必修4教案1.1.2弧度制
人教a版必修4学案：1.1.2弧度制(含答案)
1.1.2 弧度制自主学习知识梳理 1．角的单位制(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________． (3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的____________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是______．23.我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r ，圆心角弧度数为α)．对点讲练知识点一 角度制与弧度制的换算例1 (1)把112°30′化成弧度；(2)把－7π12化成角度．回顾归纳 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180°π即可．变式训练1 将下列角按要求转化： (1)300°＝________rad ；(2)－22°30′＝________rad ； (3)8π5＝________度．知识点二 利用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.回顾归纳 在同一问题中，单位制度要统一．角度制与弧度制不能混用． 变式训练2 将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．知识点三 弧长、扇形面积的有关问题例3 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？回顾归纳 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题．变式训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式．易知：度数×π180rad ＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.课时作业一、选择题 1．与30°角终边相同的角的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k ·360°＋π6，k ∈Z B ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z } C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z }D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π6，k ∈Z 2．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝{α|α＝2k π±π2，k ∈Z }的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2C.2sin 1D ．2sin 1 4．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9二、填空题6．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．7．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝________.8．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝____________.三、解答题9．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．10. 如右图，已知扇形OAB 的中心角为4，其面积为2 cm 2，求扇形的周长和弦AB 的长．1.1.2 弧度制答案知识梳理1．(1)1360 (2)半径长 1 rad(3)|α|＝lr终边的旋转方向 正数 负数 0解 半径为r ，圆心角n °的扇形弧长公式为l ＝n πr180，扇形面积公式为S 扇＝n πr2360.∵l 2πr ＝|α|2π，∴l ＝|α|r . ∵S 扇S 圆＝S 扇πr 2＝|α|2π，∴S 扇＝12|α|r 2.∴S 扇＝12|α|r 2＝12lr .对点讲练例1 解 (1)∵112°30′＝112.5°＝⎝⎛⎭⎫2252° ＝2252×π180＝5π8. (2)－7π12＝－7π12×⎝⎛⎭⎫180π°＝－105°.变式训练1 (1)5π3 (2)－π8(3)288例2 解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300° ＝－5×360°＋300°.∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．(2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角．(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．变式训练2 －10π＋7π4解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，∴－1 485°可以表示为－10π＋7π4.例3 解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.所以当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2. 变式训练3 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4，∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad. 课时作业 1．D 2.A3．C [r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.]4．D [集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．]5．B [设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ，则R ＝r ＋rsinπ6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.] 6．25解析 216°＝216×π180＝6π5，l ＝30π＝α·r ＝6π5r ，∴r ＝25.7.7π3或10π3解析 －7π6＋7π2＝14π6＝7π3，－7π6＋9π2＝20π6＝10π3. 8．－11π3，－5π3，π3，7π3解析 由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝7π3， π3－2π＝－5π3，π3－4π＝－11π3. 9．解 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π－π6≤α≤2k π＋5π12，k ∈Z .(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π－34π≤α≤2k π＋3π4，k ∈Z .(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π6≤α≤k π＋π2，k ∈Z .10．解 设AB 的长为l ，半径OA ＝r ，则S 扇形＝12lr ＝2，∴lr ＝4， ①设扇形的中心角∠AOB 的弧度数为α，则|α|＝lr ＝4，∴l ＝4r ， ② 由①、②解得r ＝1，l ＝4.∴扇形的周长为l ＋2r ＝6 (cm)， 如图作OH ⊥AB 于H ，则AB ＝2AH ＝2r sin 2π－42＝2r sin(π－2)＝2r sin 2(cm)．。
