1.1.7柱锥台球的体积公开课
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数学人教B版必修2课件：1.1.7 柱、锥、台和球的体积 Word版含解析
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典例透析 随堂练习
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
【变式训练1】 如图①是一个水平放置的正三棱柱ABC-
A1B1C1,D是棱BC的中点.正三棱柱的主视图如图②.则该正三棱柱
ABC-A1B1C1的体积为
.
解析：由三视图可知:在正三棱柱中,AD= 3,AA1=3,从而在底面
-3-
1.1.7 柱、锥、台和 球的体积
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123
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【做一做1】 已知一斜棱柱的底面积为S,上、下两底面间的距
离为h,则利用祖暅原理可知此斜棱柱的体积为
.
答案：Sh
-4-
1.1.7 柱、锥、台和 球的体积
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典例透析 随堂练习Fra bibliotek123
2.柱、锥、台的体积 柱体、锥体、台体的体积公式如下表,其中S',S分别表示上、下 底面的面积,h表示高,r'和r分别表示上、下底面圆的半径.
2
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-12-
1.1.7 柱、锥、台和 球的体积
1
2
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在(2)中,如图③,从割补的过程中,我们不难发现在割补前后斜棱
柱的每个侧面上相当于将一个平行四边形割补成一个矩形,因而侧 面积没有变化,体积也没有发生变化. 名师点拨 在解题中使用体积公式时一定要注意棱锥和棱台的体积 公式中都有个 .三13 棱锥是一种比较特殊的棱锥,在求体积时可以 根据条件适当转换顶点以达到简化运算的目的,根据这一思想还可 以求一些简单的距离问题.
人教B版数学必修二课件：第1章 1.1 1.1.7 柱、锥、台和球的体积
C [圆锥的高 h＝ 52－32＝4，故 V＝13π×32×4＝12π.]
3．若一个球的直径是 12 cm，则它的体积为________cm3.
288π [由题意，知球的半径 R＝6 cm，故其体积 V＝43πR3＝43 ×π×63＝288π(cm3)．]
合作探究 提素养
求柱体的体积 【例 1】 如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为 6 cm， 高为 3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为 4 cm，高为 2 cm，现从 中间挖去一个直径为 2 cm 的圆柱，求此几何体的体积．
由 S 侧＝4×12(10＋20)·E1E＝780，得 EE1＝13， 在直角梯形 EOO1E1 中，O1E1＝12A1B1＝5，OE＝12AB＝10， ∴O1O＝ E1E2－OE－O1E12＝12， V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2 800 (cm3)． 故正四棱台的体积为 2 800 cm3.
2．柱体、锥体、台体和球的体积公式 其中 S′、S 分别表示上、下底面的面积，h 表示高，r′和 r 分 别表示上、下底面圆的半径，R 表示球的半径．
名称 棱柱
柱体 圆柱
锥体
棱锥 圆锥
台体
棱台 圆台
球
体积(V)
_S_h__
πr2h 1 3Sh 13πr2h
13h(S＋ SS′＋S′) 13πh(r2＋rr′＋r′2)
则 O1B1＝ 2 cm， OB＝2 2 cm， 过点 B1 作 B1M⊥OB 于点 M，那么 B1M 为正四棱台的高，在 Rt△BMB1 中， BB1＝2 cm，MB＝(2 2－ 2)＝ 2 (cm)．
根据勾股定理 MB1＝ BB21－MB2 ＝ 22－ 22＝ 2(cm)． S 上＝22＝4 (cm2)， S 下＝42＝16(cm2)， ∴V 正四棱台＝13× 2×(4＋ 4×16＋16) ＝13× 2×28＝238 2 (cm3)．
1.1.7柱锥台球的体积--公开课PPT课件
3.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、 台、球等常见的几何体的体积和.
.
18
作业
P32：练习A组1、2；练习B组2；习题1-1A组10；习题11B组4、5、6
.
