福建省德化一中2015年春高二年第三次质检数学理科试卷
2015年福建省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
图表型；算法和程序框图.
分析：
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i,S的值，当i=6时满足条件
i>5，退出循环，输出S的值为0.
解答：
解：模拟执行程序框图，可得
i=1,S=0
c兀•c
S=cos,i=2
2
jr
不满足条件i>5,S=cos——+cosn,i=3
2
jr<?jr
不满足条件i>5,S=cos +cosn+cos,i=4
••• |PF2|=9.
故选：B.
点评：
本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题.
4.（5分）（2015?福建）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社 区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x（万兀）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y（万兀）
6.2
7.5
8.0
2 2
不满足条件i>5,S=cos1+cosn+cos+cos2n,i=5
22
不满足条件i>5,S=cos1+cosn+cos ' +cos2n+cos ' =0-1+0+1+0=0,i=6
222
满足条件i>5，退出循环，输出S的值为0,
故选：C.
点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i,S的
偶函数.
B.f（-x）=|sin（-x）|=|sinx|=f（x）,贝Uf（x）为偶函数.
C.y=cosx为偶函数.
福建省德化一中2015届高三年第三次月考数学(理)试卷 Word版含答案
2014年秋德化一中高三年第三次月考试卷考试科目：理科数学 满分：150分，考试时间：120分钟命题者： 徐高挺 审核者：陈修周第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求． 1．在复平面上，复数(2i)i z =-+的对应点所在象限是【★★】． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集U =R ，集合{}[)1,2,3,4,5,3,A B ==+∞，则图中阴影部分所表示的集合为【★★】．A. {}0,1,2B. {}0,1C. {}1,2D. {}13. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是【★★】．A.2B.92C.32D.34.若△ABC 的顶点(2,4)A ,BC 边所在的直线方程为430x y +=，则与BC 边平行的△ABC 中位线所在直线方程为【★★】． A. 43100x y +-=B. 43300x y +-=C. 43100x y +-=或43300x y +-=D.中位线长度不确定，无法求解 5.能使两个不重合的平面α和平面β平行的一个充分条件是【★★】． A ．存在直线a 与上述两平面所成的角相等B. 存在平面γ与上述两平面所成的二面角相等 C ．存在直线a 满足：a ∥平面α,且a ∥平面βD. 存在平面γ满足：平面γ∥平面α,且平面γ∥平面β6.已知函数2()f x x ax =-的图象在点(1(1))A f ，处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2014S 的值为【★★】． A.20152016 B.20142015 C. 20132014 D. 201220137．已知函数2sin()cos()22y x x ππ=+-与直线12y =相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ，2M ，3M ，，则113M M 等于 【★★】．A ．π6B ．π7C ．π12D ．π138．设M 是△ABC 边BC 上任意一点，N 为AM 上一点且NM AN 2=，若μλ+=，则λμ+的值等于【★★】．A ．31B ．32C ．1D ．349.已知双曲线C :22221x y a b-=的左、右焦点分别是M 、N .正三角形AMN 的一边AN 与双曲线右支交于点B ，且4AN BN =,则双曲线C 的离心率为【★★】．1+ 1+ 10．设函数()f x 、()g x 的定义域分别为J E D D 、，且E J D D ⊆，若对于任意J x D ∈，都有()()g x f x =，则称()g x 函数为()f x 在E D 上的一个延拓函数.设()(1)(0)x f x e x x -=->，()g x 为()f x 在R 上的一个延拓函数，且()g x 是奇函数.给出以下命题：①当0x <时，()(1)x g x e x -=-； ②函数()g x 有3个零点；③()0g x >的解集为(10)(1)-+∞，，； ④12x x R ∀∈，，都有12|()()|2g x g x -≤。
福建省德化一中、安溪一中2015届高三年摸底考试试卷数学(理) 含答案
安溪一中德化一中2015届高三年摸底考试试卷考试科目:理科数学 满分：150分,考试时间:120分钟 命题者：谢娜娜 徐高挺 审核者:谢娜娜 徐高挺第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求．1．已知i 为虚数单位,则2(1)i -的值等于A 。
22i- B.22i + C 。
2i -D.2i2．“sin 1x =”是“cos 0x =”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．1x e dx ⎰的值等于A.eB.1e -C.1e - D.1(1)2e - 4．已知,a b ∈+R 且1a b +=，则ab 的最大值等于A ．1B ．14C ．12 D ．25．等差数列{}na 的前n 项和nS 满足2nSn =，则其公差d 等于A ．2B ．4C ．± 2D ．±46．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是A ．()sin f x x =B ．()cos f x x =C ．()x f x x= D ．2()f x x =7．已知(),x y 满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则1yk x =+的最大值等于 A ．12B ．32C ．1D ．148．已知一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体中相互垂直的棱共有A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对9．已知F 1,F 2分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点,以F 1F 2为直径的圆与双曲线C 在第二象限的交点为P,若双曲线的离心率为5，则21cos PF F ∠等于A ．35 B ．34 C ．45D ．5610．将ln y x =的图象绕坐标原点O 逆时针旋转角θ后第一次与y 轴相切，则角θ满足的条件是A ．esin θ= cos θB ．sin θ= ecos θC ．esinθ=lD ．ecos θ=1第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 11．在6(1)x +的展开式中，含4x 的项的系数是___．12．已知22222222221111123,12235,123347,1234666=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯++=⨯⨯⨯+++14596=⨯⨯⨯，则22212n +++=___(其中n ∈*N ）．13. 某次测量发现一组数据(,)iix y 具有较强的相关性，并计算得1y x =+，其中数据0(1,)y 因书写不清，只记得0y 是[]0,3任意一个值,则该数据对应的残差的绝对值不大于１的概率为___．（残差=真实值-预测值）14．已知ABC ∆的三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、．若△ABC 的面积222S bc a =+-，则tan A 的值是___．俯视图左视图主视图15．定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的,如果存在非零常数λ（λ∈R ),使得对任意的x ∈R ，都有()()f x f x λλ+=，则称()y f x =为“倍增函数"，λ为“倍增系数”，下列命题为真命题的是___（写出所有真命题对应的序号）．①若函数()y f x =是倍增系数2λ=-的倍增函数，则()y f x =至少有1个零点;②函数()21f x x =+是倍增函数，且倍增系数1λ=； ③函数()xf x e -=是倍增函数，且倍增系数(0,1)λ∈.三、解答题:本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分）已知函数()()f x x ()sin =+>≤≤ωϕωϕπ00，为偶函数,且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π。
福建省德化一中2014-2015学年季高二数学(理科)期末模
德化一中2014年秋季高二数学模拟试卷（1）班级 座号 姓名 成绩本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），全卷满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一. 选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） A ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x > B ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥C ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥D ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >2.某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可输出的函数是 ( )A ．2()f x x = B ．1()f x x=C ．()x f x e =D ．()sin f x x =3.命题p ：若a ·b ＜0，则a 与b 的夹角为钝角．命题q ：如果y ＝f (x )是可导函数，则f ′(x 0)＝0是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取到极值的必要不充分条件．下列说法不正确的是（ ）A.“p ∨q ”是真命题B.“p ∧q ”是假命题C.“非p ”为假命题D.“非q ”为假命题 4.下列有关命题错误的是 ( )．A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若21,320x x x ≠-+≠则”;B ．若命题2:R,10p x x x ∃∈++=，则10p x R x x ⌝∀∈++≠2为:, C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题 D ．2"2"320"x x x >-+>是的充分不必要条件5.已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为 ( )A ．