高中数学1.1.2弧度制教案新人教A版必修4
１．２弧度制一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生明确弧度制的概念，弧度与角度的换算，弧长公式及扇形公式． 教学目的：引导学生认识弧度制，并确立１弧度的含义。
教学意义：培养学生用转化的思想对同一事物进行不同方式描述。
二、教学过程１．１弧度的角定义：我们规定，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做１弧度的角。
这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。
２．弧长公式：一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是０。
如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是rl =||α。
３．弧度与角度的换算：π2360=︒弧度1801()5718'1180rad rad ππ⎧=︒≈︒⎪⇒⎨⎪︒=⎩例 若)(4Z k k ∈+=ππα，则在第几象限？一、三 例 填写特殊角的换算对应表：度０° ３０° ４５° ６０° ９０° 弧度０ 6π 4π 3π 2π １２０° １３５° １５０°１８０° ２７０° ３６０° 23π 34π 56π π 32π 2π４．弧度制下的弧长公式及扇形公式：R l ||α=，22121R lR S α==。
例 已知半径为10的圆中，弦AB 的长为10。
（1） 求弦AB 所对的圆心角α的大小；3π （2） 求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形面积。
π310，)233(50-π 例 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？2,10==αr三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子１．若α是第三象限角，则απ+所在的象限是（ Ａ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限２．若βα,满足22πβαπ<<<-，则βα-的取值范围是 )0,(π- ．３．若三角形的三个内角之比为3:2:1，则此三角形的最小内角的弧度数为 6π ．４．如图所示，已知单位圆上一点)0,1(A 按逆时针方向做匀速圆周运动，s 1时间转过的弧度数是(0)θθπ<≤，经过s 2到达第三象限，经过s 14又转到最初位置，则θ的弧度数是 75,74ππ ．五、课后作业 同步练习1. 半径为2的圆中，弧长为4的弧所对圆心角大小是多少？ ２２．已知扇形周长为10，为4，求扇形的圆心角。
弧度制教学设计
篇一：_弧度制教案及教学设计1.1.2 弧度制一、教材分析1、本节内容在教材中的地位和作用：教材地位与作用：本节课是普通高中实验教科书人教a版必修4第一章第一单元第二节。
本节课起着承上启下的作用：在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度”并且上节课学了任意角的概念，学生已掌握了一些基本单位转换方法，并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便；本节课作为三角函数的第二课时，该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备，因此本节课还起着启下的作用。
通过本节弧度制的学习，我们很容易找出与角对应的实数而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。
另外弧度制为今后学习三角函数带来很大方便。
2、教学目标3、教学中的重点和难点教学重点：理解弧度的意义，能正确地进行角度制与弧度制的换算。
教学难点：弧度制的概念与角度的换算。
二、教学设计思想教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则．从学生熟悉的基本单位转换入手，体会不同的单位制能给解决问题带来方便，引导学习去思考寻找另一种的单位制度量角。
1通过类比引出弧度制，关键弄清1弧度的定义，然后通过探索得到弧度数绝对值公式并得出角度和弧度的换算方法。
在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性。
这样可以尽量自然的引入弧度制，并让学生在探索的过程中，更好的形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础。
三、教法分析本节课我采用引导发现式的教学方法。
通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、自主探究来达到对知识的发现和接受。
四、教学过程23五、教学流程????六、教学反思本节课，学生能够在老师的引导下主动学习，基本掌握了弧度制与角度制之间的转换，完成了课堂教学。
课堂气氛比较活跃。
4篇二：弧度制教学设计弧度制教学目标：知识目标1）理解1弧度的角的意义。
2）理解弧度制的定义，建立弧度制的概念。
高中数学必修4公开课教案1.1.2 弧度制
1.1.2 弧度制 整体设计教学分析在物理学和日常生活中,一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以满足我们不同的需要.现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制,度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制,度量角的大小可以用度为单位进行度量,并且一度的角等于周角的3601,记作1°. 通过类比引出弧度制,给出1弧度的定义,然后通过探究得到弧度数的绝对值公式,并得出角度和弧度的换算方法.在此基础上,通过具体的例子,巩固所学概念和公式,进一步认识引入弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制,并让学生在探究过程中,更好地形成弧度的概念,建立角的集合与实数集的一一对应,为学习任意角的三角函数奠定基础.通过探究讨论,关键弄清1弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但却是互相联系、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解,渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点. 三维目标1.