19
.
20
例4:
已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.
求：(1）棱锥B1-A1BC1的体积 。
V V A1
解:
下底边长分别等于60cm和40cm，求它的深度．7 5 c m
V柱体Sh
S = S'
1 V台体3S SS'S' h
S' = 0
1 V锥体 3 S h
S=S'
S'
S'=0
S
S
S
（429年～500年）
.
6
问题：两个底面积相等、高也相等的柱 体或锥体的体积如何？
.
7
棱柱和圆柱的体积
h
s
S
S
底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等
.
8
二、几何体的体积 1．柱体的体积
V柱体= sh
V圆柱= r2h
等底面积、等高的锥体间的体积有何关系? 类似的,底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等.
1.1.7柱、锥、台和球的体积
1. 掌握柱、锥、台和球体的体积的求法.（重点） 2.了解柱、锥、台和球的体积计算公式；能运用柱、锥 、台和球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关
的实际问题.（难点）
.
2
一、问题： ⑴若长方形的长和宽分别为a和b，你能表示它
的面积吗？ S长方形＝ab
⑵若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么 它的体积如何计算呢？
.
18
作业
P32：练习A组1、2；练习B组2；习题1-1A组10；习题11B组4、5、6
.
19
.
20
例4:
已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.
求：(1）棱锥B1-A1BC1的体积 。
V V A1
解:
下底边长分别等于60cm和40cm，求它的深度．7 5 c m
V柱体Sh
S = S'
1 V台体3S SS'S' h
S' = 0
1 V锥体 3 S h
S=S'
S'
S'=0
S
S
S
（429年～500年）
.
6
问题：两个底面积相等、高也相等的柱 体或锥体的体积如何？
.
7
棱柱和圆柱的体积
h
s
S
S
底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等
.
8
二、几何体的体积 1．柱体的体积
V柱体= sh
V圆柱= r2h
等底面积、等高的锥体间的体积有何关系? 类似的,底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等.
1.1.7柱、锥、台和球的体积
1. 掌握柱、锥、台和球体的体积的求法.（重点） 2.了解柱、锥、台和球的体积计算公式；能运用柱、锥 、台和球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关
的实际问题.（难点）
.
2
一、问题： ⑴若长方形的长和宽分别为a和b，你能表示它
的面积吗？ S长方形＝ab
⑵若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么 它的体积如何计算呢？
课件5：1.1.7 柱、锥、台和球的体积
[跟踪训练] 1．已知某圆台的上、下底面面积分别是 π，4π，母线长为 2，则这个圆台的 体积是________．
解析：设圆台的上、下底面半径分别为 r 和 R，高为 h，
则 S 上＝πr2＝π，S 下＝πR2＝4π，∴r＝1，R＝2，∵l＝2，
∴h＝
3，∴V＝13π(12＋22＋1×2)×
3＝7
所以体积为13×(
2)2×
3＝2
3 3，所以该几何体的体积为
2π＋2
3
3 .
[答案] C
【规律方法】 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则 可直接利用公式求解． (2)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体 的直观图，然后根据条件求解．
(×)
(2)锥体的体积等于底面面积与高之积
( ×)
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差
(√ )
2. 如图所示，正方体 ABCD -A1B1C1D1 的棱长为 1，
则三棱锥 D1-ACD 的体积是
()
1 A. 6
1 B. 3
1 C. 2
D．1
答案：A
3．若圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，则圆锥的体积是________． 解析：由已知圆锥的高 h＝4， 所以 V 圆锥＝13π×32×4＝12π. 答案：12π 4．若一个球的直径是 12 cm，则它的体积为________ cm3. 解析：由题意知其半径为 R＝122＝6(cm)， 故其体积为 V＝43πR3＝43×π×63＝288 π(cm3)． 答案：288π
故球的表面积 S 表＝4πR2＝16π.