1B ．2C ．－1D ．－26.已知函数y ＝－xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象可能是( )7.已知A ＝{1,2,4,5}，a ，b ∈A ，则方程x 2a 2＋y 2b2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆的概率为( )A.34 B ．38 C.316 D ．128.椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△FAB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )A.3－12 B.5－12 C.1＋54 D.3＋149.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )A ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0D ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递减 10.已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则 ( )A ．f (1)<e f (0)，f (2 014)>e 2 014f (0)B ．f (1)>e f (0)，f (2 014)>e 2 014f (0)C ．f (1)>e f (0)，f (2 014)<e 2 014f (0)D ．f (1)<e f (0)，f (2 014)<e 2 014f (0)第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二. 填空题：（本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卷的相应位置上） 11.若函数()f x 在0x x =处的'()2f x =，则000()()limk f x k f x k→--等于________.12.某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是________．13.设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2(其中x ∈R ，a ，b 为常数)．已知曲线 y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l ，则a ，b 的值分别为________． 14.已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是_____．15.抛物线y 2=8x 的准线与双曲线C ：22218x y b-=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于2，则双曲线C 的离心率等于 .三. 解答题（本大题共6小题,共80分,把答案填在答题卷的相应位置上） 16.（本小题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．(1) 求图中a 的值；(2) 根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比17.（本小题满分13分）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（1）两数之和为5的概率； （2）两数中至少有一个奇数的概率；（3）以第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x,y)在圆x 2+y 2=15的内部的概率．18.（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是面积为ADC ∠为锐角，M 为PB 的中点。
2015年福建省普通高中毕业班质量检查数学(理科)【解析版】(DOC)
随机编号为1,2，…,800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，抽到的40人中，编号落入区
间[1,200]的人做试卷A，编号落入区间[201 ,560]的人做试卷B，则做试卷C的人数为( )
9、An（n，N）系列的纸张规格如图，其特点是：
1人，人，人2,…，An所有规格的纸张的长宽比都相同；
2A对裁后可以得到两张A,A对裁后可以得到两张…，A^对裁后可以得到两张An.
若有每平方厘米重量为b克的HRA,,A纸各一张，其中A4纸的较短边的长为a厘米，记这（n1）张纸的重
量之和为Sn,，则下列论断错误的是（
563803_*…人
n,n可取29,30,31,40，共12个.
2020
【点评】本题考查系统抽样方法，等差数列通项公式。难度简单
若双曲线C的一条渐近线的倾斜角等于600，则双曲线C的离心
率等于()
a
【解析】选B,图像题目属于基础题。一般用排除法，从sinx看范围是［一1,1］。在［一1,1］上的余弦恒为正。故
A
B.存在n N，使得S1=16「2a2b
C.
D.对于任意n•N，都有Sn,_16 2a2b
【解析】选A,等比数列难题，需要找到矩形的长宽比。由图易知面积是逐渐变为上一个的一半。设
为
故a4面积为.2a2，ai面积为8.2a2，a。面积为16.2a2。所以
【点评】本题考查等比数列求和，归纳推理，对观察能力要求较高。难度较大。
程为x-y •3=0，则该曲线在x= 5处的切线方程为
【解析】x • y-7 =0•
解：•••定义在R上的函数f (x)满足f(-x)二f(x),••• f(x)为偶函数，
福州3月份质检理数(扫描版)
2015年福州市高中毕业班质量检测 理科数学能力测试参考答案及评分细则第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1． A 2． B 3． B 4． C 5． C 6．D 7．D 8． A 9． C 10． B第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．34i - 12．2 13．10x y +-=或10x y --= 14．3 15．①③④ 三、解答题（本大题共6小题，共80分．)16．本小题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、两角差的正弦公式、利用正弦定理解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分． 解：(Ⅰ)因为()3sin cos (0,)f x x x x ωωω=->∈R ，所以π()2sin()6f x x ω=-． ·························································································· 1分所以函数()f x 的最大值为2． ····················································································· 2分 因为函数()f x 的图象与直线2y =的相邻两个交点之间的距离为π，所以πT =， ················································································································ 3分所以2ππω=，解得2,ω= ····························································································· 4分所以π()2sin(2).6f x x =-令πππ2π22π,262k x k k --+∈Z 剟，············································································· 5分 解得ππππ,63k x k k -+∈Z 剟．所以函数()f x 的单调递增区间是ππ[π,π],63k k k -+∈Z ． ············································ 6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，π()2sin(2).6f x x =-在ABC ∆中，因为()2,f A =所以π2sin(2)2,6A -= ··································································································· 7分所以πsin(2)1,6A -=因为0πA <<，所以π3A =． ······················································································ 9分因为3a b =，根据据正弦定理，有sin 3sin A B =， ·············································· 10分所以πsin3sin 3B =，所以1sin 2B =， ······································································ 11分因为a b >，所以A B >，所以π03B <<， ······························································· 12分所以π6B =． ·············································································································· 13分17．本小题主要考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解：（Ⅰ）设事件A 为“从10名被采访者中随机抽取两人，他们的职业满意度指标相同”． 职业满意度指标为0的有：9A ；职业满意度指标为1的有：2A ,4A ,5A ,7A ,10A ； 职业满意度指标为2的有：1A ,3A ,6A ,8A ．从10名被采访者中随机抽取两人的所有可能结果数为210C ， ····································· 1分45=， ········································ 2分职业满意度指标相同的所有可能结果数为2254C C + ····················································· 3分 106=+16=， ·································· 4分所以他们的职业满意度指标相同的概率16()45P A =． ·················································· 5分 （Ⅱ）计算10名被采访者的综合指标，可得下表：人员编号 1A 2A 3A4A 5A6A 7A 8A9A 10A综合指标4462453513其中成就感是一级的（4w ≥）有：1A 、2A 、3A 、5A 、6A 、8A ，共6名，成就感不是一级的（4w <）有4A 、7A 、9A 、10A ，共4名．