江西省名校学术联盟2020届高三数学(文)教学质量检测试卷附答案解析
【精准解析】江西省名师联盟2020届高三入学调研考试数学(文)试题
2020届高三入学调研考试卷文科数学注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|15}A x x =-<，则R C A =（ ） A. {|4}x x >- B. {}|4x x ≤ C. {|4}x x <- D. {|4}x x ≤-【答案】D 【解析】 【分析】先解出A 中x 的范围,再求A R即可.【详解】{|15}{|4}A x x x x =-<=>-,故A =R{|4}x x ≤-故选：D【点睛】本题主要考查集合的基本运算,属于基础题型. 2.2(3)i -=（ ） A. 86i -- B. 86i + C. 86i - D. 86i -+【答案】C 【解析】 【分析】根据复数运算法则得到化简的结果，进而得到答案.【详解】根据复数的运算法则得到：22(3)9686i i i i -=-+=-. 故选C ．【点睛】本题考查了复数的运算，属于基础题.3.已知平面向量()1,2a =-，()2,b y =，且//a b ，则32(a b += ) A. ()1,7- B. ()1,2-C. ()1,2D. ()1,2-【答案】D 【解析】 【分析】由共线向量可知1y 220-⨯-⨯=，可得y 值，进而可得向量b 的坐标，由向量的运算可得结果． 【详解】()a 1,2=-，()b 2,y =，且a //b ，1y 220∴-⨯-⨯=，解得y 4=-，故可得()()()3a 2b 31,222,41,2+=-+-=- 故选D ．【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示，属基础题． 4.已知数列{}n a 为等差数列，若2610πa a a 2++=，则()39tan a a +的值为( )A. 0B.3C. 1【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质得6πa .6=从而396πa a 2a 3+==，由此能求出()39tan a a +的值． 【详解】数列{}n a 为等差数列，1610πa a a 2++=，26106πa a a 3a 2∴++==，解得6πa 6=．396πa a 2a 3∴+==，()39πtan a a tan33∴+==． 故选D ．【点睛】本题考查正切值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5.设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】cos ,a b a b a b ⋅=⋅，由已知得cos ,1a b =，即,0a b =，//a b .而当//a b 时，,a b还可能是π，此时a b a b ⋅=-，故“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件，故选A.考点：充分必要条件、向量共线.6.设()f x 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(2,1]-上的图象，则(2018)(2019)f f +=（ ）A. 0B. 1C. 1-D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用函数的周期性以及图象分析可得；【详解】解：由题意可得：(2018)(20186733)f f =-⨯(1)2f =-=，(2019)(20196733)f f =-⨯(0)0f ==，则(2018)(2019)2f f +=.故选：D.【点睛】本题考查函数的周期性以及函数的求值，属于基础题．7.若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A. (],1-∞B. (),1-∞C. (],2-∞D. (),2-∞【答案】C 【解析】 【分析】求()2f'x 6x 6mx 6=-+，根据题意可知()f'x 0≥在()1,∞+上恒成立，可设()2g x 6x 6mx 6=-+，法一：讨论的取值，从而判断()g x 0≥是否在()1,∞+上恒成立：0≤时，容易求出2m 2-≤≤，显然满足()g x 0≥；0>时，得到关于m 的不等式组，这样求出m 的范围，和前面求出的m 范围求并集即可，法二：分离参数，求出m 的范围即可． 【详解】()2f'x 6x 6mx 6=-+；由已知条件知()x 1,∞∈+时，()f'x 0≥恒成立；设()2g x 6x 6mx 6=-+，则()g x 0≥在()1,∞+上恒成立；法一：()1若()236m 40=-≤，即2m 2-≤≤，满足()g x 0≥在()1,∞+上恒成立；()2若()236m 40=->，即m 2<-，或m 2>，则需：()m 121660g m ⎧<⎪⎨⎪=-≥⎩解得m 2≤；m 2∴<-， ∴综上得m 2≤，∴实数m 的取值范围是(],2∞-；法二：问题转化为1m x x≤+在()1,∞+恒成立， 而函数1y x 2x=+≥，故选C ．【点睛】考查函数单调性和函数导数符号的关系，熟练掌握二次函数的图象，以及判别式的取值情况和二次函数取值的关系．8.已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989.据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A. 0.25 B. 0.2C. 0.35D. 0.4【答案】A 【解析】 【分析】当三次投篮恰有两次命中时，就是三个数字xyz 中有两个数字在集合{}1,2,3,4，再逐个考察个数据，最后利用古典概型的概率公式计算可得．【详解】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393.共5组随机数，∴所求概率为510.25204==. 故选：A【点睛】本题主要考查了随机事件概率的含义及其运算，以及用数值表示随机事件的意义，属于基础题．9.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知b a cosC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，a 2=，c =，则角C (= ) A.π3B.π6C.3π4D.π4【答案】D 【解析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式tanA =结合范围()A 0,π∈，可求sinA 的值，进而根据正弦定理可得sinC 的值，结合大边对大角可求C 为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求解．【详解】b a cosC ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴由正弦定理可得：sinB sinAcosC =+，又()sinB sin A C sinAcosC cosAsinC =+=+，∴cosA =，可得：tanA =()A 0,π∈，πA 3∴=，可得：sinA =， 又a 2=，c 3=， ∴由正弦定理可得：c sinA 32sinC a 22⋅===， c a <，C 为锐角， πC 4∴=． 故选D ．【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．10.已知点O 为双曲线C 的对称中心，直线12,l l 交于点O 且相互垂直，1l 与C 交于点11,A B ，2l 与C 交于点22,A B ，若使得1122||||A B A B =成立的直线12,l l 有且只有一对，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A. (1,2]B.C. 2]D.)+∞【答案】D【解析】【分析】根据使得1122A B A B=成立的直线12,l l有且只有一对，可得双曲线渐近线的斜率大于1，进而可求出结果.【详解】设双曲线方程为22221(00)x ya ba b-=>>，；所以渐近线方程为ybxa=±因为直线12,l l交于点O且相互垂直，1l与双曲线C交于点11,A B，2l与C交于点22,A B，且使得1122A B A B=成立直线12,l l有且只有一对，所以可得451btana>︒=，所以b a>，即222c a a->，所以eca=>故选D【点睛】本题主要考查双曲线的性质，解题关键在于搞清双曲线的渐近线与已知直线12,l l斜率之间的关系，属于常考题型.11. 下列命题：①“在三角形ABC中，若sin sinA B>,则A B>”的逆命题是真命题；②命题:2p x≠或3y≠，命题:5q x y+≠则p是q的必要不充分条件；③“32,10x R x x∀∈-+≤”的否定是“32,10x R x x∀∈-+>”；④“若,221a ba b>>-则”的否命题为“若a b≤，则221a b≤-”；其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】试题分析：对于①“在ABC∆中，若sin sinA B>，则A B>” 的逆命题为“在ABC∆中，若A B>，则sin sinA B>”，若A B>，则a b>，根据正弦定理可知，sin sinA B>，所以逆命题是真命题，所以①正确；对于②，由2x ≠，或3y ≠，得不到5x y +≠，比如1,4x y ==，5x y +=，p ∴不是q 的充分条件；若5x y +≠，则一定有2x ≠，则3y ≠，即能得到2x ≠，或3y ≠，p ∴是q 的必要条件，p ∴是q 的必要不充分条件，所以②正确；对于③，“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32,10x R x x ∃∈-+>” ,所以③不对；对于④“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”；所以④正确，故选C ．考点：1、四种命题及其关系；2、充要条件及全称命题的否定． 12.方程3sin x x =的根的个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】试题分析：大致图形如图所示,接下来比较与在处的切线斜率,,时,,即在处的切线方程为轴,又,在,因此在轴右侧图象较缓,由图象可知,共有个交点,故选C ．考点：图象的交点．【思路点晴】本题考查的是两个函数的交点个数问题．首先运用函数与方程的思想,把给定方程转化成为两个基本函数的交点问题,再通过函数的性质与比较函数在相同自变量处的函数值的大小关系画出两个基本函数图象,需要注意的是,两个函数都过点,而轴右侧的高低情况需要比较两个函数在处的切线斜率得到,为本题的易错点．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.点()M 2,1到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为______．【答案】14或112- 【解析】 【分析】求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可．【详解】抛物线2y ax =的标准方程为：21x y a =，准线方程为：1y 4a=-， 1124a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得1a 4=或112-．故答案为14或1..12- 【点睛】本题考查抛物线方程，简单性质的应用，注意抛物线方程的标准方程的应用，是易错题． 14.若π0α2<<，πβ02-<<，π1cos α43⎛⎫+= ⎪⎝⎭，βπ3sin 243⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()cos 2αβ+=______．【答案】2327【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式，余弦公式，二倍角公式化简已知等式，可求sin2α，sin β，进而利用同角三角函数基本关系式可求cos β的值，利用二倍角的余弦函数公式可求cos2α，利用两角和的余弦函数公式即可计算求值得解． 【详解】()π21cos αcos αsin α423⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，可得：2cos αsin α-=，①∴两边平方可得，21sin2α9-=，解得：7sin2α9=， π0α2<<，可得：()4cos αsin α1sin2α3+=+=，②∴由①②解得：()()42cos2αcos αsin αcos αsin α=-+=，又βπ3sin 243⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得：2ββ3sin cos 2223⎛⎫+= ⎪⎝⎭，两边平方，可得：1sin β3=-，22cos β3=， ()42227123cos 2αβcos2αcos βsin2αsin β939327⎛⎫∴+=-=⨯-⨯-=⎪⎝⎭． 故答案为2327． 【点睛】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，余弦函数公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 15.菱形ABCD 边长为6，60BAD ∠=，将BCD ∆沿对角线BD 翻折使得二面角C BD A --的大小为120，已知A 、B 、C 、D 四点在同一球面上，则球的表面积等于__________． 