第73课柱锥台球的表面积和体积
柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积
柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积．知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式1．柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； 2．锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；3．台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′、S 为上、下底面面积，h 为高)；4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝ShV ＝13(S ′＋S ′S ＋S )hV ＝13Sh .知识点二 球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径)； 2．球的体积公式V ＝43πR 3.类型一 柱体、锥体、台体的体积例1 (1)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )A.312B.34C.612D.64答案 A解析 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.(2)现有一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降( )A ．0.6 cmB ．0.15 cmC ．1.2 cmD ．0.3 cm 答案 A解析 设杯里的水下降h cm ，由题意知π(202)2h ＝13×20×π×32，解得h ＝0.6 cm.反思与感悟 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． ③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． (2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比．解 设AB ＝a ，AD ＝b ，AA ′＝c ， ∴V C －A ′D ′D ＝13CD ·S △A ′D ′D ＝13a ·12bc ＝16abc ，∴剩余部分的体积为V ABCD －A ′B ′C ′D ′－V C －A ′D ′D ＝abc －16abc ＝56abc ，∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解 如图，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，取上、下底面的中心分别为O ′，O ，BC ，B ′C ′的中点分别为D ，D ′，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高． 所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又因为A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253，所以DD ′＝1333(cm)，O ′D ′＝36×20＝1033(cm)，OD ＝36×30＝53(cm)， 所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2 ＝(1333)2－(53－1033)2＝43(cm)． 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h 3(S 上＋S 下＋S 上·S 下)＝433×(34×202＋34×302＋34×20×30)＝1 900(cm 3)．类型二 球的表面积与体积命题角度1 与球有关的切、接问题例2 (1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．解 如图等边△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O . 设球的半径OE ＝R ， OA ＝OE sin 30°＝2OE ＝2R ，∴AD ＝OA ＋OD ＝2R ＋R ＝3R ， BD ＝AD ·tan 30°＝3R ， ∴V 球＝43πR 3，V 圆锥＝13π·BD 2×AD ＝13π(3R )2×3R ＝3πR 3，则V 球∶V 圆锥＝4∶9.(2)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2 答案 B解析 长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ， 得球的半径为62a ，则球的表面积为4π(62a )2＝6πa 2. 反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. (2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 跟踪训练2 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3 D ．1∶9 答案 C解析 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32， ∴其体积比为43π×(12)3∶43π×(32)3＝1∶3 3.(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球表面积为_______． 答案 9π解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ，则⎩⎨⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32，∴外接球表面积为4π×(32)2＝9π.命题角度2 球的截面例3 在球内有相距9 cm 的两个平行截面面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的表面积． 解 方法一 (1)若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O 的大圆截面，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm ，截面圆的半径分别为r cm ，r 1 cm.