通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制.2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣. 重点难点教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算. 教学难点:弧度的概念及其与角度的关系. 课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?度量角的大小除了以度为单位度量外,还可采用哪种度量角的单位制?它们是怎样换算的?思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷,或者利用普遍使用的钟表.实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法,度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中,已学过利用角度来度量角的大小,现在来学习角的另一种度量方法——弧度制.要使学生真正了解弧度制,首先要弄清1弧度的含义,并能进行弧度与角度换算的关键.在引入弧度制后,可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数.随着角的概念的推广,圆心角和弧的概念也随之推广:从“形”上说,圆心角有正角、零角、负角,相应的,弧也就有正弧、零弧、负弧;从“数”上讲,圆心角与弧的度数有正数、０、负数.圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”,就像三角函数值的正负可以用三角函数线(有向线段)的方向来表示一样.每一个圆心角都有一条弧与它对应,并且不同的圆心角对应着不同的弧,反之亦然.推进新课 新知探究 提出问题问题①:在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢?问题②:我们从度量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同单位制呢?图1活动:教师先让学生思考或讨论问题,并让学生回忆初中有关角度的知识,提出这是认识弧度制的关键,为更好地理解角度弧度的关系奠定基础.讨论后教师提问学生,并对回答好的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键.教师板书弧度制的定义:规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度记作1 rad.如图1中,的长等于半径r,AB 所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角,即rl =1. 讨论结果: ①1°的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关. ②能,用弧度制. 提出问题问题①:作半径不等的甲、乙两圆,在每个圆上作出等于其半径的弧长,连结圆心与弧的两个端点,得到两个角,将乙图移到甲图上,两个角有什么样的关系?问题②:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少?既然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间如何换算?活动:教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系,提问学生归纳的情况,让学生找出区别和联系.教师给予补充和提示,对表现好的学生进行表扬,对回答不准确的学生提示和鼓励.引入弧度之后,应与角度进行对比,使学生明确:第一,弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单位制;第二,1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小,而1°的角是周角的3601;第三,无论是以“弧度”还是以“度”为单位,角的大小都是一个与半径大小无关的定值.教师要强调为了让学生习惯使用弧度制,本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制.讨论结果:①完全重合,因为都是1弧度的角. ②α=r 1;将角度化为弧度:360°=2π rad,1°=180πrad≈0.017 45 rad,将弧度化为角度:2π rad=360°,1 rad=(π180)°≈57.30°=57°18′.弧度制与角度制的换算公式:设一个角的弧度数为αrad=(πa180)°,n°=n180π(rad). 提出问题问题①:引入弧度之后,在平面直角坐标系中,终边相同的角应该怎么用弧度来表示?扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示?的长OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数∠AOB 的度数πr逆时针方向 2πr 逆时针方向R 1 2r -2 -π 0 180°360°一些特殊角填表,然后概括出一般情况.教师让学生互动起来,讨论并总结出规律,提问学生的总结情况,让学生板书,教师对做正确的学生给予表扬,对没有总结完全的学生进行简单的提示.检查完毕后,教师做个总结.由上表可知,如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数的绝对值是a1这里,应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们一定可以换算.推而广之,同一个数学对象用不同方式表示时,它们之间一定有内在联系,认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一.教师给学生指出,角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立起一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.值得注意的是:今后在表示与角α终边相同的角时,有弧度制与角度制两种单位制,要根据角α的单位来决定另一项的单位,即两项所用的单位制必须一致,绝对不能出现k·360°+3π或者2kπ+60°一类的写法.在弧度制中,与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ(k ∈Z )的形式.如图2为角的集合与实数集R 之间的一一对应关系.图2讨论结果:①与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ(k ∈Z )的形式.弧度制下关于扇形的公式为l=αR,S=21αR 2,S=21lR. ②的长 OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数∠AOB 的度数πr 逆时针方向 Π 180° 2πr 逆时针方向 2π 360° R 逆时针方向 1 57.3° 2r 顺时针方向 -2 -114.6° πr 顺时针方向 -π -180° 0 未旋转 0 0° πr 逆时针方向 Π 180° 2πr逆时针方向2π360°应用示例例1 下列诸命题中,真命题是( ) A.