2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面
课件3：1.1.7 柱、锥、台和球的体积
典型例题 由 S 侧＝4×12(10＋20)·E1E＝780，得 EE1＝13， 在直角梯形 EOO1E1 中，O1E1＝12A1B1＝5， OE＝12AB＝10，
典型例题
∴O1O＝ E1E2－(OE－O1E1)2＝12， V 正四棱台＝31×12×(102＋202＋10×20)＝2 800 (cm3). 故正四棱台的体积为 2 800 cm3.
典型例题 ∴OO′⊥AO′， ∴AO′＝ 23R＝ 3 (cm)，∴R＝2 cm， ∴V 球＝43πR3＝332π(cm3)，S 球＝4πR2＝16π(cm2). 即球的体积为332π cm3，表面积为 16π cm2.
方法归纳
球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半 径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角 三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法.
∴AE＝ 23×6＝3 3.∴AH＝32AE＝2 3.
课堂检测 在△ABC 中， S△ABC＝12BC·AE＝21×6×3 3＝9 3. 在 Rt△SHA 中，SA＝ 15，AH＝2 3， ∴SH＝ SA2－AH2＝ 15－12＝ 3. ∴V 正三棱锥＝13S△ABC·SH＝13×9 3× 3＝9.
方法归纳
求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体 的高.要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的 轴截面寻求相关量之间的关系.
跟踪训练
3.本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分 别为2 cm和4 cm，侧棱长为2 cm，求该棱台的体积.”
跟踪训练 解：如图，正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中，上、下底面边长 分别为 2 cm 和 4 cm，
知识梳理
教材整理2 柱体、锥体、台体和球的体积公式 其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′ 和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径.
1.1.7柱、锥、台和球的体积第二课时
A'
B'
D
C
解：正方体 ABCD A' B'C' D'中，三棱柱 A' ABD
A
B 的底面积为 a2 ,高为A' A a
2
VA' ABD
1. 3
a2 2
.a
1 6
a3
变式1.正方体ABCD-A'B'C'D'中，用截面截下一个 三棱锥A'-ABD，求棱锥A'-ABD的体积与剩余部分 的体D' 积之比？ C'
解：正方体ABCD A' B'C' D'中，VABCDA'B'C'D' a3
A'
B'
三棱柱A'
ABD的体积VA' ABD
1 3
.
a2 2
.a
1 6
a3
V剩余
VABCD A'B'C 'D'
VA' ABD
a3
1 6
a3
5 6
a3
D
VCA' ABD：V剩余 1: 5
A
思维 导图
知识： 锥体的体积 台体的体积
思想： 化归 类比
3.球的体积
实验:
给出如下几何模型
R
R
步骤
１．拿出圆锥 和圆柱
２．将圆锥倒立放入 圆柱
３．取出半球和新的几何体做它们的截面
R
结论:截面面积相等
则两个几何体的体积相等
课件2：1.1.7 柱、锥、台和球的体积
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
取一摞纸张放在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置 方法，观察改变前后的体积是否发生变化？
从以上事实中你得到什么启发？
一. 祖暅原理
祖暅原理：幂势既同，则积不容异. 也就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平 行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截 面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.
B'
A
C'
C
B
B
C' B'
C
四. 棱台和圆台的体积
1.
V台体=
1 3
(S
SS ' S ')h；其中S、S’分别为台体上、
下底面面积，h为台体的高.
2．V圆台=π(r2+Rr+R2)h,其中r、R分别为圆台的上、下底面
的半径，高为h.
P
A'
S'
D' O'
B'
C'
h
A
D
OS
B
C
x s' xh s
3
谢 谢！
祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公式的基础和纽带， 原理中含有三个条件， 条件一是两个几何体夹在两个平行平面之间； 条件二是用平行于两个平行平面的任何一平面可截得两 个平面； 条件三是两个截面的面积总相等，这三个条件缺一不可， 否则结论不成立.