随机变量X 的所有可能取值为：1,2,3,4,5． ····························································· 6分113211641(1)4C C P X C C ⋅===⋅, ··························································································· 7分1111312211647(2)24C C C C P X C C ⋅+⋅===⋅， ·········································································· 8分 11111131212111647(3)24C C C C C C P X C C ⋅+⋅+⋅===⋅ ， ·························································· 9分 (4)P X ==111111211164C C C C C C ⋅+⋅⋅ 18=, ······································································· 10分 111111641(5)24C C P X C C ⋅===⋅， ······················································································ 11分所以X 的分布列为X 12345 p14 724 724 18124··································································································································· 12分所以1771129()123454242482412E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ···································· 13分 18．本小题主要考查空间体的直观图与三视图、直线与平面的平行、线面所成角、探索性问题等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分． （Ⅰ）证明：（方法一）由三视图知，,,BA BP BC 两两垂直，故以B 为原点，,,BA BP BC 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．…………………1分则1(0,2,0),(2,0,1),(1,1,),(2,1,0),(0,0,1)2P D M E C ,所以1=(1,0,)2EM -，易知平面ABCD 的一个法向量等于(0,1,0)n =，………3分 所以1=(1,0,)(0,1,0)02EM n ⋅-⋅=,所以EM n ⊥， ··········································································································· 4分 又EM ⊄平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ． ···························································································· 5分 （方法二）由三视图知，,,BA BP BC 两两垂直．连结,AC BD ，其交点记为O ，连结MO ,EM ． ··············································· 1分 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点．因为M 为PD 中点，所以OM ∥PB ，且12OM PB =．………………………2分又因为AE ∥PB ，且12AE PB =，所以AE ∥OM , 且AE =OM ． 所以四边形AEMO 是平行四边形，所以EM ∥AO ………………………………………4分 因为EM ⊄平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD所以EM ∥平面ABCD ． ···························································································· 5分 （Ⅱ）解：当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25． ······· 6分 理由如下：因为(2,2,1),(2,0,0)PD CD =-=，设平面PCD 的法向量为1111(,,)n x y z =，由110,0n PD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1111220,20.x y z x -+=⎧⎨=⎩ ······································································· 7分 取11y =，得平面PCD 的一个法向量1(0,1,2)n =． ·················································· 8分 假设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于25． 设(01)PN PD λλ=≤≤，则(2,2,1)(2,2,)PN λλλλ=-=-，(2,22,)BN BP PN λλλ=+=-． ······················ 9分 所以111||sin |cos ,|||||BN n BN n BN n α⋅=<>=⋅ ································································ 10分222222255(2)(22)()5984λλλλλ===⋅+-+⋅-+． ······························ 12分 所以29810λλ--=， 解得1λ=或19λ=-(舍去)． 因此，线段PD 上存在一点N ，当N 点与D 点重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25． 13分 19．本小题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆的位置关系、推理与证明等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．解:（Ⅰ）设椭圆Γ的半焦距为c ，依题意，得2221,23,.c a a c b a c ⎧=⎪⎪⎨+=⎪⎪=-⎩ ········································· 2分解得22,3.a b =⎧⎪⎨=⎪⎩················································································································· 3分所以椭圆Γ的方程为22143x y +=．··············································································· 4分（Ⅱ）方法一：依题意得， PQ 与坐标轴不垂直．设()()1122,,,P x y Q x y ．因为点Q 与点Q '关于x 轴对称,所以()22,Q x y '-．由（Ⅰ）讨论可知，()()2,0,1,0A F -． 因为PF AQ '∥，所以直线FQ 与直线AQ '的斜率相等，故222212y y x x -=+-， ··············· 6分 解得212x =． ··············································································································· 7分 又因为点()22,Q x y 在椭圆Γ上，所以2354y =，或2354y =-．······························ 8分由椭圆对称性，不妨取2354y =，则直线PQ 的斜率22512y k x ==+． 所以直线PQ 方程为()512y x =+． ··········································································· 9分 由()2251,23412,y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得点P 坐标为735,48⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭． ························································ 10分 所以()()()()()2222222211111811111164PF x y x k x k x =++=+++=++=， ··················· 11分 ()()()()()2222222222222812221216AQ x y x k x k x '=-+=-+-=+-=． ····················· 12分所以12PF AQ '=． ··································································································· 13分方法二：依题意，得PQ 与坐标轴不垂直．设l 方程为()1y k x =+（0k ≠），()()1122,,,Px y Qx y ．因为点Q 与点Q '关于x 轴对称,所以()22,Q x y '-．又因为椭圆关于x 轴对称，所以点Q '也在椭圆Γ上．由()221,3412,y k x x y ⎧=+⎨+=⎩消去y 得 ()22223484120k x k x k +++-=． ································· 5分 所以2212122284120,,3434k k x x x x k k-∆>+=-⋅=++． ·························································· 6分因为PF AQ '∥，所以直线AQ '的方程为()2y k x =-．由()222,3412,y k x x y ⎧=-⎨+=⎩消去y 得()2222341616120k x k x k +-+-=． ································· 7分 因为直线AQ '交椭圆于()()222,0,,A Q x y '-两点，所以2221612234k x k -⋅=+，故2228634k x k -=+． ····································································· 8分所以22221211212222868864120,,34343434k k k k x x x x x x k k k k ---∆>+=+=-⋅=⋅=++++， 解得2157,44k x ==-． ·································································································· 9分所以222861342k x k -==+． ······························································································ 10分 所以()()()()()2222222211111811111164PF x y x k x k x =++=+++=++=，()()()()()2222222222222812221216AQ x y x k x k x '=-+=-+-=+-=． ····················· 12分所以12PF AQ '=． ··································································································· 13分方法三：依题意，得PQ 与坐标轴不垂直．