由πr 21＝49π，得r 1＝7(r 1＝－7舍去)， 由πr 2＝400π，得r ＝20(r ＝－20舍去)．在Rt △OB 1C 1中，OC 1＝R 2－r 21＝R 2－49，在Rt △OBC 中，OC ＝R 2－r 2＝R 2－400.由题意可知OC 1－OC ＝9，即R 2－49－R 2－400＝9， 解此方程，取正值得R ＝25.(2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC 1＝R 2－49，OC ＝R 2－400.由题意可知OC 1＋OC ＝9， 即R 2－49＋R 2－400＝9.整理，得R 2－400＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25 cm.∴S球＝4πR2＝4π×252＝2 500π(cm2)．方法二(1)若截面位于球心的同侧，同方法一，得OC21＝R2－49，OC2＝R2－400，两式相减，得OC21－OC2＝400－49⇔(OC1＋OC)(OC1－OC)＝351.又OC1－OC＝9，∴OC1＋OC＝39，解得OC1＝24，OC＝15，∴R2＝OC2＋r2＝152＋202＝625，∴R＝25 cm.(以下略)反思与感悟设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．跟踪训练3把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是()A．1 B．2 C．1或7 D．2或6答案 C解析画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧，②两个平行截面在球心的同侧．对于①，m＝52－32＝4，n＝52－42＝3，两平行截面间的距离是m＋n＝7；对于②，两平行截面间的距离是m－n＝1.故选C.类型三组合体的体积例4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 答案 A解析 由三视图可知该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×(12×1×2)×1＝π＋13.故选A.反思与感悟 此类问题的关键是把三视图还原为空间几何体，再就是代入公式计算，注意锥体与柱体两者的体积公式的区别．解答组合体问题时，要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体． 跟踪训练4 如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台，求这个奖杯的体积．解 三视图复原的几何体下部是底座是正四棱台，中部是圆柱，上部是球． 这个奖杯的体积V ＝13h (S 上＋S 上S 下＋S 下)＋22π·16＋4π3×33＝336＋100π(cm 3)．1．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是( ) A ．2 cm B ．3 cm C ．4 cm D ．8 cm 答案 C解析 ∵铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ， ∴铜质的五棱柱的体积V ＝16×4＝64(cm 3)， 设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm ， 则a 3＝64，解得a ＝4 cm ，故选C.2.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( ) A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π答案 B解析 体积最大的球是其内切球，即球的半径为1，所以表面积为S ＝4π×12＝4π.4．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．答案 3∶1∶2解析 设球的半径为R ，则V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，故V 柱∶V锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2.5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．答案 3π解析 由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ←―――S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .2．在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3V S △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算． 5．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．课时作业一、选择题1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π 答案 B解析 设圆柱母线长为l ，底面半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝2r ，2πrl ＝4π，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴V 圆柱＝πr 2l ＝2π.2．如图，在正方体中，四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的( )A.12B.13C.14 D ．不确定 答案 B解析 由于四棱锥S －ABCD 的高与正方体的棱长相等，底面是正方形，根据柱体和锥体的体积公式，得四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的13，故选B.3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18答案 B解析 由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V ＝43π(32)3＋3×3×2＝92π＋18. 4．