二. 棱柱和圆柱的体积 柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积. 即
x h s' s s'
S'
x
S
h
V台
1 3
S（h
x)
1 3
S'x
取一摞纸张放在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置 方法，观察改变前后的体积是否发生变化？
从以上事实中你得到什么启发？
一. 祖暅原理
祖暅原理：幂势既同，则积不容异. 也就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平 行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截 面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.
B'
A
C'
C
B
B
C' B'
C
四. 棱台和圆台的体积
1.
V台体=
1 3
(S
SS ' S ')h；其中S、S’分别为台体上、
下底面面积，h为台体的高.
2．V圆台=π(r2+Rr+R2)h,其中r、R分别为圆台的上、下底面
的半径，高为h.
P
A'
S'
D' O'
B'
C'
h
A
D
OS
B
C
x s' xh s
3
谢 谢！
祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公式的基础和纽带， 原理中含有三个条件， 条件一是两个几何体夹在两个平行平面之间； 条件二是用平行于两个平行平面的任何一平面可截得两 个平面； 条件三是两个截面的面积总相等，这三个条件缺一不可， 否则结论不成立.
二. 棱柱和圆柱的体积 柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积. 即
x h s' s s'
S'
x
S
h
V台
1 3
S（h
x)
1 3
S'x
课件8：1.1.7 柱、锥、台和球的体积
设 O1M＝x，易知 O1M⊥AB，则 O1A＝ 22＋x2，
O1C＝CM－O1M＝ 62－22－x.
又 O1A＝O1C，∴ 22＋x2＝ 62－22－x.
解得
x＝7 4
2.则
O1A＝O1B＝O1C＝9
4
2 .
在 Rt△OO1A 中，O1O＝R2，∠OO1A＝90°，OA＝R.
由勾股定理得(R2)2＋(9
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
1．长方体的体积 (1)若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积 为V长方体＝ abc . (2)若长方体的底面积和高分别为S、h，那么它的体积 V长方体＝ Sh .
2．祖暅原理：幂势既同，则积不容异 这就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行 于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的 面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅 原理可说明： 等底面积、等高 的两个柱体或锥体的体 积相等．
4
2)2＝R2.解得
R＝3
2
6 .
故 S 球＝4πR2＝54π，V 球＝43πR3＝27 6π.
[通一类]
4．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球
的体积是其余两个球的体积之和的
()
A．1倍
B．2倍
C．3倍
D．4倍
【解析】半径大的球的体积也大，设三个球的半径分 别为 x,2x,3x， 则最大球的半径为 3x，其体积为43π×(3x)3， 其余两个球的体积之和为34πx3＋43π×(2x)3， ∴43π×(3x)3÷[43πx3＋43π×(2x)3]＝3.
[通一类] 2．一个边长为2的正三角形，绕它的对称轴旋转一周，如 图，求所得几何体的体积．
解：正三角形 SAB 绕对称轴 SO 旋转一周，得到
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用平行于底的的平面截柱体，截面面积相等 吗？为什么？
棱柱、圆柱的截面性质:平行于底面的截面与底面全等.
由祖暅原理可知：等底面积等高的任意两个柱体的 体积 相等，而长方体的体积为V长方体= sh，所以与 长方体等底面积等高的棱柱、圆柱有如下定理： 定理 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底 面 积s和高h的积。
[复习回顾]
问题1 问题2
圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式？ 正方体、长方体、圆柱的体积计算公式？
瞧，这么宏伟壮观的金字塔呀！ ——你们能求出它的体积吗？
看，这是水立方吧。 ——这个棱柱的体积怎么求？ 想知道吧？ 让我们一起来学习今天的内容吧！
问题1 等底面积、等高的两个柱体或椎体是否体
积相等呢？
+
A’ B’
C’
如图,三棱柱分割成三个 三棱锥,他们三个的体积 相等吗？为什么？
A
A’ B’ C’ C
B
A B
C
总结
锥体体积公式
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?