【答案】84π 【解析】如图，点12,O O 分别为,BAD CBD ∆∆外接圆的圆心，点O 为球心，因为菱形ABCD 边长为6，60BAD ∠=，所以113163,3tan 60323O G OO =⨯⨯===，136233AO =⨯=222221121,484R OA AO OO S R ππ∴==+===，故答案为84π.16.已知函数()212ln x x f x e e ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图象上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是_____________.【答案】322,3e e-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】求出函数()g x关于直线1y=的对称函数()h x，令()f x与()h x的图象有交点得出m的范围即可．【详解】()1g x mx=+关于直线1y=对称的直线为()1y h x mx==-，∴直线1y mx=-与2lny x=在21[,]ee上有交点，作出1y mx=-与2lny x=的函数图象，如图所示：若直线1y mx=-经过点12e-（，），则3m e=，若直线1y mx=-与2lny x=相切，设切点为(),x y，则122y mxy lnxmx⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩，解得323232x eym e-⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩．∴322?3e m e--≤≤，故答案为322,3e e-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想，以及零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设数列{}n a 满足：1a 1=，213a a 1-=，且()n 1n 1n n 1n 1a a 2n 2a a a -+-++=≥ (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11b 2=，n n 1n 4b a a -=，设{}n b 的前n 项和n T .证明：n T 1<． 【答案】（1）n 2a n 1=+；（2）证明见解析.【解析】 【分析】(1)由已知得n n 1n 1211a a a -+=+，从而推导出n 1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，由此能求出数列{}n a 的通项公式;(2)由()n 111b n n 1n n 1==-++，利用裂项相消法能证明n T 1<．【详解】(1)数列{}n a 满足：1a 1=，213a a 1-=，且()n 1n 1n n 1n 1a a 2n 2a a a -+-++=≥， n n 1n 1211a a a -+∴=+， 又1a 1=，213a a 1-=，121131,a a 2∴==，21111a a 2∴-=， n 1a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，()()n 1111n 1n 1a 22∴=+-=+， n 2a .n 1∴=+ (2)证明：数列11b 2=，n n 1n 4b a a -=， ()n 111b n n 1n n 1∴==-++，n 12n 111111T b b b 111223n n 1n 1⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋯+=-+-+⋯+-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故n T 1.<【点睛】本题考查数列通项公式的求法，考查数列的前n 项和小于1的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．这个题目也涉及了数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．18.已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲，乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示.（1）将甲每天生产的次品数记为x （单位：件），日利润记为y （单位：元），写出y 与x 的函数关系式；（2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记X 表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）因为甲每天生产的次品数为x ，所以损失30x 元，则其生产的正品数为100x -，获得的利润为20(100)x -元，即可列出y 与x 的函数关系式；（2）由题意，可得甲、乙1天中生产的次品数不超过1的人数之和的可能取值0,1,2，分别求得取每个值对应的概率，即可列出分布列，利用公式求解数学期望． 【详解】（1）因为甲每天生产的次品数为x ，所以损失30x 元， 则其生产的正品数为100x -，获得的利润为()20100x -元，因而y 与x 的函数关系式为()2010030y x x =-- 200050x =-，其中04x ≤≤，x N ∈. （2）同理，对于乙来说，200050y x =-，03x ≤≤，x N ∈.由2000501950x -≥，得1x ≤， 所以X 是甲、乙1天中生产的次品数不超过1的人数之和，所以X 的可能值为0，1，2，又甲1天中生产的次品数不超过1的概率为204031005+=， 乙1天中生产的次品数不超过1的概率为30251110020+=， 所以()299052050P X ==⨯=，()39211491520520100P X ==⨯+⨯=，()311332520100P X ==⨯=，所以随机变量X 的分布列为所以()94933230125010010020E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.19.已知椭圆C ：223412x y +=，试确定m 的取值范围，使得对于直线l ：4y x m =+，椭圆C 上有不同两点关于这条直线对称.【答案】m <<【解析】 【分析】根据对称性可知线段AB 被直线4y x m =+垂直平分，从而可得直线AB 的斜率14k =-，线AB 与椭圆有两个交点，且AB 的中点M 在直线4y x m =+，可设直线AB 的方程为14y x n =-+，联立方程组22341214x y y x n⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩，整理可得2213816(3)0x nx n -+-=可求中点M ，由226441316(3)0n n ∆=-⨯⨯->可求n 的范围，由中点M 在直线4y x m =+可得m ，n 的关系，从而可求m 的范围．【详解】解：设椭圆上关于直线4y x m =+对称的点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则根据对称性可知线段AB 被直线4y x m =+垂直平分． 可得直线AB 的斜率14k =-， 直线AB 与椭圆有两个交点，且AB 的中点()00,M x y 在直线4y x m =+， 故可设直线AB 的方程为14y x n =-+， 联立方程组22341214x y y x n⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩， 整理可得2213816(3)0x nx n -+-= 12813n x x ∴+=，1212124()2413n y y x x n +=-++=， 226441316(3)0n n ∆=-⨯⨯->，n <， 0413n x ∴=，01213n y =，代入4y x m =+，413n m =-，∴m <，m ∴的范围就是213213,⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题重点考查了椭圆的基本性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题，解题关键是熟练运用直线与椭圆的位置关系求解．20.如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是平行四边形，11BC C C ⊥，平面11AC CA ⊥平面11BCC B ，且,E F 分别是11,BC A B 的中点.（Ⅰ）求证：11BC A C ；（Ⅱ）求证：//EF 平面11AC CA ；（Ⅲ）在线段AB 上是否存在点P ，使得1BC ⊥平面EFP ？若存在，求出APAB的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）当点P 是线段AB 的中点时，1BC ⊥平面EFP .此时，12AP AB = 【解析】 【分析】（Ⅰ）由11BC C C ⊥，利用面面垂直的性质，证得1BC ⊥平面11ACC A ，在线面垂直的性质，即可得到11BC A C .（Ⅱ）取11A C 中点G ，连,FG 连GC ，得到四边形11BCC B 为平行四边形，又由E 是BC 的中点，证得EC FG //，且EC FG =，进而得到FE GC //，利用线面平行的判定定理，即可证得//EF 平面11AC CA .（Ⅲ）取AB 的中点P ，连PE ，连PF ，由线面垂直的性质，得到1BC ⊥AC ,1BC ⊥CG ，又在在△ABC 中，利用中位线得//PE AC ，再由（Ⅱ）知FE CG //，进而得到1BC ⊥平面EFP ，得出结论.【详解】（Ⅰ）因为11BC C C ⊥，又平面11AC CA ⊥平面11BCC B ， 且平面11AC CA ⋂平面111BCC B C C =， 所以1BC ⊥平面11ACC A .又因为1AC ⊂平面11A C CA ， 所以11BC AC ⊥. （Ⅱ）取11A C 中点G ，连,FG 连GC .在△111A B C 中，因为,F G 分别是1111,A B AC 中点， 所以11//FG B C ，且111=2FG B C . 在平行四边形11BCC B 中，因为E 是BC 的中点， 所以11//EC B C ，且111=2EC B C . 所以//EC FG ，且=EC FG . 所以四边形FECG 是平行四边形. 所以//FE GC .又因为FE ⊄平面11A C CA ，GC ⊂平面11A C CA ，所以//EF 平面11A C CA . （Ⅲ）在线段AB 上存在点P ，使得1BC ⊥平面EFP . 取AB 的中点P ，连PE ，连PF .因为1BC ⊥平面11ACC A ，AC ⊂平面11ACC A ,CG ⊂平面11ACC A , 所以1BC ⊥ AC ,1BC ⊥ CG .在△ABC 中，因为,P E 分别是,AB BC 中点，所以//PE AC . 又由（Ⅱ）知//FE CG ， 所以1BC ⊥ PE ，1BC EF ⊥. 由PE EF E ⋂=得1BC ⊥平面EFP .故当点P 是线段AB 的中点时，1BC ⊥平面EFP .此时，12AP AB =. 【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，及线面位置关系的应用，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 21.已知函数f(x)＝x 2－ax －alnx(a∈R )． (1)若函数f(x)在x ＝1处取得极值，求a 的值；(2)在(1)的条件下，求证：f(x)≥－33x ＋252x －4x ＋116.【答案】(1) a ＝1.(2) 见解析. 【解析】试题分析：（1）根据极值的定义即导函数的变号零点，求导使得f′(1)＝0，解得a ＝1；并检验a ＝1时1是函数的变号零点即可（2）构造函数g(x)＝f(x)－35114326x x x ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭，研究这个函数的单调性，使得这个函数的最小值大于等于0即可. 解析：(1)解 f′(x)＝2x －a －ax，由题意可得f′(1)＝0，解得a ＝1.经检验，a ＝1时f(x)在x ＝1处取得极值，所以a ＝1.(2)证明 由(1)知，f(x)＝x 2－x －lnx ，令g(x)＝f(x)－35114326x x x ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭ ＝33x －232x ＋3x －lnx －116，由g′(x)＝x 2－3x ＋3－1x ＝31x x -－3(x －1)＝()31x x- (x>0)，可知g(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)≥g(1)＝0，所以f(x)≥－33x ＋252x －4x ＋116成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32(12x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．()1求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；()2若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的中点P 到坐标原点O 的距离．