人教版八年级(下册)四边形解题技巧
最新人教版八年级数学下册 解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法
∴∠APB＝∠APP′＋∠BPP′
＝90°＋45°＝135°.
思路二：同思路一的方法．
【类比探究】如图②，将△BPC绕点B逆时针旋转 90°，得到△BP′A，连接PP′，
∴△ABP′≌△CBP，
∴∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝1， AP′＝CP＝ 11 .
在Rt△PBP′中，BP＝BP′＝1，
BE PM BC PN BC EH S△BPC＝S△BEC，∴ ＋ ＝ .又 2 2 2 PM EH PN ∵BE＝BC，∴ ＋ ＝ ，即PM＋PN ＝ 2 2 2
EH.∵△BEH为等腰直角三角形，且BE＝ BC＝1，∴EH＝
2 2
，∴PM＋PN＝
2 . 2
◆类型二
正方形中利用旋转性解题
4．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点 O，P为正方形ABCD外一点，且BP⊥CP，连接OP. 求证：BP＋CP＝OP.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°.将△OCP顺时针旋转90° 至△OBE(如图所示)，
∴OE＝OP，BE＝CP，
∠OBE＝∠OCP，∠BOE＝∠COP. ∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°. ∵∠BOC＋∠OBP＋∠BPC＋∠OCP＝360°，
∴BP＋CP＝ 2 OP.
5．(2018· 烟台中考)【问题解决】一节数学课上，老
师提出了这样一个问题：如图①，点P是正方形 ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3.你能求出
∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成
了如下思路： 思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到
△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；
思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到 △CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数． 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程． 【类比探究】如图②，若点P是正方形ABCD外一点，
数学人教版八年级下册平行四边形的性质—平行线间的距离及等面积问题
n m平行四边形的性质—— 平行线间的距离及等面积问题设计人：遵义市第五十三中学 龙文艳一、教材分析：平行线间的距离处处相等是人教版八年级下册第十八章第一节《平行四边形》中平行四边形的性质的一个推论，在等面积问题以及一些相似问题的运用中，这个知识点运用比较广泛，尤其是将一些不便于求解面积的图形问题转化为便于求解的图形问题时，常常会用到这一知识点。
在本教学设计中，我对这堂课进行了教材整合，我将平行线间涉及三角形面积的问题归纳在一起在这一堂课中展示，这样，便于解题方法的总结。
本节课就平行四边形的性质而推导得出平行线间的距离处处相等，然后将涉及这一知识点的相关三角形的面积问题加以整合，在教学过程中，我把对学生的数学转化思想的培养作为重点.二、教学目标：1、让学生在探究归纳中，理解并掌握平行线间距离处处相等的性质；2、通过实例，教会学生运用“平行线间的距离处处相等”来解决一般三角形的面积问题；3、在图形的变换中，体会数学中的转换思想，培养学生的逻辑思维能力.三、教学重难点：重点：将一些不便于求解面积的三角形问题转化为便于求解的三角形问题的方法； 难点：在图形的转化过程中，体会并运用数学几何图形的转化思想.四、教学过程： （一）情境创设：如图，山坡上有两棵树，它们在直线AB 上，你能测量出两棵树距离有多远吗？（二）出示学习目标4、理解并掌握平行线间距离处处相等的性质；5、会运用平行线间距离处处相等解决一般三角形的面积问题；6、在图形的变换中体会数学中的转换思想. （三）自主学习： 1、知识准备：（1）三角形的面积公式是 。
（2）点到直线的距离是指过这个点所作直线的垂线段的 。
（3）两平行线间的距离是指 ，如图，m ∥n ，则直线m 与直线n 之间的距离是 。
（4）平行四边形中，对边 .同时，每一组对边都是另一组对边之间的平行线段，因此上述结论可以这样说：平行线之间的平行线段相等.2、解决情境创设中的问题。
人教版八年级数学(下册)四边形知识要点突破及课本拓展
图2BCA DO平行四边形的性质1要点突破：1、平行四边形有两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
如图1，平行四边形用“ ”表示，平行四边形ABCD记为 ABCD。
平行四边形具有如下特点：（1）首先是四边形；（2）其次是两组对边分别平行。
延伸：用英文字母表示平行四边形要按字母顺序依次表示各顶点，切记不能乱。
2、平行四边形性质1（1）平行四边形的对边平行几何语言： 四边形ABCD的平行四边形，∴//AB CD,//AD BC（2）平行四边形的对边相等几何语言： 四边形ABCD的平行四边形，∴AB CD=,AD BC=（3）平行四边形的对边相等几何语言： 四边形ABCD的平行四边形，∴,A CB D∠=∠∠=∠,知识拓展：（1）在初中阶段，只有三角形，平行四边形和圆能用它们想对应的缩小图形表示，其他的图形都不可以；（2）在应用平行四边形的性质的时候“ ”后面的语言只能是“四边形ABCD是平行四边形”而不能写成“ ABCD”，因为这样不仅语言不通，因果关系也不顺畅。
（3）平行四边形的主要元素有四条边，四个角，所以研究平行四边形的性质时，要从平行四边形的边和角两方面来研究。
延伸：平行四边形的邻角互补。
平行四边形的性质2（对角线的性质）要点突破：1、平行四边形的性质（对角线的性质）平行四边形的对角线相互平分。