锥体的代表 三棱锥 等底面积等高的 任意两个锥体的 体积相等
+
总结提升：
3．台体的体积
设棱台上底面积为S‘， 下底面积为S，高为h， 大棱锥的高为h1，小 棱锥的高为h2，则
祖暅(gèng)原理：幂势既同，则积不容异。 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面 (阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的 体积一定相等。
应用祖暅原理可以说明：等底面积、等高的两 个柱体或椎体的体积相等.
探究点二
棱柱、圆柱和球的体积
设有底面积都等于S，高都等于h的任 意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使 它们的下底面在同一个平面α内（如图）
V柱体= sh
推论 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
总结
柱体体积公式及其探索思路？
柱体的体积公式Ｖ柱体＝Ｓｈ
柱体的代表 Ｖ长方体＝Ｓｈ 等底面积等高 的任意两个柱 体的体积相等
+
问题5
锥体体积公式及其探索思路？
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?
锥体的代表 ? 等底面积等高的 任意两个锥体的 体积相等
V VP ABCD VP ABCD
1 (S S S S )h 3 两个底面积相等、高也相等的棱台（圆台）的体积 相等
1 Ｖ圆台＝ 3 πh
(r r 1r 体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大 上底缩小
S 0 1 1 V Sh S S V ( S S S S )h V Sh 3 3 S为底面面积， S为底面面积， S，S’分别为上、下 h为柱体高 h为锥体高 底面面积，h 为台体 高
5.球的体积
实验:
给出如下几何模型
R
R
步骤
１．拿出圆锥 和圆柱
２．将圆锥倒立放 入圆柱
３．取出半球和新的几何体做它们的截面
R
结论:截面面积相等
则两个几何体的体积相等
R
R
R
1 V球 2
1 2 ＝ R R R R 3
2
５．球的体积计算公式： V球
4 R 3 3
例 1：如图，在长方体 ABCD ABC D 中， 截下一个棱锥 C ADD ,求棱锥的体积与剩 余部分的体积之比。 D'
等面积法： 等底等高的三角形面积相等
h
h
h
a
1 S a h 2
a
a
问题2
取一摞书放在桌面上(如图所示) ，并改变
它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变 化？从这个事实中你得到什么启发？
知道它们前后的体积相等的条件为:
1 .高度相同 2.同一层上每页纸大小(面积)一样 3.每层与放作业本的桌面平行
1 5 Sh Sh Sh 6 6
所以体积比为
1: 5
【例2】有一堆形状规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg，已知底面六边形边长为 12mm，高为10mm，内孔直径是10mm，那么约有毛坯多少个？（铁的比重是 7.8 g/cm3） 解： 六角螺帽的体积V是一个正六棱柱的体积V1与一个圆柱的 体积V2的差
3 3
3
答：这堆毛坯约有250个．
柱体 V Sh
S S'
1.柱体、锥体、
台体的体积
1 台体 V ( S S S S )h 3
S' 0
锥体 V 1 Sh
3
2.球的体积公式
4 3 1 2 V球 = πR 4 R R 3 3
3.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、 台、球等常见的几何体的体积和.
3 3 2 V1 12 6 10 3.74 10 4 2 3 10 0.785 10 V2 3.14 10 2
3 3
mm mm
3
3
所以一个毛坯的体积为
V 3.74 10 0.785 10 2.96 10 mm 2.96 cm 3 （个） 约有毛坯 5.8 10 7.8 2.96 250
解： 长方体可以看成直四棱柱 ADD' A' BCC ' B '
设它的底面 ADD A 面积为S，高为h， 则它的体积为V Sh 因为棱锥 C A' DD'
' '
C'
A' D
B' C B
的底面面积为 的体积 VC A DD
'
1 S 2
高是h,所以棱锥
A C A' DD'
1 1 1 Sh Sh 余下的体积 3 2 6