一弧度是一度的圆心角所对的弧 B.一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位活动:本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别,以达到熟练掌握定义.从实际教学上看,弧度制不难理解,学生结合角度制很容易记住.根据弧度制的定义:我们把长度等于半径长的弧和所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各项,可知D 为真命题. 答案:D点评:本题考查弧度制下角的度量单位:1弧度的概念. 变式训练下列四个命题中,不正确的一个是( ) A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小是2πC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 答案:D例 2 将下列用弧度制表示的角化为2kπ+α(k ∈Z ,α∈［0,2π))的形式,并指出它们所在的象限:①-415π;②332π;③-20;④-32. 活动:本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角,教师给予指导并讨论归纳出一般规律.即终边在x 轴、y 轴上的角的集合分别是:{β｜β=kπ,k ∈Z },{β｜β2π=kπ,k ∈Z }.第一、二、三、四象限角的集合分别为: {β｜2kπ<β<2kπ+2π,k ∈Z }, {β｜2kπ+2π<β<2kπ+π,k ∈Z }, {β｜2kπ+π<β<2kπ+23π,k ∈Z },{β｜2kπ+23π<β<2kπ+2π,k ∈Z }.解:①415π-=-4π+4π,是第一象限角. ②432π=10π+32π,是第二象限角.③-20=-3×6.28-1.16,是第四象限角. ④-23≈-3.464,是第二象限角.点评:在这类题中对于含有π的弧度数表示的角,我们先将它化为2kπ+α(k ∈Z ,α∈［0,2π))的形式,再根据α角终边所在的位置进行判断,对于不含有π的弧度数表示的角,取π=3.14,化为k×6.28+α,k ∈Z ,｜α｜∈［0,6.28)的形式,通过α与2π,π,23π比较大小,估计出角所在的象限.变式训练(1)把-1 480°写成2kπ+α(k ∈Z ,α∈［0,2π))的形式; (2)若β∈［-4π,0),且β与(1)中α终边相同,求β.解:(1)∵-1 480°=-974π=-10π+916π,0≤916π<2π, ∴-1 480°=2(-5)π+916π.(2)∵β与α终边相同,∴β=2kπ+916π,k ∈Z .又∵β∈［-4π,0),∴β1=92π-,β2=920π-.例3 已知0<θ<2π,且θ与7θ相同,求θ.活动:本例目的是让学生在教师的指导下会用弧度制求终边相同的角,并通过独立完成课后练习真正领悟弧度制的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,用弧度制解决角的问题要很容易却难掌握,很有可能记错或者混淆或者化简错误,学生需多做些这方面的题来练基本功.可先让学生多做相应的随堂练习,在黑板上当场演练,教师给予批改指导,对易出错的地方特别强调.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生的练习操作中一一纠正,这对以后学习大有好处.解:由已知,得7θ=2kπ+θ,k ∈Z ,即6θ=2kπ.∴θ=3k π. 又∵0<θ<2π,∴0<3kπ<2π. ∵k ∈Z ,当k=1、2、3、4、5时,θ=3π、32π、π、34π、35π.点评:本题是在一定的约束条件下,求与角α终边相同的角,一般地,首先将这样的角表示为2kπ+α(k ∈Z ,α∈［0,2π))的形式,然后在约束条件下确定k 的值,进而求适合条件的角. 例4 已知一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求这个最大值. 活动:这是一道应用题,并且考查了函数思想,教师提示学生回顾一下用函数法求最值的思路与步骤,教师提问学生对已学知识的掌握和巩固,并对回答好的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予一定的提示和鼓励.教师补充,函数法求最值所包括的五个基本环节:(1)选取自变量;(2)建立目标函数;(3)指出函数的定义域;(4)求函数的最值;(5)作出相应结论.其中自变量的选取不唯一,建立目标函数结合有关公式进行,函数定义域要根据题意确定,有些函数是结构确定求最值的方法,并确保在定义域内能取到最值. 解:设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α,面积为S.由已知,2r+l=a,即l=a-2r.∴S=21l·r=21(a-2r)·r=-r 2+2a r=-(r-4a)2+162a .∵r>0,l=a-2r>0,∴0<r<2a. ∴当r=4a时,S max =162a .此时,l=a-2·4a =2a ,∴α=r1=2. 故当扇形的圆心角为2 rad 时,扇形的面积取最大值162a .点评:这是一个最大值问题,可用函数法求解,即将扇形的面积S 表示成某个变量的函数,然后求这个函数的最大值及相应的圆心角. 变式训练已知一个扇形的周长为98π+4,圆心角为80°,求这个扇形的面积. 解:设扇形的半径为r,面积为S,由已知知道,扇形的圆心角为80×180π=94π, ∴扇形的弧长为94πr,由已知,94πr+2r=98π+4,∴r=2.∴S=21·94πr 2=98π.故扇形的面积为98π.点评:求扇形的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.相反,也可由扇形的面积结合其他条件,求扇形的圆心角、半径、弧长.解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用. 知能训练课本本节练习. 解答:1.(1)8π;(2)67m -;(3)320m .点评:能进行角度与弧度的换算.2.(1)15°;(2)-240°;(3)54°.点评:能进行弧度与角度的换算. 3.(1){α|α=kπ,k ∈Z };(2){α|α=2π+kπ,k ∈Z }. 点评:用弧度制表示终边分别在x 轴和y 轴上的角的集合. 4.(1)cos0.75°>cos0.75;(2)tan1.2°<tan1.2.点评:体会同数值不同单位的角对应的三角函数值可能不同,并进一步认识两种单位制.注意在用计算器求三角函数值之前,要先对计算器中角的模式进行设置.如求cos0.75°之前,要将角模式设置为DEG(角度制);求cos0.75之前,要将角模式设置为RAD(弧度制). 5.3πm.点评:通过分别运用角度制和弧度制下的弧长公式,体会引入弧度制的必要性.6.弧度数为1.2.点评:进一步认识弧度数的绝对值公式.课堂小结由学生总结弧度制的定义,角度与弧度的换算公式与方法.教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制,它们是互相联系的,辩证统一的;角度与弧度的换算,关键要理解并牢记180°=π rad这一关系式,由此可以很方便地进行角度与弧度的换算;三个注意的问题,同学们要切记;特殊角的弧度数,同学们要熟记.