几何语言： 四边形ABCD的平行四边形，∴AO CO=,//BO DO（如图2）知识拓展：（1）对角线相互平分是平行四边形所特有的性质；（2）在平行四边形中证明线段相等，一般都与边和对角线有关系，而在证明两线段互相平分时，也常常证明由这两条对角线组成的四边形是平行四边形。
2、平行四边形性质定理及定义的应用（1）平行四边形性质定理的应用：证明线段、角、相等或三角形全等及三角形的面积相等。
（2）平行四边形定义的应用：判断四边形是平行四边形。
知识拓展：（1）平行四边形的定义既是平行四边形的性质，又是平行四边形的判定方法。
八年级下册四边形解题技巧
四邊形解題技巧一、平行四邊形應用舉例平行四邊形具有對邊平行且相等、對角相等、對角線互相平分等性質，它們在計算、證明中都有廣泛的應用，現舉例說明．1．求角的度數例1 如圖，ABCD中．AD=2AB，點E、A、B、F在一條直線上，且EA＝AB＝BF，求∠DOC的度數．例2 （2007·河北）如圖，若ABCD與EBCF關于BC所在直線對稱，∠ABE=90°，則∠F=______．2．求線段的長例3 如圖，在四邊形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠A=120°，GAGGAGAGGAFFFFAFAF∠B＝60°，∠BCD＝∠150°，求AD的長．例4 (2006·河北)如圖，在DABCD中，AD＝5，AB=3，AE 平分∠BAD交BC邊于點E，則線段BE、EC的長度分別為( ) A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和43．求周長例5 (2006·日照)如圖，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF= 45°，且AE+AF=22，求ABCD的周長．4．求第三邊的取值范圍例6 (2006·雙柏)如圖，在ABCD中，對角線AC和BD相交于點0，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范圍是( )A．10<m<12 B．2<m<22 C．l<m<ll D．5<m<6GAGGAGAGGAFFFFAFAF5．綜合計算題例7 如圖,ABCD的周長為26310 ，BC的長為35，AE⊥BC 于E，AF⊥DC，垂足為DC延長線上的點F，AE=3．求：(1)∠D的度數；(2)AF的長．6．探索題例8 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD的平分線CF 交邊AB于點F，∠ADC的平分線DG交邊AB于點G，且DG 與CF交于點E．請你在已知條件的基礎上再添加一個條件，使得△EFG為等腰直角三角形，并說明理由．二、添作中位線，妙證幾何題三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半．這是三角形的一條很重要的性質，它包含GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF了位置與數量兩種關系．在題中，若有線段的中點，可過中點作第三邊的平行線或取另一邊中點構造中位線，運用中位線定理，實現線段或角的轉移，從而迅速找到解題突破口，往往會使得某些看似無法解決的幾何題化難為易，迎刃而解．例9 如圖，在△ABC 中，AB <AC ，點D 在AC 上，且有CD =AB ，E 、F 分別是AD 和BC 的中點，連結EF 并延長與BA 的延長線相交于點G ，求證：AE =AG ．例10 如圖，在四邊形ABCD 中，AC 、BD 相交于點O ，且AC =BD ，E 、F 分別是AD 、BC 的中點，EF 分別交AC 、BD 于M 、N ．求證：∠OMN =∠ONM .例11 如圖，△ABC 中，AD 是BC 邊上的中線，E 是AD 的中點，BE 的延長線交AC 于點F ，求證：AC AF 31.GAGGAGAGGAFFFFAFAF例12 如圖，△ABC 的中線AD 、BE 相交于點G ，求證：CEGD ABG s S 四边形=∆.三、巧算與矩形有關的面積題解答這類問題可考慮用未知數表示某些線段，構造方程來求解．例13 如圖，矩形ABCD 的面積為S ，E 是AB 的四等分點，F 是BC 的三等分點，G 是CD 的中點，則△EFG 的面積為______．例14 如圖，矩形ABCD 中，E 是BC 上的點，F 是CD 上的點，且ABE s ∆ABCD ADF s s 矩形31==∆，則CEF AEFs s ∆∆等于( )A .2B .3C .4D .5四、折疊問題近幾年一些省市的中考題中出現了很多有關矩形紙片折疊的問題．由于這類問題的實踐性強，需要同學們通過動手操作去發現解決問題的方法．其規律為利用折疊前后線段、角的對應相等關系，構造直角三角形利用勾股定理來求解．以下面例題加以說明．例15 矩形紙片ABCD中．AD=4 cm，AB=10 cm，按如圖所示的方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則DE=______cm．例16 將矩形ABCD沿AE折疊，得到如圖所示的圖形，已知∠CED'=60°，則∠AED的大小是( )A．60° B．50° C．75° D．55°GAGGAGAGGAFFFFAFAF例17 如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果將該矩形沿對角線BD折疊，那么圖中陰影部分的面積是多少？五、路在何方我們知道如果直線m∥n，A、B為直線n上的兩點，C、P為直線m上的兩點(如圖)，容易根據平行線之間的距離處處相等及同底等高的兩個三角形面積相等的知識，得到兩對面積相等的三角形，即△ABC和△ABP面積相等；△CPA和△CPB面積相等，還有一對面積相等的三角形，你知道嗎？我們進一步看：如果A、B、C為三個定點，點P在m上移動，那么無論點P移動到任何位置，總有△ABP與△ABC 的面積相等，理由：因為平行線間的距離相等，所以無論點P在m上怎么移動，總有△ABP與△ABC的同底等高，因此，它們的面積總相等．GAGGAGAGGAFFFFAFAF例18 如左圖，五邊形ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經過多年開墾荒地，現已變成如右圖所示形狀，但承包土地與開始荒地的分界小路(圖中折線CDE)還保留著，為了便于通行，張大爺想過E點修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多，請你用有關數學知識，按張大爺的要求設計出修路方案（不計分界小路與直路的占地面積）．(1)寫出設計方案，并在圖中畫出相應的圖形；(2)說明方案設計理由．六、聚焦閱讀理解題閱讀綜合理解題主要考查同學們對“新事物”“新知識”的接受和理解能力，也考查同學們運用所學知識來解決“新事物”“新知識”的能力．解決這類綜合問題的關鍵是合理運用所學知識來理解題目，從而做到正確解題。