设l 方程为()1y k x =+（0k ≠），()()1122,,,Px y Qx y ．因为点Q 与点Q '关于x 轴对称,所以()22,Q x y '-． 又因为椭圆关于x 轴对称，所以点Q '也在椭圆Γ上．直线PQ '过定点()4,0M -， ························································································· 5分 理由如下：由()221,3412,y k x x y ⎧=+⎨+=⎩消去y 得()22223484120k x k x k +++-=． ···································· 6分 所以2212122284120,,3434k k x x x x k k -∆>+=-=++．····························································· 7分 所以()()()21122112121222411234kx y x y x k x x k x kx x k x x k-+=⋅++⋅+=++=+， ()()()1212122611234ky y k x k x k x x k k +=+++=++=+． ············································· 9分 因为()()11224,,4,MP x y MQ x y '=+=+-，所以()()()()211221121222242444403434k kx y x y x y x y y y k k-+++=+++=+=++， ·········· 11分 所以MP MQ '∥，所以,,M P Q '三点共线，即直线PQ '过定点()4,0M -． ················· 12分因为F 为线段AM 中点，PF AQ '∥，所以12PF AQ '=． ··································································································· 13分方法四：依题意，得PQ 与坐标轴不垂直． 设l 方程为()1y k x =+（0k ≠），()()1122,,,Px y Qx y ．因为点Q 与点Q '关于x 轴对称,所以()22,Q x y '-． ······················································ 5分 因为,,P F Q 三点共线，所以()111,FP x y =+与()221,FQ x y =+共线，所以()()1221110x y x y +-+=． ··················································································· 6分 因为PF AQ '∥，所以可设FP AQ λ'=（0λ>），即()()11221,2,x y x y λ+=--，所以()121212,x x y y λλ+=-=-． ················································································ 7分。
2015年高考理科数学福建卷(含答案解析)
绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合234{i,i ,i ,i }A =（i 是虚数单位），{1,1}B =-，则A B I 等于（ ）A. {1}-B. {1}C. {1,1}-D. ∅ 2. 下列函数为奇函数的是（ ）A. y =B. |sin |y x =C. cos y x =D. e e x x y -=-3. 若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为1F ,2F ，点P 在双曲线E 上，且1||3PF =，则2||PF 等于（ ）A. 11B. 9C. 5D. 34. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到根据上表可得回归本线方程ˆˆybx a =+，其中0.76b =，ˆˆa y bx =-，据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭年支出为（ ）A. 11.4万元B. 11.8万元C. 12.0万元D. 12.2万元5. 若变量x ，y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≥≤≥则2z x y =-的最小值等于（ ）A. 52-B. 2-C. 32-D. 26. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为 （ ）A. 2B. 1C. 0D. 1-7. 若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“l α∥”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 若a ，b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且a ，b ，2-这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ）A. 6B. 7C. 8D. 99. 已知AB AC ⊥u u u r u u u r ,1||AB t =u u u r ，||AC t =u u u r ，若P 点是ABC △所在平面内一点，且4||||AB ACAP AB AC =+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，则 PB PC u u u r u u u r g 的最大值等于 （ ）A. 13B. 15C. 19D. 2110. 若定义在R 上的函数()f x 满足(0)1f =-，其导函数'()f x 满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ）A. 11()f k k<B. 11()1f k k >- C. 11()11f k k <-- D. 1()11k f k k >-- 第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11. 5(2)x +的展开式中，2x 的系数等于________.（用数字作答）12. 若锐角ABC △的面积为，且5AB =，8AC =，则BC 等于________.13. 如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数2()f x x =.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________.14. 若函数6,2,()3log ,2,a x x f x x x -+⎧=⎨+⎩≤＞（0a >且1a ≠）的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是________.15. 一个二元码是由0和1组成的数字串*12()n x x x n ∈N L ，其中()1,2,,k x k n =L 称为第k 位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为）.已知某种二元码127x x x L 的码元满足如下校验方程组：4567236713570,0,0,x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩ 其中运算⊕定义为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那姓名________________ 准考证号_____________---------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------么利用上述校验方程组可判定k等于________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.（Ⅰ）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（Ⅱ）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE EC⊥，2AB BE EC===，G，F分别是线段BE，DC的中点.（Ⅰ）求证：GF∥平面ADE；（Ⅱ）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.18.（本小题满分13分）已知椭圆22221(a0)x yE ba b+=>>：过点，且离心率为e=.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线:1,()l x my m=-∈R交椭圆E于A，B两点，判断点9(,0)4G-与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.19.（本小题满分13分）已知函数()f x的图象是由函数()cosg x x=的图象经如下变换得到：先将()g x图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.（Ⅰ）求函数()f x的解析式，并求其图象的对称轴方程；（Ⅱ）已知关于x的方程()()f xg x m+=在[0,2π)内有两个不同的解α，β.（ⅰ）求实数m的取值范围；（ⅱ）证明：22cos)15mαβ-=-(.20.（本小题满分14分）已知函数()ln(1)f x x=+，()g x kx=()k∈R.（Ⅰ）证明：当0x>时，()f x x<；（Ⅱ）证明：当1k<时，存在x>，使得对任意的(0)x x∈,，恒有()()f xg x>；（Ⅲ）确定k的所以可能取值，使得存在0t>，对任意的(0,)x t∈恒有2|()()|f xg x x-<.21. 本题设有（1），（2），（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵2143⎛⎫= ⎪⎝⎭A，1101⎛⎫= ⎪-⎝⎭B.（Ⅰ）求A的逆矩阵1-A；（Ⅱ）求矩阵C，使得=AC B.（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为13cos,23sin,x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线lπsin(),()4m mθ-=∈R.（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值.（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知0a>，0b>，0c>，函数()||||f x x a x b c=++-+的最小值为4.