如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34答案 C解析 ∵V C －A ′B ′C ′＝13V ABC －A ′B ′C ′＝13，∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23.5．一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3 cm 3D.4163π3cm 3答案 C解析 如图，根据题意， |OO 1|＝4 cm ，|O 1A |＝3 cm ，∴|OA |＝R ＝|OO 1|2＋|O 1A |2＝5(cm)， 故球的体积V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．故选C.6．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm ，那么该棱柱的表面积为( ) A ．(2＋42) cm 2 B ．(4＋82) cm 2 C ．(8＋162) cm 2 D ．(16＋322) cm 2答案 C解析 ∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm ，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为22，∴正四棱柱的高为16－8＝22，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×22＝8＋162，故选C.7.如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.23πB.43πC.53π D ．2π答案 C解析由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.8．一个表面积为36π的球外切于一圆柱，则圆柱的表面积为()A．45π B．27π C．36π D．54π答案 D解析因为球的表面积为36π，所以球的半径为3，因为该球外切于圆柱，所以圆柱的底面半径为3，高为6，所以圆柱的表面积S＝2π×32＋2π×3×6＝54π.二、填空题9．如图，三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A －FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为________．答案124解析设三棱柱的高为h，∵F是AA1的中点，则三棱锥F－ADE的高为h2，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴S△ADE＝14S△ABC，∵V1＝13S△ADE·h2，V2＝S△ABC·h，∴V1V2＝16S△ADE·hS△ABC·h＝124.10．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2π cm，半径为 2 cm，则该圆锥的体积为___ cm3. 答案π3解析∵圆锥的侧面展开图的弧长为2π cm，半径为 2 cm，故圆锥的底面周长为2π cm，母线长为 2 cm ，则圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的体积V ＝13·π·12·1＝π3.11．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为________．答案2π6＋16解析 由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，∴V ＝13×(12×1×1)×1＋[43π(22)3]×12＝16＋2π6. 12．若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和2的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为________． 答案 3π解析 满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V －ABC ，所以VA ＝AB ＝BC ＝1，VB ＝AC ＝2，其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R ＝32， 所以该四面体外接球的表面积为4π×(32)2＝3π. 三、解答题13．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分是以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC ＝30°)解 过C 作CO 1⊥AB 于点O 1，由已知得∠BCA ＝90°， ∵∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，1圆锥侧AO S ＝π×32R ×3R ＝32πR 2， 1圆锥侧BO S ＝π×32R ×R ＝32πR 2，∴11几何体表球圆锥侧圆锥侧＝＋＋AO BO S S S S＝4πR 2＋32πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2.又∵V 球＝43πR 3，1圆锥AO V ＝13·AO 1·π·CO 21＝14πR 2·AO 1， 1圆锥BO V ＝13·BO 1·π·CO 21＝14πR 2·BO 1， ∴V 几何体＝V 球－()11圆锥圆锥＋AO BO V V ＝56πR 3.四、探究与拓展14．圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm答案 C解析 设球半径为r ，则由3V 球＋V 水＝V 柱，可得 3×43πr 3＋πr 2×6＝πr 2×6r ，解得r ＝3. 15．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 解 (1)这个几何体如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体． 由P A 1＝PD 1＝ 2 cm ，A 1D 1＝AD ＝2 cm ， 可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．。
柱、锥、台和球的表面积与体积
与高的乘积的一半
思考:
正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积的关系：
c’=c
上底扩大
c’=0
上底缩小
S柱侧 ch
S台侧
1 2
c
'
c
h
'
S锥侧