重要的一点是,同学们自己找到了角的集合与实数集R的一一对应关系,对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解,要把这两个公式记下来,并在解决实际问题中灵活运用,表扬学生能总结出引入弧度制的好处,这种不断总结,不断归纳,梳理知识,编织知识的网络,特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质,会使我们终生受用,这样持之以恒地坚持下去,你会发现数学王国的许多宝藏,以服务于社会,造福于人类.作业①课本习题1.1 A组6、8、10.②课后探究训练:课本习题1.1 B组题.设计感想本节课的设计思想是:在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点.因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究,不要让开始的探究成为一种摆设.如果学生一开始没有很好的理解,那么以后有些题怎么做就怎么难受.通过探究让学生明确知识依附于问题而存在,方法为解决问题的需要而产生.将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去,由此把学生的思维推到更宽的广度.本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难,这符合学生的认知规律;让学生在探究中积累知识,发展能力,对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪.但由于学生知识水平的限制,本节不能扩展太多,建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础.根据本节特点可考虑分层推进、照顾全体.对优等生,重在引导他们变式思维的训练,培养他们求同思维、求异思维的能力,以及思维的灵活性、深刻性与创造性.鼓励他们独立思考,勇于探索,敢于创新,对正确的要予以肯定,对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正,使课堂学习成为再发现再创造的过程.。
高中数学(1.1.2弧度制)教案新人教A版必修4
1.1.2 弧度制整体设计教学分析在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要•现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单1位进行度量，并且一度的角等于周角的，记作1 °.360°通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法•在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性•这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的- 对应，为学习任意角的三角函数奠定基础.通过探究讨论，关键弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的•通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性•通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是互相联系、辩证统一的•进一步加强对辩证统一思想的理解，渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点三维目标1•通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制.2•通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣• 重点难点教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算•教学难点：弧度的概念及其与角度的关系• 课时安排1课时教学过程导入新课思路1.（类比导入）测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？思路2.（情境导入）利用古代度量时间的一种仪器一一日晷，或者利用普遍使用的钟表•实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法，度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法一一弧度制.要使学生真正了解弧度制，首先要弄清1弧度的含义，并能进行弧度与角度换算的关键.在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系一一弧的度数等于圆心角的度数随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角,相应的，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数. 圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，就像三角函数值的正负可以用三角函数线（有向线段）的方向来表示一样.每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然.推进新课新知探究提出问题问题①：在初中几何里我们学习过角的度量,1。
1.1.2弧度制-浙江省桐庐分水高级中学高中数学人教A版必修4教学设计
1.1.2 弧度制教学设计桐庐分水高级中学李振刚一、教学内容及其解析（1）内容本节课的教学内容，是弧度制的概念、弧度与角度之间的换算、与扇形有关的公式．教学重点是弧度制的概念、弧度与角度的换算及与扇形有关的公式．（2）地位和作用弧度制是学生学习了任意角的概念，知道角有正角、负角和零角后学习的。
角的单位是度，也就是角度制下的角的大小表示。
弧度制是角的另一种单位制，就像长度有米、英尺等单位制；重量有千克、磅的单位制。
角度制是六十进制的，实数是十进制的，在角度制下，角的大小和实数不方便运算，在弧度制下角的大小和实数可以直接运算。
在弧度制下，角的大小就是一个实数，而函数是实数到实数的映射，为接下来学习任意角的三角函数做准备。
弧度制的引入也使扇形的面积公式变得简洁，从而体现了数学的简洁美。
学生通过本节课的学习，感悟到数学抽象的层次性。
（3）概念的解析弧度制是一种单位制，其本质是用比值来刻画角度大小的。
量角的制度很多，有角度制、百分制、弧度制和密位制等．单从弧度制的优越性来说明引入弧度制的必要性是没有说服力的．事实上。
虽然弧度制在理论上有很大的价值，但在军事上单位还是太大．弧度制的精髓是弧度制实现了角度单位与长度单位之间的统一。
（4）思想方法学生运用类比的思想，经历角度制、弧度制的形成过程，体会数学核心素养中数学抽象的层次性．（5）知识类型这是一节概念课，同时需要学生通过自主探究，经历弧度制的形成过程，理解引入弧度制的必要性。
弧度制的引入可以使扇形有关公式变得简洁。