（Ⅰ）求a b c++的值；（Ⅱ）求2221149a b c++的最小值.2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】∵234{i }{i ,i ,i ,i ,1,}i,1A ==--，}1{1,B =-， ∴{i }{}{}1i 11111A B =---=-I I ，，，，，．【提示】利用虚数单位i 的运算性质化简A ，然后利用交集运算得答案． 【考点】虚数单位i 及其性质，交集及其运算． 2.【答案】D【解析】A ．函数的定义域为[0,)+∞，定义域关于原点不对称，故A 为非奇非偶函数． B ．()|()|||()f x sin x sinx f x -=-==，则()f x 为偶函数． C ．cos y x =为偶函数．D ．()e e (e e ())x x x x f x f x ---=-=--=-，则()f x 为奇函数 【提示】根据函数奇偶性的定义进行判断即可． 【考点】函数奇偶性的判断，余弦函数的奇偶性． 3.【答案】B【解析】由题意，双曲线22:1916x y E -=中3a =∵3a =，∴P 在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得21|||6|PF PF -=，∴2||9PF =【提示】确定P 在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论． 【考点】双曲线的简单性质 4.【答案】B 【解析】由题意可得(8.28.610.011.311.9)1501x ++++==，(6.27.58.08.5915.8)8y ++++==，代入回归方程可得80.76100.4a =-⨯=$， ∴回归方程为0.760.4y x =+$， 把15x =代入方程可得0.76150.411.8y =⨯+=【提示】由题意可得x 和y ，可得回归方程，把15x =代入方程求得y 值即可． 【考点】线性回归方程5.【答案】D【解析】由约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩作出可行域如图，由图可知，最优解为A ，联立20220x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭．∴2z x y =-的最小值为152(1)22⨯--=-．【提示】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案． 【考点】简单线性规划 6.【答案】C【解析】模拟执行程序框图，可得AGB ∠，0S =πcos 2S =，i 2=不满足条件i 5>，πcoscos π2S =+，i 3= 不满足条件i 5>，π3πcos cos πcos 22S =++，i 4=不满足条件i 5>，π3πcos cos πcos cos2π22S =+++，i 5=不满足条件i 5>，π3π5πcoscos πcos cos2πcos 010100222S =++++=-+++=+，i 6= 满足条件i 5>，退出循环，输出S 的值为0【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，当i=6时满足条件i>5，退出循环，输出S 的值为0 【考点】循环结构 7.【答案】B【解析】l m ，是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”可能“l α∥”也可能l α⊂，反之，“l α∥”一定有“l m ⊥”所以l m ，是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“l α∥”的必要而不充分条件．【提示】利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 8.【答案】D【解析】由题意可得：a b p ab q +==，， ∵00p q >>，， 可得00a b >>，，又2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得224b a ab =-⎧⎨=⎩①或224a b ab =-⎧⎨=⎩②．解①得：41a b =⎧⎨=⎩；解②得：14a b =⎧⎨=⎩．∴5144p a b q =+==⨯=，，则9p q += 【考点】等比数列的性质，等差数列的性质．【提示】由一元二次方程根与系数的关系得到a b p ab q +==，，再由2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a b ，的方程组，求得a b ，后得答案． 9.【答案】A【考点】平面向量数量积的运算【提示】建系，由向量式的几何意义易得P 的坐标，可化1144(1)4PB PC t t t t ⎛⎫⎛⎫=----=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu r uu u r g g ，由基本不等式可得．【解析】由题意建立如图所示的坐标系， 可得1(0,0),0(0,)t A B C t ⎛⎫⎪⎝⎭，，，∵4||||AB AC AP AB AC =+uu u r uuu ruu u r uu u r uuu r ，∴(1,4)P ，∴11,4PB t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭uu r ，(1,4)C t P -=-uu ur ，∴114(1)1744t t t PB t PC ⎛⎫⎛⎫---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭-uu r uu u r g ，由基本不等式可得144t t +≥=，∴117417413t t ⎛⎫-+≤-= ⎪⎝⎭当且仅当14t t =即12t =时取等号，∴PB PC uu r uu u rg 的最大值为13，10.【答案】C【解析】解；∵lim()(0)(0)0x f x f f x →-'=-()1f x k '>>， ∴()(0)1f x f k x ->>，即()11f x k x+>>，当11x k =-时，1111111f k k k k ⎛⎫+>⨯= ⎪---⎝⎭，即1111111f k k k ⎛⎫>-= ⎪---⎝⎭ 故1111f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭，所以1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭，一定出错， 另解：设()()1g x f x kx =-+，0(0)g =，且()()0g x f x k ''=->，()g x 在R 上递增，1k >，对选项一一判断，可得C 错．【提示】根据导数的概念得出()(0)1f x f k x ->>，用11x k =-代入可判断出1111f k k ⎛⎫>⎪--⎝⎭，即可判断答案． 【考点】函数的单调性与导数的关系第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】80【解析】5(2)x +的展开式的通项公式为5152r r r r T C x -+=g g ，令52r -=，求得3r =，可得展开式中2x 项的系数为335280C =g ，【提示】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于2，求得r 的值，即可求得展开式中的2x 项的系数． 【考点】二项式定理 12.【答案】7【解析】因为锐角ABC △的面积为，且5AB =，8AC =，所以158sin 2A ⨯⨯⨯=，所以sin A =所以60A =︒，所以1cosA =， 所以7BC ==【提示】利用三角形的面积公式求出A ，再利用余弦定理求出BC ． 【考点】余弦定理的应用 13.【答案】512【解析】由已知，矩形的面积为4(21)4⨯-=，阴影部分的面积为22321115(4)433x dx x x ⎛⎫⎰-=-= ⎪⎝⎭由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于512； 【提示】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式解答． 【考点】定积分的简单应用，几何概型 14.【答案】(1,2]【解析】由于函数6,2()(01)3log ,2a x c f x a a x x -+≤⎧=>≠⎨+>⎩且的值域是[4,)+∞， 故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，∴log 1a x ≥，∴log 21a ≥，∴12a <≤ 综上可得，12a <≤，【提示】当2x ≤时，满足()4f x ≥．当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，即log 1a x ≥，故有log 21a ≥，由此求得a 的范围，综合可得结论． 【考点】对数函数的单调性与特殊点 15.【答案】5【解析】依题意，二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101， ①若1k =，则12345670101101x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得45671x x x x ⊕⊕⊕=，故1k ≠；②若2k =，则12345671001101x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得23671x x x x ⊕⊕⊕=，故2k ≠；③若3k =，则12345671111101x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得23671x x x x ⊕⊕⊕=，故3k ≠；④若4k =，则12345671100101x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得13571x x x x ⊕⊕⊕=，故4k ≠；⑤若5k =，则12345671101001x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得4567236713570,0,0x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=， 故5k =符合题意；⑥若6k =，则12345671101111x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得23671x x x x ⊕⊕⊕=，故6k ≠；⑦若7k =，则123456110110x x x x x x ======，，，，，，70x =， 从而由校验方程组，得23671x x x x ⊕⊕⊕=，故7k ≠； 综上，k 等于5【提示】根据二元码127x x x L 的码元满足的方程组，及“⊕”的运算规则， 将k 的值从1至7逐个验证即可． 【考点】通讯安全中的基本问题 三、解答题16.【答案】52【考点】离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率乘法公式． 【提示】（1）根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）随机变量X 的取值为：1，2，3，分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望． 【解析】（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则5431()=6542P A =⨯⨯．（2）有可能的取值是1，2，3 又则1(1)6P X ==， 511(2)656P X ==⨯=，542(3)653P X ==⨯=1236632EX =⨯+⨯+⨯=17.