1 2
ch '
若一个正三棱柱的三视图如图所，
则这个正三棱柱的表面积为
A. 18 3
B. 15 3
C. 24 8 3
D. 24 16 3
把圆柱的侧面沿着一条母线展开，得到什么图 形?展开的图形与原图有什么关系？
于 18 7 。
例1．已知正四面体S-ABC各棱长为 a，求它的表面积 ．
分析：正四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
解：过点S作 SD ，BC 交BC于点D．
∵ BC a, SD SB2 BD2 a2 ( a )2 3 a
22
S
1
1
SSBC
BC 2
SD
a 2
3a 2
3 a2 4
h
h
a
a
be
S直棱柱侧＝（a b e) h ch c即底面周长
即底面周长和高的乘积
棱锥、棱台
正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射
影是底面中心的棱锥.
正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截
P 面和底面之间的部分叫正棱台.
A1
C1
D1
B1 h' C
h'
A
C
B
OD
OD
B
A 斜高：侧面等腰三角形底边上的高.
4.如图，E，F分别为正方形ABCD的边BC,CD的 中点,沿图中虚线折起来,它能围成怎样的几何体?
柱锥台球表面积和体积获奖解析
棱柱、棱锥、棱台的侧面积公式分别为什么？它们之间有何关系？
上底扩大
上底缩小
S直棱柱= ch
c’=c
S正棱台=
(c+c’)h’
1
2
c’=0
S正棱锥=
ch’
1
2
例1. 已知正四棱锥底面正方形长为4cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积及全面积.（单位： cm2，精确到0.01 ）
解：正棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角三角形。
柱锥台球表面积和体积获奖解析
1
一.圆柱体、棱柱体的表面积 S柱体侧=c l
语言：柱体的侧面积等于它的底面周长和高的乘积
二.锥体的表面积(一) 1.正n棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积与底面积之和.
1 S正棱锥侧= na·h’ = c ·h’
1
2
2
语言：正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半。
r l
∴ = ×3OV60AA0 =900
∴AA’=√VA2+VA’2=
√402+402
=40√2
∴所求最短线的长度为40√2cm。
V
A’ V
返回
AA 重复
OO 旋转
A 前一屏
继续
解法小结(3)
对可展面来说，求曲面上两点之间最短距离的基本方法是作出其侧面展开 图，将空间问题转化为平面问题，再利用平几知识求解。
1c x 22
1 c ’x
2
C1X
- 1c x 21
=1
+ 1（ c ）- c
X
2
2
2
1
S
c
c
又∵ = 1
X
c
柱锥台球的体积与表面积
2 锥体的体积
V = 1/3πr²h
如何计算柱锥台球的体积
1
Step 1
测量柱体的半径(r)和高度(h)
Step 2
2
使用柱体的体积公式计算柱体的体积(Vc)
3
Step 3
测量锥体的半径(r)和高度(h)
Step 4
4
使用锥体的体积公式计算锥体的体积(Vc)
5
Step 5
将柱体的体积和锥体的体积相加得到柱锥台 球的总体积(V)
4
使用锥体的表面积公式计算锥体的表面积
(A c)
5
Step 5
将柱体的表面积和锥体的表面积相加得到柱 锥台球的总表面积(A)
柱锥台球的尺寸影响体积和表 面积吗？
柱锥台球的尺寸，如半径和高度，会直接影响它的体积和表面积。增加柱锥 台球的尺寸会增加其体积和表面积。
柱锥台球的体积和表面积之间 的关系
柱锥台球的体积和表面积之间是相互关联的。当柱锥台球的体积增加时，它 的表面积也会增加。
柱锥台球的表面积公式
1 柱体的表面积
A = 2πrh + 2πr²
2 锥体的表面积
A = πr(l + r)
如何计算柱锥台球的表面积径(r)和高度(h)
Step 2
2
使用柱体的表面积公式计算柱体的表面积
(A c)
3
Step 3
测量锥体的半径(r)和斜高(l)
Step 4
柱锥台球的体积与表面积
柱锥台球是一种特殊形状的台球，它由柱体和锥体两部分组成。在本演示中， 我们将讨论柱锥台球的体积和表面积，以及与数学和物理学的关系。
柱锥台球的形状
柱锥台球由一个底部较大的柱体和一个顶部较小的锥体组成。这种特殊形状 让它成为一个有趣的几何体。
柱,锥,台,球的表面积与体积-最新教学文档
柱,锥,台,球的表面积与体积【知识概述】空间几何体的表面积、体积是高考的必考知识点之一．题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档．客观题主要考查由三视图得出几何体的直观图，求其表面积、体积或由几何体的表面积、体积得出某些量；主观题考查比较全面，其中一步往往设置为表面积、体积问题，无论是何种题型都考查学生的空间想象能力．本节课通过知识的梳理和典型例题的讲解，使同学们理解和掌握空间几何体的表面积、体积的相关知识，并提高学生的空间想象能力、抽象概括能力、几何直观能力以及计算能力.1．柱、锥、台和球的侧面积和体积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．【学前诊断】1. [难度]易已知圆锥的底面半径为2cm，高为，则该圆锥的体积为 .2．[难度] 中若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.2B.1C.2 3D.1 33．[难度]中若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于( )AB．2C．D．6【经典例题】例1．将圆心角为2π3，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于______.例2．若某几何体的三视图（单位：cm）如下图所示，则此几何体的侧面积等于（）A. 212πcmB．215πcmC．224πcmD．230πcm例3．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________.例4．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为( )A. 48+B．48+C．36+D．36+例5．