二、教学目标解析（1）目标1.理解1弧度的角及弧度制的概念；2.熟练进行角度与弧度的换算；3.理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系；4.在探究活动中，学生通过独立思考和合作交流，发展思维，养成良好思维习惯，提升自主学习能力．重点：理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。
难点：弧度制引入的必要性以及定义的合理性。
关键：弧度制引入的必要性以及定义的合理性是建立弧度概念的关键。
高中数学必修4公开课教案1.1.2弧度制
1.1.2弧度制整体规划教育分析在物理学和日常日子中,一个量常常需求用不同的办法进行衡量,不同的衡量办法能够满意咱们不同的需求.现实日子中有许多计量单位,如衡量长度能够用米、厘米、尺、码等不同的单位制,衡量分量能够用千克、斤、吨、磅等不同的单位制,衡量角的巨细能够费用为单位进行衡量,而且一度的角等于周角的,记作1°.经过类比引出弧度制,给出1弧度的界说,然后经过探求得到弧度数的必定值公式,并得出视点和弧度的换算办法.在此根底上,经过详细的比如,稳固所学概念和公式,进一步知道引进弧度制的必要性.这样能够尽量自然地引进弧度制,并让学生在探求进程中,更好地构成弧度的概念,树立角的调集与实数集的逐个对应,为学习恣意角的三角函数奠定根底.经过探求评论,要害澄清1弧度角的界说,使学生树立弧度的概念,了解弧度制的界说,到达打破难点之意图.经过电教手法的直观性,使学生进一步了解弧度作为角的衡量单位的可靠性、可行性.经过周角的两种单位制的衡量,得到视点与弧度的换算公式.使学生知道到视点制、弧度制都是衡量角的准则,二者虽单位不同,但却是互相联络、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的了解,浸透数学中遍及存在、彼此联络、彼此转化的观念.三维方针1.经过类比长度、分量的不同衡量制,使学生领会一个量能够用不同的单位制来衡量,然后引出弧度制.2.经过探求使学生知道到视点制和弧度制都是衡量角的准则,经过总结引进弧度制的优点,学会概括收拾并知道到任何新常识的学习,都会为处理实践问题带来便利,然后激起学生的学习爱好.要点难点教育要点:了解弧度制的意义,并能进行视点和弧度的换算.教育难点:弧度的概念及其与视点的联络.课时组织1课时教育进程导入新课思路1.(类比导入)丈量人的身高常用米、厘米为单位进行衡量,这两种衡量单位是怎样换算的?家庭购买生果常用千克、斤为单位进行衡量,这两种衡量单位是怎样换算的?衡量角的巨细除了以度为单位衡量外,还可选用哪种衡量角的单位制?它们是怎样换算的?思路2.(情境导入)运用古代衡量时刻的一种仪器——日晷,或许运用遍及运用的挂钟.实践上咱们运用的挂钟是用时针、分针和秒针视点的改变来确认时刻的.不管选用哪一种办法,衡量一个确认的量所得到的量数有必要是仅有确认的.在初中,已学过运用视点来衡量角的巨细,现在来学习角的另一种衡量办法——弧度制.要使学生真实了解弧度制,首先要澄清1弧度的意义,并能进行弧度与视点换算的要害.在引进弧度制后,能够引导学生树立弧与圆心角的联络——弧的度数等于圆心角的度数.跟着角的概念的推行,圆心角和弧的概念也随之推行:从“形”上说,圆心角有正角、零角、负角,相应的,弧也就有正弧、零弧、负弧;从“数”上讲,圆心角与弧的度数有正数、０、负数.圆心角和弧的正负实践上表明了“角的不同方向”,就像三角函数值的正负能够用三角函数线(有向线段)的方历来表明相同.每一个圆心角都有一条弧与它对应,而且不同的圆心角对应着不同的弧,反之亦然.推动新课新知探求提出问题问题①:在初中几许里,咱们学习过角的衡量,1°的角是怎样界说的呢?问题②:咱们从衡量长度和分量上知道,不同的单位制能给咱们处理问题带来便利.那么角的衡量是否也能用不同单位制呢?图1活动:教师先让学生考虑或评论问题,并让学生回想初中有关视点的常识,提出这是知道弧度制的要害,为更好地了解视点弧度的联络奠定根底.评论后教师发问学生,并对答复好的学生及时表彰,对答复不精确的学生提示引导考虑问题的要害.教师板书弧度制的界说:规则长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来衡量角的准则叫做弧度制;在弧度制下,1弧度记作1 rad.如图1中,的长等于半径r,AB所对的圆心角∠AOB便是1弧度的角,即=1.评论成果:①1°的角能够了解为将圆周角分红360等份,每一等份的弧所对的圆心角便是1°.它是一个定值,与所取圆的半径巨细无关.②能,用弧度制.提出问题问题①:作半径不等的甲、乙两圆,在每个圆上作出等于其半径的弧长,连接圆心与弧的两个端点,得到两个角,将乙图移到甲图上,两个角有什么样的联络?问题②:假如一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少?已然视点制、弧度制都是角的衡量制,那么它们之间怎样换算?活动:教师引导学生学会总结和概括视点制和弧度制的联络,发问学生概括的状况,让学生找出差异和联络.教师给予弥补和提示,对体现好的学生进行表彰,对答复不精确的学生提示和鼓舞.引进弧度之后,应与视点进行比照,使学生清晰:榜首,弧度制是以“弧度”为单位来衡量角的单位制,视点制是以“度”为单位来衡量角的单位制;第二,1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的巨细,而1°的角是周角的;第三,不管是以“弧度”还是以“度”为单位,角的巨细都是一个与半径巨细无关的定值.教师要着重为了让学生习气运用弧度制,本教科书在后续的内容中尽量选用弧度制.评论成果:①彻底重合,由于都是1弧度的角.②α=;将视点化为弧度:360°=2π rad,1°=rad≈0.01745 rad,将弧度化为视点:2π rad=360°,1rad=()°≈57.30°=57°18′.弧度制与视点制的换算公式:设一个角的弧度数为α rad=()°,n°=n(rad).提出问题问题①:引进弧度之后,在平面直角坐标系中,终边相同的角应该怎样用弧度来表明?扇形的面积与弧长公式用弧度怎样表明?问题②:填写下列的表格,找出某种规则.的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数∠AOB的度数r 逆时针方向2πr逆时针方向R 12r -2-π180°360°活动:教师先给学生阐明教科书上为什么设置这个“探求”?其意图是先依据所给图象对一些特别角填表,然后概括出一般状况.教师让学生互动起来,评论并总结出规则,发问学生的总结状况,让学生板书,教师对做正确的学生给予表彰,对没有总结彻底的学生进行简略的提示.查看结束后,教师做个总结.由上表可知,假如一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数的必定值是这儿,应当留意从数学思想的高度引导学生知道“换算”问题,即视点制、弧度制都是角的衡量制,那么它们必定能够换算.推而广之,同一个数学方针用不同办法表明时,它们之间必定有内在联络,知道这种联络性也是数学研讨的重要内容之一.教师给学生指出,角的概念推行后,在弧度制下,角的调集与实数集R之间树立起逐个对应联络:每一个角都有仅有的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有仅有的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.值得留意的是:往后在表明与角α终边相同的角时,有弧度制与视点制两种单位制,要依据角α的单位来决议另一项的单位,即两项所用的单位制有必要共同,必定不能呈现k·360°+或许2kπ+60°一类的写法.