四边形面积最值问题解题技巧
四边形面积最值问题解题技巧
解决四边形面积最值问题，可以使用以下技巧：
1. 首先，计算四边形的面积公式。
对于一般的四边形，可以使用海龙公式或狄利克雷公式来计算面积。
如果是特殊的四边形（如矩形、平行四边形等），则可以使用其特定的面积公式。
2. 确定四边形的类型。
不同类型的四边形有不同的性质和限制条件，因此需要根据具体情况采用不同的方法求解。
3. 利用不等式技巧。
对于某些特定的四边形类型，可以运用不等式技巧来求解其最大或最小面积。
例如，对于一个长方形，可以利用不等式“算术平均数大于等于几何平均数”来证明其最大面积出现在正方形时。
4. 画图分析。
通过画图来理解和分析四边形的性质和限制条件，可以更加直观地找到最大或最小面积。
同时，画图也可以帮助我们发现一些规律和特点，为解决问题提供思路和启示。
总之，在解决四边形面积最值问题时，需要结合具体情况选择合适的方法和技巧，充分利用已知条件和性质来求解。
同时，需要多加练习，不断提高自己的数学水平和解题能力。
初二数学四边形的折叠问题技巧
初二数学四边形的折叠问题技巧摘要：1.引言2.四边形折叠问题的基本概念3.解题步骤与技巧4.常见题型分析5.总结与建议正文：【引言】四边形的折叠问题一直是初二数学中的热点和难点，很多同学在面对这类问题时感到无从下手。
其实，只要掌握一定的解题技巧和方法，四边形的折叠问题就可以变得不再神秘。
本文将为你详细解析四边形折叠问题的解题技巧，助你轻松应对这类题目。
【四边形折叠问题的基本概念】四边形折叠问题是指在平面几何中，将一个四边形通过折叠变换成为一个平面图形，并在此基础上求解相关问题。
这类问题主要包括四边形的折叠、展开、切拼等操作，以及与这些操作相关的性质和定理。
【解题步骤与技巧】1.分析题意：首先要对题目进行仔细阅读，了解题目所给出的条件和要求。
2.画图辅助：对于复杂的题目，可以通过画图来辅助理解和解题。
画出四边形折叠后的图形，有助于找出解题的关键信息。
3.寻找关系：分析题目中所给条件，找出四边形折叠前后的关系，如对应边相等、对应角相等等。
4.运用定理和公式：根据找出的关系，运用相关定理和公式进行计算和证明。
5.归纳总结：在解题过程中，要不断总结经验和规律，以便在遇到类似题目时能够迅速找到解题思路。
【常见题型分析】1.四边形折叠后的对边相等问题：根据折叠性质，折叠前后四边形的对边相等，可以通过这一性质求解相关问题。
2.四边形折叠后的角度问题：根据折叠性质，折叠前后四边形的对应角相等，可以通过这一性质求解相关问题。
3.切拼四边形问题：通过对四边形进行切拼操作，将其变为已知图形，进而求解相关问题。
【总结与建议】四边形的折叠问题虽然看似简单，但实际上涉及到的知识点较多。
要想掌握这类问题，需要同学们在平时的学习中多加练习，熟练掌握相关定理和公式。
同时，要善于总结经验和规律，提高解题速度。
人教版初中数学讲义八年级下册第09讲 专题4 平行四边形(特殊的平行四边形)中的最值问题(解析版)
第09讲专题4平行（特殊）四边形中的最值问题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（）A．2B．C．3D．【解答】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∴AC•BC＝，∴＝，∴CM＝，∵点D、E分别为CN，MN的中点，∴DE＝CM＝＝，即DE的最小值是，故选：B．2．如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AD＝2AB＝8，点H，G分别是边CD，BC上的动点，连接AH，HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为．【解答】解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，过点A作AN⊥BC于点N，∴AM＝DM＝AD＝×8＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AD＝2AB＝8，∴∠D＝180°﹣∠BCD＝60°，AB＝CD＝AD＝×8＝4，∴AM＝DM＝DC＝4，∴△CDM是等边三角形，∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，∴∠MAC＝∠MCA＝∠DMC＝×60°＝30°，∴∠ACD＝∠MCA+∠MCD＝30°+60°＝90°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC＝＝＝4，在Rt△ACN中，∠ACN＝∠BCD﹣∠ACD＝120°﹣90°＝30°，∴AN＝AC＝×4＝2，∵AE＝EH，GF＝FH，∴EF是△AHG的中位线，∴EF＝AG，∵AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，∴AG的最大值为4，最小值为2，∴EF的最大值为2，最小值为，∴EF的最大值与最小值的差为2﹣＝，故答案为：．3．如图，在▱ABCD中，已知AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点Q，则线段QC的最小值为2﹣4．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，连接AC，∵AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，则AH＝AB•sin∠ABC＝4sin60°＝2，BH＝AB•cos∠ABC＝4cos60°＝2，∴CH＝BC﹣BH＝6﹣2＝4，在Rt△ACH中，AC＝＝＝2，∵点B与点Q关于直线AP对称，∴AQ＝AB＝4，∴点Q在以A为圆心AB为半径的⊙A上，∴当C、Q、A三点共线时QC最小，QC的最小值＝AC﹣AQ＝2﹣4，故答案为：2﹣4．