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是________.例6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B C ．6D ．2例 7．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是a =___________.例 8．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =a ，则三棱锥D-ABC 的体积为（ ）A.36aB.312aC.312a D.312a 例 9．有一根长为3π cm 、底面半径为1 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？ 【本课总结】1．面积、体积的计算中应注意的问题(1)柱、锥、台体的侧面积分别是某侧面展开图的面积，因此，弄清侧面展开图的形状及各线段的位置关系，是求侧面积及解决有关问题的关键．(2)计算柱、锥、台体的体积关键是找到相应的底面积和高．充分运用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化成平面问题．(3)球的有关问题，注意球半径与截面圆半径，球心到截面距离构成直角三角形． (4)有关几何体展开图与平面图形折成几何体问题，在解决的过程中注意按什么线作轴来展或折，还要坚持被展或被折的平面，变换前、后在该面内的大小关系与位置关系不变．在完成展或折后，要注意条件的转化对解题也很重要． 2．与球有关的组合体问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图． 【活学活用】1A CB1．[难度] 中若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A.3523cm 3B. 3203cm 3C. 2243cm 3D. 1603cm 32. [难度] 难如图，正方体1111ABCD-A B C D 的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上.点Q 是CD 的中点动点P 在棱AD 上，若EF =1，DP=x ，1A E=y (x,y 大于零)，则三棱锥P-EFQ 的体积： A. 与x ，y 都有关； B. 与x ，y 都无关；C.与x 有关，与y 无关；D. 与y 有关，与x 无关； 3. [难度] 中一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( ).A.280B. 292C. 360D. 372。
圆锥圆柱圆台球的表面积和体积公式
圆锥圆柱圆台球的表面积和体积公式圆锥、圆柱和圆台球是几何学中常见的三个立体图形，它们都具有特定的表面积和体积公式。
在本篇文章中，我将为您介绍这三个图形的定义、特点以及如何计算它们的表面积和体积。
一、圆锥圆锥是由一个圆和与圆上每一点相连的一条线段组成的立体图形。
圆锥有一个顶点和一个底面，底面是一个圆，而顶点则位于底面的正上方。
圆锥的表面积公式为：S = πr² + πrl其中，S表示圆锥的表面积，r表示底面圆的半径，l表示圆锥的斜高。
圆锥的体积公式为：V = (1/3)πr²h其中，V表示圆锥的体积，r表示底面圆的半径，h表示圆锥的高。
二、圆柱圆柱是由两个平行圆面和连接两个圆面的侧面组成的立体图形。
圆柱的底面是一个圆，而圆柱的高则是连接两个底面中心的线段。
圆柱的表面积公式为：S = 2πr² + 2πrh其中，S表示圆柱的表面积，r表示底面圆的半径，h表示圆柱的高。
圆柱的体积公式为：V = πr²h其中，V表示圆柱的体积，r表示底面圆的半径，h表示圆柱的高。
三、圆台球圆台球是由两个平行圆面和连接两个圆面的侧面组成的立体图形，其中一个圆面的半径较大，另一个圆面的半径较小。
圆台球的底面是一个圆，而圆台球的高则是连接两个底面中心的线段。
圆台球的表面积公式为：S = π(R+r)l + πR² + πr²其中，S表示圆台球的表面积，R表示底面较大圆的半径，r表示底面较小圆的半径，l表示圆台球的斜高。
圆台球的体积公式为：V = (1/3)πh(R²+r²+Rr)其中，V表示圆台球的体积，R表示底面较大圆的半径，r表示底面较小圆的半径，h表示圆台球的高。
通过以上公式，我们可以方便地计算出圆锥、圆柱和圆台球的表面积和体积。
这些公式的应用范围广泛，例如在建筑设计、工程测量以及日常生活中都有重要的应用。
在实际问题中，我们可以根据给定的数据，将公式中的参数代入，计算出具体的数值。
柱体、锥体、台体的表面积与体积 课件
(2)正四棱锥的底面正方形边长为 4 cm，高与斜高的夹角为 30°，求正四棱锥的侧面积和表面积．
【思路分析】 在正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角 三角形中，可求得斜高与高．
【解析】 ∵边心距为 2，∴斜高 h′＝sin320°＝4. ∴S 侧＝4·12·4·4＝32(cm2)，S 底＝42＝16(cm2)． ∴S 全＝32＋16＝48(cm2)．
【解析】 ①V 长方体＝abc＝3×4×5＝60； ②∵r＝3，l＝5，∴h＝ l2－r2＝4. ∴V 圆锥＝13πr2h＝π3 ×32×4＝12π； ③∵S 上＝32＝9，S 下＝52＝25， S上S下＝3×5＝15； ∴V 台＝13(S 上＋ S上S下＋S 下)h ＝13×(9＋15＋25)×4＝1936.
＝
2×5×
52－（52）2＝
25 3. S 表面积＝S 侧＋S 底＝25 3＋25＝25( 3＋1)．
(2)一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面面积相等，求这个 正方体和圆柱的体积之比．
【思路分析】 本题考查了正方体和圆柱表面积计算问题．关 键设出正方体棱长和圆柱底面半径，并找出它们的关系．
【解析】 设正方体的棱长和圆柱的高(母线长)都为 a，设圆 柱的底面半径为 r.
A．1
1 B.2
1
1
C.3
D.6
【解析】 本题主要考查几何体的三视图 和体积．根据三视图，可知该几何体是三棱锥， 如图所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱 PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.则该三棱锥的高 是 PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为 V＝13S△ABCPA＝13×12×1＝16.故选 D.