【答案】（1）30x --=，22(2)4x y -+=（2【解析】 【分析】 （I ）将2ty代入32x t =+，即可得到直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线C 的直角坐标方程；（II ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用韦达定理和参数的几何意义，即可求解点P 到原点O 的距离. 详解】解：（I ）将2t y =代入3x =+，整理得30x --=， 所以直线l的普通方程为30x -=.由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入24cos ρρθ=，得2240x y x +-=，即曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=. （II ）设A ，B的参数分别为1t ，2t .将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得22132422t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得230t +-=，由韦达定理得12t t += 于是1222p t t t +==-. 设()00,P x y ，则0093,412x y ⎧⎛==⎪ ⎪⎝⎭⎨⎛⎪=⨯= ⎪ ⎝⎭⎩则9,44P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以点P 到原点O 2. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数的几何意义的应用，其中熟记互化公式，合理利用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 23.已知函数()|21|||()f x x x m m R =+--∈. （1）当1m =时，解不等式()2f x ≥；（2）若关于x 的不等式()|3|f x x ≥-的解集包含[3,4]，求m 的取值范围. 【答案】（1）2(,4][,)3-∞-+∞（2）[4,10]- 【解析】 【分析】（I ）当1m =，不等式为2112x x +--≥，分类讨论，即可求解不等式的解集.（II ）由题意()|21||||3|f x x x m x =+--≥-的解集包含[3,4]，转化为当[3,4]x ∈时，|21||||3|x x m x +--≥-恒成立，即||4x m x -≤+，再利用绝对值的定义，即可求解.【详解】解：（I ）当12x ≤-时，()()2112f x x x x =--+-=--， 由()2f x ≥解得4x ≤-，综合得4x ≤-； 当112x -<<时，()()()2113f x x x x =++-=， 由()2f x ≥解得23x ≥，综合得213x ≤<； 当1x ≥时，()()()2112f x x x x =+--=+，由()2f x ≥解得0x ≥，综合得1x ≥.所以()2f x ≥的解集是][2,4,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. （II ）∵()213f x x x m x =+--≥-的解集包含[]3,4，∴当[]3,4x ∈时，213x x m x +--≥-恒成立 原式可变为213x x m x +--≥-，即4x m x -≤+，∴44x x m x --≤-≤+即424m x -≤≤+在[]3,4x ∈上恒成立，显然当3x =时，24x +取得最小值10，即m 的取值范围是[]4,10-.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．同时注意绝对值不等式有时与函数以及不等式恒成立等知识点相互交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
2020届江西省重点中学盟校高三下学期第一次联考数学(文)试卷及解析
2020届江西省重点中学盟校高三下学期第一次联考数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考生注意：1．答题前,考生将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2．第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试卷上作答,答案无效.3．考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并回收．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：共12小题,满分60分,每小题5分.1. 设z i i z+=,则z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D【解析】 先由已知条件求得11122i z i i -==--,再确定z 在复平面内对应的点位于的象限即可. 【详解】解：由题意知()1,z i i -=-, 即11122i z i i -==--, 故z 在复平面内对应点位于第四象限,故选D.2. 命题“在ABC ∆中,若1sin 2A =,则30A =︒”的否命题是（ ） A. 在ABC ∆中,若1sin 2A =,则30A ≠︒ B. 在ABC ∆中,若1sin 2A ≠,则30A =︒ C. 在ABC ∆中,若1sin 2A ≠,则30A ≠︒ D. 在ABC ∆中,若30A ≠︒,则1sin 2A ≠ 【答案】C【解析】 命题“若p 则q ”的否命题为“若p ⌝则q ⌝”【详解】因为命题“若p 则q ”的否命题为“若p ⌝则q ⌝”所以命题“在ABC ∆中,若1sin 2A =,则30A =︒”的否命题是 “在ABC ∆中,若1sin 2A ≠,则30A ≠︒” 故选：C3. .设log 3a π=,0.32b =,21log 3c =,则（ ） A. a c b >>B. c a b >>C. b a c >>D. a b c >>【答案】C【解析】 先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1,即得解.【详解】由题得21log 3c =2log 10<=,a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C4. 为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响,某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本,其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人,女性80人,绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图,如图所示,其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例,则下列叙述中错误的是( )A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关B. 是否倾向选择生育二胎与性别有关C. 倾向选择生育二胎的人群中,男性人数与女性人数相同D. 倾向选择不生育二胎的人群中,农村户籍人数少于城镇户籍人数【答案】C【解析】。
2020年江西省名校学术联盟高考数学模拟试卷(文科)(二)(有解析)
2020年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学模拟试卷(二)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={1,2，3}，B={x|(x+1)(x−2)<0,x∈Z}，则A∪B=______ ．2.i是虚数单位，复数6+7i1+2i=________．3.执行下边的流程图，若输入的x的值为−2，则输出y的值是__________．4.样本数据11，8，9，10，7的方差是________．5.甲、乙两名学生选修4门课程(每门课程被选中的机会相等)，要求每名学生必须选1门且只需选1门，则他们选修的课程互不相同的概率是______ ．6.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=7，S6=63，则a1=________．7.已知点A是抛物线C1：y2=2px(p>0)与双曲线C2：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线的离心率等于______．8.若cosα=13(0<α<π)，则sin2α=______．9.设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数，其导函数为f′(x)，且f′(x)<f(x)，则关于x的不等式xf(1)<ef(ln x)的解集为_____．10.已知函数的定义域和值域都是[0,1]，则实数a的值是____．11. 已知函数f(x)=e x−2+x −3(e 为自然对数的底数)，g(x)=x 2−(a +1)x −a +7，若存在实数x 1、x 2、x 3(x 2≠x 3)，使得f(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，且|x 1−x 2|≤1和|x 1−x 3|≤1同时成立，则实数a 的取值范围是__________．12. 已知a ≥0，b ≥0，且a +b =13则1a+2b +12a+b 的最小值为 ．13. 若函数f(x)=16(2x −1)3−x +2(1≤x ≤4),则f(x)的最大值是__________．14. 在平面直角坐标系xOy 中，A(−12,0)，B(0,6)，点P 在圆O ：x 2+y 2=50上．若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________． 二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 已知函数f(x)=2sinx ⋅cosx −cos 2x +sin 2x ，x ∈R ．(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间； (2)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．16. 在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD =DC =CB =a ，∠ABC =60°.平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ACEF 是矩形，AF =a ，点M 在线段EF 上． (Ⅰ)求证：BC ⊥AM ；(Ⅱ)试问当AM 为何值时，AM//平面BDE ？证明你的结论． (Ⅲ)求三棱锥A −BFD 的体积．17.如图所示，等腰△ABC的底边AB=8，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V(x)表示四棱锥P−ACEF的体积．(1)求V(x)的表达式；(2)当x为何值时，V(x)取得最大，并求最大值．18. 已知椭圆x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)离心率为12，过点E(−√7,0)的椭圆的两条切线相互垂直． (1)求此椭圆的方程；(2)若存在过点(t,0)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，使得FA ⊥FB(F 为右焦点)，求t 的取值范围．19. 数列{a n }满足a 1=2，a n+1=2n+1a n(n+12)an+2n(n ∈N ∗)(1)设b n =2na n，求数列{b n }的通项公式；(2)设c n =1n(n+1)a n+1，数列{c n }的前n 项和为S n ，不等式14m 2−14m >S n 对一切n ∈N ∗成立，求m 得范围．20. 已知函数f (x )=x 3−ax 2+427．(1)若f(x)在(a −1,a +3)上存在极大值，求a 的取值范围；(2)若x轴是曲线y=f(x)的一条切线，证明：当x≥1时，f(x)>lnx−23．27【答案与解析】1.答案：{0,1，2，3}解析：先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．解：∵集合A={1,2，3}，B={x|(x+1)(x−2)<0,x∈Z}={0,1}，∴A∪B={0,1，2，3}．故答案为：{0,1，2，3}．2.答案：4−i解析：本题考查复数的四则运算，根据复数除法的运算法则直接计算即可，属于基础题．解：6+7i1+2i =(6+7i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=6+14+7i−12i5=20−5i5=4−i．故答案为4−i．3.答案：5解析：x=−2<0，则y=−2×(−2)+1=5．4.答案：2解析：本题考查了方差的公式，属于基础题．将数据直接代入方差计算公式可得答案．解：因为样本平均数x=7+8+10+11+95=9，故方差s2=15[(11−9)2+(8−9)2+(9−9)2+(10−9)2+(7−9)2]=2，故答案为2．5.答案：34解析：此题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．利用分步乘法原理，分别计算出甲、乙两名学生任选一门选修课程的情况总数和满足他们选修的课程互不相同的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．