4．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为6．【解答】解：如图所示：∵四边形PAQC是平行四边形，∴AO＝CO，OP＝OQ，∵PQ最短也就是PO最短，过点O作OE⊥AB，当点P与E重合时，OP最短，OE即为所求，∵∠BAC＝30°，∴OE＝OA，∵AB＝AC＝12，∵AO＝AC＝×12＝6，∴OE＝3，∴PQ的最小值＝2OE＝6，故答案为：6．5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，点D，E分别是AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为（）A．12B．10C．9.6D．4.8【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，∵F，M分别是AD，DE的中点，∴FM＝，∴当AE取最小值时，FM的值最小，由垂线段最短可知，当AE⊥BC于点E时，AE的值最小，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，∴CH＝，∴BH＝＝＝8，∴＝48，又∵，∴，∴AE＝9.6，∴FM＝4.8，故选：D．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝4，P为AB边上一动点，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，∵在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4cm，∴，∵四边形PAQC是平行四边形，∴AB∥CQ，∴当PQ⊥AB时，PQ取得最小值，此时PQ＝CD＝2cm，故选：A．7．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（）A．4B．5C．6D．10【解答】解：∵点E，F分别为DM，MN的中点，∴EF是△MND的中位线，∴EF＝DN，当点N与点B重合时，DN最大，此时DN＝＝10，∴EF长度的最大值为5，故选：B．8．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD 的最小值是（）A．B．3+3C．6+D．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，∴△ADB是等边三角形，∴∠MAE＝30°，∴AM＝2ME，∵MD＝MB，∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的边长为6，∴DE＝＝＝3，∴2DE＝6．∴MA+MB+MD的最小值是6．故选：D．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，点M是点A关于直线BE的对称点，连接MD，则MD的最小值是（）A．6B．5C．4D．3【解答】解：连接BD，以点B为圆心，BA为半径作圆，交BD于点M，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝90°，∴BD＝＝10，∵点A和点M关于BE对称，∴AB＝BM＝6，∴DM＝BD﹣BM＝10﹣6＝4．故DM的最小值为4．故选：C．G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝5，则GH的最小值是7.5．【解答】解：连接AC、AP、CP，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝6，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，∴AC＝＝＝10，∵P是线段EF的中点，∴AP＝EF＝2.5，∵PG⊥BC，PH⊥CD，∴∠PGC＝∠PHC＝90°，∴四边形PGCH是矩形，∴GH＝CP，当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣2.5＝7.5，∴GH的最小值是7.5，故答案为：7.5．11．如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为．【解答】解：如图，连接AC、AE、CF、CG，在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD＝CD，DE＝DG＝EF，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDG﹣∠EDC，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG，∴AE＝CG，∴d1+d2+d3＝DE+CF+CG＝EF+CF+AE，∴当点A、E、F、C在同一直线上时（此时点F与点C重合），DE+CF+AE最小，最小值为线段AC长，在Rt△ABC中，AC＝，∴d1+d2+d3的最小值为．12．如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为．（提示：根据轴对称的性质）【解答】解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，∵四边形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分，∴点B关于AC的对称点为D，∴FD＝FB，∴FE+FB＝FE+FD≥DE．只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形．∵E为AB的中点，∴DE⊥AB，∴AE＝AD＝1，DE＝＝，∴EF+BF的最小值为．13．