思考题 1 (1)圆柱的侧面展开图是边长为 6π和 4π的矩
柱、锥、台、球的面积与体积
课题：柱、锥、台、球的面积与体积一、知识点梳理1、多面体的表面积多面体的表面积是各个侧面的面积和底面面积的总和. 2、旋转体的表面积（1）圆柱的表面积公式S = （其中r 为底面半径，l 为母线长）. （2）圆锥的表面积公式S = （其中r 为底面半径，l 为母线长）.（3）圆台的表面积公式S = （其中/,r r 为上、下底面半径，l 为母线长）. （4）球的表面积公式S = （其中R 为球半径）. 3、几何体的体积公式（1）柱体的体积公式V = （其中S 为底面面积，h 为高）. （2）锥体的体积公式V = （其中S 为底面面积，h 为高）.（3）台体的体积公式V = （其中/S S 、为上、下底面面积，h 为高）. （4）球的体积公式V = （其中R 为球的半径）.二、基础巩固练习1、一个正三棱柱的三视图如右图所示，则这个正三棱柱的表面积 为 .2、棱长为1的正三棱锥的全面积是 .3、一张长、宽分别为8cm 和4cm 的矩形硬纸板，将这硬纸板折 成正四棱柱的侧面，则此四棱柱的对角线长为 .4、圆锥母线长6cm ，底面直径为3cm ，在母线SA 上有一点B ，AB =2cm ，那么由A 点绕圆锥侧面一周到B 点的最短距离为 .5、已知正四棱柱的底面面积为4，过相对侧棱的截面面积为8，则该正四棱柱的体积为 .6、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 .7、将半径为R 的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为123,,r r r ，则123r r r ++的值为 .8、若正四棱锥的底面积是Q ，侧面积是S ，则它的体积为 .三、例题精选例1、一个正三棱锥的高和底面边长都为a ，求它的侧面积以及侧棱与底面所成的角.例2、将一个底面圆的直径为2，高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，设这个长方形截面的一条边长为x ，对角线长为2，截面的面积为A . （1）求面积A 的以x 为自变量的函数式；（2）求出截得棱柱的体积的最大值.例3、如图，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切.将球取出后，容器内的水深是多少？左视图 主视图俯视图 单位：mmA M CO 1 B O r例4、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为a 的正三角形，且1AA 与,AC AB 所成角均为60︒，且1A A AB =，求该三棱柱的侧面积和体积例5、如图所示，等腰ABC ∆的底边AB =3CD =，点E 是线段BD 上异于点,B D 的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥.现沿EF 将BEF ∆折起到PEF ∆的位置，使.PE AE ⊥记,()BE x V x =表示四棱锥P ACFE -的体积.（1）求()V x 的表达式； （2）当x 为何值时，()V x 取得最大值.四、反馈练习1、正四棱台的上下底面边长分别为方程29180x x -+=的两根，其侧面积等于两底面积之和，则其高与斜高分别为 .2、正方体的全面积为2a ，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为 .3、体积为352cm 的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为 .4、已知圆1O 是半径为R 的球O 的一个小圆，且圆1O 的面积与球O 的表面积的比值为29，则线段1OO 与R 的比值为 .5、已知正三棱锥P ABC -的外接球O 的半径为1，且满足0OA OB OC ++=，则正三棱锥P ABC -的体积为 .6、如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在楞1DD 上运动，点N 在正方形ABCD 内运动，则MN 中点P 的轨迹的面积是 .7、正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、中点，MN AM ⊥，若SA =，则此三棱锥S ABC -外接球的表面积是 .8、已知直平行六面体1111ABCD A B C D -的各棱长均为3，60BAD ∠=︒，长为2的线段MN 的一个端点M 在1DD 上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹（曲面）与其一顶点D 的三个面所围成的几何体的体积为 . 9、如图，线段AB α⊂平面，线段CD ⊂平面β，且平面//α平面,,,,AB CD AB CD a βαβ⊥==的距离为h ，求四面体ABCD 的体积.10 、已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，这样的三棱柱能否放进一个体积为16π的小球？ ABC DOA 1B 1C 1A BC FE D PA 1ABCDB 1C 1D 1 M N AB CD βα。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第73课柱、锥、台、球的表面积和体积
一、教学目标
能运用公式求柱、锥、台、球的表面积和体积.
二、知识梳理
【回顾】
•阅读课本必修2第47页至59页，理解以下内容.
正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式及其关系；圆柱、圆锥、圆台的体积公式及其关系；柱体、锥体、台体的体积公式及其关系；球的表面积、体积公式．
三、诊断练习
1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。
课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。
找出学生错误的原因，设计“问题串”，将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。
点评时要简洁，要点击要害。
2、诊断练习点评
题1．若圆锥的侧面积为π2，底面积为π，则该圆锥的体积为__________.
【分析与点评】本题是容易题，主要是考查圆锥侧面积公式和体积公式的正确使用．
题2．如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是__________.