解：设选修4门课程名称为A，B，C，D甲、乙两名学生选修课程名称记为(x,y)，则共有4×4=16种不同情况，其中他们选修的课程互不相同的事件有4×3=12种不同情况，故他们选修的课程互不相同的概率P=1216=34，故答案为：34．6.答案：1解析：本题考查等比数列的前n项和公式以及应用，注意分析q是否为1.根据题意，由等比数列前n项和公式可得S3=a1(1−q3)1−q =7，S6=a1(1−q6)1−q=63；变形可得1+q3=9，解可得q的值，将q的值代入S3=a1(1−q3)1−q=7，计算可得答案．解：根据题意，等比数列{a n}满足S3=7，S6=63，则其公比q≠1，若S3=7，则a1(1−q3)1−q=7；S6=63，则a1(1−q6)1−q=63；变形可得：1+q3=9，解可得q=2；又由a1(1−q 3)1−q=7，解可得a1=1．故答案为17.答案：√5解析：解：取双曲线的一条渐近线：y=ba x，联立{y2=2pxy=bax解得{x=2pa2b2y=2pab，故A(2pa2b2,2pab)．∵点A到抛物线的准线的距离为p，∴p2+2pa2b=p，化为a2b=14．∴双曲线C2的离心率e=ca =√1+b2a2=√5．故答案为√5．取双曲线的一条渐近线：y=bax，与抛物线方程联立即可得到交点A的坐标，再利用点A到抛物线的准线的距离为p，即可得到a，b满足的关系式，利用离心率计算公式即可得出．熟练掌握抛物线及双曲线的标准方程及其性质、渐近线方程和离心率计算公式是解题的关键．8.答案：4√29解析：解：∵cosα=13(0<α<π)，∴sinα=2√23，∴sin2α=2sinαcosα=2×2√23×13=4√29，故答案为：4√29．由题意可得sinα=2√23，再根据sin2α=2sinαcosα，计算求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式的应用，属于中档题．9.答案：(1,e)解析：本题考查的是利用导数研究函数的单调性问题，属于基础题．解：设函数g(x)=f(x)e x ，则g′(x)=ex f′(x)−e x f(x)(e x)2=f′(x)−f(x)e x<0，所以g(x)=f(x)e x为(0,+∞)上的单调递减函数．当x>0时，不等式xf(1)<ef(ln x)等价于f(ln x)x >f(1)e，即f(ln x)e ln x>f(1)e，所以0<ln x<1，即1<x<e．故答案为(1,e)．10.答案：2解析：本题考查对数函数的单调性，属于基础题．分a >1和0<a <1讨论，结合对数函数的性质即可求解． 解：当a >1时，函数f(x)=log a (x +1)在定义域上是增函数， 所以，解得a =2;当0<a <1时，函数f(x)=log a (x +1)在定义域上是减函数， 所以，无解;综上a =2， 故答案为2 ．11.答案：(3,134]解析：本题主要考查函数与方程的综合知识，首先求出函数f(x)的导数，可得f(x)单调递增，解得f(x)=0的解为x 1=2，由题意可得g(x)=x 2−(a +1)x −a +7=0在1≤x ≤3上有两个不等的根，通过判别式对称轴等可求得a 的取值范围，难度中等．解：函数f(x)=e x−2+x −3的导数为f ′(x)=e x−2+1>0， ∴f(x)在R 上单调递增，由f(2)=0，可得x 1=2，又存在实数x 1、x 2、x 3(x 2≠x 3)，使得f(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，且|x 1−x 2|⩽1和|x 1−x 3|⩽1同时成立，∴存在实数x 2、x 3(x 2≠x 3)，使得g(x 2)=g(x 3)=0，且|2−x 2|⩽1和|2−x 3|⩽1同时成立， 即g(x)=x 2−(a +1)x −a +7=0在1≤x ≤3上有两个不等的根， 则{g (1)=−2a +7≥0g (3)=−4a +13≥0Δ=(a +1)2−4(−a +7)>01<a+12<3，解得3<a ≤134， 即a 的取值范围为(3,134]12.答案：4 解析：本题考查柯西不等式，结合已知条件将原式变形，即1a+2b +12a+b=(a+2b+2a+b)(1a+2b+12a+b)，进而运用柯西不等式求解．解：因为a+b=13，所以1a+2b +12a+b=(a+2b+2a+b)(1a+2b+12a+b)≥(√a+2b·a+2b +√2a+b2a+b)2=4，当且仅当√a+2b√2a+b =√2a+b√a+2b，即a=b时取等号．故答案为4．13.答案：3316．解析：本题考察了导数与函数的单调性，根据单调性求最值即可。
2020届江西省名校联盟高三第五次联考数学(文)试卷
2020届江西省名校联盟高三第五次联考文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 集合{}{}220,A x x x B x x a =--<=<.若A B =∅,则实数a 的取值范围是( )A.{}1a a ≤-B.{}2a a ≥C. {}12a a -<<D. {}1a a <-2．若0<<b a ，则下列不等式中不成立的是（ ） A ．||||b a > B ．a b a 11>- C ．ba 11> D ．22b a > 3．关于x 的不等式x x x 352>--的解集是（ ） A.}1x 5{-≤≥或x x B.}1x 5{-<>或x x C.}5x 1{<<-x D.}5x 1{≤≤-x4、有关命题的说法错误．．的是 ( ) A.命 题“若0232=+-x x 则 1=x ”的 逆 否 命 题 为：“若1≠x , 则0232≠+-x x ”.B.“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件.C.若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题.D.对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<. 则⌝p ：x R ∀∈， 均有210x x ++≥.5、设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．136、o -300化为弧度等于（ ） A.4π-3 B.7π-4 C.5π-3 D.7π-67.若cos 0,sin 0,θθθ><且则角的终边所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8． 设0a <,角α的终边经过点()3,4P a a -,那么sin 2cos αα+的值等于 （ ）.A 25 .B 25- .C 15 .D 15- 9．如果A 为锐角，1sin(),cos()2A A ππ+=--=那么（ ）A ．2B ．2-C ．2D ．2- 10． y =|sin |cos |tan |sin |cos |tan x x x x x x++的值域是（ ） A ．{1,－1} B ． {－1,1,3} C ． {－1,3} D ．{1,3}11.已知tan()5,tan()4,tan()44ππαββα+=-=+那么=（ ） A ．－919 B ．121 C ．119 D ．92112．若x ∈(0，2π)，函数y ＝sin x ＋－tan x 的定义域是（ ）A.( π2 ,π］B.( π2 ,π)C.(0,π)D.( 3π2,2π) 二，填空题（每题4分，共16分）13、若关于x 的不等式mx x x >+-2212的解集为}20|{<<x x ，则m 的值为 . 14、若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是 . 15、函数y ＝sin(2x ＋π3)的递增区间是16、若函数y ＝A cos(ωx －3)的周期为2，则ω＝ ；若最大值是5，则A ＝ . 三．解答题（共4道题，总分44分）17、（10分）已知1tan()2,tan .42παβ+== （1）求tan α的值；（2）求sin()2sin cos 2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++的值18、（10分）已知21tan =α，求（1）ααααsin cos cos sin -+ （2）ααcos sin19、（12分）已知函数y ＝3sin x ＋cos x ，x ∈R .（1）求最小正周期；（2）求函数的单调递增区间（3）求函数的最大值 ,及函数取得最大值时自变量x 的集合；（4）求函数的对称轴；20、（12分）设函数()3sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以2π为最小正周期．（1）求()0f ；（2）求()f x 的解析式；（3）已知94125f απ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求sin α的值。
2020届江西省名校联盟高三第六次联考数学(文)试卷
2020届江西省名校联盟高三第六次联考数学试卷（文科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题（每小题5分，共60分） 1．下列不等式中，正确的是 A ．若，则 B ．若，则 C ．若，则 D ．若，则2．已知，，，成等差数列，，，成等比数列，则（ ）A. B. C.或 D.或3．若函数()y f x =的图像如下图所示，则函数()'y f x =的图像有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙5．已知α是第二象限角，1sin cos 5αα+=，则cos sin αα-=（ ） A ．15- B ．75- C ．15D ．756．如图，在平行四边形ABCD 中，点E F 、满足2,2BE EC CF FD ==，EF 与AC 交于点G ，设AG GC λ=，则λ=（ ）A ．97B ．74C ．72D ．927．已知正实数,m n满足2m n +=，则mn 的最大值为（ ）A．6- B ．2C．6-D ．38．如图所示，设为所在平面内的一点，并且2AP PB PC =+，则与的面积之比等于（ ） A.25B.35C.34D.149．已知点)3,3(A ，O 为坐标原点，点P （x ，y ）的坐标x ，y满足0,20,0,y x y -≤-+≥⎨⎪≥⎪⎩则向量OP OA 在向量方向上的投影的取值范围是A ．]3,3[-B ．[-3，3]C ．]3,3[-D ．]3,3[- 10．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ） A ．21+B ．18+C ．21D ．1811．设为等差数列的前n 项和，且，，则( )A ．B ．C ．2018D ．201612．已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若动点P 满足(),0,,sin sin AB AC OP OA AB B AC C λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知i 是虚数单位，复数1z i =-，则在复平面上复数z 对应的点坐标______. 14．已知关于x 的不等式(1)(1)0ax x -+>的解集是1(,1)(,)2-∞-⋃+∞，则a = .15．将函数的图像向左平移个单位得到一个偶函数的图像，则____．16．已知结论：在正ABC 中，若D 是边BC 的中点， G 是ABC 的重心，则2AGGD=.若把该结论推广到空间中，则有如下结论：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM=__________．三、解答题（70分）17．（10分）已知集合{|33}A x x x =<->或，，求：（1）；（2）．18．（12分）已知数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和为．19．（12分）在△ABC 中，a =7，b =8，sin B = 7． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．20．（12分）如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点. （1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求点C 到平面C 1DE 的距离．21．（12分）围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）。
江西省名校学术联盟2020届高三教学质量检测考试(二)数学(文)试卷(含答案)