如图，P是Rt△ABC的斜边AC（不与点A、C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，O是MN的中点，若AB＝5，BC＝12，当点P在AC上运动时，BO的最小值是．【解答】解：连接BP，如图所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，∴∠ABC＝∠PMB＝∠PNB＝90°，∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝13，∴BP＝MN，BP与MN互相平分，∵点O是MN的中点，∴点O是BP的中点，∴BO＝BP＝MN，当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝，∴MN＝，∴BO的最小值＝MN＝，故答案为：．14．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是菱形内一动点，且满足MN＝1，连接CN，则CN的最小值为﹣1．【解答】解：过点M作MH⊥CD，交CD的延长线于点H，如图所示：在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，∴∠HDM＝∠A＝60°，∴∠HMD＝30°，∵点M是AD边的中点，∴DM＝1，∴DH＝，根据勾股定理，得HM＝，∵CD＝2，∴CH＝，根据勾股定理，得CM＝，∵MN＝1，当点N运动到线段CM上的点N′时，CN取得最小值，CN′＝CM﹣MN＝﹣1，∴CN的最小值为﹣1，故答案为：﹣1．15．如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为．【解答】解：连接OE，作OH⊥CD于点H，∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，∴AC⊥BD，OC＝OA＝AC＝12，OD＝OB＝BD＝5，∴∠COD＝90°，∴CD＝＝＝13，，∵CD•OH＝OC•OD＝S△COD∴×13OH＝×12×5，解得OH＝，∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，∴∠OFE＝∠OGE＝∠FOG＝90°，∴四边形OGEF是矩形，∴OE＝FG，∴OE≥OH，∵FG≥，∴FG的最小值为，故答案为：．16．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E，F分别是AB，DC上的动点，EF∥BC，则BF+DE最小值是（）A．13B．10C．12D．5【解答】解：延长AD，取点M，使得AD＝DM，连接MP，如图，∵EF∥BC，四边形ABCD是矩形，∴四边形AEFD和四边形EBCF是矩形，∵AD＝DM，AE＝DF，∠EAD＝∠FDM＝90°，∴△ADE≌△DMF（SAS），∴DE＝MF，∴BF+DE＝BF+FM，∵点E，F分别是AB，DC上的动点，故当B，F，M三点共线时，BF+DE的值最小，且BF+DE的值等于BM的值，在Rt△BAM中，，故选：B．17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点．且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE＝HE，HA＝4+4＝8，所以AE+DE＝DH．在Rt△ADH中，DH＝∴BF+DE最小值为4．故选：C．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，点O为MN的中点，则线段AO的最小值为（）A．4.8B．5C．2.4D．3.6【解答】解：如图，连接AD，∵∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8，∴，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，，∴，∴AO的最小值为2.4，故选：C．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，E、F分别在直角边CA、BC上，且DE⊥AC，DF∥AC．（1）求证：四边形CEDF是矩形；（2）连接EF，若C到AB的距离是5，求EF的最小值．【解答】（1）证明：∵DF∥AC，∠C＝90°，∴∠DFB＝∠C＝90°，∴∠DFC＝90°＝∠C，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°＝∠DFC＝∠C，∴四边形CEDF是矩形；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）可知，四边形CEDF是矩形，∴CD＝EF，∴当CD有最小值时，EF的值最小，∵当CD⊥AB时，CD有最小值，∴CD⊥AB时，EF有最小值，∵C到AB的距离是5，即点C到AB的垂直距离为5，∴CD的最小值为5，∴EF的最小值为5．20．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝8，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF．（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．【解答】（1）证明：连接AC，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠EAC＝60°，∠CAF+∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠ACF＝60°，AC＝AB，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF．（2）解：四边形AECF的面积不变．理由：由（1）得△ABE≌△ACF，＝S△ACF，则S△ABE＝S△AEC+S△ACF＝S△故S四边形AECFAEC+S△ABE＝S△ABC，是定值；作AH⊥BC于H点，如图所示：∵∠AHB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BAH＝90°﹣60°＝30°，∴，在Rt△ABH中，根据勾股定理得：，＝S△ABC＝．