , y )dy
• 注: 若 ƒ(x,y)≤0 仍然适用。
y
( 2).若积分域为Y 型域 :
d
y
x 1 y
c y d , 1 ( y ) x 2 ( y ).
c
o
D
x 2 y
x
f ( x, y )dxdy [
总结、利用直系计算二重积分的步骤
（1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；
（2）根据积分域类型, 确定积分次序；
（3）确定积分限，化为二次定积分；
（4）计算两次定积分，即可得出结果.
注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于
正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。
【说明】(1)使用公式1必须是X－型域， 公式2必须是 Y－型域. (2) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , y y ( x) 则有 f ( x , y ) d x d y 2 d D 2 ( x ) x 2 ( y) b x ( y ) 1 d x ( x ) f ( x , y ) d y D 1 a y 2 ( y) d y 1 ( x) c d y ( y ) f ( x , y ) d x
2 2 D
和y 1所围闭区域 .
y
1 D y=x －1
【解】 D既是X—型域又是—Y型域
1 x 1 ［法1］ DX : x y 1
1 1 2 2
x
o
1
x
1 上式 dx y 1 x y dy 1 x 2
1 y 1 ［法2］ DY : 1 x y
计算积分
I
解 e dx 不能用初等函数表示,
先交换积分次序.
I
y
y x
14
1
2
dy 1 e dx 1 dy
2 2
y
y x
1
y
y
e dx
y x
1
1 2
dx e d y
x
2
y x x
y x
y x2
1
1 2 1 4
1 x(e e x )dx
2
1
3 1 e e 8 2
1. 【预备知识】
(1)［X－型域］ a x b, 1 ( x ) y 2 ( x ).