江西名校学术联盟2018届高三年级教学质量检测考试（二）文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为R ，集合}0|{2<-=x x x A ，}02|{2≤-+=x x x B ，则（ ）A ．B A ⊆ B ．A B ⊆C ．)(B C A R ⊆D ．R B A =2.已知等差数列}{n a 的前n 项和n S )(*N n ∈，若5253=S S ，则=126a a （ ） A ．4 B ． 2 C ． 41 D ．21 3.已知函数⎩⎨⎧>-≤-=+3),3(log 3,22)(212x x x x x f m ，其中R m ∈，则=+)43(m f （ ）A ． m 2B ．6C ． mD ． m 2或64.函数25ln )(xx x f =的单调递增区间为（ ） A ． ),0(e B ． ),(e -∞ C. ),0(e D ．),(+∞e5.已知R n m ∈,，则“1||||>+n m ”是“1-<n ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要6. 陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜”或“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，从前的制作材料多为木头，现代多为塑料或铁制，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，下图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网络纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）A ．π3107B ．π33332+ C. π9932+ D ． π33316+ 7. 将函数ϕπϕsin )22cos(cos )sin 21()(2++-=x x x f 的图像向右平移3π个单位后，所得函数图像关于原点对称，则ϕ的取值可能为（ ）A ．65πB ．3π- C. 2π D ． 6π 8.已知正方形ABCD 如图所示，其中BD AC ,相较于O 点，J I H G F E ,,,,,分别为DO AO AD ,,，CO BO BC ,,的中点，阴影部分中的两个圆分别为ABO ∆与CDO ∆的内切圆，若往正方形ABCD 中随机投掷一点，则该点落在图中阴影区域内的概率为（ ）A ．2)22(1π-+B ．4)224(1π-+ C. 4)246(1π-+ D ．4)226(1π-+ 9.已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，准线为l ，点P 是抛物线C 上一点，过点P 作l 的垂线，垂足为A ，准线l 与x 轴的交点设为B ，若030=∠BAF ，且APF ∆的面积为312，则以PF 为直径的圆的标准方程为（ ）A ．12)3()32(22=++-y x 或12)3()32(22=-+-y xB ．12)32()3(22=++-y x 或12)32()3(22=-+-y xC. 8)3()32(22=++-y x 或8)3()32(22=-+-y xD ．8)32()3(22=++-y x 或8)32()3(22=-+-y x10. 已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，点M 在线段BC 上（点M 异于C B ,两点），点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形，则线段BM 的取值范围为（ ）A ． ]31,0( B ．]21,0( C. ]32,21[ D ． )1,21[ 11.已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为21,F F ，过点1F 作圆Ω：4222a y x =+的切线l ，切点为M ，且直线l 与双曲线C 的一个交点N 满足a NF NF 2||||21=-，设O 为坐标原点，若OF 21=+，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．x y 23±=B ．x y 3±= C. x y 26±= D ．x y 6±= 12. 已知函数⎩⎨⎧≥++-<-=1,241|,)1(log |)(22x x x x x x f ，现有如下说法： ①函数)(x f 的单调增区间为)1,0(和)2,1(；②不等式2)(>x f 的解集为)4,43()3,( --∞； ③函数1)21(--+=xx f y 有6个零点. 则上述说法中，正确结论的个数有（ ）A ． 0个B ． 1个 C.2个 D ．3个二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知等比数列{}n a 的前n 项和n S )(*N n ∈，若6536=S S ，则数列{}n a 的公比为 ． 14.已知单位向量,满足||3|2|-=+，则,夹角的余弦值为 ．15. 已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤--44201y y x y x ，则y x z -=3的取值范围为 ．16.已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ac A b B 4cos 5cos 5+=，则=-B A A AA tan )2sin 2(cos 2cos tan 222 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，因其外形仿照古代海盗船而得名，现有甲、乙两游乐场统计了一天6个时间点参与海盗船游玩的游客数量，具体数据如下：（1）从所给6个时间点中任选一个，求参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少的概率；（2）记甲、乙两游乐场6个时间点参与海盗船游玩的游客数量分别为)6,5,4,3,2,1(,=i y x i i ，现从该6个时间点中任取2个，求恰有1个时间满足i i y x >的概率.18. 在如图所示的五面体ABCDEF 中，CD AB //，22==AD AB ，0120=∠=∠BCD ADC ，四边形EDCF 为正方形，平面⊥EDCF 平面ABCD .（1）证明：在线段AB 上存在一点G ，使得//EG 平面BDF ；（2）求EB 的长.19. 已知数列{}n a 的前n 项和n S )(*N n ∈，且2n S n =，数列}{n b 是首项为1、公比为q 的等比数列.（1）若数列}{n n b a +是等差数列，求该等差数列的通项公式；（2）求数列}{n n b n a ++的前n 项和n T .20. 已知ABC ∆中，角060=B ，8=AB .（1）若12=AC ，求ABC ∆的面积；（2）若点N M ,满足NC MN BM ==32||=BM ，求AM 的值.21. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为21，且椭圆C 过点)23,1(-，直线l 过椭圆C 的右焦点且与椭圆C 交于N M ,两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点)0,4(P ，求证：若圆)0(:222>=+Ωr r y x 与直线PM 相切，则圆Ω与直线PN 也相切.22.已知函数x m e x f x ln )(-=，),0(e m ∈，其中e 为自然对数的底数.（1）若2=m ，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线斜率；（2）证明：当)1,(em x ∈时，函数)(x f 有极小值，且极小值大于m .试卷答案1.【答案】A【解析】依题意，{}{}2001A x x x x x =-<=<<， {}{}22021B x x x x x =+-≤=-≤≤，故A B ⊆，故选A.2.【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则113325105a d a d +=+，故1a d =，故61212a a =，故选D. 3.【答案】A【解析】依题意，343m +>，故()234log 42m m f m +==，故选A.4.【答案】C 【解析】依题意，()522ln 5ln x x f x x x ==，故()24312ln 12ln '55x x x x x f x x x ⋅--=⋅=⋅，令()'0f x >，解得0x <<，故选C.5.【答案】B 【解析】若1m n +>，可令12,2m n ==，可知充分性不成立；若1n <-，则1n >，则1m n n +≥>，故必要性成立，故“1m n +>”是“1n <-”的必要不充分条件，故选B. 6.【答案】B【解析】依题意，该陀螺模型由一个四棱锥、一个圆柱以及一个圆锥拼接而成，故所求几何体的体积221132442333233333V πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+，故选B. 7.【答案】D【解析】依题意，()()cos 2cos sin 2sin cos 2f x x x x ϕϕϕ=-=+，故向右平移3π个单位后，得到2cos 23y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，故()232Z k k ππϕπ-=-+∈，则()6Z k k πϕπ=+∈，观察可知，故选D.8.【答案】C【解析】依题意，不妨设2AO =，则四边形EFOG 与四边形HIOJ 的面积之和为2S =；两个内切圆的面积之和为((2'2212S ππ=⨯⨯=-，故所求概率P =42461π）（-+=，故选C. 9.【答案】A【解析】作出辅助图形如下所示，因为030BAF ∠=，故060AFB PAF ∠==∠，由抛物线的定义可知PA PF =，故APF ∆为等边三角形，因为APF ∆的面积为，故PF PA AF ===，而12BF AF p ===，故点P 的横坐标为2BF PA -=，代入2y =中，解得6y =±，故所求圆的标准方程为(()22312x y -+±=，故选A.10.【答案】B【解析】依题意，当点M 为线段BC 的中点时，由题意可知，截面为四边形AMND 1，从而当210≤<BM 时，截面为四边形，当12BM >时，截面为五边形，故线段BM 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0，故选B.11.【答案】C【解析】因为12ON OF OM +=uuu r uuu r uuu r ，故1ON OM OM OF -=-uuu r uuu r uuu r uuu r ，即1MN F M =uuu r uuu u r ，故点M 为线段1F N 的中点；连接OM ，则OM 为12NF F ∆的中位线，且,,21N F OM a OM ⊥=故22NF OM a ==，且21F N F N ⊥；因为122NF NF a -=，故点N 在双曲线C 的右支上，所以13NF a =，则在12Rt NF F ∆中，由勾股定理可得，2221212NF NF F F +=，即()()22232a a c +=，解得c a ==b a =，故双曲线C 的渐近线方程为y x =，故选C.。
数学文科答案
江西省重点中学盟校2020届高三第一次联考数学文科试卷参考答案与试题解析选择题填空题解答题17、【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，7348a a d -==，即2d =，…………………………………………………………… 2分3113a a ∴-=+，1562a a =+-，…………………………………………………………………… 3分 31a -是11a +，52a -的等比中项，()()()2315112a a a ∴-=+⋅-，即()()()2111+3=16a a a ++，解得13a =.…………………………………………………………………………………5分∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+.……………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭.……………………………… 7分1212n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+=11111135572123n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭()1112323323nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，…………………………………………………………10分 由()232315n n <+，得6n <.…………………………………………………………… 11分∴使得215n T <成立的最大正整数n 的值为5.………………………………………… 12分 18、【解析】(I) 2×2列联表如下：K 2＝()250310271037301320⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈9.98＞6.635 (5)分所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关．…………………6分（列联表填对得两分）(II) 设年龄在[55,65)中不赞成“使用微信交流”的人为A ，B ，C ，赞成“使用微信交流”的人为a ，b ，则从5人中随机选取2人有AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，共10种结果，其中2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的有AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb 、Ca 、Cb ，共9种结果，………………………………………………………………………10分所以2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率为P ＝910． ………………12分（未列举只得2分）19、【解析】（Ⅰ）在图2中，四边形ABCD 是矩形， AB CD ∴,又AE CD ⊥,AE AB ∴⊥………………………………………………………………1分 又,AD AB AEAD A ⊥=,AB ∴⊥平面EAD .