∴S四边形AECF＝S四边形AECF﹣S△AEF＝S菱形ABCD﹣S△AEF，∵S△CEF∴△CEF的面积随△AEF面积的变化而变化，∵△AEF为等边三角形，∴当AE最短时，△AEF的面积最小，则△CEF的面积有最大值，∵当AE⊥BC时，AE最小，∴AE的最小值为AH的长，过点A作AM⊥EF，垂足为M，如图所示：∵△AEF为等边三角形，∴，∠AEF＝60°，∴，∴，∴，＝S四边形AECF﹣S△AEF＝16，∴S△CEF即△CEF的面积的最大值为．21．如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？（2）求证：△AMB≌△ENB；（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．【解答】（1）解：△BMN是等边三角形．理由如下：如图①，∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴BM＝BN，∠MBN＝60°，∴△BMN是等边三角形；（2）证明：∵△ABE和△BMN都是等边三角形，∴AB＝EB，BM＝BN，∠ABE＝∠MBN＝60°，∴∠ABE﹣∠ABN＝∠MBN﹣∠ABN，即∠ABM＝∠EBN，在△AMB和△ENB中，，∴△AMB≌△ENB（SAS）；（3）①由两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，AM+CM的值最小，∵四边形ABCD是正方形，∴点M为BD的中点；②当点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小，理由如下：如图②，∵△AMB≌△ENB，∴AM＝EN，∵△BMN是等边三角形，∴BM＝MN，∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，由两点之间线段最短可知，点E、N、M、C在同一直线上时，EN+MN+CM，故，点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小．。
人教版八年级数学下册第18章平行四边形 知识要点总结
人教版八年级数学下册第18章平行四边形知识要点总结第18章平行四边形复习平行四边形知识点一、平行四边形定义：二、平行四边形的性质边：1.两组对边互相平行且相等；符号语言：角：2.两组对角分别相等；符号语言：对角线：3.对角线互相平分。
符号语言：对称性：中心对称图形但不一定是轴对称图形平行线之间的距离：平行线间的距离都相等符号语言：∵AE∥BF且AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF∴AB＝CD＝EF三、平行四边形的判定边：1. 两组对边分别平行．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：2. 两组对边分别相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：3. 一组对边平行且相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：角：4. 两组对角分别相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：对角线：5.对角线互相平分的四边形是平行四边形；符号语言：四、平行四边形的面积公式S□ABCD=ah(a是边,h是这个边的高）；五、与三角形有关的知识点1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段．．叫做三角形的中位线。
2.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半符号语言：3.取值范围：利用三角形的性质：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边 如：已知□ABCD 两对角线的长分别为6和8，则较短边长x 的取值范围为1<x<7.4.直角三角形性质定理（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.符号语言：∵在Rt △ABC 中，且AD ＝CD∴ BD=AD=CD（2）直角三角形中，30°角所对应的直角边等于斜边的一半.符号语言：∵在Rt △ABC 中，且∠A=30°∴BC=12AC 或 2BC=AC特殊的平行四边形知识点—矩形一、矩形的定义：二、矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的四个角都是直角； 符号语言：3.矩形的对角线平分且相等。
符号语言：三、矩形判定1.有一个角是直角的平行四边形．．．．．叫做矩形。
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四边形解题技巧一、平行四边形应用举例平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计算、证明中都有广泛的应用，现举例说明．1．求角的度数例1 如图，ABCD中．AD=2AB，点E、A、B、F在一条直线上，且EA＝AB＝BF，求∠DOC 的度数．例2 如图，若ABCD与EBCF关于BC所在直线对称，∠ABE=90°，则∠F=______．2．求线段的长例3 如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠A=120°，∠B＝60°，∠BCD＝∠150°，求AD的长．例4 如图，在DABCD中，AD＝5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE、EC 的长度分别为( )A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4例5 如图，在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠EAF = 45°，且AE +AF =22，求ABCD的周长．4．