【答案】（1）见解析（2）23【解析】解法一：（1）如图，取AE 的中点H ，连接HG ，HD ， ∵G 是BE 的中点，∴GH AB ∥，且12GH AB =， 又∵F 是CD 中点，四边形ABCD 是矩形， ∴DF AB ∥，且12DF AB =，即GH DF ∥，且GH DF =， ∴四边形HGFD 是平行四边形，∴GF DH ∥，又∵DH ADE ⊂平面，GF ADE ⊄平面，∴GF ADE ∥平面． （2）如图，在平面BEG 内，过点B 作BQ CE ∥， ∵BE EC ⊥，∴BQ BE ⊥，又∵AB BEC ⊥平面，∴AB BE ⊥，AB BQ ⊥，以B 为原点，分别以BE uur ，BQ uu u r ，BA uu r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,2)(0,0,0)2,0,0)(2,2,1)(A B E F ，，， ∵AB BEC ⊥平面，∴(0,0,2)BA =uu r为平面BEC 的法向量，设(,,)n x y z =r为平面AEF 的法向量．又(2,0,2)BE =-uur ，(2,2,1)AF =-uuu r由垂直关系可得220220n AE x z n AF x y z ⎧==-=⎪⎨==+-=⎪⎩r uu u r r uuu r，取2z =可得(2,1,2)n =-r ． ∴2cos ,3||||n BA n BA n BA 〈〉>=r uu rr uu r g r uu r∴平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23． 解法二：（1）如图，取AB 中点M ，连接MG ，MF ， 又G 是BE 的中点，可知GM AE ∥，且12GM AE =又AE ⊂平面ADE ，GM ⊄平面ADE ， ∴GM ∥平面ADE ．在矩形ABCD 中，由M ，F 分别是AB ，CD 的中点可得MF AD ∥． 又AD ⊂平面ADE ，MF ⊄平面ADE ，∴MF ADE ∥平面． 又∵GM MF M =I ，GM ⊂平面GMF ，MF GMF ⊂平面∴平面GMF ADE ∥平面，∵GF GMF ⊂平面，∴GF ADE ∥平面 （2）同解法一．【提示】解法一：（1）取AE 的中点H ，连接HG ，HD ，通过证明四边形HGFD 是平行四边形来证明GF DH ∥，由线面平行的判定定理可得；（2）以B 为原点，分别以BE uur ，BQ uu u r，BA uu r 的方向为x 轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面BEC 和平面AEF 的法向量，由向量夹角的余弦值可得．解法二：（1）如图，取AB 中点M ，连接MG ，MF ，通过证明平面GMF ∥平面ADE 来证明GF ∥平面ADE ； （2）同解法一．【考点】用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定．18.【答案】（1）22142x y +=（2）见解析【解析】解法一：（1）由已知得222b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2a b c =⎧⎪⎨==⎪⎩，∴椭圆E 的方程为22142x y +=． （2）设点11)(A x y ，22)(,B x y ，AB 中点为00)(,H x y ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为22(2)230m y my +--=，∴12222m y y m +=+，12232y y m -=+，∴022m y m =+． 9,04G ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴222222200000095525||(1)44216GH x y my y m y my ⎛⎫⎛⎫=++=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．222222212121212012()()(1)[()4]||(1)()444x x y y m y y y y AB m y y y -+-++-===+-， 故222222012222||52553(1)25172||(1)042162(2)21616(2)AB m m m GH my m y y m m m ++-=+++=-+=>+++. ∴2||||2AB GH >，故G 在以AB 为直径的圆外． 解法二：（1）同解法一．（2）设点11)(A x y ，22)(,B x y ，则119,4GA x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭uu r ，229,4GB x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭uu u r ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为222)230(m y my +--=，∴12222m y y m +=+，12232y y m -=+，从而12129944GA GB x x y y ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭uu r uu u r g12125544my my y y ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21212525(1)()416m y y m y y =++++22222253(1)2517202(2)21616(2)m m m m m m ++=-+=>+++ ∴0GA GB >uu r uu u r g 又GA uu r ，GB uu u r不共线，∴AGB ∠为锐角．故点9,04G ⎛⎫- ⎪⎝⎭在以AB 为直径的圆外．【提示】解法一：（1）由已知得2222b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得即可得出椭圆E 的方程．（2）设点11)(,A x y ，22)(,B x y ，AB 中点为00(),H x y ．直线方程与椭圆方程联立化为22(2)230m y my +--=，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：022m y m =+．222009||4GH x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．2221212(1)[()4]||44m y y y y AB ++-=，作差22|||4|AB GH -即可判断出． 解法二：（1）同解法一．（2）设点1122(,(,))A x y B x y ，，则119=,4GA x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭uu r ，229=,4GB x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭uu u r ．直线方程与椭圆方程联立化为22(2)230m y my +--=，计算12129944GA GB x x y y ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭uu r uu u r g即可得出AGB ∠，进而判断出位置关系． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 19.【答案】（1）()2sin f x x =ππ()2x k k =+∈Z（2）（i）( （ii ）见解析【解析】（1）将c (s )o x g x =的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到2cos y x =的图象，再将2cos y x =的图象向右平移π2个单位长度后得到π2cos 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故()2sin f x x =，从而函数()2sin f x x =图象的对称轴方程为ππ()2x k k =+∈Z ．（2）（i）()()2sin cos )f x g x x x x x x ϕ⎫+=++=+⎪⎭（其中sin ϕ=cos ϕ=依题意，in )(s x ϕ+在区间[0,2π)内有两个不同的解αβ，，1<，故m的取值范围是(． （ii ）因为αβ，)x m ϕ+=在区间[0,2π)内的两个不同的解，所以sin()αϕ+=，sin()βϕ+=．当1m ≤<时，π22αβϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即π2()αββϕ-=-+；当1m <时，23π2αβϕ+=-⎛⎫⎪⎝⎭，即3π2()αββϕ-=-+；所以2222cos()cos2()2sin ()12115m αββϕβϕ-=-+=+-=-=-．【提示】（1）由函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律可得：()2sin f x x =，从而可求对称轴方程．（2）（i ）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得：()())f x g x x ϕ+=+（其中sin ϕ=，cos ϕ=，1<，即可得解．（ii）由题意可得sin()αϕ+=，sin()βϕ+=当1m ≤π2()αββϕ-=-+，当0m <时，可求3π2()αββϕ-=-+，由2cos()2sin ()1αββϕ-=+-，从而得证． 【考点】三角函数中的恒等变换应用，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换． 20.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）见解析【解析】（1）证明：令()()ln(1)f x f x x x x =-=+-，0x ≥ 则有1()111xf x x x '=-=-++， ∵0x ≥，∴()0f x '≤，∴()f x 在[0,)+∞上单调递减， ∴当,()0x ∈+∞时，有()(0)0f x f =＜， ∴0x >时，()f x x <；（2）证明：令()()ln(1())g x f x g x x kx =-=+-，,()0x ∈+∞，则有1(1)()11kx k g x k x x -+-'=-=++，当0k ≤时，()0g x '>， ∴()g x 在(0,)+∞上单调递增， ∴()(0)0g x g >=，故对任意正实数0x 均满足题意．当01k <<时，令()0g x '=，得1110k x k k-==->．取011x k =-，对任意0)(0,x x ∈，恒有()0g x '>，∴()g x 在0(0,)x 上单调递增，()(0)0g x g >=，即()()f x g x >．综上，当1k <时，总存在00x >，使得对任意的0)(0,x x ∈，恒有()()f x g x >； （3）解：当1k >时，由（1）知，对于任意,()0x ∈+∞，()()x g x f x >>， 故()()g x f x >，()()()()ln(1)f x g x g x f x kx x -=-=-+， 令2ln(1)()M x kx x x =-+-，,()0x ∈+∞，则有212(2)1()211x k x k M x k x x x -+-+-'=--=++，故当x ⎛ ∈ ⎝⎭时，()0M x '>，()M x在0⎡⎢⎣⎢⎭上单调递增，故()(0)0M x M >=，即2()()||f x x g x ->，∴满足题意的t 不存在． 当1k <时，由（2）知存在00x >，使得对任意的0(0,)()()f x x x g x ∈>，． 