…………………………………………………………………………2分 ED ⊂平面EHD ,AB ED ∴⊥,…………………………………………………………………………………3分又,AE ED AE AB A ⊥=,ED ∴⊥平面EAB .…………………………………… 4分又ED ⊂平面EHD∴平面EHD ⊥平面EAB .……………………………………………………………6分（Ⅱ）由（I ）可知，AB ⊥平面EAD ，AB ⊂平面ABCD ，∴平面EAD ⊥平面ABCD .……………………7分2EA ED ==，∴点E 到平面ABCD 的距离为.……………………………………………………………………………………………8分如图，设,AC HD 交于点，连接，则三棱锥E ACD -与三棱锥E AHD -公共部分即三棱锥E AOD -.…………………………………………………………………………………9分H 为BC 的中点，12142323AODS AD AB∆∴=⨯⨯=⨯=，………………………………………10分1183339E AOD AODV S-∆∴=⨯=⨯=.…………………………………………12分20、【解析】（I）12AF F∆bc=2分又2cea==，222a b c=+，解得：24a=，21b=…………………………………4分∴椭圆C的方程为：2214xy+=…………………………………………………………5分（II）假设y轴上存在点()0,M t，ABM∆是以M为直角顶点的等腰直角三角形设()11,A x y，()22,B x y，线段AB的中点为()00,N x y由2214xyy x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y可得：2258440x mx m++-=()()2226420441650m m m∆=--=->，解得：25m<1285mx x∴+=-，212445mx x-=……………………………………………………6分12425x x mx+∴==-，005my x m=+=4,55m mN⎛⎫∴-⎪⎝⎭……………………7分依题意有AM BM⊥，MN l⊥由MN l ⊥可得：5114015m t m -⨯=-⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭，可得：35m t =-……………………8分 由AM BM ⊥可得：12121y t y tx x --⋅=- 11y x m =+，22y x m =+代入上式化简可得：()()()2121220x x m t x x m t +-++-=………………………10分则：()222244880555m m m -⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1m =±…………………………11分当1m =时，点30,5M ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足题意；当1m =-时，点30,5M ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题意故y 轴上存在点30,5M ⎛⎫± ⎪⎝⎭，使得ABM ∆是以M 为直角顶点的等腰直角三角形.……12分21、【解析】（I ）()()2ln x a x g x x x -=+，()()ln '12x x g x x a a +--+=，由题意()'120g a =-=，所以2a =，…………………………………………………2分 所以()()()'12ln 1g x x x =-+，令()'0g x =，得1x =3分当0,x e ⎛∈ ⎝⎭时，()'0g x >，当x e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，当()1,x ∈+∞时，()'0g x >， 所以函数()g x的单调递增区间是0,e ⎛ ⎝⎭和()1,+∞；……………………………………5分（II ）依题意，12ln 0m x x x e--+<， 即12ln 0x m x x e+-->在()0,∞+上恒成立， 令()12ln x m x x p x e=+--， 则()22211'1m x mx x x xp x --=--=.……………………………………………………6分 对于21y x mx =--，2m 40∆=+>，故其必有两个零点，且两个零点的积为1-， 则两个零点一正一负，设其中一个零点为()00x ∈+∞,，则20010x mx --=，即001m x x =-， 且()p x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，故()00p x >，即00000112ln 0x x x x x e⎛⎫+---> ⎪⎝⎭，……………………………………8分 令()112ln q x x x x x x e⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭， 则()222111'11ln 1q x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211ln x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 当()0,1x ∈时，()'0q x >，当()1,x ∈+∞时，()'0q x <， 则()q x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，又()10q q e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故01,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，……………………………………………………10分显然函数001m x x =-在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上是关于0x 的单调递增函数，则11,m e e ee ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 故实数m 的取值范围为11,e e e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.……………………………………………………12分选做题22、【解析】（I）由题知4A π⎫⎪⎭，4B π⎛⎫⎪⎝⎭， 故点B 的直角坐标为()2,2，由l OA ⊥知直线l 的倾斜角为34π， 故直线l 的直角坐标方程为4x y +=，………………………………………………………3分所以其极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……………………5分 （II ）由题知可设()1,P ρθ，()2,Q ρθ，其中30,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则PQ 中点的极坐标为12,2ρρθ+⎛⎫⎪⎝⎭，由P 在曲线C 上得12sin ρθ=，由Q 在直线l上得2sin 4ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故PQ中点的极坐标为sin ,sin 4θθπθ⎛⎫⎪ ⎪+⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以PQ中点轨迹的极坐标方程为3sin 04sin 4πρθθπθ⎛⎫=+<< ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭.……………10分 23、【解析】（I ）因为()2f x a ≥对x R ∀∈恒成立，则()2min f x a ≥，由绝对值三角不等式可得()2min 22f x x a x a a =--=≥，即2a ≤，解得22a -≤≤.故实数a 的取值范围是[]22-,；……………………………………………………………5分 （II ）由题意2m =，故424x y z ++=，………………………………………………6分 由柯西不等式知，()()()()()22222222421424216x y y z x y y z x y z ⎡⎤++++-++-+=++=⎡⎤⎣⎦⎣⎦≥，所以()2221621x y y z +++≥，当且仅当421x y y z+==-时等号成立 从而，最小值为1621，当且仅当87x =，821y =-，421z =时等号成立.………………10分附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
2020届江西省名师联盟高三入学调研考试数学(文)试题(解析版)
2020届江西省名师联盟高三入学调研考试数学（文）试题一、单选题1．设集合{|15}A x x =-<，则R C A =（ ） A ．{|4}x x >- B ．{}|4x x ≤ C ．{|4}x x <- D ．{|4}x x ≤-【答案】D【解析】先解出A 中x 的范围,再求A R ð即可. 【详解】{|15}{|4}A x x x x =-<=>-,故A =R ð{|4}x x ≤-故选：D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算,属于基础题型. 2．2(3)i -=（ ） A ．86i -- B ．86i + C ．86i - D ．86i -+【答案】C【解析】根据复数运算法则得到化简的结果，进而得到答案. 【详解】根据复数的运算法则得到：22(3)9686i i i i -=-+=-. 故选C ． 【点睛】本题考查了复数的运算，属于基础题.3．已知平面向量()1,2a =-r ，()2,b y =r ，且//a b r r ，则32(a b +=r r )A ．()1,7-B ．()1,2-C ．()1,2D ．()1,2-【答案】D【解析】由共线向量可知1y 220-⨯-⨯=，可得y 值，进而可得向量b r的坐标，由向量的运算可得结果． 【详解】()a 1,2=-Q r ，()b 2,y =r ，且a //b r r ，1y 220∴-⨯-⨯=，解得y 4=-，故可得()()()3a 2b 31,222,41,2+=-+-=-r r故选D ． 【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示，属基础题． 4．已知数列{}n a 为等差数列，若2610πa a a 2++=，则()39tan a a +的值为( )A ．0BC ．1D【答案】D【解析】由等差数列的性质得6πa .6=从而396πa a 2a 3+==，由此能求出()39tan a a +的值． 【详解】Q 数列{}n a 为等差数列，1610πa a a 2++=， 26106πa a a 3a 2∴++==，解得6πa 6=． 396πa a 2a 3∴+==， ()39πtan a a tan 3∴+==．故选：D ． 【点睛】本题考查正切值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．设a r ，b r 是非零向量，“a b a b ⋅=r r r r ”是“//a b r r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】cos ,a b a b a b ⋅=⋅r r r r r r ，由已知得cos ,1a b =r r ，即,0a b =r r ，//a b r r .而当//a b r r 时，,a b r r 还可能是π，此时a b a b ⋅=-r r r r ，故“a b a b ⋅=r r r r ”是“//a br r ”的充分而不必要条件，故选A.【考点】充分必要条件、向量共线.6．设()f x 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(2,1]-上的图象，则(2018)(2019)f f +=（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2【答案】D【解析】根据题意，利用函数的周期性以及图象分析可得； 【详解】解：由题意可得：(2018)(20186733)f f =-⨯(1)2f =-=，(2019)(20196733)f f =-⨯(0)0f ==，则(2018)(2019)2f f +=.故选：D. 【点睛】本题考查函数的周期性以及函数的求值，属于基础题．7．若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞ B ．(),1-∞ C ．(],2-∞ D ．(),2-∞【答案】C【解析】求()2f'x 6x 6mx 6=-+，根据题意可知()f'x 0≥在()1,∞+上恒成立，可设()2g x 6x 6mx 6=-+，法一：讨论V 的取值，从而判断()g x 0≥是否在()1,∞+上恒成立：0≤V 时，容易求出2m 2-≤≤，显然满足()g x 0≥；0V >时，得到关于m 的不等式组，这样求出m 的范围，和前面求出的m 范围求并集即可，法二：分离参数，求出m 的范围即可． 【详解】()2f'x 6x 6mx 6=-+；由已知条件知()x 1,∞∈+时，()f'x 0≥恒成立；设()2g x 6x 6mx 6=-+，则()g x 0≥在()1,∞+上恒成立；法一：()1若()236m 40=-≤V ，即2m 2-≤≤，满足()g x 0≥在()1,∞+上恒成立；()2若()236m 40=->V ，即m 2<-，或m 2>，则需：()m 121660g m ⎧<⎪⎨⎪=-≥⎩解得m 2≤；m 2∴<-， ∴综上得m 2≤，∴实数m 的取值范围是(],2∞-；法二：问题转化为1m x x≤+在()1,∞+恒成立， 而函数1y x 2x=+≥， 故m 2≤； 故选C ． 