在弧度制中,与角α终边相同的角,连同角α在内,能够写成β=α+2kπ(k∈Z)的方式.如图2为角的调集与实数集R之间的逐个对应联络.图2评论成果:①与角α终边相同的角,连同角α在内,能够写成β=α+2kπ(k∈Z)的方式.弧度制下关于扇形的公式为l=αR,S=αR2,S=lR.②的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数∠AOB的度数πr逆时针方向Π180°2πr逆时针方向2π360°R 逆时针方向 1 57.3°2r 顺时针方向-2 -114.6°πr顺时针方向-π-180°0 未旋转0 0°πr逆时针方向Π180°2πr逆时针方向2π360°使用示例例1 下列诸出题中,真出题是( )A.一弧度是一度的圆心角所对的弧B.一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种衡量单位活动:本例意图是让学生在教师的辅导下了解弧度制与视点制的联络与差异,以到达熟练把握界说.从实践教育上看,弧度制不难了解,学生结合视点制很简单记住.依据弧度制的界说:咱们把长度等于半径长的弧和所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各项,可知D为真出题.答案:D点评:本题考察弧度制下角的衡量单位:1弧度的概念.变式操练下列四个出题中,不正确的一个是( )A.半圆所对的圆心角是π radB.周角的巨细是2πC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的巨细是1弧度答案:D例2 将下列用弧度制表明的角化为2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的方式,并指出它们地点的象限:①-;②;③-20;④-.活动:本题的意图是让学生了解什么是终边相同的角,教师给予辅导并评论概括出一般规则.即终边在x轴、y轴上的角的调集别离是:{β｜β=kπ,k∈Z},{β｜β=kπ,k∈Z}.榜首、二、三、四象限角的调集别离为:{β｜2kπ<β<2kπ+,k∈Z},{β｜2kπ+<β<2kπ+π,k∈Z},{β｜2kπ+π<β<2kπ+,k∈Z},{β｜2kπ+<β<2kπ+2π,k∈Z}.解:①=-4π+,是榜首象限角.②=10π+,是第二象限角.③-20=-3×6.28-1.16,是第四象限角.④-23≈-3.464,是第二象限角.点评:在这类题中关于含有π的弧度数表明的角,咱们先将它化为2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的方式,再依据α角终边地点的方位进行判别,关于不含有π的弧度数表明的角,取π=3.14,化为k×6.28+α,k∈Z,｜α｜∈［0,6.28)的方式,经过α与,π,比较巨细,估量出角地点的象限.变式操练1.把-1 480°写成2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的方式;2.若β∈［-4π,0),且β与(1)中α终边相同,求β.解:(1)∵-1 480°=-=-10π+,0≤ <2π,∴-1 480°=2(-5)π+.(2)∵β与α终边相同,∴β=2kπ+,k∈Z.又∵β∈［-4π,0),∴β1=,β2=.例3 已知0<θ<2π,且θ与7θ相同,求θ.活动:本例意图是让学生在教师的辅导下会用弧度制求终边相同的角,并经过独立完结课后操练真实领会弧度制的办法,终究到达熟练把握.从实践教育来看,用弧度制处理角的问题要很简单却难把握,很有或许记错或许混杂或许化简过错,学生需多做些这方面的题来练根本功.可先让学生多做相应的随堂操练,在黑板上当场演练,教师给予修改辅导,对易犯错的当地特别着重.对学生呈现的种种失误,教师不要着急,在学生的操练操作中逐个纠正,这对今后学习大有优点.解:由已知,得7θ=2kπ+θ,k∈Z,即6θ=2kπ.∴θ=π.又∵0<θ<2π,∴0<π<2π.∵k∈Z,当k=1、2、3、4、5时,θ=、、π、、.点评:本题是在必定的束缚条件下,求与角α终边相同的角,一般地,首先将这样的角表明为2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的方式,然后在束缚条件下确认k的值,从而求合适条件的角.例4 已知一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求这个最大值.活动:这是一道使用题,而且考察了函数思想,教师提示学生回忆一下用函数法求最值的思路与进程,教师发问学生对已学常识的把握和稳固,并对答复好的学生进行表彰,对答复不全面的学生给予必定的提示和鼓舞.教师弥补,函数法求最值所包含的五个根本环节:(1)选取自变量;(2)树立方针函数;(3)指出函数的界说域;(4)求函数的最值;(5)作出相应定论.其间自变量的选取不仅有,树立方针函数结合有关公式进行,函数界说域要依据题意确认,有些函数是结构确认求最值的办法,并保证在界说域内能取到最值.解:设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α,面积为S.由已知,2r+l=a,即l=a-2r.∴S=l·r=(a-2r)·r=-r2+r=-(r-)2+.∵r>0,l=a-2r>0,∴0<r<.∴当r=时,S max=.此刻,l=a-2·=,∴α==2.故当扇形的圆心角为2 rad时,扇形的面积取最大值.点评:这是一个最大值问题,可用函数法求解,行将扇形的面积S表明成某个变量的函数,然后求这个函数的最大值及相应的圆心角.变式操练已知一个扇形的周长为+4,圆心角为80°,求这个扇形的面积.解:设扇形的半径为r,面积为S,由已知知道,扇形的圆心角为80×=,∴扇形的弧长为r,由已知,r+2r=+4,∴r=2.∴S=·r2=.故扇形的面积为.点评:求扇形的要害是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的恣意两个量.相反,也可由扇形的面积结合其他条件,求扇形的圆心角、半径、弧长.解题时要留意公式的灵敏变形及方程思想的运用.知能操练讲义本节操练.回答:1.(1);(2);(3).点评:能进行视点与弧度的换算.2.(1)15°;(2)-240°;(3)54°.点评:能进行弧度与视点的换算.3.(1){α|α=kπ,k∈Z};(2){α|α=+kπ,k∈Z}.点评:用弧度制表明终边别离在x轴和y轴上的角的调集.4.(1)cos0.75°>cos0.75;(2)tan1.2°<tan1.2.点评:领会同数值不同单位的角对应的三角函数值或许不同,并进一步知道两种单位制.留意在用计算器求三角函数值之前,要先对计算器中角的形式进行设置.如求cos0.75°之前,要将角形式设置为DEG(视点制);求cos0.75之前,要将角形式设置为RAD(弧度制).5.m.点评:经过别离运用视点制和弧度制下的弧长公式,领会引进弧度制的必要性.6.弧度数为1.2.点评:进一步知道弧度数的必定值公式.讲堂小结由学生总结弧度制的界说,视点与弧度的换算公式与办法.教师着重视点制与弧度制是衡量角的两种不同的单位制,它们是互相联络的,辩证统一的;视点与弧度的换算,要害要了解并紧记180°=π rad这一联络式,由此能够很便利地进行视点与弧度的换算;三个留意的问题,同学们要牢记;特别角的弧度数,同学们要熟记.