【分析与点评】该多面体是正四棱锥，侧棱长为1，底面正方形外接圆的半径等于
2
2
，
由侧棱、底面正方形外接圆半径及高之间关系求解.
题3．棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________.
【分析与点评】正方体外接球半径是正方体棱长的3倍得到球的半径求解.
变式1：棱长分别是2，3，4的长方体外接球的体积是________.
变式2：棱长都是2的正四面体的外接球的表面积为________.
题4．五棱台的上、下底面均为正五边形，边长分别是8cm和18cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长为13cm，则它的侧面积为_________cm 2.
【分析与点评】先求出斜高等于12cm，再运用公式求侧面积.
3、要点归纳
（1）注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用.
（2）如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或全面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加.
（3）注意求体积的一此特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用方法.
四、范例导析
例1 如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A点的最短路线的长为____________.
【教学处理】先将“沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A点”改为“沿着三棱柱的
侧面绕行一周到达A点”组织学生讨论解法，在有解决方案后，改回原题．如能
配合实物模型和细线演示一，效果更好．
【引导分析与精讲建议】
1、学生大多接触过“蚂蚁爬火柴盒”问题，先提醒学生对照条件，判断能否用同样的方法解决？
1
C 1
A
1
B
C A
B
2、“沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 点”与“沿着三棱柱的侧面绕行一周到达A 点” 的差别是什么？如何调整方案？
3、可继续把条件“沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 点”变换成：“沿着三棱柱的侧面绕行十周到达A 点”和“沿着三棱柱的侧面绕行一周多（不足两周）到达C 点”让学生讨论如何调整方案．
例2 圆锥高323，侧面展开图的中心角为6π5； （1）求圆锥底面半径及母线长； （2）距离底面多高的平面截其所得圆台有内切球；
（3）求上述圆台的侧面积S 及体积V.
【教学处理】第（1）小题让学生自己解决，第（2）（3）两小题先结合轴
截面图讨论圆锥的内切球与圆台内切球的联系及圆锥内切球与圆锥的联系．
【引导分析与精讲建议】
1、圆锥母线l ，底面圆半径r 、圆锥高h 及侧面展开图的中心角θ的关系是2 π r = θ l ，且l 2 = h 2 + r 2.运用方程组知识求解.
2、圆锥是否有内切球？—→如何求圆锥的内切球半径？—→圆台的高与圆锥内切球半径的关系？
3、可以落实到平面图形（轴哉面）中，运用“图形相似”或“解直角三角形知识”求解． 例3 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点．
（1）求证：BE∥平面PDF ；
（2）求证：平面PDF⊥平面PAB ；
（3）求三棱锥P ﹣DEF 的体积．
【教学处理】本题中，（1）（2）两小题属于常规题型，可由学生自
己独立完成，（3）小题属于难题，师生共同探讨完成.
【引导分析与精讲建议】
第一问：如果由线面平行证明，教师完善平面内那条“线”的寻找方法．
如果由面面平行得到，注意提醒学生书写上的注意点。
面面平行只能有线面平行证
到，而不能由线线平行直接得到．
第二问：提问学生，为什么是证DF 平面PAB?可以和学生一起归纳，几乎所有的立体几何
证明题，都可以采用“优化假设法”，即假设要证明的结论是成立的，看能得到什
么。
再反推要证到结论需要什么条件．
第三问：可以让学生去尝试直接法：选任何一个点作为顶点看能不能求出体积。
不行再让学
生尝试，用分割法、补体法是否可行。
最后得出结论．
五、解题反思
1、正棱锥、正棱台的计算问题中常利用高关系侧棱、底面多边形外接圆半径及斜高、底面多边形内切圆半径，如课前诊断2及4两题；
2、旋转体常利用轴截面分析、解决问题，如例2；
3、几何体表面路程最短问题常利用展开图中两点的直线距离求解，如例1，有时需分类讨论；
4、柱、锥、台中外接球、内切球问题关键是找到两类物体的联系元素，如长方体的体对角线是其外接球的直径，长方体不一定有内切球。
求内切球半径时可考虑体积法；
5、相似几何体的表面积比、体积比与相似比的关系也是考查的热点。
A B C D
F E Q
感谢您的阅读，祝您生活愉快。