【点睛】考查函数单调性和函数导数符号的关系，熟练掌握二次函数的图象，以及判别式V 的取值情况和二次函数取值的关系．8．已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989.据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A ．0.25 B ．0.2C ．0.35D ．0.4【答案】A【解析】当三次投篮恰有两次命中时，就是三个数字xyz 中有两个数字在集合{}1,2,3,4，再逐个考察个数据，最后利用古典概型的概率公式计算可得．【详解】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393.共5组随机数，∴所求概率为510.25204==. 故选：A 【点睛】本题主要考查了随机事件概率的含义及其运算，以及用数值表示随机事件的意义，属于基础题．9．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知b a cosC ⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭，a 2=，c =C (= ) A ．π3B ．π6C ．3π4D ．π4【答案】D【解析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式tanA =结合范围()A 0,π∈，可求sinA 的值，进而根据正弦定理可得sinC 的值，结合大边对大角可求C 为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】b a cosC sinC 3⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭Q ，∴由正弦定理可得：sinB sinAcosC sinCsinA 3=+，又()sinB sin A C sinAcosC cosAsinC =+=+Q ，∴可得：sinA cosA 3=，可得：tanA =，()A 0,π∈Q ，πA 3∴=，可得：sinA 2=， 又a 2=Q，c =∴由正弦定理可得：c sinA 32sinC a 2⋅=== c a <Q ，C 为锐角，πC 4∴=． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．10．已知点O 为双曲线C 的对称中心，直线12,l l 交于点O 且相互垂直，1l 与C 交于点11,A B ，2l 与C 交于点22,A B ，若使得1122||||A B A B =成立的直线12,l l 有且只有一对，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．(1,2]B ．C ．D ．)+∞【答案】D【解析】根据使得1122A B A B =成立的直线12,l l 有且只有一对，可得双曲线渐近线的斜率大于1，进而可求出结果. 【详解】设双曲线方程为22221(00)x y a b a b-=>>，；所以渐近线方程为y b x a =±因为直线12,l l 交于点O 且相互垂直，1l 与双曲线C 交于点11,A B ，2l 与C 交于点22,A B ，且使得1122A B A B =成立的直线12,l l 有且只有一对，所以可得451btan a>︒=，所以b a >，即222c a a ->，所以e ca=>故选D 【点睛】本题主要考查双曲线的性质，解题关键在于搞清双曲线的渐近线与已知直线12,l l 斜率之间的关系，属于常考题型. 11．下列命题：①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >,则A B >”的逆命题是真命题； ②命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠则p 是q 的必要不充分条件； ③“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32,10x R x x ∀∈-+>”； ④“若,221a b a b >>-则”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”；其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】试题分析：对于①“在ABC ∆中，若sin sin A B >，则A B >” 的逆命题为“在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >”，若A B >，则a b >，根据正弦定理可知，sin sin A B >，所以逆命题是真命题，所以①正确；对于②，由2x ≠，或3y ≠，得不到5x y +≠，比如1,4x y ==，5x y +=，p ∴不是q 的充分条件；若5x y +≠，则一定有2x ≠，则3y ≠，即能得到2x ≠，或3y ≠，p ∴是q 的必要条件，p ∴是q的必要不充分条件，所以②正确；对于③，“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32,10x R x x ∃∈-+>” ,所以③不对；对于④“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”；所以④正确，故选C ．【考点】1、四种命题及其关系；2、充要条件及全称命题的否定． 12．方程3sin x x =的根的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】试题分析：大致图形如图所示,接下来比较与在处的切线斜率,,时,,即在处的切线方程为轴,又,在,因此在轴右侧图象较缓,由图象可知,共有个交点,故选C ．【考点】图象的交点．【思路点晴】本题考查的是两个函数的交点个数问题．首先运用函数与方程的思想,把给定方程转化成为两个基本函数的交点问题,再通过函数的性质与比较函数在相同自变量处的函数值的大小关系画出两个基本函数图象,需要注意的是,两个函数都过点,而轴右侧的高低情况需要比较两个函数在处的切线斜率得到,为本题的易错点．二、填空题13．点()M 2,1到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为______． 【答案】14或112-【解析】求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可． 【详解】抛物线2y ax =的标准方程为：21x y a =，准线方程为：1y 4a=-， 1124a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得1a 4=或112-．故答案为14或1..12- 【点睛】本题考查抛物线方程，简单性质的应用，注意抛物线方程的标准方程的应用，是易错题． 14．若π0α2<<，πβ02-<<，π1cos α43⎛⎫+= ⎪⎝⎭，βπ3sin 243⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()cos 2αβ+=______．【答案】2327【解析】利用两角和的正弦公式，余弦公式，二倍角公式化简已知等式，可求sin2α，sin β，进而利用同角三角函数基本关系式可求cos β的值，利用二倍角的余弦函数公式可求cos2α，利用两角和的余弦函数公式即可计算求值得解． 【详解】()π21cos αcos αsin α423⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭Q ，可得：2cos αsin α3-=，①∴两边平方可得，21sin2α9-=，解得：7sin2α9=， π0α2<<Q ，可得：()4cos αsin α1sin2α3+=+=，②∴由①②解得：()()42cos2αcos αsin αcos αsin α9=-+=，又βπ3sin 243Q ⎛⎫+=⎪⎝⎭，可得：2ββ3sin cos 2223⎛⎫+= ⎪⎝⎭，两边平方，可得：1sin β3=-，22cos β3=， ()42227123cos 2αβcos2αcos βsin2αsin β9327⎛⎫∴+=-=⨯-⨯-=⎪⎝⎭． 故答案为2327． 【点睛】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，余弦函数公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 15．菱形ABCD 边长为6，60BAD ∠=o ，将BCD ∆沿对角线BD 翻折使得二面角C BD A --的大小为120o ，已知A 、B 、C 、D 四点在同一球面上，则球的表面积等于__________． 【答案】84π【解析】如图，点12,O O 分别为,BAD CBD ∆∆外接圆的圆心，点O 为球心，因为菱形ABCD 边长为6，60BAD ∠=o ，所以113163,3tan 6033O G OO o ====，13623AO ==222221121,484R OA AO OO S R ππ∴==+===，故答案为84π.16．已知函数()212ln f x x x e e ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图象上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是_____________.【答案】322,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】求出函数()g x 关于直线1y =的对称函数()h x ，令()f x 与()h x 的图象有交点得出m 的范围即可． 【详解】()1g x mx =+关于直线1y =对称的直线为()1y h x mx ==-，∴直线1y mx =-与2ln y x =在21[,]e e上有交点， 作出1y mx =-与2ln y x =的函数图象，如图所示：若直线1y mx =-经过点12e-（，），则3m e =，若直线1y mx =-与2ln y x =相切，设切点为(),x y ，则1 22y mx y lnx m x⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩，解得3232 32x e y m e -⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩． ∴322?3e m e --≤≤，故答案为322,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想，以及零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．三、解答题17．设数列{}n a 满足：1a 1=，213a a 1-=，且()n 1n 1n n 1n 1a a 2n 2a a a -+-++=≥ (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设数列11b 2=，n n 1n 4b a a -=，设{}n b 的前n 项和n T .证明：n T 1<．【答案】（1）n 2a n 1=+；（2）证明见解析. 【解析】(1)由已知得n n 1n 1211a a a -+=+，从而推导出n 1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，由此能求出数列{}n a 的通项公式;(2)由()n 111b n n 1n n 1==-++，利用裂项相消法能证明n T 1<． 【详解】(1)Q 数列{}n a 满足：1a 1=，213a a 1-=，且()n 1n 1n n 1n 1a a 2n 2a a a -+-++=≥， n n 1n 1211a a a -+∴=+， 又1a 1=，213a a 1-=，121131,a a 2∴==，21111a a 2∴-=， n 1a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，()()n 1111n 1n 1a 22∴=+-=+， n 2a .n 1∴=+ (2)证明：Q 数列11b 2=，n n 1n 4b a a -=， ()n 111b n n 1n n 1∴==-++，n 12n 111111T b b b 111223n n 1n 1⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋯+=-+-+⋯+-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故n T 1.< 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和小于1的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．这个题目也涉及了数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。
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2
列四个结论：
①0r2 2 ； ②若 PAB 为直角三角形，则 r 4 ； ③ PAB 外接圆的方程为 x2 y2 4 ；
④直线 AB 的方程为 4x 4 y 16 r 2 0 .