求第三边的取值围 例6 如图，在ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点0，如果AC =12，BD =10，AB =m ，那么m的取值围是( )A ．10<m <12B ．2<m <22C ．l <m <llD ．5<m <65．综合计算题 例7 如图,ABCD 的周长为26310 ，BC 的长为35，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥DC ，垂足为DC 延长线上的点F ，AE =3．求：(1)∠D 的度数；(2)AF 的长．例8 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于点F，∠ADC的平分线DG交边AB于点G，且DG与CF交于点E．请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰直角三角形，并说明理由．二、添作中位线，妙证几何题三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．这是三角形的一条很重要的性质，它包含了位置与数量两种关系．在题中，若有线段的中点，可过中点作第三边的平行线或取另一边中点构造中位线，运用中位线定理，实现线段或角的转移，从而迅速找到解题突破口，往往会使得某些看似无法解决的几何题化难为易，迎刃而解．例9 如图，在△ABC中，AB<AC，点D在AC上，且有CD=AB，E、F分别是AD和BC的中点，连结EF并延长与BA的延长线相交于点G，求证：AE=AG．例10 如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，且AC =BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，EF 分别交AC 、BD 于M 、N ．求证：∠OMN =∠ONM .例11 如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：AC AF 31=.例12 如图，△ABC 的中线AD 、BE 相交于点G ，求证：CEGD ABG s S 四边形=∆.三、巧算与矩形有关的面积题解答这类问题可考虑用未知数表示某些线段，构造方程来求解．例13 如图，矩形ABCD 的面积为S ，E 是AB 的四等分点，F 是BC 的三等分点，G 是CD 的中点，则△EFG 的面积为______．例14 如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，F 是CD 上的点，且ABE s ∆ABCD ADF s s 矩形31==∆，则CEFAEF s s∆∆等于( )A .2B .3C .4D .5四、折叠问题近几年一些省市的中考题中出现了很多有关矩形纸片折叠的问题．由于这类问题的实践性强，需要同学们通过动手操作去发现解决问题的方法．其规律为利用折叠前后线段、角的对应相等关系，构造直角三角形利用勾股定理来求解．以下面例题加以说明． 例15 矩形纸片ABCD 中．AD =4 cm ，AB =10 cm ，按如图所示的方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则DE =______cm ．例16 将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED '=60°，则∠AED 的大小是( )A ．60°B ．50°C ．75°D ．55°例17 如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，如果将该矩形沿对角线BD 折叠，那么图中阴影部分的面积是多少？五、路在何方我们知道如果直线m∥n，A、B为直线n上的两点，C、P为直线m上的两点(如图)，容易根据平行线之间的距离处处相等及同底等高的两个三角形面积相等的知识，得到两对面积相等的三角形，即△ABC和△ABP面积相等；△CPA和△CPB面积相等，还有一对面积相等的三角形，你知道吗？我们进一步看：如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论点P移动到任何位置，总有△ABP与△ABC的面积相等，理由：因为平行线间的距离相等，所以无论点P在m上怎么移动，总有△ABP与△ABC 的同底等高，因此，它们的面积总相等．例18 如左图，五边形ABCDE是大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如右图所示形状，但承包土地与开始荒地的分界小路(图中折线CDE)还保留着，为了便于通行，大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，请你用有关数学知识，按大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积）．(1)写出设计方案，并在图中画出相应的图形；(2)说明方案设计理由．六、聚焦阅读理解题阅读综合理解题主要考查同学们对“新事物”“新知识”的接受和理解能力，也考查同学们运用所学知识来解决“新事物”“新知识”的能力．解决这类综合问题的关键是合理运用所学知识来理解题目，从而做到正确解题。
例19 阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图⑴所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”．显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．(1)依照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；(2)如图⑵，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图⑵中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；(3)如图⑶，若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图⑶中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以说明．