重要的一点是,同学们自己找到了角的调集与实数集R的逐个对应联络,对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深化的了解,要把这两个公式记下来,并在处理实践问题中灵敏运用,表彰学生能总结出引进弧度制的优点,这种不断总结,不断概括,整理常识,织造常识的网络,特别是同学们长于联想、积极探索的学习质量,会使咱们毕生受用,这样锲而不舍地坚持下去,你会发现数学王国的许多瑰宝,以服务于社会,谋福于人类.作业①讲义习题1.1 A组6、8、10.②课后探求操练:讲义习题1.1 B组题.规划感触本节课的规划思想是:在学生的探求活动中经过类比引进弧度制这个概念并打破这个难点.因而一开端要让学生从图形、代数两方面深化探求,不要让开端的探求成为一种铺排.假如学生一开端没有很好的了解,那么今后有些题怎样做就怎样难过.经过探求让学生清晰常识依附于问题而存在,办法为处理问题的需求而发生.将弧度制的概念的构成进程自然地遵循到教育活动中去,由此把学生的思想推到更宽的广度.本节规划的特色是由特别到一般、由易到难,这契合学生的认知规则;让学生在探求中堆集常识,开展才能,对构成科学的探求不知道国际的谨慎风格有着杰出的启迪.但由于学生常识水平的约束,本节不能扩展太多,主张让学有余力的学生持续总结概括用弧度来计量角的优点并为后续三角函数的学习奠定根底.依据本节特色可考虑分层推动、照料整体.对优等生,重在引导他们变式思想的操练,培育他们求同思想、求异思想的才能,以及思想的灵敏性、深化性与创造性.鼓舞他们独立考虑,勇于探索,敢于创新,对正确的要予以必定,对露出出来的问题要及时引导、分析纠正,使讲堂学习成为再发现再创造的进程.。
数学人教b版必修4教案：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算 含答案
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
一、教学目标
1．知识目标：
①了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.
②认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.
2. 能力目标：
①了解弧度制引入的必要性及弧度制与角度制的区别与联系.
②了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.
③通过角度制与弧度制的换算，对学生进行算法训练，提高学生的计算能力. 3．情感目标：使学生认识到角度制、弧度制都是角的度量制度，二者虽单位不同，但是二者相互联系、辩证统一. 进一步加强学生对辩证统一思想的理解. 二、教学重点、难点
重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.
难点：弧度的概念及其与角度的关系.
三、教学方法
自学—讨论—讲授—练习
先由学生自学，而后教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.
四、教学过程。
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1．1任意角和弧度制
1.1.2弧度制
一、教学目标： 1、知识与技能
（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.
2、过程与方法
创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.
3、情态与价值
通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备. 二、教学重、难点
重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用. 三、学法与教学用具
在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.
教学用具:计算器、投影机、三角板 四、教学设想
【创设情境】
有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）
显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.
在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.
【探究新知】
1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.
弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ~，自行解决上述问题.
2.弧度制的定义
[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
3.探究:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格.
我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.
4.思考:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?
角α的弧度数的绝对值是：r
l
=
α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 5.根据探究中180rad π︒=填空:
1___rad ︒=,1___rad =度
显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.
6.例题讲解
例1.按照下列要求,把'6730︒化成弧度: (1) 精确值；
(2) 精确到0.001的近似值.
例2.将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).
注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒
=,另外注意计算器计算非特殊角的
方法.
一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.
8.例题讲评
例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:
(1)l R α=; (2)212S R α=
; (3)1
2
S lR =. 其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积.
y x
A
αO
B
例4.利用计算器比较sin1.5和sin85 的大小.
注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.
9.练习
P.
教材
10
9.学习小结
(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?
(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗?
五、评价设计
1．作业：习题1.1 A组第7,8,9题．
2．要熟练掌握弧度制与角度制间的换算,以及异同．能够使用计算器求某角的各三角函数值．。