此时|()()|()()ln(1)f x g x f x g x x kx -=-=+- 令2ln(1)0(),)[N x kx x x x =+--∈+∞，，则有212(2)121(1)x x k x k N k x x x--+-+'=--=++， 故当x ⎛ ∈ ⎝⎭时，0()N x '>，()N x在⎡⎢⎢⎭⎣上单调递增，故()(0)0N x N >=， 即2()()x f x g x ->，记0x1x ，则当1)(0,x x ∈时，恒有2()()||f x x g x ->，故满足题意的t 不存在．当1k =，由（1）知，当,()0x ∈+∞时，()()|()|()ln(1)f x g x g x f x x x =-=-+-， 令2ln(1)([0),)H x x x x x =-+-∈+∞，，则有2121)121(x xH x x xx --'=--=++， 当0x >，()0H x '<，∴()H x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0H x H <=， 故当0x >时，恒有2()()||f x x g x -<，满足0t >的实数t 存在． 综上，1k =【提示】（1）令()()ln(1)f x f x x x x =-=+-，0x ≥，求导得到()0f x '≤， 说明()f x 在[0,)+∞上单调递减，则0x >时，()f x x <；（2）令(()ln (1))()f x g x g x x kx =-=+-，,()0x ∈+∞，可得0k ≤时，()0g x '>， 说明()g x 在(0,)+∞上单调递增，存在00x >，使得对任意0)(0,x x ∈，恒有()()f x g x >； 当01k <<时，由()0G x '=求得1110k x k k-==->． 取011x k=-，对任意0)(0,x x ∈，恒有()0g x '>，()g x 在上单调递增， ()0)0(g x g >=，即()()f x g x >；（3）分1k >、1k <和1k =把不等式2|()()|f x g x x -<的左边去绝对值， 当1k >时，利用导数求得2|()()|f x g x x ->，满足题意的t 不存在．当1k <时，由（2）知存在00x >，使得对任意的任意0()0,x x ∈，()()f x g x >． 令2()(ln 1)N x x x x k =+--，,[)0x ∈+∞，求导数分析满足题意的t 不存在． 当1k =，由（1）知，当,[)0x ∈+∞时，()|()()()n |l (1)g x f x x f x x x g -=-=-+， 令2()ln(1)H x x x x =-+-，,[)0x ∈+∞，则有0x >，()0H x '<，()H x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0H x H =＜，说明当0x >时，恒有2|()()|f x g x x -<，此时，满足0t >的实数t 存在．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用21.【答案】（1）312221⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭（2）32223⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭【解析】（1）因为||23142A =⨯-⨯=，所以131312222422122A --⎛⎫⎛⎫ ⎪-⎪==⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）由AC B =得11()A A C A B --=，故1313112222012123C B A -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭---⎝⎭⎝⎭． 【提示】（1）求出矩阵的行列式，即可求A 的逆矩阵1A -； （2）由AC B =得11()A A C A B --=，即可求矩阵C ，使得AC B =． 【考点】逆变换与逆矩阵22.【答案】（1）22(1)(2)9x y -++=0x y m -+=（2）3-±【解析】（1）消去参数t ，得到圆的普通方程为22(1)(2)9x y -++=，πsin 4m θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 0m ρθρθ--=，所以直线l 的直角坐标方程为：0x y m -+=.（2）依题意，圆心(1,2)C -到直线0l x y m -+=:的距离等于22=，解得3m =-±．【提示】（1）直接利用极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普通方程的互化求解即可． （2）直接利用点到直线的距离个数求解即可． 【考点】圆的参数方程，简单曲线的极坐标方程． 23.【答案】（1）4 （2）87【解析】（1）因为|()|||||()()||f x x a x b c x a x b c a b c =++-+≥+--+=++， 当且仅当a x b -≤≤时，等号成立，又00a b >>，，所以||a b a b +=+， 所以()f x 的最小值为a b c ++，所以4a b c ++=；（2）由（1）知4a b c ++=，由柯西不等式得，2222211(491)231()164923a b a b c c a b c ⎛⎫⎛⎫++++≥++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g g， 即222118497a b c ++≥ 当且仅当1132231b a c ==，即87a =，187b =，27c =时，等号成立．所以2221149a b c ++的最小值为87．【提示】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值； （2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值． 【考点】一般形式的柯西不等式。
福建省德化一中、安溪一中2015届高三数学摸底考试试卷 理
某某省德化一中、安溪一中2015届高三数学摸底考试试卷 理考试科目：理科数学 满分：150分，考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求． 1．已知i 为虚数单位，则2(1)i -的值等于A.22i -B.22i +C.2i -D.2i2．“sin 1x =”是“cos 0x =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．1xe dx ⎰的值等于A.eB.1e -C.1e -D.1(1)2e - 4．已知,a b ∈+R 且1a b +=，则ab 的最大值等于A ．1B ．14C ．12D ．225．等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n S n =，则其公差d 等于A ．2B ．4C ．±2D ．±4 6．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是A ．()sin f x x =B ．()cos f x x =C ．()x f x x=D ．2()f x x = 7．已知(),x y 满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则1y k x =+的最大值等于A ．12B ．32C ．1D ．148．已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体中相互垂直的棱共有 A ．3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对9．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线C 在第二象限的交点为P ，若双曲线的离心率为5，则21cos PF F ∠等于俯视图左视图主视图A ．35B ．34C ．45D ．56 10．将ln y x =的图象绕坐标原点O 逆时针旋转角θ后第一次与y 轴相切，则角θ满足的条件是 A ．esin θ= cos θ B ．sin θ= ecos θ C ．esin θ=lD ．ecos θ=1第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 11．在6(1)x +的展开式中，含4x 的项的系数是___． 12．已知22222222221111123,12235,123347,1234666=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯++=⨯⨯⨯+++14596=⨯⨯⨯，则22212n +++=___（其中n ∈*N ）． 13. 某次测量发现一组数据(,)i i x y 具有较强的相关性，并计算得1y x =+，其中数据0(1,)y 因书写不清，只记得0y 是[]0,3任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于１的概率为___．（残差=真实值-预测值）14．已知ABC ∆的三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、．若△ABC 的面积222S b c a =+-，则tan A 的值是___．15．定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ（λ∈R ），使得对任意的x ∈R ，都有()()f x f x λλ+=，则称()y f x =为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题为真命题的是___（写出所有真命题对应的序号）．①若函数()y f x =是倍增系数2λ=-的倍增函数，则()y f x =至少有1个零点； ②函数()21f x x =+是倍增函数，且倍增系数1λ=；③函数()xf x e -=是倍增函数，且倍增系数(0,1)λ∈.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）已知函数()()f x x ()sin =+>≤≤ωϕωϕπ00，为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015年春德化一中期末考试高二数学（理）试卷卷面总分：150分 考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把正确答案的字母填在答题卡中．） 1.已知i 为虚数单位，(2i)z 12i +=+，则z 的共轭复数z =( ) A.43i 55+ B. 4i 3+ C. 43i 55- D.4i 3- 2. 设随机变量ξ服从正态分布p p N =>)1(1,0ξ），（，则)01(<<-ξP =( ) A.12p B ．12p - C ．1－2p D. 1－p 3. 函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( ) A ．2B ．3C ．4D ．54. 某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽的概率是( )A.12125B.16125C.48125D.96125 5. 用数学归纳法证明不等式：2413212111>+++++n n n （1>n ，*∈N n ），在证明1+=k n 这一步时，需要证明的不等式是（ ）A ．2413212111>+++++k k kB ．2413121213111>+++++++k k k kC ．2413121213121>+++++++k k k k D ．2413221121213121>+++++++++k k k k k 6. (x －2x)6的展开式中的常数项为（ ）A ．240B ．-240C ．72D ．