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．②④
B．③④
C．②③
D．①②④
12．函数 f x
3
sin
x
cos
x
cos
6
故选：C.
【点睛】
本题考查利用复数相等得出未知数所满足的关系式，涉及复数乘法法则的应用，考查运算求解能力， 属于基础题.
3．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1 a
0,b
0 的一条渐近线的方程为
x 2y
0 ，则双曲线 C 的离心
率为（ ）
A． 5
【答案】D
B． 5
C． 5 4
D． 5 2
附：
K
2
a
n ad bc 2 bc d a c b
d
.
P K 2 k00.15
0.10
0.05
0.025 0.010 0.005 0.001
k0
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
4
19．如图，菱形 ABCD 所在平面与 ABE 所在平面垂直，且 AB BE 5 ， cos ABC cos ABE 3 .
相等，则该三棱柱的侧面积与表面积之比为（ ）
A． 2 3
B． 6 7
C． 8 9
D． 12 13
10．执行如图所示的程序框图，若输入的 N 100 ，则输出 S 的值为（ ）
A． 1
B． 3 2
C． 3
D． 3
11．过点 P 2, 2 作圆 C : x 22 y 22 r2 r 0 的两条切线，切点分别为 A 、 B ，给出下
A． x 2 y 0
B． 2x y 3 0 C． 2x y 5 0 D． 2x y 2 0
3．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1 a
0,b
0 的一条渐近线的方程为
x 2y
0 ，则双曲线 C 的离心
率为（ ）
A． 5
B． 5
4． sin 300 cos 600 （ ）
42 32 2 1 4 3 37 ，阴影部分的区域面积为 4 1 3 4 24 .
2
2
因此，所求事件的概率为 P 24 . 37
故选：D.
【点睛】
本题考查几何概型概率的求解，求出平面区域的面积是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.
7．已知如图为函数 f x 的图象，则 f x 的解析式可能是（ ）
江西省名校学术联盟 2020 届高三教学质量检测 数学（文）试卷
一、单选题
1．已知集合 A x, y y2 1 ， B x, y y x2 ，则 A B 中元素的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
2．已知 1 ai2 i x yi （ a 、 x 、 y R ， i 是虚数单位），则（ ）
专业的淘宝村，已知某乡镇有多个淘宝村，现从该乡镇淘宝村中随机抽取 100 家商户，统计他们某一
周的销售收入，结果统计如下：
销售收入（收入） 0, 2
2, 4
4, 6
6,8
商户数
17
45
18
20
（1）从这100 家商户中按该周销售收入超过 6 万元与不超过 6 万元分为 2 组，按分层抽样从中抽取10 家参加经验交流会，并从这10 家中选 2 家进行发言，求选出的 2 家恰有1家销售收入超过 6 万元的概
C． 5 4
D． 5 2
A． 1 4
B． 3 4
C． 1 4
D． 3 4
5．已知 f x x n2 ， x 2n 1, 2n 1n Z ，则 f 2019 （ ）
A． 10082
B． 10092
C． 10102
D． 10112
6．毕达哥拉斯定理又称勾股定理，历史上有不少人研究过毕达哥拉斯定理的证明，汇总后有数百种证
A． x 2 y 0 B． 2x y 3 0 C． 2x y 5 0 D． 2x y 2 0
【答案】C
【解析】利用复数的乘法法则以及复数相等得出等式组，消去参数 a 即可得出结果.
【详解】
1
ai
2
i
a
2
2a
1
i
x
yi
，
x y
a2
，
2a 1
消去参数 a 得 y 2x 2 1 2x 5 ，即 2x y 5 0 .
17．设 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，已知 a3 S2 2 ， S3 a4 2 ．
（1）求 an ；
（2）若 a1, a2 , ak1 , ak2 ,, akn , 成等比数列，求 kn 的前 n 项和 Tn ．
3
18．我们把活跃网店数量较多的村庄称为淘宝村，随着电子商务在中国的发展，不少农村出现了一批
2x
3
在
0,
上的值域为（
）
A．
1 2
,
3
B． 1,1
C． 1,3
D． 2,1
二、填空题
13．曲线 y ex 1 在 x 0 处的切线方程为______．
14．在
ABC
中，若
sin
A
cos
B
sin
C
1 2
sin
B
，且
AB
2
，
AC
3BC
，则
ABC
的面积为
_______．
15．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两位学生 5 次体育测试的成绩，若这两组数据的平均值相等，极
5
（1）求证： AB ^ CE ； （2）求点 A 到平面 CDE 的距离.
20．已知椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0 的左、右焦点分别为 F1 、F2 ，焦点为 F2 的抛物线 D :
y2
4x
的准线被椭圆 C 截得的弦长为 2 ．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若点 F1 、 F2 到直线 l : y mx n 的距离之积为1，求证：直线 l 与椭圆 C 相切．
差也相等，则学生乙体育测试的最高成绩为___________．
16．已知长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB AD 1 ，点 M 为 AA1 的中点，且 MB MC1 ，则平 面 MBC1 被长方体 ABCD A1B1C1D1 截得的平面图形的周长为___________．
三、解答题
a2 ab b2 b2 bc c2 1．
解析
江西省名校学术联盟 2020 届高三教学质量检测
数学（文）试卷
一、单选题
1．已知集合 A x, y y2 1 ， B x, y y x2 ，则 A B 中元素的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【解析】求出方程组
y
3
2t 2
原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 2 cos 2 4 2 sin2 3 ．
（1）求直线 l 的极坐标方程及曲线 C 的直角坐标方程；
（2）若点 P 在直线 l 上，点 Q 在曲线 C 上，求证： PQ 2 ．
5
23．已知函数 f x x 2 x 1 ． （1）求不等式 f x x2 的解集； （2）若 f x 的最小值为 M ，且 a b c M a,b, c R ，求证：
A．
f
x
sin x x2 1
C． f x x3
x 1
B．
f
x
2x 2x x2 1
D． f x ln x
x 1
【答案】B
【解析】根据图象分析函数 y f x 的奇偶性、在 1, 上的单调性、最小值、零点，利用排除法
可得出正确选项.
【详解】
由图象可知，函数 y f x 为奇函数，在 1, 上先减后增，当 x 1 时，f x 0 ，函数 y f x 在 1, 上无零点.
【详解】
f x x n2 ， x 2n 1, 2n 1n Z ，且有 21010 1 2019 21010 1，
因此， f 2019 2019 10102 10092 .
故选：B.
【点睛】
本题考查函数值的计算，考查计算能力，属于基础题.
6．毕达哥拉斯定理又称勾股定理，历史上有不少人研究过毕达哥拉斯定理的证明，汇总后有数百种证 明方法，如图是按加法全等证明毕达哥拉斯定理的一个图形，其中阴影部分是四个全等的直角三角形，
明方法，如图是按加法全等证明毕达哥拉斯定理的一个图形，其中阴影部分是四个全等的直角三角形，
假设这四个直角三角形的两直角边的长分别为 3 、 4 ，在该图形内任取一点，则该点取自阴影部分的
概率为（ ）
A． 1 2
B． 12 37
C． 2 3
7．已知如图为函数 f x 的图象，则 f x 的解析式可能是（
1时，
f
x
x3 ，则 x 1
f
x
x2 2x 3 x 12
.
当1 x 3 时， f x 0，当 x 3 时， f x 0，
2
2
则函数
f
x
率；
（2）若这100 家商户中有 70 家商户入驻两家网购平台，其中18 家销售收入高于 6 万元，完成下面的 2 2 列联表，并判断能否有 95%的把握认为“销售收入是否高于 6 万元与入驻两家网购平台有关”？
入驻两家网购平台 仅入驻一家网购平台 合计