图⑴图⑵图⑶七、“Face to Face”中点四边形顺次连结四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．这个中点四边形有许多重要性质，在中考试题中也屡见不鲜，中点四边形的四个结论如下：1．任意四边形的中点四边形是平行四边形已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．2．对角线相等的四边形的中点四边形是菱形已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，AC=BD.求证：四边形EFGH是菱形．3．对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，AC⊥BD.求证：四边形EFGH是矩形．4．对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形因为四边形的两条对角线垂直，所以这个四边形的中点四边形是矩形，又因为这个四边形的．两条对角线相等，所以这个四边形的中点四边形是菱形．既是矩形又是菱形的图形就是正方形．中点四边形的这四个结论应结合以下特例灵活掌握：菱形的中点四边形为矩形，矩形的中点四边形为菱形，正方形的中点四边形为正方形．例20 顺次连结等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连结所得四边形四边中点得到的图形是( )A.等腰梯形B．直角梯形C．菱形D．矩形例21 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=5，AC、BD相交于0点，且∠BOC=60°，顺次连结等腰梯形各边中点所得四边形的周长是( )A．24 B.20 C．16 D.12八、“智力魔方”——一七巧板七巧板是由正方形按如图所示的方法制作成的（沿实线剪开），其中有五块都是等腰直角三角形，一块正方形，一块平行四边形，七巧板是一种数学玩具，有很强的益智性与趣味性，深受人们的喜爱．在近几年的中考试题中，就出现了一些与七巧板有关的拼图和计算题，值得关注．例22 七巧板是我们祖先创造的一种智力玩具，它来源于勾股法．如图(1)，整幅七巧板是由正方形ABCD分割成七小块（其中：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形）组成．如图(2)，是由七巧板拼成的一个梯形，若正方形ABCD的边长为12 cm，则梯形MNGH的周长是______cm．（结果保留根号）例23 用边长为1的正方形纸板制成一副七巧板(如图(1))，将它拼成“小天鹅”图案(如图(2))，其中阴影部分的面积为( )A ．83 B ．167 C ．21 D ．43九、四边形“联姻”直角坐标系中考中常把四边形与平面直角坐标系结合起来考查，这类题目有利于同学们把“数”与“形”联系起来思考，提高同学们综合运用知识的能力．例24 一矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系，0为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA =5，OC =4．如图，将纸片沿CE 对折，点B 落在x 轴上的点D 处，求点D 的坐标．例25 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点A 、B 、D 的坐标分别是(O ，O )、(5，O )和(2，3)．求：(1)顶点C 的坐标；(2)对角线AC 、BD 的交点E 的坐标．例26 已知菱形ABCD的边长为5，∠BAD是锐角，把它放在平面直角坐标系之中，并且使AD边在y轴上，点A在点D的下方，这时点C的坐标为(4，10)．(1)求出顶点A的坐标；(2)画出符合题意的图形．例27 一个正方形的两个顶点O和A的坐标分别是(O，0)和(4，O)，请写出另外两个顶点的坐标．十、“天堑”变“通途”梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形，解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线，对梯形进行割补、拼接，使“天堑”变“通途”，从而转化为三角形、平行四边形问题，使看似不可能的问题得到解决，一般而言，梯形中常用的辅助线主要有以下几种．1．平移一腰过梯形的一个顶点作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和三角形，从而利用平行四边形的性质，将分散的条件集中到三角形中去，使问题顺利得解.例28 如图，梯形ABCD中AD∥BC，AD=2 cm，BC=7 cm，AB=4 cm，求CD的取值围．规律总结：通过作腰的平行线，构造平行四边形、三角形，从而把分散的条件集中到一个三角形中去，从而为解题创造必要条件，这种方法很重要，需切实掌握．2．延长两腰交于一点将梯形的两腰延长，使之交于一点，把梯形转化为大、小两个三角形，从而利用特殊三角形的有关性质解决梯形问题．例29 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，试说明梯形ABCD是等腰梯形．规律总结：延长两腰交于一点，可把梯形问题转化为三角形问题解决．3．平移一条对角线从梯形一底的一个顶点向梯形外作对角线的平行线，与另一底的延长线相交，构成平行四边形和特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等）．例30 (2007·)在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=5 cm，BD=12 cm，则梯形中位线的长等于( )A.7.5 cmB.7 cmC.6.5 cmD.6 cm4．作高线从梯形一底的一个顶点（或两个顶点）向另一底作高线，将特殊梯形（等腰梯形、直角梯形）转化成矩形和直角三角形．例31 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=45°，AD=3，梯形的高为2，求梯形ABCD 的面积．。