－727. 从0,1,2,3,4,5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有( )A.40个B.36个C.28个D.60个8. 已知0x >，*n N ∈，由下列结论12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，得到一个正确的结论可以是( )A. 21n n x n x +≥+B.2nn x n x+≥C.nn n x n x +≥D.1nn n x n x+≥+9.若7270127(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+++++⋅⋅⋅++，则1a 等于( )A 、－14B 、448C 、－1024D 、－1610. 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则||QF =( ) A.83 B. 52C. 3D. 2 11．已知1F ，2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ，若21MF F ∠为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（ ）Ａ． Ｂ．∞）Ｃ．1,2（） Ｄ．),2(∞+ 12. 设函数)(x f y =的定义域为D ，若对于任意1x 、D x ∈2，当a x x 221=+时，恒有b x f x f 2)()(21=+，则称点),(b a 为函数)(x f y =图像的对称中心．研究函数3sin )(-+=x x x f π的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20144027201440262014220141f f f f 的值为（ ） A ．8054- B ．4027- C ．4027 D ．8054二、填空题（本大题共6道题，每小题5分，共30分）13.曲线21y x =-与直线2,0x y ==所围成的区域的面积为 . 14.某地区恩格尔系数（表示生活水平高低的一个指标）(%)y 与年份x 的统计数据如下表:从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归直线方程为ˆˆ4055.25ybx =+，据此模型可预测2015年该地区的恩格尔系数为 %．15．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则()P B A =16.一牧场有10头牛,因误食含有病毒的饲料而被感染,已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ,则()D ξ等于 17．我们把形如()()x y f x ϕ=的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得()ln ln ()()ln ()x y f x x f x ϕϕ==，两边对x 求导数，得()()ln ()(),()y f x x f x x y f x ϕϕ'''=+于是()()()[()ln ()()]()x f x y f x x f x x f x ϕϕϕ'''=+， 运用此方法可以求得函数(0)xy x x =>在（1，1）处的切线方程是18. 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不．左右相邻，那么不同排法的种数是 . 三、解答题（本大题共5道题，共60分）19、（本小题满分12分）已知函数m x x f -=)(,关于x 的不等式3)(≤x f 的解集为［-1,5］ (Ⅰ)求实数m 的值；(Ⅱ)若实数c b a ,,满足m c b a =+-2，求222c b a ++的最小值．20.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. 已知曲线14cos :3sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），28cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程， （Ⅱ）若1C 上的点P 对应的参数为π2t =，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线3:(cos 2sin )7C ρθθ-=距离的最小值.21.（本小题满分12分）为了分流地铁高峰的压力，市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过22公里的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里.已知甲、乙乘车不超过6公里 的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为12，13. （Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．22. (本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>直线l 与x轴交于点E ，与椭圆C 交于A 、B 两点. 当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时， 弦AB的长为3. （1）求椭圆C 的方程； （2）若点E的坐标为，点AA 与原点O 的直线交椭圆C 于另一点P ，求PAB ∆的面积； （3）是否存在点E ，使得2211EA EB +为定值？若存在，请指出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.23. (本小题满分12分) 已知函数21()ln (1)(0)2f x a x x a x x =+-+>，其中a 为实数. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围. （3）证明，对于任意的正整数,m n ，不等式111ln(1)ln(2)ln()()nm m m n m m n ++>++++ 恒成立.2015年春德化一中期末考试高二数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）CBDCD ABDBA DA二、填空题（本大题共6道题，每小题5分，共30分）13.4314. 25.25 15. 14 16. 0.196 17. x y = 18. 34619、（本小题满分12分）解：(Ⅰ)由3≤-m x 得：m x m +≤≤+-33 ⎩⎨⎧=+-=+-∴5313m m 即2=m(Ⅱ)根据柯西不等式得：()()[]()22222222121c b a c b a +-≥+-+++∵22==+-m c b a ， ∴32222≥++c b a , 当121c b a =-=，即31,32,31=-==c b a 时取等号 ∴222c b a ++的最小值为3220. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）222212:(4)(3)1,:1649x y C x y C ++-=+= （Ⅱ）当π2t =时，(4,4),(8cos ,3sin )P Q θθ- 故3(24cos ,2sin )2M θθ-++3C 为直线270x y --= M 到3C 的距离3sin 13d θθ=--从而当43cos ,sin 55θθ==-时，d 21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为14，13则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率111111114323433P =⨯+⨯+⨯= 所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率1121133P P =-=-= （Ⅱ）由题意可知，6,7,8,9,10ξ= 则111(6)4312P ξ==⨯=11111(7)43234P ξ==⨯+⨯=1111111(8)4343233P ξ==⨯+⨯+⨯=11111(9)23434P ξ==⨯+⨯=111(10)4312P ξ==⨯=所以ξ的分布列为则11111()67891081243412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 22. （本小题满分12分） 解：（1）由c a =，设3(0)a k k =>，则c =，223b k =， 所以椭圆C的方程为2222193x y k k +=，因直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C的右焦点，即A B x x ==，代入椭圆方程，解得y k =±，于是2k =k =，所以椭圆C的方程为22162x y += （2）将x =22162x y +=，解得1y =±，因点A 在第一象限，从而A ， 由点E 的坐标为(2，所以AB k =，直线PA 的方程为2yx =-，联立直线PA 与椭圆C 的方程，解得7()5B-， 又PA 过原点O ，于是(1)P -，4PA =，所以直线PA 的方程为0x =，所以点B 到直线PA的距离h =，14255PAB S ∆=⋅⋅=（3）假设存在点E ，使得2211EA EB+为定值，设0(,0)E x ， 当直线AB 与x 轴重合时，有202222012211(6)x EA EB x ++==-， 当直线AB 与x 轴垂直时，222200112662(1)6x EA EB x +==--，由20222001226(6)6x x x +=--，解得0x =，20626x =-， 所以若存在点E，此时(E ，2211EA EB+为定值2. 根据对称性，只需考虑直线AB过点E ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 又设直线AB的方程为x my =C 联立方程组，化简得22(3)30m y ++-=，所以12y y +=，12233y y m -=+，又222222111111(1)EA m y y m y ===++， 所以212122222222221212()21111(1)(1)(1)y y y y EA EB m y m y m y y +-+=+=+++， 将上述关系代入，化简可得22112EA EB +=.综上所述，存在点(E ，使得2211EA EB +为定值2 23 （本小题满分12分）解：（1）()(1)()(0)x a x f x x x--'=>当0a ≤时，()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增当01a <<时，()f x 在(0,)a ，(1,)+∞上递增，在(,1)a 上递减 当1a =时，()f x 在(0,)+∞上递增当1a >时，()f x 在(0,1)，(,)a +∞上递增，(1,)a 上递减（2）由（1）知当0a ≤时11()(1)0,22f x f a a ≥=--≥∴≤-当0a >时，1(1)0,()02f a f x =--<∴≥不恒成立综上：12a ≤-（3）由（2）知12a =-时，()0f x ≥恒成立2111ln 0222x x x -+-≥ ln (1)x x x ∴≤-当且仅当1x =时以“=”1x ∴>时，11ln (1),ln (1)x x x x x x <->- 1111ln(1)(1)1m m m m m ∴>=-+++ 1111ln(2)(1)(2)12m m m m m >=-+++++ ……1111ln()()(1)1m n m n m n m n m n >=-+++-+-+ 11111ln(1)ln(2)ln(1)()nm m m m m n m m n ∴+++>-=+++++。